Jak se určuje pořadí. Číselná posloupnost

Sekvence

Sekvence- to souprava prvky nějaké sady:

• pro každé přirozené číslo můžete určit prvek této množiny;
• toto číslo je číslo prvku a označuje pozici tohoto prvku v sekvenci;
• pro jakýkoli prvek (člen) sekvence můžete určit prvek sekvence, která za ním následuje.

Výsledkem je tedy sekvence konzistentní výběr prvků dané množiny. A pokud je nějaká množina prvků konečná a mluvíme o vzorku konečného objemu, pak se posloupnost ukáže jako vzorek nekonečného objemu.

Sekvence je svou povahou mapování, takže by se neměla zaměňovat s množinou, která "prochází" sekvencí.

V matematice se uvažuje o mnoha různých posloupnostech:

• časové řady číselné i nečíselné povahy;
• posloupnosti prvků metrického prostoru
• posloupnosti prvků funkčního prostoru
• sekvence stavů řídicích systémů a automatů.

Účelem studia všech možných sekvencí je hledat vzory, předpovídat budoucí stavy a generovat sekvence.

Definice

Nechť je uveden nějaký soubor prvků libovolné povahy. | Zavolá se jakékoli zobrazení množiny přirozených čísel do dané množiny sekvence(prvky sady).

Obraz přirozeného čísla, konkrétně prvku, se nazývá - čt člen nebo sekvenční prvek a pořadové číslo členu sekvence je jeho index.

Související definice

• Vezmeme-li rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak ji lze považovat za posloupnost indexů nějaké posloupnosti: vezmeme-li prvky původní posloupnosti s odpovídajícími indexy (převzatými z rostoucí posloupnosti přirozených čísel), pak může opět získat zavolání sekvence subsekvence danou sekvenci.

Komentáře

• V matematické analýze je důležitým pojmem limita číselné posloupnosti.

Notový zápis

Sekvence formuláře

Je obvyklé psát kompaktně pomocí závorek:

nebo

někdy se používají složené závorky:

Když dovolíme určitou svobodu projevu, můžeme také uvažovat o konečných posloupnostech formy

,

které představují obraz počátečního segmentu posloupnosti přirozených čísel.

viz také

Nadace Wikimedia. 2010

Synonyma:

Podívejte se, co je "Sequence" v jiných slovnících:

SEKVENCE. IV Kireevskij v článku „Devatenácté století“ (1830) čte: „Od samého pádu Římské říše do našich dob se nám osvícení Evropy jeví v postupném vývoji a v nepřetržitém sledu“ (sv. 1, s. ... ... Historie slov

SEQUENCE, sequences, pl. ne, samice (rezervovat). rozptýlení podstatné jméno do seriálu. Sled událostí. Posloupnost změny přílivu a odlivu. Důslednost v uvažování. Slovník Ushakova ... ... Vysvětlující slovník Ushakova

Stálost, kontinuita, konzistence; řada, postup, závěr, série, řetězec, posloupnost, řetěz, řetěz, kaskáda, štafeta; vytrvalost, platnost, nábor, metodičnost, uspořádání, harmonie, vytrvalost, posloupnost, spojení, fronta, ... ... Slovník synonym

SEQUENCE, čísla nebo prvky uspořádané organizovaným způsobem. Posloupnosti mohou být konečné (s omezeným počtem prvků) nebo nekonečné, jako úplná posloupnost přirozených čísel 1, 2, 3, 4 ....… ... Vědeckotechnický encyklopedický slovník

SEKVENCE, množina čísel (matematické výrazy atd.; říkají: prvky jakékoli povahy), vyčíslená přirozenými čísly. Sekvence se zapisuje jako x1, x2,..., xn,... nebo zkráceně (xi) … Moderní encyklopedie

Jeden ze základních pojmů matematiky. Posloupnost je tvořena prvky libovolné povahy, číslovanými přirozenými čísly 1, 2, ..., n, ..., a zapisuje se jako x1, x2, ..., xn, ... nebo zkráceně (xn) ... Velký encyklopedický slovník

Sekvence- SEKVENCE, množina čísel (matematické výrazy atd.; říkají: prvky libovolné povahy), vyčíslená přirozenými čísly. Sekvence se zapisuje jako x1, x2, ..., xn, ... nebo zkráceně (xi). … Ilustrovaný encyklopedický slovník

SEQUENCE, a, fem. 1. viz seriál. 2. V matematice: nekonečná uspořádaná množina čísel. Vysvětlující slovník Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 ... Vysvětlující slovník Ozhegov

Angličtina posloupnost/sekvence; Němec Konsequenz. 1. Pořadí následování za sebou. 2. Jeden ze základních pojmů matematiky. 3. Kvalitní právo logické myšlení, s nímž je uvažování oproštěno od vnitřních rozporů v jednom a tomtéž ... ... Encyklopedie sociologie

Sekvence- „funkce definovaná na množině přirozených čísel, jejíž množina hodnot se může skládat z prvků libovolné povahy: čísla, body, funkce, vektory, množiny, náhodné veličiny atd., číslované přirozenými čísly. . Ekonomický a matematický slovník

knihy

• Vytváříme sekvenci. Koťátka. 2-3 roky,. Hra "Koťátka". Vytváříme sekvenci. 1 úroveň. Série" Předškolní vzdělávání". Legrační koťata se rozhodla opalovat se na pláži! Ale prostě nemohou sdílet místa. Pomozte jim to zjistit! ...

Vida y= F(X), XÓ N, kde N je množina přirozených čísel (nebo funkce přirozeného argumentu), označovaná y=F(n) nebo y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Hodnoty y 1 ,y 2 ,y 3 ,… se nazývají první, druhý, třetí, ... člen posloupnosti.

Například pro funkci y= n 2 lze napsat:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metody nastavení sekvencí. Sekvence lze specifikovat různými způsoby, z nichž tři jsou zvláště důležité: analytické, popisné a opakující se.

1. Posloupnost je dána analyticky, je-li uveden její vzorec n- člen:

y n=F(n).

Příklad. y n= 2n- 1 – posloupnost lichých čísel: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Popisný způsob, jak specifikovat číselnou sekvenci je ten, že vysvětluje, z jakých prvků je sekvence sestavena.

Příklad 1. "Všechny členy posloupnosti jsou rovny 1." To znamená, povídáme si o stacionární posloupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Příklad 2. "Posloupnost se skládá ze všech prvočísel ve vzestupném pořadí." Je tedy dána posloupnost 2, 3, 5, 7, 11, …. Při této metodě určení sekvence v tento příklad je těžké odpovědět, čemu se rovná řekněme 1000. prvek posloupnosti.

3. Opakovaný způsob zadávání sekvence spočívá v tom, že je uvedeno pravidlo, které umožňuje výpočet n-tý člen posloupnosti, pokud jsou známy její předchozí členy. Název rekurentní metoda pochází z latinského slova opakující se- vrať se. Nejčastěji je v takových případech uveden vzorec, který umožňuje vyjádření nčlen sekvence přes předchozí a určete 1–2 počáteční členy sekvence.

Příklad 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 pokud n = 2, 3, 4,….

Tady y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Je vidět, že sekvence získaná v tomto příkladu může být také specifikována analyticky: y n= 4n- 1.

Příklad 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 pokud n = 3, 4,….

Tady: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Posloupnost složená v tomto příkladu je speciálně studována v matematice, protože má řadu zajímavých vlastností a aplikací. Říká se jí Fibonacciho posloupnost – podle italského matematika ze 13. století. Rekurzivně definovat Fibonacciho posloupnost je velmi snadné, ale analyticky velmi obtížné. n Fibonacciho číslo je vyjádřeno jako jeho pořadové číslo následujícím vzorcem.

Na první pohled vzorec pro n Fibonacciho číslo se zdá nepravděpodobné, protože vzorec, který specifikuje posloupnost přirozených čísel sám o sobě obsahuje odmocniny, ale u prvních pár můžete platnost tohoto vzorce zkontrolovat "ručně". n.

Vlastnosti číselných posloupností.

Číselná posloupnost je speciální případ numerické funkce, proto se u posloupností uvažuje i řada vlastností funkcí.

Definice . Sekvence ( y n} se nazývá rostoucí, pokud každý z jeho členů (kromě prvního) je větší než předchozí:

y 1 r 2 r 3 r n n +1

Definice.Sekvence ( y n} se nazývá klesající, pokud je každý z jeho členů (kromě prvního) menší než předchozí:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rostoucí a klesající posloupnosti spojuje společný pojem – monotónní posloupnosti.

Příklad 1 y 1 = 1; y n= n 2 je rostoucí posloupnost.

Platí tedy následující věta (charakteristická vlastnost aritmetické posloupnosti). Číselná posloupnost je aritmetická právě tehdy, když se každý její člen, kromě prvního (a posledního v případě konečné posloupnosti), rovná aritmetickému průměru předchozích a následujících členů.

Příklad. V jaké hodnotě Xčíslo 3 X + 2, 5X– 4 a 11 X+ 12 tvoří konečnou aritmetickou posloupnost?

Podle charakteristické vlastnosti musí dané výrazy vztah splňovat

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Řešení této rovnice dává X= –5,5. S touto hodnotou X dané výrazy 3 X + 2, 5X– 4 a 11 X+ 12 nabere hodnoty -14,5, –31,5, –48,5. Tento - aritmetický postup, jeho rozdíl je –17.

Geometrická progrese.

Číselná posloupnost, jejíž všechny členy jsou nenulové a jejíž každý člen, počínaje druhým, se získá z předchozího členu vynásobením stejným číslem. q, se nazývá geometrická posloupnost a číslo q- jmenovatel geometrické posloupnosti.

Takto, geometrická progrese je číselná řada b n) daný rekurzivně vztahy

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b a q- daná čísla, b ≠ 0, q ≠ 0).

Příklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rostoucí geometrická progrese b = 2, q = 3.

Příklad 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrická progrese b= 2,q= –1.

Příklad 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrická progrese b= 8, q= 1.

Geometrická progrese je rostoucí posloupnost if b 1 > 0, q> 1 a klesající, pokud b 1 > 0, 0 q

Jednou ze zřejmých vlastností geometrické posloupnosti je, že je-li posloupnost geometrickou posloupností, pak posloupnost čtverců, tzn.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… je geometrická posloupnost, jejíž první člen je roven b 1 2 a jmenovatel je q 2 .

Vzorec n-člen geometrické posloupnosti má tvar

b n= b 1 q n– 1 .

Můžete získat vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti.

Nechť existuje konečná geometrická progrese

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

nechat S n - součet jejích členů, tzn.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To se přijímá qč. 1. Určit S n je aplikován umělý trik: jsou provedeny některé geometrické transformace výrazu S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Takto, S n q= S n +b n q – b 1 a odtud

Toto je vzorec s umma n členy geometrické posloupnosti pro případ, kdy q≠ 1.

Na q= 1 vzorec nelze odvodit samostatně, je zřejmé, že v tomto případě S n= A 1 n.

Nazývá se geometrická progrese, protože v ní je každý člen, kromě prvního, roven geometrickému průměru předchozích a následujících členů. Vlastně od té doby

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

proto, b n 2= b n– 1 miliard + 1 a platí následující věta (charakteristická vlastnost geometrické posloupnosti):

číselná posloupnost je geometrickou posloupností právě tehdy, když druhá mocnina každého z jejích členů, kromě prvního (a posledního v případě konečné posloupnosti), je rovna součinu předchozích a následujících členů.

Limit sekvence.

Nechť existuje sekvence ( c n} = {1/n}. Tato posloupnost se nazývá harmonická, protože každý její člen, počínaje druhým, je harmonickým průměrem mezi předchozími a následujícími členy. Geometrický průměr čísel A a b je tam číslo

Jinak se posloupnost nazývá divergentní.

Na základě této definice lze např. dokázat existenci limity A=0 pro harmonickou sekvenci ( c n} = {1/n). Nechť ε je libovolně malé kladné číslo. Zvažujeme rozdíl

Existuje takový Nže pro všechny n≥ N nerovnost 1 /N? Pokud se bere jako Nžádný přirozené číslo, přesahující 1/ε , tak pro všechny n ≥ N nerovnost 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Někdy je velmi obtížné prokázat existenci limity pro určitou posloupnost. Nejběžnější sekvence jsou dobře prostudovány a jsou uvedeny v referenčních knihách. Existují důležité věty, které umožňují usuzovat, že daná posloupnost má limitu (a dokonce ji vypočítat) na základě již prostudovaných posloupností.

Věta 1. Má-li posloupnost limitu, pak je omezená.

Věta 2. Je-li posloupnost monotónní a omezená, pak má limitu.

Věta 3. Pokud posloupnost ( a n} má limit A, pak sekvence ( umět}, {a n+ c) a (| a n|} mít limity cA, A +C, |A| respektive (zde C je libovolné číslo).

Věta 4. Jestliže posloupnosti ( a n} a ( b n) mají limity rovné A a B pánev + qb n) má limit pA+ qB.

Věta 5. Jestliže posloupnosti ( a n) a ( b n) mají limity rovné A a B respektive, pak sekvence ( a n b n) má limit AB.

Věta 6. Jestliže posloupnosti ( a n} a ( b n) mají limity rovné A a B respektive a navíc b n ≠ 0 a B≠ 0, pak sekvence ( a n / b n) má limit A/B.

Anna Chugainová

Číselná posloupnost se nazývá numerická funkce definovaná na množině přirozených čísel .

Je-li funkce dána na množině přirozených čísel
, pak bude množina hodnot funkce spočetná a každé číslo
číslo se shoduje
. V tomto případě říkáme, že daný číselná posloupnost. Volají se čísla Prvky nebo členy posloupnosti a číslo - obecný popř -tý člen posloupnosti. Každý prvek má následovníka
. To vysvětluje použití termínu „sekvence“.

Posloupnost je obvykle specifikována buď uvedením jejích prvků, nebo uvedením zákona, podle kterého se prvek s číslem počítá , tj. označující vzorec člen .

Příklad.Sekvence
může být dáno vzorcem:
.

Obvykle se posloupnosti označují takto: atd., kde vzorec jeho člen.

Příklad.Sekvence
‑toto je sekvence

Množina všech prvků sekvence
označené
.

Nechat
a
- dvě sekvence.

S hmm sekvence
a
zavolejte sekvenci
, kde
, tj..

R aznosti těchto sekvencí se nazývá sekvence
, kde
, tj..

Li a ‑ konstanty, pak posloupnost
,
volala lineární kombinace sekvence
a
, tj.

práce sekvence
a
zavolejte sekvenci -tý člen
, tj.
.

Li
, pak je možné určit soukromý
.

Součet, rozdíl, součin a podíl posloupností
a
se nazývají algebraickýkompozice.

Příklad.Zvažte sekvence
a
, kde. Pak
, tj. sekvence
má všechny prvky rovné nule.

,
, tj. všechny prvky produktu a kvocient jsou stejné
.

Pokud škrtneme některé prvky posloupnosti
takže zbývá nekonečný počet prvků, pak dostaneme další posloupnost, tzv subsekvence sekvence
. Pokud proškrtneme prvních pár prvků sekvence
, pak se zavolá nová sekvence zbytek.

Sekvence
omezenývýše(zespodu), pokud je sada
omezeno shora (zdola). Sekvence je volána omezený je-li ohraničena nahoře a dole. Posloupnost je omezená právě tehdy, je-li omezený jakýkoli její zbytek.

Konvergující sekvence

Říká se, že sekvence
konverguje, pokud existuje číslo takové, že pro jakékoli
existuje takový
, který pro jakékoli
, platí následující nerovnost:
.

Číslo volala limit sekvence
. Přitom nahrávají
nebo
.

Příklad.
.

Pojďme si to ukázat
. Nastavte libovolné číslo
. Nerovnost
provedeno pro
, takové, že
že pro číslo platí definice konvergence
. Prostředek,
.

Jinými slovy
znamená, že všichni členové sekvence
s dostatečně velkými čísly se od počtu liší jen málo , tj. počínaje nějakým číslem
(když) jsou prvky posloupnosti v intervalu
, který se nazývá - sousedství bodu .

Sekvence
, jehož limit se rovná nule (
, nebo
na
) je nazýván infinitezimální.

Pokud jde o infinitezimální čísla, platí následující tvrzení:

Součet dvou infinitesimálních je nekonečně malý;

Součin nekonečna omezenou hodnotou je nekonečno.

Teorém .V pořadí
měl limit, je nutné a dostatečné, že
, kde - konstantní; - nekonečně malý .

Hlavní vlastnosti konvergentních posloupností:

Vlastnosti 3. a 4. zobecňují na případ libovolného počtu konvergentních posloupností.

Všimněte si, že při výpočtu limity zlomku, jehož čitatel a jmenovatel jsou lineární kombinace mocnin , limita zlomku je rovna limitu poměru nejvyšších členů (tj. členů obsahujících největší mocniny čitatel a jmenovatel).

Sekvence
volala:

Všechny takové sekvence jsou volány monotónní.

Teorém . Pokud sekvence
roste monotónně a je shora ohraničený, pak konverguje a jeho limita je rovna jeho největší horní hranici; pokud je posloupnost klesající a omezená níže, pak konverguje ke své největší dolní hranici.

Úvod……………………………………………………………………………………………… 3

1.Teoretická část……………………………………………………………………….4

Základní pojmy a termíny………………………………………………………....4

1.1 Typy sekvencí………………………………………………………...6

1.1.1.Omezené a neomezené číselné řady…..6

1.1.2. Monotonie sekvencí………………………………………………6

1.1.3.Infinitezimální a infinitezimální posloupnosti…….7

1.1.4 Vlastnosti infinitezimálních posloupností………………………8

1.1.5 Konvergentní a divergentní posloupnosti a jejich vlastnosti...…9

1.2 Limit sekvence……………………………………………………………….11

1.2.1.Věty o limitách posloupností………………………………………………………………………15

1.3. Aritmetický postup………………………………………………………………………17

1.3.1. Vlastnosti aritmetické posloupnosti………………………………………………..17

1.4Geometrický postup………………………………………………………………..19

1.4.1. Vlastnosti geometrické posloupnosti……………………………………………….19

1.5. Fibonacciho čísla………………………………………………………………..21

1.5.1 Spojení Fibonacciho čísel s jinými oblastmi poznání………………………….22

1.5.2. Použití řady Fibonacciho čísel k popisu živé a neživé přírody……………………………………………………………………………………….23

2. Vlastní výzkum……………………………………………………………….28

Závěr……………………………………………………………………………….. 30

Seznam použité literatury………………………………………………....31

Úvod.

Číselné řady jsou velmi zajímavé a poučné téma. Toto téma najdete v úkolech zvýšená složitost které autoři nabízejí studentům didaktické materiály, v problematice matematických olympiád, přijímacích zkoušek na Vyšší školy a na zkoušce. Zajímá mě propojení matematických posloupností s jinými oblastmi vědění.

cílová výzkumná práce: Rozšířit znalosti o číselné řadě.

1. Zvažte posloupnost;

2. Zvažte jeho vlastnosti;

3. Zvažte analytický úkol sekvence;

4. Ukázat jeho roli v rozvoji dalších oblastí poznání.

5. Ukažte použití řady Fibonacciho čísel k popisu živé a neživé přírody.

1. Teoretická část.

Základní pojmy a pojmy.

Definice. Číselná posloupnost je funkcí tvaru y = f(x), x О N, kde N je množina přirozených čísel (nebo funkce přirozeného argumentu), označovaných y = f(n) nebo y1, y2, …, yn,…. Hodnoty y1, y2, y3,… se nazývají první, druhý, třetí, … člen posloupnosti.

Číslo a se nazývá limita posloupnosti x = (x n ), jestliže pro libovolné předem přidělené libovolně malé kladné číslo ε existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n>N platí nerovnost |x n - a|< ε.

Pokud je číslo a limitou posloupnosti x \u003d (x n), pak říkají, že x n má tendenci k a, a píší

.

Posloupnost (yn) se nazývá rostoucí, pokud je každý její člen (kromě prvního) větší než předchozí:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Posloupnost (yn) se nazývá klesající, pokud je každý její člen (kromě prvního) menší než předchozí:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Rostoucí a klesající posloupnosti spojuje společný pojem – monotónní posloupnosti.

Posloupnost se nazývá periodická, pokud existuje přirozené číslo T takové, že od nějakého n platí rovnost yn = yn+T. Číslo T se nazývá délka periody.

Aritmetická posloupnost je posloupnost (an), jejíž každý člen, počínaje druhým, je roven součtu předchozího členu a stejného čísla d, se nazývá aritmetická posloupnost a číslo d se nazývá rozdíl aritmetický postup.

Aritmetická progrese je tedy číselná posloupnost (an) daná rekurzivně vztahy

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrická posloupnost je posloupnost, ve které jsou všechny členy nenulové a jejíž každý člen, počínaje druhým, je získán z předchozího členu vynásobením stejným číslem q.

Geometrický postup je tedy číselná posloupnost (bn) daná rekurzivně vztahy

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Typy sekvencí.

1.1.1 Ohraničené a neohraničené posloupnosti.

Říká se, že posloupnost (bn) je ohraničená shora, pokud existuje číslo M takové, že pro libovolné číslo n je splněna nerovnost bn≤ M;

Říká se, že posloupnost (bn) je ohraničená zdola, pokud existuje číslo M takové, že pro libovolné číslo n je splněna nerovnost bn≥ M;

Například:

1.1.2 Monotonie sekvencí.

Posloupnost (bn) se nazývá nerostoucí (neklesající), pokud pro libovolné číslo n platí nerovnost bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Posloupnost (bn) se nazývá klesající (rostoucí), jestliže pro libovolné číslo n je nerovnost bn > bn+1 (bn

Klesající a rostoucí posloupnosti se nazývají přísně monotónní, nerostoucí - monotónní v širokém slova smyslu.

Posloupnosti ohraničené jak nad, tak pod sebou se nazývají ohraničené.

Posloupnost všech těchto typů se nazývá monotónní.

1.1.3 Nekonečně velké a malé sekvence.

Infinitezimální posloupnost je numerická funkce nebo posloupnost, která má tendenci k nule.

Posloupnost an se nazývá infinitezimální jestliže

Funkce se nazývá infinitezimální v okolí bodu x0, jestliže ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkce se nazývá infinitesimální v nekonečnu, pokud ℓimx→.+∞ f(x)=0 nebo ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitezimální je také funkce, která je rozdílem mezi funkcí a její limitou, tedy pokud ℓimx→.+∞ f(x)=а, pak f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Nekonečně velká posloupnost je numerická funkce nebo posloupnost, která má tendenci k nekonečnu.

Posloupnost an se nazývá nekonečně velká, jestliže

ℓimn→0 an=∞.

Funkce se nazývá nekonečná v okolí bodu x0, jestliže ℓimx→x0 f(x)= ∞.

O funkci se říká, že je nekonečně velká v nekonečnu, jestliže

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ nebo ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Vlastnosti infinitezimálních posloupností.

Součet dvou infinitezimálních posloupností je sám také nekonečně malou posloupností.

Rozdíl dvou infinitezimálních posloupností je sám o sobě také nekonečně malou posloupností.

Algebraický součet libovolného konečné číslo infinitezimální posloupnost je sama také nekonečně malou posloupností.

Součinem omezené posloupnosti a infinitezimální posloupnosti je nekonečně malá posloupnost.

Součin libovolného konečného počtu infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.

Jakákoli infinitezimální posloupnost je omezená.

Je-li stacionární posloupnost nekonečně malá, pak jsou všechny její prvky, počínaje některými, rovny nule.

Pokud se celá infinitezimální posloupnost skládá ze stejných prvků, pak jsou tyto prvky nuly.

Jestliže (xn) je nekonečně velká posloupnost neobsahující žádné nulové členy, pak existuje posloupnost (1/xn), která je nekonečně malá. Pokud však (xn) obsahuje nula prvků, pak posloupnost (1/xn) může být stále definována počínaje nějakým číslem n a bude stále nekonečně malá.

Jestliže (an) je infinitezimální posloupnost neobsahující žádné nulové členy, pak existuje posloupnost (1/an), která je nekonečně velká. Pokud však (an) obsahuje nulové prvky, pak posloupnost (1/an) může být stále definována od nějakého čísla n a bude stále nekonečně velká.

1.1.5 Konvergentní a divergentní posloupnosti a jejich vlastnosti.

Konvergentní posloupnost je posloupnost prvků množiny X, která má v této množině limitu.

Divergentní posloupnost je posloupnost, která není konvergentní.

Každá infinitezimální posloupnost je konvergentní. Jeho hranice je nulová.

Odstranění libovolného konečného počtu prvků z nekonečné posloupnosti neovlivní ani konvergenci, ani limitu této posloupnosti.

Jakákoli konvergentní posloupnost je omezená. Ne každá ohraničená posloupnost však konverguje.

Pokud posloupnost (xn) konverguje, ale není nekonečně malá, pak od nějakého čísla je definována posloupnost (1/xn), která je omezená.

Součet konvergentních posloupností je také konvergentní posloupností.

Rozdíl konvergentních posloupností je také konvergentní posloupností.

Součin konvergentních posloupností je také konvergentní posloupnost.

Podíl dvou konvergentních posloupností je definován počínaje nějakým prvkem, pokud druhá posloupnost není nekonečně malá. Pokud je definován podíl dvou konvergentních posloupností, pak se jedná o konvergentní posloupnost.

Pokud je konvergentní posloupnost omezena níže, pak žádná z jejích dolních hranic nepřekračuje její limit.

Pokud je konvergentní posloupnost ohraničená shora, pak její limita nepřesahuje žádnou z jejích horních hranic.

Pokud pro libovolné číslo členy jedné konvergentní posloupnosti nepřekročí členy jiné konvergentní posloupnosti, pak limita první posloupnosti také nepřekročí limitu druhé.

Přednáška 8. Číselné posloupnosti.

Definice8.1. Pokud je každá hodnota spojena podle určitého zákona s určitým reálným číslemX n , pak množina očíslovaných reálných čísel

– zkrácený zápis
, (8.1)

zavolámečíselná posloupnost nebo jen sekvence.

Samostatná čísla X n  prvky nebo členy sekvence (8.1).

Posloupnost může být specifikována obecným termínovým vzorcem, například:
nebo
. Posloupnost lze zadat nejednoznačně, například posloupnost -1, 1, -1, 1, ... lze určit vzorcem
nebo
. Někdy se používá opakující se způsob určení posloupnosti: je uvedeno několik prvních členů posloupnosti a vzorec pro výpočet dalších prvků. Například sekvence definovaná prvním prvkem a relace opakování
(aritmetický postup). Zvažte sekvenci tzv poblíž Fibonacciho: nastavení prvních dvou prvků X 1 =1, X 2 = 1 a relace opakování
pro jakékoli
. Dostaneme posloupnost čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Pro takovou řadu je poměrně obtížné najít vzorec pro společný termín.

8.1. Aritmetické operace s posloupností.

Zvažte dvě sekvence:

(8.1)

Definice 8.2. Zavolejmeprodukt sekvence
za číslo msekvence
. Napišme to takto:
.

Zavolejme sekvenci součet sekvencí (8.1) a (8.2), píšeme takto: ; rovněž
zavolejme sekvenční rozdíl (8.1) a (8.2);
 součin sekvencí (8.1) a (8.2);  soukromé sekvence (8.1) a (8.2) (všechny prvky
).

8.2. Ohraničené a neohraničené posloupnosti.

Množina všech prvků libovolné posloupnosti
tvoří určitou číselnou množinu, která může být ohraničena shora (zdola) a pro kterou platí definice podobné těm, které byly zavedeny pro reálná čísla.

Definice 8.3. Sekvence
volalashora ohraničené , jestliže ; M  horní okraj.

Definice 8.4. Sekvence
volalaohraničený zespodu , jestliže ;m  spodní okraj.

Definice 8.5.Sekvence
volalaomezený , je-li ohraničená jak nahoře, tak dole, tedy pokud existují dvě reálná čísla M am tak, že každý prvek sekvence
uspokojuje nerovnosti:

, (8.3)

maM- horní a spodní okraj
.

Nerovnice (8.3) jsou volány podmínka ohraničenosti sekvence
.

Například sekvence
omezené a
neomezený.

♦ Vyjádření 8.1.
je omezená .

Důkaz. Pojďme si vybrat
. Podle definice 8.5, sekvence
bude omezena. ■

Definice 8.6. Sekvence
volalaneomezený , jestliže pro libovolné kladné (libovolně velké) reálné číslo A existuje alespoň jeden prvek posloupnostiX n , vyhovující nerovnosti:
.

Například sekvence 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n, … neomezené, protože omezena pouze zdola.

8.3. Nekonečně velké a nekonečně malé sekvence.

Definice 8.7. Sekvence
volalanekonečně velký , jestliže pro nějaké (libovolně velké) reálné číslo A existuje číslo
takové, že pro všechny
PrvkyX n
.

☼ Poznámka 8.1. Pokud je posloupnost nekonečně velká, pak je neomezená. Ale neměli bychom si myslet, že jakákoli neomezená posloupnost je nekonečně velká. Například sekvence
není omezená, ale není nekonečně velká, protože stav
není spokojen ani pro všechny n. ☼

 Příklad 8.1.
je nekonečně velký. Vezměte si libovolné číslo A>0. Z nerovnosti
dostaneme n>A. Pokud vezmete
, tak pro všechny n>N nerovnost vydrží
, tedy podle definice 8.7 posloupnost
nekonečně velký. 

Definice 8.8. Sekvence
volalainfinitezimální , pokud pro
(jakkoli malý ) je tam číslo
takové, že pro všechny
Prvky tato posloupnost vyhoví nerovnosti
.

 Příklad 8.2. Dokažme, že posloupnost nekonečně malý.

Vezměte si libovolné číslo
. Z nerovnosti
dostaneme . Pokud vezmete
, tak pro všechny n>N nerovnost vydrží
. 

♦ Vyjádření 8.2. Sekvence
je nekonečně velký
a nekonečně malý při
.

Důkaz.

1) Nechte první
:
, kde
. Podle Bernoulliho vzorce (příklad 6.3, oddíl 6.1.)
. Opravíme libovolné kladné číslo A a vyberte číslo N takže nerovnost je pravdivá:

,
,
,
.

Protože
, pak vlastností součinu reálných čísel pro všechny

.

Tak pro
je tam číslo
, to pro všechny


- nekonečně velký
.

2) Zvažte případ
,
(na q=0 máme triviální případ).

Nechat
, kde
podle Bernoulliho vzorce
nebo
.

Oprava
,
a vybrat si
takový že

,
,
.

Pro

. Uveďte toto číslo N, to pro všechny

, tedy kdy
sekvence
nekonečně malý. ■

8.4. Základní vlastnosti infinitezimálních posloupností.

♦ Věta 8.1.Součet

a

Důkaz. Oprava ;
- nekonečně malý

,

- nekonečně malý

. Pojďme si vybrat
. Potom v

,
,
. ■

♦ Věta 8.2. Rozdíl
dvě nekonečně malé posloupnosti
a
je nekonečně malá posloupnost.

Pro důkaz věty, stačí použít nerovnost . ■

Následek.Algebraický součet libovolného konečného počtu infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.

♦ Věta 8.3.Součinem omezené posloupnosti a infinitezimální posloupnosti je nekonečně malá posloupnost.

Důkaz.
- omezený
je nekonečně malá posloupnost. Oprava ;
,
;
: na
veletrh
. Pak
. ■

♦ Věta 8.4.Každá infinitezimální posloupnost je omezená.

Důkaz. Oprava Nechte nějaké číslo. Pak
pro všechny pokoje n, což znamená, že posloupnost je omezená. ■

Následek. Součin dvou (a libovolného konečného počtu) infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.

♦ Věta 8.5.

Pokud všechny prvky nekonečně malé posloupnosti
se rovnají stejnému čísluC, pak c= 0.

Důkaz teorém se provádí kontradikcí, pokud označíme
. ■

♦ Věta 8.6. 1) Li
je tedy nekonečně velká posloupnost, začínající od nějakého číslan, je kvocient definován dvě sekvence
a
, což je nekonečně malá posloupnost.

2) Pokud všechny prvky nekonečně malé posloupnosti
jsou různé od nuly, pak kvocient dvě sekvence
a
je nekonečná posloupnost.

Důkaz.

1) Nechat
je nekonečně velká sekvence. Oprava ;
nebo
na
. Tedy podle definice 8.8, sekvence - nekonečně malý.

2) Nechat
je nekonečně malá posloupnost. Předpokládejme, že všechny prvky
se liší od nuly. Oprava A;
nebo
na
. Podle definice 8.7 sekvence nekonečně velký. ■