Die Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte ist vollständig. Sinus (sin x) und Cosinus (cos x) – Eigenschaften, Grafiken, Formeln
Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen abgeleitet, um einen genauen Kalender und eine genaue Ausrichtung anhand der Sterne zu erstellen. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während im Schulkurs das Verhältnis von Seiten und Winkeln eines ebenen Dreiecks untersucht wird.
Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt.
Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Osten bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des Arabischen Kalifats. Insbesondere führte der turkmenische Wissenschaftler al-Marazwi Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Die Konzepte Sinus und Cosinus wurden von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Die Trigonometrie fand in den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes große Beachtung.
Grundgrößen der Trigonometrie
Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.
Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist die Formulierung besser bekannt: „Pythagoräische Hose, in alle Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.
Sinus, Kosinus und andere Beziehungen legen die Beziehung zwischen den spitzen Winkeln und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks fest. Stellen wir Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A vor und verfolgen wir die Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:
Wie Sie sehen, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir uns Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c vorstellen, erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:
Trigonometrischer Kreis
Grafisch lässt sich der Zusammenhang zwischen den genannten Größen wie folgt darstellen:
Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α – von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Beispielsweise hat sin α ein „+“-Zeichen, wenn α zum 1. und 2. Viertel des Kreises gehört, also im Bereich von 0° bis 180° liegt. Für α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.
Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.
Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Für sie werden die Werte trigonometrischer Funktionen berechnet und in Form spezieller Tabellen dargestellt.
Diese Winkel wurden nicht zufällig ausgewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen bezieht sich auf das Bogenmaß. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um eine universelle Abhängigkeit herzustellen; bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.
Winkel in Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Bogenmaßwerten:
Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein vollständiger Kreis oder 360° ist.
Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus
Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer Kurve erfolgen, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegt.
Betrachten Sie die Vergleichstabelle der Eigenschaften für Sinus und Cosinus:
| Sinus | Kosinus |
|---|---|
| y = Sünde x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z | cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z |
| sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z | cos x = 1, bei x = 2πk, wobei k ϵ Z |
| sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z | cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, d. h. die Funktion ist ungerade | cos (-x) = cos x, d. h. die Funktion ist gerade |
| Die Funktion ist periodisch, die kleinste Periode ist 2π | |
| sin x › 0, wobei x zum 1. und 2. Viertel oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, wobei x zum dritten und vierten Viertel oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, wobei x zum 2. und 3. Viertel oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| steigt im Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | steigt im Intervall [-π + 2πk, 2πk] |
| nimmt in den Intervallen [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab | nimmt in Abständen ab |
| Ableitung (sin x)‘ = cos x | Ableitung (cos x)’ = - sin x |
Es ist sehr einfach festzustellen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht. Es genügt, sich einen trigonometrischen Kreis mit den Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen gedanklich relativ zur OX-Achse zu „falten“. Wenn die Vorzeichen übereinstimmen, ist die Funktion gerade, andernfalls ist sie ungerade.
Die Einführung des Bogenmaßes und die Auflistung der grundlegenden Eigenschaften von Sinus- und Kosinuswellen ermöglichen uns die Darstellung des folgenden Musters:
Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob die Formel korrekt ist. Für x = π/2 ist beispielsweise der Sinus 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Konsultieren von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.
Eigenschaften von Tangentenoiden und Kotangentenoiden
Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich deutlich von den Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Werte tg und ctg sind Kehrwerte voneinander.
- Y = tan x.
- Die Tangente tendiert zu den Werten von y bei x = π/2 + πk, erreicht sie aber nie.
- Die kleinste positive Periode des Tangentoids ist π.
- Tg (- x) = - tg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
- Tg x = 0, für x = πk.
- Die Funktion nimmt zu.
- Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Ableitung (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Betrachten Sie das grafische Bild des Kotangentoids unten im Text.
Haupteigenschaften von Cotangentoiden:
- Y = Kinderbett x.
- Im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen kann Y beim Tangentoid die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
- Der Kotangentoid tendiert zu den Werten von y bei x = πk, erreicht diese aber nie.
- Die kleinste positive Periode eines Kotangentoids ist π.
- Ctg (- x) = - ctg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
- Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
- Die Funktion nimmt ab.
- Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Ableitung (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Richtig
Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)
Lassen Sie mich zunächst an eine einfache, aber sehr nützliche Schlussfolgerung aus der Lektion „Was sind Sinus und Cosinus? Was sind Tangens und Kotangens?“ erinnern.
Dies ist die Ausgabe:
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind eng mit ihren Winkeln verbunden. Wir wissen eine Sache, was bedeutet, dass wir etwas anderes wissen.
Mit anderen Worten: Jeder Winkel hat seinen eigenen konstanten Sinus und Cosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens. Warum fast? Mehr dazu weiter unten.
Dieses Wissen hilft Ihnen sehr im Studium! Es gibt viele Aufgaben, bei denen Sie von Sinus zu Winkeln und umgekehrt wechseln müssen. Dafür gibt es Sinustabelle. Ebenso für Aufgaben mit Kosinus - Kosinustabelle. Und wie Sie vielleicht schon erraten haben, gibt es das auch Tangententabelle Und Tabelle der Kotangenten.)
Tische sind unterschiedlich. Lange, wo Sie sehen können, was beispielsweise sin37°6’ entspricht. Wir öffnen die Bradis-Tabellen, suchen nach einem Winkel von siebenunddreißig Grad und sechs Minuten und sehen den Wert 0,6032. Es ist klar, dass es absolut nicht nötig ist, sich diese Zahl (und tausende andere Tabellenwerte) zu merken.
Tatsächlich werden in unserer Zeit lange Tabellen mit Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens nicht wirklich benötigt. Ein guter Taschenrechner ersetzt sie vollständig. Aber es schadet nicht, über die Existenz solcher Tabellen Bescheid zu wissen. Zur allgemeinen Gelehrsamkeit.)
Und warum dann diese Lektion?! - du fragst.
Aber warum. Unter den unendlich vielen Winkeln gibt es besonders, worüber Sie Bescheid wissen sollten Alle. Die gesamte Schulgeometrie und Trigonometrie basiert auf diesen Winkeln. Dies ist eine Art „Einmalzahl“ der Trigonometrie. Wenn Sie beispielsweise nicht wissen, was sin50° entspricht, wird Sie niemand verurteilen. Wenn Sie jedoch nicht wissen, was sin30° entspricht, seien Sie bereit, eine wohlverdiente Zwei zu bekommen ...
Solch besonders Auch die Winkel sind recht gut. Schulbücher bieten in der Regel freundlicherweise das Auswendiglernen an Sinustabelle und Cosinustabelle für siebzehn Winkel. Und natürlich, Tangententabelle und Kotangenstabelle für die gleichen siebzehn Winkel... D.h. Es wird vorgeschlagen, sich 68 Werte zu merken. Die übrigens einander sehr ähnlich sind, sich hin und wieder wiederholen und das Vorzeichen wechseln. Für einen Menschen ohne perfektes visuelles Gedächtnis ist das eine ziemliche Aufgabe...)
Wir gehen einen anderen Weg. Ersetzen wir das Auswendiglernen durch Logik und Einfallsreichtum. Dann müssen wir uns 3 (drei!) Werte für die Sinustabelle und die Kosinustabelle merken. Und 3 (drei!) Werte für die Tangententabelle und die Kotangententabelle. Und alle. Sechs Werte sind meiner Meinung nach leichter zu merken als 68...)
Alle weiteren notwendigen Werte ermitteln wir aus diesen sechs mithilfe eines leistungsstarken juristischen Spickzettels - trigonometrischer Kreis. Wenn Sie dieses Thema noch nicht studiert haben, folgen Sie dem Link, seien Sie nicht faul. Dieser Kreis wird nicht nur für diese Lektion benötigt. Er ist unersetzlich für die gesamte Trigonometrie auf einmal. Ein solches Werkzeug nicht zu verwenden ist einfach eine Sünde! Du willst nicht? Das geht nur dich was an. Sich einprägen Sinustabelle. Tabelle der Kosinuswerte. Tangententabelle. Tabelle der Kotangenten. Alle 68 Werte für verschiedene Winkel.)
Also, fangen wir an. Lassen Sie uns zunächst alle diese besonderen Aspekte in drei Gruppen einteilen.
Erste Winkelgruppe.
Betrachten wir die erste Gruppe siebzehn Winkel besonders. Dies sind 5 Winkel: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
So sieht die Tabelle der Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte für diese Winkel aus:
Winkel x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Winkel x
|
0 |
||||
Sünde x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
weil x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
Substantiv |
0 |
Substantiv |
0 |
ctg x |
Substantiv |
0 |
Substantiv |
0 |
Substantiv |
Wer sich erinnern will, der erinnert sich. Aber ich sage gleich, dass all diese Einsen und Nullen im Kopf sehr durcheinander geraten. Viel stärker als Sie wollen.) Deshalb schalten wir die Logik und den trigonometrischen Kreis ein.
Wir zeichnen einen Kreis und markieren darauf die gleichen Winkel: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Diese Ecken habe ich mit roten Punkten markiert:
Es ist sofort klar, was das Besondere an diesen Winkeln ist. Ja! Dies sind die Winkel, die fallen genau auf der Koordinatenachse! Das ist eigentlich der Grund, warum die Leute verwirrt sind ... Aber wir lassen uns nicht verwirren. Lassen Sie uns herausfinden, wie man ohne viel Auswendiglernen trigonometrische Funktionen dieser Winkel findet.
Die Winkelposition beträgt übrigens 0 Grad stimmt völlig überein mit einer 360-Grad-Winkelposition. Das bedeutet, dass Sinus, Cosinus und Tangens dieser Winkel genau gleich sind. Ich habe einen 360-Grad-Winkel markiert, um den Kreis zu schließen.
Angenommen, Sie haben in der schwierigen, stressigen Umgebung des Einheitlichen Staatsexamens irgendwie gezweifelt ... Was ist der Sinus von 0 Grad? Es scheint Null zu sein... Was ist, wenn es Eins ist?! Mechanisches Auswendiglernen ist so etwas. Unter harten Bedingungen beginnen Zweifel zu nagen...)
Ruhig, einfach ruhig!) Ich verrate Ihnen eine praktische Technik, die Ihnen eine 100 % richtige Antwort gibt und alle Zweifel vollständig beseitigt.
Lassen Sie uns als Beispiel herausfinden, wie Sie beispielsweise den Sinus von 0 Grad klar und zuverlässig bestimmen können. Und gleichzeitig Kosinus 0. Seltsamerweise sind es gerade diese Werte, die die Menschen oft verwirren.
Zeichnen Sie dazu einen Kreis auf willkürlich Ecke X. Im ersten Viertel lag die Temperatur nahe bei 0 Grad. Markieren wir den Sinus und Cosinus dieses Winkels auf den Achsen X, alles ist gut. So:
Und jetzt – Achtung! Reduzieren wir den Winkel X, bringen Sie die bewegliche Seite näher an die Achse OH. Bewegen Sie Ihren Mauszeiger über das Bild (oder tippen Sie auf das Bild auf Ihrem Tablet) und Sie sehen alles.
Jetzt schalten wir die elementare Logik ein! Lasst uns schauen und nachdenken: Wie verhält sich sinx, wenn der Winkel x kleiner wird? Wenn der Winkel gegen Null geht? Es schrumpft! Und cosx steigt! Es bleibt abzuwarten, was mit dem Sinus passiert, wenn der Winkel vollständig zusammenbricht. Wann kommt die bewegliche Seite des Winkels (Punkt A) auf der OX-Achse zur Ruhe und der Winkel wird gleich Null? Offensichtlich geht der Sinus des Winkels gegen Null. Und der Kosinus erhöht sich auf... auf... Wie lang ist die bewegte Seite des Winkels (der Radius des trigonometrischen Kreises)? Eins!
Hier ist die Antwort. Der Sinus von 0 Grad ist gleich 0. Der Kosinus von 0 Grad ist gleich 1. Absolut eisern und ohne Zweifel!) Einfach weil anders es kann nicht sein.
Genauso können Sie beispielsweise den Sinus von 270 Grad herausfinden (bzw. klären). Oder Kosinus 180. Zeichne einen Kreis, willkürlich Einen Winkel in einem Viertel neben der für uns interessanten Koordinatenachse, bewegen Sie im Geiste die Seite des Winkels und begreifen Sie, wie sich Sinus und Cosinus entwickeln, wenn die Seite des Winkels auf die Achse fällt. Das ist alles.
Wie Sie sehen, ist es für diese Winkelgruppe nicht nötig, sich etwas zu merken. Hier nicht nötig Sinustabelle... ja und Kosinustabelle- auch.) Übrigens werden sich alle diese Werte nach mehrmaliger Verwendung des trigonometrischen Kreises von selbst merken. Und wenn sie es vergessen, habe ich in 5 Sekunden einen Kreis gezeichnet und es klargestellt. Viel einfacher, als einen Freund von der Toilette aus anzurufen und Ihr Zertifikat zu riskieren, oder?)
Bei Tangens und Kotangens ist alles gleich. Wir zeichnen eine Tangente (Kotangente) auf den Kreis – und schon ist alles sofort sichtbar. Wo sie gleich Null sind und wo sie nicht existieren. Was, Sie wissen nichts über Tangenten und Kotangenten? Das ist traurig, aber lösbar.) Wir haben Abschnitt 555 Tangente und Kotangens am trigonometrischen Kreis besucht – und es gibt keine Probleme!
Wenn Sie herausgefunden haben, wie Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für diese fünf Winkel klar definieren können, herzlichen Glückwunsch! Für alle Fälle informiere ich Sie darüber, dass Sie jetzt Funktionen definieren können alle Winkel, die auf die Achsen fallen. Und das sind 450° und 540° und 1800° und unendlich viele andere...) Ich habe (richtig!) den Winkel auf dem Kreis gezählt – und es gibt keine Probleme mit den Funktionen.
Aber gerade bei der Messung von Winkeln treten Probleme und Fehler auf... Wie man sie vermeidet, erfahren Sie in der Lektion: Wie zeichnet (zählt) man jeden Winkel auf einem trigonometrischen Kreis in Grad? Elementar, aber sehr hilfreich im Kampf gegen Fehler.)
Hier ist eine Lektion: Wie man jeden Winkel auf einem trigonometrischen Kreis im Bogenmaß zeichnet (misst) – es wird cooler. Was die Möglichkeiten angeht. Nehmen wir an, wir bestimmen, auf welche der vier Halbachsen der Winkel fällt
Sie können es in ein paar Sekunden erledigen. Ich mache keine Witze! Nur in ein paar Sekunden. Nun, natürlich nicht nur 345 pi...) Und 121 und 16 und -1345. Jeder ganzzahlige Koeffizient ist für eine sofortige Antwort geeignet.
Und wenn die Ecke
Denken Sie nur! Die richtige Antwort erhalten Sie in 10 Sekunden. Für jeden Bruchwert im Bogenmaß mit einer Zwei im Nenner.
Das ist eigentlich das Gute am trigonometrischen Kreis. Weil die Fähigkeit, mit zu arbeiten manche Ecken, auf die es automatisch erweitert wird unendliche Menge Ecken
Wir haben also fünf von siebzehn Ecken geklärt.
Zweite Winkelgruppe.
Die nächste Winkelgruppe sind die Winkel 30°, 45° und 60°. Warum genau diese und nicht beispielsweise 20, 50 und 80? Ja, irgendwie ist es so gekommen... (Historisch gesehen.) Weiter wird sich zeigen, warum diese Winkel gut sind.
Die Tabelle der Sinus-Kosinus-Tangens-Kotangens für diese Winkel sieht folgendermaßen aus:
Winkel x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Winkel x
|
0 |
||||
Sünde x |
0 |
1 |
|||
weil x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
Substantiv |
||
ctg x |
Substantiv |
1 |
0 |
Um das Bild zu vervollständigen, habe ich die Werte für 0° und 90° aus der vorherigen Tabelle belassen.) Damit Sie sehen können, dass diese Winkel im ersten Viertel liegen und zunehmen. Von 0 bis 90. Dies wird uns später nützlich sein.
Dabei sind die Tabellenwerte für die Winkel 30°, 45° und 60° zu beachten. Merken Sie es sich, wenn Sie möchten. Aber auch hier besteht die Möglichkeit, Ihnen das Leben zu erleichtern.) Achten Sie darauf Sinustabellenwerte diese Winkel. Und vergleiche mit Cosinus-Tabellenwerte...
Ja! Sie Dasselbe! Nur in umgekehrter Reihenfolge angeordnet. Winkel erhöhen sich (0, 30, 45, 60, 90) – und Sinuswerte Zunahme von 0 bis 1. Sie können dies mit einem Taschenrechner überprüfen. Und die Kosinuswerte sind nehmen ab von 1 auf Null. Darüber hinaus die Werte selbst Dasselbe. Bei Winkeln von 20, 50, 80 würde das nicht funktionieren...
Dies ist eine nützliche Schlussfolgerung. Genug zum Lernen drei Werte für Winkel von 30, 45, 60 Grad. Und denken Sie daran, dass sie für den Sinus zunehmen und für den Kosinus abnehmen. In Richtung Sinus.) Sie treffen sich auf halber Strecke (45°), das heißt, der Sinus von 45 Grad ist gleich dem Kosinus von 45 Grad. Und dann gehen sie wieder auseinander... Drei Bedeutungen kann man lernen, oder?
Bei Tangenten - Kotangenten ist das Bild genau das gleiche. Eins zu eins. Lediglich die Bedeutungen sind unterschiedlich. Auch diese Werte (drei weitere!) müssen gelernt werden.
Nun, fast das ganze Auswendiglernen ist vorbei. Sie haben (hoffentlich) verstanden, wie man die Werte für die fünf auf die Achse fallenden Winkel ermittelt und die Werte für die Winkel von 30, 45, 60 Grad gelernt. Insgesamt 8.
Es bleibt noch die letzte Gruppe von 9 Ecken zu bewältigen.
Das sind die Winkel:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Für diese Winkel müssen Sie die Sinustabelle, die Kosinustabelle usw. kennen.
Albtraum, oder?)
Und wenn man hier Winkel hinzufügt, wie zum Beispiel: 405°, 600° oder 3000° und viele, viele ebenso schöne?)
Oder Winkel im Bogenmaß? Zum Beispiel zu Winkeln:
und viele andere, die Sie kennen sollten Alle.
Das Lustigste ist, das zu wissen Alle - grundsätzlich unmöglich. Wenn Sie einen mechanischen Speicher verwenden.
Und es ist sehr einfach, sogar elementar – wenn Sie einen trigonometrischen Kreis verwenden. Sobald Sie den Dreh raus haben, mit dem trigonometrischen Kreis zu arbeiten, können alle gefürchteten Winkel in Grad einfach und elegant auf die guten, altmodischen Winkel reduziert werden:
Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)
Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)
Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.
Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.
Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“
Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.
Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.
Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.
Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Mit der großen Zahl 12345 möchte ich mir nichts vormachen, betrachten wir die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.
Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten der gleichen Größe beim Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
WERTETABELLE TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN
Die Wertetabelle trigonometrischer Funktionen ist für Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 und 360 Grad und die entsprechenden Winkelwerte in Vradian erstellt. Von den trigonometrischen Funktionen zeigt die Tabelle Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans. Um das Lösen von Schulbeispielen zu erleichtern, werden die Werte trigonometrischer Funktionen in der Tabelle in Form eines Bruchs geschrieben, wobei die Zeichen zum Extrahieren der Quadratwurzel von Zahlen erhalten bleiben, was sehr oft dazu beiträgt, komplexe mathematische Ausdrücke zu reduzieren. Für Tangens und Kotangens können die Werte einiger Winkel nicht bestimmt werden. Für die Werte von Tangens und Kotangens solcher Winkel gibt es in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen einen Strich. Es ist allgemein anerkannt, dass Tangens und Kotangens solcher Winkel gleich unendlich sind. Auf einer separaten Seite finden Sie Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen.
Die Wertetabelle für die trigonometrische Sinusfunktion zeigt die Werte für die folgenden Winkel: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in Grad, was entspricht sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi im Bogenmaß der Winkel. Schultafel mit Sinus.
Für die trigonometrische Kosinusfunktion zeigt die Tabelle die Werte für die folgenden Winkel: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 in Grad, was cos 0 pi entspricht , cos pi mal 6, cos pi mal 4, cos pi mal 3, cos pi mal 2, cos pi, cos 3 pi mal 2, cos 2 pi im Bogenmaß der Winkel. Schultisch der Kosinuswerte.
Die trigonometrische Tabelle für die trigonometrische Tangensfunktion gibt Werte für die folgenden Winkel an: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 im Gradmaß, was tg 0 pi, tg pi/6 entspricht, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi im Bogenmaß für Winkel. Die folgenden Werte der trigonometrischen Tangensfunktionen sind nicht definiert: tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 und gelten als gleich unendlich.
Für die trigonometrische Funktion Kotangens in der trigonometrischen Tabelle sind die Werte der folgenden Winkel angegeben: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 im Gradmaß, was ctg pi/6, ctg pi/4 entspricht , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 im Bogenmaß für Winkel. Die folgenden Werte der trigonometrischen Kotangensfunktionen sind nicht definiert ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi und gelten als gleich unendlich.
Die Werte der trigonometrischen Funktionen Sekante und Kosekans werden für die gleichen Winkel in Grad und Bogenmaß wie Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens angegeben.
Die Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen nicht standardmäßiger Winkel zeigt die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für Winkel in Grad 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 Grad und im Bogenmaß pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 Bogenmaß. Die Werte trigonometrischer Funktionen werden in Form von Brüchen und Quadratwurzeln ausgedrückt, um die Reduzierung von Brüchen in Schulbeispielen zu erleichtern.
Drei weitere Trigonometrie-Monster. Der erste ist der Tangens von 1,5 eineinhalb Grad oder Pi geteilt durch 120. Der zweite ist der Kosinus von Pi geteilt durch 240, pi/240. Der längste Wert ist der Kosinus von Pi dividiert durch 17, pi/17.
Der trigonometrische Wertekreis der Funktionen Sinus und Cosinus stellt visuell die Vorzeichen von Sinus und Cosinus in Abhängigkeit von der Größe des Winkels dar. Speziell bei Blondinen werden die Kosinuswerte mit einem grünen Strich unterstrichen, um Verwirrung zu vermeiden. Die Umrechnung von Grad in Bogenmaß wird auch sehr deutlich dargestellt, wenn Bogenmaß in Pi ausgedrückt wird.
Diese trigonometrische Tabelle stellt die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für Winkel von 0,00 bis 90,90 Grad in Ein-Grad-Intervallen dar. Für die ersten 45 Grad sollten die Namen der trigonometrischen Funktionen oben in der Tabelle nachgesehen werden. Die erste Spalte enthält Grade, in den nächsten vier Spalten werden die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens geschrieben.
Für Winkel von 45 Grad bis 90 Grad werden die Namen der trigonometrischen Funktionen unten in der Tabelle angegeben. Die letzte Spalte enthält Grade; die Werte von Kosinus, Sinus, Kotangens und Tangens werden in die vorherigen vier Spalten geschrieben. Sie sollten vorsichtig sein, da sich die Namen der trigonometrischen Funktionen unten in der trigonometrischen Tabelle von den Namen oben in der Tabelle unterscheiden. Sinus und Cosinus sind ebenso wie Tangens und Kotangens vertauscht. Dies liegt an der Symmetrie der Werte trigonometrischer Funktionen.
Die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen sind in der Abbildung oben dargestellt. Sinus hat positive Werte von 0 bis 180 Grad oder 0 bis Pi. Sinus hat negative Werte von 180 bis 360 Grad oder von Pi bis 2 Pi. Kosinuswerte sind positiv von 0 bis 90 und 270 bis 360 Grad oder 0 bis 1/2 Pi und 3/2 bis 2 Pi. Tangens und Kotangens haben positive Werte von 0 bis 90 Grad und von 180 bis 270 Grad, entsprechend Werten von 0 bis 1/2 Pi und Pi bis 3/2 Pi. Negative Werte von Tangens und Kotangens liegen zwischen 90 und 180 Grad und zwischen 270 und 360 Grad oder zwischen 1/2 Pi und Pi und zwischen 3/2 Pi und 2 Pi. Bei der Bestimmung der Vorzeichen trigonometrischer Funktionen für Winkel größer als 360 Grad oder 2 Pi sollten Sie die Periodizitätseigenschaften dieser Funktionen verwenden.
Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Tangens und Kotangens sind ungerade Funktionen. Die Werte dieser Funktionen für negative Winkel sind negativ. Der Kosinus ist eine gerade trigonometrische Funktion – der Kosinuswert für einen negativen Winkel ist positiv. Beim Multiplizieren und Dividieren trigonometrischer Funktionen müssen Vorzeichenregeln befolgt werden.
Die Wertetabelle für die trigonometrische Sinusfunktion zeigt die Werte für die folgenden Winkel
DokumentierenReduktionsformeln finden Sie auf einer separaten Seite trigonometrischFunktionen. IN TischWerteFürtrigonometrischFunktionenSinusgegebenWerteFürdie folgendeEcken: Sünde 0, Sünde 30, Sünde 45 ...
Der vorgeschlagene mathematische Apparat ist ein vollständiges Analogon der komplexen Analysis für n-dimensionale hyperkomplexe Zahlen mit einer beliebigen Anzahl von Freiheitsgraden n und ist für die mathematische Modellierung nichtlinearer Zahlen gedacht
Dokumentieren... Funktionen gleicht Funktionen Bilder. Aus diesem Satz sollen, Was Für Wenn Sie die Koordinaten U, V finden, reicht es aus, sie zu berechnen Funktion... Geometrie; Polynar Funktionen(mehrdimensionale Analoga von zweidimensionalen trigonometrischFunktionen), ihre Eigenschaften, Tische und Anwendung; ...
