Jak najít rozdíl v aritmetické progresi. Jak najít rozdíl aritmetické posloupnosti: vzorce a příklady řešení

Ano, ano: aritmetický postup pro vás není hračka :)

Přátelé, pokud čtete tento text, pak mi interní důkazy říkají, že ještě nevíte, co je to aritmetický postup, ale opravdu (ne, takhle: SOOOOO!) Chcete vědět. Proto vás nebudu mučit dlouhými představami a okamžitě se pustím do práce.

Začněme několika příklady. Zvažte několik sad čísel:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Co mají všechny tyto sady společného? Na první pohled nic. Ale ve skutečnosti tam něco je. A to: každý další prvek se liší od předchozího stejným číslem.

Posuďte sami. První sada jsou jednoduše po sobě jdoucí čísla, každé další o jedno více než předchozí. V druhém případě je rozdíl mezi sousedními čísly již roven pěti, ale tento rozdíl je stále konstantní. Ve třetím případě kořeny obecně. Nicméně $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ a $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, tzn. a v tomto případě se každý další prvek jednoduše zvýší o $ \ sqrt (2) $ (a nebojte se, že toto číslo je iracionální).

Takže: všechny takové sekvence se nazývají aritmetické postupnosti. Uveďme striktní definici:

Definice. Posloupnost čísel, ve kterých se každé další liší od předchozího přesně stejným množstvím, se nazývá aritmetická postupnost. Samotná částka, o kterou se čísla liší, se nazývá rozdíl progrese a označuje se nejčastěji písmenem $ d $.

Označení: $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $ - samotný postup, $ d $ - jeho rozdíl.

A jen pár důležitých poznámek. Za prvé, jedině spořádaný posloupnost čísel: je dovoleno je číst přísně v pořadí, v jakém jsou napsány – a nic jiného. Nemůžete změnit uspořádání nebo vyměnit čísla.

Za druhé, samotná sekvence může být konečná nebo nekonečná. Například množina (1; 2; 3) je zjevně konečná aritmetická posloupnost. Pokud ale napíšete něco v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to už je nekonečný postup. Elipsa po čtveřici jakoby naznačuje, že se stále děje dost čísel. Například nekonečně mnoho. :)

Rád bych také poznamenal, že progrese se zvyšují a snižují. Už jsme viděli ty rostoucí - stejný soubor (1; 2; 3; 4; ...). A zde jsou příklady klesajících progresí:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

DOBŘE DOBŘE: poslední příklad se může zdát příliš komplikované. Ale zbytek, myslím, chápete. Proto zavedeme nové definice:

Definice. Aritmetický postup volala:

rostoucí, pokud je každý další prvek větší než předchozí;

klesající, pokud je naopak každý následující prvek menší než předchozí.

Kromě toho existují tzv. „stacionární“ sekvence – skládají se ze stejného opakujícího se čísla. Například (3; 3; 3; ...).

Zbývá jen jedna otázka: jak odlišit rostoucí progresi od klesající? Naštěstí vše závisí na znaménku čísla $ d $, tj. postupový rozdíl:

Jestliže $ d \ gt 0 $, pak se progrese zvyšuje;
Pokud $ d \ lt 0 $, pak se progrese zjevně snižuje;
Nakonec existuje případ $ d = 0 $ - v tomto případě je celá progrese redukována na stacionární sekvenci stejných čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atd.

Pokusme se vypočítat rozdíl $ d $ pro tři výše uvedené klesající progrese. K tomu stačí vzít libovolné dva sousední prvky (například první a druhý) a odečíst číslo vlevo od čísla vpravo. Bude to vypadat takto:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Jak vidíte, ve všech třech případech byl rozdíl skutečně negativní. A teď, když už jsme víceméně přišli na definice, je čas přijít na to, jak se progrese popisují a jaké jsou jejich vlastnosti.

Progresivní členy a opakující se vzorec

Protože prvky našich sekvencí nelze zaměnit, lze je očíslovat:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ že jo \) \]

Jednotlivé prvky této množiny se nazývají členy progrese. Jsou označeny číslem: první termín, druhý termín atd.

Kromě toho, jak již víme, sousední členové postupu jsou spojeni podle vzorce:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Šipka doprava ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Stručně řečeno, abyste našli $ n $ th termín v průběhu, potřebujete znát $ n-1 $ th termín a $ d $ rozdíl. Takový vzorec se nazývá opakující se, protože s jeho pomocí můžete najít libovolné číslo, pouze znát předchozí (a ve skutečnosti - všechny předchozí). To je velmi nepohodlné, takže existuje složitější vzorec, který redukuje jakékoli výpočty na první člen a rozdíl:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (n-1 \ vpravo) d \]

Určitě jste se s tímto vzorcem již setkali. Rádi to dávají do nejrůznějších příruček a reshebniků. A v každé rozumné učebnici matematiky je jednou z prvních.

Přesto doporučuji, abychom si trochu zacvičili.

Problém číslo 1. Napište první tři termíny aritmetického postupu $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $, pokud $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Řešení. Známe tedy první výraz $ ((a) _ (1)) = 8 $ a rozdíl v postupu $ d = -5 $. Použijme právě uvedený vzorec a dosaďte $ n = 1 $, $ n = 2 $ a $ n = 3 $:

\ [\ begin (zarovnat) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (n-1 \ vpravo) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (1-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (2-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (3-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (zarovnat) \]

Odpověď: (8; 3; -2)

To je vše! Poznámka: naše progrese se snižuje.

Samozřejmě, že $ n = 1 $ nemohlo být nahrazeno - první člen je nám již znám. Avšak nahrazením jednoho jsme se ujistili, že náš vzorec funguje i pro první termín. V ostatních případech se vše scvrklo na triviální aritmetiku.

Problém číslo 2. Napište první tři termíny aritmetické progrese, pokud je jeho sedmý člen −40 a sedmnáctý člen −50.

Řešení. Zapište si stav problému obvyklými termíny:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ vlevo \ (\ začít (zarovnat) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ konec (zarovnat) \ vpravo. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ že jo. \]

Označil jsem systém, protože tyto požadavky musí být splněny současně. A teď si všimněte, že pokud odečteme první od druhé rovnice (máme na to právo, protože máme systém), dostaneme toto:

\ [\ begin (zarovnání) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ konec (zarovnat) \]

Tak snadno jsme našli rozdíl v postupu! Zbývá dosadit nalezené číslo do kterékoli z rovnic systému. Například v prvním:

\ [\ begin (matice) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ konec (matice) \]

Nyní, když známe první termín a rozdíl, zbývá najít druhý a třetí termín:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ konec (zarovnat) \]

Připraveno! Problém byl vyřešen.

Odpověď: (-34; -35; -36)

Věnujte pozornost zajímavé vlastnosti progrese, kterou jsme objevili: pokud vezmeme $ n $ tý a $ m $ tý člen a odečteme je od sebe, dostaneme rozdíl progrese vynásobený číslem $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n -m \ right) \]

Jednoduché, ale velmi užitečný majetek, což rozhodně potřebujete vědět - s jeho pomocí můžete výrazně urychlit řešení mnoha problémů v postupech. Zde je ukázkový příklad:

Problém číslo 3. Pátý člen aritmetické progrese je 8,4 a jeho desátý člen je 14,4. Najděte patnáctý termín této progrese.

Řešení. Protože $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, a potřebujete najít $ ((a) _ (15)) $, pak si všimneme následující :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5 d. \\ \ konec (zarovnat) \]

Ale za podmínky $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, tedy 5 dd = 6 $, odkud máme:

\ [\ begin (zarovnání) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ konec (zarovnat) \]

Odpověď: 20.4

To je vše! Nepotřebovali jsme skládat některé soustavy rovnic a počítat první člen a rozdíl - vše bylo vyřešeno jen několika řádky.

Nyní uvažujme o jiném typu úkolů – najít negativní a pozitivní členy progrese. Není žádným tajemstvím, že pokud se postupnost zvyšuje, zatímco první člen je záporný, pak se v něm dříve nebo později objeví pozitivní pojmy. A naopak: členové klesající progrese se dříve či později stanou negativními.

Přitom zdaleka není vždy možné tento okamžik tápat „hlava nehlava“, postupně procházet prvky. Problémy jsou často navrženy tak, že bez znalosti vzorců by výpočty zabraly několik listů - prostě bychom usnuli, když jsme našli odpověď. Pokusíme se proto tyto problémy vyřešit rychlejším způsobem.

Problém číslo 4. Kolik negativních výrazů je v aritmetické progresi -38,5; -35,8; ...?

Řešení. Takže $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, odkud okamžitě najdeme rozdíl:

Rozdíl je kladný, takže se postup zvyšuje. První termín je záporný, takže v určitém okamžiku opravdu narazíme na kladná čísla. Jedinou otázkou je, kdy k tomu dojde.

Zkusme zjistit: jak dlouho (tj. do čeho přirozené číslo$ n $) negativita členů je zachována:

\ [\ begin (zarovnat) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Šipka doprava ((a) _ (1)) + \ doleva (n-1 \ doprava) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ vlevo (n -1 \ vpravo) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ vpravo. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n -1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Šipka doprava ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (zarovnat) \]

Poslední řádek vyžaduje upřesnění. Víme tedy, že $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Na druhou stranu se spokojíme pouze s celočíselnými hodnotami čísla (navíc: $ n \ in \ mathbb (N) $), takže největší povolené číslo je přesně $ n = 15 $, a v žádném případě je 16.

Problém číslo 5. V aritmetickém postupu $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Najděte číslo prvního kladného členu této progrese.

Byl by to úplně stejný problém jako ten předchozí, ale nevíme $ ((a) _ (1)) $. Ale sousední termíny jsou známé: $ ((a) _ (5)) $ a $ ((a) _ (6)) $, takže můžeme snadno najít rozdíl v progresi:

Kromě toho se pokusíme vyjádřit pátý člen z hlediska prvního a rozdílu podle standardního vzorce:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (zarovnat) \]

Nyní pokračujeme analogicky s předchozím úkolem. Zjistíme, v jakém bodě naší posloupnosti budou kladná čísla:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n -1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Šipka doprava ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (zarovnat) \]

Nejmenší celočíselné řešení této nerovnosti je 56.

Upozornění: v posledním úkolu bylo vše zredukováno na přísnou nerovnost, takže volba $ n = 55 $ nám nebude vyhovovat.

Nyní, když jsme se naučili řešit jednoduché problémy, přejdeme k těm složitějším. Nejprve si ale prostudujme další velmi užitečnou vlastnost aritmetických posloupností, která nám v budoucnu ušetří spoustu času a nerovných buněk. :)

Aritmetický průměr a rovné odrážky

Zvažte několik po sobě následujících členů rostoucí aritmetické progrese $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $. Zkusme je označit na číselné řadě:

Členové aritmetické posloupnosti na číselné ose

Konkrétně jsem zaznamenal libovolné výrazy $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, nikoli $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ atd. Protože pravidlo, o kterém teď budu mluvit, funguje stejně pro všechny „segmenty“.

A pravidlo je velmi jednoduché. Zapamatujme si vzorec opakování a zapišme jej pro všechny označené členy:

\ [\ begin (zarovnat) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ konec (zarovnat) \]

Tyto rovnosti lze však přepsat odlišně:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (zarovnat) \]

No, tak co? A skutečnost, že pojmy $ ((a) _ (n-1)) $ a $ ((a) _ (n + 1)) $ leží ve stejné vzdálenosti od $ ((a) _ (n)) $ . A tato vzdálenost je rovna $ d $. Totéž lze říci o členech $ ((a) _ (n-2)) $ a $ ((a) _ (n + 2)) $ - jsou také odstraněny z $ ((a) _ (n) ) $ stejná vzdálenost rovná $ 2d $. Můžete pokračovat donekonečna, ale význam je dobře znázorněn na obrázku.

Členové progrese leží ve stejné vzdálenosti od středu

Co to pro nás znamená? To znamená, že můžete najít $ ((a) _ (n)) $, pokud jsou známa sousední čísla:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Přišli jsme s vynikajícím tvrzením: každý člen aritmetické posloupnosti se rovná aritmetickému průměru sousedních členů! Navíc: od našich $ ((a) _ (n)) $ vlevo a vpravo se můžeme odchýlit ne o jeden krok, ale o $ k $ kroků - a vzorec bude stále správný:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Tito. můžeme snadno najít nějaké $ ((a) _ (150)) $, pokud známe $ ((a) _ (100)) $ a $ ((a) _ (200)) $, protože $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na první pohled se může zdát, že nám tato skutečnost nedává nic užitečného. V praxi je však mnoho problémů speciálně "vybroušeno" pro použití aritmetického průměru. Podívej se:

Problém číslo 6. Najděte všechny hodnoty $ x $, pro které jsou čísla $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ a $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ po sobě jdoucími členy aritmetické progrese (v pořadí).

Řešení. Protože uvedená čísla jsou členy progrese, podmínka aritmetického průměru je pro ně splněna: centrální prvek $ x + 1 $ lze vyjádřit pomocí sousedních prvků:

\ [\ begin (zarovnání) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ konec (zarovnat) \]

Dopadlo to klasicky kvadratická rovnice... Jeho kořeny: $ x = 2 $ a $ x = -3 $ - to jsou odpovědi.

Odpověď: −3; 2.

Problém číslo 7. Najděte hodnoty $$, pro které čísla $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ tvoří aritmetický postup (v tomto pořadí).

Řešení. Opět vyjádříme střední člen pomocí aritmetického průměru sousedních výrazů:

\ [\ begin (zarovnání) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ vpravo; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ konec (zarovnat) \]

Opět kvadratická rovnice. A opět existují dva kořeny: $ x = 6 $ a $ x = 1 $.

Odpověď: 1; 6.

Pokud během řešení problému získáte nějaká brutální čísla nebo si nejste zcela jisti správností nalezených odpovědí, pak existuje úžasná technika, která vám umožňuje zkontrolovat: vyřešili jsme problém správně?

Například v problému č. 6 jsme obdrželi odpovědi -3 a 2. Jak zkontrolovat, zda jsou tyto odpovědi správné? Zapojme je do počátečního stavu a uvidíme, co se stane. Připomínám, že máme tři čísla ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ a $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), která musí tvořit aritmetický průběh. Náhradník $ x = -3 $:

\ [\ begin (zarovnat) & x = -3 \ Šipka doprava \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (zarovnat) \]

Přijatá čísla -54; −2; 50, které se liší o 52, je nepochybně aritmetický průběh. Totéž se stane pro $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (zarovnat) \]

Opět postup, ale s rozdílem 27. Problém je tedy vyřešen správně. Druhý problém si mohou zájemci ověřit sami, ale hned řeknu: i tam je vše v pořádku.

Obecně jsme při řešení posledních problémů narazili ještě na jeden zajímavý fakt, které je také třeba mít na paměti:

Pokud jsou tři čísla taková, že druhé je aritmetickým průměrem prvního a posledního, pak tato čísla tvoří aritmetický průběh.

V budoucnu nám porozumění tomuto tvrzení umožní doslova „zkonstruovat“ potřebné progrese na základě stavu problému. Než se ale k takové „konstrukci“ pustíme, měli bychom věnovat pozornost ještě jedné skutečnosti, která přímo vyplývá z již zvažovaného.

Seskupení a součet prvků

Vraťme se znovu k číselné ose. Všimněme si tam několika členů progrese, mezi nimiž možná. existuje mnoho dalších členů:

Číselná řada má označeno 6 prvků

Pokusme se vyjádřit „levý ocas“ pomocí $ ((a) _ (n)) $ a $ d $ a „pravý ocas“ pomocí $ ((a) _ (k)) $ a $ d $. Je to velmi jednoduché:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (zarovnat) \]

Nyní si všimněte, že následující částky jsou stejné:

\ [\ begin (zarovnání) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (zarovnat) \]

Jednoduše řečeno, pokud za začátek považujeme dva prvky postupu, které se celkem rovnají nějakému číslu $ S $, a poté začneme od těchto prvků chodit opačnými směry (směrem k sobě nebo naopak, abychom se vzdálili) , pak součty prvků, o které narazíme, budou také stejné$ S $. To lze nejzřetelněji znázornit graficky:

Stejné odsazení dává stejné množství

Porozumění tento fakt nám umožní vyřešit problémy zásadně vyšší úrovně složitosti, než jaké jsme zvažovali výše. Například takové:

Problém číslo 8. Určete rozdíl aritmetické posloupnosti, ve které je první člen 66 a součin druhého a dvanáctého členu je nejmenší možný.

Řešení. Zapišme si vše, co víme:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (zarovnat) \]

Neznáme tedy rozdíl progrese $ d $. Ve skutečnosti bude celé řešení postaveno na rozdílu, protože produkt $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ lze přepsat takto:

\ [\ begin (zarovnání) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ end (zarovnat) \]

Pro ty v nádrži: vyňal jsem společný faktor 11 z druhé závorky. Hledaný produkt je tedy kvadratickou funkcí vzhledem k proměnné $ d $. Zvažte proto funkci $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - jeho graf bude parabola s větvemi nahoru, protože pokud rozbalíme závorky, dostaneme:

\ [\ begin (zarovnání) & f \ left (d \ right) = 11 \ left ((((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 ((( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Jak vidíte, koeficient na začátku je 11 - to je kladné číslo, takže opravdu máme co do činění s parabolou s větvemi nahoru:

plán kvadratická funkce- parabola
Poznámka: tato parabola má minimální hodnotu ve svém vrcholu s úsečkou $ ((d) _ (0)) $. Tuto abscisu samozřejmě můžeme vypočítat podle standardního schématu (existuje také vzorec $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ale bylo by to mnohem rozumnější Všimněte si, že požadovaný vrchol leží na symetrii osy paraboly, takže bod $ ((d) _ (0)) $ je ve stejné vzdálenosti od kořenů rovnice $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (zarovnání) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ konec (zarovnat) \]

Proto jsem nijak nespěchal s otevřením závorek: v původní podobě bylo velmi, velmi snadné najít kořeny. Proto je úsečka rovná průměru aritmetická čísla−66 a −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]

Co nám objevené číslo dává? S ním získává požadovaný produkt nejmenší hodnotu (mimochodem, nepočítáme $ ((y) _ (\ min)) $ - to se od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdílem mezi původní progresí, tj. našli jsme odpověď. :)

Odpověď: −36

Problém číslo 9. Mezi čísla $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $ vložte tři čísla tak, aby spolu s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost.

Řešení. V podstatě potřebujeme vytvořit posloupnost pěti čísel, přičemž první a poslední číslo již známe. Označme chybějící čísla proměnnými $ x $, $ y $ a $ z $:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Všimněte si, že číslo $ y $ je "střed" naší posloupnosti - je stejně vzdálené jak od čísel $ x $ a $ z $, tak od čísel $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $. A pokud z čísel $ x $ a $ z $ jsme v tento moment nemůžeme dostat $ y $, pak je situace odlišná s konci progrese. Pamatujte na aritmetický průměr:

Nyní, když víme $ y $, najdeme zbývající čísla. Všimněte si, že $ x $ leží mezi čísly $ - \ frac (1) (2) $ a $ y = - \ frac (1) (3) $ právě nalezeno. Proto

Z tohoto důvodu najdeme zbývající číslo:

Připraveno! Našli jsme všechna tři čísla. Zapíšeme je do odpovědi v pořadí, v jakém by měly být vloženy mezi původní čísla.

Odpověď: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problém číslo 10. Mezi čísla 2 a 42 vložte několik čísel, která spolu s těmito čísly tvoří aritmetickou posloupnost, pokud víte, že součet prvního, druhého a posledního z vložených čísel je 56.

Řešení. Ještě obtížnější úkol, který se však řeší podle stejného schématu jako ty předchozí - aritmetickým průměrem. Problém je v tom, že nevíme přesně, kolik čísel vložit. Pro jistotu tedy předpokládejme, že po vložení všeho budou přesně $ n $ čísla a první z nich je 2 a poslední 42. V tomto případě lze požadovanou aritmetickou progresi znázornit jako:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ vpravo \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Všimněte si však, že čísla $ ((a) _ (2)) $ a $ ((a) _ (n-1)) $ získáme z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sobě, tj ... do středu sekvence. Tohle znamená tamto

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Pak ale lze výše napsaný výraz přepsat následovně:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left ((((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (zarovnat) \]

Když víme $ ((a) _ (3)) $ a $ ((a) _ (1)) $, můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ vlevo (3-1 \ vpravo) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ konec (zarovnat) \]

Zbývá pouze najít zbytek členů:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (zarovnat) \]

Již v 9. kroku tedy přijdeme na levý konec posloupnosti - číslo 42. Celkem bylo nutné vložit pouze 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpověď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovní úlohy s průběhy

Na závěr bych chtěl zvážit pár relativně jednoduché úkoly... No, jak jednoduché: pro většinu studentů, kteří ve škole studují matematiku a nečetli, co je napsáno výše, se tyto úkoly mohou zdát jako plechovka. Přesto právě na takové problémy v OGE a USE v matematice narážíme, proto doporučuji se s nimi seznámit.

Problém číslo 11. V lednu brigáda vyrobila 62 dílů a v každém dalším měsíci vyrobila o 14 dílů více než v předchozím. Kolik dílů vytvořil tým v listopadu?

Řešení. Je zřejmé, že počet dílů naplánovaných na měsíc bude představovat rostoucí aritmetický postup. Navíc:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ vlevo (n-1 \ vpravo) \ cdot 14. \\ \ konec (zarovnat) \]

Listopad je 11. měsíc v roce, takže musíme najít $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

V listopadu se tedy vyrobí 202 dílů.

Problém číslo 12. Knihařská dílna svázala v lednu 216 knih a každý další měsíc svázala o 4 knihy více než předchozí. Kolik knih workshop svázal v prosinci?

Řešení. Pořád to samé:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ vlevo (n-1 \ vpravo) \ cdot 4. \\ \ konec (zarovnat) $

Prosinec je poslední, 12. měsíc v roce, takže hledáme $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

To je odpověď – v prosinci bude svázáno 260 knih.

Pokud jste dočetli až sem, spěchám vám poblahopřát: úspěšně jste absolvovali „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupech. Můžete bezpečně přejít na další lekci, kde budeme studovat vzorec pro součet průběhu a také důležité a velmi užitečné důsledky z něj.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne příliš ..."
A pro ty, kteří „velmi ...“)

Aritmetická posloupnost je řada čísel, ve kterých je každé číslo o stejné množství větší (nebo menší) než předchozí.

Toto téma je často obtížné a nepochopitelné. Rejstříky pro písmena, n-tý termín progrese, rozdíl v progresi - to vše je nějak matoucí, ano ... Pojďme přijít na význam aritmetické progrese a vše bude fungovat hned.)

Koncept aritmetického postupu.

Aritmetická postupnost je velmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybovat? Marně.) Přesvědčte se sami.

Napíšu nedokončenou řadu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Můžete rozšířit tuto řadu? Jaká čísla budou následovat po pěti? Každý ... uh-uh ... zkrátka každý si uvědomí, že čísla 6, 7, 8, 9 atd. Půjdou dále.

Zkomplikujme úkol. Dávám nedokončenou řadu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Budete moci zachytit vzor, rozšířit sérii a pojmenovat sedmýčíslo řádku?

Pokud jste zjistili, že toto číslo je 20 - gratuluji vám! Nejen, že jsi cítil klíčové body aritmetického postupu, ale také je úspěšně použil v podnikání! Pokud jste na to nepřišli, čtěte dál.

Nyní přeložme klíčové body ze senzace do matematiky.)

První klíčový bod.

Aritmetický postup se zabývá řadou čísel. To je zpočátku matoucí. Jsme zvyklí řešit rovnice, vykreslovat grafy a to všechno ... A pak sérii prodloužit, najít číslo řady ...

To je v pořádku. Právě progrese jsou prvním seznámením s novým oborem matematiky. Sekce se nazývá "Řádky" a pracuje s řadami čísel a výrazů. Zvyknout si na to.)

Druhý klíčový bod.

V aritmetickém postupu se jakékoli číslo liší od předchozího o stejnou částku.

V prvním příkladu je tento rozdíl jeden. Ať už si vezmete jakékoli číslo, je po jednom větší než předchozí. Ve druhém - tři. Jakékoli číslo větší než předchozí o tři. Ve skutečnosti nám tento okamžik dává příležitost zachytit vzor a vypočítat následující čísla.

Třetí klíčový bod.

Tento okamžik není nápadný, ano... Ale je velmi, velmi důležitý. Tady to je: každé číslo v postupu stojí na svém místě. Je tam první číslo, je tam sedmé, je tam čtyřicáté páté atd. Pokud jsou náhodně zmateni, vzor zmizí. Aritmetický postup také zmizí. Bude tam jen řada čísel.

O to jde.

Samozřejmě v nové téma objevují se nové termíny a označení. Musíte je znát. Jinak zadání nepochopíte. Musíte se například rozhodnout něco jako:

Napište prvních šest členů aritmetické progrese (a n), pokud a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiruje?) Dopisy, nějaké rejstříky... A ten úkol, mimochodem, nemůže být jednodušší. Musíte jen pochopit význam pojmů a označení. Nyní toto podnikání zvládneme a vrátíme se k úkolu.

Podmínky a označení.

Aritmetický postup je řada čísel, ve kterých se každé číslo liší od předchozího o stejnou částku.

Tato veličina se nazývá ... Pojďme se tímto pojmem zabývat podrobněji.

Rozdíl aritmetické progrese.

Rozdíl aritmetické progrese je částka, o kterou jakékoli číslo progrese více ten předchozí.

Jeden důležitý bod. Věnujte prosím pozornost slovu "více". Matematicky to znamená, že je získáno každé číslo v postupu přidání rozdíl aritmetického postupu k předchozímu číslu.

Pro výpočet řekněme druhýčíslo série, je nutné prvníčíslo přidat právě tento rozdíl aritmetické progrese. Pro výpočet pátý- rozdíl je nutný přidat Na Čtvrtý, dobře, atd.

Rozdíl aritmetické progrese možná pozitivní, pak každé číslo řady skutečně dopadne více než předchozí. Tento postup se nazývá vzrůstající. Například:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Zde se získá každé číslo přidání kladné číslo, +5 k předchozímu.

Rozdíl může být záporný, pak bude každé číslo v řadě méně než předchozí. Takový postup se nazývá (nebudete tomu věřit!) klesající.

Například:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Zde se také získá každé číslo přidání na předchozí, ale již záporné číslo, -5.

Mimochodem, při práci s progresí je velmi užitečné okamžitě určit její povahu - ať už roste nebo klesá. Hodně pomáhá orientovat se v řešení, odhalit své chyby a opravit je, než bude příliš pozdě.

Rozdíl aritmetické progrese označeno zpravidla písmenem d.

Jak najít d? Velmi jednoduché. Je nutné odečíst z libovolného čísla řady předchozíčíslo. Odčítat. Mimochodem, výsledek odčítání se nazývá "rozdíl".)

Definujeme např. d pro zvýšení aritmetického postupu:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vezmeme libovolné číslo řádku, které chceme, například 11. Odečtěte od něj předchozí číslo, ty. osm:

Toto je správná odpověď. U této aritmetické progrese jsou rozdíly tři.

Můžete si vzít přesně libovolný počet progresí, od té doby pro konkrétní postup d -vždy to samé. Alespoň někde na začátku řady, alespoň uprostřed, alespoň kdekoli. Nemůžete vzít jen úplně první číslo. Už jen proto, že hned na prvním čísle žádná předchozí neexistuje.)

Mimochodem, vědět to d = 3, je velmi snadné najít sedmé číslo této progrese. K pátému číslu přičtěte 3 - dostaneme šesté, bude to 17. K šestému číslu přidejte tři, dostaneme sedmé číslo - dvacet.

Definujeme d pro klesající aritmetický průběh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Připomínám, že bez ohledu na znamení určit d je to nutné z libovolného čísla odneste předchozí. Zvolíme libovolné číslo progrese, například -7. Předchozí je -2. Pak:

d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5

Rozdíl aritmetického postupu může být libovolné číslo: celé, zlomkové, iracionální, cokoliv.

Další podmínky a označení.

Každé číslo v řadě je voláno člen aritmetické progrese.

Každý člen postupu má své vlastní číslo.Čísla jsou přísně v pořádku, bez jakýchkoli triků. První, druhý, třetí, čtvrtý atd. Například v postupu 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je první termín, pět je druhý, jedenáct je čtvrtý, rozumíte ...) Rozumějte prosím jasně - samotná čísla může být naprosto libovolný, celý, zlomkový, negativní, cokoli, ale číslování čísel- přísně v pořádku!

Jak zaznamenat obecný vývoj? Žádný problém! Každé číslo v řádku je zapsáno jako písmeno. Zpravidla se písmeno používá k označení aritmetického postupu A... Číslo člena je označeno indexem vpravo dole. Členy píšeme oddělené čárkami (nebo středníky) takto:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ......

1 je první číslo, a 3- třetí atd. Nic záludného. Tuto sérii můžete stručně napsat takto: (a n).

Progrese jsou konečný a nekonečný.

Konečný progrese má omezený počet členů. Pět, třicet osm, cokoliv. Ale - konečný počet.

Nekonečný progrese – má nekonečný počet členů, jak asi tušíte.)

Konečný postup můžete zapsat do série jako je tato, všechny členy a tečka na konci:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Nebo tak, pokud je mnoho členů:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

V krátkém záznamu budete muset dodatečně uvést počet členů. Například (pro dvacet členů) takto:

(a n), n = 20

Nekonečnou progresi lze rozpoznat podle elipsy na konci řady, jako v příkladech v této lekci.

Nyní můžete řešit úkoly. Úkoly jsou jednoduché, čistě pro pochopení významu aritmetického postupu.

Příklady úloh o aritmetickém postupu.

Pojďme podrobně analyzovat úkol, který je uveden výše:

1. Zapište prvních šest členů aritmetické progrese (a n), pokud a 2 = 5, d = -2,5.

Přeložíme úkol do srozumitelného jazyka. Je dána nekonečná aritmetická posloupnost. Druhé číslo tohoto postupu je známé: a 2 = 5. Rozdíl v postupu je znám: d = -2,5. Je nutné najít prvního, třetího, čtvrtého, pátého a šestého člena této progrese.

Pro názornost napíšu řadu podle stavu problému. Prvních šest termínů, kde druhý termín je pět:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Nahraďte výrazem a 2 = 5 a d = -2,5... Nezapomeňte na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Třetí termín je menší než druhý. Všechno je logické. Pokud je číslo větší než předchozí o záporný hodnotu, pak se samotné číslo ukáže být menší než předchozí. Progrese se snižuje. Dobře, vezmeme to v úvahu.) Zvažujeme čtvrtého člena naší série:

4 = a 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Počítají se tedy podmínky od třetího do šestého. Výsledkem je taková série:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zbývá najít první termín 1 na slavný druhý... Toto je krok opačným směrem, doleva.) Rozdíl aritmetické progrese d není třeba přidávat a 2, a odnést:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všechno. Odpověď na úkol:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Po cestě si všimnu, že jsme tento úkol vyřešili opakující se způsob. Toto děsivé slovo znamená pouze hledání člena postupu. o předchozí (sousední) číslo. Další způsoby práce s progresí zvážíme později.

Z tohoto jednoduchého úkolu lze vyvodit jeden důležitý závěr.

Pamatovat si:

Známe -li alespoň jeden termín a rozdíl aritmetické progrese, můžeme najít kteréhokoli člena této progrese.

Pamatovat si? Tento jednoduchý závěr vám umožní vyřešit většinu problémů. školní kurz na toto téma. Všechny úkoly se točí kolem tří hlavních parametrů: člen aritmetické progrese, rozdíl progrese, číslo člena progrese. Všechno.

Celá předchozí algebra samozřejmě není zrušena.) K postupu jsou připojeny nerovnosti, rovnice a další věci. Ale samotným postupem- vše se točí kolem tří parametrů.

Podívejme se jako příklad na některé oblíbené úkoly na toto téma.

2. Zapište konečný aritmetický průběh jako řadu, jestliže n = 5, d = 0,4 a a 1 = 3,6.

Tady je všechno jednoduché. Vše již bylo dáno. Musíte si zapamatovat, jak se počítají, počítají a zapisují členy aritmetické posloupnosti. Doporučujeme nevynechat slova ve stavu úkolu: „konečné“ a „ n = 5". Nepočítám do úplného zmodrání obličeje.) V tomto postupu je pouze 5 (pět) členů:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zbývá zapsat odpověď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Další úkol:

3. Určete, zda je číslo 7 členem aritmetické posloupnosti (a n), jestliže ai = 4,1; d = 1,2.

Hmm ... kdo ví? Jak něco určit?

Jak, jak ... Ano, zapište si postup ve formě série a uvidíte, zda tam bude sedmička nebo ne! Zvažujeme:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nyní je jasně vidět, že jsme teprve sedmička proklouzl mezi 6,5 a 7,7! Sedmička se nedostala do naší řady čísel, a proto sedmička nebude členem daného postupu.

Odpověď je ne.

A tady je úkol založený na skutečná možnost GIA:

4. Vypíše se několik po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti:

...; 15; NS; devět; 6; ...

Píše se zde řada bez konce a začátku. Žádná členská čísla, žádný rozdíl d... To je v pořádku. K vyřešení problému stačí pochopit význam aritmetického postupu. Díváme se a přemýšlíme o tom, co je možné vědět z této série? Jaké jsou tři hlavní parametry?

Členská čísla? Tady není jediné číslo.

Ale existují tři čísla a - pozor! - slovo "po sobě" ve stavu. To znamená, že čísla jsou přesně v pořádku, bez mezer. Jsou v této řadě dva sousední známá čísla? Ano, tam je! Těch je 9 a 6. Můžeme tedy vypočítat rozdíl aritmetické progrese! Odečteme od šesti předchozíčíslo, tj. devět:

Zbývají jen maličkosti. Jaké je předchozí číslo pro X? Patnáct. To znamená, že x lze snadno najít jednoduchým sčítáním. Přidejte rozdíl aritmetické progrese k 15:

To je vše. Odpovědět: x = 12

Sami řešíme následující problémy. Poznámka: tyto problémy se netýkají vzorců. Čistě pro pochopení významu aritmetické posloupnosti.) Prostě napíšeme řadu s čísly-písmeny, díváme se a přemýšlíme.

5. Najděte první kladný člen aritmetické progrese, pokud a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známo, že číslo 5,5 je členem aritmetické posloupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určete číslo n tohoto člena.

7. Je známo, že v aritmetické progresi a 2 = 4; a 5 = 15,1. Najděte 3.

8. Napiš několik po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti:

...; 15,6; NS; 3,4; ...

Najděte termín v postupu označeném písmenem x.

9. Vlak se dal z nádraží do pohybu a plynule zvyšoval rychlost o 30 metrů za minutu. Jaká bude rychlost vlaku za pět minut? Odpovězte v km / h.

10. Je známo, že v aritmetickém postupu a 2 = 5; a 6 = -5. Najděte 1.

Odpovědi (v nepořádku): 7,7; 7,5; 9,5; devět; 0,3; 4.

Všechno fungovalo? Báječné! Můžete zvládnout aritmetický postup pro více vysoká úroveň, v následujících lekcích.

Ne všechno se povedlo? Žádný problém. Ve speciální sekci 555 jsou všechny tyto úkoly roztříděny na kusy.) A samozřejmě je popsána jednoduchá praktická technika, která okamžitě jasně, jasně, jako na dlani, zvýrazní řešení takových úkolů!

Mimochodem, ve skládačce vlaku jsou dva problémy, na které lidé často narazí. Jeden je čistě progresivní a druhý je společný pro všechny problémy v matematice a fyzice. Toto je překlad dimenzí z jedné do druhé. Je ukázáno, jak by tyto problémy měly být řešeny.

V této lekci jsme zkoumali elementární význam aritmetické posloupnosti a její hlavní parametry. To stačí k vyřešení téměř všech problémů na toto téma. Přidat d k číslům, napište sérii, o všem se rozhodne.

Prstové řešení funguje dobře na velmi krátké kousky řady, jako v příkladech v této lekci. Pokud je řádek delší, výpočty se zkomplikují. Pokud se například jedná o problém 9 v otázce, nahraďte jej "pět minut" na „třicet pět minut“ problém se výrazně rozzlobí.)

A existují také úkoly, které jsou v podstatě jednoduché, ale neuvěřitelné z hlediska výpočtů, například:

Dostanete aritmetický postup (a n). Najděte 121, pokud a 1 = 3 ad = 1/6.

A co, přidáme mnohokrát, mnohokrát o 1/6?! Můžete se zabít!?

Můžete.) Pokud neznáte jednoduchý vzorec, podle kterého lze takové úkoly vyřešit za minutu. Tento vzorec bude v příští lekci. A tam je tento problém vyřešen. V minutě.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit příklady řešení a zjistit svoji úroveň. Okamžité ověřovací testování. Učení - se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a deriváty.

Instrukce

Aritmetická posloupnost je posloupnost tvaru a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D v krocích postup Je zřejmé, že součet libovolného n-tého členu aritmetiky postup má tvar: An = A1 + (n-1) d. Pak znám jednoho z členů postup, člen postup a krok postup, můžete, tj. číslo člena postupu. Je zřejmé, že to bude určeno vzorcem n = (An-A1 + d) / d.

Nyní nechť je znám m -tý termín postup a další člen postup- n-tý, ale n, jako v předchozím případě, ale je známo, že n a m se neshodují. postup lze vypočítat podle vzorce: d = (An-Am) / (n-m). Pak n = (An-Am + md) / d.

Je -li znám součet několika prvků aritmetiky postup, stejně jako jeho první a poslední, pak lze také určit počet těchto prvků. postup se bude rovnat: S = ((A1 + An) / 2) n. Pak n = 2S / (A1 + An) - chdenov postup... S využitím skutečnosti, že An = A1 + (n-1) d, lze tento vzorec přepsat jako: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Z toho lze vyjádřit n řešením kvadratické rovnice.

Aritmetická posloupnost je uspořádaná množina čísel, jejíž každý člen, kromě prvního, se od předchozího liší o stejnou hodnotu. Tato konstantní hodnota se nazývá rozdíl postupu nebo jeho kroku a lze jej vypočítat ze známých členů aritmetické progrese.

Instrukce

Pokud jsou z podmínek úlohy známy hodnoty prvního a druhého nebo jakéhokoli jiného páru sousedních členů, pro výpočet rozdílu (d) jednoduše odečtěte předchozí od dalšího členu. Výsledná hodnota může být kladná nebo záporná v závislosti na tom, zda se progrese zvyšuje. V obecné formě zapište řešení pro libovolnou dvojici (aᵢ a aᵢ₊₁) sousedních členů postupu takto: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pro dvojici členů takového průběhu, z nichž jeden je první (a₁) a druhý libovolný jiný libovolně zvolený, je také možné sestavit vzorec pro nalezení rozdílu (d). V tomto případě však musí být známé pořadové číslo (i) libovolného vybraného člena sekvence. Chcete-li vypočítat rozdíl, sečtěte obě čísla a vydělte výsledek pořadovým číslem libovolného členu, zmenšeným o jednu. Obecně vzorec zapište takto: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Pokud je kromě libovolného člena aritmetické posloupnosti s pořadovým číslem i znám další člen s pořadovým číslem u, změňte odpovídajícím způsobem vzorec z předchozího kroku. V tomto případě bude rozdíl (d) posloupnosti součtem těchto dvou členů děleno rozdílem jejich pořadových čísel: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Vzorec pro výpočet rozdílu (d) bude poněkud komplikovanější, pokud v problému uvedeme hodnotu jeho prvního členu (a₁) a součet (Sᵢ) daného počtu (i) prvních členů aritmetické posloupnosti podmínky. Chcete -li získat požadovanou hodnotu, vydělte částku počtem členů, ze kterých se skládá, odečtěte hodnotu prvního čísla v pořadí a zdvojnásobte výsledek. Výslednou hodnotu vydělte počtem členů, kteří tvoří součet, sníženou o jeden. Obecně platí, že vzorec pro výpočet diskriminátoru zapíšete takto: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Například sekvence \ (2 \); $5$; $osm$; $jedenáct$; \ (14 \) ... je aritmetický průběh, protože každý další prvek se liší od předchozího o tři (lze získat z předchozího přidáním tripletu):

V této progresi je rozdíl \ (d \) kladný (rovný \ (3 \)), a proto je každý další termín větší než ten předchozí. Takovým postupům se říká vzrůstající.

\ (D \) však může být také záporné. Například, v aritmetické progresi \ (16 \); $deset$; $4$; \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... rozdíl v postupu \ (d \) se rovná minus šesti.

A v tomto případě bude každý další prvek menší než ten předchozí. Tyto progrese se nazývají klesající.

Zápis aritmetického postupu

Progrese je indikována malým latinským písmenem.

Říkají tomu čísla tvořící progresi Členové(nebo prvky).

Jsou označeny stejným písmenem jako aritmetický průběh, ale s číselným indexem rovným číslu prvku v pořadí.

Například aritmetický postup \ (a_n = \ vlevo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \) se skládá z prvků \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) a tak dále.

Jinými slovy, pro postup \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Řešení úloh pro aritmetickou progresi

Výše uvedené informace již v zásadě stačí k vyřešení téměř jakéhokoli problému pro aritmetický postup (včetně těch, které nabízí OGE).

Příklad (OGE). Aritmetický postup je určen podmínkami \ (b_1 = 7; d = 4 \). Najít \ (b_5 \).
Řešení:

Odpovědět: \ (b_5 = 23 \)

Příklad (OGE). Jsou dány první tři termíny aritmetické progrese: \ (62; 49; 36 ... \) Najděte hodnotu prvního záporného členu této progrese ..
Řešení:

	Dostaneme první prvky posloupnosti a víme, že jde o aritmetický průběh. To znamená, že každý prvek se liší od sousedního o stejné číslo. Zjistěte, který z nich, odečtením předchozího od následujícího prvku: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Nyní můžeme obnovit náš postup k (prvnímu negativnímu) prvku, který potřebujeme.
	Připraven. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: $-3$

Příklad (OGE). Je uvedeno několik po sobě jdoucích prvků aritmetické progrese: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Najděte hodnotu prvku označenou písmenem \ (x \).
Řešení:

	Abychom našli \ (x \), potřebujeme vědět, jak moc se následující prvek liší od předchozího, jinými slovy, rozdíl progrese. Zjistíme to ze dvou známých sousedních prvků: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	A nyní požadovanou bez problémů najdeme: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Připraven. Můžete napsat odpověď.

Odpovědět: $7,5$.

Příklad (OGE). Aritmetický průběh je určen následujícími podmínkami: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Najděte součet prvních šesti členů této posloupnosti.
Řešení:

Musíme najít součet prvních šesti podmínek postupu. Ale neznáme jejich význam, je nám dán pouze první prvek. Proto nejprve vypočítáme hodnoty postupně pomocí nám zadaných:

\ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \)
\ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \)
\ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \)
A po výpočtu šesti prvků, které potřebujeme, najdeme jejich součet.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Částka, kterou hledáte, byla nalezena.

Odpovědět: \ (S_6 = 9 \).

Příklad (OGE). V aritmetické progresi \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Najděte rozdíl mezi tímto postupem.
Řešení:

Odpovědět: \ (d = 7 \).

Důležité vzorce aritmetického postupu

Jak vidíte, mnoho problémů s aritmetickou progresí lze vyřešit jednoduše pochopením hlavní věci - že aritmetická posloupnost je řetězec čísel a každý další prvek v tomto řetězci se získá přidáním stejného čísla k předchozímu (rozdíl průběhu).

Někdy však nastanou situace, kdy je velmi nepohodlné se rozhodnout „čelem“. Představte si například, že v úplně prvním příkladu potřebujeme najít ne pátý prvek \ (b_5 \), ale tři sta osmdesát šestý \ (b_ (386) \). Co to je, \ (385 \) krát přidáme čtyři? Nebo si představte, že v předposledním příkladu potřebujete najít součet prvních sedmdesáti tří prvků. Budete mučeni počítat ...

V takových případech tedy neřeší „hlava na hlavě“, ale používají speciální vzorce odvozené pro aritmetickou progresi. A hlavní jsou vzorec pro n -tý člen progrese a vzorec pro součet \ (n \) prvních členů.

Vzorec \ (n \) - tý člen: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), kde \ (a_1 \) je první člen průběhu;
\ (n \) - číslo hledaného prvku;
\ (a_n \) je členem postupu s číslem \ (n \).

Tento vzorec nám umožňuje rychle najít alespoň tři setiny, dokonce i miliontý prvek, přičemž známe pouze první a rozdíl postupu.

Příklad. Aritmetický postup je určen podmínkami: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Najděte \ (b_ (246) \).
Řešení:

Odpovědět: \ (b_ (246) = 1850 \).

Vzorec pro součet prvních n výrazů: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), kde

\ (a_n \) - poslední sečtený výraz;

Příklad (OGE). Aritmetický postup je určen podmínkami \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Najděte součet prvních \ (25 \) členů této progrese.
Řešení:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Pro výpočet součtu prvních dvaceti pěti prvků potřebujeme znát hodnotu prvního a dvacátého pátého členu. Naše progrese je dána vzorcem n -tého členu v závislosti na jeho počtu (viz podrobnosti). Vypočítejme první prvek dosazením jedničky za \ (n \).
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Nyní najdeme dvacátý pátý výraz, který nahradí dvacet pět místo \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Nyní můžeme požadovanou částku vypočítat bez problémů.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \ (S_ (25) = 1090 \).

Pro součet \ (n \) prvních výrazů můžete získat další vzorec: stačí \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) místo \ (a_n \) dosadit vzorec za to \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dostaneme:

Vzorec pro součet prvních n členů: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), kde

\ (S_n \) - požadovaný součet \ (n \) prvních prvků;
\ (a_1 \) - první sečtený člen;
\ (d \) - rozdíl v postupu;
\ (n \) - počet prvků v součtu.

Příklad. Najděte součet prvních \ (33 \) - bývalých členů aritmetické posloupnosti: \ (17 \); \ (15,5 \); $čtrnáct$…
Řešení:

Odpovědět: \ (S_ (33) = - 231 \).

Složitější problémy s aritmetickou progresí

Nyní máte všechny informace, které potřebujete k vyřešení téměř jakéhokoli problému s aritmetickou progresí. Téma uzavřeme zvážením problémů, ve kterých musíte nejen použít vzorce, ale také trochu přemýšlet (v matematice to může být užitečné ☺)

Příklad (OGE). Najděte součet všech záporných členů postupu: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18,7 \) ...
Řešení:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Úkol je velmi podobný předchozímu. Začínáme také řešit: nejprve najdeme \ (d \).
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19,3) = 0,3 \)		Nyní bych ve vzorci nahradil \ (d \) součtem ... a zde se objevuje malá nuance - nevíme \ (n \). Jinými slovy, nevíme, kolik výrazů bude potřeba přidat. Jak to zjistit? Přemýšlejme. Přestaneme přidávat prvky, když se dostaneme k prvnímu pozitivnímu prvku. To znamená, že musíte zjistit číslo tohoto prvku. Jak? Zapišme si vzorec pro výpočet libovolného prvku aritmetické progrese: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pro náš případ.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n -1) 0,3 \)		Potřebujeme, aby \ (a_n \) bylo větší než nula. Pojďme zjistit, co \ (n \) se to stane.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (\|: 0,3 \)		Obě strany nerovnosti vydělíme \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Přesuňte se o minus jeden, pamatujte na změnu značek
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Počítáme...
\ (n> 65 333 ... \)		... a ukáže se, že první kladný prvek bude mít číslo \ (66 \). Poslední zápor má tedy \ (n = 65 \). Pojďme to pro jistotu zkontrolovat.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Proto musíme přidat první \ (65 \) prvky.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Odpověď je připravena.

Odpovědět: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Příklad (OGE). Aritmetický průběh je určen podmínkami: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Najděte součet od \ (26 \) th do \ (42 \) včetně.
Řešení:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	V tomto problému musíte také najít součet prvků, ale ne od prvního, ale od \ (26 \) - th. Pro takový případ nemáme žádný vzorec. Jak se rozhodnout? Snadné - získat součet od \ (26 \) th do \ (42 \) - oh, musíte nejprve najít součet od \ (1 \) - th do \ (42 \) - a pak součet odečíst z něj nejprve do \ (25 \) - th (viz obrázek).
	Pro náš postup \ (a_1 = -33 \) a rozdíl \ (d = 4 \) (koneckonců přidáme čtyři k předchozímu prvku, abychom našli další). Když to víme, najdeme součet prvních \ (42 \) - yh prvků.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Nyní součet prvních \ (25 \) - ty prvků.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Nakonec vypočítáme odpověď.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Odpovědět: \ (S = 1683 \).

Existuje několik dalších vzorců pro aritmetickou progresi, které jsme v tomto článku nezohlednili kvůli jejich nízké praktické užitečnosti. Můžete je však snadno najít.

Při studiu algebry v všeobecná střední škola(9. ročník) jedním z důležitých témat je studium číselné řady, které zahrnují posloupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku se budeme zabývat aritmetickým postupem a příklady s řešeními.

Co je to aritmetická progrese?

Abychom tomu porozuměli, je nutné uvést definici uvažované progrese a také uvést základní vzorce, které budou dále použity při řešení problémů.

Aritmetický nebo je množina uspořádaných racionálních čísel, z nichž každý člen se liší od předchozího nějakou konstantní hodnotou. Tato hodnota se nazývá rozdíl. To znamená, že pokud znáte kteréhokoli člena z uspořádané řady čísel a rozdílu, můžete obnovit celou aritmetickou postupnost.

Uveďme příklad. Další posloupnost čísel bude aritmetický průběh: 4, 8, 12, 16, ..., protože rozdíl v tomto případě je 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 již nelze přiřadit uvažovanému typu progrese, protože rozdíl pro ni není konstantní hodnotou (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Důležité vzorce

Uveďme si nyní základní vzorce, které budou potřeba k řešení problémů pomocí aritmetické posloupnosti. Označme a n n-tý člen posloupnosti, kde n je celé číslo. Rozdíl je označen latinským písmenem d. Pak jsou platné následující výrazy:

Pro určení hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n = (n-1) * d + a 1.
Určení součtu prvních n členů: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Abychom porozuměli případným příkladům aritmetického postupu s řešením v 9. ročníku, stačí si zapamatovat tyto dva vzorce, protože všechny problémy uvažovaného typu jsou postaveny na jejich použití. Měli byste také pamatovat na to, že rozdíl v progresi je určen vzorcem: d = a n - a n -1.

Příklad č. 1: nalezení neznámého člena

Uveďme jednoduchý příklad aritmetického postupu a vzorců, které je nutné použít k řešení.

Nechť je dána posloupnost 10, 8, 6, 4, ..., je třeba v ní najít pět členů.

Z prohlášení o problému již vyplývá, že jsou známy první 4 termíny. Pátý může být definován dvěma způsoby:

Nejprve spočítáme rozdíl. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobně lze vzít libovolné dva další členy stojící vedle sebe. Například d = 4 - 6 = -2. Protože je známo, že d = a n - a n -1, pak d = a 5 - a 4, odkud dostaneme: a 5 = a 4 + d. Dosaďte známé hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Druhá metoda také vyžaduje znát rozdíl uvažované progrese, takže nejprve ji musíte určit, jak je uvedeno výše (d = -2). S vědomím, že první člen a 1 = 10, použijeme vzorec pro n číslo posloupnosti. Máme: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Dosazením n = 5 do posledního výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak vidíte, oba způsoby řešení vedly ke stejnému výsledku. Všimněte si, že v tomto příkladu je rozdíl d progrese záporný. Takové sekvence se nazývají klesající, protože každý další termín je menší než ten předchozí.

Příklad č. 2: Rozdíl v progresi

Nyní si úlohu trochu zkomplikujeme, uvedeme příklad, jak najít rozdíl aritmetické posloupnosti.

Je známo, že v nějaké algebraické posloupnosti je 1. člen roven 6 a 7. člen je roven 18. Je nutné najít rozdíl a obnovit tuto posloupnost na 7. člen.

K určení neznámého výrazu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1. Nahradíme v něm známá data z podmínky, tj. Čísla a 1 a a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohoto výrazu můžete snadno vypočítat rozdíl: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tím jsme odpověděli na první část problému.

Chcete-li obnovit sekvenci na 7 výrazů, měli byste použít definici algebraická progrese, tj. a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d a tak dále. V důsledku toho obnovíme celou sekvenci: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Příklad č. 3: Progrese

Pojďme si stav problému ještě více zkomplikovat. Nyní je nutné odpovědět na otázku, jak najít aritmetický průběh. Můžete uvést následující příklad: zadaná dvě čísla, například - 4 a 5. Je nutné udělat algebraický postup, aby se mezi ně vešly další tři členy.

Než se pustíte do řešení tohoto problému, je nutné pochopit, jaké místo budou daná čísla zaujímat v budoucím postupu. Protože mezi nimi budou ještě tři členy, pak 1 = -4 a 5 = 5. Když jsme to stanovili, přistoupíme k problému, který je podobný předchozímu. Opět pro n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Odkud: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Zde jsme nedostali celočíselnou hodnotu rozdílu, ale je to racionální číslo, takže vzorce pro algebraickou progresi zůstávají stejné.

Nyní přidejte nalezený rozdíl k 1 a obnovte chybějící členy progrese. Dostaneme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, které se shodují se stavem problému.

Příklad č. 4: první termín progrese

Pokračujme v uvádění příkladů aritmetické progrese s řešením. Ve všech předchozích problémech bylo známé první číslo algebraické progrese. Nyní zvažte problém jiného typu: dejte dvě čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je třeba najít číslo, od kterého tato posloupnost začíná.

Dosud používané vzorce předpokládají znalost 1 a d. O těchto číslech není v prohlášení o problému nic známo. Přesto pro každého člena, o kterém existují informace, napíšeme výrazy: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Přijaty dvě rovnice, ve kterých jsou 2 neznámé veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukován na řešení soustavy lineárních rovnic.

Nejjednodušší způsob, jak tento systém vyřešit, je vyjádřit 1 v každé rovnici a poté porovnat výsledné výrazy. První rovnice: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnice: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Srovnáním těchto výrazů dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkud je rozdíl d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (jsou uvedena pouze 3 desetinná místa).

Vědět d, můžete použít jakýkoli z výše uvedených 2 výrazů pro 1. Například první: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * ( - 0,464) = 56,496.

Máte-li pochybnosti o výsledku, můžete si jej ověřit, např. určit 43 termín progrese, který je uveden v podmínce. Dostaneme: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je způsobena tím, že se při výpočtech používalo zaokrouhlování na tisíciny.

Příklad č. 5: částka

Nyní se podívejme na několik příkladů s řešením součtu aritmetické posloupnosti.

Nechť je zadána číselná posloupnost v následujícím tvaru: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak vypočítáte součet těchto 100 čísel?

Díky rozvoji výpočetní techniky je možné tento problém vyřešit, tedy sečíst postupně všechna čísla, což počítač udělá, jakmile člověk zmáčkne klávesu Enter. Problém však lze vyřešit v mysli, pokud věnujeme pozornost tomu, že předložená řada čísel je algebraickou progresí a její rozdíl je 1. Aplikujeme -li vzorec pro součet, dostaneme: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštní poznamenat, že tento problém se nazývá „gaussovský“, protože na začátku 18. století jej slavný Němec, když mu bylo ještě pouhých 10 let, dokázal vyřešit v hlavě během několika sekund. Chlapec neznal vzorec pro součet algebraické progrese, ale všiml si, že když do dvojic sečtete čísla na okrajích posloupnosti, dostanete vždy jeden výsledek, tj. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a protože z těchto částek bude přesně 50 (100/2), pak pro správnou odpověď stačí vynásobit 50 101.

Příklad č. 6: součet členů od n do m

Další typický příklad součet aritmetického postupu je následující: vzhledem k počtu čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zjistit, co se bude rovnat součet jeho členů od 8 do 14.

Problém je vyřešen dvěma způsoby. První z nich zahrnuje nalezení neznámých výrazů od 8 do 14 a poté jejich sekvenční součet. Protože existuje několik termínů, není tato metoda dostatečně pracná. Přesto se navrhuje vyřešit tento problém druhou metodou, která je univerzálnější.

Cílem je získat vzorec pro součet algebraické progrese mezi členy m a n, kde n> m jsou celá čísla. Vypišme dva výrazy pro součet pro oba případy:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
Sn = n* (a n + a 1) / 2.

Protože n> m, je zřejmé, že 2 součet zahrnuje první. Poslední závěr znamená, že když vezmeme rozdíl mezi těmito součty, a přičteme k němu výraz a m (v případě odečtení rozdílu se odečte od součtu S n), pak dostaneme potřebnou odpověď na problém. Máme: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + dopoledne * (1- m / 2). V tomto výrazu je nutné dosadit vzorce za a n a a m. Pak dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je poněkud těžkopádný, nicméně součet S mn závisí pouze na n, m, a 1 a d. V našem případě a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosazením těchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Jak je vidět z uvedených řešení, všechny úlohy vycházejí ze znalosti výrazu pro n-tý člen a vzorce pro součet množiny prvních členů. Než přistoupíte k řešení některého z těchto problémů, doporučujeme si pozorně přečíst podmínku, jasně porozumět tomu, co je třeba najít, a teprve poté přistoupit k řešení.

Dalším tipem je snažit se o jednoduchost, to znamená, že pokud můžete odpovědět na otázku bez použití složitých matematických výpočtů, musíte to udělat, protože v tomto případě je pravděpodobnost chyby menší. Například v příkladu aritmetické progrese s řešením č. 6 bychom se mohli zastavit u vzorce S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m a rozdělit společný úkol pro samostatné dílčí úkoly (v tento případ nejprve najděte členy a n a a m).

Pokud existují pochybnosti o dosaženém výsledku, doporučuje se jej zkontrolovat, jak to bylo provedeno v některých uvedených příkladech. Zjistili jsme, jak zjistit aritmetický průběh. Pokud na to přijdete, není to tak těžké.