Které výrazy jsou aritmetické progrese. Algebraický pokrok

Například sekvence (2); \\(Pět\\); \\(osm\\); \\(jedenáct\\); (14) ... je aritmetický progrese, protože každý další prvek se liší od předchozího (lze získat z předchozího přídavného vynálezu):

V tomto postupu je rozdíl (D) pozitivní (rovný (3)), a proto je každý další člen větší než předchozí. Taková progrese se nazývá vzrůstající.

Nicméně (D) mohou být záporné číslo. například, v aritmetický postup \\(šestnáct\\); (10); (čtyři); (- 2); (- 8) ... Rozdíl progrese (D) je minus šest.

A v tomto případě bude každý další prvek menší než předchozí. Tyto postupy se nazývají klesající.

Označení aritmetické progrese

Progrese je označen malým latinským dopisem.

Čísla tvořící progresi Členové (nebo prvky).

Jsou označeny stejným písmenem jako aritmetický progrese, ale s číselným indexem rovným číslu prvků v pořádku.

Například aritmetická progrese (a_n \u003d vlevo (2, vlevo (2; 5; 8; 11; 14 ...)) se skládá z prvků (a_1 \u003d 2); (a_2 \u003d 5); (A_3 \u003d 8) a tak dále.

Jinými slovy, pro progrese (a_n \u003d vlevo (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ t

Řešení úkolů pro aritmetickou progresi

Výše uvedené informace jsou v zásadě dostačující k vyřešení téměř jakéhokoli úkolu na aritmetické progresi (včetně těch, které nabízejí na OGE).

Příklad (OGE). Aritmetická progrese je nastavena podle podmínek (B_1 \u003d 7; D \u003d 4). Najít (b_5).
Rozhodnutí:

Odpovědět: (b_5 \u003d 23)

Příklad (OGE). První tři členové aritmetického progrese jsou uvedeny: (62; 49; 36 ...) Najít hodnotu prvního negativního člena tohoto progrese.
Rozhodnutí:

	Dostáváme první prvky sekvence a je známo, že je to aritmetická progrese. To znamená, že každý prvek se liší od stejného sousedního čísla. Naučíme se o tom, co odečtení od dalšího prvku předchozí: (D \u003d 49-62 \u003d -13).
	Nyní můžeme obnovit náš postup na ten, který potřebujeme (první negativní) prvek.
	Připraven. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(-3\)

Příklad (OGE). Existuje několik aritmetických aritmetických prvků prvků aritmetického progrese: (... 5; x; 10; 12,5 ...) Vyhledejte hodnotu prvku označeného písmenem (x).
Rozhodnutí:

	Chcete-li najít (x), musíme vědět, kolik prvek se liší od předchozího, jinými slovy - rozdíl progrese. Najdeme ji ze dvou známých sousedních prvků: (D \u003d 12,5-10 \u003d 2,5).
	A teď bez problémů najdeme požadované: (x \u003d 5 + 2,5 \u003d 7,5).
	Připraven. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: \(7,5\).

Příklad (OGE). Aritmetická progrese je stanovena následujícími podmínkami: (A_1 \u003d -11); (A_ (n + 1) \u003d A_N + 5) Najít součet prvních šesti členů tohoto progrese.
Rozhodnutí:

Musíme najít množství prvních šesti členů progrese. Ale my neznáte jejich hodnoty, dostaneme jen první prvek. Proto nejprve vypočítat hodnoty zase pomocí tohoto s použitím toho: (n \u003d 1); (A_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\ t (n \u003d 2); (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\ t (n \u003d 3); (A_ (3 + 1) \u003d a_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4) A výpočet šesti prvků, které potřebujeme - najdeme jejich částku.

(S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d \\) \\ t \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Bylo nalezeno požadované množství.

Odpovědět: (S_6 \u003d 9).

Příklad (OGE). V aritmetickém progresi (a_ (12) \u003d 23); (A_ (16) \u003d 51). Najít rozdíl v tomto progresi.
Rozhodnutí:

Odpovědět: (D \u003d 7).

Důležité vzorce pro aritmetickou progresi

Jak vidíte, mnoho úkolů na aritmetickém progresi lze vyřešit, jednoduše pochopit hlavní věcí - že aritmetická progrese je řetěz čísel a každý další prvek v tomto řetězci se získá přidáním na předchozí a stejné číslo ( Rozdíl progrese).

Někdy však existují situace, kdy je docela nepříjemné rozhodnout se "na čele". Představte si například, že v prvním příkladu musíme najít ne pátý prvek (b_5) a tři sta osmdesát šest (b_ (386)). To je to, co, US (385) přidat čtyřikrát? Nebo si představte, že v předposledním příkladu je nutné najít součet prvních sedmdesáti tří prvků. Zvažte mučení ...

V takových případech proto "v čele" nevyřeší, ale používejte speciální vzorce odvozené pro aritmetickou progresi. A hlavní z nich jsou vzorec neplatného člena progrese a vzorec částky (n) prvních členů.

Formule (n) - člen: (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d), kde (a_1) je první termín progrese;
(n) - počet uměleckých prvků;
(A_N) je členem progrese s číslem (n).

Tento vzorec nám umožňuje rychle najít alespoň tři setiny, přinejmenším milion prvků, znát pouze první a rozdíl progrese.

Příklad. Aritmetická progrese je stanovena podle podmínek: (B_1 \u003d -159); (D \u003d 8.2). Najít (b_ (246)).
Rozhodnutí:

Odpovědět: (b_ (246) \u003d 1850).

Vzorec množství prvních členů: (s_n \u003d frac (a_1 + a_n) (2) cdot n), kde

(a_n) - poslední sumatelný člen;

Příklad (OGE). Aritmetická progrese je nastavena podle podmínek (A_N \u003d 3,4N-0,6 \\). Najděte částku prvního člena (25) tohoto progrese.
Rozhodnutí:

(S_ (25) \u003d) \\ (Frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (CDOT 25) \\ t		Pro výpočet množství prvních dvaceti pěti prvků potřebujeme znát hodnotu prvního a dvacetého pátého člena. Naše progrese je požádán vzorec členského člena ENON v závislosti na jeho čísle (viz více informací). Pojďme vypočítat první prvek, nahrazující místo (n) jednotku.
(n \u003d 1;) (a_1 \u003d 3.4 · 1-0.6 \u003d 2.8 \\ t		Nyní najdeme dvacátého pátého člena, nahrazení místo (n) dvacet pět.
(n \u003d 25;) (a_ (25) \u003d 3.4 · 25-0.6 \u003d 84.4)		No, a nyní bez problémů vypočítáme požadované množství.
(S_ (25) \u003d) \\ (Frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (CDOT 25 \u003d) (\u003d) (Frac (2,8 + 84.4) (2) \\) \\ (cdot 25 \u003d) (1090) \\ t		Odpověď je připravena.

Odpovědět: (S_ (25) \u003d 1090).

Pro částku (n) prvních členů, můžete získat další vzorec: Stačí jen (s_ (25) \u003d) (frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ t CDOT 25) namísto (A_N), nahraďte vzorec (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D). Dostaneme:

Vzorec množství prvních členů: \\ (S_N \u003d) (Frac (2A_1 + (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (cdot n), kde

(S_n) je požadovaná částka (n) prvních prvků;
(A_1) - první sumatelný člen;
(D) - rozdíl progrese;
(n) - počet prvků ve výši.

Příklad. Najděte částku prvního (33) - ex z členů aritmetického progrese: (17); (15.5); \\(čtrnáct\\)…
Rozhodnutí:

Odpovědět: (S_ (33) \u003d - 231).

Komplexnější úkoly pro aritmetickou progresi

Nyní máte všechny potřebné informace, abyste vyřešili téměř jakýkoliv úkol na aritmetickém progresi. Dokončete téma s ohledem na úkoly, ve kterém není snadné používat vzorce, ale také přemýšlet trochu (v matematice je užitečné ☺)

Příklad (OGE). Najděte součet všech negativních členů progrese: (- 19.3); \\(-devatenáct\\); (- 18.7) ...
Rozhodnutí:

(S_n \u003d) (frac (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (cdot n)		Úkol je velmi podobný předchozímu. Začínáme také řešit: Nejprve najdeme (D).
(D \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0,3 \\ t		Teď bych nahradil (D) ve vzorci za částku ... a tady se objevuje malá nuance - nevíme (n). Jinými slovy, nevíme, kolik členů bude muset být složeno. Jak to zjistit? Přemýšlejme. Zastavíme skládací prvky, když dosáhneme prvního pozitivního prvku. To znamená, že potřebujete znát číslo této položky. Jak? Píšeme vzorec pro výpočet libovolného prvku aritmetického progrese: (A_N \u003d A_1 + (n - 1) D) pro náš případ.
(a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\)
(a_n \u003d -19.3 + (n - 1) · 0,3 \\ t		Potřebujeme, takže (A_N) se stala nulovou. Tedy, s tím, co se stane.
(- 19.3+ (n - 1) · 0,3\u003e 0)
((n - 1) · 0,3\u003e 19.3) (|: 0.3)		Vydělujeme obě části nerovnosti (0,3).
(N-1\u003e) (frac (19.3) (0.3) \\ t		Nést mínus jeden, nezapomeňte změnit značky
(n\u003e) (frac (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1)		Vypočítat ...
(n\u003e 65,333 ...) \\ t		Ukazuje se, že první pozitivní prvek bude mít číslo (66). Druhý negativní má tedy (n \u003d 65). Jen v případě, zkontrolujte to.
(n \u003d 65;) (a_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0.1 \\) (n \u003d 66;) (a_ (66) \u003d - 19,3+ (66-1) · 0,3 \u003d 0,2 \\ t		Musíme tedy složit prvních prvků (65).
(S_ (65) \u003d) (Frac (2 \\ cdot (-19.3) + (65-1) 0,3) (2) \\ t\\ (CDOT 65) (S_ (65) \u003d) ((- 38,6 + 19.2) (2) \\) \\ (CDOT 65 \u003d -630.5)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: (S_ (65) \u003d - 630,5).

Příklad (OGE). Aritmetická progrese je stanovena podle podmínek: (A_1 \u003d -33); (A_ (n + 1) \u003d a_n + 4). Najít součet z (26) na (42) Element inclusive.
Rozhodnutí:

(A_1 \u003d -33;) (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4)	Tento úkol také musí najít množství prvků, ale začíná od prvního a 26). Pro takový případ nemáme žádné vzorce. Jak vyřešit? Snadné - Chcete-li získat částku z (26) - jít do (42) - Oh, je nutné nejprve najít částku od (1) - wow (42) - Oh, a pak odpočet částka z něj nejprve (25) - CSO (viz obrázek).
	Pro náš postup (A_1 \u003d -33) a rozdíl (D \u003d 4) (Koneckonců přidáváme předchozí prvek předchozí položce, abyste našli další). Vědět to, najdeme množství prvního (42) - končí.
(S_ (42) \u003d) (Frac (2 \\ CDOT (-33) + (42-1) 4) (2) \\) \\ t(cdot 42 \u003d \\ t (\u003d) (Frac (-66 + 164) (2)) \\ (042 \u003d 2058 \\ t	Nyní množství prvních prvků prvního (25).
(S_ (25) \u003d) (Frac (2 \\ CDOT (-33) + (25-1) 4) (2) \\ t\\ (CDOT 25 \u003d) (\u003d) (Frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (CDOT 25 \u003d 375)	A konečně jsme spočítali odpověď.
(S \u003d s_ (42) -s_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\ t

Odpovědět: (S \u003d 1683).

Pro aritmetickou progresi existuje několik dalších vzorců, které jsme v tomto článku nepovažovali kvůli jejich malému praktickému užitkám. Můžete je snadno najít.

I. V. Yakovlev | Matematické materiály | Mathus.ru.

Aritmetický postup

Aritmetická progrese je speciální sekvence formuláře. Proto před tím, než dáte definici aritmetiky (a pak geometrické) progrese, musíme stručně diskutovat o důležitém pojetí numerické sekvence.

Sekvence

Představte si, že zařízení na obrazovce, jejíž zobrazí se některá čísla. Řekněme 2; 7; 13; jeden; 6; 0; 3; ::: Taková sada čísel je jen příkladem sekvence.

Definice. Číselná sekvence je sada čísel, ve kterých lze každé číslo přiřadit jedinečné číslo (tj. Pro skládání jediného přirozeného čísla) 1. Číslo n číslo n-m péro Sekvence.

Tak, v příkladu výše, první číslo má číslo 2 je první člen sekvence, která může být označena A1; Číslo pět má číslo 6 je pátý člen sekvence, která může být označena A5. Vůbec, n-th člen Sekvence je označena (nebo BN, CN atd.).

Situace je velmi pohodlná, když je n-th člen sekvence požádán o nějaký vzorec. Například vzorec an \u003d 2N 3 nastaví sekvenci: 1; jeden; 3; Pět; 7; :::: vzorec an \u003d (1) n nastaví sekvenci: 1; jeden; jeden; jeden; :: :::

Ne mnoho čísel je posloupnost. Segment není tak posloupnost; Obsahuje spoustu mnoha čísel, aby si mohli pronajmout. Sada R všechná platná čísla také není posloupnost. Tyto skutečnosti jsou prokázány v průběhu matematické analýzy.

Aritmetická progrese: Základní definice

Nyní jsme připraveni definovat aritmetickou progresi.

Definice. Aritmetická progrese je sekvence, z nichž každý člen (začíná od druhého) se rovná množství předchozího členu a některé pevné číslo (nazývané rozdíl v aritmetickém progresi).

Například sekvence 2; Pět; osm; jedenáct; ::: Je to aritmetická progrese s prvním termínem 2 a rozdílem 3. sekvence 7; 2; 3; osm; ::: Je to aritmetická progrese s prvním termínem 7 a rozdílem 5. sekvence 3; 3; 3; ::: Je to aritmetická progrese s rozdílem rovným nule.

Ekvivalentní definice: sekvence A se nazývá aritmetická progrese, pokud je rozdíl + 1 a je trvalá hodnota (nezávislá na n).

Aritmetická progrese se nazývá zvyšování, pokud je jeho rozdíl pozitivní a snižuje se, pokud je jeho rozdíl negativní.

1, ale více laconic Definition: Sekvence je funkce definovaná na sadě přirozená čísla. Například sekvence platných čísel má funkci F: n! R.

Výchozí sekvence je považována za nekonečnou, což je, které obsahují nekonečné množství čísel. Ale nikdo nesvítí, aby zvážili závěrečné sekvence; Ve skutečnosti, jakákoliv konečná sada čísel lze nazvat konečnou sekvencí. Například poslední sekvence 1; 2; 3; čtyři; 5 se skládá z pěti čísel.

Vzorec n-tého člena aritmetického progrese

Je snadné pochopit, že aritmetická progrese je plně určena dvěma čísly: první člen a rozdíl. Proto dotazuje otázka: Jak, znát první termín a rozdíl, najít libovolný člen aritmetického progrese?

Získejte požadovaný vzorec n-tého člena aritmetického progrese není obtížné. Nechte to.

aritmetický progrese s rozdílem d. My máme:
a + 1 \u003d A + D (n \u003d 1; 2; :: :):
Zejména píšeme:
a2 \u003d A1 + D;
a3 \u003d A2 + D \u003d (A1 + D) + D \u003d A1 + 2D;
a4 \u003d A3 + D \u003d (A1 + 2D) + D \u003d A1 + 3D;
a teď je jasné, že vzorec pro formulář:
an \u003d A1 + (n 1) D:

Úkol 1. V aritmetickém progresi 2; Pět; osm; jedenáct; :::: najít vzorec n-tého člena a vypočítat stotský člen.

Rozhodnutí. Podle vzorce (1) máme:

a \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3N 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Majetek a znamení aritmetické progrese

Vlastnictví aritmetického progrese. V aritmetickém postupu

Jinými slovy, každý člen aritmetického progrese (začíná od druhého) je střední aritmetické sousední členy.

	Důkaz. My máme:
	a n 1 + a n + 1		(D) + (an + d)

co bylo nutné.

Více běžná cestaPro aritmetickou progresi je rovnost spravedlivé

a n \u003d a n k + a n + k

s libovolným n\u003e 2 a jakýmkoliv přirozeným k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ukazuje se, že vzorec (2) slouží nejen nezbytné, ale také dostatečné podmínky, že sekvence je aritmetická progrese.

Znamení aritmetické progrese. Pokud se žádná rovnost (2) provádí pro všechny n\u003e 2, pak sekvence A je aritmetický progrese.

Důkaz. Přepíšeme vzorec (2) takto:

a n a n 1 \u003d a n + 1 a n:

Je vidět, že rozdíl A + 1 A nezávisí na n, a to je jen to znamená, že sekvence A je aritmetický progrese.

Vlastnost a znamení aritmetické progrese lze formulovat ve formě jednoho prohlášení; Uděláme to pro pohodlí pro tři čísla (tato situace se často nachází v úkolech).

Charakterizace aritmetického progrese. Tři čísla A, B, C tvoří aritmetický postup pak a pouze pokud 2B \u003d A + C.

Úkol 2 (MSU, ESCU. FT, 2007) Tři čísla 8x, 3 x2 a 4 v zadaném postupu tvoří klesající aritmetickou progresi. Najít x a uveďte rozdíl tohoto progrese.

Rozhodnutí. Majetkem aritmetického progrese máme:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, X2 + 4x 5 \u003d 0, X \u003d 1; X \u003d 5:

Pokud x \u003d 1, pak klesající progrese 8, 2, 4 se získá s rozdílem 6. Pokud x \u003d 5, pak se získá zvyšující se progrese 40, 22, 4; Tento případ není vhodný.

Odpověď: X \u003d 1, rozdíl se rovná 6.

Součet prvních n členů aritmetického progrese

Legenda říká, že jeden den učitel nařídil děti najít součet čísel od 1 do 100 a seděl klidně číst noviny. Několik minut však neprošelo, protože jeden chlapec řekl, že se rozhodl úkol. Byl to 9letý Carl Friedrich Gauss, následně jeden z největších matematiků v historii.

Myšlenka malého Gaussu byla následující. Nech být

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Tyto částky píšeme v opačném pořadí:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

a položit dva tyto vzorce:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Každý termín v závorkách se rovná 101 a všechny tyto podmínky 100. Proto

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Tento nápad používáme pro výstup součtu částky.

S \u003d A1 + A2 + :: + A + A N N: (3)

Užitečné modifikace vzorce (3) se získá, pokud nahradí vzorec n-tého členu A \u003d A1 + (n 1) D:

		2A1 + (n 1) d

Úkol 3. Najděte součet všech pozitivních třímístných čísel dělených 13.

Rozhodnutí. Třímístná čísla, vícenásobná 13, tvoří aritmetickou progresi s prvním členem 104 a rozdíl mezi 13; N-th členem tohoto progrese je:

a \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Zjistíme, kolik členů obsahuje náš průběh. Chcete-li to udělat, vyřešte nerovnost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n6 908 13 \u003d 6911 13; N 6 69:

Takže v naší progresi 69 členů. Podle vzorce (4) najdeme vyhledanou částku:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Takže, posaďte se a začněte psát všechna čísla. Například:
Můžete napsat libovolná čísla a mohou být jakýkoliv (v našem případě). Kolik čísel, které jsme napsali, můžeme vždy říci, který z nich je druhý a tak na poslední, to je, můžeme je necitliví. Toto je příklad numerické sekvence:

Číslo sekvence
Například pro naši posloupnost:

Přiřazené číslo je charakteristické pouze pro jeden počet sekvencí. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádné tři sekundy. Druhé číslo (jako číslo) je vždy jeden.
Číslo s číslem se nazývá člen sekvence.

Obvykle voláme všechny sekvence (například) a každý člen této sekvence je stejný dopis s indexem rovným počtu tohoto člena :.

V našem případě:

Předpokládejme, že máme Číslo sekvenceve kterém je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a rovný.
Například:

atd.
Taková numerická sekvence se nazývá aritmetický pokrok.
Termín "progrese" byl představen římským autorem Boeziem v 6. století a byl chápán v širším smyslu jako nekonečná numerická sekvence. Jméno "aritmetika" byl převeden z teorie nepřetržitých proporcí, které se zapojily do starých Řeků.

Jedná se o numerickou sekvenci, z nichž každý je stejný předchozí, složený se stejným číslem. Toto číslo se nazývá rozdílu v aritmetickém progresi a je indikováno.

Snažte se zjistit, které numerické sekvence jsou aritmetický pokrok a které nejsou:

a)
b)
C)
d)

Přišla na to? Porovnejte naše odpovědi:
Je Aritmetický pokrok - B, C.
Není Aritmetická progrese - A, D.

Vraťme se do daného progrese () a pokuste se najít význam IT - člen. Existuje dva Jak ho najít.

1. Metoda

Můžeme přidat do předchozí hodnoty počtu progrese, dokud nebudeme dělat před postupem progrese. Je dobré, že musíme shrnout trochu levice - pouze tři významy:

Takže člen popsaného aritmetického progrese je stejný.

2. Metoda

A co budeme muset najít význam člena progrese? Summace by s námi nebere jednou hodinu, a ne skutečnost, že bychom se nedostali při přidávání čísel.
Samozřejmě, matematika přišla s metodou, ve které není třeba přidat rozdíl v aritmetickém progresi na předchozí hodnotu. Podívejte se opatrně na nakreslené kresbě ... Jistě jste si již všimli nějaké pravidelnosti, konkrétně:

Podívejme se například, jaká je hodnota člena tohoto aritmetického progrese:


Jinými slovy:

Snažte se tímto způsobem najít význam člena tohoto aritmetického progrese.

Vypočteno? Porovnejte své záznamy s odpověďmi:

Upozorňujeme, že máte přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme byli důsledně přidáni do předchozí hodnoty členů aritmetického progrese.
Zkusme "detekovat" tento vzorec - dáváme to obecný formulář a dostat:

Rovnice aritmetického progrese.

Aritmetická progrese se zvyšuje a klesá se.

Vzrůstající - Průběhy, ve kterých každá následná hodnota členů je více než předchozí.
Například:

Klesající - Průběhy, ve kterých je každá následná hodnota členů menší než předchozí.
Například:

Odvozený vzorec se aplikuje při výpočtu členů jak ve zvyšování a snižování členů aritmetického progrese.
Zkontrolujte to v praxi.
Dostáváme aritmetickou progresi, skládající se z následujících čísel: Zkontrolujte, jaký je číslo tohoto aritmetického progrese, pokud používáte svůj vzorec při výpočtu:

Od té doby:

Proto jsme se ujistili, že vzorec působí jak v sestupném a zvyšováním aritmetickém progresi.
Snažte se najít své vlastní členy tohoto aritmetického progrese.

Porovnejte získané výsledky:

Vlastnost aritmetické progrese

Dokončete úkol - stáhněte vlastnost aritmetického progrese.
Předpokládejme, že jsme dali takový stav:
- Aritmetická progrese, najít hodnotu.
Snadno, řeknete, a začnete zvážit vzorec, který vám již známý:

A pak:

Naprosto správně. Ukazuje se, že nejprve najdeme, pak jej přidejte do prvního čísla a získejte požadovaný. Pokud je progrese reprezentována malými hodnotami, v tom není nic složitého, a pokud je číslo dáno nám? Souhlasím, je tu šance udělat chybu ve výpočtech.
A teď si myslíte, že je možné tento problém vyřešit v jedné akci pomocí libovolného vzorce? Samozřejmě, ano, a je to ona, že se pokusíme to hned teď.

Požadovaným členem aritmetického progrese označujeme jako, vzorec pro jeho umístění je známo nám - to je samotný vzorec odvozený u nás na začátku:
, pak:

• předchozí termín progrese je:
• následný člen progrese To je:

Shrneme předchozí a následné členy progrese:

Ukazuje se, že součet předchozích a následných členů progrese je dvojitá hodnota člena progrese, který je mezi nimi. Jinými slovy, najít hodnotu člena progrese se známými předchozími a po sobě následujícími hodnotami, je nutné je přidat a rozdělit.

To je správné, máme stejné číslo. Upevněte materiál. Vypočítejte hodnotu pro progrese sami, protože je to poměrně jednoduché.

Výborně! Víte téměř všechno o progresi! Zůstalo to zjistit pouze jeden vzorec, který na legendách bez obtíží vedl jeden z největších matematiků všech dob, "King of Mathematicians" - Karl Gauss ...

Když byl Carl Gaussu 9 let starý, učitelka zaneprázdněná kontrola práce studenty jiných tříd, zeptal se následující úkol v lekci: "Spočítejte součet všech přírodních čísel od (podle jiných zdrojů) včetně." Jaké bylo překvapení učitele, kdy jeden z jeho studentů (to byl Karl Gauss) za minutu poskytl správnou odpověď na úkolovou sadu, zatímco většina spolužáků Mozelchka po dlouhém výpočtu obdržel špatný výsledek ...

Mladý Karl Gauss si všiml nějaké pravidelnosti, kterou si můžete snadno všimnout.
Předpokládejme, že máme aritmetickou progresi, skládající se z člena: musíme najít množství těchto členů aritmetického progrese. Samozřejmě můžeme ručně shrnout všechny hodnoty, ale co dělat, pokud v úkolu bude nutné najít částku jejích členů, jak to hledalo Gauss?

Budu zobrazovat progrese, která nám dala. Podívejte se pozorně na vyhrazená čísla a pokuste se s nimi vyrobit různé matematické akce.


Pokusil se? Co jste si všiml? Že jo! Jejich součet jsou stejné

A teď odpovězte, kolik je takové páry v progresi, které nám daly? Samozřejmě, přesně polovina všech čísel, to znamená.
Na základě skutečnosti, že součet dvou členů aritmetického progrese je rovna a takovými stejnými dvojicemi, dostaneme, že celková částka je:
.
Vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické progrese tak bude takto:

V některých úkolech nám nejsou známy, ale rozdíl v progresi je znám. Snažte se nahradit souhrnný vzorec, člen člena.
Co jsi dělal?

Výborně! Nyní se vrátíme k úkolu, že Karl Gauss byl nastaven: počet nezávisle, což se rovná množství čísel, počínaje od -go, a množství čísel odchodu od -go.

Kolik jste udělal?
Gauss se ukázal, že množství členů je stejná a množství členů. Vyřešili jste?

Ve skutečnosti, vzorec součtu členů aritmetického progrese byl prokázán starověkým řeckým vědcem Diophanta ve 3. století, a v průběhu této doby se vtipní lidé používali s vlastnostmi aritmetického progrese.
Představte si například Starověký Egypt A největší konstrukce času - konstrukce pyramidy ... Obrázek ukazuje jednu stranu.

Kde jsi mi to řekl? Podívejte se pozorně a najít vzor v počtu pískových bloků v každé řadě stěny pyramidy.


Co není aritmetický progrese? Vypočítejte, kolik bloků je nezbytné pro konstrukci jedné stěny, pokud jsou blokové cihly umístěny v základně. Doufám, že se nepočítáte, vedte prstem přes monitor, pamatujete si na poslední vzorec a vše, co jsme hovořili o aritmetickém progresi?

V tento případ Progrese vypadá takto :.
Rozdíl aritmetického progrese.
Počet členů aritmetického progrese.
Naše data nahrazujeme v posledních vzorcích (vypočítáme počet bloků 2 způsoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A nyní je možné vypočítat na monitoru: porovnat získané hodnoty s počtem bloků, které jsou v naší pyramidě. Ukládání do mezipaměti? Dobrá práce, zvládli součet aritmetické aritmetické progrese.
Samozřejmě, z bloků na dně pyramidy nebude stavět, ale od? Pokuste se vypočítat, kolik pískových cihel je potřeba k vybudování zdi s takovým stavem.
Zvládnout?
Správná odpověď - bloky:

Cvičení

Úkoly:

1. Masha přichází ve tvaru v létě. Každý den zvyšuje počet dřepů. Kolikrát bude Masha po týdnech šitá, kdyby se v prvním tréninku zřídila dřepy.
2. Jaká je součet všech lichých čísel obsažených v.
3. Lumberboardy při skladování protokolů jsou naskládány tak, že každá horní vrstva obsahuje jeden log menší než předchozí. Kolik protokolů je v jednom zdivu, pokud základna zdiva slouží protokoly.

Odpovědi:

1. Definujeme parametry aritmetické progrese. V tomto případě
   (týdny \u003d dny).

   Odpovědět:Dva týdny, Masha musí squat jednou denně.

2. První liché číslo, poslední číslo.
   Rozdíl aritmetického progrese.
   Počet lichých čísel v polovině však zkontroluje tuto skutečnost pomocí vzorce zájmového člena aritmetického progrese:

   Čísla skutečně obsahují lichá čísla.
   Dostupná data nahrazena ve vzorci:

   Odpovědět:Součet všech lichých čísel obsažených v je stejná.

3. Připomeňme si úkol o pyramidě. Pro náš případ, A, protože každá horní vrstva klesá na jednom protokolu, pak v jen banda vrstev, to znamená.
   Náhradní data ve vzorci:

   Odpovědět:Ve zdiva je protokoly.

Shrnule si to

1. - Číslo sekvence, ve které je rozdíl mezi přilehlými čísly stejný a rovný. Stává se to růst a snižování.
2. Vzorec Stay. "Člen aritmetického progrese je zaznamenán vzorcem -, kde - počet čísel v progresi.
3. Majetek členů aritmetické progrese - - Kde - počet čísel v progresi.
4. Součet členů aritmetického progrese Lze nalézt dvěma způsoby:
   
   kde - počet hodnot.

Aritmetické progrese. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Číslo sekvence

Pojďme si posadit a začít psát všechna čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a tam může být kdekoli. Ale vždy můžete říct, který jeden z nich, co je druhá a tak dále, to znamená, že je můžeme nociovat. Toto je příklad numerické sekvence.

Číslo sekvence - To je spousta čísel, z nichž každá může být přiřazena jedinečné číslo.

Jinými slovy, každé číslo může být vloženo v souladu s určitým přirozeným číslem a jediný. A toto číslo nebudeme z této sady vhodné žádné jiné číslo.

Číslo s číslem se nazývá člen sekvence.

Obvykle voláme všechny sekvence (například) a každý člen této sekvence je stejný dopis s indexem rovným počtu tohoto člena :.

Velmi pohodlné, pokud člen sekvence může být požádán o nějaký vzorec. Například vzorec

určuje sekvenci:

A vzorec je taková sekvence:

Akutmetická progrese je například sekvence (první termín zde je stejný a rozdíl). Nebo (, rozdíl).

Vzorec n-th člen

Zavoláme takový vzorec, ve kterém potřebujete znát předchozí nebo více dříve známé:

Chcete-li najít pro takový vzorec, například člen progrese, budeme muset vypočítat předchozí devítko. Například, nechte. Pak:

Co je teď jasné, jaký vzorec?

V každém řádku jsme se násobili některé číslo. Co? Velmi jednoduchý: Jedná se o počet současných členů mínus:

Nyní mnohem pohodlnější, že? Šek:

Sdílet se:

V aritmetickém progresi najít vzorec n-tého člena a najít stotský člen.

Rozhodnutí:

První člen je stejný. A jaký je rozdíl? Ale co:

(Je to proto, že se nazývá rozdíl, který se rovná rozdílu po sobě následujících členů progrese).

Tak, vzorec:

Pak je stotský člen:

Jaká je součet všech přírodních čísel?

Podle legendy, velký matematik Karl Gauss, který je 9letý chlapec, považován za tuto částku za pár minut. Poznamenal, že součet prvního a posledního čísla se rovná součtu druhého a neposledně - příliš, součet třetího a třetího a 3. z konce je také a tak dále. Kolik je takové páry? To je pravda, přesně polovina počtu všech čísel, to znamená. Tak,

Obecný vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické progrese bude takto:

Příklad:
Najděte součet všech dvoumístných čísel, více.

Rozhodnutí:

První takové číslo je. Každý další se získá přidáním na předchozí číslo. Čísla, která máte zájem o vytvoření aritmetického progrese s prvním členem a rozdílem.

Formule -go člen pro tento postup:

Kolik členů v progresi, pokud všichni by měli být dvojciferné?

Velmi snadné: .

Poslední člen progrese bude stejný. Pak součet:

Odpovědět:.

Teď se rozhodnu:

1. Každý den běží sportovec na m větší než předchozí den. Kolik celých kilometrů běží na týden, pokud první den běžel km mm?
2. Cyklista pohání každý den na km více než v předchozím. První den odjel Km. Kolik dní musí jít překonat km? Kolik kilometrů bude projít posledním dnem cesty?
3. Cena chladničky v obchodě každoročně snižuje na stejnou částku. Určete, kolik ceny chladničky se každoročně snížila, pokud byla vystavena prodeji pro rublů, prodal šest let pro rublů.

Odpovědi:

1. Zde je nejdůležitější věc rozpoznat aritmetickou progresi a určit jeho parametry. V tomto případě (týdny \u003d dny). Je třeba určit částku prvních členů tohoto progrese:
   .
   Odpovědět:
2. Zde je dáno:, musíte najít.
   Je zřejmé, že je třeba použít stejný souhrnný vzorec jako v předchozím úkolu:
   .
   Hodnoty nahrazujeme:

   Kořen je samozřejmě vhodné, znamená to, že odpověď.
   Vypočítat cestu prošla za poslední den s pomocí člena vzorce:
   (km).
   Odpovědět:

3. Dano: Najít: .
   To se nestane:
   (třít).
   Odpovědět:

Aritmetické progrese. Stručně o hlavní věci

Jedná se o numerickou sekvenci, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a rovný.

Aritmetická progrese se zvyšuje () a klesající ().

Například:

Vzorec hledání n-bous členu aritmetického progrese

to je napsáno vzorcem, kde - počet čísel v progresi.

Majetek členů aritmetické progrese

Je snadné najít člena progrese, pokud je známo jeho sousední členy - kde - počet čísel v progresi.

Množství členů aritmetického progrese

Existují dva způsoby, jak najít částku:

Kde - počet hodnot.

Kde - počet hodnot.

Zbývajících článků 2/3 jsou k dispozici pouze studentům Yüclever!

Staňte se studentem Yoclever,

Připravte se na OGE nebo EGE v matematice za cenu "šálek kávy za měsíc",

A také získat neomezený přístup k učebnici "Youclever", přípravný program (reshebnik) "100gia", neomezený zkušební EGE a OGE, 6000 úkolů s rozhodnutími a dalšími službami YULEVER a 100GIA.