Čtvercové rovnice s sinusem a kosinem. Trigonometrické rovnice
souhrn Teoretické otázky diferencovaného hostitele
Pro studenty 1 kurzu
Speciality 23.02.03 " Údržba a opravy automobilové dopravy "
Rovnice. Kořen rovnice. Co to znamená "vyřešit rovnici"?
Rovnice je rovnost obsahující proměnnou.
Kořen rovnice je hodnota proměnné, která při jeho nahrazení do rovnice jej zapne do správné numerické rovnosti.
Řešení rovnice je najít všechny jeho kořeny nebo dokázat, že neexistují žádné kořeny.
Systém rovnic je kombinace dvou nebo více rovnic se dvěma a více neznámými; Řešení jednoho z rovnic je navíc současně roztokem všech ostatních.
Typy rovnic a jejich řešení: lineární, náměstí.
Lineární rovnice - Jedná se o rovnice formy: AH + B \u003d 0, kde A a B jsou trvalé. Pokud není rovna nule, rovnice má jeden jeden kořen: X \u003d - B: A. Je-li A je nula a B je nula, pak kořen AH + B \u003d 0 rovnice je libovolný počet. Pokud A je nula, a B není nula, pak rovnice AH + B \u003d 0 nemá kořeny.
Metody řešení lineárních rovnic
1) Identické transformace
2) Grafická metoda.
Kvadratická rovnice - Toto je rovnice typu sEKERA. 2 + bx. + c. \u003d 0, kde koeficienty a., b. a c. - libovolná čísla a ≠ 0.
Nechte čtvercovou rovnici sEKERA. 2 + bx. + c. \u003d 0. Pak je diskriminační číslo D. = b. 2 − 4střídavý.
1. If. D. < 0, корней нет;
2. Pokud. D. \u003d 0, existuje přesně jeden kořen;
3. If. D. \u003e 0, kořeny budou dva.
Pokud diskriminační D\u003e 0, kořeny lze nalézt podle vzorců: kořeny čtvercová rovnice. Vlastně jsme se obrátíme k rozhodnutí. Pokud diskriminační D. \u003e 0, kořeny lze nalézt podle vzorců:
Řešení nejjednodušších trigonometrických rovnic
Obecný pohled na řešení COS X \u003d rovnice, kde | a | ≤ 1, určený vzorcem:
x \u003d ± ARCCOS (A) + 2πk, K ∈ Z (celá čísla), s | a | \u003e 1 cos x \u003d rovnice nemá žádné řešení mezi reálnými čísly.
Obecný pohled na řešení Sin X \u003d rovnice, kde | a | ≤ 1, určený vzorcem:
x \u003d (- 1) k · arcsin (a) + πk, k ∈ Z (celá čísla), s | a | \u003e 1 Rovnice Sin X \u003d A nemá řešení mezi reálnými čísly.
Obecný typ roztoku rovnice TG X \u003d A je určen vzorcem:
x \u003d arktg (a) + πk, k ∈ Z (celá čísla).
Obecný pohled na řešení CTG X \u003d rovnice je určena vzorcem:
x \u003d arcctg (a) + πk, k ∈ Z (celá čísla).
Řešení lineárních trigonometrických rovnic
Lineární trigonometrické rovnice mají tvar k * f (x) + b \u003d 0, kde f (x) je trigonometrická funkce a k a b - platná čísla.
Řešení rovnice vede k nejjednoduššímu typu identické transformace
Řešení lineárních - kombinovaných trigonometrických rovnic
Linearly kombinované trigonometrické rovnice mají tvar f (kx + b) \u003d a, kde f (x) je trigonometrická funkce, a, k a b - platná čísla.
Pro vyřešení rovnice je zavedena nová proměnná Y \u003d kx + b. Výsledná nejjednodušší trigonometrická rovnice vzhledem k Y a produkuje zpětnou výměnu.
Řešení trigonometrických rovnic pomocí vzorce
Řešení trigonometrických rovnic trigonometrické identity
Při řešení trigonometrických rovnic, které nejsou nejjednodušší, jsou identické transformace prováděny podle následujících vzorců:
Řešení čtvercových trigonometrických rovnic
Výrazné rysy rovnic snížených na čtverec:
Rovnice obsahuje trigonometrické funkce z jednoho argumentu nebo snadno se sníží na jeden argument.
V rovnici existuje pouze jedna trigonometrická funkce nebo všechny funkce lze snížit na jeden.
Algoritmus řešení:
Substituce se provádí.
Provádí se transformace exprese.
Zadání označení (například SINX \u003d Y).
Čtvercová rovnice je vyřešena.
Hodnota určené hodnoty je substituovaná a trigonometrická rovnice je vyřešena
Moskevské ministerstvo školství
Státní rozpočet Professional.
Vzdělávací instituce města Moskvy
"Polytechnicova technická škola č. 47 pojmenovaná po VG Fedorov"
Lekce
na disciplíně matematiky
"Trigonometrické rovnice snížené na čtverec"
Učitel
Protasevich Olga Nikolaevna
PROFESE: Hardware a software
DISCIPLÍNA : Matematika
KURS : 1
SEMESTR : 2
SKUPINA :
Téma lekce:
"Trigonometrické rovnice se snížily na čtverec."
Typ lekce: kombinovaná lekce
Forma lekce: Kolektivní výcvik podle metody V.K. Dyachenko
(výcvik v malých skupinách)
Cíle Lekce:
Vzdělání - Zvažte obecné přístupy, shrnují informace o typech a metodách řešení trigonometrických rovnic, které jsou sníženy na čtverec; Vytvořit dovednosti a dovednosti aplikovat znalosti při řešení základních rovnic a využívání znalostí získaných v profesních činnostech.
Rozvíjející se - podporovat rozvoj logické myšlení Pro studenty, rozvíjet schopnost analyzovat, rozum, porovnat, vyvodit závěry, chápání materiálu;
Vzdělávací - Vzdělávání kognitivního zájmu, prvky kultury komunikace, povzbuzují studenty za překonání obtíží v procesu duševní činnosti, formování pracovních dovedností v pracovním a školícím týmu.
Úkola:
Seznámit se s hlavními typy a metodami řešení trigonometrických rovnic snížených na čtverec.
Poskytování (prostředky):
Hardware: Počítač, multimediální projektor.
Software:Microsoft.Vynikat.
Základní pojmy:
Kvadratická rovnice; nejjednodušší trigonometrické rovnice; inverzní trigonometrické funkce; Trigonometrické rovnice snížené na čtverec.
Literatura:
Bashmakov M.I. Matematika: tutoriál pro primární a střední odborné vzdělávání.- m.; "Akademie", 2010. - 256 p.
Dyachenko V. K. - M.; " Populární vzdělávání", 2001. - 496 p.
Bashmakov M.I. Matematika: Kniha pro učitele. Metodická příručka. - M.; « Akademie ", 2013-224 p.
Elektronické zdroje:
Materiály stránky Sociální a pedagogický pohyb Chcete-li vytvořit kolektivní způsob školení:www.kco-kras.ru.
Lekce stadia
Organizující čas.
Zkontrolujte domácí úkoly.
Aktualizace referenčních znalostí.
Studovat nový materiál.
Konsolidace a systematizace získaných znalostí.
Odraz. Shrnutí. Domácí práce.
Během tříd
Organizující čas.
Učitel klade cíle lekce před studentem:
1) se seznámí s hlavními typy trigonometrických rovnic snížených na čtvercové;
2) Úvod s typickými metodami řešení trigonometrických rovnic snížených na čtverec.
3) učit uplatňovat znalosti a dovednosti k řešení standardních rovnic;
4) učit práci s uvedenými informacemi různé formy, provádět vzájemné řízení a sebeovládání, aplikovat znalosti získané v odborných činnostech.
II. . Zkontrolujte domácí úkoly.
Učitel obsahuje "domácí úkoly" prezentace, podle které studenti nezávisle kontrolují domácí úkoly, v případě potřeby provádět změny a opravy do práce.
Na žádost vyškoleného, \u200b\u200bučitel komentuje řešení rovnic, které způsobily potíže, po kterých oznamuje jména studentů, kteří na konci lekce testují notebook.
№ 1
Odpovědět:
№ 2
Odpovědět:
№ 3
Odpovědět:
№ 4
protože pak kořenová rovnice nemá
Odpověď: Žádné kořeny
№ 5
Odpovědět:
№ 6
Odpovědět:
III. . Aktualizace referenčních znalostí.
Učitel tvoří vzdělávací skupiny / páry a nabídky vydaných formulářů k vytvoření korespondence mezi rovnicemi a odpovědí: "Máte snímek s učením. Nainstalujte korespondenci mezi rovnicemi (levou částí tabulky) a odpovědí (pravá část tabulky). Zapište si počet věrných párů příkazů v poznámkovém bloku. "
Zadané úkoly jsou duplikovány na uvedené prezentaci.
Sada dodržování
p / p.
Rovnice
p / p.
Odpovědět
Žádné kořeny
Na konci práce učitel frokly dotazuje zástupce skupin, po kterém zahrnuje prezentační stránku se správnými řešeními.
Správné odpovědi
p / p.
Rovnice
p / p.
Odpovědět
Žádné kořeny
Žádné kořeny
11.
13.
10.
12.
IV. . Studovat nový materiál.
Učitel obsahuje prezentaci nového materiálu "trigonometrické rovnice snížené na čtverec. Typy rovnic a metod jejich řešení. "
Nabídne studentovi, aby zaznamenal potřebné práce a začne se vyjádřit k každému snímku, po kterém obsahuje prezentaci.
Zavedeme koncept:
Obecný pohled na čtvercovou rovnici:
1 Typ trigonometrických rovnic snížených na čtvercové rovnice, algebraické vzhledem k jednomu z trigonometrických funkcí.
Učitel vysvětluje, jak řešit.
1. Přímé substituce
Výměna, nahrazení ,
a
Žádné kořeny
Odpovědět:
Podobné řešení má rovnici zobrazení
Výměna, nahrazení
Výměna, nahrazení
2. Eurasiony vyžadující konverzi vzorcem trigonometrické jednotky
Výměna, nahrazení , pak se rovnice zaujímá pohled
a
Žádné kořeny
Odpovědět:
Podobné řešení má rovnici formuláře:
nahradit , použití trigonometrické jednotky vzorce
.
Dostáváme rovnici obsahující pouze jednu trigonometrickou funkci :
Výměna, nahrazení
3. Eurasiony vyžadující konverzi podle komunikačního vzorce tgx. a z tgx.
Používáme vzorec:
Vynásobte rovnici
Výměna, nahrazení , pak se rovnice zaujímá pohled
a
Odpovědět:
2 typu trigonometrické rovnice snížené na čtverec- Homogenní rovnice, ve kterých každý termín má stejný stupeň.
Rozdělujeme rovnici na základě
Výměna, nahrazení , pak se rovnice zaujímá pohled
a
Odpovědět:
Učitel navrhuje shrnout předložený materiál a zeptá se otázky: "Kolik typů jsou trigonometrické rovnice, které jsou zaseknuté na náměstí? Jejich jména? Jméno Jak řešit trigonometrické rovnice, které jsou sníženy na čtverec. "
Učitel odešle akce studenta při přípravě algoritmu pro řešení rovnic tohoto typu.
Trigonometrické rovnice redukované na čtvercové jsou rozděleny do dvou hlavních typů:
tgx. a z tgx. :
2 typ - homogenní rovnice, ve kterých má každý ukrytý stejný stupeň:
Učitel je upraven Algoritmus řešení:
1. Určete typ rovnice. V případě potřeby převeďte rovnici tak, aby byla v něm přítomna pouze jedna trigonometrická funkce. Chcete-li to provést, vyberte požadovaný vzorec: nebonebo odizolován
2. Zavedená výměna (například, SINX \u003d. t. , cosx. = t. , tgx. = t. ).
5. Napište odpověď.
Pro zajištění získaných znalostí, učitel navrhuje stanovit korespondenci mezi rovnicemi a možnými metodami jejich řešení: "Máte snímek s studijním úkolem.
1. Proveďte klasifikaci rovnic rozhodovacími metodami podle níže uvedené tabulky.
(Možnosti tištěné tabulky jsou na vašich tabulkách).
2. Do příslušného grafu vložte číslo metody řešení.
Vyplňte tabulku ".
Práce se provádí ve dvojicích.
p / p.
Rovnice
metoda
Metody:
1) Zadejte novou proměnnou.
2) Zadejte novou proměnnou
3) Zadejte novou proměnnou.
4) Převést rovnici použitím vzorce zadejte novou proměnnou.
5) Převést rovnici použitím vzorce, zadejte novou proměnnou.
6) Rozdělte každý člen rovnice, zadejte novou proměnnou.
7) Převést rovnici použitím vzorce, vynásobte členy rovnice, zadejte novou proměnnou.
Kontrola úkolu se provádí ve formě frontální konverzace.
Přednášející: "Máte skluzu se správnými odpověďmi na studijní úkol . Proveďte šek, s odkazem na správné odpovědi na úkol učení. Proveďte práci na chybách v poznámkovém bloku. "
Polotovary s úkoly jsou shromažďovány na konci lekce.
p / p.
Rovnice
metoda
2
4
2
1
7
1
3
5
6
3
6
2
6
Vi. . Konsolidace a systematizace získaných znalostí.
Učitel nabízí studentům pokračovat ve spolupráci ve skupinách.
Přednášející: "Rozhodnout rovnice. Zkontrolujte výsledek v editoru Microsoft. Vynikat . Na konci rozhodnutí, zástupce skupiny jde na vzdělávací radu a představuje řešení rovnice provedené skupinou. " Učitel ověřuje řešení, hodnotí práci skupiny a v případě potřeby označuje chyby. "
Učitel:
1 ) Diskutujte o způsobech, jak vyřešit ve skupině.
2) Zapište si řešení a výslednou odpověď na notebook.
3) Proveďte kontrolu výsledku v editoru Microsoft. Vynikat .
4) Oznámte připravenost učitele.
5) Vysvětlete své rozhodnutí zapisováním na správní radě, členy jiných skupin.
6) zamyšleně poslouchat představení soudruzích, v případě potřeby klást otázky.
Bojové skupiny, které splňují úkoly v plném rozsahu, navrhuje se provádět úkol jiných skupin. Složení úspěšných skupin je podporováno zvýšením konečného skóre na jednotku.
První skupina:
Používáme vzorec:
a
Žádné kořeny
protože
Odpovědět:
Druhá skupina:
Používáme vzorec:
Výměna, pak rovnice má formu
a
Odpovědět:;
Třetí skupina:
Používáme vzorec:
Vynásobte rovnici
Výměna, pak rovnice má formu
a
Odpovědět:
Čtvrtá skupina:
Rozdělujeme rovnici na základě
Výměna, pak rovnice má formu
a
Odpovědět:
Pátá skupina:
Výměna, pak rovnice má formu
a
Odpovědět:; .
Vii. . Odraz. Shrnutí. Domácí práce.
Přednášející: Shrnutí své práce, korelovat výsledky vaší činnosti s cílem.
Opakovat koncepce:
"Trigonometrické rovnice, které, s pomocí konverze a nahrazení proměnné, jsou uvedeny na čtverce, se nazývají trigonometrické rovnice, které jsou sníženy na čtverec."
1 typ - rovnice, algebraické vzhledem k jednomu z trigonometrických funkcí:
- přímá substituce - nahrazení nebo;
- rovnice vyžadující konverzi vzorcem trigonometrické jednotky;
- rovnice vyžadující konverzi komunikačním vzorcem tgx. a S. tgx. :
2 typ - homogenní rovnice, ve kterých každý termín má stejný stupeň: rozdělili jsme rovnici, pak nahrazení.
Algoritmus řešení:
1. Určete typ rovnice. V případě potřeby převeďte rovnici tak, aby byla v něm přítomna pouze jedna trigonometrická funkce.
Chcete-li to provést, vyberte požadovaný vzorec:
nebo nebo odizolován
2. Výměna je zadána (například SINX \u003d t. , cosx. = t. , tgx. = t. ).
3. Rozhodněte se o čtvercové rovnici.
4. Provádí se reverzní výměna a nejjednodušší trigonometrická rovnice je vyřešena.
5. Napište odpověď.
Učitel hodnotí pracovníci stážistů, vzdělávacích skupin a oznamuje hodnocení.
Přednášející: "Zapište si domácí práce: Bashmakov M.I. Matematika: učebnice pro primární a sekundární prof. Vzdělávání. - M.; "Akademie", 2010. Stránka 114-115. V místnosti 10, řešení rovnic 4,5,7,9. Page 118. Proveďte kontrolu výsledku v editoru Microsoft. Vynikat ».
Při řešení mnoha matematické úkolyZvláště ty, se kterými se setkávají do 10 třídy, postup pro provedené akce, které povede k cíli, je rozhodně definován. Tyto úkoly zahrnují například lineární a čtvercové rovnice, lineární a čtvercové nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, které se sníží na čtverec. Zásada úspěšného řešení každého z uvedených úkolů je následující: je nutné stanovit, jak typ je vyřešený úkol, připomenout potřebný posloupnost akcí, které povedou požadovaný výsledek. Odpovědět a provádět tyto akce.
Je zřejmé, že úspěch nebo neúspěch při řešení jednoho nebo jiného úkolu závisí především na tom, jak správně je typ rovnice definován, jak správně je reprodukována sekvence všech fází jeho roztoku. Samozřejmě je nutné vlastnit dovednosti provádění totožných transformací a výpočtů.
Další situace se získá trigonometrické rovnice. Stanovte skutečnost, že rovnice je trigonometrická, absolutně není obtížná. Potíže se objevují při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.
Podle vzhledu rovnice, někdy je obtížné určit svůj typ. A neví o typu rovnice, je téměř nemožné vybrat si z několika tucet trigonometrických vzorců nezbytných.
Chcete-li vyřešit trigonometrickou rovnici, musíte zkusit:
1. Vytvořte všechny funkce obsažené v rovnici do "stejných rohů";
2. Vytvořte rovnici k "identickým funkcím";
3. Položte levou část tovární rovnice atd.
Zvážit základní metody řešení trigonometrických rovnic.
I. Přináší nejjednodušší trigonometrické rovnice
Schematické řešení
Krok 1. Expresní trigonometrická funkce prostřednictvím známých komponent.
Krok 2. Najít funkci argumentu podle vzorců:
cos x \u003d a; X \u003d ± ARCCOS A + 2πn, n єz.
sIN X \u003d A; X \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є Z.
tg x \u003d a; X \u003d arktg a + πn, n є z.
cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.
Krok 3. Najděte neznámou proměnnou.
Příklad.
2 cos (3x - π / 4) \u003d--√2.
Rozhodnutí.
1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.
2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є Z;
3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.
3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є Z;
x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є Z;
x \u003d ± ± / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є Z.
Odpověď: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є Z.
II. Výměna proměnné
Schematické řešení
Krok 1. Vytvořte rovnici k algebraické formě vzhledem k jednomu z trigonometrických funkcí.
Krok 2. Určete výslednou funkci proměnné t (v případě potřeby zadejte omezení na t).
Krok 3. Záznam a vyřešit výslednou algebraickou rovnici.
Krok 4. Udělat náhradu.
Krok 5. Vyřešte nejjednodušší trigonometrickou rovnici.
Příklad.
2COS 2 (X / 2) - 5SIN (X / 2) - 5 \u003d 0.
Rozhodnutí.
1) 2 (1 - hřích 2 (x / 2)) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0;
2SIN 2 (x / 2) + 5SIN (x / 2) + 3 \u003d 0.
2) Nechte hřích (x / 2) \u003d t, kde | t | ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;
t \u003d 1 nebo e \u003d -3/2, nesplňuje podmínku | t | ≤ 1.
4) hřích (x / 2) \u003d 1.
5) X / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є Z;
x \u003d π + 4πn, n є Z.
Odpověď: X \u003d π + 4πn, n є Z.
III. Způsob spouštění pořadí rovnice
Schematické řešení
Krok 1. Vyměňte tuto lineární rovnici pomocí vzorce redukce stupně:
hřích 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);
cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2. Vyřešte získanou rovnici pomocí metod I a II.
Příklad.
cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.
Rozhodnutí.
1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.
2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;
3/2 · cos 2x \u003d 3/4;
2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є Z;
x \u003d ± π / 6 + πn, n є Z.
Odpověď: X \u003d ± π / 6 + πn, n є Z.
IV. Jednotné rovnice
Schematické řešení
Krok 1. Přineste tuto rovnici formulář
a) hřích x + b cos x \u003d 0 (homogenní rovnice prvního stupně)
nebo na dohled
b) hřích 2 x + b sin x · cos x + cos cos 2 x \u003d 0 (homogenní rovnice druhého stupně).
Krok 2. Rozdělit obě části rovnice
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
a získat rovnici vzhledem k TG X:
a) A TG X + B \u003d 0;
b) tg 2 x + b arcteg x + c \u003d 0.
Krok 3. Řešit rovnici známými metodami.
Příklad.
5Sin 2 x + 3Sin X · Cos X - 4 \u003d 0.
Rozhodnutí.
1) 5Sin 2 x + 3Sin X · Cos X - 4 (SIN 2 X + COS 2 x) \u003d 0;
5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4SIN? X - 4COS 2 x \u003d 0;
sIN 2 x + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.
2) Tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.
3) Pak tg x \u003d t, pak
t 2 + 3t - 4 \u003d 0;
t \u003d 1 nebo t \u003d -4, pak
tg x \u003d 1 nebo tg x \u003d -4.
Z první rovnice X \u003d π / 4 + πn, n є Z; Z druhé rovnice x \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.
Odpověď: X \u003d π / 4 + πn, n є Z; x \u003d -Arctg 4 + πk, k є Z.
V. Způsob konverze rovnice pomocí trigonometrických vzorců
Schematické řešení
Krok 1. Za použití všech druhů trigonometrických vzorců vedou tuto rovnici k rovnici, řešené metody I, II, III, IV.
Krok 2. Vyřešte výslednou rovnici známé metody.
Příklad.
sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.
Rozhodnutí.
1) (Hřích x + hřích 3x) + hřích 2x \u003d 0;
2Sin 2x · Cos X + SIN 2x \u003d 0.
2) sIN 2X · (2COS x + 1) \u003d 0;
hřích 2x \u003d 0 nebo 2COS x + 1 \u003d 0;
Z první rovnice 2x \u003d π / 2 + πn, n є Z; Z druhé rovnice cos x \u003d -1/2.
Máme X \u003d π / 4 + πn / 2, n є Z; Z druhé rovnice X \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є Z.
Výsledkem je X \u003d π / 4 + πn / 2, n є Z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є Z.
Odpověď: X \u003d π / 4 + πn / 2, n є Z; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є Z.
Dovednosti a dovednosti k řešení trigonometrických rovnic jsou velmi 
důležité, jejich vývoj vyžaduje značné úsilí, a to jak studentem, tak ze učitele.
S řešením trigonometrických rovnic, mnoho výzev stereometrie, fyziky a dalších je spojeno s procesem řešení takových úkolů, jak to bylo, dospěla k závěru mnoho znalostí a dovedností, které jsou zakoupeny ve studii prvků trigonometrie.
Trigonometrické rovnice zabírají důležité místo v procesu učení matematiky a rozvoj osobnosti jako celku.
Máte otázky? Nevím, jak řešit trigonometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc učitele - registrovat.
První lekce je zdarma!
místo, s plným nebo částečným kopírováním materiálu odkazu na původní zdroj je vyžadován.
Podrobné řešení můžete objednat svůj úkol !!!
Rovnost obsahující neznámou trigonometrickou funkci (`hřích x, cos x, tg x`` nebo` ctg x`) se nazývá trigonometrická rovnice, budeme dále zvažovat jejich vzorce.
Nejjednodušší se nazývají rovnice `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, kde` x` je úhel k vyhledání, `a` - libovolné číslo. Píšeme pro každý z nich vzorec kořeny.
1. Rovnice `sin x \u003d a`.
S `| a |\u003e 1` nemají řešení.
S `| a | Leq 1` má nekonečný počet řešení.
Formula kořeny: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + pi n, n"
2. Rovnice `cos x \u003d a`
S `| a |\u003e 1` - jako v případě sinusu nejsou mezi platnými čísly žádná řešení.
S `| a | Leq 1` má nekonečná nastavení řešení.
Formula kořeny: `x \u003d PM ARCCOS A + 2 PI N, N Z`
Soukromé případy pro Sinus a Cosine v grafech. 
3. Rovnice `tg x \u003d a`
Má nekonečný soubor řešení pro všechny hodnoty `a`.
Vzorec kořenů: `x \u003d arktg a + pi n, n v Z`
4. Rovnice `CTG X \u003d A`
Má také nekonečnou sadu řešení pro všechny hodnoty `a`.
Formula kořeny: `x \u003d arcctg a + pi n, n v Z`
Vzorce kořenů trigonometrických rovnic v tabulce
Pro sinus: 
Pro Cosine: 
Pro tangent a Kotnence: 
Vzorce pro řešení rovnic obsahujících inverzní trigonometrické funkce:
Metody řešení trigonometrických rovnic
Řešení jakékoliv trigonometrické rovnice se skládá ze dvou fází:
- převedením na nejjednodušší;
- vyřešit výslednou nejjednodušší rovnici pomocí výše uvedených písemných vzorců kořenů a tabulek.
Zvažte základní metody řešení na příkladech.
Algebraická metoda.
V této metodě je proměnná nahrazena a jeho substituci do rovnosti.
Příklad. Řešení rovnice: `2COS ^ 2 (x + frac pi 6) -3sin (frac pi 3 - x) + 1 \u003d 0```
`2COS ^ 2 (x + frac pi 6) -3cos (x + frac pi 6) + 1 \u003d 0`
děláme náhradu: `cos (x + frac pi 6) \u003d y`, pak "2Y ^ 2-3y + 1 \u003d 0",
nacházíme kořeny: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, ze kterého následují dvě případy:
1. `cos (x + frac pi 6) \u003d 1`,` x + frac pi 6 \u003d 2 pi n `,` x_1 \u003d - frac pi 6 + 2 pi n`.
2. `cos (x + frac pi 6) \u003d 1/2`,` x + frac pi 6 \u003d pm arccos 1/2 + 2 pi n`, `x_2 \u003d pm pi 3- frac pi 6 + 2 pi n`.
Odpověď: `x_1 \u003d - frac pi 6 + 2 pi n`, `x_2 \u003d pm frac pi 3- frac pi 6 + 2 pi n`.
Faktorizace.
Příklad. Řešení rovnice: `sin x + cos x \u003d 1`.
Rozhodnutí. Přesunout všechny členy rovnosti: `Sin x + COS X-1 \u003d 0`. Pomocí, transformujeme a rozkládáme levou část:
`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`
`2Sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`
`2Sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`
- `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d pi n`, `x_1 \u003d 2 pi n`.
- `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arcteg 1+ pi n`,` x / 2 \u003d pi / 4 + pi n `, `x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.
Odpověď: `x_1 \u003d 2 pi n`,` x_2 \u003d pi / 2 + 2 pi n`.
Přináší homogenní rovnici
Zpočátku by tato trigonometrická rovnice měla být uvedena do jednoho ze dvou typů:
`Sin X + B Cos X \u003d 0 (homogenní rovnice prvního stupně) nebo SIN ^ 2 x + B SIN X COS X + COS COS ^ 2 x \u003d 0` (homogenní rovnice druhého stupně).
Pak rozdělte obě části na "COS X NE 0" - pro první případ, a na "COS ^ 2 X NE 0" - pro druhou. Získáváme rovnici vzhledem k TG X`: `A TG X + B \u003d 0 a" A TG ^ 2 x + B TG X + C \u003d 0 ", které potřebujete řešit známé metody.
Příklad. Řešení rovnice: `2 SIN ^ 2 x + SIN X COS X - COS ^ 2 x \u003d 1`.
Rozhodnutí. Píšeme pravou stranu jako `1 \u003d hřích ^ 2 x + cos ^ 2 x`:
`2 SIN ^ 2 x + SIN X COS X - COS ^ 2 x \u003d` `SIN ^ 2 x + cos ^ 2 x`,
`2 SIN ^ 2 x + SIN X COS X - COS ^ 2 x-` `Sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`
`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.
Jedná se o homogenní trigonometrickou rovnici druhého stupně, rozdělujeme jeho levé a pravé části pro `cos ^ 2 x n 0, dostaneme:
`Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``
`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Zavedeme náhradu `tg x \u003d t`, v důsledku" t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Kořeny této rovnice: `t_1 \u003d -2` a` t_2 \u003d 1`. Pak:
- `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arktg (-2) + pi n `,` n \\ t
- `Tg x \u003d 1`,` x \u003d arcteg 1+ pi n`, `x_2 \u003d pi / 4 + pi n`, `n \\ v z`.
Odpovědět. `x_1 \u003d arktg (-2) + pi n`, `n in z`,` x_2 \u003d pi / 4 + pi n `,` n \\ v z`.
Přechod na půl rohu
Příklad. Řešení rovnice: `11 hřích x - 2 cos x \u003d 10`.
Rozhodnutí. Aplikujte dvojité úhelní vzorce, v důsledku toho: `22 hřích (x / 2) cos (x / 2)-` `2 cos ^ 2 x / 2 + 2 hřích ^ 2 x / 2 \u003d` `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2
`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`
Použití algebraické metody popsané výše, dostaneme:
- `Tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arktg 2 + 2 pi n`, `n \\ v z`,
- `Tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arktg 3/4 + 2 pi n`, `n \\ v z`.
Odpovědět. `x_1 \u003d 2 arktg 2 + 2 pi n, n v z`,` x_2 \u003d arcteg 3/4 + 2 pi n`, `n \\ v z`.
Zavedení pomocného rohu
V trigonometrické rovnici "Sin X + B Cos X \u003d C`, kde A, B, C - koeficienty a X je proměnná, rozdělujeme obě části na" SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) `:
`Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) hřích x +` `` frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d `` `frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.
Koeficienty v levé části mají vlastnosti sinusu a kosinu, a to součet jejich čtverců rovných 1 a jejich moduly nejsou více než 1. označují je následujícím způsobem: `Frac A (SQRT (A ^ 2 + B) ^ 2)) \u003d cos \\ t Varfi`, `frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d hřích \\ tHRPHI`,` Frac C (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d C `, pak:
`COS Varphi Sin X + Sin Varphi Cos X \u003d C`.
Podívejme se podrobněji v následujícím příkladu:
Příklad. Řešení rovnice: `3 hřích x + 4 cos x \u003d 2`.
Rozhodnutí. Vydělujeme obě části rovnosti na "SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, dostaneme:
`Frac (3 hřích x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `
`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5".
Označte `3/5 \u003d cos \\ tRphi`,` 4/5 \u003d hřích \\ tRphi`. Od `hříchu\u003e 0,` cos \\ tRphi\u003e 0, pak jako pomocný úhel, vzít `varphi \u003d arcsin 4/5". Pak naše rovnost bude psát ve formuláři:
`Cos-Varphi Sin X + Sin Varphi cos x \u003d 2/5
Použitím součtu součtu rohů pro sinus vypíšeme naši rovnost v následujícím formuláři:
`hřích (x + varphi) \u003d 2/5
`X + varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + pi n`,` n \\ v z`,
`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` pi n`, `n \\ t
Odpovědět. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` pi n`, `n \\ t
Fractional-racionální trigonometrické rovnice
Jedná se o rovnost s frakcemi, v čitatelích a jmenovateli, z nichž existují trigonometrické funkce.
Příklad. Řešit rovnici. `Frac (hřích x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x".
Rozhodnutí. Vynásobte a rozdělte pravou stranu rovnosti na `(1 + cos x )`. V důsledku toho se dostaneme:
`Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`
`Frac (hřích x) (1 + cos x) \u003d` `frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`
`Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `frac (hřích ^ 2 x) (1 + cos x)`
`Frac (hřích x) (1 + cos x) -``" frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`
`Frac (hřích x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`
Vzhledem k tomu, že denominátor je roven, že je nula nemůže, dostaneme `1 + COS X NE 0,` COS X NE -1`, `X NE + 2 PI N, N Z`.
Srovnáváme s nulovým frakcí numerátoru: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Pak `sin x \u003d 0` nebo" 1-sin x \u003d 0`.
- `sin x \u003d 0`,` x \u003d pi n `,` n \\ v z`
- `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n, n v z`.
Vzhledem k tomu, že `x , `n v z`.
Odpovědět. `x \u003d 2 pi n`,` n v z`, `x \u003d pi / 2 + 2 pi n`, `n \\ v z`.
Zejména trigonometrie a trigonometrické rovnice se používají téměř v téměř všech sfér geometrie, fyziky, inženýrství. Studium v \u200b\u200b10. ročníku začíná, úkoly jsou nutně přítomny pro zkoušku, takže se pokuste vzpomenout na všechny vzorce trigonometrických rovnic - určitě vás použijí!
Nicméně, není nutné si je pamatovat, hlavní věc je pochopit podstatu, a být schopen odstoupit. Není to těžké, jak se zdá. Nezapomeňte sledovat video.
Lekce a prezentace na toto téma: "Řešení nejjednodušších trigonometrických rovnic"
Další materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte opustit své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.
Příručky a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úkoly geometrie. Interaktivní stavební úkoly ve vesmíru
Software Středa "1C: Matematický návrhář 6.1"
Co budeme studovat:
1. Co je to trigonometrické rovnice?
3. Dvě základní metody pro řešení trigonometrických rovnic.
4. Jednotné trigonometrické rovnice.
5. Příklady.
Co je to trigonometrické rovnice?
Kluci jsme již studovali Arksinus, Arkkosinus, arkilgent a arkkothangence. Nyní se podívejme na trigonometrické rovnice obecně.
Trigonometrické rovnice - rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod náznakem trigonometrické funkce.
Opakujeme typ řešení nejjednodušších trigonometrických rovnic:
1) Pokud | A | ≤ 1, pak COS Rovnice (X) \u003d A má řešení:
X \u003d ± ARCCOS (A) + 2πk
2) Pokud | A | ≤ 1, pak rovnice hřích (x) \u003d A má řešení:
3) Pokud | a | \u003e 1, pak rovnice hřích (x) \u003d a a cos (x) \u003d a nemá roztoky 4) rovnice TG (x) \u003d A má roztok: x \u003d arktg (a) + πk
5) CTG rovnice (X) \u003d A má řešení: X \u003d arcctg (a) + πk
Pro všechny vzorce k- celé číslo
Nejjednodušší trigonometrické rovnice jsou formy: t (kx + m) \u003d a, t- jakoukoliv trigonometrickou funkci.
Příklad.Řešení rovnic: a) hřích (3x) \u003d √3 / 2
Rozhodnutí:
A) označují 3x \u003d t, pak naše rovnice bude přepsat ve formě:
Řešení této rovnice bude: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.
Z tabulky hodnot získáme: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.
Vraťme se do naší proměnné: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,
Pak x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3
Odpověď: X \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, kde n-integer. (-1) ^ n - mínus jeden do stupně n.
Další příklady trigonometrických rovnic.
Řešení rovnic: a) cos (x / 5) \u003d 1 b) tg (3x- π / 3) \u003d √3Rozhodnutí:
A) tentokrát se okamžitě pohybujeme přímo k výpočtu kořenů rovnice:
X / 5 \u003d ± ARCCOS (1) + 2πk. Pak x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk
Odpověď: X \u003d 5πk, kde k je celé číslo.
B) Píšeme ve formě: 3x- π / 3 \u003d arktg (√3) + πk. Víme, že: ArctG (√3) \u003d π / 3
3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3
Odpověď: X \u003d 2π / 9 + πk / 3, kde k je celé číslo.
Řešení rovnic: cos (4x) \u003d √2 / 2. A najít všechny kořeny na segmentu.
Rozhodnutí:
Řešení B. všeobecné Naše rovnice: 4x \u003d ± ARCCOS (√2 / 2) + 2πk
4x \u003d ± π / 4 + 2πk;
X \u003d ± π / 16 + πk / 2;
Uvidíme, jaké kořeny padnou na náš segment. Pro k na k \u003d 0, x \u003d π / 16 jsme narazili na specifikovaný segment.
Při k \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16 přišli znovu.
Při k \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, a zde už nedostali, a proto s velkým k, já také nebudu vědět.
Odpověď: X \u003d π / 16, X \u003d 9π / 16
Dvě hlavní metody řešení.
Podívali jsme se na nejjednodušší trigonometrické rovnice, ale existují a složitější. Chcete-li je vyřešit, použijte metodu zadávání nové proměnné a způsobu rozkladu do multiplikátorů. Zvažme příklady.Řešení rovnice:
Rozhodnutí:
Pro vyřešení naší rovnice používáme způsob zadávání nové proměnné, označujeme: t \u003d tg (x).
V důsledku nahrazení získáme: t 2 + 2t -1 \u003d 0
Najděte kořeny čtvercové rovnice: t \u003d -1 a t \u003d 1/3
Pak TG (X) \u003d - 1 a TG (X) \u003d 1/3 získají nejjednodušší trigonometrickou rovnici, najdeme jeho kořeny.
X \u003d arktg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; X \u003d arktg (1/3) + πk.
Odpověď: X \u003d -π / 4 + πk; X \u003d arktg (1/3) + πk.
Příklad řešení rovnice
Řešení rovnic: 2SIN 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0
Rozhodnutí:
Používáme totožnost: hřích 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1
Naše rovnice bude mít formu: 2-2Cos 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0
Představujeme náhradu T \u003d cos (x): 2t 2 -3t - 2 \u003d 0
Řešení naší čtvercové rovnice je kořeny: t \u003d 2 a t \u003d -1 / 2
Pak cos (x) \u003d 2 a cos (x) \u003d - 1/2.
Protože Cosin nemůže přijmout hodnoty více než jednu, pak cos (x) \u003d 2 nemá kořeny.
Pro cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arccos (-1/2) + 2πk; X \u003d ± 2π / 3 + 2πk
Odpověď: X \u003d ± 2π / 3 + 2πk
Jednotné trigonometrické rovnice.
Definice: rovnice formy hřích (x) + b cos (x) se nazývá homogenní trigonometrické rovnice prvního stupně.Zobrazit rovnice
homogenní trigonometrické rovnice druhého stupně.
Vyřešit homogenní trigonometrickou rovnici prvního stupně, děláme ji na cos (x): 
Nemůžete rozdělit na kosine, pokud je nula, pojďme se ujistit, že to není:
Nechte cos (x) \u003d 0, pak asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e hřích (x) \u003d 0, ale sinus a cosin nejsou ve stejné době nula, získali rozpor, takže se můžete bezpečně rozdělit nula.
Řešení rovnice:
Příklad: cos 2 (x) + hřích (x) cos (x) \u003d 0
Rozhodnutí:
Shrneme se: cos (x) (c0s (x) + hřích (x)) \u003d 0
Pak musíme vyřešit dvě rovnice:
Cos (x) \u003d 0 a cos (x) + hřích (x) \u003d 0
Cos (x) \u003d 0 při x \u003d π / 2 + πk;
Zvažte cos rovnice (x) + hřích (x) \u003d 0 rozdělujeme naši rovnici v cos (x):
1 + TG (x) \u003d 0 \u003d\u003e TG (x) \u003d - 1 \u003d\u003e X \u003d arktg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk
Odpověď: X \u003d π / 2 + πk a x \u003d -π / 4 + πk
Jak řešit homogenní trigonometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, držet se těmto pravidlům vždy!
1. Chcete-li zjistit, co se rovná koeficientu A, pokud A \u003d 0, pak naše rovnice bude mít pohled cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), jehož příklad rozhodnutí o tom Předchozí snímek
2. Pokud je ≠ 0, pak musíte sdílet obě části kosinické rovnice na náměstí, dostaneme:
Výměna proměnné T \u003d TG (X) získáme rovnici:
Řešení Příklad č.: 3
Řešení rovnice:Rozhodnutí:
Rozdělujeme obě části náměstí Cosine Equation: 
Výměna proměnné T \u003d TG (X): T2 + 2 T - 3 \u003d 0
Najděte kořeny čtvercové rovnice: t \u003d -3 a t \u003d 1
Pak: Tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e X \u003d arktg (-3) + πk \u003d -Arctg (3) + πk
Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk
Odpověď: X \u003d -ArctG (3) + πk a x \u003d π / 4 + πk
Řešení příkladu č. 4
Řešení rovnice:Rozhodnutí:
Transformujeme náš výraz:
Můžeme vyřešit takovou rovnici: X \u003d - π / 4 + 2πk a x \u003d 5π / 4 + 2πk
Odpověď: X \u003d - π / 4 + 2πk a x \u003d 5π / 4 + 2πk
Řešení příkladu č. 5
Řešení rovnice:Rozhodnutí:
Transformujeme náš výraz:
Představujeme náhradu TG (2x) \u003d T: 2 2 - 5t + 2 \u003d 0
Řešení naší čtvercové rovnice bude kořeny: t \u003d -2 a t \u003d 1/2
Pak se dostaneme: TG (2x) \u003d - 2 a TG (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -ARCC (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -Arctg (2) / 2 + πk / 2
2x \u003d arktg (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d arktg (1/2) / 2 + πk / 2
Odpověď: X \u003d -ARCTG (2) / 2 + πk / 2 a x \u003d arktg (1/2) / 2 + πk / 2
Úkoly pro vlastní řešení.
1) Řešit rovniceA) hřích (7x) \u003d 1/2 b) cos (3x) \u003d √3 / 2 c) cos (-X) \u003d -1 g) tg (4x) \u003d √3 d) CTG (0,5x) \u003d -1.7
2) Řešit rovnice: hřích (3x) \u003d √3 / 2. A najít všechny kořeny na segmentu [π / 2; π].
3) Řešit rovnice: CTG 2 (X) + 2CTG (X) + 1 \u003d 0
4) Řešit rovnice: 3 SIN 2 (x) + √3SIN (x) cos (x) \u003d 0
5) Řešit rovnice: 3SIN 2 (3x) + 10 hřích (3x) COS (3x) + 3 COS 2 (3x) \u003d 0
6) Řešit rovnice: cos 2 (2x) -1 - cos (x) \u003d √3 / 2 -Sin 2 (2x)
