Sinus, kosinus, tangens: co to je? Jak najít sinus, kosinus a tangens? Základní goniometrické identity.
Důležité poznámky!
1. Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vyčistěte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost nejvíce našemu navigátoru užitečný zdroj pro
Sinus, kosinus, tangens, kotangens
Pojmy sinus (), kosinus (), tečna (), kotangens () jsou nerozlučně spjaty s pojmem úhel. Abychom dobře porozuměli těmto na první pohled obtížným pojmům (které u mnoha školáků vyvolávají hrůzu), a abychom se ujistili, že „čert není tak hrozný, jak je malován“, začněme od úplného začátku a porozuměli pojem úhlu.
Koncept úhlu: radián, stupeň
Pojďme se podívat na obrázek. Vektor se "otočil" vzhledem k bodu o určitou hodnotu. Takže míra této rotace vzhledem k počáteční poloze bude injekce.
Co dalšího potřebujete vědět o pojmu úhel? No, samozřejmě, úhlové jednotky!
Úhel, v geometrii i trigonometrii, lze měřit ve stupních a radiánech.
Úhel (jeden stupeň) se nazývá středový úhel v kruhu, spočívá na kruhovém oblouku rovném části kruhu. Celá kružnice se tedy skládá z "kusů" kruhových oblouků, neboli úhel, který kružnice popisuje, je roven.
To znamená, že výše uvedený obrázek ukazuje úhel rovný, to znamená, že tento úhel spočívá na kruhovém oblouku o velikosti obvodu.
Úhel v radiánech je středový úhel v kružnici, která spočívá na kruhovém oblouku, jehož délka se rovná poloměru kružnice. No, přišel na to? Pokud ne, pojďme na to přijít kreslením.
Obrázek tedy ukazuje úhel rovný radiánu, to znamená, že tento úhel spočívá na kruhovém oblouku, jehož délka se rovná poloměru kruhu (délka se rovná délce nebo poloměr se rovná délka oblouku). Délka oblouku se tedy vypočítá podle vzorce:
Kde je středový úhel v radiánech.
Dokážete, když to víte, odpovědět, kolik radiánů obsahuje úhel popsaný kružnicí? Ano, k tomu si musíte zapamatovat vzorec pro obvod. Tady je:
Nuže, nyní spojme tyto dva vzorce a zjistíme, že úhel popsaný kružnicí je stejný. To znamená, že korelací hodnoty ve stupních a radiánech dostaneme to. Respektive, . Jak vidíte, na rozdíl od „stupňů“ je slovo „radián“ vynecháno, protože jednotka je obvykle z kontextu jasná.
Kolik je tam radiánů? To je správně!
Mám to? Poté opravte dopředu:
Máte potíže? Pak se podívejte odpovědi:
Pravoúhlý trojúhelník: sinus, kosinus, tangens, kotangens úhlu
Takže jsme přišli na koncept úhlu. Ale co je vlastně sinus, kosinus, tangens, kotangens úhlu? Pojďme na to přijít. K tomu nám pomůže pravoúhlý trojúhelník.
Jak se jmenují strany pravoúhlý trojuhelník? Správně, přepona a nohy: přepona je strana, která leží proti pravému úhlu (v našem příkladu je to strana); nohy jsou dvě zbývající strany a (ty, které sousedí pravý úhel), navíc pokud vezmeme v úvahu nohy vzhledem k úhlu, pak noha je sousední noha a noha je opačná. Nyní tedy odpovězme na otázku: jaký je sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu?
Sinusový úhel je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k přeponě.
V našem trojúhelníku.
Kosinus úhlu je poměr přilehlé (blízké) nohy k přeponě.
V našem trojúhelníku.
Tangenta úhlu je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k sousední (blízké) noze.
V našem trojúhelníku.
Úhlový kotangens je poměr sousední (blízké) nohy k opačné (vzdálené) noze.
V našem trojúhelníku.
Tyto definice jsou nezbytné pamatovat si! Abyste si snadněji zapamatovali, kterou nohu na co rozdělit, musíte tomu jasně rozumět tečna a cotangense sedí pouze nohy a přepona se objevuje pouze v sinus a kosinus... A pak můžete přijít s řetězcem asociací. Například tento:
Kosinus → dotyk → dotyk → sousední;
Kotangens → dotyk → dotyk → sousedící.
Předně je třeba si připomenout, že sinus, kosinus, tangens a kotangens jako poměry stran trojúhelníku nezávisí na délkách těchto stran (v jednom úhlu). Nevěří? Pak se přesvědčte na obrázku:
Uvažujme například kosinus úhlu. Podle definice z trojúhelníku:, ale můžeme vypočítat kosinus úhlu z trojúhelníku:. Vidíte, délky stran jsou různé, ale hodnota kosinu jednoho úhlu je stejná. Hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens tedy závisí pouze na velikosti úhlu.
Pokud jste pochopili definice, pokračujte a opravte je!
Pro trojúhelník zobrazený na obrázku níže najděte.
Dobře, rozumíš? Pak to zkuste sami: počítejte totéž pro roh.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Když jsme porozuměli pojmům stupňů a radiánů, uvažovali jsme o kružnici s poloměrem rovným. Takový kruh se nazývá singl... Je to velmi užitečné při učení trigonometrie. Pojďme se mu proto věnovat trochu podrobněji.
Jak vidíte, tento kruh je postaven v kartézském souřadnicovém systému. Poloměr kružnice je roven jedné, zatímco střed kružnice leží v počátku, počáteční poloha vektoru poloměru je fixována podél kladného směru osy (v našem příkladu je to poloměr).
Každý bod kružnice odpovídá dvěma číslům: souřadnici podél osy a souřadnici podél osy. A jaké jsou tyto číselné souřadnice? A obecně, co mají společného s uvažovaným tématem? Chcete-li to provést, musíte si pamatovat uvažovaný pravoúhlý trojúhelník. Na obrázku výše vidíte dva celé pravoúhlé trojúhelníky. Zvažte trojúhelník. Je obdélníkový, protože je kolmý k ose.
Čemu se rovná trojúhelník? To je v pořádku. Kromě toho víme, že - je poloměr jednotkový kruh, což znamená,. Dosaďte tuto hodnotu do našeho kosinusového vzorce. Co se stane:
A co se rovná z trojúhelníku? No samozřejmě,! Dosaďte hodnotu poloměru do tohoto vzorce a získáte:
Můžete nám tedy říci, jaké jsou souřadnice bodu patřícího do kruhu? No, v žádném případě? A pokud si to uvědomujete a jsou to jen čísla? Jaké souřadnici odpovídá? No, samozřejmě, souřadnice! A jaké souřadnici odpovídá? Přesně tak, koordinujte! Takže pointa.
A co se tedy rovná a? Správně, použijme odpovídající definice tečny a kotangens a získáme to, a.
Co když je úhel větší? Zde, například jako na tomto obrázku:
Co se změnilo v tento příklad? Pojďme na to přijít. Chcete-li to provést, znovu otočte do pravoúhlého trojúhelníku. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník: roh (přilehlý k rohu). Jaká je hodnota sinusu, kosinu, tečny a kotangensu pro úhel? Správně, dodržujeme odpovídající definice goniometrických funkcí:
No, jak vidíte, hodnota sinusu úhlu stále odpovídá souřadnici; hodnota kosinu úhlu - souřadnice; a hodnoty tečny a kotangens k odpovídajícím poměrům. Tyto vztahy tedy platí pro jakékoli otočení vektoru poloměru.
Již bylo zmíněno, že počáteční poloha vektoru poloměru je podél kladného směru osy. Dosud jsme tento vektor otáčeli proti směru hodinových ručiček, ale co kdybychom jej otočili po směru hodinových ručiček? Nic mimořádného, ukáže se také úhel určité velikosti, ale bude pouze negativní. Když tedy otočíte vektor poloměru proti směru hodinových ručiček, dostanete kladné úhly a při otáčení ve směru hodinových ručiček - záporný.
Víme tedy, že celá otáčka vektoru poloměru v kružnici je nebo. Je možné otočit vektor poloměru o nebo o? Samozřejmě můžete! V prvním případě tedy vektor poloměru udělá jednu úplnou otáčku a zastaví se na pozici resp.
V druhém případě, to znamená, že vektor poloměru provede tři úplné otáčky a zastaví se na pozici resp.
Z výše uvedených příkladů tedy můžeme usoudit, že úhly lišící se o nebo (kde je jakékoli celé číslo) odpovídají stejné poloze vektoru poloměru.
Obrázek níže ukazuje úhel. Stejný obrázek odpovídá rohu atd. Seznam pokračuje dál a dál. Všechny tyto úhly lze zapsat obecným vzorcem nebo (kde je jakékoli celé číslo)
Nyní, když znáte definice základních goniometrických funkcí a pomocí jednotkového kruhu, zkuste odpovědět, čemu se hodnoty rovnají:
Zde je kruh jednotek, který vám pomůže:
Máte potíže? Tak na to pojďme přijít. Takže víme, že:
Odtud určíme souřadnice bodů odpovídající určitým mírám úhlu. No, začněme popořadě: roh odpovídá bodu se souřadnicemi, proto:
Neexistuje;
Dále, při dodržení stejné logiky, zjistíme, že rohy v odpovídají bodům se souřadnicemi, resp. S vědomím toho je snadné určit hodnoty goniometrických funkcí v odpovídajících bodech. Nejprve si to vyzkoušejte sami a poté zkontrolujte odpovědi.
Odpovědi:
Můžeme tedy sestavit následující tabulku:
Není nutné si pamatovat všechny tyto významy. Stačí si zapamatovat shodu souřadnic bodů na jednotkové kružnici a hodnot goniometrických funkcí:
Ale hodnoty goniometrických funkcí úhlů v a uvedené v tabulce níže, potřeba pamatovat:
Nebojte se, nyní si ukážeme jeden z příkladů. celkem jednoduché zapamatování odpovídajících hodnot:
Chcete-li použít tuto metodu, je důležité zapamatovat si hodnoty sinus pro všechny tři míry úhlu () a také hodnotu tečny úhlu in. Se znalostí těchto hodnot je docela snadné obnovit celou tabulku jako celek - hodnoty kosinus se přenášejí podle šipek, to znamená:
Když to víte, můžete obnovit hodnoty pro. Čitatel "" se bude shodovat a jmenovatel "" bude odpovídat. Hodnoty kotangens se přenesou podle šipek znázorněných na obrázku. Pokud tomu rozumíte a pamatujete si diagram se šipkami, bude stačit zapamatovat si všechny hodnoty z tabulky.
Souřadnice bodu na kružnici
Je možné najít bod (jeho souřadnice) na kružnici, znát souřadnice středu kružnice, její poloměr a úhel natočení?
No jasně, že můžeš! Pojďme přinést obecný vzorec najít souřadnice bodu.
Máme před sebou například takový kruh:
Je nám dáno, že bod je středem kružnice. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením bodu o stupně.
Jak můžete vidět z obrázku, délka segmentu odpovídá souřadnici bodu. Délka segmentu odpovídá souřadnici středu kruhu, to znamená, že se rovná. Délku segmentu lze vyjádřit pomocí definice kosinusu:
Pak to máme pro bod souřadnice.
Stejnou logikou najdeme hodnotu souřadnice y bodu. Tím pádem,
Takže dovnitř obecný pohled souřadnice bodů jsou určeny vzorcem:
Souřadnice středu kruhu,
Poloměr kruhu,
Úhel natočení poloměru vektoru.
Jak vidíte, pro jednotkovou kružnici, kterou uvažujeme, jsou tyto vzorce výrazně omezeny, protože souřadnice středu jsou rovné nule a poloměr je roven jedné:
No, ochutnáme tyto vzorce cvičením hledání bodů na kruhu?
1. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.
2. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.
3. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu o.
4. Bod je střed kružnice. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením vektoru počátečního poloměru o.
5. Bod je střed kružnice. Poloměr kruhu je. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením vektoru počátečního poloměru o.
Máte problém najít souřadnice bodu na kružnici?
Vyřešte těchto pět příkladů (nebo řešení dobře vymyslete) a naučíte se je najít!
SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE
Sinus úhlu je poměr opačné (vzdálené) nohy k přeponě.
Kosinus úhlu je poměr přilehlé (blízké) nohy k přeponě.
Tangenta úhlu je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k sousední (blízké) noze.
Kotangens úhlu je poměr sousední (blízké) nohy k opačné (vzdálené) noze.
No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, pak jste velmi cool.
Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, tak jste v těch 5%!
Nyní přichází to nejdůležitější.
Přišel jsi na teorii na toto téma. A znovu, tohle je... je to prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.
Problém je, že to nemusí stačit...
Proč?
Pro úspěšné složení zkoušky, za přijetí do ústavu na rozpočet a hlavně na doživotí.
Nebudu vás o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...
Lidé, kteří dostali dobré vzdělání vydělávají mnohem více než ti, kteří nevydělávají. To jsou statistiky.
Ale ani to není to hlavní.
Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že pro ně existuje mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? Nevím...
Ale zamyslete se sami...
Co to znamená být u zkoušky určitě lepší než ostatní a nakonec být... šťastnější?
POMOC PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ V TOMTO TÉMATU.
Na zkoušce po vás nebude požadována teorie.
Budete potřebovat chvíli řešit úkoly.
A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě půjdete někam, kde se hloupě zmýlíte, nebo prostě nebudete mít čas.
Je to jako ve sportu – musíte to opakovat pořád dokola, abyste zaručeně vyhráli.
Najděte sbírku, kde chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!
Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.
Abyste si mohli naplnit ruku pomocí našich úkolů, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.
Jak? Jsou dvě možnosti:
- Sdílejte všechny skryté úkoly v tomto článku -
- Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích výukového programu - Koupit učebnici - 499 rublů
Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze otevřít najednou.
Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po celou dobu životnosti webu.
Na závěr...
Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Jen se nezdržujte teorií.
„Rozumím“ a „Jsem schopen řešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.
Najděte problémy a řešte!
Přednáška: Sinus, kosinus, tangens, kotangens libovolného úhlu
Sinus, kosinus libovolného úhlu
Abychom pochopili, co jsou goniometrické funkce, pojďme se obrátit na kružnici s jednotkovým poloměrem. Tato kružnice je vystředěna v počátku v rovině souřadnic. Pro určení daných funkcí použijeme rádiusový vektor NEBO který začíná ve středu kruhu a bodu R je bodem kruhu. Tento vektor poloměru svírá s osou úhel alfa ACH... Protože má kruh poloměr rovný jedné OP = R = 1.
Pokud od bodu R snižte kolmici k ose ACH, pak dostaneme pravoúhlý trojúhelník s přeponou rovnou jedné.
Pokud se vektor poloměru pohybuje ve směru hodinových ručiček, nazývá se tento směr záporný, pokud se pohybuje proti směru hodinových ručiček - pozitivní.
Sinusový úhel NEBO, je pořadnice bodu R vektory na kruhu.
To znamená, že pro získání hodnoty sinu daného úhlu alfa je nutné určit souřadnici Mít na povrchu.
Jak byla tato hodnota získána? Protože víme, že sinus libovolného úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě, dostaneme, že
A od té doby R = 1, pak hřích (α) = y 0 .
V jednotkovém kruhu nesmí být hodnota pořadnice menší než -1 a větší než 1, což znamená, že
Sinus je kladný v první a druhé čtvrtině jednotkového kruhu a záporný ve třetí a čtvrté.
Kosinus úhlu daná kružnice tvořená poloměrovým vektorem NEBO, je úsečka bodu R vektory na kruhu.
To znamená, že pro získání hodnoty kosinu daného úhlu alfa je nutné určit souřadnici NS na povrchu.
Kosinus libovolného úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr přilehlá noha k přeponě, dostaneme to
A od té doby R = 1, pak cos (α) = x 0 .
V jednotkovém kruhu nesmí být hodnota úsečky menší než -1 a větší než 1, což znamená, že
Kosinus je kladný v první a čtvrté čtvrtině jednotkového kruhu a záporný ve druhé a třetí.
Tečnalibovolný úhel uvažuje se poměr sinus ku kosinusu.
Pokud uvažujeme pravoúhlý trojúhelník, pak je to poměr protilehlé nohy k sousední. Li přichází to o jednotkové kružnici, pak je to poměr pořadnice k úsečce.
Soudě podle těchto poměrů lze pochopit, že tečna nemůže existovat, pokud je hodnota úsečky nulová, to znamená pod úhlem 90 stupňů. Tangenta může nabývat všech ostatních hodnot.
Tangenta je kladná v první a třetí čtvrtině jednotkového kruhu a záporná ve druhé a čtvrté.
Tento článek obsahuje tabulky sinů, kosinů, tečen a kotangens... Nejprve uvedeme tabulku hlavních hodnot goniometrických funkcí, to znamená tabulku sinů, kosinů, tečen a kotangens úhlů 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňů ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radián). Poté dáme tabulku sinů a kosinus, stejně jako tabulku tečen a kotangens V.M. Bradise a ukážeme, jak tyto tabulky použít při hledání hodnot goniometrických funkcí.
Navigace na stránce.
Tabulka sinusů, kosinusů, tečen a kotangens pro úhly 0, 30, 45, 60, 90, ... stupňů
Bibliografie.
- Algebra: Učebnice. za 9 tř. středa škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Vzdělávání, 1990.- 272 s .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a počátek rozboru: Učebnice. na 10-11 tř. středa shk. - 3. vyd. - M .: Vzdělávání, 1993 .-- 351 s .: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začátek rozboru: Učebnice. na 10-11 tř. obecné vzdělání. instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M .: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Učebnice. manuál - M .; Vyšší. shk., 1984.-351 s., ill.
- Bradis V.M.Čtyřmístné matematické tabulky: Pro všeobecné vzdělávání. studie. institucí. - 2. vyd. - M .: Drop, 1999.- 96 s .: nemocný. ISBN 5-7107-2667-2
Střed v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.
Tangenta ( tg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene | na délku přilehlé nohy | AB | ...
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene | na délku protější nohy | př. n. l. | ...
Tečna
Kde n- Celý.
V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.
Graf funkce tečny, y = tg x
Kotangens
Kde n- Celý.
V západní literatuře se kotangens označuje takto:
.
Přijímají se také následující označení:
;
;
.
Graf funkce kotangens, y = ctg x
Vlastnosti tečny a kotangens
Periodicita
Funkce y = tg x a y = ctg x periodický s periodou π.
Parita
Funkce tangens a kotangens jsou liché.
Domény a hodnoty, rostoucí, klesající
Funkce tangens a kotangens jsou spojité ve své oblasti definice (viz. důkaz kontinuity). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- Celý).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Oblast definice a kontinuity | ||
| Rozsah hodnot | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzestupně | - | |
| Klesající | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Průsečíky s osou y, x = 0 | y = 0 | - |
Vzorce
Výrazy v pojmech sinus a kosinus
;
;
;
;
;
Vzorce pro tangens a kotangens součtu a rozdílu
Zbytek vzorců lze snadno získat například
Součin tečen
Vzorec pro součet a rozdíl tečen
Tato tabulka ukazuje hodnoty tečen a kotangens pro některé hodnoty argumentu. 
Výrazy z hlediska komplexních čísel
Výrazy z hlediska hyperbolických funkcí
;
;
Deriváty
; .
.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu>>> ; pro kotangens>>>
Integrály
Rozšíření řady
Abychom získali rozšíření tečny v mocninách x, musíme vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x a cos x a rozdělte tyto polynomy na sebe,. Výsledkem jsou následující vzorce.
Na .
na .
kde B n- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce: 
Inverzní funkce
Inverzní funkce k tečně a kotangens jsou oblouková tangens a oblouková kotangens, resp.
Arctangens, arctg
, kde n- Celý.
Arccotangens, arcctg
, kde n- Celý.
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty technických institucí, „Lan“, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro vědce a inženýry, 2012.
