Fermats letzter Satz: Beweis von Wiles und Perelman, Formeln, Berechnungsregeln und vollständiger Beweis des Satzes. Die Sensation rund um den Satz von Fermat erwies sich als Missverständnis von Fermats letztem Satz: Wiles' Beweis

Andrew Wiles ist Professor für Mathematik an der Princeton University. Er hat Fermats letzten Satz bewiesen, mit dem Generationen von Wissenschaftlern seit Hunderten von Jahren zu kämpfen haben.

30 Jahre an einer Aufgabe

Wiles erfuhr zum ersten Mal von Fermats letztem Satz, als er zehn Jahre alt war. Auf dem Heimweg von der Schule kam er in der Bibliothek vorbei und vertiefte sich in die Lektüre des Buches „The Final Problem“ von Eric Temple Bell. Vielleicht ohne es zu wissen, widmete er von diesem Moment an sein Leben der Suche nach Beweisen, obwohl dies etwas war, was den besten Köpfen der Welt drei Jahrhunderte lang entgangen war.

Wiles erfuhr von Fermats letztem Satz, als er zehn Jahre alt war

Er fand es 30 Jahre später, nachdem ein anderer Wissenschaftler, Ken Ribet, den Zusammenhang zwischen dem Satz der japanischen Mathematiker Taniyama und Shimura und dem letzten Satz von Fermat bewiesen hatte. Im Gegensatz zu seinen skeptischen Kollegen verstand Wiles sofort, dass es das war, und sieben Jahre später machte er dem Beweis ein Ende.

Der Beweisprozess selbst erwies sich als sehr dramatisch: Wiles schloss sein Werk 1993 ab, doch schon während seines öffentlichen Auftritts stellte er eine erhebliche „Lücke“ in seiner Argumentation fest. Es dauerte zwei Monate, bis ein Fehler in den Berechnungen gefunden wurde (der Fehler war zwischen 130 gedruckten Seiten der Lösung der Gleichung versteckt). Dann wurde anderthalb Jahre lang intensiv daran gearbeitet, den Fehler zu beheben. Die gesamte wissenschaftliche Gemeinschaft der Erde war ratlos. Wiles vollendete sein Werk am 19. September 1994 und stellte es umgehend der Öffentlichkeit vor.

Erschreckende Herrlichkeit

Andrews größte Angst war Ruhm und Publicity. Er weigerte sich sehr lange, im Fernsehen aufzutreten. Man geht davon aus, dass John Lynch ihn überzeugen konnte. Er versicherte Wiles, dass er eine neue Generation von Mathematikern inspirieren und der Öffentlichkeit die Macht der Mathematik zeigen könne.

Andrew Wiles weigerte sich lange Zeit, im Fernsehen aufzutreten

Wenig später begann eine dankbare Gesellschaft, Andrew mit Preisen zu belohnen. Am 27. Juni 1997 erhielt Wiles den Wolfskehl-Preis in Höhe von etwa 50.000 US-Dollar. Dies ist viel weniger, als Wolfskehl ein Jahrhundert zuvor hinterlassen hatte, aber die Hyperinflation führte zu einer Reduzierung des Betrags.

Leider ging das mathematische Äquivalent des Nobelpreises, der Fields-Preis, einfach nicht an Wiles, da er an Mathematiker unter vierzig Jahren verliehen wird. Stattdessen erhielt er bei der Verleihung der Fields-Medaille eine besondere Silberplakette als Würdigung seiner wichtigen Leistung. Wiles hat außerdem den prestigeträchtigen Wolf-Preis, den King-Faisal-Preis und viele andere internationale Auszeichnungen gewonnen.

Meinungen der Kollegen

Die Reaktion eines der berühmtesten modernen russischen Mathematiker, des Akademiemitglieds V. I. Arnold, auf den Beweis ist „aktiv skeptisch“:

Das ist keine echte Mathematik – echte Mathematik ist geometrisch und hat enge Verbindungen zur Physik. Darüber hinaus kann das Fermatsche Problem selbst seiner Natur nach nicht zur Entwicklung der Mathematik führen, da es „binär“ ist, d. h. die Formulierung des Problems erfordert nur eine Antwort auf die „Ja oder Nein“-Frage.

Gleichzeitig stellte sich heraus, dass die mathematischen Arbeiten von V. I. Arnold selbst in den letzten Jahren weitgehend Variationen sehr ähnlicher zahlentheoretischer Themen gewidmet waren. Es ist möglich, dass Wiles paradoxerweise eine indirekte Ursache für diese Aktivität wurde.

Ein echter Traum

Als Andrew gefragt wird, wie er es geschafft hat, mehr als sieben Jahre lang in vier Wänden zu sitzen und eine Aufgabe zu erledigen, erzählt Wiles, wie er während seiner Arbeit davon geträumt hatEs wird die Zeit kommen, in der die Mathematikkurse an Universitäten und sogar an Schulen an seine Methode zum Beweis des Satzes angepasst werden. Er wollte, dass der Beweis von Fermats letztem Satz nicht nur zu einem mathematischen Modellproblem, sondern auch zu einem methodischen Modell für den Mathematikunterricht wird. Wiles stellte sich vor, dass es anhand ihres Beispiels möglich sein würde, alle Hauptzweige der Mathematik und Physik zu studieren.

4 Damen, ohne die es keinen Beweis gäbe

Andrew ist verheiratet und hat drei Töchter, von denen zwei „während des siebenjährigen Prozesses des ersten Entwurfs des Beweises“ geboren wurden.

Wiles selbst glaubt, dass er ohne seine Familie keinen Erfolg gehabt hätte.

In diesen Jahren wusste nur Nada, Andrews Frau, dass er allein den unzugänglichsten und berühmtesten Gipfel der Mathematik stürmte. Ihnen, Nadya, Claire, Kate und Olivia, ist Wiles‘ berühmter Abschlussartikel „Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz“ in der zentralen mathematischen Fachzeitschrift „Annals of Mathematics“ gewidmet, in der die wichtigsten mathematischen Werke veröffentlicht werden. Allerdings bestreitet Wiles selbst keineswegs, dass er ohne seine Familie keinen Erfolg gehabt hätte.

Der Mathematiker Andrew Wiles erhielt den Abel-Preis für seinen Beweis des Satzes von Fermat

Für seinen Beweis des letzten Satzes von Fermat wurde ihm 1994 ein Ehrenpreis, der „Nobelpreis für Mathematiker“, verliehen

Andrew Wiles
© AP Photo/Charles Rex Arbogast, Archiv

OSLO, 15. März. /Korr. TASS Juri Michailenko/. Der Brite Andrew Wiles wurde als Gewinner des von der norwegischen Akademie der Wissenschaften verliehenen Abel-Preises bekannt gegeben. Der Ehrenpreis, der oft als „Nobelpreis für Mathematiker“ bezeichnet wird, wurde ihm 1994 für seinen Beweis von Fermats letztem Satz verliehen, der „eine neue Ära in der Zahlentheorie einläutete“.
„Die von Wiles eingeführten neuen Ideen eröffneten die Möglichkeit weiterer Durchbrüche“, sagte Jon Rognes, Vorsitzender des Abel-Komitees. „Nur wenige mathematische Probleme haben eine so reiche wissenschaftliche Geschichte und einen so spektakulären Beweis wie Fermats letzter Satz.“
Sir Andrews wissenschaftliche Reise
In Kommentaren gegenüber dem norwegischen Telegraphenbüro stellte Rognes außerdem klar, dass der Beweis des berühmten Theorems nur einer der Gründe war, warum Wiles dieses Jahr unter den für den Preis nominierten Kandidaten ausgewählt wurde.
„Um einen Satz zu lösen, der 350 Jahre lang nicht bewiesen werden konnte, nutzte er die Ansätze zweier moderner Zweige der mathematischen Wissenschaften und untersuchte insbesondere halbstabile elliptische Kurven“, sagte Rognes gegenüber Reportern. „Solche Mathematik wird zum Beispiel verwendet.“ , in der elliptischen Kryptographie, mit deren Hilfe Sicherheitsdaten über Zahlungen mit Plastikkarten erfasst werden.“
Der Wissenschaftler, der nächsten Monat 63 Jahre alt wird, wurde an den Universitäten Oxford und Cambridge ausgebildet. Sein Vater war ein anglikanischer Priester und war mehr als 20 Jahre lang Professor für Theologie in Cambridge. Wiles selbst arbeitete 30 Jahre lang in den USA, lehrte an der Princeton University und leitete dort von 2005 bis 2009 die Mathematikabteilung. Derzeit arbeitet er in Oxford. Er hat ein Dutzend Mathematikpreise gewonnen und wurde für seine wissenschaftlichen Leistungen auch von Königin Elisabeth II. von Großbritannien zum Ritter geschlagen.
Trügerische Einfachheit
Die Besonderheit des vom Franzosen Pierre Fermat (1601 - 1665) formulierten Theorems liegt in einer täuschend einfachen Formulierung: Die Gleichung „A hoch n plus B hoch n ist gleich C hoch n.“ ” hat keine natürlichen Lösungen, wenn die Zahl n größer als zwei ist. Auf den ersten Blick suggeriert es einen recht einfachen Beweis, in Wirklichkeit stellt sich dieser jedoch als völlig anders heraus.
Wiles selbst gab in zahlreichen Interviews zu, dass ihn der Satz bereits im Alter von 10 Jahren faszinierte. Schon damals fiel es ihm leicht, die Bedingungen des Problems zu verstehen, und er wurde von der Tatsache geplagt, dass es drei Jahrhunderte lang kein einziger Mathematiker hatte lösen können. Das Kindheitshobby ist im Laufe der Jahre nicht verblasst. Nachdem Wiles bereits eine wissenschaftliche Karriere gemacht hatte, kämpfte er in seiner Freizeit viele Jahre lang mit der Lösung, machte jedoch keine Werbung dafür, da seine Leidenschaft für den Satz von Fermat unter seinen Kollegen als schlechte Manieren galt. Er schlug seinen Beweis vor, der auf der Hypothese zweier japanischer Wissenschaftler basierte, und veröffentlichte ihn 1993, doch einige Monate später wurde ein Fehler in seinen Berechnungen entdeckt.
Mehr als ein Jahr lang versuchte Wiles zusammen mit seinen Schülern, es zu korrigieren, gab am Ende fast auf, fand aber am Ende doch noch einen Beweis, der als richtig anerkannt wurde. Gleichzeitig wurde der angeblich existierende einfache und elegante Beweis, den Fermat selbst erwähnte, noch nicht gefunden.
Wer war Henrik Abel?
In den Jahren 2014 und 2009 waren die Abel-Preisträger Jakow Sinai und Michail Gromow, Schüler der russischen Mathematikschule. Der Preis ist nach dem berühmten Norweger Niels Henrik Abel benannt. Er wurde zum Begründer der Theorie der elliptischen Funktionen und leistete bedeutende Beiträge zur Reihentheorie.
Zu Ehren des 200. Geburtstags des erst 26 Jahre alten Wissenschaftlers stellte die norwegische Regierung im Jahr 2002 200 Millionen Kronen (etwa 23,4 Millionen US-Dollar zu aktuellen Wechselkursen) für die Gründung der Abel-Stiftung und des Abel-Preises bereit. Es soll nicht nur die Verdienste herausragender Mathematiker würdigen, sondern auch dazu beitragen, dass diese wissenschaftliche Disziplin bei jungen Menschen immer beliebter wird.
Heute beträgt der Bargeldanteil der Auszeichnung 6 Millionen Kronen (700.000 US-Dollar). Die offizielle Preisverleihung ist für den 24. Mai geplant. Der Ehrenpreis wird dem Preisträger vom norwegischen Thronfolger Prinz Haakon Magnus überreicht.

5. August 2013

Es gibt nicht viele Menschen auf der Welt, die noch nie von Fermats letztem Satz gehört haben – vielleicht ist dies das einzige mathematische Problem, das so weithin bekannt und zu einer echten Legende geworden ist. Es wird in vielen Büchern und Filmen erwähnt, und der Hauptkontext fast aller Erwähnungen ist die Unmöglichkeit, den Satz zu beweisen.

Ja, dieser Satz ist sehr bekannt und in gewisser Weise zu einem „Idol“ geworden, das von Amateur- und Profi-Mathematikern verehrt wird, aber nur wenige Menschen wissen, dass sein Beweis gefunden wurde, und zwar bereits 1995. Aber das Wichtigste zuerst.

Der letzte Satz von Fermat (oft als Fermats letzter Satz bezeichnet), der 1637 vom brillanten französischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert wurde, ist im Wesentlichen sehr einfach und für jeden mit einer Sekundarschulbildung verständlich. Darin heißt es, dass die Formel a hoch n + b hoch n = c hoch n keine natürlichen (also keine gebrochenen) Lösungen für n > 2 hat. Alles scheint einfach und klar, aber die Die besten Mathematiker und gewöhnlichen Amateure kämpften mehr als dreieinhalb Jahrhunderte lang mit der Suche nach einer Lösung.

Warum ist sie so berühmt? Jetzt werden wir es herausfinden...

Gibt es viele bewiesene, unbewiesene und noch unbewiesene Theoreme? Der Punkt hier ist, dass Fermats letzter Satz den größten Kontrast zwischen der Einfachheit der Formulierung und der Komplexität des Beweises darstellt. Der letzte Satz von Fermat ist ein unglaublich schwieriges Problem, und dennoch kann seine Formulierung von jedem in der 5. Klasse der High School verstanden werden, aber nicht einmal jeder professionelle Mathematiker kann den Beweis verstehen. Weder in der Physik, noch in der Chemie, noch in der Biologie, noch in der Mathematik gibt es ein einziges Problem, das so einfach formuliert werden könnte, aber so lange ungelöst blieb. 2. Woraus besteht es?

Beginnen wir mit der Pythagoräischen Hose. Der Wortlaut ist eigentlich einfach – auf den ersten Blick. Wie wir aus der Kindheit wissen, „sind die Hosen des Pythagoras auf allen Seiten gleich.“ Das Problem sieht so einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage basierte, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Schenkeln gebildeten Quadrate.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. Pythagoras gründete die Pythagoräer-Bruderschaft. Die Pythagoräer untersuchten unter anderem ganzzahlige Tripel, die die Gleichheit x²+y²=z² erfüllen. Sie bewiesen, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und erhielten allgemeine Formeln, um sie zu finden. Sie haben wahrscheinlich versucht, nach Cs und höheren Abschlüssen zu suchen. In der Überzeugung, dass dies nicht funktionierte, gaben die Pythagoräer ihre nutzlosen Versuche auf. Die Mitglieder der Bruderschaft waren eher Philosophen und Ästhetiker als Mathematiker.

Das heißt, es ist einfach, eine Menge von Zahlen auszuwählen, die die Gleichheit x²+y²=z² perfekt erfüllen

Beginnend mit 3, 4, 5 – tatsächlich versteht ein junger Student, dass 9 + 16 = 25.

Oder 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Großartig.

Es stellt sich also heraus, dass dies NICHT der Fall ist. Hier beginnt der Trick. Einfachheit ist offensichtlich, weil es schwierig ist, nicht die Anwesenheit von etwas, sondern im Gegenteil seine Abwesenheit zu beweisen. Wenn Sie nachweisen müssen, dass es eine Lösung gibt, können und sollten Sie diese Lösung einfach präsentieren.

Der Nachweis der Abwesenheit ist schwieriger: Beispielsweise sagt jemand: Für diese und jene Gleichung gibt es keine Lösungen. Ihn in eine Pfütze stecken? Ganz einfach: Bam – und hier ist sie, die Lösung! (Lösung angeben). Und das war's, der Gegner ist besiegt. Wie kann man Abwesenheit nachweisen?

Sagen Sie: „Ich habe solche Lösungen nicht gefunden“? Oder hast du vielleicht nicht gut ausgesehen? Was wäre, wenn es sie gäbe, nur sehr groß, so groß, dass selbst ein superstarker Computer immer noch nicht genug Kraft hätte? Das ist das Schwierige.

Anschaulich lässt sich das so darstellen: Nimmt man zwei Quadrate geeigneter Größe und zerlegt sie in Einheitsquadrate, so erhält man aus diesem Bündel von Einheitsquadraten ein drittes Quadrat (Abb. 2):

Aber machen wir dasselbe mit der dritten Dimension (Abb. 3) – es funktioniert nicht. Es sind nicht genügend Würfel vorhanden oder es sind noch mehr übrig:

Aber der französische Mathematiker Pierre de Fermat aus dem 17. Jahrhundert studierte begeistert die allgemeine Gleichung x n + y n = z n. Und schließlich kam ich zu dem Schluss: Für n>2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen. Fermats Beweis ist unwiederbringlich verloren. Manuskripte brennen! Übrig bleibt nur seine Bemerkung in der Arithmetik des Diophantus: „Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diesen Satz gefunden, aber der Rand hier ist zu eng, um ihn zu fassen.“

Tatsächlich wird ein Satz ohne Beweis als Hypothese bezeichnet. Aber Fermat hat den Ruf, niemals Fehler zu machen. Auch wenn er keine Beweise für eine Aussage hinterließ, wurde diese nachträglich bestätigt. Darüber hinaus hat Fermat seine These für n=4 bewiesen. So ging die Hypothese des französischen Mathematikers als Fermats letzter Satz in die Geschichte ein.

Nach Fermat arbeiteten so große Köpfe wie Leonhard Euler an der Suche nach einem Beweis (1770 schlug er eine Lösung für n = 3 vor),

Adrien Legendre und Johann Dirichlet (diese Wissenschaftler fanden 1825 gemeinsam den Beweis für n = 5), Gabriel Lamé (der den Beweis für n = 7 fand) und viele andere. Mitte der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts wurde klar, dass die wissenschaftliche Welt auf dem Weg zur endgültigen Lösung von Fermats letztem Satz war, aber erst 1993 sahen und glaubten Mathematiker, dass das dreihundertjährige Epos der Suche nach einem Beweis für Fermats letzter Satz war praktisch vorbei.

Es lässt sich leicht zeigen, dass es ausreicht, den Satz von Fermat nur für einfaches n zu beweisen: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Für zusammengesetztes n bleibt der Beweis gültig. Aber es gibt unendlich viele Primzahlen...

Im Jahr 1825 bewiesen die Mathematikerinnen Dirichlet und Legendre unabhängig voneinander mit der Methode von Sophie Germain den Satz für n=5. Im Jahr 1839 zeigte der Franzose Gabriel Lame mit der gleichen Methode die Wahrheit des Theorems für n=7. Nach und nach wurde der Satz für fast alle n kleiner als einhundert bewiesen.

Schließlich zeigte der deutsche Mathematiker Ernst Kummer in einer brillanten Studie, dass der Satz im Allgemeinen nicht mit den Methoden der Mathematik des 19. Jahrhunderts bewiesen werden kann. Der 1847 für den Beweis des Satzes von Fermat gestiftete Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften blieb unbesetzt.

1907 beschloss der wohlhabende deutsche Industrielle Paul Wolfskehl aus unerwiderter Liebe, sich das Leben zu nehmen. Wie ein echter Deutscher legte er Datum und Uhrzeit des Selbstmordes fest: genau auf Mitternacht. Am letzten Tag verfasste er ein Testament und schrieb Briefe an Freunde und Verwandte. Die Sache endete vor Mitternacht. Man muss sagen, dass Paulus sich für Mathematik interessierte. Da er nichts anderes zu tun hatte, ging er in die Bibliothek und begann, Kummers berühmten Artikel zu lesen. Plötzlich schien es ihm, als hätte Kummer in seiner Überlegung einen Fehler gemacht. Wolfskel begann mit einem Bleistift in der Hand diesen Teil des Artikels zu analysieren. Mitternacht ist vergangen, der Morgen ist gekommen. Die Beweislücke ist geschlossen. Und der eigentliche Grund für den Selbstmord sah jetzt völlig lächerlich aus. Paulus zerriss seine Abschiedsbriefe und schrieb sein Testament um.

Er starb bald eines natürlichen Todes. Die Erben waren ziemlich überrascht: 100.000 Mark (mehr als 1.000.000 heutige Pfund Sterling) wurden auf das Konto der Königlichen Wissenschaftlichen Gesellschaft zu Göttingen überwiesen, die im selben Jahr einen Wettbewerb um den Wolfskehl-Preis ausschrieb. 100.000 Mark wurden der Person verliehen, die den Satz von Fermat bewies. Für die Widerlegung des Theorems wurde kein Pfennig belohnt...

Die meisten professionellen Mathematiker hielten die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz für eine hoffnungslose Aufgabe und weigerten sich entschieden, Zeit mit einer solch nutzlosen Aufgabe zu verschwenden. Aber die Amateure hatten viel Spaß. Wenige Wochen nach der Ankündigung erschütterte eine Lawine von „Beweisen“ die Universität Göttingen. Professor E.M. Landau, dessen Aufgabe es war, die übermittelten Beweise zu analysieren, verteilte Karten an seine Studenten:

Lieb. . . . . . . .

Vielen Dank, dass Sie mir das Manuskript mit dem Beweis von Fermats letztem Satz geschickt haben. Der erste Fehler ist auf Seite ... in Zeile ... . Dadurch verliert der gesamte Beweis seine Gültigkeit.
Professor E. M. Landau

In den 1980er Jahren erhöhte Samuel Wagstaff die Grenze auf 25.000, und in den 1990er Jahren erklärten Mathematiker, dass Fermats letzter Satz für alle Werte von n bis zu 4 Millionen wahr sei. Aber wenn man auch nur eine Billion Billionen von der Unendlichkeit abzieht, wird es nicht kleiner. Mathematiker lassen sich von Statistiken nicht überzeugen. Den Großen Satz zu beweisen bedeutete, ihn für ALLE bis ins Unendliche zu beweisen.

Nach sorgfältiger Prüfung stellten Freunde jedoch eine Hypothese auf: Jede elliptische Gleichung hat einen Zwilling – eine Modulform und umgekehrt. Es war diese Hypothese, die zur Grundlage einer ganzen Richtung in der Mathematik wurde, aber bis die Taniyama-Shimura-Hypothese bewiesen war, könnte das gesamte Gebäude jeden Moment einstürzen.

Im Jahr 1984 zeigte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung, sofern sie existiert, in eine elliptische Gleichung einbezogen werden kann. Zwei Jahre später bewies Professor Ken Ribet, dass diese hypothetische Gleichung kein Gegenstück in der modularen Welt haben konnte. Von nun an war Fermats letzter Satz untrennbar mit der Taniyama-Shimura-Vermutung verbunden. Nachdem wir bewiesen haben, dass jede elliptische Kurve modular ist, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine elliptische Gleichung mit einer Lösung für die Fermat-Gleichung gibt und Fermats letzter Satz sofort bewiesen wäre. Doch dreißig Jahre lang gelang es nicht, die Taniyama-Shimura-Hypothese zu beweisen, und die Hoffnung auf Erfolg wurde immer geringer.

Bereits 1963, als er gerade einmal zehn Jahre alt war, war Andrew Wiles von der Mathematik fasziniert. Als er vom Großen Satz erfuhr, wurde ihm klar, dass er ihn nicht aufgeben durfte. Als Schüler, Student und Doktorand bereitete er sich auf diese Aufgabe vor.

Nachdem er von Ken Ribets Erkenntnissen erfahren hatte, stürzte sich Wiles kopfüber in den Beweis der Taniyama-Shimura-Hypothese. Er beschloss, in völliger Isolation und Geheimhaltung zu arbeiten. „Mir wurde klar, dass alles, was mit Fermats letztem Satz zu tun hat, zu viel Interesse weckt … Zu viele Zuschauer stören offensichtlich das Erreichen des Ziels.“ Sieben Jahre harter Arbeit zahlten sich aus, Wiles vollendete schließlich den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Im Jahr 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles der Welt seinen Beweis von Fermats letztem Satz (Wiles las seinen sensationellen Aufsatz auf einer Konferenz am Sir Isaac Newton Institute in Cambridge). Die Arbeit dauerte mehr als sieben Jahre.

Es stellte sich heraus, dass diese Entscheidung einen groben Fehler enthält, obwohl sie im Großen und Ganzen richtig ist. Wiles gab nicht auf, nahm die Hilfe des berühmten Spezialisten für Zahlentheorie Richard Taylor in Anspruch und veröffentlichte bereits 1994 einen korrigierten und erweiterten Beweis des Theorems. Das Erstaunlichste ist, dass diese Arbeit in der Mathematikzeitschrift „Annals of Mathematics“ ganze 130 (!) Seiten einnahm. Aber damit war die Geschichte noch nicht zu Ende – der endgültige Punkt wurde erst im nächsten Jahr, 1995, erreicht, als die endgültige und aus mathematischer Sicht „ideale“ Version des Beweises veröffentlicht wurde.

„...eine halbe Minute nach Beginn des festlichen Abendessens anlässlich ihres Geburtstages überreichte ich Nadya das Manuskript des vollständigen Beweises“ (Andrew Wales). Habe ich nicht schon gesagt, dass Mathematiker seltsame Menschen sind?

Diesmal gab es keinen Zweifel an den Beweisen. Zwei Artikel wurden einer sorgfältigsten Analyse unterzogen und im Mai 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Seitdem ist viel Zeit vergangen, aber in der Gesellschaft herrscht immer noch die Meinung vor, dass Fermats letzter Satz unlösbar sei. Aber selbst diejenigen, die über die gefundenen Beweise Bescheid wissen, arbeiten weiter in dieser Richtung – nur wenige sind zufrieden damit, dass der Große Satz eine Lösung von 130 Seiten erfordert!

Daher konzentrieren sich nun die Bemühungen vieler Mathematiker (hauptsächlich Amateure, keine professionellen Wissenschaftler) auf die Suche nach einem einfachen und prägnanten Beweis, aber dieser Weg wird höchstwahrscheinlich nirgendwohin führen ...

Quelle

Der letzte Satz von Fermat (oft als Fermats letzter Satz bezeichnet), der 1637 vom brillanten französischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert wurde, ist also von Natur aus sehr einfach und für jeden mit einer Sekundarschulbildung verständlich. Darin heißt es, dass die Formel a hoch n + b hoch n = c hoch n keine natürlichen (also keine gebrochenen) Lösungen für n > 2 hat. Alles scheint einfach und klar, aber die Die besten Mathematiker und gewöhnlichen Amateure kämpften mehr als dreieinhalb Jahrhunderte lang mit der Suche nach einer Lösung.

Warum ist sie so berühmt? Jetzt werden wir es herausfinden...

Gibt es viele bewiesene, unbewiesene und noch unbewiesene Theoreme? Der Punkt hier ist, dass Fermats letzter Satz den größten Kontrast zwischen der Einfachheit der Formulierung und der Komplexität des Beweises darstellt. Der letzte Satz von Fermat ist ein unglaublich schwieriges Problem, und dennoch kann seine Formulierung von jedem in der 5. Klasse der High School verstanden werden, aber nicht einmal jeder professionelle Mathematiker kann den Beweis verstehen. Weder in der Physik, noch in der Chemie, noch in der Biologie, noch in der Mathematik gibt es ein einziges Problem, das so einfach formuliert werden könnte, aber so lange ungelöst blieb. 2. Woraus besteht es?

Beginnen wir mit der Pythagoräischen Hose. Der Wortlaut ist eigentlich einfach – auf den ersten Blick. Wie wir aus der Kindheit wissen, „sind die Hosen des Pythagoras auf allen Seiten gleich.“ Das Problem sieht so einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage basierte, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Schenkeln gebildeten Quadrate.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. Pythagoras gründete die Pythagoräer-Bruderschaft. Die Pythagoräer untersuchten unter anderem ganzzahlige Tripel, die die Gleichheit x²+y²=z² erfüllen. Sie bewiesen, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und erhielten allgemeine Formeln, um sie zu finden. Sie haben wahrscheinlich versucht, nach Cs und höheren Abschlüssen zu suchen. In der Überzeugung, dass dies nicht funktionierte, gaben die Pythagoräer ihre nutzlosen Versuche auf. Die Mitglieder der Bruderschaft waren eher Philosophen und Ästhetiker als Mathematiker.

Das heißt, es ist einfach, eine Menge von Zahlen auszuwählen, die die Gleichheit x²+y²=z² perfekt erfüllen

Beginnend mit 3, 4, 5 – tatsächlich versteht ein junger Student, dass 9 + 16 = 25.

Oder 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Großartig.

Und so weiter. Was wäre, wenn wir eine ähnliche Gleichung x³+y³=z³ nehmen würden? Vielleicht gibt es auch solche Zahlen?

Und so weiter (Abb. 1).

Es stellt sich also heraus, dass dies NICHT der Fall ist. Hier beginnt der Trick. Einfachheit ist offensichtlich, weil es schwierig ist, nicht die Anwesenheit von etwas, sondern im Gegenteil seine Abwesenheit zu beweisen. Wenn Sie nachweisen müssen, dass es eine Lösung gibt, können und sollten Sie diese Lösung einfach präsentieren.

Der Nachweis der Abwesenheit ist schwieriger: Beispielsweise sagt jemand: Für diese und jene Gleichung gibt es keine Lösungen. Ihn in eine Pfütze stecken? Ganz einfach: Bam – und hier ist sie, die Lösung! (Lösung angeben). Und das war's, der Gegner ist besiegt. Wie kann man Abwesenheit nachweisen?

Sagen Sie: „Ich habe solche Lösungen nicht gefunden“? Oder hast du vielleicht nicht gut ausgesehen? Was wäre, wenn es sie gäbe, nur sehr groß, so groß, dass selbst ein superstarker Computer immer noch nicht genug Kraft hätte? Das ist das Schwierige.

Anschaulich lässt sich das so darstellen: Nimmt man zwei Quadrate geeigneter Größe und zerlegt sie in Einheitsquadrate, so erhält man aus diesem Bündel von Einheitsquadraten ein drittes Quadrat (Abb. 2):

Aber machen wir das Gleiche mit der dritten Dimension (Abb. 3) – es funktioniert nicht. Es sind nicht genügend Würfel vorhanden oder es sind noch mehr übrig:

Doch der französische Mathematiker Pierre de Fermat aus dem 17. Jahrhundert beschäftigte sich mit Begeisterung mit der allgemeinen Gleichung x n +y n =z n . Und schließlich kam ich zu dem Schluss: Für n>2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen. Fermats Beweis ist unwiederbringlich verloren. Manuskripte brennen! Übrig bleibt nur seine Bemerkung in der Arithmetik des Diophantus: „Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diesen Satz gefunden, aber der Rand hier ist zu eng, um ihn zu fassen.“

Tatsächlich wird ein Satz ohne Beweis als Hypothese bezeichnet. Aber Fermat hat den Ruf, niemals Fehler zu machen. Auch wenn er keine Beweise für eine Aussage hinterließ, wurde diese nachträglich bestätigt. Darüber hinaus hat Fermat seine These für n=4 bewiesen. So ging die Hypothese des französischen Mathematikers als Fermats letzter Satz in die Geschichte ein.

Nach Fermat arbeiteten so große Köpfe wie Leonhard Euler an der Suche nach einem Beweis (1770 schlug er eine Lösung für n = 3 vor),

Adrien Legendre und Johann Dirichlet (diese Wissenschaftler fanden 1825 gemeinsam den Beweis für n = 5), Gabriel Lamé (der den Beweis für n = 7 fand) und viele andere. Mitte der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts wurde klar, dass die wissenschaftliche Welt auf dem Weg zur endgültigen Lösung von Fermats letztem Satz war, aber erst 1993 sahen und glaubten Mathematiker, dass das dreihundertjährige Epos der Suche nach einem Beweis für Fermats letzter Satz war praktisch vorbei.

Es lässt sich leicht zeigen, dass es ausreicht, den Satz von Fermat nur für einfaches n zu beweisen: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Für zusammengesetztes n bleibt der Beweis gültig. Aber es gibt unendlich viele Primzahlen...

Im Jahr 1825 bewiesen die Mathematikerinnen Dirichlet und Legendre unabhängig voneinander mit der Methode von Sophie Germain den Satz für n=5. Im Jahr 1839 zeigte der Franzose Gabriel Lame mit der gleichen Methode die Wahrheit des Theorems für n=7. Nach und nach wurde der Satz für fast alle n kleiner als einhundert bewiesen.

Schließlich zeigte der deutsche Mathematiker Ernst Kummer in einer brillanten Studie, dass der Satz im Allgemeinen nicht mit den Methoden der Mathematik des 19. Jahrhunderts bewiesen werden kann. Der 1847 für den Beweis des Satzes von Fermat gestiftete Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften blieb unbesetzt.

1907 beschloss der wohlhabende deutsche Industrielle Paul Wolfskehl aus unerwiderter Liebe, sich das Leben zu nehmen. Wie ein echter Deutscher legte er Datum und Uhrzeit des Selbstmordes fest: genau auf Mitternacht. Am letzten Tag verfasste er ein Testament und schrieb Briefe an Freunde und Verwandte. Die Sache endete vor Mitternacht. Man muss sagen, dass Paulus sich für Mathematik interessierte. Da er nichts anderes zu tun hatte, ging er in die Bibliothek und begann, Kummers berühmten Artikel zu lesen. Plötzlich schien es ihm, als hätte Kummer in seiner Überlegung einen Fehler gemacht. Wolfskel begann mit einem Bleistift in der Hand diesen Teil des Artikels zu analysieren. Mitternacht ist vergangen, der Morgen ist gekommen. Die Beweislücke ist geschlossen. Und der eigentliche Grund für den Selbstmord sah jetzt völlig lächerlich aus. Paulus zerriss seine Abschiedsbriefe und schrieb sein Testament um.

Er starb bald eines natürlichen Todes. Die Erben waren ziemlich überrascht: 100.000 Mark (mehr als 1.000.000 heutige Pfund Sterling) wurden auf das Konto der Königlichen Wissenschaftlichen Gesellschaft zu Göttingen überwiesen, die im selben Jahr einen Wettbewerb um den Wolfskehl-Preis ausschrieb. 100.000 Mark wurden der Person verliehen, die den Satz von Fermat bewies. Für die Widerlegung des Theorems wurde kein Pfennig belohnt...

Die meisten professionellen Mathematiker hielten die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz für eine hoffnungslose Aufgabe und weigerten sich entschieden, Zeit mit einer solch nutzlosen Aufgabe zu verschwenden. Aber die Amateure hatten viel Spaß. Wenige Wochen nach der Ankündigung erschütterte eine Lawine von „Beweisen“ die Universität Göttingen. Professor E.M. Landau, dessen Aufgabe es war, die übermittelten Beweise zu analysieren, verteilte Karten an seine Studenten:

Lieb. . . . . . . .

Vielen Dank, dass Sie mir das Manuskript mit dem Beweis von Fermats letztem Satz geschickt haben. Der erste Fehler ist auf Seite ... in Zeile ... . Dadurch verliert der gesamte Beweis seine Gültigkeit.
Professor E. M. Landau

Im Jahr 1963 bewies Paul Cohen, gestützt auf Gödels Erkenntnisse, die Unlösbarkeit eines von Hilberts 23 Problemen – der Kontinuumshypothese. Was wäre, wenn Fermats letzter Satz ebenfalls unentscheidbar wäre?! Aber echte Fanatiker des Großen Theorems wurden keineswegs enttäuscht. Das Aufkommen von Computern bot Mathematikern plötzlich eine neue Beweismethode. Nach dem Zweiten Weltkrieg bewiesen Teams aus Programmierern und Mathematikern Fermats letzten Satz für alle Werte von n bis 500, dann bis 1.000 und später bis 10.000.

In den 1980er Jahren erhöhte Samuel Wagstaff die Grenze auf 25.000, und in den 1990er Jahren erklärten Mathematiker, dass Fermats letzter Satz für alle Werte von n bis zu 4 Millionen wahr sei. Aber wenn man auch nur eine Billion Billionen von der Unendlichkeit abzieht, wird es nicht kleiner. Mathematiker lassen sich von Statistiken nicht überzeugen. Den Großen Satz zu beweisen bedeutete, ihn für ALLE bis ins Unendliche zu beweisen.

Im Jahr 1954 begannen zwei junge befreundete japanische Mathematiker mit der Erforschung modularer Formen. Diese Formen erzeugen Zahlenreihen, jede mit ihrer eigenen Reihe. Zufällig verglich Taniyama diese Reihen mit Reihen, die durch elliptische Gleichungen erzeugt wurden. Sie passten zusammen! Aber modulare Formen sind geometrische Objekte und elliptische Gleichungen sind algebraische. Es wurde noch nie eine Verbindung zwischen so unterschiedlichen Objekten gefunden.

Nach sorgfältiger Prüfung stellten Freunde jedoch eine Hypothese auf: Jede elliptische Gleichung hat einen Zwilling – eine Modulform und umgekehrt. Es war diese Hypothese, die zur Grundlage einer ganzen Richtung in der Mathematik wurde, aber bis die Taniyama-Shimura-Hypothese bewiesen war, könnte das gesamte Gebäude jeden Moment einstürzen.

Im Jahr 1984 zeigte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung, sofern sie existiert, in eine elliptische Gleichung einbezogen werden kann. Zwei Jahre später bewies Professor Ken Ribet, dass diese hypothetische Gleichung kein Gegenstück in der modularen Welt haben konnte. Von nun an war Fermats letzter Satz untrennbar mit der Taniyama-Shimura-Vermutung verbunden. Nachdem wir bewiesen haben, dass jede elliptische Kurve modular ist, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine elliptische Gleichung mit einer Lösung für die Fermat-Gleichung gibt und Fermats letzter Satz sofort bewiesen wäre. Doch dreißig Jahre lang gelang es nicht, die Taniyama-Shimura-Hypothese zu beweisen, und die Hoffnung auf Erfolg wurde immer geringer.

Bereits 1963, als er gerade einmal zehn Jahre alt war, war Andrew Wiles von der Mathematik fasziniert. Als er vom Großen Satz erfuhr, wurde ihm klar, dass er ihn nicht aufgeben durfte. Als Schüler, Student und Doktorand bereitete er sich auf diese Aufgabe vor.

Nachdem er von Ken Ribets Erkenntnissen erfahren hatte, stürzte sich Wiles kopfüber in den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung. Er beschloss, in völliger Isolation und Geheimhaltung zu arbeiten. „Mir wurde klar, dass alles, was mit Fermats letztem Satz zu tun hat, zu viel Interesse weckt … Zu viele Zuschauer stören offensichtlich das Erreichen des Ziels.“ Sieben Jahre harter Arbeit zahlten sich aus; Wiles vollendete schließlich den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Im Jahr 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles der Welt seinen Beweis von Fermats letztem Satz (Wiles las seinen sensationellen Aufsatz auf einer Konferenz am Sir Isaac Newton Institute in Cambridge). Die Arbeit dauerte mehr als sieben Jahre.

Während der Hype in der Presse anhielt, begannen ernsthafte Arbeiten zur Überprüfung der Beweise. Jedes Beweisstück muss sorgfältig geprüft werden, bevor es als schlüssig und genau angesehen werden kann. Wiles verbrachte einen unruhigen Sommer damit, auf das Feedback der Rezensenten zu warten, in der Hoffnung, ihre Zustimmung zu gewinnen. Ende August befanden Experten, dass das Urteil nicht ausreichend untermauert sei.

Es stellte sich heraus, dass diese Entscheidung einen groben Fehler enthält, obwohl sie im Großen und Ganzen richtig ist. Wiles gab nicht auf, nahm die Hilfe des berühmten Spezialisten für Zahlentheorie Richard Taylor in Anspruch und veröffentlichte bereits 1994 einen korrigierten und erweiterten Beweis des Theorems. Das Erstaunlichste ist, dass diese Arbeit in der Mathematikzeitschrift „Annals of Mathematics“ ganze 130 (!) Seiten einnahm. Aber damit war die Geschichte noch nicht zu Ende – der endgültige Punkt wurde erst im nächsten Jahr, 1995, erreicht, als die endgültige und aus mathematischer Sicht „ideale“ Version des Beweises veröffentlicht wurde.

„...eine halbe Minute nach Beginn des festlichen Abendessens anlässlich ihres Geburtstages überreichte ich Nadya das Manuskript des vollständigen Beweises“ (Andrew Wales). Habe ich nicht schon gesagt, dass Mathematiker seltsame Menschen sind?

Diesmal gab es keinen Zweifel an den Beweisen. Zwei Artikel wurden einer sorgfältigsten Analyse unterzogen und im Mai 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Seitdem ist viel Zeit vergangen, aber in der Gesellschaft herrscht immer noch die Meinung vor, dass Fermats letzter Satz unlösbar sei. Aber selbst diejenigen, die über die gefundenen Beweise Bescheid wissen, arbeiten weiter in dieser Richtung – nur wenige sind zufrieden damit, dass der Große Satz eine Lösung von 130 Seiten erfordert!

Daher konzentrieren sich nun die Bemühungen vieler Mathematiker (hauptsächlich Amateure, keine professionellen Wissenschaftler) auf die Suche nach einem einfachen und prägnanten Beweis, aber dieser Weg wird höchstwahrscheinlich nirgendwohin führen ...