Kvadratické rovnice. Řešení čtvercových rovnic: vzorce kořeny, příklady

Čtvercová rovnice - to je prostě vyřešeno! * Další v textu "ku".Přátelé se zdánlivě mohly být jednodušší v matematice než řešení takové rovnice. Ale něco mi navrhl, že mnozí mají s ním problémy. Rozhodl jsem se zjistit, kolik zobrazení na vyžádání za měsíc dává YanDex. To se stalo, viz:

Co to znamená? To znamená, že tyto informace hledají asi 70 000 lidí za měsíc, co je letos v létě, a co bude mezi nimi školní rok - Žádosti budou dvakrát tolik. Není to překvapující, protože ti kluci a dívky, kteří dlouho absolvovali školu a připravují se na zkoušku, hledají tyto informace a školáci se snaží aktualizovat v paměti.

Navzdory skutečnosti, že existuje mnoho míst, kde je popsáno, jak vyřešit tuto rovnici, rozhodl jsem se, aby můj příspěvek a zveřejnit materiál. Za prvé, chci přijít na mé stránky za tuto žádost a návštěvníci přišli na mé stránky; Za druhé, v jiných článcích, kdy řeč "KU" podá odkaz na tento článek; Za třetí, řeknu vám o jeho rozhodnutí o něco více než obvykle stanoví na jiných stránkách. Baister!Obsah článku:

Čtvercová rovnice je rovnicem formuláře:

kde koeficienty ab. A s libovolnými čísly s něčím ≠ 0.

V Školní kurz Materiál je uveden v následujícím formuláři - Separace rovnic na tři třídy se podmíněná:

1. Mít dva kořeny.

2. * Existuje pouze jeden kořen.

3. Nemáte kořeny. Stojí za zmínku, že nemají platné kořeny

Jak se počítají kořeny? Jednoduše!

Vypočítat diskriminaci. Podle tohoto "hrozného" slova leží poměrně jednoduchý vzorec:

Kořenové vzorce mají následující formulář:

* Tyto vzorce potřebují vědět srdcem.

Můžete okamžitě psát a rozhodnout:

Příklad:

1. Pokud d\u003e 0, rovnice má dva kořeny.

2. Pokud d \u003d 0, má rovnice jeden kořen.

3. Pokud D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Podívejme se na rovnici:

Při této příležitosti, kdy je diskriminační nulová, ve školním kurzu se říká, že jeden kořen se ukáže, zde se jedná o devět. To je pravda a tam je, ale ...

Tento pohled je poněkud nesprávný. Ve skutečnosti se získají dva kořeny. Ano, nejsou překvapeni, jsou získány dvě rovné kořeny, a pokud jste matematicky přesní, pak by měli být v odpovědi zaznamenány dva kořeny:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ale to je tak mírné ústup. Ve škole může psát a říkat, že kořen je jeden.

Nyní je následující příklad:

Jak víme - kořen negativních čísel není odstraněn, takže v tomto případě neexistují řešení.

To je celý proces řešení.

Kvadratická funkce.

Zde je ukázáno, jak roztok vypadá geometricky. Je nesmírně důležité porozumět (v budoucnu, v jednom z článků, budeme podrobně rozebírat řešení čtvercové nerovnosti).

Toto je funkce formuláře:

kde x a y jsou proměnné

a, B, C - nastavená čísla, s tím, co ≠ 0

Plán je parabola:

To znamená, že se ukázalo, že rozhodování o čtvercové rovnici při "Y" rovná nule najdeme bod průsečíku paraboly s osou oh. Tyto body mohou být dva (diskriminační pozitivní), jeden (diskriminační je nula) a ne jediný (negativní diskriminační). Detail o. kvadratická funkce můžete si prohlédnout Článek Inna Feldman.

Zvážit příklady:

Příklad 1: Řešení 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d b. 2 -4Ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Odpověď: X 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Bylo možné okamžitě vlevo a právo na rovnici rozdělit 2, to znamená, že je zjednodušit. Výpočty budou jednodušší.

Příklad 2: Rozhodni se x 2.–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Získané, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V reakci je přípustné psát X \u003d 11.

Odpověď: X \u003d 11

Příklad 3: Rozhodni se x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B2 -4AC \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Diskriminační je negativní, neexistují žádná řešení v platných číslech.

Odpověď: Žádná řešení

Diskriminační je negativní. Řešení je!

Zde bude diskutováno o řešení rovnice v případě, kdy se získá negativní diskriminační diskriminační. Víte něco o integrovaných číslech? V podrobnostím nebudu mluvit o tom, proč a kde vznikly a jaká je jejich specifická role a potřeba matematiky je tématem pro velký samostatný článek.

Koncept komplexního čísla.

Trochu teorie.

Komplexní číslo Z volaného počtu druhů

z \u003d a + bi

kde A a B jsou platná čísla, i - tzv. Imaginární jednotka.

a + BI. - Toto je jediné číslo, nikoli navíc.

Imaginární jednotka se rovná kořenem minus jednotek:

Nyní zvažte rovnici:

Dostal dva konjugované kořeny.

Neúplná čtvercová rovnice.

Zvažte soukromé případy, je to, když je koeficient "B" nebo "C" nulový (nebo oba jsou nulové). Jsou vyřešeny snadno bez diskriminantů.

Případ 1. Koeficient B \u003d 0.

Rovnice získává formulář:

Transformujeme:

Příklad:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Případ 2. c \u003d 0 koeficient.

Rovnice získává formulář:

Transformujeme, stanovíme na násobiteli:

* Práce je nula, když alespoň jeden z násobičů je nula.

Příklad:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 nebo x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Případ 3. Koeficienty b \u003d 0 a c \u003d 0.

Je zřejmé, že řešení rovnice bude vždy x \u003d 0.

Užitečné vlastnosti a vzorce koeficientů.

Existují vlastnosti, které umožňují řešení rovnic s velkými koeficienty.

alex. 2 + bx.+ c.=0 Rovnost se provádí

a. + b. + C \u003d 0,že

- pokud pro koeficienty rovnice alex. 2 + bx.+ c.=0 Rovnost se provádí

a. + C \u003d.b., že

Tyto vlastnosti pomáhají vyřešit určitý typ rovnice.

Příklad 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Součet koeficientů je 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, to znamená

Příklad 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Rovnost se provádí a. + C \u003d.b., Tak

Zákony koeficientů.

1. Pokud je v AX 2 + BX + C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" se rovná (2 + 1) a koeficient "C" je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d -A x 2 \u003d -1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Pokud je v AX 2 - BX + C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" je roven (a 2 +1) a koeficient "C" je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 - (A 2 +1) ∙ X + A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Pokud je v rovniciaX 2 + BX - C \u003d 0 Koeficient "B" rovnocenný (a 2 - 1) a koeficient "C" numericky se rovná koeficientu "A", pak jsou jeho kořeny stejné

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Pokud je v AX 2 - BX-C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" se rovná (2 - 1) a koeficient je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 - (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d A X 2 \u003d - 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teorém.

Většina Vieta se nazývá jménem slavné francouzské matematiky Francois Vieta. Pomocí Vieta teorém můžete vyjádřit částku a produkt kořenů libovolného KU prostřednictvím svých koeficientů.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Číslo 14 je uvedeno pouze 5 a 9. Jedná se o kořeny. S určitou dovedností, pomocí teorém reprezentované mnoha čtvercovými rovnicmi se můžete rozhodnout, zda přijde ústně.

Vieta teorém, kromě toho. Je to vhodné, protože po řešení čtvercové rovnice obvyklým způsobem (prostřednictvím diskriminace) mohou být získané kořeny zkontrolovány. Doporučuji to udělat vždy.

Metoda projít

V této metodě je koeficient "A" vynásoben volným členem, jako by k němu "pohybuje", takže se nazývá způsob "tranzitu".Tato metoda se používá, když můžete snadno najít kořeny rovnice pomocí Vieta teorém a co je nejdůležitější, když diskriminační je přesný čtverec.

Pokud ale± b + C.≠ 0, pak se recepce použije například:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Většinou Vietou v rovnici (2) je snadné zjistit, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané kořeny rovnice musí být rozděleny do 2 (jako dvakrát z x 2 "byl přemístěn), získáme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Jaké je ospravedlnění? Podívejte se, co se stane.

Diskriminační rovnice (1) a (2) jsou stejné:

Pokud se podíváte na kořeny rovnic, získáte pouze různé jmenovatele, a výsledek závisí na koeficientu při X 2:

Druhé (upravené) kořeny se získají 2krát více.

Proto výsledek a dělení o 2.

* Pokud hodíme výlet, pak je výsledek oddělen 3 atd.

Odpověď: X 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Sq. Ur-ye a eGE.

Stručně řečím o jeho významu - měli byste být schopni rychle a bez přemýšlení, vzorce kořenů a diskriminantů, které potřebujete vědět srdcem. Velmi mnoho úkolů zařazených do úkolů použití se sníží na řešení čtvercové rovnice (geometrické včetně).

Co na oslavu!

1. Forma záznamu rovnice může být "implicitní". Tento záznam je například možné:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 nebo 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 nebo 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Musíte ho přivést do standardní formy (tak, aby se nedostal zmatený při řešení).

2. Nezapomeňte, že X je neznámá hodnota a může být indikována jakýmkoliv jiným písmenem - T, Q, P, H a dalšími.

Copsevskaya venkovská střední škola

10 způsobů, jak řešit náměstí rovnice

Vedoucí práce: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matematický učitel

s.Kopievo, 2007.

1. Historie vývoje čtvercových rovnic

1.1 Quadratic Equations. Ve starověkém Babylonu

1.2 Účtované a vyřešené diofantní čtvercové rovnice

1.3 Čtvercové rovnice v Indii

1.4 Čtvercové rovnice v Alcohise

1.5 Čtvercové rovnice v Evropě XIII - XVII Centuries

1.6 O Vietské věce

2. Metody pro řešení čtvercových rovnic

Závěr

Literatura

1. Historie vývoje čtvercových rovnic

1,1 čtverečních rovnic ve starověkém babylonu

Potřeba řešit rovnice nejen první, ale také druhý stupeň ve starověku byla způsobena potřebou řešit úkoly související s umístěním pozemních oblastí as Earthworks vojenské povahy, stejně jako s rozvojem astronomie a samotná matematika. Čtvercové rovnice byly schopny předtím vyřešit asi 2000 let. E. Babylonian.

Použitím moderního algebraického záznamu, můžeme říci, že v jejich klinox textech existují, s výjimkou neúplného, \u200b\u200ba jako například plné čtvercové rovnice:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Pravidlo řešení těchto rovnic uvedených v Babylonských textech se v podstatě shoduje s moderním, ale není známo, jak Babylonians dosáhl tohoto pravidla. Téměř všechny texty klinic nalezených až do teď, pouze úkoly s rozhodnutími uvedenými ve formě receptů, bez indikace, jak byly nalezeny.

I přes vysoká úroveň Vývoj Algebry v Babylonu, v klinických textech neexistuje žádný koncept záporného počtu a obecných metod pro řešení čtvercových rovnic.

1.2 Účtované a vyřešené diofantní čtvercové rovnice.

V "aritmetiku" Diophanty neexistuje systematická prezentace algebry, ale obsahuje systematický počet úkolů doprovázených vysvětlením a řešeny přípravou rovnic různých stupňů.

Při vypracování rovnic DIOFANTU pro zjednodušení roztoku šikovně zvolí neznámé.

Zde například jeden z jeho úkolů.

Úloha 11. "Najděte dvě čísla, s vědomím, že jejich součet je 20, a práce je 96"

DIOFANT argent argumentuje takto: Ze stavu problému vyplývá, že požadovaná čísla nejsou rovna, protože kdyby byly stejné, pak by jejich práce nebyla 96, a 100. Tak jeden z nich bude více než polovina jejich součet, tzn. 10 + H. Druhý je méně, tj. 10 - H. . Rozdíl mezi nimi 2x. .

Proto rovnice:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

X 2 - 4 \u003d 0 (1)

Odtud x \u003d 2. . Jedna z požadovaných čísel je 12 , Jiný 8 . Rozhodnutí x \u003d -2. Neexistuje pro DIOPHANTA, protože řecká matematika znali pouze kladná čísla.

Pokud se rozhodneme o tomto úkolu, vyberte jednu z požadovaných čísel jako neznámého, přijdeme na vyřešení rovnice

y (20 - y) \u003d 96,

V 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Je jasné, že volba jako neznámá hra požadovaných čísel, DIOFANT zjednodušuje rozhodnutí; Může snížit úkol řešit neúplnou čtvercovou rovnici (1).

1.3 Čtvercové rovnice v Indii

Úkoly na čtvercové rovnice jsou již nalezeny v astronomickém traktu "Ariabhatti", zkompilované v 499. Indický matematik a astronom Ariabhatta. Další indický vědec, Brahmagupta (VII století), nastínil obecné pravidlo řešení čtvercových rovnic, které byly poskytnuty jediné kanonické podobě:

Ah 2 +. b. x \u003d S, A\u003e 0. (1)

V rovnici (1) koeficienty s výjimkou ale může být negativní. Brahmagupta pravidlo v podstatě se shoduje s naším.

Ve starověké Indii byly veřejné soutěže distribuovány při řešení obtížných úkolů. V jednom ze starých indických knih se říká o takových soutěžích následujícím způsobem: "Jako slunce s třpytkami, hvězdy zatmění, takže vědec je dychtivý než sláva druhého v montáži lidí, nabízet a řešení algebraické úkoly" Úkoly jsou často užívány v poetickém tvaru.

Zde je jeden z úkolů slavné indické matematiky XII století. Bhaskara.

Úkol 13.

"Uvedení opic a dvanáct na Lianam ...

Síla obkládání, baví. Začal skočit, zavěsit ...

Jsou v čtvercové části osmé, kolik opic bylo,

V gladi byl pobavený. Řeknete mi, v tomto stohu? "

Rozhodnutí Bhaskara svědčí o tom, že věděl o zdvojení kořenů čtvercových rovnic (obr. 3).

Odpovídající úkol 13 rovnice:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bhaskara píše pod rouškou:

x 2 - 64x \u003d -768

a doplnit levou část této rovnice k čtverci přidává obě části 32 2 Pak se dostanete:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(X - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Čtvercové rovnice v Al - Khorezmi

V algebraickém pojednání al - Khorezmi dává klasifikaci lineárních a čtvercových rovnic. Autor obsahuje 6 druhů rovnic, vyjadřuje je následujícím způsobem:

1) "čtverce jsou kořeny", tj. AH 2 + C \u003d b. x.

2) "čtverce jsou rovny číslu", tj. Ah 2 \u003d S.

3) "Kořeny se rovnou číslu", tj. ah \u003d s.

4) "čtverce a čísla jsou rovna kořenům", tj. AH 2 + C \u003d b. x.

5) "čtverce a kořeny jsou rovny číslu", tj. Ah 2 +. bx. \u003d s.

6) "kořeny a čísly jsou rovny čtvercům", tj. bx. + C \u003d AH 2.

Pro Al-Khorezmi, vyhýbání se použití negativních čísel, členové každého z těchto rovnic jsou komponenty a neodstraňovány. Zároveň není zohledněno v úvahu rovnice, které nemají pozitivní řešení. Autor stanoví způsoby, jak vyřešit tyto rovnice, s využitím technik Al - Jabr a Al - Mukabala. Jeho rozhodování samozřejmě se shoduje s naším. Už nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, je třeba poznamenat, například, že při řešení neúplné čtvercové rovnice prvního typu

al - Khorezmi, stejně jako veškerá matematika, dokud Xvii století, bere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že nezáleží na konkrétních praktických úkolech. Při řešení kompletního čtvercového al-besorského rovnice na soukromých číselných příkladech stanoví pravidla rozhodnutí, a pak geometrické důkazy.

Úkol 14. "Náměstí a číslo 21 jsou rovny 10 kořenům. Najděte kořen » (Rozumí se jako kořen rovnice x 2 + 21 \u003d 10x).

Rozhodnutí autora si přečí něco takového: rozdělíme počet kořenů, dostaneme 5, budete se násobit sami, z práce jednoho 21, zůstane 4. odstranění kořene z 4, obdržíte 2 . Onde 2 OT5, obdržíte 3, bude to požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 až 5, což dá 7, má také kořen.

AL-KHOREZMI DOSTAVENÍ JE První, která přišla k nám knihu, ve které je uvedena klasifikace čtvercových rovnic systematicky stanovených a vzorce.

1,5 čtverečních rovnic v Evropě XIII. - Xvii Bb.

Vzorce pro řešení čtvercových rovnic pro Al-Khorezmi v Evropě byly poprvé uvedeny v "Knihu Abaka", napsané v roce 1202 italským matematikem Leonarda Fibonacci. Tato důkladná práce, která odráží vliv matematiky, obě země islámu a Starověké Řecko, vyznačující se jak úplností a jasností prezentace. Autor vyvinul nezávisle nové nové algebraické příklady Řešení problémů a první v Evropě se přiblížily k zavedení negativních čísel. Jeho kniha podporovala šíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho výzev z "abaka knihy" prošlo téměř všechny evropské učebnice XVI - XVII století. a částečně XVIII.

Obecné pravidlo řešit čtvercové rovnice uvedené pro stejnou kanonickou formu:

x 2 +. bx. \u003d C,

pro všechny druhy kombinací znamení koeficientu b. , z Byl formulován v Evropě pouze v roce 1544 M. Ztuhněte.

Výstup vzorce pro řešení čtvercové rovnice v všeobecné Je tu Vieta, ale Viet uznal pouze pozitivní kořeny. Italské matematici Tartalia, Kardano, bombelly mezi prvními ve století XVI. Navíc kladné a negativní kořeny. Pouze v století XVII. Vzhledem k práci Girard, Descartes, Newton a dalších vědců, způsob řešení čtvercových rovnic má moderní vzhled.

1.6 O Vietské věce

Teorém vyjadřující vztah mezi koeficienty čtvercové rovnice a jeho kořeny, které je jméno Vieta, byl formulován poprvé v roce 1591 takto: "Pokud B. + D. násobeno A. - A. 2 studna Bd. T. A. stejně V A rovný D. ».

Chcete-li pochopit Vietu, měli byste si to pamatovat ALE Stejně jako každý dopis samohlásky znamenal, že má neznámý (náš h.), samohlásky V, D. - Koeficienty v neznámém. V jazyce moderní algebry výše, znění Vieta znamená: Pokud je

(A +. b. ) x - x 2 \u003d b. ,

x 2 - (A + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Vyjádření vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic se společnými vzorci zaznamenanými zaznamenanými pomocí symbolů, Visiet stanovil jednotnost ve způsobech řešení rovnic. Symbolika Viet je však stále daleko moderní výhled. Neoznámil negativní čísla a pro to při řešení rovnic zvažoval pouze případy, kdy jsou všechny kořeny pozitivní.

2. Metody pro řešení čtvercových rovnic

Čtvercové rovnice jsou základem, na kterém je majestátní budova algebry odpočívá. Čtvercové rovnice jsou široce používány při řešení trigonometrických, orientačních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovností. Všichni víme, jak řešit náměstí rovnice ze školní lavice (stupeň 8), před koncem univerzity.

V moderní společnost Schopnost provádět činy s rovnicemi obsahujícím proměnnou zvednutou na čtverec může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technický vývoj. Důkazem toho může sloužit designu mořských a říčních plavidel, letadel a raket. S pomocí takových výpočtů, trajektorie pohybu různých těl, včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením čtvercových rovnic se používají nejen v ekonomické prognóze, při navrhování a výstavbě budov, ale také v nejobvyklejších každodenních okolnostech. Mohou být potřebné v turistických kampaních, ve sportu, v nákupních obchodech a v jiných velmi běžných situacích.

Rozdělujeme výraz na komponentách multiplikátorů

Stupeň rovnice je určena maximální hodnotou stupně v proměnné, která obsahuje tento výraz. V případě, že je 2, pak taková rovnice se právě nazývá náměstí.

Pokud jazyk vzorců vyjadřuje, pak uvedené výrazy, bez ohledu na to, jak vypadají, může být vždy způsobeno formou, kdy se levá část výrazu skládá ze tří termínů. Mezi nimi: AX 2 (tj. Proměnná postavená do čtverce s koeficientem), BX (neznámý bez čtverce s jeho koeficientem) a C (volná složka, to je obvyklé číslo). To vše na pravé straně se rovná 0. V případě, kdy není nikdo ze svých složek termínů, s výjimkou AX 2, se nazývá neúplná čtvercová rovnice. Příklady s řešením takových úkolů, hodnota proměnných, ve kterém je snadné najít, by měla být považována za první.

Pokud se výraz objeví ve formě vypadá tak, že dva, přesněji, AX 2 a BX, výraz na výrazu na výrazu na pravé straně, je nejjednodušší najít proměnnou pro závorky. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: X (AX + B). Dále je zřejmé, že nebo x \u003d 0 nebo úkol je snížen na nalezení proměnné z následujícího výrazu: sekeru + b \u003d 0. Zadaný diktoval jeden z násobení vlastností. Pravidlo říká, že produkt ze dvou faktorů dává v důsledku 0 pouze v případě, že jeden z nich je nulový.

Příklad

x \u003d 0 nebo 8x - 3 \u003d 0

V důsledku toho získáme dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popsat pohyb těl pod vlivem gravitace, které začaly pohyb z určitého bodu přijatého na začátku souřadnic. Zde je matematický záznam následující formulář: Y \u003d v 0 t + gt 2/2. Nahrazení potřebných hodnot, rovnovážné pravé straně 0 a najít možné neznámé, můžete zjistit čas kolem okamžiku vzestupu těla až do pádu, stejně jako mnoho dalších hodnot. Ale budeme o tom mluvit později.

Rozkládání výrazu na multiplikáti

Výše uvedené pravidlo umožňuje vyřešit specifikované úkoly a ve složitějších případech. Zvažte příklady s řešením čtvercových rovnic tohoto typu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Tento čtvereční triple je kompletní. Chcete-li začít, transformujeme výraz a rozkládáme ji pro multiplikátory. Získávají se dva: (X-8) a (X-25) \u003d 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením čtvercových rovnic v Grade 9 umožňují tuto metodu najít proměnnou ve výrazech nejen druhý, ale i třetí a čtvrté objednávky.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. S rozkladem pravé části násobiteli s proměnnou se získají tři, tj. (X + 1), (X-3) a (X-3) a (X + 1), x + 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -jeden; 3.

Extrahovat čtvercový kořen

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výrazem v jazyce písmen uvedených takovým způsobem, že je pravá strana postavena ze složek sekeru 2 a C. Zde pro hodnotu proměnné se volný člen převede pravá stranaa pak se z obou částí rovnosti extrahují odmocnina. Je třeba poznamenat, že v tomto případě se kořeny rovnice obvykle dva. Výjimka může být rovna pouze rovnosti, obecně neobsahujícím termín C, kde je proměnná nulová, stejně jako možnosti pro výrazy, když se pravá strana ukáže být negativní. V poslední případ Neexistují žádná řešení vůbec, protože výše uvedené akce nemohou být vyrobeny s kořeny. Musí být zváženy příklady řešení čtvercových rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice -4 a 4.

Výpočet pozemku

Potřeba takových výpočtů se objevila v hlubokém starověku, protože vývoj matematiky v mnoha ohledech v těch vzdálených časech byl způsoben nutností určit nejhorší přesnost oblasti a obvodu pozemků.

Příklady s řešením čtvercových rovnic sestavených na základě úkolů tohoto druhu by měly být zváženy.

Řekněme, že je obdélníkový pozemek, jehož délka je 16 metrů více než šířka. Je třeba nalézt délku, šířku a obvodu místa, pokud je známo, že jeho plocha je rovna 612 m 2.

Začínáme záležitost, nejprve proveďte potřebnou rovnici. Označte x šířkou místa, pak bude jeho délka (x + 16). Z písemného vyplývá, že oblast je určena výrazem X (X + 16), který je podle stavu našeho problému 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.

Řešení kompletních čtvercových rovnic a tento výraz je přesně takový, nemůže být proveden stejným způsobem. Proč? Ačkoliv levá strana je stále obsahuje dva faktory, produkt není vůbec stejná 0, takže zde používají jiné metody.

Diskriminační

Za prvé, budeme vyrábět potřebnou konverzi, pak vzhled tohoto exprese bude vypadat takto: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znamená, že máme výraz ve formě odpovídajícím dříve specifikovaném standardu, kde A \u003d 1, b \u003d 16, C \u003d -612.

To může být příkladem řešení čtvercových rovnic skrze diskriminaci. Zde jsou požadované výpočty vyrobeny podle schématu: D \u003d B 2 - 4AC. Tato pomocná hodnota není možné najít požadované hodnoty ve druhém pořadí rovnici, určuje číslo možnosti možností. Ve věci d\u003e 0, existují dva; Když D \u003d 0 je jeden kořen. V případě D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorci

V našem případě je diskriminační: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To naznačuje, že odpověď z našeho úkolu existuje. Pokud víte, K, řešení čtvercových rovnic musí pokračovat pomocí vzorce níže. To vám umožní spočítat kořeny.

To znamená, že v předloženém pouzdru: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druhá verze v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v negativních hodnotách, to znamená x (tj. Šířka místa) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 + 16 \u003d 34 a obvod 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Příklady a cíle

Pokračujeme ve studiu čtvercových rovnic. Příklady a podrobné řešení několika z nich bude dáno později.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Přeneseme všechno do levé části rovnosti, uděláme transformaci, to znamená, že jsme získali formu rovnice, která se nazývá standard, a vyrovnat ji s nulou.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po skládání, definujeme diskriminaci: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Takže naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítáme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich je 4/3 a druhý.

2) Nyní odhalte hádanky jiného druhu.

Zjistěte, že zde existují kořeny x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pro získání komplexní reakce dáváme polynom na vhodnou obeznámenost a vypočítat diskriminaci. Ve stanoveném příkladu není nutné řešení čtvercové rovnice, protože podstatu úkolu není vůbec. V tomto případě D \u003d 16 - 20 \u003d 4, což znamená, že nejsou opravdu žádné kořeny.

Vieta teorém

Čtvercové rovnice jsou vhodně řešeny přes výše uvedené vzorce a diskriminační, když se druhá odmocnina extrahuje z poslední hodnoty. Ale to není vždy. Existuje však mnoho způsobů, jak získat proměnné v tomto případě. Příklad: řešení čtvercových rovnic na větu Vieta. Je pojmenována, po které žil ve století XVI ve Francii a udělala skvělou kariéru kvůli jeho matematickému talentu a nádvoří. Portrét může být viděn v článku.

Vzor, který známý známý, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice v množství jsou numericky stejné -P \u003d b / a a jejich produkt odpovídá Q \u003d C / A.

Zvažte konkrétní úkoly.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pro jednoduchost transformujeme výraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Používáme Vieta teorém, dá nám následující: množství kořenů je -7 a jejich práce -18. Odtud získáme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po provedení kontroly se ujistěte, že tyto hodnoty proměnných jsou opravdu vhodné ve výrazu.

Graf a parabola rovnice

Koncepce Kvadratická funkce a čtvercové rovnice jsou úzce spojeny. Příklady již byly uvedeny dříve. Nyní zvažte některé matematické hádanky o něco více. Jakákoliv rovnice popsaného typu je možné si představit. Podobná závislost nakreslená ve formě grafu se nazývá parabola. Její různé typy jsou zobrazeny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tj. Bod, ze kterého vyjdou své větve. V případě, že\u003e 0 odjíždí vysoko v nekonečnu, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální obrazy funkcí pomáhají vyřešit jakékoliv rovnice, včetně čtverce. Tato metoda se nazývá grafika. A hodnota proměnné X je souřadnic APSCISSA v bodech, kde se graf grafu překročí od 0x. Souřadnice vrcholů lze nalézt podle jediného vzorce X 0 \u003d -B / 2a. A nahrazení výsledné hodnoty do počáteční rovnice funkce, můžete se naučit Y 0, tj. Druhá souřadnice Pearabol vrchol patřící k osy ordinátu.

Přechod větví paraboly s osou abscisy

Příklady s řešeními čtvercových rovnic jsou velmi, ale existují obecné vzory. Zvážit je. Je zřejmé, že křižovatka grafu s osou 0x v A\u003e 0 je možné pouze tehdy, pokud 0 přijímá záporné hodnoty. A pro A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Podle grafu mohou být paraboly určeny a kořeny. Opak je také pravdivý. To znamená, že pokud máte vizuální obraz kvadratické funkce není snadné, můžete rovnat správnou část exprese na 0 a vyřešit získanou rovnici. A znají průsečíkové body s osou 0x, je snazší vybudovat plán.

Z historie

S pomocí rovnic obsahujících proměnnou zvednutou na čtverce, ve starých časech nejen matematické výpočty a určily oblast geometrických obrázků. Podobné výpočty starověkých byly potřebné pro velké objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako kompilovat astrologické prognózy.

Vzhledem k tomu, že postavy moderních věd naznačují, mezi prvními řešením čtvercových rovnic, obyvatelé Babylonu vzali. Stalo se to ve čtyřech stoletích před nástupem naší éry. Samozřejmě, jejich výpočty v kořeni se lišily od nyní přijatých a ukázaly být mnohem primitivní. Například Mesopotamian matematici neměli ponětí o existenci negativních čísel. Strangers také měli další jemnosti od těch, kteří znají každý student naší doby.

Snad ještě dřívější vědci Babylonu, řešení čtvercových rovnic, mudrc z Indie Budhoyama byl zapojen. Stalo se to asi za osm století před éry Krista. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které vedly, bylo nejvíce simultánní. Kromě něj se tyto otázky zajímaly o staré a čínské matematiky. V Evropě se čtvercové rovnice začaly řešit pouze v počátku XIII století, ale později byli používáni ve své práci tak velkými vědci jako Newton, Descartes a mnoho dalších.

Při pokračování tématu "Rozhodnutí rovnic", materiál tohoto článku vám představí čtvercové rovnice.

Zvažte vše podrobně: Podstatou a záznam čtvercové rovnice, stanoví doprovodné pojmy, budeme analyzovat systém pro řešení neúplných a úplných rovnic, seznámení se vzorcem kořenů a diskriminačního, navázat vazby mezi kořeny a koeficienty, A samozřejmě dáváme vizuální řešení praktických příkladů.

Yandex.rtb r-A-339285-1

Čtvercová rovnice, jeho typy

Definice 1.

Kvadratická rovnice - Toto je rovnice zaznamenaná jako A · x 2 + b · x + c \u003d 0kde X. - proměnná, a, b a C. - Některá čísla, zatímco a.Žádná nula.

Čtvercové rovnice se často nazývají název druhého stupně rovnic, protože v podstatě je čtvercová rovnice je algebraická rovnice druhého stupně.

Dáme příklad k ilustraci dané definice: 9 · x 2 + 16 · X + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · X + 0, 11 \u003d 0, atd. - Jedná se o čtvercové rovnice.

Definice 2.

Čísla a, b a C. - to jsou koeficienty čtvercové rovnice A · x 2 + b · x + c \u003d 0s koeficientem A. To se nazývá první nebo starší nebo koeficient při X 2, B - druhý koeficient nebo koeficient, když X., ale C. Volání volný člen.

Například v čtvercové rovnici 6 · x 2 - 2 · X - 11 \u003d 0 Seniorský koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 a volný člen je stejný − 11 . Věnujte pozornost tomu, že když koeficienty B.a / nebo C jsou záporné, pak se používá krátká forma záznamu zobrazení. 6 · x 2 - 2 · X - 11 \u003d 0, ale ne 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Tento aspekt také objasneme: Je-li koeficienty A. a / nebo B. rovnat se 1 nebo − 1 Poté explicitní účast na nahrávání čtvercové rovnice nemusí být přijata, což je vysvětleno znaky záznamu těchto numerických koeficientů. Například v čtvercové rovnici Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Seniorský koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Zadané a svobodné rovnice čtvercové

Hodnotou prvního koeficientu jsou čtvercové rovnice rozděleny do výše uvedeného a nezaplaceného.

Definice 3.

Snížená čtvercová rovnice - Jedná se o čtvercovou rovnici, kde je starší koeficient roven 1. Pro další hodnoty staršího koeficientu je čtvercová rovnice neplatná.

Dáváme příklady: čtvercové rovnice x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - X - 4 5 \u003d 0 jsou uvedeny v každém z nichž starší koeficient je 1.

9 · x 2 - X - 2 \u003d 0 - integrální čtvercová rovnice, kde se první koeficient liší od 1 .

Jakákoliv neobvyklá čtvercová rovnice je možné převést na danou rovnici, pokud je rozdělena z obou částí k prvnímu koeficientu (ekvivalentní transformace). Transformovaná rovnice bude mít stejné kořeny jako specifikovaná inteligentní rovnice nebo nemá vůbec kořeny.

Posouzení konkrétního příkladu nám umožní jasně prokázat přechod z integrované čtvercové rovnice k danému.

Příklad 1.

Rovnice je nastavena 6 · x 2 + 18 · X - 7 \u003d 0 . Je nutné převést počáteční rovnici ve výše uvedeném formuláři.

Rozhodnutí

Schéma uvedeného výše je odděleno oběma částmi počáteční rovnice na senior koeficientu 6. Pak se dostaneme: (6 · x 2 + 18 · X - 7): 3 \u003d 0: 3A to je stejné jako: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 A dál: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · X - 7: 6 \u003d 0. Odtud: X 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0. Tak je rovnice považována za specifikována.

Odpovědět: X 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0.

Plné a neúplné čtvercové rovnice

Obrátit se na definici čtvercové rovnice. V něm jsme to objasnili A ≠ 0.. Takový stav je nezbytný pro rovnici A · x 2 + b · x + c \u003d 0 Bylo to přesně náměstí, protože A \u003d 0. Je v podstatě převedena na lineární rovnici b · x + c \u003d 0.

V případě, kdy koeficienty B. a C.rovna nule (což je možné, individuálně i společně), čtvercová rovnice se nazývá neúplná.

Definice 4.

Neúplná čtvercová rovnice - taková čtvercová rovnice a · x 2 + b · x + c \u003d 0,kde alespoň jeden z koeficientů B.a C.(nebo obojí) je nula.

Plná čtvercová rovnice - čtvercová rovnice, ve které nejsou všechny numerické koeficienty nulové.

Dopřejte si, proč jsou typy čtvercových rovnic přesně uvedeny názvy.

Pro b \u003d 0 čtvercová rovnice má formu A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0že to samé je to A x 2 + C \u003d 0. Pro C \u003d 0. Čtvercová rovnice je zaznamenána jako A · x 2 + b · x + 0 \u003d 0Který je ekvivalentní a · x 2 + b · x \u003d 0. Pro B \u003d 0. a C \u003d 0. Rovnice bude zobrazit A x 2 \u003d 0. Rovnice, které jsme obdrželi, se liší od plné čtvercové rovnice v tom, že jejich levé části nejsou obsahovány buď komponenty od proměnné x nebo volný člen nebo oba najednou. Ve skutečnosti byla tato skutečnost požádána jméno takového typu rovnic - neúplné.

Například x 2 + 3 · X + 4 \u003d 0 a - 7 · X 2 - 2 · X + 1, 3 \u003d 0 jsou kompletní čtvercové rovnice; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - neúplné čtvercové rovnice.

Rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic

Výše uvedená definice umožňuje rozlišit následující typy neúplných čtvercových rovnic:

A x 2 \u003d 0Tato rovnice odpovídá koeficientům B \u003d 0. a c \u003d 0;
a · x 2 + c \u003d 0 pro b \u003d 0;
a · x 2 + b · x \u003d 0 při c \u003d 0.

Zvažte rozhodnutí každého typu neúplné čtvercové rovnice.

Řešení rovnice A x 2 \u003d 0

Jak bylo uvedeno výše, rovnice odpovídá koeficientům B. a C.rovna nule. Rovnice A x 2 \u003d 0 Je možné převést rovnici odpovídat tomu x 2 \u003d 0které dostáváme, sdílíme obě části zdrojové rovnice pro číslo A.není rovna nule. Zřejmá skutečnost, že kořen rovnice x 2 \u003d 0 To je nula, protože 0 2 = 0 . Ostatní kořeny, tato rovnice má ne, což je vysvětleno vlastnosti stupně: Pro libovolné číslo p,není rovna nule, věrné nerovnosti P 2\u003e 0to, co to následuje P ≠ 0. rovnost P 2 \u003d 0nikdy nebude dosaženo.

Definice 5.

Pro neúplnou čtvercovou rovnici A · x 2 \u003d 0 je jediný kořen x \u003d 0..

Příklad 2.

Například vyřešíme neúplnou čtvercovou rovnici - 3 · x 2 \u003d 0. Je ekvivalentní rovnici x 2 \u003d 0Jeho jediným kořenem je x \u003d 0., Pak má počáteční rovnice jediný kořen - nula.

Stručně řečeno, že rozhodnutí je učiněno:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Řešení rovnice A · x 2 + c \u003d 0

Na frontě - řešení neúplných čtvercových rovnic, kde b \u003d 0, C ≠ 0, to znamená, že rovnice formuláře A x 2 + C \u003d 0. Tuto rovnici transformujeme termín z jedné části rovnice do druhé, změnil znaménko na opačné a dělení obou částí rovnice k číslu, ne rovný nule:

převod C. v pravé části, která dává rovnici A · x 2 \u003d - C;
rozdělujeme obě části rovnice A., Dostanu se do konce x \u003d - c a.

Naše transformace jsou ekvivalentní, respektive, výsledná rovnice je rovněž ekvivalentní zdroji a tato skutečnost umožňuje uzavřít kořeny rovnice. Z čeho jsou významy A. a C.hodnota výrazu závisí - C A: Může mít znaménko mínus (řekněme, jestli A \u003d 1. a C \u003d 2., pak - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) nebo znaménko plus (například pokud A \u003d - 2 a C \u003d 6., pak - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); Není to nula, protože C ≠ 0.. Dej nám podrobněji v situacích, kdy - c a< 0 и - c a > 0 .

V případě, kdy - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Rovnost P 2 \u003d - c a nemůže být pravdivá.

Všechno jinak, když - c a\u003e 0: vzpomeňte na druhou odmocninu, a bude zřejmé, že rovnice x 2 \u003d - c a bude číslo - c a, protože c a 2 \u003d - c a. Není těžké pochopit, že číslo je - C A je také kořen rovnice X 2 \u003d - C A: Opravdu, - - C A 2 \u003d - C a.

Ostatní kořeny rovnice nebude mít. Můžeme to dokázat pomocí ošklivé metody. Chcete-li začít, nastavte označení nad kořeny jako X 1. a - X 1.. Navrhnu, aby rovnice x 2 \u003d - C A je také kořen X 2.které se liší od kořenů X 1. a - X 1.. Víme, že místo toho nahrazuje do rovnice X. Jeho kořeny, transformujeme rovnici do spravedlivé numerické rovnosti.

Pro X 1. a - X 1. Píšeme: x 1 2 \u003d - c a a pro X 2. - X 2 \u003d - C a. Spoléhat se na vlastnosti numerických rovností, replete jednu správnou rovnost z jiného, \u200b\u200bcož nám dá: X 1 2 - X 2 \u003d 0. Použijte vlastnosti akcí s čísly pro přepsání nejnovější rovnost jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Je známo, že práce dvou čísel je nula a pouze v případě, že alespoň jeden z čísel je nula. Z toho, že to vyplývá X 1 - X 2 \u003d 0 a / nebo x 1 + x 2 \u003d 0to totéž x 2 \u003d x 1 a / nebo x 2 \u003d - x 1. Byl tam zjevný rozpor, protože zpočátku bylo dohodnuto, že kořen rovnice X 2. se liší od X 1. a - X 1.. Dokázali jsme-li, že rovnice nemá jiné kořeny, s výjimkou X \u003d - C A a X \u003d - - C a.

Shrneme výše uvedené odůvodnění.

Definice 6.

Neúplná čtvercová rovnice A x 2 + C \u003d 0 ekvivalent rovnice x 2 \u003d - c a, která:

nebude mít kořeny, když - c a< 0 ;
budou tam dva kořeny X \u003d - C A a X \u003d - - C A s - C a\u003e 0.

Dáváme příklady řešení rovnic A x 2 + C \u003d 0.

Příklad 3.

Je uvedena čtvercová rovnice 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Je nutné najít své rozhodnutí.

Rozhodnutí

Přeneseme volný člen do pravé části rovnice, pak rovnice bude mít podobu 9 · x 2 \u003d - 7.
Rozdělujeme obě části získané rovnice 9 , přijít do x 2 \u003d - 7 9. V pravé části vidíme číslo s znaménkem mínus, což znamená: zadaná rovnice nemá žádné kořeny. Pak původní neúplná čtvercová rovnice 9 · x 2 + 7 \u003d 0 Nebude mít kořeny.

Odpovědět: rovnice 9 · x 2 + 7 \u003d 0nemá kořeny.

Příklad 4.

Je nutné vyřešit rovnici - x 2 + 36 \u003d 0.

Rozhodnutí

Přesouváme 36 na pravou stranu: - X 2 \u003d - 36.
Rozdělujeme obě části − 1 , dostat x 2 \u003d 36. V pravé části - kladné číslo, odtud můžeme konstatovat x \u003d 36 nebo X \u003d - 36.
Odstraňte kořen a zapište si konečný výsledek: neúplná čtvercová rovnice - x 2 + 36 \u003d 0 Má dva kořeny X \u003d 6. nebo X \u003d - 6.

Odpovědět: X \u003d 6. nebo X \u003d - 6.

Řešení rovnice A · x 2 + b · x \u003d 0

Budeme zkoumat třetí typ neúplných čtvercových rovnic, kdy C \u003d 0.. Najít rozhodnutí neúplné čtvercové rovnice a · x 2 + b · x \u003d 0, Používáme metodu rozkladu na multiplikátoři. Šíření na multiplikátoři polynomu, který je v levé části rovnice, tím, že vytvoří obecný násobek pro závorky X.. Tento krok bude poskytovat příležitost převést původní neúplnou čtvercovou rovnici vůči ekvivalentu x · (a · x + b) \u003d 0. A tato rovnice je zase ekvivalentní s celkem rovnic x \u003d 0. a · X + b \u003d 0. Rovnice · X + b \u003d 0 Lineární a jeho kořen: X \u003d - b a.

Definice 7.

Tak, neúplná čtvercová rovnice a · x 2 + b · x \u003d 0 bude mít dva kořeny x \u003d 0. a X \u003d - b a.

Příkladem upevněte materiál.

Příklad 5.

Je nutné najít řešení rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · X \u003d 0.

Rozhodnutí

Vede X. Pro držáky a získání rovnice x · 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0. Tato rovnice je ekvivalentní rovnicím x \u003d 0. a 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Nyní je nutné vyřešit výslednou lineární rovnici: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Stručně řešeno rovnici napsat tímto způsobem:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · X \u003d 0 x · 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 nebo 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 nebo x \u003d 3 3 7

Odpovědět: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminační, kořeny vzorec čtvercové rovnice

Chcete-li najít řešení čtvercových rovnic, existuje vzorec pro kořeny:

Definice 8.

x \u003d - B ± D 2 · A Kde D \u003d B 2 - 4 · A C - Takzvaný diskriminační čtvercové rovnice.

Záznam X \u003d - B ± D2 · A v podstatě znamená, že X1 \u003d - B + D2 · A, X 2 \u003d - B - D 2 · A.

Bude užitečné pochopit, jak byl zadaný vzorec odvozen a jak jej aplikovat.

Výstup kořenů čtvercové rovnice

Buďme napadeni, abychom vyřešili čtvercovou rovnici A · x 2 + b · x + c \u003d 0. Proveďte řadu ekvivalentních transformací:

rozdělujeme obě části rovnice pro číslo a.Jiné než nula, získáme snížené čtvercové rovnice: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
zvýrazňujeme plné náměstí na levé straně přijaté rovnice:
x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · A · x + b 2 · A 2 - B2 · A 2 + CA \u003d X + B 2 · A 2 - B2 · A 2 + CA .
Poté bude rovnice mít formu: X + B2 · A 2 - B2 · A 2 + C A \u003d 0;
nyní je možné provést převod posledních dvou termínů do pravé strany, měnící se znaménko na opak, po kterém získáme: X + B2 · A 2 \u003d B2 · A 2 - C a;
konečně transformujeme výraz zaznamenaný na pravé straně poslední rovnosti:
B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Tak jsme přišli na rovnici X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, ekvivalentní zdrojové rovnice A · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Rozuměli jsme řešení těchto rovnic v předchozích odstavcích (rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic). Získané zkušenosti umožňuje uzavření kořenů rovnice X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

na b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
pro B 2 - 4 · A · C4 · A 2 \u003d 0 má rovnice formulář X + B2 · A 2 \u003d 0, pak X + B2 · A \u003d 0.

Jediný kořen X \u003d - B 2 · A je zřejmý;

pro B 2 - 4 · A · C4 · A 2\u003e 0 bude správné: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 nebo X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C4 · A 2, což je stejné jako X + - B2 · A \u003d B 2-4 · A · C4 · A 2 nebo X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · \\ t A · C 4 · A 2, tj. Rovnice má dva kořeny.

Je možné dospět k závěru, že přítomnost nebo nepřítomnost kořenů rovnice X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C4 · A 2 (a tudíž počáteční rovnice) závisí na znamení exprese B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, zaznamenané na pravé straně. A znaménko tohoto výrazu je nastaveno počtem číslovače (jmenovatele 4 · A 2 bude vždy pozitivní), to znamená znamení výrazu B 2 - 4 · A · C. Tento výraz B 2 - 4 · A · C Jméno je diskriminaci čtvercové evakuace a je definován jako jeho označení dopisu D. Zde můžete zaznamenat podstatu diskriminačního diskriminačního - podle její hodnoty a označení se uzavírá, zda bude čtvercová rovnice mít platné kořeny, a pokud je, jaký je počet kořenů - jeden nebo dva.

Vrácení do rovnice X + B2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Přepíšu ji pomocí diskriminačního označení: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Znovu formulovat závěry:

Definice 9.

pro D.< 0 Rovnice nemá žádné platné kořeny;
pro D \u003d 0. Rovnice má jediný kořen X \u003d - B2 · A;
pro D\u003e 0. Rovnice má dva kořeny: X \u003d - B2 · A + D4 · A 2 nebo X \u003d - B2 · A - D 4 · A 2. Tyto kořeny založené na vlastnostech radikálů mohou být napsány ve formě: X \u003d - B2 · A + D2 · A nebo - B2 · A - D 2 · A. A když odhalíme moduly a dáváme frakcí společným jmenovatelem, Získáme: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.

Výsledkem našeho uvažování tak byl odstranění vzorce kořenů čtvercové rovnice:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, Diskriminační D. Vypočítaný vzorcem D \u003d B 2 - 4 · A C.

Tyto vzorce umožňují, když je diskriminován, je větší určit jak platné kořeny. Když diskriminační je nulová, použití obou vzorců poskytne stejný kořen jako jediný roztok čtvercové rovnice. V případě, že diskriminační je negativní, snaží se použít kořenový vzorec čtvercové rovnice, budeme čelit potřebu odstranit druhou odmocninu z záporného čísla, které nás zavede mimo skutečnou čísla. S negativním diskriminačním diskriminaci nebude čtvercová rovnice platná kořeny, ale je možný pár komplexně konjugovaných kořenů určených stejnými kořenovými vzorcemi získanými námi.

Algoritmus pro řešení čtvercových rovnic na kořenových vzorcích

Je možné řešit čtvercovou rovnici, okamžitě cyklovat vzorec kořenů, ale v podstatě dělají, pokud je to nutné, najít komplexní kořeny.

V hlavní hmotnosti případů je obvykle implikováno na hledání bez komplexu, ale platných kořenů čtvercové rovnice. Pak optimálně před použitím vzorců kořenů čtvercové rovnice, nejprve určete diskriminaci a ujistěte se, že není negativní (jinak dospělo k závěru, že rovnice nemá platné kořeny) a pak pokračujte pro výpočet hodnoty kořenů.

Výše uvedené argumenty poskytují schopnost formulovat algoritmus pro řešení čtvercové rovnice.

Definice 10.

Vyřešit čtvercovou rovnici A · x 2 + b · x + c \u003d 0, je to nutné:

podle vzorce D \u003d B 2 - 4 · A C najít hodnotu diskriminace;
s D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
při d \u003d 0 najdete jediný kořen rovnice podle vzorce x \u003d - b2 · a;
pro D\u003e 0 určete dvě platné kořeny čtvercové rovnice podle vzorce X \u003d - B ± D2 · A.

Všimněte si, že když diskriminační je nula, můžete použít vzorec X \u003d - D2 · A, dá stejný výsledek jako vzorec X \u003d - B 2 · A.

Zvážit příklady.

Příklady řešení čtvercových rovnic

Představujeme řešení příkladů při různých hodnotách diskriminace.

Příklad 6.

Je nutné najít kořeny rovnice X 2 + 2 · X - 6 \u003d 0.

Rozhodnutí

Píšeme číselné koeficienty čtvercové rovnice: A \u003d 1, B \u003d 2 a C \u003d - 6. Dále jednáme na algoritmus, tj. Budeme pokračovat pro výpočet diskriminace, pro které nahradíme koeficienty A, B a C. Ve vzorci diskriminace: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Takže jsme získali D\u003e 0, což znamená, že počáteční rovnice bude mít dvě platné kořeny.
Chcete-li je najít, používáme kořenový vzorec X \u003d - B ± D2 · A a nahrazující odpovídající hodnoty, získáme: X \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušte výsledný výraz, takže násobitel pro kořenový znak, následovaný řezáním frakce:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 nebo X \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 nebo X \u003d - 1 - 7

Odpovědět: X \u003d - 1 + 7, X \u003d - 1 - 7.

Příklad 7.

Je nutné vyřešit čtvercovou rovnici - 4 · x 2 + 28 · X - 49 \u003d 0.

Rozhodnutí

Určete diskriminaci: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. S touto diskriminační hodnotou bude počáteční rovnice mít pouze jeden kořen definovaný vzorcem X \u003d - B 2 · A.

x \u003d - 28 2 · (- 4) X \u003d 3, 5

Odpovědět: X \u003d 3, 5.

Příklad 8.

Je nutné vyřešit rovnici 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Rozhodnutí

Číselné koeficienty této rovnice budou: A \u003d 5, B \u003d 6 a C \u003d 2. Tyto hodnoty používáme k nalezení diskriminačního: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Vypočítaný diskriminační je negativní, tedy počáteční čtvercová rovnice nemá platné kořeny.

V případě, že je úkolem specifikovat komplexní kořeny, aplikovat vzorec kořene, provádění akcí s komplexními čísly:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 nebo X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I nebo X \u003d - 3 5 - 1 5 · I.

Odpovědět: Neexistují žádné platné kořeny; Komplexní kořeny jsou následující: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

V Školní program Standardně neexistuje požadavek na hledání komplexních kořenů, takže pokud během řešení je diskriminační definován jako negativní, odpověď je okamžitě zaznamenána, že neexistují žádné platné kořeny.

Formula kořeny pro i druhé koeficienty

Vzorec kořenů X \u003d - B ± D2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A) umožňuje získat další vzorec, kompaktnější, což umožňuje najít řešení čtvercových rovnic s dokonce koeficientem X (nebo s koeficientem typu 2 n, například 2 · 3 nebo 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Ukážeme, jak se zobrazí tento vzorec.

Buďme úkolem nalezení řešení čtvercové rovnice A · x 2 + 2 · N · x + c \u003d 0. Působíme na algoritmus: určete diskriminační d \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · (n2 - a · c), a pak použijte kořenový vzorec:

x \u003d - 2 · N ± D 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N2 - A · C2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Nechte výraz n2 - a · C být indikován jako d 1 (někdy d "). Potom vzorec kořenů ústavy čtvercové rovnice s druhým koeficientem 2 · n bude mít formu:

x \u003d - N ± D 1 A, kde D 1 \u003d N2 - A · C.

Je snadné vidět, že d \u003d 4 · d 1 nebo d 1 \u003d d 4. Jinými slovy, D1 je čtvrtina diskriminace. Je zřejmé, že podepsat D1 je stejné jako znamení D, což znamená, že znamení D 1 může sloužit také jako indikátor přítomnosti nebo nepřítomnosti kořenů čtvercové rovnice.

Definice 11.

Tak, najít řešení čtvercové rovnice s druhým koeficientem 2 · n, je nutné:

najít d 1 \u003d n 2 - a · c;
s d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
pro d 1 \u003d 0, určete jediný kořen rovnice podle vzorce x \u003d - n a;
pro D 1\u003e 0 určete dvě platné kořeny podle vzorce X \u003d - N ± D 1 A.

Příklad 9.

Je nutné vyřešit čtvercovou rovnici 5 · x 2 - 6 · X - 32 \u003d 0.

Rozhodnutí

Druhý koeficient specifikované rovnice může být reprezentován jako 2 · (- 3). Poté přepište specifikovanou čtvercovou rovnici jako 5 · x 2 + 2 · (- 3) · X - 32 \u003d 0, kde A \u003d 5, n \u003d - 3 a C \u003d - 32.

Vypočítáme čtvrtou část diskriminace: D 1 \u003d N2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Hodnota získaná pozitivně to znamená, že rovnice má dvě platné kořeny. Definujeme je podle odpovídajícího kořenového vzorce:

x \u003d - N ± D 1 A, X \u003d - - 3 ± 169 5, X \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 nebo X \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 nebo X \u003d - 2

Bylo by možné provádět výpočty a obvyklým vzorcem kořenů čtvercové rovnice, ale v tomto případě by řešení by bylo více těžkopádné.

Odpovědět: X \u003d 3 1 5 nebo x \u003d - 2.

Zjednodušení druhů čtvercových rovnic

Někdy je možné optimalizovat typ zdrojové rovnice, která zjednodušuje proces výpočtu kořenů.

Například čtvercová rovnice 12 · x 2 - 4 · X - 7 \u003d 0 je jasně výhodnější pro řešení než 1200 · x 2 - 400 · X - 700 \u003d 0.

Častěji zjednodušení druhu čtvercové rovnice se provádí násobením nebo rozdělením obou částí do druhu čísla. Například jsme ukázali zjednodušený záznam rovnice 1200 · X 2 - 400 · X - 700 \u003d 0, získané rozdělením obou dílů o 100.

Taková konverze je možná, když koeficienty čtvercové rovnice nejsou vzájemně jednoduchá čísla. Pak se obvykle dělí obě části rovnice k největšímu společnému dělení absolutních hodnot svých koeficientů.

Jako příklad použijte čtvercovou rovnici 12 · x 2 - 42 · X + 48 \u003d 0. Definujeme uzel absolutních hodnot jeho koeficientů: uzly (12, 42, 48) \u003d uzel (uzel (uzel (12, 42), 48) \u003d uzel (6, 48) \u003d 6. Dále rozdělíme dvě části původní čtvercové rovnice na 6 a získáme ekvivalentní čtvercovou rovnici 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Vynázání obou částí čtvercové rovnice se obvykle zbaví zlomkových koeficientů. Zároveň vynásobený nejmenším obecným více jmenovatelem svých koeficientů. Například, pokud je každá část čtvercové rovnice 1 6 · x 2 + 2 3 · X - 3 \u003d 0 násobit z NOC (6, 3, 1) \u003d 6, pak se zaznamenává v jednodušším formuláři X 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Nakonec si všimneme, že téměř vždy se zbavit mínus při prvním koeficientu čtvercové rovnice, měnící se známky každého členu rovnice, který je dosažen vynásobením (nebo divizí) obou částí 1. Například z čtvercové rovnice - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, můžete jít do zjednodušené verze 2 · x 2 + 3 · X - 7 \u003d 0.

Komunikace mezi kořeny a koeficienty

Vzorec kořenů čtvercových rovnic X \u003d - B ± D 2 · A již známý s námi vyjadřuje kořeny rovnice přes své numerické koeficienty. Spoléhají na tento vzorec, máme možnost stanovit další závislosti mezi kořeny a koeficienty.

Nejznámějším a nejslavnějším jsou vzorce Vieta teorém:

x 1 + x 2 \u003d - b a a x 2 \u003d c a.

Zejména pro sníženou čtvercovou rovnici, množství kořenů je druhým koeficientem s opačným znaménkem a produkt kořenů je zdarma. Například podle druhu čtvercové rovnice 3 · x 2 - 7 · X + 22 \u003d 0 je možné okamžitě určit, že součet jeho kořenů je 73 a produkt kořenů je 22 3.

Můžete také najít řadu dalších spojení mezi kořeny a koeficienty čtvercové rovnice. Například součet čtverců kořenů čtvercové rovnice lze vyjádřit pomocí koeficientů:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca. 2.

Pokud si v textu všimnete chybu, vyberte jej a stiskněte klávesu CTRL + ENTER

První úroveň

Kvadratické rovnice. Vyčerpávající průvodce (2019)

Pokud jde o "čtvercovou rovnici", klíčem je slovo "náměstí". To znamená, že proměnná musí být přítomna v rovnici (stejný IX) na čtverci a ve třetím (a větším) stupni by neměly být ICS.

Řešení mnoha rovnic je sníženo na řešení přesně čtvercových rovnic.

Naučme se, jak určit, že máme čtvercovou rovnici, a ne jiná.

Příklad 1.

Každý člen rovnice na jmenovatele a dominuje

Přeneseme vše na levé a místo členů v sestupném pořadí stupňů ICA

Nyní můžete s důvěrou říci, že tato rovnice je čtverec!

Příklad 2.

Domácí levá a pravá strana:

Tato rovnice, i když to bylo původně v něm, není čtverec!

Příklad 3.

Domování vše na:

Děsivý? Čtvrtý a druhý stupeň ... Nicméně, pokud nahradíme, pak uvidíme, že máme jednoduchou čtvercovou rovnici:

Příklad 4.

Zdá se, že je to, ale podívejme se pozorně. Přeneseme vše vlevo:

Viz, snížený - a teď je to jednoduchá lineární rovnice!

Nyní se pokuste zjistit, který z následujících rovnic jsou čtvercové, a které ne:

Příklady:

Odpovědi:

náměstí;
náměstí;
ne čtvercový;
ne čtvercový;
ne čtvercový;
náměstí;
ne čtvercový;
náměstí.

Matematika konvenčně rozdělit všechny čtvercové rovnice na typu:

Plné náměstí rovnice - rovnice, ve kterých koeficienty a, stejně jako volný člen nejsou rovny nule (jako v příkladu). Kromě toho, mezi plnými čtvercovými rovnicemi přiděleny prezentován - Jedná se o rovnice, ve kterých koeficient (rovnice z příkladu jeden není úplný, ale také dáno!)

Neúplné čtvercové rovnice - rovnice, ve kterých je koeficient a volný člen nulový:
Neúplně, protože jim chybí nějaký druh zboží. Ale rovnice by měla být vždy přítomna na náměstí !!! Jinak nebude čtverec, ale jiná rovnice.

Proč jsi přišel s takovou divizí? Zdálo by se, že na náměstí je X a v pořádku. Taková divize je způsobena metodami řešení. Zvažte každého z nich podrobněji.

Rozhodnutí neúplných čtvercových rovnic

Chcete-li začít, zastavíme se při řešení neúplných čtvercových rovnic - jsou mnohem jednodušší!

Neúplné čtvercové rovnice jsou typy:

V této rovnici je koeficient stejný.
V této rovnici je volný člen roven.
V této rovnici jsou koeficient a volný člen stejné.

1. A. Jak víme, jak extrahovat druhou odmocninu, pojďme vyjádřit z této rovnice

Výraz může být negativní i pozitivní. Číslo postavené do náměstí nemůže být negativní, protože s vynásobením dvou negativních nebo dvou kladných čísel - výsledek bude vždy kladný počet, takže pokud rovnice nemá řešení.

A pokud dostanete dva kořeny. Tyto vzorce nemusí zapamatovat si. Hlavní věc, kterou byste měli vědět, a pamatovat vždy, že to nemusí být menší.

Pokusme se vyřešit několik příkladů.

Příklad 5:

Rozhodovat rovnice

Nyní zůstane odstraněny z levé a pravé strany. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny?

Odpovědět:

Nikdy nezapomeňte na kořeny s negativním znakem !!!

Příklad 6:

Rozhodovat rovnice

Odpovědět:

Příklad 7:

Rozhodovat rovnice

Ach! Čtverec čísla nemůže být negativní, což znamená rovnici

Žádné kořeny!

Pro takové rovnice, ve kterých nejsou žádné kořeny, matematika přišla se speciální ikonou - (prázdná sada). A odpověď může být napsána jako:

Odpovědět:

Tato čtvercová rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme odstranili kořen.
Příklad 8:

Rozhodovat rovnice

Budu shrnout závorky:

Takto,

Tato rovnice má dva kořeny.

Odpovědět:

Nejjednodušší typ neúplných čtvercových rovnic (i když jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:

Zde budeme dělat bez příkladů.

Řešení plných čtvercových rovnic

Připomínáme vám, že plná čtvercová rovnice je rovnice rovnice, kde

Řešení kompletních čtvercových rovnic je o něco složitější (velmi mírně) než výše uvedené.

Pamatovat si, jakákoliv čtvercová rovnice může být vyřešena pomocí diskriminace! Dokonce neúplné.

Zbytek způsobů pomůže, aby byl rychlejší, ale pokud máte problémy s čtvercovými rovnicemi, začít, řešení je nazýváno pomocí diskriminačního.

1. Řešení čtvercových rovnic s pomocí diskriminačního.

Řešení čtvercových rovnic tímto způsobem je velmi jednoduchý, hlavní věc je zapamatovat si posloupnost akcí a pár vzorců.

Pokud má rovnice kořen zvláštní pozornosti, aby zaplatil krok. Diskriminační () uvádí nás na počtu kořenů rovnice.

Pokud se vzorec sníží. Tak, rovnice bude mít celý kořen.
Pokud nebudeme moci extrahovat kořen z diskriminace v kroku. To znamená, že rovnice nemá kořeny.

Vraťme se k našim rovnicím a zvažte několik příkladů.

Příklad 9:

Rozhodovat rovnice

Krok 1 Přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

Takže rovnice má dva kořeny.

Krok 3.

Odpovědět:

Příklad 10:

Rozhodovat rovnice

Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 Přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

Takže rovnice má jeden kořen.

Odpovědět:

Příklad 11:

Rozhodovat rovnice

Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 Přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

Nebude moci extrahovat kořen z diskriminace. Kořeny rovnice neexistují.

Nyní víme, jak tyto odpovědi napsat správně.

Odpovědět:Žádné kořeny

2. Řešení čtvercových rovnic pomocí Vieta teorém.

Pokud si pamatujete, že je to takový typ rovnic, které se nazývají prezentovány (když je koeficient A roven):

Takové rovnice jsou velmi snadno řešeny pomocí Vieta teorém:

Součet kořenů specifikovaný Čtvercová rovnice je stejná a produkt kořenů je stejný.

Příklad 12:

Rozhodovat rovnice

Tato rovnice je vhodná pro řešení použití Vieta teorém, protože .

Množství kořenů rovnice je stejná, tj. Dostaneme první rovnici:

A práce je:

Systém také rozhodujeme:

a. Částka je stejná;
a. Částka je stejná;
a. Částka je stejná.

a jsou řešením systému:

Odpovědět: ; .

Příklad 13:

Rozhodovat rovnice

Odpovědět:

Příklad 14:

Rozhodovat rovnice

Rovnice je uvedena, a proto:

Odpovědět:

Kvadratické rovnice. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Co je čtvercová rovnice?

Jinými slovy, čtvercová rovnice je rovnicí druhu, kde je neznámá některá čísla a.

Číslo se nazývá starší nebo první koeficient čtvercová rovnice - druhý koeficient, ale - volný člen.

Proč? Protože pokud se rovnice okamžitě stane lineární, protože zmizet.

Současně a může být nulová. V této stolici se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny komponenty na místě, to znamená, že rovnice je dokončena.

Řešení různých typů čtvercových rovnic

Metody řešení neúplných čtvercových rovnic:

Chcete-li začít, budeme analyzovat metody řešení neúplných čtvercových rovnic - jsou snazší.

Můžete vybrat typ takových rovnic:

I. V této rovnici jsou koeficient a volný člen stejné.

II. V této rovnici je koeficient stejný.

III. V této rovnici je volný člen roven.

Nyní zvažte řešení každé z těchto podtypů.

Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:

Číslo postavené do náměstí nemůže být negativní, protože s vynásobením dvou negativních nebo dvou kladných čísel bude výsledek vždy kladný počet. Proto:

pokud se rovnice nemá řešení;

pokud jsme se naučili dva kořeny

Tyto vzorce nemusí zapamatovat si. Hlavní věc, kterou si pamatuje, že to nemusí být menší.

Příklady:

Řešení:

Odpovědět:

Nikdy nezapomeňte na kořeny s negativním znakem!

Čtverec čísla nemůže být negativní, což znamená rovnici

Žádné kořeny.

Chcete-li stručně zaznamenat, že úkol nemá žádná řešení, použijte prázdnou sadu ikonu.

Odpovědět:

Tato rovnice má tedy dvě kořeny: a.

Odpovědět:

Budu shrnout továrnu na závorky:

Produkt je nula, pokud alespoň jeden z násobičů je nula. To znamená, že rovnice má řešení, kdy:

Tato čtvercová rovnice má tedy dva kořeny: a.

Příklad:

Rozhodnout rovnici.

Rozhodnutí:

Šířit levou část tovární rovnice a najít kořeny:

Odpovědět:

Metody řešení plných čtvercových rovnic:

1. Discriminant

Řešení čtvercových rovnic tímto způsobem je to snadné, hlavní věc je zapamatovat si posloupnost akcí a pár vzorců. Nezapomeňte, jakákoliv čtvercová rovnice může být vyřešena pomocí diskriminačního! Dokonce neúplný.

Všimli jste si kořen od diskriminace v kořenovém vzorci? Diskriminace však může být negativní. Co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost krok 2. Diskriminant nás naznačuje na počtu kořenů rovnice.

Pokud má rovnice kořen:
Pokud má rovnice stejný kořen a ve skutečnosti jeden kořen:
Takové kořeny se nazývají dvojité.
Pokud není kořen diskriminace odstraněn. To znamená, že rovnice nemá kořeny.

Proč je možné různé množství kořenů? Otočte se k K. geometrický význam čtvercová rovnice. Funkční graf je parabola:

V konkrétním případě, což je čtvercová rovnice. A to znamená, že kořeny čtvercové rovnice jsou body průsečíku s osou abscisy (osa). Parabola nesmí překročit osu vůbec, nebo ji přejít v jednom (když horní část paraboly leží na ose) nebo dva body.

Kromě toho odpovídá koeficient za směr poboček paraboly. Pokud jsou pobočky paraboly směřovány nahoru, a pokud je dole.

Příklady:

Řešení:

Odpovědět:

Odpovědět:.

Odpovědět:

Takže neexistují řešení.

Odpovědět:.

2. Vieta teorém

Vieta je teorém je velmi snadno použitelný: stačí vyzvednout takový pár čísel, jejichž produkt se rovná volnému členu rovnice, a množství je druhým koeficientem, který je převzatý s opačným znaménkem.

Je důležité si uvědomit, že teorém Vieta lze použít pouze v snížené čtvercové rovnice ().

Zvažte několik příkladů:

Příklad číslo 1:

Rozhodnout rovnici.

Rozhodnutí:

Tato rovnice je vhodná pro řešení použití Vieta teorém, protože . Zbývající koeficienty:; .

Množství kořenů rovnice je:

A práce je:

Vybereme takové dvojice čísel, jehož produkt je stejný a zkontrolujte, zda je jejich částka stejná:

a. Částka je stejná;
a. Částka je stejná;
a. Částka je stejná.

a jsou řešením systému:

Tak, kořeny naší rovnice.

Odpovědět:; .

Příklad číslo 2:

Rozhodnutí:

Vybereme takové dvojice čísel, které jsou uvedeny v práci, a pak zkontrolujeme, zda je jejich částka stejná:

a: v množství, které dávají.

a: v množství, které dávají. Dostatek jen proto, aby změnil známky údajných kořenů: a proto, že práce.

Odpovědět:

Příklad číslo 3:

Rozhodnutí:

Volný člen rovnice je negativní, což znamená produkt kořenů - záporné číslo. To je možné pouze tehdy, pokud je jeden z kořenů negativní a druhý je pozitivní. Proto je množství kořenů je stejné rozdíly jejich modulů.

Vybereme takové dvojice čísel, které jsou uvedeny v práci, a jehož rozdíl je roven:

a: Jejich rozdíl je stejný - není vhodný;

a: - není vhodné;

a: - vhodné. Zůstane jen proto, že si pamatuje, že jeden z kořenů je negativní. Vzhledem k tomu, že jejich částka by měla být stejná, pak by měl být negativní menší kořenový modul :. Šek:

Odpovědět:

Příklad číslo 4:

Rozhodnout rovnici.

Rozhodnutí:

Rovnice je uvedena, a proto:

Volný člen je negativní, a proto produkt kořenů je negativní. A to je možné pouze tehdy, když je jeden kořen rovnice negativní a druhý je pozitivní.

Vybereme takové dvojice čísel, jehož produkt je rovný, a pak definujeme, které kořeny by měly mít negativní znamení:

Je zřejmé, že pouze kořeny jsou vhodné pro první stav a:

Odpovědět:

Příklad číslo 5:

Rozhodnout rovnici.

Rozhodnutí:

Rovnice je uvedena, a proto:

Množství kořenů je negativní, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je negativní. Ale protože jejich práce je pozitivní, to znamená oba kořeny s minus znamení.

Vybereme takové dvojice čísel, jehož produkt je:

Samozřejmě, kořeny jsou čísla a.

Odpovědět:

Souhlasím, je to velmi pohodlné - vymyslet kořeny ústně, místo toho, aby zvážil tento ošklivý diskriminační. Pokuste se používat větu Vieta co nejvíce.

Ale Vieta teorém je zapotřebí s cílem usnadnit a urychlit zjištění kořenů. Abyste ho pomohli použít, musíte přinést akci do automatismu. A pro to pomlouvat více podpatků z příkladů. Ale ne škálování: Diskriminační nelze použít! Pouze Vieta Teorem:

Řešení úloh pro nezávislou práci:

Úkol 1. ((x) ^ (2) - 8x + 12 \u003d 0

Na Vieta teorém:

Jako obvykle začneme výběr práce:

Nezapadá, protože částka;

: Částka - co potřebujete.

Odpovědět:; .

Úloha 2.

A znovu, naše oblíbená Vieta teorém: v množství by se mělo ukázat, a práce je stejná.

Ale protože by to nemělo být, ale změňte známky kořenů: a (v množství).

Odpovědět:; .

Úkol 3.

Hmm ... A kde je to, co?

Je nutné převést všechny podmínky v jedné části:

Množství kořenů je stejné, práce.

Tak, přestaň! Rovnice není uvedena. Věta Vieta je však použitelná pouze ve výše uvedených rovnicích. Nejprve musíte přinést rovnici. Pokud nefungujete, hodit tuto myšlenku a rozhodnout se jiným způsobem (například prostřednictvím diskriminace). Dovolte mi, abych vám připomněl, že přinese čtvercovou rovnici - to znamená učinit seniorský koeficient na:

Vynikající. Pak je množství kořenů stejné a práce.

Zde je snazší vyzvednout jednoduché: Koneckonců, jednoduché číslo (omlouvám se za tautologii).

Odpovědět:; .

Úloha 4.

Volný člen je negativní. Co je v tom zvláštní? A skutečnost, že kořeny budou různé známky. A teď během výběru nekontrolujeme množství kořenů, ale rozdíl mezi jejich moduly: tento rozdíl je stejný a práce.

Takže kořeny jsou stejné a, ale jeden z nich s mínusem. Vieta teorém nám říká, že množství kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, to znamená. Takže mínus bude v menším kořeni: a od té doby.

Odpovědět:; .

Úloha 5.

Co je třeba udělat jako první? Právo, přinést rovnici:

Opět: Vybereme multiplikátory čísla a jejich rozdíl by měl být stejný:

Kořeny jsou stejné a ale jeden z nich s mínusem. Co? Jejich částka by měla být stejná, znamená to, že mínus bude větší kořen.

Odpovědět:; .

Shrneme se:

Vieta teorém se používá pouze v daných čtvercových rovnicích.
Pomocí Vieta teorém můžete najít kořeny výběrem, ústně.
Pokud se rovnice nedostane nebo neexistuje žádný vhodný pár multiplikátorů volného členu, což znamená, že neexistují žádné kořeny, a je nutné vyřešit další metodu (například prostřednictvím diskriminačního).

3. Způsob alokace plného náměstí

Pokud jsou všechny termíny obsahující neznámé, přítomné ve formě složek zkrácené násobení součtu součtu nebo rozdílu, pak po výměně proměnných může být reprezentována rovnice ve formě neúplné čtvercové rovnice typu .

Například:

Příklad 1:

Rozhodnout rovnici :.

Rozhodnutí:

Odpovědět:

Příklad 2:

Rozhodnout rovnici :.

Rozhodnutí:

Odpovědět:

Obecně bude transformace vypadat takto:

Z toho vyplývá: .

Nic připomíná? To je diskriminační! To je to, vzorec diskriminačního a dostal.

Kvadratické rovnice. Stručně o hlavní věci

Kvadratická rovnice- To je rovnice druhu, kde - neznámý, - koeficienty čtvercové rovnice, je volný člen.

Plná čtvercová rovnice - rovnice, ve které nejsou koeficienty rovny nule.

Snížená čtvercová rovnice - rovnice, ve které je koeficient, to je :.

Neúplná čtvercová rovnice - rovnice, ve které je koeficient a volný člen nulový:

je-li koeficient, rovnice je:
je-li volný člen, má rovnice formulář :,
pokud má rovnice formulář :.

1. Řešení algoritmu Neúplné čtvercové rovnice

1.1. Neúplná čtvercová rovnice druhu, kde:

1) Vyjádřete neznámou:

2) Kontrola znaménka výrazu:

pokud se rovnice nemá řešení,
pokud má rovnice dva kořeny.

1.2. Neúplná čtvercová rovnice druhu, kde:

1) Shrneme továrnu na závorky:

2) Výrobek je nulový, pokud alespoň jeden z násobičů je nula. Proto má rovnice dva kořeny:

1.3. Neúplná čtvercová rovnice druhu, kde:

Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen :.

2. Algoritmus pro řešení plných čtvercových rovnic druhu, kde

2.1. Řešení s pomocí diskriminačního

1) Dáváme rovnici standardní formy:,

2) Vypočítejte diskriminaci podle vzorce: což naznačuje počet kořenů rovnice:

3) Najděte kořeny rovnice:

pokud má rovnice kořen, který je ve vzorci:
pokud má rovnice kořen, který je podle vzorce:
pokud se rovnice nemá kořeny.

2.2. Řešení pomocí věty Vieta

Součet kořenů snížené čtvercové rovnice (rovnice formy, kde) je stejná a produkt kořenů je stejný, tj. , ale.

2.3. Řešení plné metody nabídky Square