Video Tutorial 2: Řešení čtvercových rovnic

Přednáška: Quadratic Equations.

Rovnice

Rovnice - To je určitá rovnost, ve výrazech, z nichž je proměnná.

Řešit rovnice - To znamená najít takové číslo namísto proměnné, která ho povede k pravé rovnosti.

Rovnice může mít jedno řešení nebo několik, nebo nemá vůbec.

Pro vyřešení jakékoli rovnice by mělo být snadno zjednodušeno do formuláře:

Lineární: A * x \u003d b;

Náměstí: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

To znamená, že každá rovnice před tím, než roztok musí být převeden na standardní druhy.

Každá rovnice může být vyřešena dvěma způsoby: analytické a grafické.

Na grafu řeší rovnici, body se považují body, ve kterých plán překročí osu oh.

Quadratic Equations.

Rovnice může být nazývána čtvercem, pokud získá zobrazení při zjednodušení:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Kde. a, B, C Jsou koeficienty rovnice, které se liší od nuly. ALE "X" - kořen rovnice. Předpokládá se, že čtvercová rovnice má dvě kořeny nebo nemusí mít řešení vůbec. Získané kořeny mohou být stejné.

"ale" - Koeficient, který stojí před kořenem na náměstí.

"B" - Je to před prvním stupněm.

"z" - Volný člen rovnice.

Pokud například máme rovnici formuláře:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

"2" je "2" koeficient s vedoucím členem rovnice, "-5" - druhý koeficient a "3" - volný člen.

Rozhodnutí čtvercová rovnice

Existuje obrovská sada způsobů, jak vyřešit čtvercovou rovnici. Ve školním průběhu matematiky je však řešení studováno na větu Vieta, stejně jako s pomocí diskriminačního.

Rozhodnutí o diskriminaci:

Při řešení tato metoda Je nutné vypočítat diskriminaci podle vzorce:

Pokud jste při výpočtech získali, že diskriminační je menší než nula, znamená to, že tato rovnice nemá žádná řešení.

Pokud je diskriminační nula, rovnice má dvě identická řešení. V tomto případě může být polynomal shrnocen vzorcem zkrácených násobení do čtverce množství nebo rozdíl. Poté to vyřeší, jako lineární rovnice. Nebo využít vzorce:

Pokud je diskriminační větší než nula, je nutné použít následující metodu:

Vieta teorém

Pokud je rovnice dána, to znamená, že koeficient ve seniorském členu se rovná jednomu, pak můžete použít vieta teorém.

Předpokládejme, že rovnice vypadá:

Kořeny rovnice jsou následující:

Neúplná čtvercová rovnice

Existuje několik možností pro získání neúplné čtvercové rovnice, jehož typ závisí na přítomnosti koeficientů.

1. Pokud je druhý a třetí koeficient nulový (B \u003d 0, c \u003d 0)Čtvercová rovnice se bude podívat na:

Tato rovnice bude mít jediné řešení. Rovnost bude správná pouze tehdy, když je rovnice nulová jako roztok.

Vzorce kořenů čtvercové rovnice. Jsou zváženy případy platných, více a komplexních kořenů. Rozložení náměstí tříkřídlí násobičů. Geometrická interpretace. Příklady určování kořenů a rozkladu multiplikátorů.

Základní vzorce

Zvažte čtvercovou rovnici:
(1) .
Kořeny náměstí rovnice (1) jsou určeny vzorce:
; .
Tyto vzorce mohou být kombinovány takto:
.
Když jsou známy kořeny čtvercové rovnice, může být polynomiální druhý stupeň reprezentován jako práce faktorů (rozloží se na násobiteli):
.

Dále tomu věříme - skutečná čísla.
Zvážit diskriminační čtvercová rovnice:
.
Pokud je diskriminační pozitivní, pak čtvercová rovnice (1) má dva různé platné kořen:
; .
Pak se rozklad čtverce tři snižuje faktory, má formu:
.
Pokud je diskriminační nulová, pak čtvercová rovnice (1) má dva více (stejné) platný kořen:
.
Factorizace:
.
Pokud je diskriminační záporný, pak čtvercová rovnice (1) má dva komplexně konjugované kořen:
;
.
Zde - imaginární jednotka;
A - skutečné a imaginární části kořenů:
; .
Pak

.

Grafický interpretace

Pokud staví funkce plánu
,
Což je parabola, pak bod průsečíku grafu s osou bude kořeny rovnice
.
Když plán překročí osu ASSCISSA (osa) ve dvou bodech.
Kdy se graf týká osy abscisy na jednom místě.
Kdy harmonogram neprokázal osu abscisy.

Níže jsou uvedeny příklady těchto grafů.

Užitečné vzorce spojené s čtvercovou rovnicí

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Výstup vzorce pro kořeny čtvercové rovnice

Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (F.1) a (F.3):




,
Kde
; .

Takže máme vzorec pro polynom druhého stupně ve formě:
.
Odtud lze vidět, že rovnice

provedeno
a.
To znamená, že kořeny čtvercové rovnice jsou kořeny
.

Příklady stanovení kořenů čtvercové rovnice

Příklad 1.

(1.1) .

Rozhodnutí

.
Porovnání s naší rovnicí (1.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je pozitivní, rovnice má dva platný kořen:
;
;
.

Odtud dostaneme rozklad náměstí tři sázky na multicích:

.

Funkce plánu y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Překračuje osu abscisy ve dvou bodech.

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Ona umístí osu abscisy (osa) ve dvou bodech:
a.
Tyto body jsou kořeny počáteční rovnice (1.1).

Odpovědět

;
;
.

Příklad 2.

Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(2.1) .

Rozhodnutí

Čtvercová rovnice píšeme obecně:
.
Porovnání s počáteční rovnicí (2.1) nalezneme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Vzhledem k tomu, že diskriminační je nula, rovnice má dva více (stejné) kořen:
;
.

Pak má rozklad tří rozhodnutí o násobiteli formulář:
.

Funkční graf y \u003d x 2 - 4 x + 4 Požádá o osu abscisy na jednom místě.

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. Jedná se o osu abscisy (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem počáteční rovnice (2.1). Vzhledem k tomu, že tento kořen vstupuje do rozšíření multiplikátorů dvakrát:
,
Že takový kořen se nazývá násobek. To znamená, že je věřil, že existují dvě stejné kořeny:
.

Odpovědět

;
.

Příklad 3.

Najděte kořeny čtvercové rovnice:
(3.1) .

Rozhodnutí

Čtvercová rovnice píšeme obecně:
(1) .
Počáteční rovnice přepíšeme (3.1):
.
Porovnejte C (1), najdeme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Diskriminační je negativní. Proto neexistují žádné platné kořeny.

Můžete najít komplexní kořeny:
;
;
.

Pak


.

Funkční graf nepřesáhne osu abscisy. Neexistují žádné platné kořeny.

Stavíme plán funkcí
.
Harmonogram této funkce je parabola. To neprokázalo osu abscisy (osa). Proto neexistují žádné platné kořeny.

Odpovědět

Neexistují žádné platné kořeny. Řoby jsou integrovány:
;
;
.

S tímto matematickým programem můžete Řešit náměstí rovnice.

Program nejenže dává úkol odpovědi, ale také zobrazuje proces řešení dvěma způsoby:
- S pomocí diskriminačního
- pomocí Vietské věty (pokud je to možné).

Kromě toho je odpověď na výstup přesný, ne přibližná.
Například pro rovnici (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0) je odpověď na výstup v tomto formuláři:

$$ X_1 \u003d Frac (8+ SQRT (145)) (81), quad x_2 \u003d Frac (8-1 SQRT (145)) (81) $$ a ne v tomto: (x_1 \u003d 0.247 quad x_2 \u003d -0,05 \\ t

Tento program může být užitečný pro studenty středních škol v přípravě Řídicí práce a zkoušky při kontrole znalostí před zkouškou rodiče kontrolují řešení mnoha problémů v matematice a algebře. Nebo možná jste příliš drahý pronajmout učitele nebo koupit nové učebnice? Nebo chcete jen udělat co nejdříve domácí práce v matematice nebo algebře? V tomto případě můžete také použít naše programy s podrobným řešením.

Můžete tedy provádět své vlastní školení a / nebo školení mladších bratrů nebo sestrů, zatímco úroveň vzdělání v oblasti řešených úkolů se zvyšuje.

Pokud nejste obeznámeni s pravidly vstupu na čtvercový polynom, doporučujeme se s nimi seznámit.

Čtvercové polynomiální vstupní pravidla

Jako proměnná může být latinský dopis.
Například: (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q) atd.

Čísla mohou zadat celé nebo zlomkové.
Kromě toho mohou být frakční čísla podávána nejen ve formě desetinných míst, ale také ve formě běžné frakce.

Pravidla pro zadávání desetinných frakcí.
V desetinných frakcích může být zlomková část celku oddělena jako bod a čárka.
Můžete například zadat desetinné zlomky Takže: 2,5x - 3,5x ^ 2

Pravidla pro zadávání běžných frakcí.
Pouze celé číslo může působit jako numerátor, jmenovatel a celou část zlomku.

Novominátor nemůže být negativní.

Při zadávání číselné frakce se numerátor odděluje od jmenovce na štěpení: /
Celá část je oddělena od znamení FRARATY AMPERSAND: &
Vstup: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Výsledek: (3 frac (1) (1) (3) - 5 frac (6) (5) z + frac (1) (7) z ^ 2 \\ t

Při vstupu do výrazu můžete použít závorky. V tomto případě při řešení čtvercové rovnice je zadaný výraz nejprve zjednodušen.
Například: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 & 1/2)

=0

Rozhodni se

Je zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto úkolu nejsou načteny a program nemusí fungovat.
Můžete mít Adblock v ceně.
V tomto případě jej odpojte a aktualizujte stránku.

Ve svém prohlížeči máte JavaScript.
Chcete-li provést řešení, musíte povolit JavaScript.
Zde jsou pokyny, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.

Protože Přál si vyřešit úkol je velmi, váš požadavek je v souladu.
Po několika sekundách se řešení zobrazí níže.
Prosím, čekejte Sec ...

jestli ty všiml si chybu při řešeníMůžete o tom napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte, jaký úkol Rozhodnete se a co zadejte do pole.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Čtvercová rovnice a její kořeny. Neúplné čtvercové rovnice

Každý z rovnic
(- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- frac (4) (9) \u003d 0)
Má vzhled
(Sekera ^ 2 + bx + c \u003d 0,)
kde x je variabilní, a, b a c - čísla.
V první rovnici A \u003d -1, b \u003d 6 a C \u003d 1,4, v druhé a \u003d 8, B \u003d -7 a C \u003d 0, ve třetím A \u003d 1, B \u003d 0 a C \u003d 4/9. Takové rovnice se nazývají čtvercové rovnice.

Definice.
Čtvercová rovnice Rovnice tvarové sekery 2 + BX + C \u003d 0, kde X je proměnná, A, B a C jsou některá čísla a (a neq 0).

Čísla A, B a C jsou koeficienty čtvercové rovnice. Číslo A se nazývá první koeficient, počet B je druhý koeficient a číslo C - volný člen.

V každém z rovnic Forma AX 2 + BX + C \u003d 0, kde \\ (NEQ 0), největší stupeň proměnné X - náměstí. Proto název: čtvercová rovnice.

Všimněte si, že čtvercová rovnice se také nazývá rovnice druhého stupně, protože jeho levá část má druhý stupeň polynom.

Čtvercová rovnice, ve které je koeficient u x 2 1, nazvaný daná čtvercová rovnice. Například dané čtvercové rovnice jsou rovnice
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0)

Pokud v čtvercové rovnici sekeru 2 + BX + C \u003d 0, alespoň jeden z koeficientů B nebo C je nulová, pak se taková rovnice nazývá neúplná čtvercová rovnice. Takové rovnice -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 jsou neúplné čtvercové rovnice. V první z nich b \u003d 0, ve druhém c \u003d 0, ve třetím b \u003d 0 a c \u003d 0.

Neúplné čtvercové rovnice jsou tři druhy:
1) AX 2 + C \u003d 0, kde (C Neq 0);
2) AX 2 + BX \u003d 0, kde (B NEQ 0);
3) Ax 2 \u003d 0.

Zvažte řešení rovnic každého z těchto druhů.

Pro vyřešení neúplné čtvercové rovnice formuláře AX 2 + C \u003d 0, s (C Neq 0), je přenesen do svého volného členu do pravé strany a provést obě části rovnice na:
(x ^ 2 \u003d - FRAC (C) (a) Lightarrow X_ (1,2) \u003d \\ SQRT (- Frac (C) (a)) \\ t

Od (C Neq 0), pak (- frac (c) (a) neq 0)

Pokud (- frac (c) (a)\u003e 0) má rovnice dva kořeny.

Pokud (- frac (c) (a), pro vyřešení neúplné čtvercové rovnice formuláře sekeru 2 + bx \u003d 0, s (b \\)), odmítnou levou část multiplikátorům a získat rovnici
(X (AX + B) \u003d 0 Lightarrow Levá (Začátek (pole) (L) X \u003d 0 Ax + B \u003d 0 End (Array) \\ t (Array) (l) x \u003d 0 x \u003d - frac (b) (a) konec (array).

Nedokončená čtvercová rovnice tvaru AX 2 + bx \u003d 0 s (B Neq 0) má vždy dva kořeny.

Neúplná čtvercová rovnice formuláře AX 2 \u003d 0 je ekvivalentní rovnici X \u003d 0, a proto má jediný kořen 0.

Square rovnice kořen vzorec

Zvažte, jak se čtvercové rovnice řeší, ve kterých se obě koeficienty s neznámým a volným členem liší od nuly.

Spest Square Comquation obecně a v důsledku toho získáme kořenový vzorec. Pak může být tento vzorec použit při řešení čtvercové rovnice.

Resister Square Equation Ax 2 + BX + C \u003d 0

Oddělení obou částí na A, získáme ekvivalent prezentované čtvercové rovnice
(x ^ 2 + frac (b) (a) x + frac (c) (a) \u003d 0)

Tuto rovnici transformují, zdůrazňujeme náměstí odrazeného:
(x ^ 2 + 2x cdot frac (b) (2A) + vlevo (frac (b) (2a) vpravo) ^ 2- levic (frac (b) (2A) vpravo) ^ 2 + FRAC (C) (A) \u003d 0 Lightarrow \\ t

(x ^ 2 + 2x cdot frac (b) (2A) + vlevo (frac (b) (2a) vpravo) ^ 2 \u003d vlevo (frac (b) (2A) vpravo) ^ 2 - FRAC (C) (a) Lightarrow) (vlevo (X + Frac (B) (2a) vpravo) ^ 2 \u003d FRAC (B ^ 2) (4A ^ 2) - Frac (C) (A) LeferArrow vlevo (X + Frac (B) (2A) vpravo) ^ 2 \u003d Frac (B ^ 2-4AC) (4A ^ 2) Lightarrow) (x + \\ t Frac (b) (2a) \u003d PM b ^ 2 -4Ac)) (2a) \\ lightarrow \\ (x \u003d frac (-b pm \\ SQRT (b ^ 2-4AC)) (2a) \\ t

Ředitelný výraz se nazývá diskriminační čtvercová rovnice Ax 2 + BX + C \u003d 0 ("Diskriminační" v latině je distintor). To je označeno písmenem D, tj.
(D \u003d b ^ 2-4AC)

Nyní, pomocí označení diskriminace, přepište vzorec pro kořeny čtvercové rovnice:
(X_ (1,2) \u003d frac (-b pm sqrt (d)) (2a)), kde \\ (d \u003d b ^ 2-4AC)

Je zřejmé, že:
1) Pokud d\u003e 0, čtvercová rovnice má dva kořeny.
2) Pokud d \u003d 0, čtvercová rovnice má jeden kořen (x \u003d - frac (b) (2A)).
3) Pokud D je tedy v závislosti na diskriminační hodnotě, čtvercová rovnice může mít dva kořeny (s d\u003e 0), jeden kořen (při d \u003d 0) nebo nemají kořeny (s d při řešení čtvercové rovnice Tento vzorec je vhodné aplikovat na následující způsob:
1) Vypočítejte diskriminaci a porovnejte ji s nulou;
2) Pokud je diskriminační kladný nebo rovný nule, pak použijte kořenový vzorec, pokud je diskriminační záporný, pak zapište kořeny.

Vieta teorém

Předkládaná čtvercová rovnice sekera 2 -7x + 10 \u003d 0 má kořeny 2 a 5. Množství kořenů je 7, a produkt je 10. Vidíme, že množství kořenů se rovná druhému koeficientu, který je odvzán proti sobě znamení a produkt kořenů se rovná volnému členu. Taková vlastnost má danou čtvercovou rovnici s kořenem.

Součet kořenů prezentované čtvercové rovnice se rovná druhému koeficientu odebranému s opačným označením a produkt kořenů se rovná volnému členu.

Ty. Většina Vieta tvrdí, že kořeny X 1 a X 2 dané čtvercové rovnice X 2 + PX + Q \u003d 0 mají vlastnost:
(vlevo (začít (pole) (L) x_1 + x_2 \u003d -p x_1 cdot x_2 \u003d q end (array).

Čtvercová rovnice - to je prostě vyřešeno! * Další v textu "ku".Přátelé se zdánlivě mohly být jednodušší v matematice než řešení takové rovnice. Ale něco mi navrhl, že mnozí mají s ním problémy. Rozhodl jsem se zjistit, kolik zobrazení na vyžádání za měsíc dává YanDex. To se stalo, viz:

Co to znamená? To znamená, že tyto informace hledají asi 70 000 lidí za měsíc, co je letos v létě, a co bude mezi nimi školní rok - Žádosti budou dvakrát tolik. Není to překvapující, protože ti kluci a dívky, kteří dlouho absolvovali školu a připravují se na zkoušku, hledají tyto informace a školáci se snaží aktualizovat v paměti.

Navzdory skutečnosti, že existuje mnoho míst, kde je popsáno, jak vyřešit tuto rovnici, rozhodl jsem se, aby můj příspěvek a zveřejnit materiál. Za prvé, chci přijít na mé stránky pro tento požadavek a návštěvníci přišli na mé stránky; Za druhé, v jiných článcích, kdy řeč "KU" podá odkaz na tento článek; Za třetí, řeknu vám o jeho rozhodnutí o něco více než obvykle stanoví na jiných stránkách. Baister!Obsah článku:

Čtvercová rovnice je rovnicem formuláře:

kde koeficienty ab. A s libovolnými čísly s něčím ≠ 0.

Ve školním průběhu je materiál uveden v následujícím formuláři - Separace rovnic na tři třídy se podmíněná:

1. Mít dva kořeny.

2. * Existuje pouze jeden kořen.

3. Nemáte kořeny. Stojí za zmínku, že nemají platné kořeny

Jak se počítají kořeny? Jednoduše!

Vypočítat diskriminaci. Podle tohoto "hrozného" slova leží poměrně jednoduchý vzorec:

Kořenové vzorce mají následující formulář:

* Tyto vzorce potřebují vědět srdcem.

Můžete okamžitě psát a rozhodnout:

Příklad:

1. Pokud d\u003e 0, rovnice má dva kořeny.

2. Pokud d \u003d 0, má rovnice jeden kořen.

3. Pokud D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Podívejme se na rovnici:

Při této příležitosti, kdy je diskriminační nulová, ve školním kurzu se říká, že jeden kořen se ukáže, zde se jedná o devět. To je pravda a tam je, ale ...

Tento pohled je poněkud nesprávný. Ve skutečnosti se získají dva kořeny. Ano, nejsou překvapeni, jsou získány dvě rovné kořeny, a pokud jste matematicky přesní, pak by měli být v odpovědi zaznamenány dva kořeny:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ale to je tak mírné ústup. Ve škole může psát a říkat, že kořen je jeden.

Nyní je následující příklad:

Jak víme - kořen negativních čísel není odstraněn, takže v tomto případě neexistují řešení.

To je celý proces řešení.

Kvadratická funkce.

Zde je ukázáno, jak roztok vypadá geometricky. Je nesmírně důležité porozumět (v budoucnu, v jednom z článků, budeme podrobně rozebírat řešení čtvercové nerovnosti).

Toto je funkce formuláře:

kde x a y jsou proměnné

a, B, C - nastavená čísla, s tím, co ≠ 0

Plán je parabola:

To znamená, že se ukázalo, že rozhodování o čtvercové rovnici při "Y" rovná nule najdeme bod průsečíku paraboly s osou oh. Tyto body mohou být dva (diskriminační pozitivní), jeden (diskriminační je nula) a ne jediný (negativní diskriminační). Detail o. kvadratická funkce můžete si prohlédnout Článek Inna Feldman.

Zvážit příklady:

Příklad 1: Řešení 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d b. 2 -4Ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Odpověď: X 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Bylo možné okamžitě vlevo a právo na rovnici rozdělit 2, to znamená, že je zjednodušit. Výpočty budou jednodušší.

Příklad 2: Rozhodni se x 2.–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Získané, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V reakci je přípustné psát X \u003d 11.

Odpověď: X \u003d 11

Příklad 3: Rozhodni se x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B2 -4AC \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Diskriminační je negativní, neexistují žádná řešení v platných číslech.

Odpověď: Žádná řešení

Diskriminační je negativní. Řešení je!

Zde bude diskutováno o řešení rovnice v případě, kdy se získá negativní diskriminační diskriminační. Víte něco o integrovaných číslech? V podrobnostím nebudu mluvit o tom, proč a kde vznikly a jaká je jejich specifická role a potřeba matematiky je tématem pro velký samostatný článek.

Koncept komplexního čísla.

Trochu teorie.

Komplexní číslo Z volaného počtu druhů

z \u003d a + bi

kde A a B jsou platná čísla, i - tzv. Imaginární jednotka.

a + BI. - Toto je jediné číslo, nikoli navíc.

Imaginární jednotka se rovná kořenem minus jednotek:

Nyní zvažte rovnici:

Dostal dva konjugované kořeny.

Neúplná čtvercová rovnice.

Zvažte soukromé případy, je to, když je koeficient "B" nebo "C" nulový (nebo oba jsou nulové). Jsou vyřešeny snadno bez diskriminantů.

Případ 1. Koeficient B \u003d 0.

Rovnice získává formulář:

Transformujeme:

Příklad:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Případ 2. c \u003d 0 koeficient.

Rovnice získává formulář:

Transformujeme, stanovíme na násobiteli:

* Práce je nula, když alespoň jeden z násobičů je nula.

Příklad:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 nebo x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Případ 3. Koeficienty b \u003d 0 a c \u003d 0.

Je zřejmé, že řešení rovnice bude vždy x \u003d 0.

Užitečné vlastnosti a vzorce koeficientů.

Existují vlastnosti, které umožňují řešení rovnic s velkými koeficienty.

alex. 2 + bx.+ c.=0 Rovnost se provádí

a. + b. + C \u003d 0,že

- pokud pro koeficienty rovnice alex. 2 + bx.+ c.=0 Rovnost se provádí

a. + C \u003d.b., že

Tyto vlastnosti pomáhají vyřešit určitý typ rovnice.

Příklad 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Součet koeficientů je 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, to znamená

Příklad 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Rovnost se provádí a. + C \u003d.b., Tak

Zákony koeficientů.

1. Pokud je v AX 2 + BX + C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" se rovná (2 + 1) a koeficient "C" je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d -A x 2 \u003d -1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Pokud je v AX 2 - BX + C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" je roven (a 2 +1) a koeficient "C" je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 - (A 2 +1) ∙ X + A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Pokud je v rovniciaX 2 + BX - C \u003d 0 Koeficient "B" rovnocenný (a 2 - 1) a koeficient "C" numericky se rovná koeficientu "A", pak jsou jeho kořeny stejné

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Pokud je v AX 2 - BX-C \u003d 0 rovnici, koeficient "B" se rovná (2 - 1) a koeficient je numericky roven koeficientu "A", jeho kořeny jsou stejné

aX 2 - (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d A X 2 \u003d - 1 / A.

Příklad. Zvažte rovnici 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teorém.

Většina Vieta se nazývá jménem slavné francouzské matematiky Francois Vieta. Pomocí Vieta teorém můžete vyjádřit částku a produkt kořenů libovolného KU prostřednictvím svých koeficientů.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Číslo 14 je uvedeno pouze 5 a 9. Jedná se o kořeny. S určitou dovedností, pomocí teorém reprezentované mnoha čtvercovými rovnicmi se můžete rozhodnout, zda přijde ústně.

Vieta teorém, kromě toho. Je to vhodné, protože po řešení čtvercové rovnice obvyklým způsobem (prostřednictvím diskriminace) mohou být získané kořeny zkontrolovány. Doporučuji to udělat vždy.

Metoda projít

V této metodě je koeficient "A" vynásoben volným členem, jako by k němu "pohybuje", takže se nazývá způsob "tranzitu".Tato metoda se používá, když můžete snadno najít kořeny rovnice pomocí Vieta teorém a co je nejdůležitější, když diskriminační je přesný čtverec.

Pokud ale± b + C.≠ 0, pak se recepce použije například:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Většinou Vietou v rovnici (2) je snadné zjistit, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané kořeny rovnice musí být rozděleny do 2 (jako dvakrát z x 2 "byl přemístěn), získáme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Jaké je ospravedlnění? Podívejte se, co se stane.

Diskriminační rovnice (1) a (2) jsou stejné:

Pokud se podíváte na kořeny rovnic, získáte pouze různé jmenovatele, a výsledek závisí na koeficientu při X 2:

Druhé (upravené) kořeny se získají 2krát více.

Proto výsledek a dělení o 2.

* Pokud hodíme výlet, pak je výsledek oddělen 3 atd.

Odpověď: X 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Sq. Ur-ye a eGE.

Stručně řečím o jeho významu - měli byste být schopni rychle a bez přemýšlení, vzorce kořenů a diskriminantů, které potřebujete vědět srdcem. Velmi mnoho úkolů zařazených do úkolů použití se sníží na řešení čtvercové rovnice (geometrické včetně).

Co na oslavu!

1. Forma záznamu rovnice může být "implicitní". Tento záznam je například možné:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 nebo 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 nebo 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Musíte ho přivést do standardní formy (tak, aby se nedostal zmatený při řešení).

2. Nezapomeňte, že X je neznámá hodnota a může být indikována jakýmkoliv jiným písmenem - T, Q, P, H a dalšími.

"To znamená, že rovnice prvního stupně. V této lekci budeme analyzovat co se nazývá čtvercová rovnice A jak to vyřešit.

Co se nazývá čtvercová rovnice

Důležité!

Stupeň rovnice je určena největším rozsahem, ve kterém je neznámý.

Pokud je maximální stupeň, ve kterém je neznámo "2", znamená to, že jste čtvercová rovnice.

Příklady čtvercových rovnic

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Důležité! Obecný pohled na čtvercovou rovnici vypadá takto:

A x 2 + b x + c \u003d 0

"A", "b" a "c" - zadaná čísla.

• "A" je první nebo vyšší koeficient;
• "B" - druhý koeficient;
• "C" je volný člen.

Chcete-li najít "A", "B" a "C", musíte porovnat vaši rovnici s běžným pohledem na čtvercovou rovnici "AX 2 + BX + C \u003d 0".

Pojďme se postarat o určování koeficientů "A", "B" a "C" v čtvercových rovnicích.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + x +

Rovnice	Faktory
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13. c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25.
• c \u003d 0.

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Jak řešit náměstí rovnice

Na rozdíl od lineárních rovnic pro řešení čtvercových rovnic, speciální vzorec pro nalezení kořenů.

Pamatovat si!

Chcete-li vyřešit čtvercovou rovnici, kterou potřebujete:

• vytvořit čtvercovou rovnici obecný pohled "Ax 2 + bx + c \u003d 0". To znamená, že v pravé části by mělo zůstat pouze "0";
• použijte kořenový vzorec:

Pojďme analyzovat na příklad, jak aplikovat vzorec pro nalezení kořenů čtvercové rovnice. Nechte čtvercovou rovnici.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Rovnice "X 2 - 3x - 4 \u003d 0" je již dána celkovým vzhledem "AX 2 + BX + C \u003d 0" a nevyžaduje další zjednodušení. Chcete-li to vyřešit, máme dost vzorec hledání kořenů čtvercové rovnice.

Definujeme koeficienty "A", "B" a "C" pro tuto rovnici.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

S ním je vyřešena jakákoliv čtvercová rovnice.

Ve vzorci "X 1; 2 \u003d" často vyměňují vedený výraz
"B 2 - 4AC" na písmeno "D" a nazývá se diskriminační. Koncepce diskriminace je podrobněji považován za lekci "Co je diskriminační".

Zvažte další příklad čtvercové rovnice.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

V tomto formuláři určete koeficienty "A", "B" a "C" je poměrně obtížné. Nejprve uveďte rovnici do obecného typu "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
X 2 + 9 + X - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Nyní můžete použít kořenový vzorec.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
X \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Odpověď: X \u003d 3

Existují případy, kdy nejsou žádné kořeny v čtvercových rovnicích. Tato situace nastane, když je záporné číslo pod kořenem.