Konverze kompletní čtvercové rovnice v neúplném vypadá takto (pro případ (b \u003d 0)):

Pro případy, kdy (c \u003d 0) nebo když oba koeficienty jsou nulové - vše je podobné.

Všimněte si, že neexistuje žádná řeč o rovnosti nuly (a), nemůže být nula, protože v tomto případě se změní na:

Rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic.

Především je nutné pochopit, že neúplná čtvercová rovnice je stále, proto může být vyřešena, stejně jako obvyklé čtvercové (přes). Chcete-li to provést, jednoduše přidejte chybějící složku rovnice s nulovým koeficientem.

Příklad : Najděte kořeny rovnice (3x ^ 2-27 \u003d 0) \\ t
Rozhodnutí :

		Máme neúplnou čtvercovou rovnici s koeficientem (b \u003d 0). To znamená, že můžeme napsat rovnici v následujícím formuláři:
(3x ^ 2 + 0 cdot x-27 \u003d 0)		Ve skutečnosti je zde stejná rovnice jako na začátku, ale nyní může být řešena jako obyčejné čtverce. Nejprve píšeme koeficienty.
(a \u003d 3;) (b \u003d 0;) (c \u003d -27;		Vypočítat diskriminaci podle vzorce (D \u003d B ^ 2-4AC)
(D \u003d 0 ^ 2-4 cdot3 cdot (-27) \u003d) \(=0+324=324\)		Najděte kořeny rovnice podle vzorců (x_ (1) \u003d) (frac (-b + sqrt (d)) (2a)) a (x_ (2) \u003d) \\ (frac (-b- \\ t )) (2a) \\ t
(x_ (1) \u003d) (Frac (-0+ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\ t(\u003d) (Frac (18) (6) \\) \\ (3) \\ t (x_ (2) \u003d) \\ (Frac (-0- \\ SQRT (324)) (2 \\ CDOT3) \\ t(\u003d) (Frac (-18) (6) \\) \\ (\u003d - 3)		Zaznamenejte odpověď

Odpovědět : (x_ (1) \u003d 3); (x_ (2) \u003d - 3 \\ t

Příklad : Najděte kořeny rovnice (- x ^ 2 + x \u003d 0)
Rozhodnutí :

		Opět, neúplná čtvercová rovnice, ale nyní nula se rovná koeficientu (C). Rekordní rovnice.

Kvadratické rovnice. Diskriminační. Řešení, příklady.

Pozornost!
Toto téma má další
Materiály ve speciální části 555.
Pro ty, kteří jsou silně "ne příliš ..."
A pro ty, kteří jsou "velmi ...")

Druhy čtvercových rovnic

Co je čtvercová rovnice? Jak to vypadá? V termínech kvadratická rovnice Klíčové slovo je "Náměstí". To znamená, že v rovnici před Musí být na náměstí na náměstí. Kromě něj může být v rovnici (a nemusí být!) Jednoduše X (v prvním stupni) a jen číslo (volný člen). A neměly by být žádné ICS do stupně, více dva.

Mluvení matematickým jazykem je čtvercová rovnice rovnice formy:

Tady a, B as - Některá čísla. b a c. - všechny všechny, a ale- Každý, kdo je nula. Například:

Tady ale =1; b. = 3; c. = -4

Tady ale =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Tady ale =-3; b. = 6; c. = -18

No, pochopil jsi ...

V těchto čtvercových rovnicích je vlevo přítomna plný set členové. X Square s koeficientem ale,x v prvním stupni s koeficientem b. a volný péro s.

Takové čtvercové rovnice se nazývají Úplný.

Co když b. \u003d 0, co děláme? My máme x je první stupeň zmizí. Z násobení na nulu se stane.) Ukazuje se například:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Atd. A pokud oba koeficient, b. a c. rovna nule, je stále jednodušší:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takové rovnice, kde něco chybí, se nazývá neúplné čtvercové rovnice. Co je docela logické.) Žádám vás, abyste si všimli, že X je přítomno na náměstí ve všech rovnicích.

Mimochodem, proč ale Nemůže být nula? A místo toho nahradíš ale Nolik.) Zmizí na náměstí! Rovnice se stane lineárními. A je již vyřešen zcela jinak ...

To je všechny hlavní typy Čtvercové rovnice. Plné a neúplné.

Řešení čtvercových rovnic.

Řešení plných čtvercových rovnic.

Čtvercové rovnice jsou jednoduše vyřešeny. Podle vzorců a jasně jednoduchých pravidel. V první fázi musí být daná rovnice přivedena do standardní formy, tj. Na mysl:

Pokud je k vám již v této formě dána rovnice - první etapa není nutná.) Hlavní věc je správně definovat všechny koeficienty, ale, b. a c..

Vzorec pro nalezení kořenů čtvercové rovnice vypadá takto:

Vyjádření pod náznakem kořene se nazývá diskriminační. Ale o tom - níže. Jak vidíte, najít ICA, používáme pouze a, b as. Ty. Koeficienty čtvercové rovnice. Jen úhledně nahrazují hodnoty a, B as V tomto vzorci zvažujeme. Náhradní s tvými známkami! Například v rovnici:

ale =1; b. = 3; c. \u003d -4. A psát:

Příklad je prakticky vyřešen:

To je odpověď.

Všechno je velmi jednoduché. A co si myslíte, že je nemožné udělat chybu? No, ano, jak ...

Nejčastější chyby - zmatek s příznaky hodnot a, B as. Spíše, ne s jejich známkami (kde je tam zmatená?), Ale s náhradou negativních hodnot ve vzorci pro výpočet kořenů. Zde je podrobný vstup vzorce se specifickými čísly. Pokud jsou problémy s výpočetní techniky, učiň tak!

Předpokládejme, že potřebujete vyřešit tento:

Tady a. = -6; b. = -5; c. = -1

Předpokládejme, že víte, že zřídka máte odpovědi od poprvé.

No, nebuďte líní. Napište přebytečnou linku bude trvat sekundy 30. a počet chyb ostře řez. Zde píšeme podrobně, se všemi závorkami a značkami:

Zdá se, že je to neuvěřitelně obtížné, tak pečlivě malovat. Ale zdá se to jen. Snaž se. Nebo zvolte. Co je lepší, rychlé, nebo vpravo? Také vás vykopnu. Po chvíli, tam zmizí tak pečlivě malovat všechno. Sám bude správný. Zvláště pokud použijete praktické techniky, které jsou popsány přímo níže. Tento zlý příklad s bandou minusů bude vyřešeno snadno a bez chyb!

Ale často, čtvercové rovnice vypadají mírně odlišné. Například, jako je tento:

Zjistěte?) Ano! to neúplné čtvercové rovnice.

Rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic.

Mohou být také řešeny obecným vzorcem. Je nutné správně představit, co se rovná a, B as.

Opraven? V prvním příkladu a \u003d 1; b \u003d 4; ale c.? Nikdo není vůbec! No, ano, vpravo. V matematice to znamená c \u003d 0. Dokázal se! To je vše. Místo toho nahrazujeme v nulovém vzorci c, A všechno se rozskytují. Podobně se druhým příkladem. Pouze nula zde ne z, ale b. !

Neúplné čtvercové rovnice mohou být vyřešeny mnohem jednodušší. Bez vzorců. Zvažte první neúplnou rovnici. Co tam lze udělat v levé straně? Můžete udělat je pro držáky! Uveďme.

A co z toho? A skutečnost, že práce je nulová, a jen když některé z násobitelé se rovná nule! Nevěří? No, pojďte dvěma nenulová čísla, která dá nulu s násobením!
Nefunguje? To je něco ...
V důsledku toho můžete s jistotou psát: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Všechno. To bude kořeny naší rovnice. Oba jsou vhodné. Při nahrazení některého z nich do původní rovnice získáváme věrnou identitu 0 \u003d 0. Jak vidíte, řešení je mnohem jednodušší než obecný vzorec. Mimochodem, mimochodem, který X bude první, a který druhý je naprosto lhostejný. Vhodný pro záznam v několika málo, x 1. - Co je menší a x 2. - Co je víc.

Druhá rovnice může být také vyřešena jednoduše. Nosíme 9 na pravou stranu. Dostaneme:

Zůstává kořen extrahovat z 9, a to je to. Ukazuje se:

Také dva kořeny . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Takže všechny neúplné čtvercové rovnice jsou vyřešeny. Buď pomocí držáku, nebo jednoduše přenášejícím číslo vpravo, následovaný extrakcí kořene.
Je velmi obtížné tyto techniky zaměňovat. Jednoduše proto, že v prvním případě budete muset extrahovat kořen z XCA, což je nějakým způsobem není jasné, a ve druhém případě není nic pro závorky ...

Diskriminační. Diskriminační vzorec.

Magické slovo diskriminační Dokázal se! Vzácný student střední školy neslyšel slovo! Fráze "rozhodnout prostřednictvím diskriminačního", bude iniciovat důvěru a podporuje. Protože není nutné čekat na triky od diskriminačního! Je to jednoduché a bezproblémové v oběhu.) Připomínám vám nejobecnější vzorec pro řešení Žádný Čtvercové rovnice:

Výraz pod označením kořene se nazývá diskriminační. Obvykle diskriminační je označen dopisem D.. Diskriminační vzorec:

D \u003d B 2 - 4AC

A co je pozoruhodný výraz? Proč si zaslouží zvláštní jméno? V jaké význam diskriminačního? Po všem -b, nebo 2a. V tomto vzorci nejsou konkrétně volat ... písmena a písmena.

To je co. Při řešení čtvercové rovnice pro tento vzorec je to možné celkem tři případy.

1. Diskriminační pozitivní. To znamená, že je možné extrahovat kořen. Dobrý kořen je extrahován nebo špatný - otázka je jiná. Je důležité, aby se v zásadě extrahoval. Pak má vaše náměstí rovnice dva kořeny. Dvě různá řešení.

2. Diskriminační je nula. Pak dostanete jedno řešení. Protože nula odečítá v čitateli nic nemění. Přísně řečeno, to není jeden kořen, ale dva identické. Ale v zjednodušené verzi je obvyklé mluvit o jedno řešení.

3. Diskriminační je negativní. Záporného čísla, druhá odmocnina není odstraněna. Dobře. To znamená, že neexistují řešení.

Upřímně, s jednoduché rozhodnutí Čtvercové rovnice, koncept diskriminace není zvláště nutný. Nahradíme hodnoty koeficientů ve vzorci, ano, věříme. Všechno to děje všechno, oba dva kořeny, a jeden, a ne jeden. Při řešení více komplexní úkolybez znalosti význam a vzorec diskriminační nedostatek. Zvláště - v rovnicích s parametry. Takové rovnice jsou nejvyšší pilot na GIA a EGE!)

Tak, jak řešit náměstí rovnice Prostřednictvím diskriminačního si pamatoval. Nebo se dozvěděl, že to také není špatné.) Vím, jak správně určit a, B as. Znalost opatrně nahraďte je v kořenovém vzorci a opatrně spočítat výsledek. Uvědomil jste si to klíčové slovo tady - opatrně?

A nyní bere na vědomí praktické techniky, které dramaticky sníží počet chyb. Nejvíce to kvůli nepozornosti. ... pro které se pak stává zranění a zranění ...

Příjem první . Nebuďte líní před řešením čtvercové rovnice, abyste ji přivedli do standardní formy. Co to znamená?
Předpokládejme, že po všech transformacích jste obdrželi takovou rovnici:

Nespěchejte psát kořenový vzorec! Téměř pravděpodobně plášte koeficienty A, B a S. Sestavte příklad správně. Nejprve, X je na náměstí, pak bez náměstí, pak volný péro. Takhle:

A nespěchejte znovu! Mínus před IX na náměstí může být zdravý, aby vás rozrušil. Zapomeňte na to snadné ... zbavte se mínusu. Jak? Ano, jak učil v předchozím tématu! Je nutné vynásobit celou rovnici na -1. Dostaneme:

Ale nyní můžete bezpečně zaznamenat vzorec pro kořeny, zvážit diskriminaci a příklad. Drore sami. Musíte mít kořeny 2 a -1.

Recepce sekundu. Zkontrolujte kořeny! Na větu Vieta. Nespokojujte, vysvětlím všechno! Šek poslední věc rovnice. Ty. Že jsme nahráli kořeny vzorec. Pokud (jako v tomto příkladu) koeficient a \u003d 1., Snadno zkontrolujte kořeny. Dost na to, aby je vynásobil. Mělo by být volný člen, tj V našem případě -2. Poznámka, ne 2, A -2! Dick. s vaší značkou . Pokud to nefungovalo, znamená to někde, kde se nahromadili. Hledat chybu.

Pokud se to stalo - je nutné složit kořeny. Poslední a poslední kontrola. Musí se stát koeficientem b. z naproti podepsat. V našem případě -1 + 2 \u003d +1. A koeficient b.který je před IX, rovný -1. Takže vše je správné!
Je škoda, že je tak jednoduché pro příklady, kde X je čistý, s koeficientem a \u003d 1. Ale alespoň šek v takových rovnicích! Budou existovat méně chyb.

Užívání třetího . Pokud jsou ve vaší rovnici zlomkové koeficienty, - zbavte se frakcí! Více rovnice na základě společným jmenovatelemJak je popsáno v lekci "Jak řešit rovnice? Identické transformace". Při práci s frakcemi chyby, z nějakého důvodu a stoupání ...

Mimochodem, slíbil jsem zlý příklad s bandou minusů pro zjednodušení. Nemáš zač! Tady to je.

Aby se nemělo být zaměňováno v minusech, rovnice na -1 je dominantní. Dostaneme:

To je vše! Rozhodněte se - jedno potěšení!

Takže shrnujte téma.

Praktické rady:

1. Před řešením dáváme čtvercovou rovnici do standardního formuláře, vybudujte ji že jo.

2. Pokud negativní koeficient stojí za negativní koeficient před X, eliminovat jeho násobení celé rovnice na -1.

3. Jsou-li zlomkové koeficienty eliminují frakci vynásobením celé rovnice k odpovídajícímu násobiteli.

4. Pokud X je na čtverci - čistý, koeficient se rovná jedné, roztok lze snadno zkontrolovat větu Vieta. Udělej to!

Nyní je možné vypočítat.)

Řešit rovnice:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odpovědi (v nepořádku):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - libovolné číslo

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

Žádná řešení

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Všechno konverguje? Vynikající! Čtvercové rovnice nejsou vaše bolesti hlavy. První tři se ukázali a zbytek - ne? Pak problém není v čtvercových rovnicích. Problém je v identických transformacích rovnic. Projděte se odkazem, je užitečné.

Není to opravdu? Nebo nefunguje vůbec? Pak potřebujete pomoci oddílu 555. Všechny tyto příklady rozeberou kolem kostí. Ukazující hlavní Chyby při řešení. Samozřejmě o aplikaci identické transformace Při řešení různých rovnic. Pomáhá hodně!

Pokud se vám líbí tato stránka ...

Mimochodem, mám pro vás další pár zajímavých míst.)

To lze přistupovat k řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitou kontrolou. Naučte se - se zájmem!)

Můžete se seznámit s vlastnostmi a deriváty.

Zvažte čtvercovou rovnici:
(1) .
Kořeny náměstí rovnice (1) jsou určeny vzorce:
; .
Tyto vzorce mohou být kombinovány takto:
.
Když jsou známy kořeny čtvercové rovnice, může být polynomiální druhý stupeň reprezentován jako práce faktorů (rozloží se na násobiteli):
.

Dále tomu věříme - skutečná čísla.
Zvážit diskriminační čtvercová rovnice:
.
Pokud je diskriminační pozitivní, pak čtvercová rovnice (1) má dva různé platné kořen:
; .
Pak se rozklad čtverce tři snižuje faktory, má formu:
.
Pokud je diskriminační nulová, pak čtvercová rovnice (1) má dva více (stejné) platný kořen:
.
Factorizace:
.
Pokud je diskriminační záporný, pak čtvercová rovnice (1) má dva komplexně konjugované kořen:
;
.
Zde - imaginární jednotka;
A - skutečné a imaginární části kořenů:
; .
Pak

.

Grafický interpretace

Pokud staví funkce plánu
,
Což je parabola, pak bod průsečíku grafu s osou bude kořeny rovnice
.
Když plán překročí osu ASSCISSA (osa) ve dvou bodech.
Kdy se graf týká osy abscisy na jednom místě.
Kdy harmonogram neprokázal osu abscisy.

Níže jsou uvedeny příklady těchto grafů.

Užitečné vzorce spojené s čtvercovou rovnicí

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Výstup vzorce pro kořeny čtvercové rovnice

Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (F.1) a (F.3):




,
Kde
; .

Takže máme vzorec pro polynom druhého stupně ve formě:
.
Odtud lze vidět, že rovnice

provedeno
a.
To znamená, že kořeny čtvercové rovnice jsou kořeny
.

Příklady stanovení kořenů čtvercové rovnice

Příklad 1.

(1.1) .

Rozhodnutí

.
Porovnání s naší rovnicí (1.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je pozitivní, rovnice má dva platný kořen:
;
;
.

Odtud dostaneme rozklad náměstí tři sázky na multicích:

.

Funkce plánu y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Překračuje osu abscisy ve dvou bodech.

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Ona umístí osu abscisy (osa) ve dvou bodech:
a.
Tyto body jsou kořeny počáteční rovnice (1.1).

Odpovědět

;
;
.

Příklad 2.

Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(2.1) .

Rozhodnutí

Čtvercová rovnice píšeme obecně:
.
Porovnání s počáteční rovnicí (2.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je nula, rovnice má dva více (stejné) kořen:
;
.

Pak má rozklad tří rozhodnutí o násobiteli formulář:
.

Funkční graf Y \u003d X 2 - 4 x + 4 Požádá o osu abscisy na jednom místě.

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Jedná se o osu abscisy (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem počáteční rovnice (2.1). Vzhledem k tomu, že tento kořen vstupuje do rozšíření multiplikátorů dvakrát:
,
Že takový kořen se nazývá násobek. To znamená, že je věřil, že existují dvě stejné kořeny:
.

Odpovědět

;
.

Příklad 3.

Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(3.1) .

Rozhodnutí

Čtvercová rovnice píšeme obecně:
(1) .
Počáteční rovnice přepíšeme (3.1):
.
Porovnejte C (1), najdeme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Diskriminační je negativní. Proto neexistují žádné platné kořeny.

Můžete najít komplexní kořeny:
;
;

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. To neprokázalo osu abscisy (osa). Proto neexistují žádné platné kořeny.

Odpovědět

Neexistují žádné platné kořeny. Řoby jsou integrovány:
;
;
.

Je známo, že se jedná o konkrétní provedení rovnosti AH 2 + VX + C \u003d O, kde A, B a C - reálné koeficienty v neznámém X, a kde A ≠ OH a B a C budou nuly - současně nebo od sebe. Například C \u003d O, v ≠ O nebo naopak. Téměř si pamatovali jsme definici čtvercové rovnice.

Spoušť druhého stupně je nula. První koeficient a ≠ o, b a c může mít jakékoli hodnoty. Hodnota proměnné x pak bude, když je substituce zapne do správné numerické rovnosti. Držme se na skutečných kořenech, i když řešení rovnice mohou být také plně nazývána rovnicí, ve které žádný z koeficientů není rovna, a ≠ o, v ≠ O, s ≠ přibližně.
Řeším příklad. 2x 2 -9x-5 \u003d O, najdeme
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D pozitivní, pak kořeny jsou k dispozici, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5 a druhý x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -O, 5. Zkontrolujte, zda jsou správné.

Zde je fázaný roztok čtvercové rovnice

Prostřednictvím diskriminace může být jakákoliv rovnice vyřešena v levé části, jejíž známý čtverec se třemi stale na ≠ přibližně. V našem příkladu. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH 2 + VX + C \u003d O)

Zvažte, jaké jsou neúplné rovnice druhého stupně

1. aH 2 + VH \u003d O. Volný termín, koeficient s x 0, zde je nula, v ≠ o.
   Jak řešit neúplnou čtvercovou rovnici tohoto typu? Provádíme X pro rovnátka. Vzpomínáme si, když produkt dvou multiplikátorů je nulový.
   x (AX + B) \u003d O, může být, když X \u003d O nebo když AX + B \u003d O.
   Po rozhodnutí 2. máme x \u003d -b / a.
   V důsledku toho máme kořeny x 1 \u003d 0 podle výpočtů x 2 \u003d -b / a.
2. Nyní je koeficient na X roven, a ne roven (≠).
   x 2 + C \u003d O. Přeneseme s pravou stranou rovnosti, získáme x 2 \u003d -C. Tato rovnice pak má reálné kořeny, kdy -s pozitivní číslo (s \u003co),
   X 1 se rovná √ (-C), resp. X 2 ---√ (-C). Jinak rovnost nemá kořeny vůbec.
3. Poslední varianta: B \u003d C \u003d O, to je AH 2 \u003d O. Samozřejmě, že taková jednoduchá rovnice má jeden kořen, X \u003d O.

Soukromé případy

Jak řešit neúplnou čtvercovou rovnici, a nyní budeme mít nějaké druhy.

• V plné čtvercové rovnici, druhý koeficient na X - sudé číslo.
  Nechť k \u003d o, 5b být. Máme vzorce pro výpočet diskriminantů a kořenů.
  D / 4 \u003d K 2 - AC, kořeny jsou vypočteny SO x 1,2 \u003d (-K ± √ (D / 4)) / A s D\u003e O.
  x \u003d -K / A pro D \u003d O.
  Žádné kořeny pro d \u003co.
• Existují snížené čtvercové rovnice, když koeficient při X na čtverci je 1, jsou odebrány k záznamu x 2 + px + Q \u003d O. Všechny výše uvedené vzorce se na ně šíří, výpočty jsou poněkud jednodušší.
  Příklad X 2 -4x-9 \u003d 0. Vypočítejte D: 2 2 + 9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, X 2 \u003d 2-√13.
• Kromě toho se snadno používá v tom říká, že množství kořenů rovnice rovnice je -p, druhý koeficient s mínusem (což znamená opačné znaménko) a produkt stejných kořenů bude Q, volný člen. Zkontrolujte, jak to může snadno vytvořit kořeny této rovnice. Pro neplacené (se všemi nenulovými koeficienty) je tato věta použitelná, takže součet x 1 + x 2 se rovná -b / a, produkt x 1 · x 2 se rovná c / a.

Množství volného členu C a první koeficient A se rovná koeficientu b. V této situaci nemá rovnice menší než jeden kořen (snadno prokázáno), první je nutně roven -1 a druhý- ° C / A, pokud existuje. Jak řešit neúplnou čtvercovou rovnici, můžete se zkontrolovat. Stejně snadné jako koláč. Koeficienty mohou být v některých vztazích mezi sebou.

• x 2 + X \u003d O, 7x 2 -7 \u003d O.
• Součet všech koeficientů je rovna.
  Kořeny v takové rovnici - 1 a s / a. Příklad 2x 2 -15x + 13 \u003d O.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Existuje řada dalších způsobů, jak vyřešit různé rovnice druhého stupně. Zde například způsob izolace z tohoto polynomu kompletního náměstí. Grafické metody nějaký. Když se s takovými příklady často zabýváte, naučíte se "kliknout", jako jsou semena, protože všechny cesty se automaticky přicházejí.

V moderní společnost Schopnost provádět činy s rovnicemi obsahujícím proměnnou zvednutou na čtverec může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technický vývoj. Důkazem toho může sloužit designu mořských a říčních plavidel, letadel a raket. S pomocí takových výpočtů, trajektorie pohybu různých těl, včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením čtvercových rovnic se používají nejen v ekonomické prognóze, při navrhování a výstavbě budov, ale také v nejobvyklejších každodenních okolnostech. Mohou být potřebné v turistických kampaních, ve sportu, v nákupních obchodech a v jiných velmi běžných situacích.

Rozdělujeme výraz na komponentách multiplikátorů

Stupeň rovnice je určena maximální hodnotou stupně v proměnné, která obsahuje tento výraz. V případě, že je 2, pak taková rovnice se právě nazývá náměstí.

Pokud jazyk vzorců vyjadřuje, pak uvedené výrazy, bez ohledu na to, jak vypadají, může být vždy způsobeno formou, kdy se levá část výrazu skládá ze tří termínů. Mezi nimi: AX 2 (tj. Proměnná postavená do čtverce s koeficientem), BX (neznámý bez čtverce s jeho koeficientem) a C (volná složka, to je obvyklé číslo). To vše na pravé straně se rovná 0. V případě, kdy není nikdo ze svých složek termínů, s výjimkou AX 2, se nazývá neúplná čtvercová rovnice. Příklady s řešením takových úkolů, hodnota proměnných, ve kterém je snadné najít, by měla být považována za první.

Pokud se výraz objeví ve formě vypadá tak, že dva, přesněji, AX 2 a BX, výraz na výrazu na výrazu na pravé straně, je nejjednodušší najít proměnnou pro závorky. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: X (AX + B). Dále je zřejmé, že nebo x \u003d 0 nebo úkol je snížen na nalezení proměnné z následujícího výrazu: sekeru + b \u003d 0. Zadaný diktoval jeden z násobení vlastností. Pravidlo říká, že produkt ze dvou faktorů dává v důsledku 0 pouze v případě, že jeden z nich je nulový.

Příklad

x \u003d 0 nebo 8x - 3 \u003d 0

V důsledku toho získáme dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popsat pohyb těl pod vlivem gravitace, které začaly pohyb z určitého bodu přijatého na začátku souřadnic. Zde je matematický záznam následující formulář: Y \u003d v 0 t + gt 2/2. Nahrazení potřebných hodnot, rovnovážné pravé straně 0 a najít možné neznámé, můžete zjistit čas kolem okamžiku vzestupu těla až do pádu, stejně jako mnoho dalších hodnot. Ale budeme o tom mluvit později.

Rozkládání výrazu na multiplikáti

Výše uvedené pravidlo umožňuje vyřešit zadané úkoly a více komplexní případy. Zvažte příklady s řešením čtvercových rovnic tohoto typu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Tento square Treechlen. Je kompletní. Chcete-li začít, transformujeme výraz a rozkládáme ji pro multiplikátory. Získávají se dva: (X-8) a (X-25) \u003d 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením čtvercových rovnic v Grade 9 umožňují tuto metodu najít proměnnou ve výrazech nejen druhý, ale i třetí a čtvrté objednávky.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. S rozkladem pravé části násobiteli s proměnnou se získají tři, tj. (X + 1), (X-3) a (X-3) a (X + 1), x + 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -jeden; 3.

Extrahovat čtvercový kořen

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výrazem v jazyce písmen uvedených takovým způsobem, že je pravá strana postavena ze složek sekeru 2 a C. Zde pro hodnotu proměnné se volný člen převede pravá stranaa pak se z obou částí rovnosti extrahují odmocnina. Pozornost by měla být zaplacena jako v tento případ Kořeny rovnice obvykle dva. Výjimka může být rovna pouze rovnosti, obecně neobsahujícím termín C, kde je proměnná nulová, stejně jako možnosti pro výrazy, když se pravá strana ukáže být negativní. V poslední případ Neexistují žádná řešení vůbec, protože výše uvedené akce nemohou být vyrobeny s kořeny. Musí být zváženy příklady řešení čtvercových rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice -4 a 4.

Výpočet pozemku

Potřeba takových výpočtů se objevila v hlubokém starověku, protože vývoj matematiky v mnoha ohledech v těch vzdálených časech byl způsoben nutností určit nejhorší přesnost oblasti a obvodu pozemků.

Příklady s řešením čtvercových rovnic sestavených na základě úkolů tohoto druhu by měly být zváženy.

Řekněme, že je obdélníkový pozemek, jehož délka je 16 metrů více než šířka. Je třeba nalézt délku, šířku a obvodu místa, pokud je známo, že jeho plocha je rovna 612 m 2.

Začínáme záležitost, nejprve proveďte potřebnou rovnici. Označte x šířkou místa, pak bude jeho délka (x + 16). Z písemného vyplývá, že oblast je určena výrazem X (X + 16), který je podle stavu našeho problému 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.

Řešení kompletních čtvercových rovnic a tento výraz je přesně takový, nemůže být proveden stejným způsobem. Proč? Ačkoliv levá strana je stále obsahuje dva faktory, produkt není vůbec stejná 0, takže zde používají jiné metody.

Diskriminační

Za prvé, budeme vyrábět potřebnou konverzi, pak vzhled tohoto exprese bude vypadat takto: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znamená, že máme výraz ve formě odpovídajícím dříve specifikovaném standardu, kde A \u003d 1, b \u003d 16, C \u003d -612.

To může být příkladem řešení čtvercových rovnic skrze diskriminaci. Zde jsou požadované výpočty vyrobeny podle schématu: D \u003d B 2 - 4AC. Tato pomocná hodnota není možné najít požadované hodnoty ve druhém pořadí rovnici, určuje číslo možnosti možností. Ve věci d\u003e 0, existují dva; Když D \u003d 0 je jeden kořen. V případě D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorci

V našem případě je diskriminační: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To naznačuje, že odpověď z našeho úkolu existuje. Pokud víte, K, řešení čtvercových rovnic musí pokračovat pomocí vzorce níže. To vám umožní spočítat kořeny.

To znamená, že v předloženém pouzdru: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druhá verze v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v negativních hodnotách, to znamená x (tj. Šířka místa) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 + 16 \u003d 34 a obvod 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Příklady a cíle

Pokračujeme ve studiu čtvercových rovnic. Příklady a podrobné řešení několika z nich bude dáno později.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Přeneseme všechno do levé části rovnosti, uděláme transformaci, to znamená, že jsme získali formu rovnice, která se nazývá standard, a vyrovnat ji s nulou.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po skládání, definujeme diskriminaci: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Takže naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítáme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich je 4/3 a druhý.

2) Nyní odhalte hádanky jiného druhu.

Zjistěte, že zde existují kořeny x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pro získání komplexní reakce dáváme polynom na vhodnou obeznámenost a vypočítat diskriminaci. Ve stanoveném příkladu není nutné řešení čtvercové rovnice, protože podstatu úkolu není vůbec. V tomto případě D \u003d 16 - 20 \u003d 4, což znamená, že nejsou opravdu žádné kořeny.

Vieta teorém

Čtvercové rovnice jsou vhodně řešeny přes výše uvedené vzorce a diskriminační, když se druhá odmocnina extrahuje z poslední hodnoty. Ale to není vždy. Existuje však mnoho způsobů, jak získat proměnné v tomto případě. Příklad: řešení čtvercových rovnic na větu Vieta. Je pojmenována, po které žil ve století XVI ve Francii a udělala skvělou kariéru kvůli jeho matematickému talentu a nádvoří. Portrét může být viděn v článku.

Vzor, který známý známý, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice v množství jsou numericky stejné -P \u003d b / a a jejich produkt odpovídá Q \u003d C / A.

Zvažte konkrétní úkoly.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pro jednoduchost transformujeme výraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Používáme Vieta teorém, dá nám následující: množství kořenů je -7 a jejich práce -18. Odtud získáme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po provedení kontroly se ujistěte, že tyto hodnoty proměnných jsou opravdu vhodné ve výrazu.

Graf a parabola rovnice

Koncepce Kvadratická funkce a čtvercové rovnice jsou úzce spojeny. Příklady již byly uvedeny dříve. Nyní zvažte některé matematické hádanky o něco více. Jakákoliv rovnice popsaného typu je možné si představit. Podobná závislost nakreslená ve formě grafu se nazývá parabola. Její různé typy jsou zobrazeny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tj. Bod, ze kterého vyjdou své větve. V případě, že\u003e 0 odjíždí vysoko v nekonečnu, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální obrazy funkcí pomáhají vyřešit jakékoliv rovnice, včetně čtverce. Tato metoda se nazývá grafika. A hodnota proměnné X je souřadnic APSCISSA v bodech, kde se graf grafu překročí od 0x. Souřadnice vrcholů lze nalézt podle jediného vzorce X 0 \u003d -B / 2a. A nahrazení výsledné hodnoty do počáteční rovnice funkce, můžete se naučit Y 0, tj. Druhá souřadnice Pearabol vrchol patřící k osy ordinátu.

Přechod větví paraboly s osou abscisy

Příklady s řešeními čtvercových rovnic jsou velmi, ale existují obecné vzory. Zvážit je. Je zřejmé, že křižovatka grafu s osou 0x v A\u003e 0 je možné pouze tehdy, pokud 0 přijímá záporné hodnoty. A pro A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Podle grafu mohou být paraboly definovány a kořeny. Opak je také pravdivý. To znamená, že pokud máte vizuální obraz kvadratické funkce není snadné, můžete rovnat pravou stranu exprese na 0 a vyřešit výslednou rovnici. A znají průsečíkové body s osou 0x, je snazší vybudovat plán.

Z historie

S pomocí rovnic obsahujících proměnnou zvednutou na čtverce, ve starých časech nejen matematické výpočty a určily oblast geometrických obrázků. Podobné výpočty starověkých byly potřebné pro velké objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako kompilovat astrologické prognózy.

Vzhledem k tomu, že postavy moderních věd naznačují, mezi prvními řešením čtvercových rovnic, obyvatelé Babylonu vzali. Stalo se to ve čtyřech stoletích před nástupem naší éry. Samozřejmě, jejich výpočty v kořeni se lišily od nyní přijatých a ukázaly být mnohem primitivní. Například Mesopotamian matematici neměli ponětí o existenci negativních čísel. Strangers také měli další jemnosti od těch, kteří znají každý student naší doby.

Snad ještě dřívější vědci Babylonu, řešení čtvercových rovnic, mudrc z Indie Budhoyama byl zapojen. Stalo se to asi za osm století před éry Krista. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které vedly, bylo nejvíce simultánní. Kromě něj se tyto otázky zajímaly o staré a čínské matematiky. V Evropě se čtvercové rovnice začaly řešit pouze v počátku XIII století, ale později byli používáni ve své práci tak velkými vědci jako Newton, Descartes a mnoho dalších.