Tangentenverhältnis. Regeln zum Finden trigonometrischer Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens

Lösung:

Laut Definition ist der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Der Schenkel a=25 cm grenzt an den Winkel α=36º und der unbekannte Schenkel b liegt gegenüber. Dann:

$$ tg(\alpha) = \frac(b)(a) $$ , also $$ b = a \cdot tg(\alpha) $$

Machen wir eine Substitution:

$$ b = 25 \cdot tg (36^0) = 25 \cdot 0,727 = 18,175 cm$$

$$ b = 18,175 cm$$

Lösung:

Beim Ersetzen müssen Sie berücksichtigen, dass einer der Winkel in Grad gemessen wird, der andere im Bogenmaß:

$$ 2 + tg(12^0) - tg^2 \left(\frac(\pi)(5) \right) = 2 + 0,213 - 0,727^2 \ungefähr 1,684 $$

Lösung:

Die Höhe der Pyramide H und der Abstand dazu L sind die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Sonnenstrahl ist. Dann ist der Tangens des Winkels, in dem die Sonne an der Spitze der Pyramide sichtbar ist, gleich:

$$ tg \alpha = \frac(H)(L) $$, wir berechnen die Höhe, indem wir die Formel umwandeln:

$$ H = L \cdot tg(\alpha) = 362 \cdot tg(21^0) = 138,96 $$

$$ H = 138,96 $$

Lösung:

A-Priorat

$$ tg \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \alpha = \frac(6)(5) = 1,2 $$

Das bedeutet, dass der Winkel $$ \alpha = 50^(\circ) $$ beträgt.

$$ tg \alpha = 1,2 $$

Lösung:

Mit der pythagoräischen Formel ermitteln wir die angrenzende Seite des Dreiecks:

$$ a = \sqrt((c^2 - b^2)) $$

$$ a = \sqrt((10^2 - 8^2)) = \sqrt(36) = 6 \ cm $$

A-Priorat

$$ tg \ \alpha = \frac(8)(6) = 1,333$$

Das bedeutet, dass der Winkel $$ \alpha = 53^(\circ) $$ .

$$ tg \alpha = 1,333 $$

Lösung:

Mit der pythagoräischen Formel ermitteln wir die Schenkel des Dreiecks:

$$ c = \sqrt( (b^2 + 4b^2) ) = \sqrt((5b^2)) = b\sqrt(5) $$

$$ b = \frac(c)(\sqrt(5)) = \frac( 5\sqrt(5) )(\sqrt(5)) = 5 \ cm $$

$$ a = 5 \cdot 2 = 10 \ cm $$

A-Priorat

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(5)(10) = 0,5$$

Das bedeutet, dass der Winkel $$ \alpha = 27^(\circ) $$ .

$$ tg \alpha = 0,5 $$

Lösung:

Suchen wir das Bein neben dem gewünschten Winkel. Es ist bekannt, dass ein gegenüberliegendes Bein im Winkel von 30° gleich der halben Hypotenuse ist. Bedeutet,

$$ a = 6 \ cm $$

Mit dem Satz des Pythagoras finden wir das dem gewünschten Winkel entgegengesetzte Bein:

$$ b = \sqrt( (c^2 + a^2) ) $$

$$ b = \sqrt( (144-36) ) = \sqrt(108) = 6\sqrt(3)$$

A-Priorat

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(6 \sqrt(3))(6) = \sqrt(3) = 1,732 $$

Das bedeutet, dass der Winkel $$ \alpha = 60^(\circ) $$ beträgt.

$$ tg \alpha = 1,732 $$

Lösung:

A-Priorat

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = 1 $$

Das bedeutet, dass der Winkel $$ \alpha = 45^(\circ) $$ beträgt.

Die Konzepte Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Hauptkategorien der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, und untrennbar mit der Definition des Winkels verbunden. Die Beherrschung dieser mathematischen Wissenschaft erfordert das Auswendiglernen und Verstehen von Formeln und Theoremen sowie ein ausgeprägtes räumliches Denken. Aus diesem Grund bereiten trigonometrische Berechnungen Schülern und Studenten oft Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, sollten Sie sich mit trigonometrischen Funktionen und Formeln vertraut machen.

Konzepte in der Trigonometrie

Um die Grundkonzepte der Trigonometrie zu verstehen, müssen Sie zunächst verstehen, was ein rechtwinkliges Dreieck und ein Winkel in einem Kreis sind und warum alle grundlegenden trigonometrischen Berechnungen damit verbunden sind. Ein Dreieck, bei dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, ist rechteckig. Historisch gesehen wurde diese Figur häufig von Menschen in der Architektur, Navigation, Kunst und Astronomie verwendet. Durch das Studium und die Analyse der Eigenschaften dieser Figur gelangten die Menschen dazu, die entsprechenden Verhältnisse ihrer Parameter zu berechnen.

Die mit rechtwinkligen Dreiecken verbundenen Hauptkategorien sind die Hypotenuse und die Beine. Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite eines Dreiecks. Die Beine sind jeweils die verbleibenden zwei Seiten. Die Winkelsumme aller Dreiecke beträgt immer 180 Grad.

Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilbereich der Trigonometrie, der in der Schule nicht studiert wird, aber in angewandten Wissenschaften wie Astronomie und Geodäsie von Wissenschaftlern verwendet wird. Die Besonderheit eines Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie besteht darin, dass es immer eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad aufweist.

Winkel eines Dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem gewünschten Winkel zur Hypotenuse des Dreiecks. Demnach ist der Kosinus das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Beide Werte haben immer einen Betrag kleiner als eins, da die Hypotenuse immer länger als das Bein ist.

Der Tangens eines Winkels ist ein Wert, der dem Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite des gewünschten Winkels oder Sinus zu Kosinus entspricht. Der Kotangens wiederum ist das Verhältnis der angrenzenden Seite des gewünschten Winkels zur gegenüberliegenden Seite. Der Kotangens eines Winkels kann auch durch Division von eins durch den Tangenswert ermittelt werden.

Einheitskreis

Ein Einheitskreis ist in der Geometrie ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Ein solcher Kreis wird in einem kartesischen Koordinatensystem konstruiert, wobei der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprungspunkt zusammenfällt und die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der X-Achse (Abszissenachse) bestimmt wird. Jeder Punkt auf dem Kreis hat zwei Koordinaten: XX und YY, also die Koordinaten der Abszisse und der Ordinate. Indem wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis in der XX-Ebene auswählen und von dort aus eine Senkrechte zur Abszissenachse ziehen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das durch den Radius zum ausgewählten Punkt (bezeichnet mit dem Buchstaben C), der zur X-Achse gezogenen Senkrechten, gebildet wird (Der Schnittpunkt wird mit dem Buchstaben G bezeichnet) und das Segment der Abszissenachse zwischen dem Ursprung (der Punkt wird mit dem Buchstaben A bezeichnet) und dem Schnittpunkt G. Das resultierende Dreieck ACG ist ein rechtwinkliges Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist. wobei AG die Hypotenuse und AC und GC die Beine sind. Der Winkel zwischen dem Radius des Kreises AC und dem Segment der Abszissenachse mit der Bezeichnung AG wird als α (Alpha) definiert. Also, cos α = AG/AC. Wenn man bedenkt, dass AC der Radius des Einheitskreises ist und gleich eins ist, ergibt sich, dass cos α=AG. Ebenso ist sin α=CG.

Wenn Sie diese Daten kennen, können Sie außerdem die Koordinate von Punkt C auf dem Kreis bestimmen, da cos α=AG und sin α=CG, was bedeutet, dass Punkt C die angegebenen Koordinaten (cos α;sin α) hat. Da wir wissen, dass der Tangens dem Verhältnis von Sinus zu Kosinus entspricht, können wir bestimmen, dass tan α = y/x und cot α = x/y. Durch die Betrachtung von Winkeln in einem negativen Koordinatensystem können Sie berechnen, dass die Sinus- und Cosinuswerte einiger Winkel negativ sein können.

Berechnungen und Grundformeln

Trigonometrische Funktionswerte

Nachdem wir das Wesen trigonometrischer Funktionen durch den Einheitskreis betrachtet haben, können wir die Werte dieser Funktionen für einige Winkel ableiten. Die Werte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die einfachsten trigonometrischen Identitäten

Gleichungen, in denen unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion ein unbekannter Wert steht, werden als trigonometrisch bezeichnet. Identitäten mit dem Wert sin x = α, k – jede ganze Zahl:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitäten mit dem Wert cos x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identitäten mit dem Wert tg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitäten mit dem Wert ctg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Reduktionsformeln

Diese Kategorie konstanter Formeln bezeichnet Methoden, mit denen Sie von trigonometrischen Funktionen der Form zu Funktionen eines Arguments wechseln können, d das Intervall von 0 bis 90 Grad für eine einfachere Berechnung.

Formeln für Reduktionsfunktionen für den Sinus eines Winkels sehen wie folgt aus:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Für den Winkelkosinus:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Die Verwendung der oben genannten Formeln ist unter zwei Regeln möglich. Erstens: Wenn der Winkel als Wert (π/2 ± a) oder (3π/2 ± a) dargestellt werden kann, ändert sich der Wert der Funktion:

• von der Sünde zur Sünde;
• von cos zu sin;
• von tg bis ctg;
• von ctg bis tg.

Der Wert der Funktion bleibt unverändert, wenn der Winkel als (π ± a) oder (2π ± a) dargestellt werden kann.

Zweitens ändert sich das Vorzeichen der reduzierten Funktion nicht: War sie zunächst positiv, bleibt sie es auch. Das Gleiche gilt für negative Funktionen.

Additionsformeln

Diese Formeln drücken die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz zweier Drehwinkel durch ihre trigonometrischen Funktionen aus. Typischerweise werden die Winkel als α und β bezeichnet.

Die Formeln sehen so aus:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Diese Formeln gelten für alle Winkel α und β.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

Die trigonometrischen Formeln für den Doppel- und Dreifachwinkel sind Formeln, die die Funktionen der Winkel 2α bzw. 3α mit den trigonometrischen Funktionen des Winkels α in Beziehung setzen. Abgeleitet aus Additionsformeln:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Übergang von der Summe zum Produkt

Unter Berücksichtigung von 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) erhalten wir durch Vereinfachen dieser Formel die Identität sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ähnlich sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα – tgβ = sin(α – β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Übergang vom Produkt zur Summe

Diese Formeln ergeben sich aus den Identitäten des Übergangs einer Summe zu einem Produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formeln zur Gradreduzierung

In diesen Identitäten können die quadratischen und kubischen Potenzen von Sinus und Cosinus als Sinus und Cosinus der ersten Potenz eines Mehrfachwinkels ausgedrückt werden:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universeller Ersatz

Formeln für die universelle trigonometrische Substitution drücken trigonometrische Funktionen als Tangens eines halben Winkels aus.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), mit x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), mit x = π + 2πn.

Sonderfälle

Sonderfälle der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind unten aufgeführt (k ist eine beliebige ganze Zahl).

Quotienten für Sinus:

Quotienten für Kosinus:

Quotienten für Tangens:

Quotienten für Kotangens:

Theoreme

Satz der Sinus

Es gibt zwei Versionen des Theorems – eine einfache und eine erweiterte. Einfacher Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In diesem Fall sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α, β, γ die entgegengesetzten Winkel.

Erweiterter Sinussatz für ein beliebiges Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In dieser Identität bezeichnet R den Radius des Kreises, in den das gegebene Dreieck eingeschrieben ist.

Kosinussatz

Die Identität wird wie folgt angezeigt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In der Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α ist der Winkel gegenüber der Seite a.

Tangentensatz

Die Formel drückt die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel und der Länge der ihnen gegenüberliegenden Seiten aus. Die Seiten sind mit a, b, c bezeichnet und die entsprechenden entgegengesetzten Winkel sind α, β, γ. Formel des Tangentensatzes: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangenssatz

Verbindet den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises mit der Länge seiner Seiten. Wenn a, b, c die Seiten des Dreiecks und A, B, C jeweils die ihnen gegenüberliegenden Winkel sind, r der Radius des eingeschriebenen Kreises und p der Halbumfang des Dreiecks ist, ergibt sich Folgendes Identitäten sind gültig:

• Kinderbett A/2 = (p-a)/r;
• Kinderbett B/2 = (p-b)/r;
• Kinderbett C/2 = (p-c)/r.

Anwendung

Trigonometrie ist nicht nur eine theoretische Wissenschaft, die mit mathematischen Formeln verbunden ist. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, und viele andere.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind die Grundbegriffe der Trigonometrie, mit deren Hilfe man die Beziehungen zwischen den Winkeln und Längen der Seiten eines Dreiecks mathematisch ausdrücken und durch Identitäten, Theoreme und Regeln die benötigten Größen ermitteln kann.

Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich betrachte zwei Ausgangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das fertige Ergebnis – Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks ​​sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten nie verwendet.

In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie kann es keine Mathematik geben. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir von ihrer Existenz wissen oder nicht.

Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir ohne Zerlegen der Summe gut zurecht, uns genügt die Subtraktion. Aber bei der wissenschaftlichen Erforschung der Naturgesetze kann die Zerlegung einer Summe in ihre Bestandteile sehr nützlich sein.

Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer ihrer Tricks), erfordert, dass die Terme die gleichen Maßeinheiten haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Wert- oder Maßeinheiten sein.

Die Abbildung zeigt zwei Differenzniveaus für mathematische . Die erste Ebene sind die Unterschiede im Zahlenbereich, die angezeigt werden A, B, C. Das ist es, was Mathematiker tun. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das ist es, was Physiker tun. Wir können die dritte Ebene verstehen – Unterschiede im Bereich der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können die gleiche Anzahl identischer Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir der gleichen Einheitenbezeichnung für verschiedene Objekte Indizes hinzufügen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder aufgrund unserer Handlungen verändert. Brief W Ich werde Wasser mit einem Buchstaben bezeichnen S Den Salat bezeichne ich mit einem Buchstaben B- Borschtsch. So sehen lineare Winkelfunktionen für Borschtsch aus.

Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch einlegen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnern Sie sich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es galt herauszufinden, wie viele Tiere es geben würde. Was wurde uns damals beigebracht? Uns wurde beigebracht, Maßeinheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, eine beliebige Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir tun es unverständlich was, unverständlich warum und verstehen nur sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, da Mathematiker aufgrund der drei Differenzebenen nur mit einer operieren. Es wäre richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zur anderen wechselt.

Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, diese zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns ein ähnliches Problem für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Winkelwerte linearer Winkelfunktionen passieren wird.

Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls Null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Es kann null Borschtsch mit null Salat geben (rechter Winkel).

Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl beim Hinzufügen nicht. Dies liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn nur ein Term vorhanden ist und der zweite Term fehlt. Sie können darüber nachdenken, wie Sie möchten, aber denken Sie daran: Alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden. Werfen Sie also Ihre Logik weg und stopfen Sie dummerweise die von Mathematikern erfundenen Definitionen voll: „Division durch Null ist unmöglich“, „jede Zahl multipliziert mit“. „Null ist gleich Null“, „Jenseits des Einstichpunkts Null“ und anderer Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie wieder die Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, denn eine solche Frage verliert jede Bedeutung: Wie kann etwas, das keine Zahl ist, als Zahl betrachtet werden? ? Es ist, als würde man fragen, als welche Farbe eine unsichtbare Farbe klassifiziert werden sollte. Das Hinzufügen einer Null zu einer Zahl ist dasselbe wie das Malen mit Farbe, die nicht vorhanden ist. Wir schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen: „Wir haben gemalt.“ Aber ich schweife ein wenig ab.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).

Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.

Rechter Winkel. Wir haben Wasser. Von dem Salat bleiben nur noch Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist Null. Halten Sie in diesem Fall durch und trinken Sie Wasser, solange Sie es haben)))

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.

Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

Alle diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik unter Verwendung linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein anderes Mal werde ich Ihnen den wahren Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Borschtsch-Trigonometrie zurück und betrachten Projektionen.

Samstag, 26. Oktober 2019

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker des gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:

Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.

Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir die Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.

Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:

Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlicher Natur und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass die Transformationen im Wesentlichen korrekt durchgeführt wurden; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren Sie diese „Ganzen“ nach Farben und wählen Sie die roten Elemente aus. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.

Wo Probleme zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks behandelt wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie sich immer schnell, welche Seite zur Hypotenuse gehört (angrenzend oder gegenüberliegend). Ich habe beschlossen, es nicht lange aufzuschieben, das nötige Material finden Sie unten, bitte lesen Sie es 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, dass Schüler der 10. bis 11. Klasse Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut daran, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber welche- sie vergessen und verwirrt. Wie man bei einer Prüfung weiß, ist der Preis eines Fehlers ein verlorener Punkt.

Die Informationen, die ich direkt präsentiere, haben nichts mit Mathematik zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit Methoden der verbal-logischen Kommunikation verbunden. Genau so habe ich es ein für alle Mal in ErinnerungDefinitionsdaten. Wenn Sie sie doch einmal vergessen, können Sie sie sich mit den vorgestellten Techniken jederzeit leicht merken.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse:

Welche Assoziationen haben Sie mit dem Wort Kosinus?

Wahrscheinlich hat jeder sein eigenes 😉Denken Sie an den Link:

So wird Ihnen der Ausdruck sofort in Erinnerung bleiben -

«… Verhältnis des ANGRENZENDEN Schenkels zur Hypotenuse».

Das Problem mit der Bestimmung des Kosinus wurde gelöst.

Wenn Sie sich die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck merken müssen, können Sie durch die Erinnerung an die Definition des Kosinus leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse ist. Schließlich gibt es nur zwei Zweige; wenn der benachbarte Zweig vom Kosinus „besetzt“ ist, bleibt nur der gegenüberliegende Zweig beim Sinus.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Die Verwirrung ist dieselbe. Die Schüler wissen, dass dies eine Beziehung der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich daran zu erinnern, welches Bein sich auf welches bezieht – entweder das Gegenteil zum benachbarten Bein oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der angrenzenden zur gegenüberliegenden Seite:

Wie erinnert man sich? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine nutzt ebenfalls einen verbal-logischen Zusammenhang, der andere einen mathematischen.

MATHEMATISCHE METHODE

Es gibt eine solche Definition – der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus des Winkels zu seinem Kosinus:

*Wenn Sie die Formel auswendig gelernt haben, können Sie jederzeit feststellen, dass der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus des Winkels zu seinem Sinus:

Also! Wenn Sie sich diese Formeln merken, können Sie jederzeit Folgendes feststellen:

- Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite

— Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

WORTLOGISCHE METHODE

Über Tangente. Denken Sie an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich die Definition der Tangente merken müssen, können Sie sich mithilfe dieser logischen Verbindung leicht merken, was sie ist

„... das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite“

Wenn wir über Kotangens sprechen, dann können Sie, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern, die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

„... das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite“

Auf der Website gibt es einen interessanten Trick, um sich Tangens und Kotangens zu merken " Mathematisches Tandem " , sehen.

UNIVERSELLE METHODE

Man kann es sich einfach merken.Doch wie die Praxis zeigt, merkt sich ein Mensch dank verbal-logischer Zusammenhänge lange Zeit Informationen, und zwar nicht nur mathematische.

Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich betrachte zwei Ausgangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das fertige Ergebnis – Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks ​​sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten nie verwendet.

In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie kann es keine Mathematik geben. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir von ihrer Existenz wissen oder nicht.

Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir ohne Zerlegen der Summe gut zurecht, uns genügt die Subtraktion. Aber bei der wissenschaftlichen Erforschung der Naturgesetze kann die Zerlegung einer Summe in ihre Bestandteile sehr nützlich sein.

Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer ihrer Tricks), erfordert, dass die Terme die gleichen Maßeinheiten haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Wert- oder Maßeinheiten sein.

Die Abbildung zeigt zwei Differenzniveaus für mathematische . Die erste Ebene sind die Unterschiede im Zahlenbereich, die angezeigt werden A, B, C. Das ist es, was Mathematiker tun. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das ist es, was Physiker tun. Wir können die dritte Ebene verstehen – Unterschiede im Bereich der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können die gleiche Anzahl identischer Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir der gleichen Einheitenbezeichnung für verschiedene Objekte Indizes hinzufügen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder aufgrund unserer Handlungen verändert. Brief W Ich werde Wasser mit einem Buchstaben bezeichnen S Den Salat bezeichne ich mit einem Buchstaben B- Borschtsch. So sehen lineare Winkelfunktionen für Borschtsch aus.

Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch einlegen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnern Sie sich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es galt herauszufinden, wie viele Tiere es geben würde. Was wurde uns damals beigebracht? Uns wurde beigebracht, Maßeinheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, eine beliebige Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir tun es unverständlich was, unverständlich warum und verstehen nur sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, da Mathematiker aufgrund der drei Differenzebenen nur mit einer operieren. Es wäre richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zur anderen wechselt.

Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, diese zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns ein ähnliches Problem für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Winkelwerte linearer Winkelfunktionen passieren wird.

Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls Null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Es kann null Borschtsch mit null Salat geben (rechter Winkel).

Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl beim Hinzufügen nicht. Dies liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn nur ein Term vorhanden ist und der zweite Term fehlt. Sie können darüber nachdenken, wie Sie möchten, aber denken Sie daran: Alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden. Werfen Sie also Ihre Logik weg und stopfen Sie dummerweise die von Mathematikern erfundenen Definitionen voll: „Division durch Null ist unmöglich“, „jede Zahl multipliziert mit“. „Null ist gleich Null“, „Jenseits des Einstichpunkts Null“ und anderer Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie wieder die Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, denn eine solche Frage verliert jede Bedeutung: Wie kann etwas, das keine Zahl ist, als Zahl betrachtet werden? ? Es ist, als würde man fragen, als welche Farbe eine unsichtbare Farbe klassifiziert werden sollte. Das Hinzufügen einer Null zu einer Zahl ist dasselbe wie das Malen mit Farbe, die nicht vorhanden ist. Wir schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen: „Wir haben gemalt.“ Aber ich schweife ein wenig ab.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).

Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.

Rechter Winkel. Wir haben Wasser. Von dem Salat bleiben nur noch Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist Null. Halten Sie in diesem Fall durch und trinken Sie Wasser, solange Sie es haben)))

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.

Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

Alle diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik unter Verwendung linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein anderes Mal werde ich Ihnen den wahren Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Borschtsch-Trigonometrie zurück und betrachten Projektionen.

Samstag, 26. Oktober 2019

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker des gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:

Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.

Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir die Zahlen selbst erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.

Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:

Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.

Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik im gleichen Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlicher Natur und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass die Transformationen im Wesentlichen korrekt durchgeführt wurden; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.

Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.

Montag, 7. Januar 2019

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren Sie diese „Ganzen“ nach Farben und wählen Sie die roten Elemente aus. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.

Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.