Koncept numerické posloupnosti znamená, že každé přirozené číslo odpovídá nějaké skutečné hodnotě. Taková řada čísel může být libovolná nebo může mít určité vlastnosti - postup. V druhý případ každý následující prvek (člen) sekvence lze vypočítat pomocí předchozího.

Aritmetický postup- posloupnost číselných hodnot, ve kterých se sousední členové od sebe liší stejným počtem (všechny prvky řady mají podobnou vlastnost, počínaje druhou). Toto číslo - rozdíl mezi předchozím a dalším členem - je konstantní a nazývá se rozdíl v postupu.

Průběh rozdílu: definice

Uvažujme posloupnost skládající se z j hodnot A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j patří do množiny přirozená čísla N. Aritmetická posloupnost je podle své definice posloupnost, ve které a (3) - a (2) = a (4) - a (3) = a (5) - a (4) =… = a ( j) - a (j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdíl daného postupu.

d = a (j) - a (j-1).

Přidělit:

• Zvyšující se postup, v tomto případě d> 0. Příklad: 4, 8, 12, 16, 20,…
• Snížení progrese, pak d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Rozdíl v postupu a jeho libovolné prvky

Pokud jsou známy 2 libovolné členy postupu (i-tý, k-tý), lze rozdíl pro tuto sekvenci stanovit na základě poměru:

a (i) = a (k) + (i - k) * d, takže d = (a (i) - a (k)) / (i-k).

Rozdíl v postupu a jeho prvním členu

Tento výraz pomůže určit neznámou hodnotu pouze v případech, kdy je znám počet prvků sekvence.

Rozdíl v postupu a jeho součtu

Součet postupu je součtem jeho členů. Chcete-li vypočítat celkovou hodnotu jeho prvních j prvků, použijte příslušný vzorec:

S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j, ale od té doby a (j) = a (1) + d (j - 1), pak S (j) = ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j = (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Ano, ano: aritmetický postup pro vás není hračka :)

Přátelé, pokud čtete tento text, pak mi vnitřní důkazy o víčkách říkají, že ještě nevíte, co je to aritmetický postup, ale opravdu (ne, takto: SOOOOO!) Chcete vědět. Proto vás nebudu trápit dlouhými úvody a jdu rovnou k věci.

Začněme několika příklady. Zvažte několik sad čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Co mají všechny tyto sady společné? Na první pohled nic. Ale ve skutečnosti něco je. A to: každý další prvek se liší od předchozího stejným číslem.

Posuďte sami. První sada je jednoduše po sobě jdoucí čísla, každé další o více než předchozí. Ve druhém případě je rozdíl mezi sousedními čísly roven pěti, ale tento rozdíl je stále konstantní. Ve třetím případě kořeny obecně. Avšak $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ a $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, tj. a v tomto případě se každý další prvek jednoduše zvýší o $ \ sqrt (2) $ (a nebojte se, že toto číslo je iracionální).

Takže: všechny takové posloupnosti se nazývají aritmetické posloupnosti. Uveďme přísnou definici:

Definice. Posloupnost čísel, ve kterých se každá další liší od předchozí přesně stejnou částkou, se nazývá aritmetický postup. Samotná částka, o kterou se čísla liší, se nazývá rozdíl v postupu a je nejčastěji označována písmenem $ d $.

Označení: $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $ - samotný postup, $ d $ - jeho rozdíl.

A jen pár důležitých poznámek. Nejprve spořádaný posloupnost čísel: je dovoleno je číst striktně v pořadí, v jakém jsou zapsána - a nic jiného. Nelze změnit pořadí ani zaměnit čísla.

Za druhé, posloupnost sama o sobě může být konečná nebo nekonečná. Například množina (1; 2; 3) je zjevně konečným aritmetickým postupem. Pokud ale napíšete něco v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - je to již nekonečný postup. Elipsa po čtyřech, jak to bylo, naznačuje, že stále existuje poměrně málo čísel. Například nekonečně mnoho. :)

Rád bych také poznamenal, že pokroky se zvyšují a snižují. Už jsme viděli ty rostoucí - stejná sada (1; 2; 3; 4; ...). A zde jsou příklady klesajících průběhů:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

DOBŘE DOBŘE: poslední příklad se může zdát příliš komplikovaný. Ale zbytek, myslím, je vám jasný. Proto zavedeme nové definice:

Definice. Aritmetický postup se nazývá:

1. zvýšení, pokud je každý další prvek větší než ten předchozí;
2. klesající, pokud je naopak každý následující prvek menší než ten předchozí.

Kromě toho existují takzvané „stacionární“ sekvence - skládají se ze stejného opakujícího se čísla. Například (3; 3; 3; ...).

Zůstává jen jedna otázka: jak odlišit rostoucí postup od klesajícího? Naštěstí vše záleží na znaménku čísla $ d $, tj. průběh rozdílu:

1. Pokud $ d \ gt 0 $, postup se zvyšuje;
2. Pokud $ d \ lt 0 $, pak postup zjevně klesá;
3. Nakonec existuje případ $ d = 0 $ - v tomto případě je celý postup redukován na stacionární posloupnost stejných čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atd.

Pokusme se vypočítat rozdíl $ d $ pro tři klesající průběhy uvedené výše. K tomu stačí vzít libovolné dva sousední prvky (například první a druhý) a odečíst číslo vlevo od čísla vpravo. Bude to vypadat takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Jak vidíte, ve všech třech případech se rozdíl skutečně ukázal být záporný. A teď, když jsme víceméně přišli na definice, je čas přijít na to, jak jsou popsány průběhy a jaké jsou jejich vlastnosti.

Členové postupu a opakující se vzorec

Protože prvky našich sekvencí nelze zaměnit, lze je očíslovat:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ ((((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ že jo \) \]

Jednotlivé prvky této sady se nazývají členy postupu. Jsou označeny číslem: první termín, druhý termín atd.

Kromě toho, jak již víme, sousední členové postupu jsou příbuzní podle vzorce:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Stručně řečeno, abyste našli $ n $ th termín v progresi, musíte znát $ n-1 $ th termín a $ d $ rozdíl. Takový vzorec se nazývá opakující se, protože s jeho pomocí můžete najít libovolné číslo, znáte pouze předchozí (a ve skutečnosti všechny předchozí). To je velmi nepohodlné, takže existuje složitější vzorec, který redukuje všechny výpočty na první člen a rozdíl:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ levý (n-1 \ pravý) d \]

Určitě jste se již s tímto vzorcem setkali. Rádi to dávají do nejrůznějších příruček a reshebniků. A v každé rozumné učebnici matematiky jde o jednu z prvních.

Přesto navrhuji, abychom si trochu zacvičili.

Problém číslo 1. Napište první tři členy aritmetického postupu $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $, pokud $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Rozhodnutí. Známe tedy první člen $ ((a) _ (1)) = 8 $ a rozdíl postupu $ d = -5 $. Použijme právě zadaný vzorec a dosadme $ n = 1 $, $ n = 2 $ a $ n = 3 $:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (2-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ vlevo (3-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (zarovnat) \]

Odpověď: (8; 3; -2)

To je vše! Poznámka: náš postup klesá.

$ N = 1 $ samozřejmě nemohlo být nahrazeno - první termín je nám již znám. Nahrazením jednoho jsme se však ujistili, že náš vzorec funguje i pro první termín. V ostatních případech se vše scvrklo na triviální aritmetiku.

Problém číslo 2. Napište první tři členy aritmetického postupu, pokud je jejich sedmý člen -40 a sedmnáctý člen je -50.

Rozhodnutí. Pojďme si zapsat stav problému obvyklým způsobem:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (zarovnat) \ vpravo. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (zarovnání) \ že jo. \]

Dal jsem znamení systému, protože tyto požadavky musí být splněny současně. A nyní si všimněte, že pokud odečteme první od druhé rovnice (máme na to právo, protože máme systém), dostaneme toto:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left ((((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (zarovnat) \]

Tak snadno jsme našli rozdíl v postupu! Zbývá nahradit nalezené číslo do kterékoli z rovnic systému. Například v první:

\ [\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matice) \]

Nyní, když známe první člen a rozdíl, zbývá najít druhý a třetí člen:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (zarovnat) \]

Hotovo! Problém byl vyřešen.

Odpověď: (-34; -35; -36)

Věnujte pozornost zajímavé vlastnosti postupu, kterou jsme objevili: pokud vezmeme podmínky $ n $ th a $ m $ th a odečteme je od sebe, dostaneme rozdíl postupu vynásobený číslem $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]

Jednoduché, ale velmi užitečná vlastnost, které určitě potřebujete vědět - s jeho pomocí můžete výrazně urychlit řešení mnoha problémů v postupech. Zde je ukázkový příklad:

Problém číslo 3. Pátý člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desátý člen je 14,4. Najděte patnáctý termín tohoto postupu.

Rozhodnutí. Protože $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ a musíte najít $ ((a) _ (15)) $, pak si povšimněte následujících :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5 d. \\ \ end (zarovnat) \]

Ale podmínkou $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, tedy $ 5d = $ 6, odkud máme:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (zarovnat) \]

Odpověď: 20.4

To je vše! Nepotřebovali jsme skládat některé soustavy rovnic a počítat první člen a rozdíl - vše bylo vyřešeno jen v několika řádcích.

Nyní pojďme zvážit jiný typ úkolů - najít negativní a pozitivní členy postupu. Není žádným tajemstvím, že pokud se postup zvýší, zatímco jeho první člen je negativní, pak se v něm dříve nebo později objeví pozitivní členy. A naopak: členové klesající progrese se dříve či později stanou negativními.

Zároveň není zdaleka vždy možné tento okamžik tápat „čelem“ a postupně procházet prvky. Problémy jsou často koncipovány tak, že bez znalosti vzorců by výpočty zabraly několik listů - při hledání odpovědi bychom prostě usnuli. Proto se pokusíme tyto problémy vyřešit rychleji.

Problém číslo 4. Kolik negativních výrazů je v aritmetické posloupnosti -38,5; -35,8; ...?

Rozhodnutí. Takže $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, odkud okamžitě zjistíme rozdíl:

Rozdíl je kladný, takže se postup zvyšuje. První člen je záporný, takže v určitém okamžiku skutečně narazíme na kladná čísla. Jedinou otázkou je, kdy k tomu dojde.

Pokusme se zjistit: jak dlouho (tj. Až do jaké přirozené číslo $ n $) je zachována negativita výrazů:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ správně. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (zarovnat) \]

Poslední řádek vyžaduje objasnění. Víme tedy, že $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Na druhou stranu se uspokojíme pouze s celočíselnými hodnotami čísla (navíc: $ n \ in \ mathbb (N) $), takže největší povolené číslo je přesně $ n = 15 $ a v žádném případě 16.

Problém číslo 5. V aritmetickém postupu $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Najděte číslo prvního pozitivního termínu tohoto postupu.

Byl by to přesně stejný problém jako ten předchozí, ale nevíme $ ((a) _ (1)) $. Ale sousední termíny jsou známé: $ ((a) _ (5)) $ a $ ((a) _ (6)) $, takže můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

Kromě toho se pokusíme vyjádřit pátý člen z hlediska prvního a rozdílu podle standardního vzorce:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (zarovnat) \]

Nyní postupujeme analogicky s předchozím úkolem. Zjistili jsme, v jakém okamžiku v naší posloupnosti budou kladná čísla:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (zarovnat) \]

Nejmenší celočíselné řešení této nerovnosti je 56.

Vezměte prosím na vědomí: v posledním úkolu bylo vše omezeno na přísnou nerovnost, takže volba $ n = 55 $ nám nebude vyhovovat.

Nyní, když jsme se naučili, jak řešit jednoduché problémy, pojďme ke složitějším. Nejprve si ale prostudujme další velmi užitečnou vlastnost aritmetických postupů, která nám v budoucnu ušetří spoustu času a nerovných buněk. :)

Aritmetický průměr a stejné odrážky

Zvažte několik po sobě jdoucích členů rostoucí aritmetické progrese $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $. Zkusme je označit na číselné řadě:

Členové aritmetického postupu na číselné řadě

Konkrétně jsem si všiml libovolných výrazů $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, ne žádné $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ atd. Protože pravidlo, o kterém si nyní povím, funguje stejně pro všechny „segmenty“.

A pravidlo je velmi jednoduché. Pamatujme si vzorec opakování a zapište si ho pro všechny označené členy:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (zarovnat) \]

Tyto rovnosti však lze přepsat odlišně:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (zarovnat) \]

No a co? A skutečnost, že výrazy $ ((a) _ (n-1)) $ a $ ((a) _ (n + 1)) $ leží ve stejné vzdálenosti od $ ((a) _ (n)) $ . A tato vzdálenost se rovná $ d $. Totéž lze říci o členech $ ((a) _ (n-2)) $ a $ ((a) _ (n + 2)) $ - jsou také odstraněny z $ ((a) _ (n) ) $ stejnou vzdálenost rovnou $ 2d $. Můžete pokračovat donekonečna, ale význam dobře ilustruje obrázek.

Členové postupu leží ve stejné vzdálenosti od středu

Co to pro nás znamená? To znamená, že můžete najít $ ((a) _ (n)) $, pokud jsou známa sousední čísla:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Přišli jsme s vynikajícím výrokem: každý člen aritmetické posloupnosti se rovná aritmetickému průměru sousedních členů! Navíc: můžeme se odchýlit od našich $ ((a) _ (n)) $ vlevo a vpravo ne jeden krok, ale $ k $ kroky - a přesto bude vzorec správný:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Ty. můžeme snadno najít nějaké $ ((a) _ (150)) $, pokud známe $ ((a) _ (100)) $ a $ ((a) _ (200)) $, protože $ ((a) _ (150)) = \ frac ((((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na první pohled se může zdát, že tato skutečnost nám nedává nic užitečného. V praxi je však mnoho problémů speciálně „vyostřeno“ pro použití aritmetického průměru. Podívej se:

Problém číslo 6. Najděte všechny hodnoty $ x $, pro které jsou čísla $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ a $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ následnými členy aritmetické progrese (v pořadí).

Rozhodnutí. Jelikož uvedená čísla jsou členy postupu, je u nich splněna podmínka aritmetického průměru: centrální prvek $ x + 1 $ lze vyjádřit pomocí sousedních prvků:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (zarovnat) \]

Ukázalo se to jako klasické kvadratická rovnice... Jeho kořeny: $ x = 2 $ a $ x = -3 $ - to jsou odpovědi.

Odpověď: -3; 2.

Problém číslo 7. Najděte hodnoty $$, u nichž čísla $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ provádějí aritmetický postup (v uvedeném pořadí).

Rozhodnutí. Opět vyjádřete střední člen z hlediska aritmetického průměru sousedních členů:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac ((((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ vpravo;; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (zarovnat) \]

Opět kvadratická rovnice. A opět existují dva kořeny: $ x = 6 $ a $ x = 1 $.

Odpověď: 1; 6.

Pokud v procesu řešení problému získáte několik brutálních čísel nebo si nejste zcela jisti správností nalezených odpovědí, existuje skvělá technika, která vám umožní zkontrolovat: vyřešili jsme problém správně?

Například v úloze č. 6 jsme obdrželi odpovědi -3 a 2. Jak zkontrolovat, zda jsou tyto odpovědi správné? Pojďme je zapojit do počátečního stavu a uvidíme, co se stane. Dovolte mi připomenout, že máme tři čísla ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ a $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), která musí tvořit aritmetický postup. Náhrada $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (zarovnat) \]

Přijatá čísla -54; -2; 50, které se liší o 52, je nepochybně aritmetický postup. Totéž se stane s $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (zarovnat) \]

Opět postup, ale s rozdílem 27. Problém je tedy vyřešen správně. Zájemci si mohou druhý problém zkontrolovat sami, ale hned řeknu: i tam je vše v pořádku.

Obecně jsme při řešení posledních problémů narazili na jeden další zajímavý fakt, které je také třeba mít na paměti:

Pokud jsou tři čísla taková, že druhé je aritmetický průměr prvního a posledního, pak tato čísla tvoří aritmetický postup.

Pochopení tohoto tvrzení nám v budoucnu umožní doslova „postavit“ nezbytný postup na základě stavu problému. Ale než se pustíme do takové „stavby“, měli bychom věnovat pozornost ještě jedné skutečnosti, která přímo vyplývá z toho, co již bylo zvažováno.

Seskupení a součet prvků

Vraťme se znovu k číselné ose. Všimněme si zde několika členů postupu, mezi nimiž možná. existuje spousta dalších členů:

Číselná řada má označeno 6 prvků

Zkusme vyjádřit „levý ocas“ ve smyslu $ ((a) _ (n)) $ a $ d $ a „pravý ocas“ ve smyslu $ ((a) _ (k)) $ a $ d $ . Je to velmi jednoduché:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (zarovnat) \]

Nyní si všimněte, že následující částky jsou stejné:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (zarovnat) \]

Jednoduše řečeno, vezmeme-li jako začátek dva prvky postupu, které se celkově rovnají nějakému číslu $ S $, a pak začneme od těchto prvků kráčet opačnými směry (směrem k sobě nebo naopak, abychom se vzdálili) pak součty prvků, o které narazíme, budou také stejné$ S $. To lze nejjasněji graficky znázornit:

Stejné odsazení dává stejné částky

Porozumění tento fakt nám umožní řešit problémy zásadně více vysoká úroveň potíže než ty, které jsme zvažovali výše. Například:

Problém číslo 8. Určete rozdíl aritmetické progrese, ve které je první člen 66, a součin druhého a dvanáctého členu je nejmenší možný.

Rozhodnutí. Zapíšeme si vše, co víme:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (zarovnat) \]

Neznáme tedy rozdíl v postupu $ d $. Ve skutečnosti bude celé řešení postaveno na rozdílu, protože produkt $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ lze přepsat takto:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ end (zarovnat) \]

Pro ty v nádrži: Z druhé závorky jsem vytáhl společný faktor 11. Hledaný produkt je tedy kvadratickou funkcí s ohledem na proměnnou $ d $. Zvažte tedy funkci $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - její graf bude parabola s větvením nahoru, protože pokud rozbalíme závorky, dostaneme:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (zarovnat) \]

Jak vidíte, koeficient na předním členu je 11 - to je kladné číslo, takže se skutečně zabýváme parabolou s větvením nahoru:

plán kvadratická funkce- parabola

Poznámka: tato parabola má svou minimální hodnotu na svém vrcholu s úsečkou $ ((d) _ (0)) $. Samozřejmě můžeme vypočítat tuto úsečku podle standardního schématu (existuje také vzorec $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ale bylo by to mnohem rozumnější všimnout si, že požadovaný vrchol leží na osové symetrii paraboly, takže bod $ ((d) _ (0)) $ je ve stejné vzdálenosti od kořenů rovnice $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (zarovnat) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (zarovnat) \]

Proto jsem nespěchal s otevřením závorek: v původní podobě se kořeny daly najít velmi, velmi snadno. Proto se úsečka rovná střední hodnotě aritmetická čísla−66 a −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Co nám odhalené číslo dává? Díky tomu má požadovaný produkt nejmenší hodnotu (mimochodem, nepočítali jsme $ ((y) _ (\ min)) $ - to nepotřebujeme). Zároveň je toto číslo rozdílem mezi počátečním postupem, tj. našli jsme odpověď. :)

Odpověď: −36

Problém číslo 9. Vložte tři čísla mezi čísla $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $, aby společně s danými čísly tvořila aritmetický postup.

Rozhodnutí. V zásadě musíme vytvořit posloupnost pěti čísel, přičemž první a poslední číslo jsou již známé. Označme chybějící čísla proměnnými $ x $, $ y $ a $ z $:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Číslo $ y $ je „středem“ naší posloupnosti - je ve stejné vzdálenosti od čísel $ x $ a $ z $ $ a od čísel $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $. A pokud z čísel $ x $ a $ z $ jsme v tento moment nemůžeme získat $ y $, pak je situace s konci postupu jiná. Zapamatování aritmetického průměru:

Nyní, když víme $ y $, najdeme zbývající čísla. Všimněte si, že $ x $ leží mezi čísly $ - \ frac (1) (2) $ a $ y = - \ frac (1) (3) $, které byly právě nalezeny. proto

Z obdobného důvodu zjistíme zbývající počet:

Hotovo! Našli jsme všechna tři čísla. Zapíšeme si je do odpovědi v pořadí, v jakém by měly být vloženy mezi původní čísla.

Odpověď: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problém číslo 10. Vložte několik čísel mezi čísla 2 a 42, která spolu s těmito čísly tvoří aritmetický postup, pokud víte, že součet prvního, druhého a posledního z vložených čísel je 56.

Rozhodnutí. Ještě obtížnější úkol, který je však řešen podle stejného schématu jako předchozí - aritmetickým průměrem. Problém je v tom, že nevíme přesně, kolik čísel vložit. Pro jistotu tedy předpokládejme, že po vložení všeho budou přesně $ n $ čísla a první z nich bude 2 a poslední bude 42. V tomto případě lze požadovanou aritmetickou posloupnost reprezentovat jako:

\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; ( a) _ (n-1)); 42 \ vpravo \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Všimněte si však, že čísla $ ((a) _ (2)) $ a $ ((a) _ (n-1)) $ jsou získána z čísel 2 a 42 na okrajích o jeden krok k sobě, tj ... do středu sekvence. Tohle znamená tamto

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ale pak může být výše napsaný výraz přepsán následovně:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (zarovnat) \]

Když víme $ ((a) _ (3)) $ a $ ((a) _ (1)) $, můžeme snadno najít rozdíl v postupu:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12-2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ levý (3-1 \ pravý) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ end (zarovnat) \]

Zbývá jen najít zbytek členů:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (zarovnat) \]

Již v 9. kroku tedy přijdeme na levý konec sekvence - číslo 42. Celkově bylo nutné vložit pouze 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpověď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovní úlohy s průběhy

Na závěr bych rád zvážil několik relativně jednoduché úkoly... Jak jednoduché: pro většinu studentů, kteří studují matematiku ve škole a nečetli, co je napsáno výše, se tyto úkoly mohou zdát jako cín. Přesně takové problémy se však v OGE a USE v matematice setkávají, proto vám doporučuji se s nimi seznámit.

Problém číslo 11. Brigáda v lednu vyrobila 62 dílů a v každém dalším měsíci vyrobila o 14 dílů více než v předchozím. Kolik dílů vytvořil tým v listopadu?

Rozhodnutí. Je zřejmé, že počet dílů naplánovaných podle měsíce bude představovat rostoucí aritmetický postup. Navíc:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (zarovnat) \]

Listopad je 11. měsíc roku, takže musíme najít $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

V důsledku toho bude v listopadu vyrobeno 202 dílů.

Problém číslo 12. V lednu vázala knihařská dílna 216 knih a každý další měsíc svázala o 4 další knihy než ta předchozí. Kolik knih svázala dílna v prosinci?

Rozhodnutí. Pořád to samé:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (zarovnat) $

Prosinec je poslední, 12. měsíc roku, takže hledáme $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

To je odpověď - v prosinci bude vázáno 260 knih.

Pokud jste se dočetli až sem, pospíchám vám, abych vám poblahopřál: úspěšně jste absolvovali „Kurz mladých bojovníků“ v aritmetických postupech. Můžete bezpečně přejít na další lekci, kde prozkoumáme vzorec pro součet postupu a jeho důležité a velmi užitečné důsledky.

Aritmetický postup nazývá se posloupnost čísel (členů postupu)

Ve kterém se každý následující termín liší od předchozího novým termínem, který se také nazývá krokový nebo postupový rozdíl.

Nastavením kroku postupu a jeho prvního členu tedy můžete podle vzorce najít kterýkoli z jeho prvků

Vlastnosti aritmetické progrese

1) Každý člen aritmetického postupu počínaje druhým číslem je aritmetickým průměrem předchozího a dalšího člena postupu

Opak je také pravdivý. Pokud se aritmetický průměr sousedních lichých (sudých) členů postupu rovná pojmu mezi nimi, pak je tato posloupnost čísel aritmetickým postupem. Toto prohlášení velmi usnadňuje kontrolu jakékoli sekvence.

Díky vlastnosti aritmetického postupu lze výše uvedený vzorec zobecnit na následující

To lze snadno ověřit, pokud napíšeme podmínky napravo od znaménka rovnosti

V praxi se často používá ke zjednodušení výpočtů v problémech.

2) Součet prvních n členů aritmetického postupu se vypočítá podle vzorce

Pamatujte si dobře vzorec pro součet aritmetické progrese, je nepostradatelný pro výpočty a je zcela běžný v jednoduchých životních situacích.

3) Pokud potřebujete najít ne celou částku, ale část posloupnosti začínající od k-tého členu, pak vám přijde vhod následující vzorec součtu

4) Je praktickým zájmem najít součet n členů aritmetického postupu počínaje od k-tého čísla. K tomu použijte vzorec

Tím se uzavírá teoretický materiál a přechází k řešení běžných problémů v praxi.

Příklad 1. Najděte čtyřicátý člen aritmetického postupu 4; 7; ...

Rozhodnutí:

Podle podmínky máme

Určete krok postupu

Pomocí dobře známého vzorce najdeme čtyřicátý termín postupu

Příklad 2. Aritmetický postup je dán třetím a sedmým členem. Najděte první člen postupu a součet deseti.

Rozhodnutí:

Napíšeme dané prvky postupu pomocí vzorců

Odečteme první od druhé rovnice, ve výsledku najdeme krok postupu

Nalezenou hodnotu dosadíme do kterékoli z rovnic, abychom našli první člen aritmetického postupu

Vypočítáme součet prvních deseti členů postupu

Bez použití složitých výpočtů jsme našli všechny požadované hodnoty.

Příklad 3. Aritmetický postup je dán jmenovatelem a jedním z jeho členů. Najděte prvního člena postupu, součet jeho 50 členů počínaje 50 a součet prvních 100.

Rozhodnutí:

Napíšeme vzorec pro stý prvek postupu

a najděte první

Na základě prvního najdeme 50 termínů progrese

Najděte součet části postupu

a součet prvních 100

Celkový postup je 250.

Příklad 4.

Najděte počet členů aritmetického postupu, pokud:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Rozhodnutí:

Rovnice píšeme prvním členem a krokem postupu a definujeme je

Dosažené hodnoty dosadíme do vzorce součtu, abychom určili počet členů v součtu

Provádění zjednodušení

a vyřešit kvadratickou rovnici

Ze dvou nalezených hodnot pro problémový stav je vhodné pouze číslo 8. Součet prvních osmi členů postupu je tedy 111.

Příklad 5.

Vyřešte rovnici

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Řešení: Tato rovnice je součtem aritmetického postupu. Pojďme napsat jeho první člen a najdeme rozdíl v postupu

Problémy s aritmetickým postupem existovaly již ve starověku. Objevili se a požadovali řešení, protože měli praktickou potřebu.

Takže v jednom z papyrusů starověkého Egypta, který má matematický obsah - papyrus Rhind (XIX. Století př. N. L.) - obsahuje následující problém: rozdělit deset měr chleba na deset lidí, za předpokladu, že rozdíl mezi každou z nich je jedna - osmá míra.

A v matematických pracích starověkých Řeků existují elegantní věty související s aritmetickým postupem. Takže Hypsicles z Alexandrie (II. Století, který vymyslel mnoho zajímavých problémů a přidal čtrnáctou knihu k Euklidovým „Zásadám“), formuloval myšlenku: „V aritmetickém postupu, který má sudý počet členů, je součet členů druhého polovina je větší než součet členů první poloviny na čtvereční 1/2 počtu členů ".

Sekvence je označena znakem. Čísla posloupnosti se nazývají její členové a jsou obvykle označována písmeny s indexy, které označují pořadové číslo tohoto člena (a1, a2, a3 ... číst: „a 1.“, „a 2.“, „a 3.“ a tak dále).

Sekvence může být nekonečná nebo konečná.

Co je to aritmetický postup? Rozumí se tím, který se získá přidáním předchozího členu (n) se stejným číslem d, což je rozdíl v postupu.

Pokud d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, pak se takový postup považuje za vzestupný.

Aritmetický postup se nazývá konečný, pokud se zohlední pouze několik jeho prvních členů. S velmi velkým počtem členů je to již nekonečný pokrok.

Jakýkoli aritmetický postup je určen následujícím vzorcem:

an = kn + b, zatímco b a k jsou některá čísla.

Opačné tvrzení je absolutně pravdivé: pokud je sekvence dána podobným vzorcem, pak je to přesně aritmetický postup, který má následující vlastnosti:

1. Každý člen postupu je aritmetickým průměrem předchozího člena a dalšího.
2. Opak: pokud počínaje 2. obdobou je každý člen aritmetickým průměrem předchozího a následujícího členu, tj. je-li podmínka splněna, pak je tato posloupnost aritmetickým postupem. Tato rovnost je také známkou progrese, proto se jí obvykle říká charakteristická vlastnost progrese.
   Stejným způsobem je věta, která odráží tuto vlastnost, pravdivá: posloupnost je aritmetický postup pouze v případě, že tato rovnost platí pro některého z členů posloupnosti, počínaje druhým.

Charakteristickou vlastnost pro libovolná čtyři čísla aritmetické posloupnosti lze vyjádřit vzorcem an + am = ak + al, pokud n + m = k + l (m, n, k jsou čísla posloupnosti).

V aritmetickém postupu lze libovolný požadovaný (N-tý) výraz najít pomocí následujícího vzorce:

Například: první člen (a1) v aritmetické posloupnosti je uveden a roven třem, a rozdíl (d) je roven čtyřem. Musíte najít čtyřicátý pátý termín tohoto postupu. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Vzorec an = ak + d (n - k) nám umožňuje určit n-tý termín aritmetický postup kterýmkoli z jeho k-tých výrazů, pokud je znám.

Součet členů aritmetického postupu (tj. 1. n členů konečného postupu) se vypočítá takto:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Pokud je také známý první člen, je pro výpočet vhodný jiný vzorec:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Součet aritmetického postupu, který obsahuje n členů, se vypočítá takto:

Volba vzorců pro výpočty závisí na podmínkách problému a počátečních datech.

Přirozená řada libovolných čísel, například 1,2,3, ..., n, ... je nejjednodušším příkladem aritmetického postupu.

Kromě aritmetického postupu existuje také geometrický, který má své vlastní vlastnosti a vlastnosti.

První úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teorie s příklady (2019)

Pořadí čísel

Pojďme si tedy sednout a začít psát čísla. Například:
Můžete psát libovolná čísla a může jich být libovolný počet (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které je druhé, a tak dále, tj. Můžeme je očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Pořadí čísel
Například pro naši sekvenci:

Přiřazené číslo je specifické pouze pro jedno číslo v pořadí. Jinými slovy, v sekvenci nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy jedno.
Číslo s číslem se nazývá th člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou sekvenci nějakým písmenem (například) a každý člen této sekvence je stejné písmeno s indexem rovným počtu tohoto člena :.

V našem případě:

Řekněme, že máme číselná posloupnost, ve kterém je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.
Například:

atd.
Tato číselná řada se nazývá aritmetický postup.
Termín „postup“ zavedl římský autor Boethius v 6. století a byl chápán v širším smyslu jako nekonečná řada čísel. Název „aritmetika“ byl přenesen z teorie spojitých rozměrů, kterou využívali staří Řekové.

Toto je číselná posloupnost, jejíž každý člen se rovná předchozímu, přidaný ke stejnému číslu. Toto číslo se nazývá rozdíl aritmetické progrese a je označeno.

Pokuste se určit, které číselné řady jsou aritmetickým postupem a které nikoli:

A)
b)
C)
d)

Rozumíte? Porovnejme naše odpovědi:
Je aritmetický postup - b, c.
Není aritmetický postup - a, d.

Vraťme se k danému postupu () a pokusme se najít hodnotu jeho tého člena. Existuje dva způsob, jak to najít.

1. Metoda

Můžeme přidat k předchozí hodnotě čísla progrese, dokud nedosáhneme tého termínu progrese. Je dobré, že nám toho moc nezbývá - jen tři hodnoty:

Třetí člen popsané aritmetické posloupnosti je tedy roven.

2. Metoda

Co kdybychom potřebovali najít hodnotu tého termínu v postupu? Součet by nám trval více než jednu hodinu a není faktem, že bychom se při přidávání čísel nemýlili.
Samozřejmě, matematici přišli se způsobem, jakým nemusíte přidávat rozdíl aritmetického postupu k předchozí hodnotě. Podívejte se blíže na nakreslený obrázek ... Určitě jste si již všimli určitého vzoru, a to:

Podívejme se například, jak se přidává hodnota tého člena tohoto aritmetického postupu:


Jinými slovy:

Zkuste tímto způsobem nezávisle najít hodnotu člena dané aritmetické posloupnosti.

Vypočítané? Porovnejte své poznámky s odpovědí:

Vezměte prosím na vědomí, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, když jsme postupně přidali členy aritmetického postupu k předchozí hodnotě.
Zkusme tento vzorec „odosobnit“ - uvedeme ho obecná forma a dostat:

Aritmetická rovnice postupu.

Aritmetické postupy jsou vzestupné a někdy klesající.

Vzestupně- průběhy, ve kterých je každá následující hodnota členů větší než ta předchozí.
Například:

Klesající- průběhy, ve kterých je každá následující hodnota členů menší než ta předchozí.
Například:

Odvozený vzorec se používá při výpočtu výrazů ve zvyšujících se i snižujících se hodnotách aritmetického postupu.
Podívejme se na to v praxi.
Dostaneme aritmetický postup skládající se z následujících čísel: Pojďme zkontrolovat, jaké číslo tohoto aritmetického postupu se ukáže, pokud k jeho výpočtu použijeme náš vzorec:

Od té doby:

Ujistili jsme se tedy, že vzorec funguje jak při snižování, tak při zvyšování aritmetické progrese.
Zkuste si najít tu a tu podmínku tohoto aritmetického postupu sami.

Porovnejme získané výsledky:

Vlastnost aritmetického postupu

Zkomplikujme si úkol - odvodíme vlastnost aritmetického postupu.
Řekněme, že máme následující podmínku:
- aritmetický postup, najděte hodnotu.
Snadno, řeknete a začnete počítat podle vzorce, který již znáte:

Nechť, a, pak:

Naprosto správně. Ukázalo se, že nejprve najdeme, poté jej přidáme k prvnímu číslu a dostaneme to, co hledáme. Pokud je postup reprezentován malými hodnotami, není na tom nic složitého, ale pokud nám v podmínce dáme čísla? Uznejte, existuje šance, že ve výpočtech uděláte chybu.
Přemýšlejte, je možné vyřešit tento problém v jedné akci pomocí libovolného vzorce? Samozřejmě ano, a právě ona se nyní pokusí stáhnout.

Pojďme označit požadovaný člen aritmetické progrese jako, známe vzorec pro jeho nalezení - jedná se o stejný vzorec, který jsme odvodili na začátku:
, pak:

• předchozí člen postupu je:
• dalším členem postupu je:

Shrňme předchozí a následující členy postupu:

Ukazuje se, že součet předchozích a následujících členů posloupnosti je dvojnásobná hodnota člena posloupnosti umístěného mezi nimi. Jinými slovy, aby bylo možné najít hodnotu člena postupu se známými předchozími a po sobě jdoucími hodnotami, je nutné je sečíst a rozdělit.

Máte pravdu, dostali jsme stejné číslo. Pojďme opravit materiál. Hodnotu postupu si vypočítejte sami, protože to není vůbec obtížné.

Výborně! O postupu víte téměř všechno! Zbývá se naučit jen jeden vzorec, který podle legendy pro sebe snadno odvodil jeden z největších matematiků všech dob, „král matematiků“ - Karl Gauss ...

Když bylo Karlovi Gaussovi 9 let, učitel zabývající se kontrolou práce studentů v ostatních ročnících požádal v lekci o následující úkol: „Vypočítejte součet všech přirozených čísel od až do (podle jiných zdrojů až do) včetně.“ Představte si učitelovo překvapení, když jeden z jeho studentů (byl to Karl Gauss) za minutu správně odpověděl na problém, zatímco většina spolužáků odvážlivce po dlouhých výpočtech dostala špatný výsledek ...

Mladý Karl Gauss si všiml určitého vzoru, který si snadno všimnete.
Řekněme, že máme aritmetickou posloupnost skládající se z -tých členů: Musíme najít součet daných členů aritmetické posloupnosti. Samozřejmě můžeme všechny hodnoty ručně sečíst, ale co když je v úkolu nutné najít součet jeho členů, jak Gauss hledal?

Pojďme nakreslit daný postup. Podívejte se pozorně na zvýrazněná čísla a zkuste s nimi provádět různé matematické operace.


Zkusil jsi to? Co jsi si všiml? Že jo! Jejich součty jsou stejné

Nyní mi řekněte, kolik takových párů je v daném postupu? Samozřejmě, přesně polovina všech čísel.
Na základě skutečnosti, že součet dvou členů aritmetického postupu je stejný a podobné stejné páry, dostaneme, že celkový součet je:
.
Vzorec pro součet prvních členů libovolného aritmetického postupu bude tedy následující:

U některých problémů neznáme třetí termín, ale známe rozdíl v postupu. Zkuste do vzorce dosadit součet, vzorec tého členu.
Co jsi dělal?

Výborně! Nyní se vraťme k problému, který dostal Karl Gauss: spočítejte si, jaký je součet čísel začínajících od -th a součet čísel začínajících od -th.

Kolik jsi dostal?
Gauss zjistil, že součet členů je stejný a součet členů. Tak jsi se rozhodl?

Ve skutečnosti vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti prokázal starořecký vědec Diophantus ve 3. století a po celou tuto dobu vtipní lidé využívali vlastnosti aritmetické posloupnosti na maximum.
Například si představte Starověký Egypt a nejambicióznější staveniště té doby - stavba pyramidy ... Obrázek ukazuje jednu její stranu.

Kde je postup, co říkáš? Podívejte se pozorně a najděte vzor v počtu pískových bloků v každé řadě zdi pyramidy.


Není to aritmetický postup? Vypočítejte, kolik bloků je potřeba k postavení jedné zdi, pokud jsou do základny umístěny blokové cihly. Doufám, že nebudete počítat přejetím prstu po monitoru, pamatujete si poslední vzorec a všechno, co jsme řekli o aritmetickém postupu?

V tomto případě vypadá postup takto :.
Rozdíl aritmetického postupu.
Počet členů aritmetického postupu.
Pojďme dosadit naše data do posledních vzorců (počítejme počet bloků 2 způsoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A nyní můžete na monitoru vypočítat: porovnejte získané hodnoty s počtem bloků, které jsou v naší pyramidě. Spojilo se to? Dobrá práce, zvládli jste součet podmínek aritmetického postupu.
Samozřejmě nemůžete postavit pyramidu z bloků na základně, ale z? Pokuste se vypočítat, kolik pískových cihel je potřeba k vybudování zdi s touto podmínkou.
Zvládli jste to?
Správná odpověď jsou bloky:

Cvičení

Úkoly:

1. Masha se do léta dostává do formy. Každý den zvyšuje počet dřepů o. Kolikrát bude Masha dřepět za týdny, pokud při prvním tréninku udělala dřepy.
2. Jaký je součet všech lichých čísel obsažených v.
3. Při ukládání protokolů je dřevorubci skládají takovým způsobem, že každá horní vrstva obsahuje o jeden protokol méně než ten předchozí. Kolik protokolů je v jednom zdivu, pokud protokoly slouží jako základ zdiva.

Odpovědi:

1. Pojďme definovat parametry aritmetického postupu. V tomto případě
   (týdny = dny).

   Odpovědět: Po dvou týdnech by Masha měla dřepět jednou denně.

2. První liché číslo, poslední číslo.
   Rozdíl aritmetické progrese.
   Počet lichých čísel v je polovina, ale tuto skutečnost zkontrolujeme pomocí vzorce pro nalezení -tého členu aritmetické progrese:

   Čísla obsahují lichá čísla.
   Nahraďte dostupná data do vzorce:

   Odpovědět: Součet všech lichých čísel obsažených v se rovná.

3. Vzpomeňme si na pyramidový problém. V našem případě a, protože každá horní vrstva je snížena o jeden log, tedy pouze v hromadě vrstev, to znamená.
   Pojďme dosadit data do vzorce:

   Odpovědět: Ve zdivu jsou kmeny.

Pojďme to shrnout

1. - číselná posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný. Může to být vzestupné a klesající.
2. Hledání vzorce-tý člen aritmetické posloupnosti je zapsán vzorcem -, kde je počet čísel v posloupnosti.
3. Vlastnost členů aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupu.
4. Součet členů aritmetického postupu lze najít dvěma způsoby:
   
   , kde je počet hodnot.

ARITMETICKÝ POKROK. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Pořadí čísel

Pojďme si sednout a začneme psát čísla. Například:

Můžete psát libovolná čísla a může jich být libovolný počet. Vždy však můžete říci, který z nich je první, který je druhý, atd., To znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad řady čísel.

Pořadí čísel je sada čísel, každému z nich lze přiřadit jedinečné číslo.

Jinými slovy, každé číslo může být spojeno s určitým přirozeným číslem a jediným. A toto číslo nepřiřadíme žádnému jinému číslu z této sady.

Číslo s číslem se nazývá th člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou sekvenci nějakým písmenem (například) a každý člen této sekvence je stejné písmeno s indexem rovným počtu tohoto člena :.

Je velmi výhodné, když může být třetí člen posloupnosti dán nějakým vzorcem. Například vzorec

nastavuje sekvenci:

A vzorec je následující sekvence:

Například aritmetický postup je posloupnost (první člen je zde stejný a rozdíl). Nebo (, rozdíl).

Vzorec pro n-tý termín

Říkáme opakující se vzorec, ve kterém chcete zjistit toho člena, potřebujete znát předchozí nebo několik předchozích:

Abychom našli například pátý člen postupu pomocí takového vzorce, budeme muset vypočítat předchozích devět. Například pojďme. Pak:

Jaký je vzorec teď?

V každém řádku, který přidáme, vynásobený nějakým číslem. Proč? Velmi jednoduché: toto je počet aktuálních členů minus:

Nyní mnohem pohodlnější, že? Zkontrolujeme:

Rozhodněte se sami:

V aritmetickém postupu najděte vzorec pro n-tý člen a najděte stý člen.

Rozhodnutí:

První termín je stejný. Jaký je rozdíl? A tady je co:

(je to proto, že se tomu říká rozdíl, který se rovná rozdílu po sobě jdoucích členů postupu)

Vzorec tedy zní:

Pak je stý termín:

Jaký je součet všech přirozených čísel od do?

Podle legendy velký matematik Karl Gauss, který byl 9letým chlapcem, vypočítal tuto částku za pár minut. Všiml si, že součet prvního a posledního čísla je stejný, součet druhého a předposledního je stejný, součet třetího a třetího od konce je stejný atd. Kolik takových párů bude? To je pravda, přesně poloviční počet všech čísel. Tak,

Obecný vzorec pro součet prvních členů libovolného aritmetického postupu bude:

Příklad:
Najděte součet všech dvouciferných násobků.

Rozhodnutí:

První takové číslo je. Každá další se získá přidáním k předchozímu číslu. Čísla, která nás zajímají, tedy tvoří aritmetický postup s prvním členem a rozdílem.

Třetí výrazový vzorec pro tento postup je:

Kolik členů je v postupu, pokud musí být všechny dvouciferné?

Velmi snadné: .

Poslední termín v postupu bude stejný. Pak součet:

Odpovědět:.

Nyní se rozhodněte sami:

1. Sportovec každý den běží více m než předchozí den. Kolik kilometrů najede za týdny, pokud najel kilometr m první den?
2. Cyklista najede každý den více kilometrů než ten předchozí. První den najel km. Kolik dní musí cestovat, aby ujel kilometry? Kolik kilometrů ujde v poslední den cesty?
3. Cena chladničky v obchodě klesá každý rok o stejnou částku. Určete, o kolik se cena chladničky každý rok snižovala, pokud byla uvedena do prodeje za rublů, o šest let později byla prodána za rublů.

Odpovědi:

1. Nejdůležitější je zde rozpoznat aritmetický průběh a určit jeho parametry. V tomto případě (týdny = dny). Musíte určit součet prvních členů tohoto postupu:
   .
   Odpovědět:
2. Zde je uvedeno :, je třeba najít.
   Je zřejmé, že musíte použít stejný vzorec součtu jako v předchozím problému:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Kořen zjevně nesedí, takže odpověď zní.
   Pojďme vypočítat ujetou vzdálenost za poslední den pomocí vzorce třetího termínu:
   (km).
   Odpovědět:

3. Vzhledem k tomu: Najít: .
   Už to nemůže být jednodušší:
   (třít).
   Odpovědět:

ARITMETICKÝ POKROK. STRUČNĚ O HLAVĚ

Toto je číselná posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.

Aritmetický postup může být vzestupný () a klesající ().

Například:

Vzorec pro nalezení n-tého členu aritmetické progrese

napsáno vzorcem, kde je počet čísel v postupu.

Vlastnost členů aritmetického postupu

Umožňuje vám snadno najít člena postupu, pokud jsou známy jeho sousední členové - kde je počet čísel v postupu.

Součet členů aritmetického postupu

Existují dva způsoby, jak zjistit částku:

Kde je počet hodnot.

Kde je počet hodnot.