نیمسازهای یک مثلث. درس تعمیم "قضیه های منلائوس و سیوا" حل المسائل - کارگاه

• تکرار و تعمیم قضایای مورد مطالعه؛
• کاربرد آنها را در حل تعدادی از مشکلات در نظر بگیرید.
• آماده سازی دانشجویان برای امتحانات ورودی دانشگاه؛
• آموزش اجرای زیبایی شناختی نقاشی ها برای وظایف.

تجهیزات: پروژکتور چند رسانه ای. پیوست 1.

در طول کلاس ها:

1. لحظه سازمانی.

2. بررسی تکالیف:

• اثبات قضایا - 2 دانش آموز + 2 دانشجو - مشاوران (تأیید کنندگان)؛
• حل مشکلات خانه - 3 دانش آموز;
• کار با کلاس - حل مسئله شفاهی:

نقطه C 1 ضلع AB مثلث ABC را نسبت به 2: 1 تقسیم می کند. نقطه B 1 در ادامه ضلع AC فراتر از نقطه C قرار دارد و AC \u003d CB 1. خط B 1 C 1 ضلع BC را به چه نسبتی تقسیم می کند؟ (در اسلاید 2).

حل: با شرط با استفاده از قضیه منلائوس، در می یابیم: .

در مثلث ABC، AD میانه است، نقطه O نقطه وسط میانه است. خط BO سمت AC را در نقطه K قطع می کند.

نقطه K با شمارش از نقطه A AC را به چه نسبتی تقسیم می کند؟ (در اسلاید 3).

راه حل:فرض کنید ВD = DC = a، AO = ОD = m. خط BK دو ضلع و امتداد ضلع سوم مثلث ADC را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

در مثلث ABC در ضلع BC نقطه N در نظر گرفته می شود به طوری که NC = 3BN. در امتداد سمت AC، نقطه M به عنوان نقطه A در نظر گرفته می شود به طوری که MA = AC. خط MN ضلع AB را در نقطه F قطع می کند. نسبت را پیدا کنید. (در اسلاید 4).

راه حل: با توجه به شرط مسئله، MA = AC، NC = 3 BN. اجازه دهید MA = AC = b، BN = k، NC = 3k. خط MN دو ضلع مثلث ABC و امتداد ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

نقطه N در ضلع PQ مثلث PQR و نقطه L در ضلع PR گرفته می شود و NQ = LR. نقطه تقاطع بخش های QL و NR QR را به نسبت m: n تقسیم می کند و از نقطه Q شمارش می کند. PN: PR را پیدا کنید. (در اسلاید 5).

راه حل: با شرط NQ = LR، . اجازه دهید NA = LR = a، QF = کیلومتر، LF = kn. خط NR دو ضلع مثلث PQL و پسوند سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

3. توسعه مهارت های عملی.

1. حل مسئله:

اثبات قضیه: وسط مثلث در یک نقطه قطع می شود. نقطه تقاطع هر یک از آنها را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از بالا شمارش می کند. (شکل 1 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید AM 1 , VM 2 , CM 3 میانه های مثلث ABC باشند. برای اثبات اینکه این بخش ها در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، نشان دادن آن کافی است سپس، با قضیه Ceva (معکوس)، قطعات AM 1، VM 2 و CM 3 در یک نقطه قطع می شوند. ما داریم:

بنابراین، ثابت می شود که وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود.

O نقطه تقاطع میانه ها باشد. خط M 3 C دو ضلع مثلث AVM 2 و ادامه ضلع سوم این مثلث را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس

یا .

با در نظر گرفتن قضیه منلائوس برای مثلث های AM 1 C و AM 2 C، به این نتیجه می رسیم که

. قضیه ثابت شده است.

قضیه را ثابت کنید: نیمسازهای مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.(شکل 2 اسلاید 6).

اثبات: برای نشان دادن آن کافی است . سپس، با قضیه Ceva (معکوس)، AL 1، BL 2، CL 3 در یک نقطه قطع می شوند. با توجه به ویژگی نیمسازهای مثلث:

. با ضرب برابری های بدست آمده در ترم، به دست می آوریم: . بنابراین، برای نیمسازهای یک مثلث، تساوی Ceva برآورده می شود، بنابراین، آنها در یک نقطه قطع می شوند. قضیه ثابت شده است.

وظیفه 7

قضیه را ثابت کنید: ارتفاع یک مثلث حاد در یک نقطه قطع می شود.(شکل 3 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید AH 1 , AH 2, AH 3 ارتفاع مثلث ABC با اضلاع a,b,c باشد. از مثلث های قائم الزاویه ABH 2 و BCH 2، طبق قضیه فیثاغورث، به ترتیب مربع پایه مشترک BH 2 را بیان می کنیم که نشان دهنده AH 2 = x، CH 2 = b - x است.

(BH 2) 2 \u003d c 2 - x 2 و (BH 2) 2 \u003d a 2 - (b - x) 2. با معادل سازی قسمت های مناسب برابری های به دست آمده ، با 2 - x 2 \u003d a 2 - (b - x) 2 به دست می آوریم ، از آنجا x \u003d.

سپس b –x = b - = .

بنابراین، AH 2 = ، CH 2 = .

با استدلال مشابه برای مثلث های قائم الزاویه ACH 2 و BCH 3 , VAN 1 و SAN 1 , AN 3 = , VN 3 = و VN 1 = ,

برای اثبات قضیه، نشان دادن آن کافی است . سپس، با قضیه Ceva (معکوس)، قطعات AN 1، VN 2 و CH 3 در یک نقطه قطع می شوند. با جایگزین کردن عبارات طول قطعات AN 3، VN 3، VN 1، CH 1، CH 2 و AN 2 در سمت چپ معادله از a، b، c، مطمئن می شویم که برابری Ceva برای ارتفاعات مثلث برآورده شده است قضیه ثابت شده است.

وظایف 5 - 7 تصمیم مستقل 3 دانش آموز. (نقشه های صفحه نمایش).

2. دیگران:

قضیه را ثابت کنید: اگر دایره ای در یک مثلث محاط شود، بخش هایی که رئوس مثلث را به نقاط تماس اضلاع مقابل هم متصل می کنند در یک نقطه قطع می کنند. (در شکل 4 اسلاید 6).

اثبات: فرض کنید A 1 , B 1 و C 1 نقاط مماس دایره محاطی مثلث ABC باشند. برای اثبات اینکه بخش های AA 1، BB 1 و CC 1 در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، کافی است نشان دهیم که برابری Ceva برآورده شده است:

. با استفاده از خاصیت مماس های ترسیم شده از یک نقطه، نماد را معرفی می کنیم: BC 1 = BA 1 = x، CA 1 = CB 1 = y، AB 1 = AC 1 = z.

. برابری Ceva برآورده می شود، به این معنی که بخش های نشان داده شده (نصف مثلث) در یک نقطه قطع می شوند. این نقطه را نقطه جرگون می نامند. قضیه ثابت شده است.

3. تجزیه و تحلیل وظایف 5، 6، 7.

وظیفه 9

فرض کنید AD میانه مثلث ABC باشد. یک نقطه K در سمت AD گرفته می شود به طوری که AK: KD = 3: 1. خط مستقیم BK مثلث ABC را به دو قسمت تقسیم می کند. نسبت مساحت این مثلث ها را پیدا کنید. (در اسلاید 7 شکل 1)

راه حل: اجازه دهید AD = DC = a، KD = m، سپس AK = 3m. فرض کنید P نقطه تقاطع خط VC با ضلع AC باشد. شما باید یک رابطه پیدا کنید. از آنجایی که مثلث های ABP و PBC دارای ارتفاع مساوی هستند که از راس B گرفته شده اند، پس = . طبق قضیه منلائوس، برای مثلث ADC و سکانس PB داریم: . پس = .

وظیفه 10

در مثلث ABC که دور یک دایره محصور شده است، AB = 8، BC = 5، AC = 4. A 1 و C 1 به ترتیب نقاط تماس متعلق به اضلاع BC و BA هستند. P - نقطه تقاطع قطعات AA 1 و SS 1. نقطه P روی نیمساز BB 1 قرار دارد. AR: RA 1 را پیدا کنید.

(در اسلاید 7 شکل 2)

راه حل: نقطه تماس دایره با ضلع AC با B 1 منطبق نیست، زیرا مثلث ABC مقیاس است. اجازه دهید C 1 B \u003d x، سپس، با استفاده از خاصیت مماس های کشیده شده به دایره از یک نقطه، نماد را معرفی می کنیم (شکل را ببینید) 8 - x + 5 - x \u003d 4، x \u003d.

از این رو، C 1 B \u003d VA 1 \u003d، A 1 C \u003d 5 - \u003d، AC 1 \u003d 8 - \u003d.

در مثلث ABA 1 خط C 1 C دو ضلع آن و امتداد ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

جواب: 70:9.

اضلاع مثلث 5، 6 و 7 است. نسبت بخشهایی را که نیمساز زاویه بزرگتر این مثلث به مرکز دایره محاط شده در مثلث به آنها تقسیم می شود، بیابید. (در اسلاید 7).

راه حل: در مثلث ABC AB = 5، BC = 7، AC = 6 در مثلث ABC بگذارید، زاویه BAC در مقابل ضلع بزرگتر در مثلث ABC قرار دارد، به این معنی که زاویه BAC زاویه بزرگتر مثلث است. مرکز دایره محاطی مثلث در تقاطع نیمسازها قرار دارد. O نقطه تقاطع نیمسازها باشد. لازم است AO: OD را پیدا کنید. از آنجایی که AD نیمساز مثلث ABC است، یعنی BD = 5k، DC = 6k. از آنجایی که BF نیمساز مثلث ABC است، یعنی AF = 5m، FC = 7m. خط BF دو ضلع و امتداد ضلع سوم مثلث ADC را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس .

4. حل مستقل مسائل 9، 10، 11.- 3 دانش آموز

وظیفه 12 (برای همه دانش آموزان باقی مانده در کلاس):

نیمسازهای BE و AD مثلث ABC در نقطه Q قطع می شوند. اگر مساحت مثلث BQD = 1، 2AC = 3 AB، 3BC = 4 AB باشد، مساحت مثلث ABC را پیدا کنید. (شکل 4 در اسلاید 7).

راه حل: اجازه دهید AB = a، سپس AC =، BC = . پس میلاد نیم‌ساز مثلث ABC است ، یعنی BD = 2p، DC = 3p. بنابراین BE نیمساز مثلث ABC است ، AE = 3k، EC = 4k. در مثلث BEC، خط AD دو ضلع خود و امتداد ضلع سوم را قطع می کند. طبق قضیه منلائوس , , , یعنی EQ = 9m، QB = 14m. مثلث QBD و EBC دارای یک زاویه مشترک هستند، بنابراین S EBC = .

مثلث های ABC و BEC دارای ارتفاع های مساوی هستند که از راس B گرفته شده اند، پس S ABC = .

5. تجزیه و تحلیل مسائل 9، 10، 11.

حل مسئله - کارگاه آموزشی:

الف- در اضلاع BC، CA، AB یک مثلث متساوی الساقین ABC با قاعده AB، نقاط A 1، B 1، C 1 گرفته شده است، به طوری که خطوط AA 1، BB 1، CC 1 قابل رقابت هستند.

ثابت کنیم که

اثبات:

با قضیه سیوا داریم: (1).

طبق قانون سینوس ها: ، از آنجا CA 1 = CA.،

، از آنجا A 1 B = AB. ، ,

از آنجا AB 1 = AB. ، ، از آنجا B 1 C = قبل از میلاد. ، از آنجایی که CA = BC بر اساس شرایط. با جایگزینی برابری های به دست آمده به برابری (1) بدست می آوریم:

Q.E.D.

ب- در ضلع AC مثلث ABC نقطه M به گونه ای گرفته می شود که AM = ?AC و در امتداد ضلع BC نقطه N به گونه ای گرفته می شود که BN = CB. نقطه P - نقطه تقاطع قطعات AB و MN هر یک از این قطعات را در چه رابطه ای تقسیم می کند؟

طبق قضیه منلائوس، برای مثلث ABC و سکانس MN داریم:

. با شرط از این رو،

از 0.5 (-2). x \u003d 1، - 2x \u003d - 2، x \u003d 1.

برای مثلث MNC و مقطع AB، طبق قضیه منلائوس، داریم: با شرط

معنی - ، از کجا ، .

8. حل مستقل مسئله: گزینه 1:

1. در امتداد اضلاع AB، BC، AC مثلث ABC، به ترتیب نقاط C 1، A 1، B 1 گرفته می شود، به طوری که AB \u003d BC 1، BC \u003d CA 1، CA \u003d AB 1. نسبتی را پیدا کنید که در آن خط AB 1 ضلع A 1 C 1 مثلث A 1 B 1 C 1 را تقسیم می کند. (3 امتیاز).

2. نقطه M روی میانه CC 1 مثلث ABC گرفته می شود.خطوط مستقیم AM و VM به ترتیب اضلاع مثلث را در نقاط A 1 و B 1 قطع می کنند. ثابت کنید که خطوط AB و A 1 B 1 موازی هستند. (3 امتیاز).

3- نقاط C 1 , A 1 و B 1 را به ترتیب در امتداد اضلاع AB ، BC و AC مثلث ABC در نظر بگیرید ثابت کنید که نقاط A 1 , B 1 , C 1 روی یک خط مستقیم قرار دارند اگر و تنها در صورت برابری . (4 امتیاز).

6. بگذارید نقاط C 1 , A 1 و B 1 به ترتیب در اضلاع AB, BC و AC مثلث ABC گرفته شوند تا خطوط AA 1 , BB 1 , CC 1 در نقطه O قطع شوند. ثابت کنید که برابری . (5 امتیاز).

7 . بگذارید نقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 به ترتیب روی لبه های AB, BC, CD و AD چهار وجهی ABCD گرفته شوند ثابت کنید که نقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 در همان صفحه اگر و فقط اگر وقتی برابری (5 امتیاز).

گزینه 2:

1. نقاط A 1 و B 1 اضلاع BC و AC مثلث ABC را به نسبت های 2: 1 و 1: 2 تقسیم می کنند. خطوط AA 1 و BB 1 در نقطه O قطع می شوند. مساحت مثلث ABC برابر با 1 است. مساحت مثلث OBC. (3 امتیاز).

2. قطعه MN که نقاط میانی اضلاع AD و BC ABCD چهار ضلعی را به هم متصل می کند به صورت مورب به سه قسمت مساوی تقسیم می شود. ثابت کنید که ABCD ذوزنقه ای است، یکی از پایه های AB یا CD که دو برابر دیگری است. (3 امتیاز).

3. نقطه های C 1 , A 1 و B 1 را به ترتیب در ضلع AB و ادامه اضلاع BC و AC مثلث ABC در نظر بگیرید. ثابت کنید که خطوط AA 1 , BB 1 , СС 1 در یک نقطه قطع می شوند یا موازی هستند اگر و فقط در صورت تساوی . (4 امتیاز).

4. با استفاده از قضیه Ceva ثابت کنید که ارتفاعات یک مثلث یا امتداد آنها در یک نقطه قطع می شود. (4 امتیاز).

5. ثابت کنید خطوطی که از رئوس مثلث و نقاط مماس دایره ها می گذرند در یک نقطه (نقطه ناگل) همدیگر را قطع می کنند. (به دایره ای گفته می شود که در یک مثلث تشریح می شود که یک ضلع این مثلث و امتداد دو ضلع دیگر آن را لمس کند.) (5 امتیاز).

6. بگذارید نقاط C 1 , A 1 , B 1 به ترتیب در اضلاع AB, BC و AC مثلث ABC گرفته شود تا خطوط AA 1 , BB 1 و CC 1 در نقطه O قطع شوند. ثابت کنید که برابری . (5 امتیاز).

7. بگذارید نقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 به ترتیب روی یال های AB, BC, CD و AD چهار وجهی ABCD گرفته شوند ثابت کنید که نقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 در همان صفحه دراز بکشید و فقط زمانی که برابری برآورده شود (5 امتیاز).

9. تکلیف: کتاب درسی § 3، شماره 855، شماره 861، شماره 859.

"انواع مثلث" - انواع مثلث. با توجه به طول مقایسه ای اضلاع، انواع مثلث های زیر متمایز می شوند. انواع زیر با اندازه زاویه ها متمایز می شوند. نقاط را رئوس و پاره ها را ضلع می نامند.

"زوایای مثلث" - یک مثلث حاد. آیا مثلث می تواند دو زاویه قائمه داشته باشد؟ مثلث متساوی الاضلاع. مثلث متساوی الساقین. راست گوشه. مثلث مات. آیا مثلث می تواند دو زاویه کج داشته باشد؟ در مثلث متساوی الاضلاع، زوایای آن 600 است. در مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه، زوایای تند هر کدام 450 است.

"دروس هندسه پایه هفتم" - حل مسئله. پاها BC و SA. طبق نقشه های آماده کار کنید. مجموع زوایای یک مثلث. مواد جدید. راست گوشه. کار شماره 1. حل مسائل با توجه به نقشه های آماده. شماره ۲۳۲ (شفاهی)، شماره ۲۳۱. ثابت کنید که زاویه ABC کمتر از زاویه ADC است. آزمون شفاهی. درس هندسه پایه هفتم. هیپوتنوز AB.

"مثلث راست" - اطلاعات در مورد اقلیدس بسیار کمیاب است. مثلث یک چند ضلعی با سه ضلع (یا سه گوشه) است. اقلیدس صاحب آثاری در زمینه نجوم، نورشناسی، موسیقی و ... است که زاویه خارجی مثلث برابر است با مجموع زوایای داخلی که با آن مجاور نیستند. اقلیدس اولین ریاضیدان مکتب اسکندریه است. تعاریف تست کنترل

"مثلث متساوی الساقین و خواص آن" - قاعده و اضلاع این مثلث ها را نام ببرید. اگر مقدار زاویه 2 40 درجه باشد، مقدار زاویه 1 را بیابید؟ A، C - زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین. آیا مثلث ها با هم برابرند؟ در کجای زندگی مثلث متساوی الساقین یافت می شود؟ AM میانه است. مثلثی که همه اضلاع آن با هم برابر است را مثلث متساوی الاضلاع می گویند.

"مثلث راست هندسه" - اعداد مصری: مساحت طرح مثلثی یک دهقان مصری را محاسبه کنید. نقشه برداران مصریان مثلث قائم الزاویه را چه می گفتند؟ سازندگان مصری: پا و هیپوتنوز در مصر فیثاغورثیان: ساق و هیپوتنوز در هندسه. سوالات نقشه برداران: - ساق پا بزرگتر از هیپوتنوز است. پای مقابل زاویه 60 درجه برابر با نیمی از هیپوتنوز است.

از مکتب مشخص است که سه نیمساز از زوایای داخلی یک مثلث در یک نقطه - مرکز دایره ای که در این مثلث حک شده است - قطع می شود.

قضیه 1.نیمساز زاویه آمثلث ABCنقطه تقاطع نیمسازها بر بخش پذیر است ، شمارش از سمتی که کجاست الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبه ترتیب.

اثباتاجازه دهید AA 1 و BB 1 - نیمسازهای زاویه آو که دربه ترتیب در یک مثلث ABC، Lنقطه تقاطع آنهاست، الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبه ترتیب (شکل 62). سپس توسط قضیه نیمساز به مثلث اعمال می شود ABCخواهد داشت

یا b VA 1 = ac - با VA 1، یا VA 1 (b + c)= ac، به معنای، VA 1 = با.با همان قضیه، به مثلث اعمال می شود AVA 1 دریافت می کنیم آ 1 L : لس آنجلس = : با، یا = .

قضیه 2.اگر L ABCپس دایره

Ð ALV= 90 درجه + آر سی.

اثباتبا توجه به اینکه مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه و مرکز آن است Lدایره محاط شده نقطه تقاطع نیمسازهای مثلث است، خواهیم داشت (شکل 62):

Ð ALV= 180 درجه - ( Ð ABL + Ð BAL) = 180 درجه - ( Ð ABC + Ð شما) =

180 درجه - (180 درجه – Р С) = 180 درجه - 90 درجه + آر سی= 90 درجه + آر سی.

قضیه 3.اگر L- نقطه روی نیمساز زاویه بامثلث ABCبه طوری که Ð ALV= 90 درجه + آر سی، آن L- مرکز یک مثلث محاطی ABCدایره.

اثباتاجازه دهید ثابت کنیم که هیچ یک از نکات L 1 بین سیو Lنمی تواند مرکز یک دایره محاط باشد (شکل 62 a).

ما داریم R AL 1 با 1 < Ð ALC 1، از گوشه بیرونی مثلث AL 1 Lبزرگتر از هر زاویه داخلی که مجاور آن نیست. همچنین Р ВL 1 با < Ð BLC 1 .

از همین رو R AL 1 که در < Ð ALV= 90 درجه + آر سی. به معنای، L 1 مرکز دایره محاطی نیست، زیرا شرط علامت مرکز دایره محاطی برآورده نمی شود (به قضیه 2 مراجعه کنید).

اگر نکته L 2 روی نیمساز اس اس 1 متعلق به بخش نیست CL، آن R AL 2 که در > Ð ALV= 90 درجه + آر سیو دوباره شرط علامت مرکز دایره محاطی برقرار نمی شود. بنابراین مرکز دایره محاط شده نقطه است L.

قضیه 4.فاصله راس مثلث تا نقطه تماس دایره محاطی با ضلعی که از این راس می گذرد برابر با نیم محیط این مثلث است که با ضلع مقابل کاهش می یابد.

اثباتاجازه دهید آ 1 , که در 1 , با 1 - نقاط تماس دایره محاطی با اضلاع مثلث ABC(شکل 63)، الف، ب، ج- طول های جانبی BC، AC، ABبه ترتیب.

اجازه دهید AC 1 = ایکس، سپس AB 1 = x، خورشید 1 = s - x = VA 1 , که در 1 با = b - x \u003d CA 1 ,

a = BC = BA 1 + SA 1 = (c - x) + (b - x) \u003d c + b – 2 ایکس.

سپس a + a = a + b + c – 2 ایکس، یا 2 آ = 2 آر – 2 ایکس، یا x = p - a.

قضیه 5.در هر مثلثی ABCاز طریق یک نقطه Lتقاطع نیمسازهای دو زاویه بیرونی آن از نیمساز زاویه سوم می گذرد، در حالی که نقطه Lدر فواصل مساوی از خطوط حاوی اضلاع مثلث است.

اثباتاجازه دهید L- نقطه تلاقی دو گوشه خارجی که درو بامثلث ABC(شکل 64). از آنجایی که هر نقطه از نیمساز در فاصله یکسانی از اضلاع زاویه قرار دارد، پس نقطه L ABو آفتاب، از آنجایی که متعلق به نیمساز است BL. همچنین در همان فاصله از خطوط مستقیم است. آفتابو AC، از آنجایی که متعلق به نیمساز است CL. بنابراین، نکته Lدر همان فاصله از خطوط مستقیم است و شماو آفتاب. از آنجا که نقطه Lدر همان فاصله از خطوط قرار دارد ABو AC، آن JSC- نیمساز زاویه شما.

دایره ای که با یک ضلع مثلث و امتداد دو ضلع دیگر تماس داشته باشد دایره ای که در این مثلث تشریح شده نامیده می شود.

نتیجه 1.مراکز دایره های توصیف شده در مثلث در نقاط تقاطع جفت نیمساز زوایای خارجی آن قرار دارند.

قضیه 6.شعاع دایره محاط شده در مثلث برابر است با نسبت ضلع این مثلث و کسینوس نیمی از زاویه مقابل ضرب در سینوس های نصف دو زاویه دیگر.