Mezní cyklus. Mezní mezní cyklus cyklu Příklad Zvažte systém kruhu
Nechte nějaký dynamický systém nastavit řešení tohoto systému s rovnicemi t → ∞. Ne vždy specifikován stavem rovnováhy. Například pod podmínkou získání imaginárních kořenů odpovídající charakteristické rovnice je chování systému charakterizováno jako nešťastné oscilace s konstantní amplitudou, to znamená, že roztok jsou funkce x (t + t) \u003d x (t), y (t + t) \u003d y (t). V tomto případě říkají, že v systému je systém stabilní mezní cyklus. Typický obraz chování řešení v sousedství mezního cyklu je uveden na Obr. jeden 
Obrázek 1 - Udržitelné limitní fáze cyklu trajektorie zevnitř i vně "rány" do cyklu. Bez ohledu na zdrojová data v systému, oscilace s trvalou amplitudou a frekvencí - tzv. autocalbania..
Typy mezních cyklů:
- Udržitelné - zavřít trajektorie "navigovat" do cyklu s t → ∞. (Obr. 2);
- Polo-rezistentní trajektorie umístěné na jedné straně cyklu - "navigovat" na něm t → ∞.a ty, které jsou na druhé straně - "odjíždí" z cyklu (obr. 3);
- Nestabilní - zavřená trajektorie "odchýlit se" od cyklu, kdy t → ∞. (Obr. 4).
Obr. 2 - udržitelné cykly. Obr. 3 - Semi-odolný. Obr. 4 - Nestabilní Bohužel, generalizovaný efektivní metody Stanovení stability mezních cyklů neexistuje. Jeden z nich je založen na použití imitace funkce. Imitace funkce
Myšlenka konstrukce imitace funkce je následující. Ray se provádí, což jasně překročí mezní cyklus a těsně trajektory. Například budeme trávit paprsek Oa.vyzařující ze zvláštního bodu Okterý leží uvnitř mezního cyklu (obr. 5). Představujeme souřadnici r. Podél tohoto paprska. Zvažte trajektorii opouštějící bod ALEpatřící k paprsku. Nechte tuto trajektorii nejprve kříží paprskem v bodě V. Zavedeme funkci r b \u003d f (r a)který je každý bod s souřadnicem r A. Dodržuje souřadnici V. Nech být r N. - souřadnice n.-Ho křižovatka trajektorie s paprskem. Pak r n + 1 \u003d f (r n)a mezní cyklus odpovídá pevnému bodu tohoto mapování r * \u003d f (r *). Pokud r n → r * pro všechny r I.patřící do sousedství r *Mezní cyklus bude stabilní.
Obrázek 5 - Budování imitace Funkce Myšlenka konstrukce imitace funkce byla velmi plodná pro studium nelineárních systémů, zejména nejvyššího řádu (rozměr fázového prostoru N\u003e 2.). Zobecnění popsaného přístupu se nazývá metoda sekcí Poincare. Současně se stěhování do systémů s velkým počtem měření namísto paprsku Oa. Mělo by být zváženo některé hyperplane. Například v trojrozměrném případě zvažte body P0, p1, p2, ..., рn Jako průřez trajektorie s rovinou S. (Obr. 6). Transformace, která přeložit bod k dalšímu, je volána displej Poinciare.:
P n + 1 \u003d t (p n)
Obrázek 6 - Schematický obraz sekce Poincaré, Metoda Poincare Cross Section zjednodušuje studie nepřetržitých dynamických systémů nejméně tři důvody: - Počet fázových proměnných snižuje za jednotku;
- Diferenciální rovnice jsou nahrazeny rozdílovými rovnicmi druhy x i (k + 1) \u003d f (x i (k)), i \u003d 1,2, ..., n, které jsou mnohem snazší výzkum;
- Množství údajů, které mají být zpracovány, prudce klesá, protože téměř všechny body na trajektorii lze zanedbávat.
Po zvážení rovnovážných stavů se obrátíme na periodické pohyby, které, jak víme, může dojít v systémech popsaných v rovnicích
Pokud nejmenší číslopro které vůbec
pohyb se nazývá periodický pohyb s obdobím Jak víme, periodický pohyb odpovídá uzavřené fázi trajektorii na fázové rovině X, Y a zpět: Každá uzavřená trajektorie odpovídá nespočetným periodickým pohybům, které se od sebe liší volbou počátku počítání času. Uzavřené fázové trajektorie jsme se již setkali při zvažování konzervativních systémů, kde vždy tvořily úplně kontinuální trajektorie vložené do sebe (například trajektorie kolem zvláštního bodu typu středu). V příkladech auto-oscilačních systémů zvažovaných USA (generátor s charakteristikami, hodiny; viz CH. III, §§ 3-5) Periodický pohyb na fázové rovině odpovídal izolované uzavřené křivce, ke které se blíží sousední trajektorie ( S nárůstem zvyšujících se spirál. Takové izolované uzavřené trajektorie jsou název mezních cyklů. Jednoduché příklady umožňují ujistit se, že druhy (5.1) systémy s analytickými pravými částmi, obecně řečeno, umožňují mezní cykly jako trajektorie.
Zavoláme limitní cyklus stabilní, pokud je taková plocha na fázové rovině obsahující tento mezní cyklus, sousedství, že všechny fázové trajektorie, počínaje okolním oblastem asymptoticky, se blíží k meznímu cyklu.
Pokud je naopak alespoň jedna trajektorie fáze v lyomu, alespoň jedna trajektorie fází, která se blíží k meznímu cyklu, se nazývá nestabilní. Pro ilustraci toho, co bylo řečeno na Obr. 240 znázorňuje stálý mezní cyklus a na Obr. 241 a 242 - nestabilní mezní cykly. Všimněte si, že nestabilní cykly podobné těm, které jsou znázorněny na Obr. 242, tak, že se k nim blíží všechna trajektorie na jedné straně (například venku) a na druhé straně (například zevnitř) jsou z nich odstraněny s někdy nazývaný "semi-rezistentní" nebo dvojité (poslední Jméno je způsobeno skutečností, že obvykle takové cykly s vhodnými změnami v systémovém parametru jsou rozděleny do dvou, z nichž jeden je stabilní a druhý je nestabilní).
Spolu se stabilitou mezního cyklu jako trajektorie, jejichž definice byla právě dána (je často označována jako odolnost proti oběžné dráze), můžeme mluvit o stabilitě ve smyslu
Lyapunov periodický pohyb odpovídající meznímu cyklu. Je to přesně periodická pohybová doba, takže se nazývá stabilní ve smyslu lyapunov, pokud pro každou specifikovanou pozitivu může najít takové pozitivní 8, které pro jakýkoli jiný pohyb uspokojivých podmínek
jsou prováděny nerovnosti:
pro více nižší, použijeme především koncept stability orbity limitu.
Stabilita mezního cyklu (stejně jako stabilita ve smyslu lyapunovových odpovídajících periodických pohybů) je stanovena znakem "charakteristických ukazatelů
pokud jakékoli periodické řešení odpovídající zváženému meznímu cyklu a rozhodovacím období. Předpokládá se, že mezní cyklus je stabilní a nestabilní (hodnota odpovídá stabilním i nestabilním mezním cyklům).
Studovat stabilitu periodického pohybu ve smyslu lyapunovů, jak je ukázáno Lyapunovem, následovat cestu linearizace rovnic, stejně jako jsme to udělali při studiu stability rovnovážných stavů. Pokud tyto výrazy uvádíme do rovnic (5.1), rozkládáme správné části těchto rovnic - funguje v řadách ve stupních a zlikvidujeme nelineární členy, pak získáme lineární rovnice ("rovnice první aproximace") pro souřadnice "Rozhořčení" a:
Jedná se o systém lineárních diferenciálních rovnic s periodickými periodickými koeficienty (pro podstatu funkce z periodických funkcí času s obdobím Obecný formulář Její rozhodnutí jsou:
kde - Některé periodické funkce (s obdobím ukazatelů, které se nazývají "charakteristické ukazatele" závisí na povaze řešení pro a přesně, znamení jejich skutečných částí určují, zda tato řešení zvyšují nebo rozpadají.
V souvislosti s problematikou (v důsledku autonomie počátečního systému rovnic (5.1)) je jedna z charakteristických ukazatelů nulová, a druhý se rovná znaménku tohoto ukazatele určuje, zda je pohyb stabilní, je to: Periodické hnutí je stabilní ve smyslu lyapunov (i když není absolutně, protože poruchy fáze nemá fade), pokud je nestabilní, pokud by se rovnice první aproximace nevyřeší otázku stability periodického pohybu.
Před přechodem k důkazem formulovaného stavu pro stabilitu mezního cyklu se zaměříme, běží na některé body trochu dopředu, na základní otázce o fyzické interpretaci izolovaných uzavřených trajektorií - mezních cyklů.
Pokud požadujeme, aby v reálných fyzických systémech, kvalitativní povaha možných pohybů zůstane s libovolnými malými změnami v samotných systémech (v jazyce matematiky - s libovolnými malými změnami v pravých částech systému (5.1)), jak budeme Viz v budoucnu zakazujeme neinstalované uzavřené křivky. V systémech, které splňují tento požadavek udržitelnosti kvalitativní povahy pohybů při nízkých změnách v dynamickém systému, mohou být pouze izolované uzavřené trajektorie (pouze mezní cykly) a přesněji s charakteristikou Indikátor odlišný od nuly (tedy oběžné dráhy Stabilita mezního cyklu znamená stabilitu lyapunov všechny odpovídající periodické pohyby).
Z fyzického hlediska je zajímavá následující poznámka, která může být provedena ohledně pohybů zobrazených stabilním mezním cyklem. Je nutné, aby bylo možné říci, že pro takové pohyby nezávisí na počátečních podmínkách v tom smyslu, že všechny sousední hnutí (odpovídající celé oblasti počátečních hodnot - tzv. Oblasti udržitelnosti ve velkém) jsou asymptoticky blíží k periodickému pohybu mezním cyklem, který má určitá doba a určitá "amplituda".
Výše uvedené vlastnosti periodických pohybů zobrazených mezních cyklů s negativními charakteristickými ukazateli: a) stabilita s ohledem na malé změny v samotném systému; b) Nezávislost (ve stanoveném smyslu) období a "amplitudy" z počátečních podmínek - představuje charakteristickým znakem skutečných auto-oscilujících procesů.
Specifická studie rovnic formuláři (5.1), která se musela vypořádat v různých případech samosvětlení, také ukázala na řadě příkladů, které jsou v případě, že rovnice (5.1) odrážejí zákony pohybu reálného auto-oscilace
systémy, pak nutně mají mezní cykly s negativním charakteristickým ukazatelem a že tyto mezní cykly jsou ve skutečnosti zobrazeny stacionární periodické procesy.
Odtud učiníme takový závěr: skutečné auto-oscilující procesy, které jsou instalovány v systémech, jsou dostatečně přesně zobrazeny rovnicemi (5.1), matematicky odpovídají mezním cyklům s negativním znakem charakteristiky. Přítomnost těchto mezních cyklů ve fázovém portrétu dynamického systému zvažovaného systému je nezbytná a dostatečná podmínka pro možnost (za správných počátečních podmínek) existence self-oscilací v systému, tj. Systém byl auto-oscilující.
Nestabilní mezní cyklus, který má pozitivní charakteristický ukazatel, může být samozřejmě také obsažen ve fázovém portrétu "hrubých" systémů. Takový limitní cyklus však neodpovídá skutečnému periodickému procesu; On hraje pouze roli "Watershed", na obou stranách, z nichž mají trajektorie jiné chování. Je jasné, že tato okolnost má také významný fyzický zájem. Například přítomnost nestabilního cyklu poskytuje vysvětlení tzv. "Hard" režimu, ve kterém malé počáteční odchylky v systému jsou prdeli, a velké, naopak, růst.
Který nemá jiné periodické trajektorie. Ekvivalent je tvrzení, že jakákoliv trajektorie usiluje o mezní cyklus, který je buď v přímém nebo v opačném čase.
Modrá obloha katastrofa
Nicméně, na láhvi Klein nebo při zvažování komplexizovaných mezních cyklů je možná složitější bifurkace - tzv. katastrofa modrá obloha . Jmenovitě s touhou parametru k kritické hodnotě, délka (jedna!) Limitní cyklus začne zvyšovat, usilovat o nekonečno, a proto nebude pokračovat v okamžiku bifurkace.
Fyzický příklad: Van der pole oscilátor
- Van der Pol oscilátor v Scholaredia.
16. Hilbert Problém
Druhá část 16. problému Hilberta se týká možného množství a umístění mezních cyklů vektorových polí v letadle. Na rozdíl od první algebraické části, která vyžaduje popsat umístění oválů algebraické křivky, dokonce pro kvadratické vektorové pole, existence jednotného odhadu shora není známa počtu mezních cyklů.
viz také
- Hypotéza AnoSov.
Literatura
- A. B. Bruslení, B. Hasselblat Úvod do současné teorie dynamických systémů s přezkoumáním nejnovějších úspěchů / trans. z angličtiny Ed. A. S. Gorodetsky. - M.: MCNMO, 2005. - 464 p. - ISBN 5-94057-063-1
- Yu. S. Ilyashenko, dynamické systémy a filozofie komunity, m.: MCNMO, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
- Yu. Ilyashenko, Centennial Historie Hilberta 16. Problém, Bull. Amer. Matematika. Soc. 39 (2002), 301-354
Nadace Wikimedia. 2010.
- Omezte monokarboxylové kyseliny
- Vývoj předsedů
Sledujte, co je "limitní cyklus" v jiných slovnících:
Limitní cyklus - uzavřená izolovaná trajektorie ve fázovém prostoru dynamického. Systémy zobrazující pravidelné. provoz. V okolí P. c. Fáze trajektorie jsou buď odstraněny z ní (nestabilní p. c.), Nebo jsou neomezené blížící se k němu "Zranění" ... Fyzická encyklopedie
limitní cyklus - - - [Ya.n. Lulginsky, M.S.FESI Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Anglický ruský slovník pro elektrotechniku \u200b\u200ba elektrické energie průmysl, Moskva, 1999] Témata elektrických zařízení, základní pojmy en Limit Cyclelimiting Cycle ... Technický překladatel adresář.
Limitní cyklus - Systémy diferenciální rovnice druhé objednávky uzavřené trajektorie v xoy fázi prostoru, který má nemovitost, že všechny trajektorie, začínající v poměrně úzkém kruhovitém sousedství, neomezené ... ... Velká sovětská encyklopedie
Limitní cyklus - uzavřená trajektorie ve fázovém prostoru autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic, do ráje je limitní sada A nebo W (viz limitní sada trajektorie) alespoň pro jednu jinou trajektorii tohoto systému. P. C. Pojmenován ... Matematická encyklopedie
limitní cyklus - Ribinis Ciklas Status t Sritis Automatika AtitikMenys: Angl. Mezní cyklus Vok. Grenzschwingung, F; Grenzzyklus, M Rus. Mezní cyklus, M Pranci. Cycle Limite, M ... Automatikos Terminų Žodynas
Ekonomický slovník
omezte hystereze smyčky - mezní cyklus hystereze; Limit hystereze smyčka je nejvyšší v oblasti cyklu hystereze magnetického materiálu ... Polytechnický terminologický slovník
Při analýze hluku zaokrouhlení v digitálních filtrech se předpokládalo, že rozdíl mezi sousedními odpočítáváním vstupního signálu je ve srovnání s kvantovacím krokem velký. To umožňuje předpokládat, že počítání hluku zaokrouhlení je ne-ohroženo jak mezi sebou, tak s odkazy na vstupní sekvence. Je jasné, že v mnoha případech (například, pokud je vstupní signál konstantní nebo rovný nule) takový předpoklad je nespravedlivý.
Považovat za příklad rozdílové rovnice
a předpokládejme, že vstupní sekvence (tj. Vstup filtru je zakázána) a primární stav Má formu (hodnoty proměnné Y jsou vyjádřeny v jednotkách kvantovacího kroku Q, a proto nemohou být zlomkové.) V níže uvedené tabulce jsou porovnány přesné hodnoty vypočtené podle rovnice (5.122) bez použití zaokrouhlení, stejně jako hodnoty vyplývající z zaokrouhlení.
Přestože přesné hodnoty exponenciálně tendenci nulové, při použití zaokrouhlení, hodnota je "utažena" na úrovni rovnou 10 a dále nelze změnit. Použitý příklad ilustruje výskyt omezujícího cyklu účinku v rekurzivním digitálním filtru při nulovém vstupním signálu. Amplitude intervaly, ve kterých vznikají účinky mezního cyklu, Blackman nazvaný Dead zóny. Ve zvažovaném příkladu bude s každým použitím získat, že pokud. Interval je tedy mrtvá zóna.
Jackson prozkoumal mezní cykly v systémech prvního a druhého řádu, s použitím konceptu "Efektivní hodnoty" koeficientů filtru, tj. Vzhledem k tomu, že mezní cykly se vyskytují pouze tehdy, když zaokrouhlení skutečně vede k vzhledu pólů na jediné kruh. Takže pro systém popsaný rozdílovou rovnicí první objednávky
kde symbol označuje operaci zaokrouhlování k nejbližšímu celku, a s mrtvou zónou, ve které mohou existovat mezní cykly, je interval a na stejný celočíselný celočíselný záměr
(5.124)
Z výše uvedeného příkladu vyplývá, že s negativním a odpočítáváním na výstupu filtru v režimu mezního cyklu má trvalou amplitudu a znamení. Pokud, pak se počítá na výstupu v režimu mezního cyklu bude mít trvalou amplitudu, ale střídavé znamení. Pro všechny hodnoty v rámci mrtvé zóny je efektivní hodnota násobitele ± 1, tj. Rozdílová rovnice (5.123) tedy odpovídá účinnému pólu v bodě.
Pro druhý řádný systém popsaný rozdílovým rovnicí
mrtvá zóna, ve které mohou nastat účinky mezního cyklu, je interval, kde K je největší celé číslo uspokojující nerovnost
(5.126)
Vzorec (5.126) je podobný vzorci (5.124), ale také nahrazen. Při provádění vztahu (5.126) se póly filtru pravděpodobně spadají jeden kruh, tj. Efektivní hodnota rovnající se 1,0. (Všimli jsme si, že póly budou komplexně konjugát a filtr je stabilní.) Frekvence oscilací v režimu mezního cyklu je stanovena hlavně hodnotou, ale také závisí na tom, jak zaokrouhlení ovlivňuje velikost práce ve vzorci (5.125).
Ze vzorce (5.126) vyplývá, že nejmenší hodnota, ve které je vytvořena dvojice účinných komplexních konjugovaných pólů, je 0,5. V tomto případě se další hodnota, pro kterou se účinky mezního cyklu vyskytují s větší hodnotou K, rovná 0,75. V tomto případě nebo 2. S libovolnou hodnotou existuje pouze konečný počet intervalů hodnot, ve kterých může dojít k různým účinkům mezních cyklů. Odpovídající prostory v rovině pro jednotku druhé objednávky popsané rovnicí (5.125) jsou znázorněny na OBR. 5.42. Oblast, ve které se limitní cykly nevyskytují se vylíhnutím. Horizontální čáry odpovídají minimálním hodnotám, ve kterých dochází ke změnám režimu v mrtvé zóně. Čísla uvnitř každého z oblastí označují maximální hodnotu amplitudy oscilací v režimu mezního cyklu, možná v této oblasti roviny.
Obr. 5.42. Závislost amplitudy oscilací mezního cyklu z koeficientů filtru (Jacksonem).
Mezní cykly vyplývající z budou projednány níže.
Byly analyzovány účinky omezujícího cyklu ve druhém pořadí bloků, což odpovídá vzniku dvojice účinných komplexních konjugovaných pólů. Mezní cykly v takových blokech mohou existovat, když se v bodě Z \u003d ± 1 objeví skutečný účinný pól. V tomto případě je podmínka pro vznik mezního cyklu s výstupní amplitudou rovnou následující rovnosti:
Pro různé hodnoty není obtížné určit polohu oblastí v rovině, ve které je podmínka splněna (5.127). Tyto oblasti jsou znázorněny na Obr. 5.42.
Studium mezních cyklů je důležitá ze dvou důvodů. V komunikačních systémech může být vypnutí signálu způsobit účinky limitu. Je to velmi nežádoucí, protože bych chtěl, kdyby nebylo nic slyšet v nepřítomnosti vstupního signálu na výstupu kanálu. Proto při použití digitálních filtrů v telefonních systémech by měl být tento problém podán poměrně vážnou pozornost. Druhý důvod spočívá v tom, že mezní cykly mohou být použity pro generování pravidelných sekvencí. Kolísání mezních cyklů s požadovanými vlastnostmi lze použít při digitálním zpracování jako zdroj signálu.
Po vstupu do práce Jacksona věnovaného limitním cyklům, objasnění hranic pro amplitudy a frekvence oscilací limitu bylo dáno hodně pozornosti. Podrobnosti naleznete v příslušných publikacích.
LITERATURA
Literatura obecného charakteru
1. Oppenheim A. V., Weinstein S. W., Účinky délky konečných agregister v digitálních filtrech a rychlé fourierové transformace, Proc. IEEE, 60, Ne. 8, 957-976 (srpna 1972); K dispozici je ruský překlad: Oppenheim, Weinstein, účinek konečného rejstříku délky s digitálním filtrováním a rychlou fourierovou transformací, thiere, sv. 60, č. 8, s. 41-65 (1972).
2. Zlato V., Rader S. M., Digitální zpracování signálů, CH. 4, McGraw-Hill, 1969; K dispozici je ruský překlad: zlato B., Rayder Ch., Digitální zpracování signálů, nakladatelství "Sovětské rádio", 1973.
3. LIU V., Účinek délky konečných slov na přesnost digitálních filtrů - recenze, IEEE trans. Teorie obvodů, CT-18, 670-677 (1971 listopadu).
4. Bennett W. R., spektra kvantovaných signálů, Bell Syst. Tech. J., 27, 446-72 (červenec 1948).
5. Rader S. M., Gold V., Účinky kvantování Paremeter na pólech digitálního filtru, Proc. IEEE, 55, Ne. 5, 688-689 (květen 1967); K dispozici je ruský překlad: raider, zlato, účinek kvantování parametrů na pólech digitálního filtru, tier, 55, č. 55, s. 98-100 (1967).
Zaokrouhlení hluku v rekurzivních strukturách. Případ pevné šití
1. Knowles J. V., Edwards R., Účinky počítače-délka-délka délky v systému zpětné vazby, Proc. Inst. Elec. Eng., 112, 1197-1207 (červen 1965).
2. Zlato V., Rader S. M., Účinky kvantovacího šumu v digitálních filtrech, Proc. Afips 1966 Jarní společný počítač Conf., 28, 213-219 (1966).
3. Jackson L. V., na interakci kulatého šumu a dynamického rozsahu v digitálních filtrech, Bell Syst. Tech. J., 49, 159-184 (1970).
4. Jackson L.V., analýza hluku Roundoff pro digitální filtry s pevným bodem realizovanou v kaskádové nebo paralelní podobě, IEEE trans, na audio a elektro-akustika, AU-18, 107-122 (červen 1970).
Hluk je zaoblen v nesystémových strukturách. Případ pevné šití
1. Chan D. S. K., Rabiner L. R., teorie hluku roundoff v kaskádových realizacích digitálních filtrů konečných impulsů odezvy, Bell Syst. Tech. J., 52, Ne. 3, 329-345 (březen 1973).
2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., algoritmus pro minimalizaci hluku roundoff v kaskádových realizacích konečných impulzních digitálních filtrů, Bell Syst. Tech. J., 52, Ne. 3, 347-385 (březen 1973).
3. Chan D. S. K., Rabiner L. R., analýza kvantizačních chyb v přímém podobě pro konečnou impulzní odezvu digitálních filtrů, IEEE trans, na audio a elektroakustika, AU-21 ,. 4, 354-366 (1973 srpna).
Zaokrouhlení hluku v rekurzivních strukturách. Plovoucí šije
1. Sandberg I. W., plovoucí bodová akumulace v realizaci digitálního filtru, Bell System. Tech. J., 46, 1775-1791 (října 1967).
2. CAEKO T., Liu V., Roundoff Chyba plovoucího bodu digitálních filtrů, Proc. W roční allerton conf. Na obvodu a teorii systému, 219-227 (1968. října).
3. Weinstein C., Oppenheim A. V., Srovnání hluku roundoff v s plovoucí desetinnou čárkou a realizací digitálního filtru fixního bodu, Proc. IEEE (koresp.), 57, 1181-1183 (červen 1969); K dispozici je ruský překlad: Weinshtetepn, Oppenheim, porovnávající kulatý zaokrouhlení digitálních filtrů při implementaci plovoucího středuku a pevné středicolonové metody, thiere, obj. 57, č. 7. str. 72-74 (1969).
4. LIU V., CAEKO T., Chyba analýza digitálních filtrů s plovoucím bodem aritmetika, Proc. IEEE, 57, 1735-1747 (října 1969); K dispozici je ruský překlad: Liu, Kaneko, analýza chyb digitálních filtrů prodávaných aritmetickým operacím s plovoucí desetinnou čárkou, thiere, sv. 57, č. 10, s. 49-63 (1969).
5. OPPENHEIM A. V., Realizace digitálních filtrů s použitím bloku plovoucího bodu aritmetika, IEEE trans, na audio a elektroakustika, AU-18, 130-136 (červen 1970).
Přetečení oscilace
1. Ebert P. M., Mazo J. E., Taylor M. G., přetečení oscilové v digitálních filtrech, Bell Syst. Tech. J., 48, 3021-3030 (1968 listopadu).
Kvantizace koeficientů v rekurzivních strukturách
2. Kaiser J. F., některé praktické úvahy v realizaci lineárních digitálních filtrů, Proc. 3. ročník allerton conf. Na teorii obvodu a systému, 621 - 633 (1965).
3. Rader S. M., Gold V., Účinky kvantování Paremeter na pólech digitálního filtru, Proc. IEEE (koresp.), 55, 688-689 (květen 1967).
4. Knowles J. V., Olcayto E. M., Přesnost koeficientu a digitální odezva filtru, IEEE trans. Teorie obvodů, 15, č. 1, 31-41 (březen 1968).
5. Avenhaus e Elek. Ubertragung, 24, 571-572 (1970).
Kvantizace koeficientů v nesystémových strukturách
1. Hermann O., Schuessler N. W., o problému přesnosti v konstrukci nonrecursive digitální filtry, oblouk. Elek. Ubertragung, 24, 525-526 (1970).
2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analýza kvantizačních chyb v přímém podobě pro digitální filtry pro konečnou impulzní odezvu, IEEE trans, na audio a elektroakustika, AU-21 ,. 4, 354-366 (1973 srpna).
3. Weinstein C. W., kvantifikační účinky ve frekvenčních vzorkovacích filtrech, Neremový záznam, 22 (1968).
Mezní cykly v rekurzivních strukturách
1. Blackman R. V., Lineární údaje-vyhlazování a predikce v teorii a Pratice, Addison-Wesley Puhl. Co., čtení, mše., PP. 75-79 (1965).
2. Jackson L. V., Analýza mezních cyklů v důsledku násobení zaokrouhlení v rekurzivních digitálních (dílčích) filtrů, Proc. 1. ročník allerton conf. Na teorii obvodu a systému, 69-78 (1969).
3. Parker S. R., HESS S. F., Oscilace limitního cyklu v digitálních filtech, IEEE trans. Teorie obvodů, CT-18, 687-696 (1971 listopadu).
4. Sandberg I. W., Teorie týkající se mezních cyklů v digitálních filtrech, Proc. 7. Allerton Conf. Na teorii obvodu a systému, 63-67 (1969).
5. Brubaker T. A., Gowdy J. N., Mezní cykly v digitálních filtrech, IEEE trans. Automatické řízení, 17, č. 5, 675-677 (Oct 1972).
6. Sandberg 1. W., Kaiser J. F., vázaný na mezních cyklech v implementacích fixních bodů digitálních filtrů, IEEE trans, na audio a elektroakustika, AU-20 ,. 2, 110-112 (červen 1972).
