Rovnice formuláře

Výraz D= b 2 - 4 ac se nazývají diskriminační kvadratická rovnice. LiD = 0, pak má rovnice jeden skutečný kořen; pokud D> 0, pak má rovnice dva skutečné kořeny.
V případě, kdy D = 0 Někdy se říká, že kvadratická rovnice má dva stejné kořeny.
Použití notace D= b 2 - 4 ac, můžeme vzorec (2) přepsat jako

Li b= 2 k, pak vzorec (2) má tvar:

kde k= b / 2 .
Poslední vzorec je obzvláště vhodný, když b / 2 - celé číslo, tj. součinitel b - sudé číslo.
Příklad 1: Vyřešte rovnici 2 X 2 - 5 x + 2 = 0 ... Tady a = 2, b = -5, c = 2... My máme D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 ... Protože D > 0 , pak má rovnice dva kořeny. Najdeme je podle vzorce (2)

tak X 1 = (5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to je X 1 = 2 a X 2 = 1 / 2 jsou kořeny dané rovnice.
Příklad 2: Vyřešte rovnici 2 X 2 - 3 x + 5 = 0 ... Tady a = 2, b = -3, c = 5... Najděte diskriminátora D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 ... Protože D 0 , pak rovnice nemá skutečné kořeny.

Neúplné kvadratické rovnice. Pokud v kvadratické rovnici sekera 2 + bx+ c =0 druhý koeficient b nebo volný člen C je nula, pak se nazývá kvadratická rovnice neúplný... Neúplné rovnice se rozlišují, protože k nalezení jejich kořenů nelze použít vzorec pro kořeny kvadratické rovnice - je jednodušší vyřešit rovnici rozdělením její levé strany na faktory.
Příklad 1: vyřešit rovnici 2 X 2 - 5x = 0 .
My máme X(2 x - 5) = 0 ... Takže buď X = 0 nebo 2 X - 5 = 0 , to je X = 2.5 ... Rovnice má tedy dva kořeny: 0 a 2.5
Příklad 2: vyřešit rovnici 3 X 2 - 27 = 0 .
My máme 3 X 2 = 27 ... Kořeny této rovnice jsou tedy - 3 a -3 .

Vietina věta. Pokud redukovaná kvadratická rovnice X 2 + px+ q =0 má skutečné kořeny, pak je jejich součet - p a produkt je q, to je

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(součet kořenů dané kvadratické rovnice se rovná druhému koeficientu, branému s opačným znaménkem, a součin kořenů se rovná volnému členu).

PROTI moderní společnost schopnost provádět akce s rovnicemi obsahujícími čtvercovou proměnnou může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je v praxi široce využívána ve vědeckých a technický vývoj... Svědčí o tom konstrukce námořních a říčních plavidel, letadel a raket. Pomocí takových výpočtů se určují trajektorie pohybu nejrůznějších těles, včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením kvadratické rovnice nacházejí uplatnění nejen v ekonomických prognózách, při projektování a stavbě budov, ale také v těch nejobyčejnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba na kempování, na sportovních akcích, v obchodech při nakupování a v dalších velmi běžných situacích.

Pojďme rozdělit výraz na jeho základní faktory

Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně proměnné, kterou daný výraz obsahuje. Pokud se rovná 2, pak se takové rovnici říká čtverec.

Pokud vysvětlujeme jazykem vzorců, pak tyto výrazy, bez ohledu na to, jak vypadají, lze vždy redukovat na formu, když se levá strana výrazu skládá ze tří výrazů. Mezi nimi: ax 2 (tj. Proměnná na druhou se svým koeficientem), bx (neznámá bez čtverce se svým koeficientem) a c (volná složka, tj. Obyčejné číslo). To vše na pravé straně se rovná 0. V případě, že v podobném polynomu chybí jeden z jeho členů, s výjimkou osy 2, nazývá se neúplná kvadratická rovnice. Nejprve je třeba zvážit příklady řešení těchto problémů, jejichž hodnotu proměnných lze snadno najít.

Pokud výraz vypadá tak, že na pravé straně výrazu jsou dva výrazy, přesněji ax 2 a bx, je nejjednodušší najít x umístěním proměnné mimo závorky. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: x (ax + b). Dále je zřejmé, že buď x = 0, nebo je problém redukován na nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax + b = 0. To je dáno jednou z vlastností násobení. Platí pravidlo, že součin dvou faktorů má za následek 0, pouze pokud se jeden z nich rovná nule.

Příklad

x = 0 nebo 8x - 3 = 0

V důsledku toho získáme dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popisovat pohyb těl působením gravitace, která se začala pohybovat od určitého bodu, který je považován za původ. Zde má matematický zápis následující formu: y = v 0 t + gt 2/2. Dosazením potřebných hodnot, přirovnáním pravé strany k 0 a nalezením možných neznámých můžete zjistit čas, který uplynul od okamžiku, kdy tělo stoupne, do okamžiku, kdy spadne, a také mnoho dalších veličin. Ale o tom si povíme později.

Rozdělení výrazu

Výše popsané pravidlo umožňuje vyřešit tyto problémy ve složitějších případech. Uvažujme příklady s řešením kvadratických rovnic tohoto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tento čtvercový trinomiál je kompletní. Nejprve transformujme výraz a faktorme ho. Existují dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením kvadratických rovnic v platové třídě 9 umožňují této metodě najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale dokonce i třetího a čtvrtého řádu.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Při faktorování pravé strany na faktory s proměnnou existují tři z nich, tj. (X + 1), (x -3) a (x + 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -1; 3.

Extrakce odmocniny

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz reprezentovaný jazykem písmen takovým způsobem, že pravá strana je konstruována ze složek osa 2 a c. Zde, aby se získala hodnota proměnné, je volný termín převeden do pravá strana, a poté z obou stran rovnosti extrahujeme Odmocnina... Je třeba poznamenat, že v tomto případě obvykle existují dva kořeny rovnice. Výjimkou jsou pouze rovnosti, které vůbec neobsahují výraz c, kde je proměnná rovná nule, a také varianty výrazů, když se pravá strana ukáže jako záporná. V druhém případě neexistují žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Měly by být zváženy příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet rozlohy pozemku

Potřeba tohoto druhu výpočtů se objevila ve starověku, protože rozvoj matematiky v mnoha ohledech v těchto vzdálených dobách byl způsoben potřebou určit s největší přesností oblasti a obvody pozemků.

Měli bychom zvážit příklady s řešením kvadratických rovnic, sestavené na základě problémů tohoto druhu.

Řekněme, že existuje obdélníkový pozemek, jehož délka je o 16 metrů delší než šířka. Zjistěte délku, šířku a obvod místa, pokud je známo, že jeho plocha je 612 m 2.

Vrhneme se na věc, nejprve sestavíme potřebnou rovnici. Označme x šířku řezu, pak bude její délka (x + 16). Z napsaného vyplývá, že oblast je určena výrazem x (x + 16), což je podle podmínky našeho problému 612. To znamená, že x (x + 16) = 612.

Řešení úplných kvadratických rovnic a tento výraz je právě to, nelze provést stejným způsobem. Proč? Ačkoli jeho levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich součin se vůbec nerovná 0, takže zde platí jiné metody.

Diskriminační

Nejprve provedeme potřebné transformace, poté bude vzhled tohoto výrazu vypadat takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme obdrželi výraz ve formě odpovídající dříve specifikovanému standardu, kde a = 1, b = 16, c = -612.

To může být příklad řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminátoru. Zde jsou provedeny potřebné výpočty podle schématu: D = b 2 - 4ac. Toto pomocné množství nejenže umožňuje najít požadovaná množství v rovnici druhého řádu, ale také určuje množství možné možnosti... Pokud D> 0, jsou tam dva; pro D = 0 existuje jeden kořen. Pokud D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorci

V našem případě je diskriminační: 256 - 4 (-612) = 2704. To znamená, že náš problém má odpověď. Pokud víte, k, řešení kvadratických rovnic musí pokračovat pomocí níže uvedeného vzorce. Umožňuje vypočítat kořeny.

To znamená, že v prezentovaném případě: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnost v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v záporných hodnotách, takže x (tj. Šířka pozemku) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 + 16 = 34 a obvod 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Příklady a úkoly

Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Níže budou uvedeny příklady a podrobné řešení několika z nich.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Přeneseme vše na levou stranu rovnosti, provedeme transformaci, to znamená, že dostaneme tvar rovnice, která se obvykle nazývá standardní, a přirovnáme ji k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sečteme -li podobné, definujeme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. Takže naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítejme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich bude 4/3 a druhý 1.

2) Nyní odhalíme hádanky jiného druhu.

Zjistíme, zda zde vůbec existují nějaké kořeny x 2 - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, přiveďme polynom k ​​odpovídajícímu známému tvaru a vypočítáme diskriminant. V tomto případě není řešení kvadratické rovnice nutné, protože podstata problému v tomto vůbec není. V tomto případě D = 16 - 20 = -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistují žádné kořeny.

Vietina věta

Je vhodné řešit kvadratické rovnice pomocí výše uvedených vzorců a diskriminátoru, když je odmocnina extrahována z hodnoty posledně uvedeného. Ale není tomu tak vždy. V tomto případě však existuje mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných. Příklad: řešení kvadratických rovnic Vietovou větou. Je pojmenována po někom, kdo žil ve Francii 16. století a díky svému matematickému talentu a konexím u soudu udělal skvělou kariéru. Jeho portrét je vidět v článku.

Vzorec, kterého si slavný Francouz všiml, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice v součtu jsou číselně rovno -p = b / a a jejich součin odpovídá q = c / a.

Nyní se podívejme na konkrétní úkoly.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pro jednoduchost transformujeme výraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Použijeme Vietovu větu, která nám poskytne následující: součet kořenů je -7 a jejich součin je -18. Z toho dostaneme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po provedení kontroly se ujistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně zapadají do výrazu.

Parabola graf a rovnice

Pojmy kvadratické funkce a kvadratické rovnice spolu úzce souvisí. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní se podívejme na některé matematické hádanky trochu podrobněji. Lze zobrazit libovolnou rovnici popsaného typu. Takový vztah, nakreslený ve formě grafu, se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou uvedeny na obrázku níže.

Jakákoli parabola má vrchol, tedy bod, ze kterého vycházejí její větve. Pokud a> 0, jdou vysoko do nekonečna, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální reprezentace funkcí pomáhají vyřešit všechny rovnice, včetně kvadratických. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice úsečky v bodech, kde se čára grafu protíná s 0x. Souřadnice vrcholu lze zjistit právě daným vzorcem x 0 = -b / 2a. A nahrazením výsledné hodnoty do původní rovnice funkce můžete zjistit y 0, tj. Druhou souřadnici vrcholu paraboly, patřící k ose souřadnic.

Průsečík větví paraboly s osou úsečky

Existuje mnoho příkladů s řešením kvadratických rovnic, ale existují také obecné vzorce. Zvažme je. Je zřejmé, že průnik grafu s osou 0x pro a> 0 je možný pouze tehdy, pokud y 0 nabývá záporných hodnot. A za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kořeny lze také určit z parabolického grafu. Opak je také pravda. To znamená, že pokud není snadné získat vizuální obraz kvadratické funkce, můžete přirovnat pravou stranu výrazu k 0 a vyřešit výslednou rovnici. A když znáte body průsečíku s osou 0x, je snazší sestavit graf.

Z historie

S pomocí rovnic obsahujících proměnnou na druhou ve starověku nedělali jen matematické výpočty a určovali oblasti geometrických tvarů. Starověcí potřebovali takové výpočty pro grandiózní objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro vytváření astrologických předpovědí.

Jak moderní vědci předpokládají, obyvatelé Babylonu byli mezi prvními, kdo vyřešili kvadratické rovnice. Stalo se to čtyři století před naším letopočtem. Jejich výpočty se samozřejmě zásadně lišily od těch, které jsou v současnosti přijímány, a ukázaly se být mnohem primitivnější. Mezopotámští matematici například neměli představu o existenci záporných čísel. Neznali ani jiné jemnosti, které zná každý školák naší doby.

Možná ještě dříve než babylónští vědci se mudrc z Indie Baudhayama chopil řešení kvadratických rovnic. Stalo se to asi osm století před příchodem Kristovy éry. Je pravda, že rovnice druhého řádu, metody řešení, které uvedl, byly nejjednodušší. Kromě něj se o podobné otázky za starých časů zajímali i čínští matematici. V Evropě se kvadratické rovnice začaly řešit až na začátku 13. století, ale později je ve svých dílech použili tak velcí vědci jako Newton, Descartes a řada dalších.

Kvadratické rovnice. Diskriminační Řešení, příklady.

Pozornost!
Existují další
materiály ve speciální sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi „nepříliš ...“
A pro ty, kteří jsou „velmi vyrovnaní ...“)

Typy kvadratických rovnic

Co je to kvadratická rovnice? Jak to vypadá? V termínu kvadratická rovnice klíčové slovo je "náměstí". To znamená, že v rovnici nezbytně musí být x na druhou. Kromě něj rovnice může (ale nemusí být!) Jen x (v první mocnině) a jen číslo (volný člen). A neměla by existovat žádná x do stupně většího než dva.

Matematicky vzato, kvadratická rovnice je rovnice tvaru:

Tady a, b a c- nějaká čísla. b a c- naprosto jakýkoli, ale A- cokoli jiného než nula. Například:

Tady A =1; b = 3; C = -4

Tady A =2; b = -0,5; C = 2,2

Tady A =-3; b = 6; C = -18

Dobře, rozumíte ...

V těchto kvadratických rovnicích je vlevo plný setčlenů. X na druhou s koeficientem A, x na první mocninu s koeficientem b a volný termín s.

Takové kvadratické rovnice se nazývají úplný.

Co když b= 0, co získáme? My máme X zmizí v prvním stupni. K tomu dochází při násobení nulou.) Ukazuje se to například:

5x 2-25 = 0,

2x 2-6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

Atd. A pokud oba koeficienty, b a C jsou rovny nule, je to stále jednodušší:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

Takové rovnice, kde něco chybí, se nazývají neúplné kvadratické rovnice. Což je celkem logické.) Všimněte si prosím, že x na druhou je přítomno ve všech rovnicích.

Mimochodem, proč A nemůže být nula? A ty nahradíš A nula.) X na náměstí z nás zmizí! Rovnice se stává lineární. A rozhoduje se úplně jinak ...

To jsou všechny hlavní typy kvadratických rovnic. Úplné a neúplné.

Řešení kvadratických rovnic.

Řešení úplných kvadratických rovnic.

Kvadratické rovnice lze snadno vyřešit. Podle vzorců a jasných, jednoduchých pravidel. V první fázi je nutné uvést danou rovnici do standardní podoby, tj. podívat se:

Pokud je vám rovnice již dána v této formě, nemusíte dělat první fázi.) Hlavní věcí je správně určit všechny koeficienty, A, b a C.

Vzorec pro nalezení kořenů kvadratické rovnice vypadá takto:

Volá se výraz pod kořenovým znaménkem diskriminační... Ale o něm - níže. Jak vidíte, k nalezení x používáme pouze a, b a c. Tito. koeficienty z kvadratické rovnice. Jen pečlivě nahraďte hodnoty a, b a c do tohoto vzorce a počítejte. Náhradní se svými znameními! Například v rovnici:

A =1; b = 3; C= -4. Zapisujeme tedy:

Příklad je téměř vyřešen:

To je odpověď.

Všechno je velmi jednoduché. A co si myslíte, že je nemožné se mýlit? No ano, jak ...

Nejčastějšími chybami jsou záměna se znaménky významu. a, b a c... Spíše ne s jejich znaky (kde se nechat zmást?), Ale s nahrazením záporných hodnot ve vzorci pro výpočet kořenů. Zde se uloží podrobný zápis vzorce se specifickými čísly. Pokud se vyskytnou problémy s výpočtem, Učiň tak!

Předpokládejme, že potřebujete vyřešit tento příklad:

Tady A = -6; b = -5; C = -1

Řekněme, že víte, že odpovědi dostanete jen zřídka poprvé.

Nebuďte líní. Zápis dalšího řádku bude trvat 30 sekund. A počet chyb prudce klesne... Píšeme tedy podrobně se všemi závorkami a znaky:

Zdá se neuvěřitelně obtížné malovat tak pečlivě. Ale to se jen zdá. Zkus to. No, nebo si vyberte. Co je lepší, rychlé nebo správné? Kromě toho vám udělám radost. Po nějaké době nebude potřeba vše tak pečlivě malovat. Vyjde to samo od sebe. Zvláště pokud používáte praktické techniky popsané níže. Tento zlý příklad se spoustou nedostatků lze vyřešit snadno a bez chyb!

Kvadratické rovnice však často vypadají trochu jinak. Například takto:

Zjistil jsi to?) Ano! to neúplné kvadratické rovnice.

Řešení neúplných kvadratických rovnic.

Lze je také vyřešit pomocí obecného vzorce. Musíte jen správně zjistit, čemu se rovnají a, b a c.

Už jsi na to přišel? V prvním příkladu a = 1; b = -4; A C? On tam vůbec není! No ano, je to tak. V matematice to znamená c = 0 ! To je vše. Místo vzorce nahraďte ve vzorci nulu C, a my uspějeme. To samé je s druhým příkladem. Pouze nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice lze ale vyřešit mnohem snáze. Bez jakýchkoli vzorců. Zvažte první neúplnou rovnici. Co tam můžete dělat na levé straně? Můžete dát x z hranatých závorek! Pojďme to vyndat.

A co z toho A skutečnost, že součin se rovná nule, a pouze tehdy, když se kterýkoli z faktorů rovná nule! Nevěříš mi? Vymyslete tedy dvě nenulová čísla, která po vynásobení dají nulu!
Nefunguje? A je to ...
Proto můžeme s jistotou napsat: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všechno. To budou kořeny naší rovnice. Oba sedí. Při dosazení kteréhokoli z nich do původní rovnice získáme správnou identitu 0 = 0. Jak vidíte, řešení je mnohem jednodušší než pomocí obecného vzorce. Mimochodem poznamenám, který X bude první a který druhý - je to naprosto lhostejné. Je vhodné zapsat si v pořadí, x 1- co je méně, a x 2- co je víc.

Druhou rovnici lze také vyřešit jednoduše. Přesuňte 9 na pravou stranu. Dostaneme:

Zbývá extrahovat kořen z 9, a je to. Ukáže se:

Také dva kořeny . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto se řeší všechny neúplné kvadratické rovnice. Buď umístěním x do závorek, nebo jednoduše přesunutím čísla doprava a poté extrahováním kořene.
Je velmi obtížné tyto techniky zaměnit. Jednoduše proto, že v prvním případě budete muset extrahovat kořen z x, což je nějak nepochopitelné, a v druhém případě není z hranatých závorek co vypisovat ...

Diskriminační Diskriminační vzorec.

Kouzelné slovo diskriminační ! Vzácný student střední školy toto slovo neslyšel! Fráze „rozhodování prostřednictvím diskriminátora“ je uklidňující a uklidňující. Protože není třeba čekat na špinavé triky od diskriminátora! Používání je jednoduché a bezproblémové.) Vzpomínám si na nejobecnější vzorec pro řešení žádný kvadratické rovnice:

Výraz pod kořenovým znaménkem se nazývá diskriminační. Diskriminant je obvykle označen písmenem D... Diskriminační vzorec:

D = b 2 - 4ac

A co je na tomto výrazu tak pozoruhodného? Proč si to zasloužilo zvláštní jméno? Co význam diskriminátoru? Po všem -b, nebo 2a v tomto vzorci konkrétně nejmenují ... Písmena a písmena.

Tady je ta věc. Při řešení kvadratické rovnice pomocí tohoto vzorce je to možné pouze tři případy.

1. Diskriminant je pozitivní. To znamená, že z něj můžete extrahovat kořen. Extrahuje se dobrý kořen, nebo špatný - další otázka. Je důležité, co se v zásadě extrahuje. Pak má vaše kvadratická rovnice dva kořeny. Dvě různá řešení.

2. Diskriminační faktor je nula. Pak máte jedno řešení. Protože sčítání-odčítání nuly v čitateli nic nezmění. Přísně vzato, toto není jeden root, ale dva stejné... Ale ve zjednodušené verzi je obvyklé mluvit o jedno řešení.

3. Diskriminant je negativní. Ze záporného čísla není extrahována druhá odmocnina. Dobře. To znamená, že neexistují žádná řešení.

Upřímně řečeno, s jednoduchým řešením kvadratických rovnic není koncept diskriminátoru zvlášť vyžadován. Do vzorce dosadíme hodnoty koeficientů, ale počítáme. Tam se všechno ukáže samo a dva kořeny a jeden, a ne jeden. Při řešení složitějších úkolů však bez znalostí význam a diskriminační vzorce nedostatek. Zvláště - v rovnicích s parametry. Takové rovnice jsou akrobacie při státní zkoušce a jednotné státní zkoušce!)

Tak, jak řešit kvadratické rovnice prostřednictvím diskriminátoru, který si pamatujete. Nebo se naučili, což také není špatné.) Víte, jak správně identifikovat a, b a c... Ty víš jak pozorně nahradit je v kořenovém vzorci a pozorně přečtěte si výsledek. Získáte představu, že klíčové slovo zde je pozorně?

Prozatím si vezměte na vědomí osvědčené postupy, které drasticky sníží chyby. Právě ty, které jsou způsobeny nepozorností ... Pro které to pak bolí a uráží ...

První recepce ... Nebuďte líní přenést ji do standardní podoby před řešením kvadratické rovnice. Co to znamená?
Řekněme, že po několika transformacích máte následující rovnici:

Nespěchejte psát kořenový vzorec! Šance téměř jistě zamícháte. a, b a c. Vytvořte příklad správně. Nejprve je X na druhou, pak bez čtverce, pak volný výraz. Takhle:

A opět nespěchejte! Mínus před x na náměstí vás může opravdu mrzet. Je snadné to zapomenout ... Zbavte se mínusu. Jak? Ano, jak je uvedeno v předchozím tématu! Celou rovnici musíte vynásobit -1. Dostaneme:

Nyní však můžete bezpečně zapsat vzorec pro kořeny, vypočítat diskriminátor a doplnit příklad. Udělej si sám. Měli byste mít kořeny 2 a -1.

Příjem druhého. Zkontrolujte kořeny! Podle Vietovy věty. Nebojte se, vše vysvětlím! Kontrola poslední věc rovnice. Tito. ten, podle kterého jsme zapsali vzorec pro kořeny. Pokud (jako v tomto příkladu) koeficient a = 1, kontrola kořenů je snadná. Stačí je znásobit. Měli byste získat bezplatného člena, tj. v našem případě -2. Dávejte pozor, ne 2, ale -2! Člen zdarma s mým znamením ... Pokud to nefungovalo, pak už je to někde pokažené. Hledejte chybu.

Pokud to vyjde, musíte složit kořeny. Poslední a poslední kontrola. Měli byste dostat koeficient b s naproti známý. V našem případě -1 + 2 = +1. A koeficient b což je před x je -1. Takže vše je správně!
Je škoda, že je to tak jednoduché pouze pro příklady, kde x na druhou je čisté, s koeficientem a = 1. Ale alespoň v takových rovnicích zkontrolujte! Chyb bude méně.

Recepce třetí ... Pokud máte ve své rovnici zlomkové koeficienty, zbavte se zlomků! Vynásobte rovnici společným jmenovatelem, jak je popsáno v lekci Jak řešit rovnice? Identické transformace. Při práci se zlomky z nějakého důvodu přicházejí chyby ...

Mimochodem, slíbil jsem, že zjednoduším zlý příklad spoustou nevýhod. Prosím! Tady to je.

Abychom se v mínusech nenechali zmást, vynásobíme rovnici -1. Dostaneme:

To je vše! Je radost se rozhodovat!

Abych tedy shrnul téma.

Praktické rady:

1. Před řešením uvedeme kvadratickou rovnici do standardní podoby, postavíme ji že jo.

2. Pokud je před x ve čtverci záporný koeficient, odstraníme jej vynásobením celé rovnice -1.

3. Pokud jsou koeficienty zlomkové, odstraníme zlomky vynásobením celé rovnice příslušným faktorem.

4. Je -li x na druhou čisté, koeficient na něm je roven jedné, řešení lze snadno ověřit Vietovou větou. Udělej to!

Nyní se můžete rozhodnout.)

Řešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Odpovědi (v nepořádku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - libovolné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žádná řešení

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Hodí se to všechno dohromady? Pokuta! Kvadratické rovnice vás nebolí. První tři fungovaly, ale zbytek ne? Pak problém není s kvadratickými rovnicemi. Problém je v identických transformacích rovnic. Projděte si odkaz, je to užitečné.

Nefunguje ti to? Nebo to nefunguje vůbec? Pak vám pomůže § 555. Tam jsou všechny tyto příklady roztříděny na kusy. Zobrazeno hlavní chyby v řešení. Samozřejmě také hovoří o použití identických transformací při řešení různých rovnic. Hodně pomáhá!

Pokud se vám tento web líbí ...

Mimochodem, mám pro vás pár dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit příklady řešení a zjistit svoji úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení - se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a deriváty.

Kopyevskaya venkovská střední škola

10 způsobů řešení kvadratických rovnic

Vedoucí: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

učitel matematiky

vesnice Kopyevo, 2007

1. Historie vývoje kvadratických rovnic

1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu

1.2 Jak Diophantus sestavoval a řešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice z al-Khorezmi

1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII století

1.6 O Vietově větě

2. Metody řešení kvadratických rovnic

Závěr

Literatura

1. Historie vývoje kvadratických rovnic

1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu

Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně i ve starověku byla způsobena potřebou řešit problémy spojené s nalézáním oblastí pozemních a zemních prací vojenské povahy, jakož i s rozvojem astronomie a samotná matematika. Dokázali vyřešit kvadratické rovnice kolem roku 2000 př. N. L. NS. Babyloňané.

Pomocí moderní algebraické notace můžeme říci, že v jejich klínovém textu jsou kromě neúplných textů například úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s moderním, ale není známo, jak se Babylonci k tomuto pravidlu dostali. Téměř všechny dosud nalezené texty klínového písma pouze způsobují problémy s řešením stanoveným ve formě receptů, bez pokynů, jak byly nalezeny.

Přes vysokou úroveň vývoje algebry v Babylonu chybí klínovým textům koncept záporného čísla a obecné metody řešení kvadratických rovnic.

1.2 Jak Diophantus sestavoval a řešil kvadratické rovnice.

V „aritmetice“ Diophanta neexistuje žádná systematická prezentace algebry, ale obsahuje systematizovanou řadu problémů, doprovázených vysvětlením a řešenou vypracováním rovnic různých stupňů.

Při sestavování rovnic Diophantus dovedně vybírá neznámé, aby zjednodušil řešení.

Zde je například jeden z jeho úkolů.

Problém 11."Najděte dvě čísla s vědomím, že jejich součet je 20 a součin je 96"

Diophantus argumentuje následovně: ze podmínky problému vyplývá, že hledaná čísla nejsou stejná, protože kdyby byla stejná, pak by jejich součin byl roven ne 96, ale 100. Jeden z nich tedy bude více než poloviční jejich součtu, tj. ... 10 + x, druhé je méně, tj. 10 - x... Rozdíl mezi nimi 2x .

Proto rovnice:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odtud x = 2... Jedno z požadovaných čísel je 12 , jiný 8 ... Řešení x = -2 Diophantus neexistuje, protože řecká matematika znala pouze kladná čísla.

Pokud tento problém vyřešíme výběrem jednoho z požadovaných čísel jako neznámého, dostaneme se k řešení rovnice

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20 let + 96 = 0. (2)

Je zřejmé, že výběrem polovičního rozdílu hledaných čísel jako neznámého Diophantus zjednodušuje řešení; se mu podaří problém redukovat na řešení neúplné kvadratické rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

S problémy kvadratických rovnic se již setkáváme v astronomickém traktu „Aryabhattiam“, který v roce 499 sestavil indický matematik a astronom Aryabhatta. Další indický učenec, Brahmagupta (VII. Století), nastínil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic, redukované na jedinou kanonickou formu:

ah 2+ b x = c, a> 0. (1)

V rovnici (1) jsou koeficienty, kromě A, může být negativní. Pravidlo Brahmagupty je v podstatě stejné jako naše.

Ve starověké Indii byla veřejná soutěž o řešení obtížných problémů běžná. Jedna ze starověkých indických knih o těchto soutěžích říká toto: „Jak slunce zastiňuje hvězdy svou brilancí, tak naučený muž zatemní slávu druhého v populárních shromážděních, navrhuje a rozhoduje algebraické problémy". Problémy byly často oblečeny do poetické podoby.

Zde je jeden z úkolů slavného indického matematika století XII. Bhaskaras.

Problém 13.

"Hnusné hejno opic A dvanáct podél vinic ..."

Po požití síly se bavte. Začali skákat, viset ...

Na náměstí je jich osmá část. Kolik tam bylo opic,

Bavil jsem se na mýtině. Řekni mi, v tomto balíčku? "

Bhaskarovo řešení naznačuje, že věděl o dvoucenných kořenech kvadratických rovnic (obr. 3).

Rovnice odpovídající problému 13:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara píše pod rouškou:

x 2 - 64x = -768

a, abychom dokončili levou stranu této rovnice na čtverec, přidá se na obě strany 32 2 , pak získáte:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice pro al - Khorezmi

Algebraické pojednání al - Khorezmi uvádí klasifikaci lineárních a kvadratických rovnic. Autor čítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je následovně:

1) „Čtverce se rovnají kořenům“, tj. sekera 2 + c = b NS.

2) „Čtverce se rovnají číslu“, tj. sekera 2 = c.

3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ah = c.

4) „Čtverce a čísla se rovnají kořenům“, tzn sekera 2 + c = b NS.

5) „Čtverce a kořeny se rovnají číslu“, tj. ah 2+ bx = s.

6) „Kořeny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c = sekera 2.

Pro al - Khorezmiho, který se vyhnul použití záporných čísel, jsou podmínky každé z těchto rovnic sčítanci, nikoli odečteny. V tomto případě se rovnice, které nemají pozitivní řešení, rozhodně nebere v úvahu. Autor nastiňuje způsoby řešení těchto rovnic pomocí technik al - jabr a al - muqabal. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshoduje s naším. Kromě toho, že je to čistě rétorické, je třeba například poznamenat, že při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu

al - Khorezmi, jako všichni matematici před 17. stoletím, nebere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že na konkrétních praktických problémech nezáleží. Při řešení úplných kvadratických rovnic stanoví al - Khorezmi pomocí konkrétních numerických příkladů pravidla pro řešení a poté geometrické důkazy.

Problém 14."Čtverec a číslo 21 se rovnají 10 kořenům." Najděte kořen " (implikuje kořen rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorské řešení zní asi takto: rozdělte počet kořenů na polovinu, získáte 5, vynásobte 5 sám, odečtěte 21 od produktu, bude 4. Extrahujte kořen 4, dostanete 2. Odečtěte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 k 5, což dává 7, to je také kořen.

Pojednání al - Khorezmi je první kniha, která k nám přišla, ve které je systematicky představena klasifikace kvadratických rovnic a uvedeny vzorce pro jejich řešení.

1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII cc

Vzorce pro řešení kvadratických rovnic na modelu al - Khorezmi v Evropě byly poprvé představeny v „knize Abacus“, napsané v roce 1202 italským matematikem Leonardem Fibonaccim. Toto objemné dílo, které odráží vliv matematiky, a to jak v zemích islámu, tak Starověké Řecko, se liší jak úplností, tak srozumitelností prezentace. Autor sám vyvinul několik nových. algebraické příkladyřešení problémů a první v Evropě přistoupil k zavedení záporných čísel. Jeho kniha přispěla k šíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale i v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z „Knihy počítadla“ bylo přeneseno téměř do všech evropských učebnic 16. - 17. století. a částečně XVIII.

Obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic redukované na jedinou kanonickou formu:

x 2 + bx = s,

se všemi možnými kombinacemi kurzových značek b , s byl v Evropě formulován až v roce 1544 M. Stiefelem.

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecný pohled je ve Viet, nicméně Viet uznal pouze pozitivní kořeny. Italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli byli mezi prvními v 16. století. Kromě pozitivních se berou v úvahu také negativní kořeny. Teprve v 17. století. Díky práci Girarda, Descarta, Newtona a dalších vědců získává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu.

1.6 O Vietově větě

Věta vyjadřující spojení mezi koeficienty kvadratické rovnice a jejími kořeny, pojmenovaná Vieta, poprvé zformuloval v roce 1591 takto: „Pokud B + D vynásobeno A - A 2 , rovná se BD, pak A rovná se PROTI a rovný D ».

Abychom porozuměli Vietě, měli bychom si to pamatovat A, jako každá samohláska, pro něj znamenalo neznámé (naše NS), samohlásky PROTI, D- koeficienty pro neznámé. V jazyce moderní algebry Vieta výše uvedená formulace znamená: pokud

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjádření vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic obecnými vzorci psanými pomocí symbolů, Viet stanovil jednotnost v metodách řešení rovnic. Symbolika Viety má však ještě daleko moderní vzhled... Nerozpoznal záporná čísla, a proto při řešení rovnic zvažoval pouze případy, kdy jsou všechny kořeny kladné.

2. Metody řešení kvadratických rovnic

Kvadratické rovnice jsou základem, na kterém spočívá nádherná stavba algebry. Kvadratické rovnice jsou široce používány při řešení goniometrických, exponenciálních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovností. Všichni víme, jak řešit kvadratické rovnice od školy (ročník 8), až do ukončení studia.

Rovněž jsou studovány problémy pro kvadratickou rovnici školní osnovy a na univerzitách. Jsou chápány jako rovnice tvaru a * x ^ 2 + b * x + c = 0, kde X - proměnná, a, b, c - konstanty; A<>0. Úkolem je najít kořeny rovnice.

Geometrický význam kvadratické rovnice

Graf funkce, která je reprezentována kvadratickou rovnicí, je parabola. Řešení (kořeny) kvadratické rovnice jsou průsečíky paraboly s osou x (x). Z toho plynou, že existují tři možné případy:
1) parabola nemá žádné průsečíky s osou úsečky. To znamená, že je v horní rovině s větvemi nahoru nebo dolů s větvemi dolů. V takových případech kvadratická rovnice nemá skutečné kořeny (má dva složité kořeny).

2) parabola má jeden průsečík s osou Ox. Takový bod se nazývá vrchol paraboly a kvadratická rovnice v něm získává svoji minimální nebo maximální hodnotu. V tomto případě má kvadratická rovnice jeden skutečný kořen (nebo dva stejné kořeny).

3) Poslední případ v praxi je to zajímavější - existují dva body průsečíku paraboly s osou úsečky. To znamená, že existují dva skutečné kořeny rovnice.

Na základě analýzy koeficientů ve stupních proměnných lze vyvodit zajímavé závěry o umístění paraboly.

1) Pokud je koeficient a větší než nula, pak parabola směřuje nahoru, pokud je záporná, větve paraboly směřují dolů.

2) Pokud je koeficient b větší než nula, pak vrchol paraboly leží v levé polorovině, pokud nabývá záporné hodnoty, pak vpravo.

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice

Přesuňte konstantu z kvadratické rovnice

pro znaménko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obě strany 4a

Chcete -li získat úplný čtverec vlevo, přidejte do obou částí b ^ 2 a proveďte transformaci

Odtud najdeme

Vzorec pro diskriminátor a kořeny kvadratické rovnice

Diskriminant se nazývá hodnota radikálního výrazu. Pokud je kladný, má rovnice dva skutečné kořeny, vypočítané podle vzorce Když je diskriminant nulový, má kvadratická rovnice jedno řešení (dva shodující se kořeny), které lze snadno získat z výše uvedeného vzorce, když D = 0. Pokud je diskriminant negativní, rovnice nemá skutečné kořeny. Najdou se však řešení kvadratické rovnice v komplexní rovině a jejich hodnota se vypočítá podle vzorce

Vietina věta

Zvažte dva kořeny kvadratické rovnice a sestrojte kvadratickou rovnici na jejich základě. Vietova věta snadno vyplývá z notace: pokud máme kvadratickou rovnici tvaru pak součet jejích kořenů se rovná koeficientu p přijatému s opačným znaménkem a součin kořenů rovnice se rovná volnému členu q. Formální zápis výše uvedeného bude vypadat takto. Pokud je v klasické rovnici konstanta a nenulová, je třeba ji vydělit celou rovnicí a poté použít Vietovu větu.

Naplánujte kvadratickou rovnici pro faktory

Nechť je zadán úkol: vyloučit kvadratickou rovnici. Abychom to provedli, nejprve vyřešíme rovnici (najdeme kořeny). Dále dosadíme nalezené kořeny do expanzního vzorce pro kvadratickou rovnici, což problém vyřeší.

Problémy kvadratické rovnice

Cíl 1. Najděte kořeny kvadratické rovnice

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Řešení: Zapíšeme koeficienty a dosadíme je do diskriminačního vzorce

Kořen této hodnoty je 14, snadno ji najdete pomocí kalkulačky, nebo si ji zapamatujte častým používáním, nicméně pro pohodlí vám na konci článku dám seznam čtverců čísel, která často mohou být nalezené v takových úkolech.
Nalezenou hodnotu dosadíme do kořenového vzorce

a dostáváme

Cíl 2. Vyřešte rovnici

2x 2 + x-3 = 0.

Řešení: Máme úplnou kvadratickou rovnici, vypíšeme koeficienty a najdeme diskriminátor


Pomocí známých vzorců najdeme kořeny kvadratické rovnice

Cíl 3. Vyřešte rovnici

9x 2-12x + 4 = 0.

Řešení: Máme úplnou kvadratickou rovnici. Určete diskriminátora

Máme případ, kdy se kořeny shodují. Hodnoty kořenů najdeme podle vzorce

Úkol 4. Vyřešte rovnici

x ^ 2 + x-6 = 0.

Řešení: V případech, kde jsou malé koeficienty na x, je vhodné použít Vietovu větu. Jeho podmínkou získáme dvě rovnice

Z druhé podmínky dostaneme, že součin by měl být roven -6. To znamená, že jeden z kořenů je negativní. Máme následující možnou dvojici řešení (-3; 2), (3; -2). S přihlédnutím k první podmínce odmítáme druhou dvojici řešení.
Kořeny rovnice jsou si rovny

Problém 5. Najděte délky stran obdélníku, pokud je jeho obvod 18 cm a jeho plocha 77 cm 2.

Řešení: Polovina obvodu obdélníku je součtem sousedních stran. Označme x - velká strana, pak 18 -x je její menší strana. Plocha obdélníku se rovná součinu těchto délek:
x (18-x) = 77;
nebo
x 2 -18x + 77 = 0.
Najděte diskriminátor rovnice

Vypočítejte kořeny rovnice

Li x = 11, pak 18 = 7, naopak je to také pravda (pokud x = 7, pak 21-x = 9).

Problém 6. Rozdělte 10x 2 -11x + 3 = 0 čtvercových rovnic.

Řešení: Vypočítáme kořeny rovnice, k tomu najdeme diskriminační

Nahraďte nalezenou hodnotu do kořenového vzorce a vypočítejte

Aplikujeme vzorec pro rozšíření kvadratické rovnice v kořenech

Rozbalením závorek získáme identitu.

Kvadratická rovnice s parametrem

Příklad 1. Pro jaké hodnoty parametru a, má rovnice (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 jeden kořen?

Řešení: Přímou substitucí hodnoty a = 3 vidíme, že nemá řešení. Dále použijeme skutečnost, že pro nulový diskriminátor má rovnice jeden kořen multiplicity 2. Vypišme diskriminátora

zjednodušit a přirovnat k nule

Pro parametr a jsme získali kvadratickou rovnici, jejíž řešení lze snadno získat Vietovou větou. Součet kořenů je 7 a jejich součin je 12. Jednoduchým výčtem stanovíme, že kořeny rovnice budou čísla 3,4. Protože jsme řešení a = 3 na začátku výpočtů již odmítli, jediné správné bude - a = 4. Pro a = 4 má tedy rovnice jeden kořen.

Příklad 2. Pro jaké hodnoty parametru a, rovnice a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 má více než jeden root?

Řešení: Nejprve zvažte singulární body, budou to hodnoty a = 0 a a = -3. Když a = 0, rovnice se zjednoduší na tvar 6x-9 = 0; x = 3/2 a bude jeden kořen. Pro a = -3 získáme identitu 0 = 0.
Vypočítáme diskriminační

a najděte hodnoty a, na kterých je kladné

Z první podmínky dostaneme> 3. Za druhé najdeme diskriminátor a kořeny rovnice


Definujme intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot. Dosazením bodu a = 0 získáme 3>0 . Takže mimo interval (-3; 1/3) je funkce záporná. Nezapomeňte na pointu a = 0, což by mělo být vyloučeno, protože původní rovnice má v sobě jeden kořen.
V důsledku toho získáme dva intervaly, které splňují podmínku problému

V praxi bude mnoho podobných úkolů, zkuste si úkoly vymyslet sami a nezapomeňte vzít v úvahu podmínky, které se vzájemně vylučují. Naučte se dobře vzorce pro řešení kvadratických rovnic, často jsou potřeba při výpočtech v různých problémech a vědách.