آموزش تصویری 2: راه حل معادلات مربع

سخنرانی: معادلات درجه دوم

معادله

معادله - این برابری است، در عبارات که یک متغیر وجود دارد.

حل معادله - این بدان معنی است که چنین تعداد را به جای یک متغیر پیدا کنید که آن را به برابری واقعی هدایت می کند.

معادله ممکن است یک راه حل یا چند راه حل داشته باشد یا آن را در همه جا داشته باشد.

برای حل هر معادله، باید به راحتی به فرم ساده شود:

خطی: a * x \u003d b؛

مربع: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

به عبارت دیگر، هر معادله قبل از راه حل باید به یک گونه استاندارد تبدیل شود.

هر معادله را می توان به دو روش حل کرد: تحلیلی و گرافیک.

در نمودار با حل معادله، نقاط در نظر گرفته می شود که در آن برنامه از محور خارج می شود آه.

معادلات درجه دوم

معادله را می توان مربع نامیده می شود اگر آن را به دست آوردن نظر زمانی که ساده شده است:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

که در آن a، b، c ضرایب معادله ای هستند که از صفر متفاوت هستند. ولی "ایکس" - ریشه معادله اعتقاد بر این است که معادله مربع دارای دو ریشه است یا ممکن است راهکارهایی نداشته باشد. ریشه های حاصل ممکن است یکسان باشد.

"ولی" - ضریب که قبل از ریشه در مربع قرار دارد.

"ب" - قبل از ناشناخته به درجه اول است.

"از جانب" - عضو رایگان معادله.

اگر، به عنوان مثال، ما معادله فرم را داریم:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

در آن، "2" ضریب ارشد معادله، "-5" - ضریب دوم و "3" - یک عضو آزاد است.

تصمیم معادله مربع

مجموعه ای عظیمی از راه های بزرگ برای حل معادله مربع وجود دارد. با این حال، در دوره مدرسه ریاضیات، راه حل بر اساس قضیه Vieta، و همچنین با کمک تبعیض آمیز مورد مطالعه قرار گرفته است.

تصمیم گیری در مورد تبعیض:

هنگام حل با این روش لازم است که محاسبه فرمول را محاسبه کنید:

اگر، زمانی که محاسبات، شما به دست آوردید که تبعیض کمتر از صفر است، به این معنی است که این معادله هیچ راه حل ندارد.

اگر معادله صفر باشد، معادله دارای دو راه حل مشابه است. در این مورد، چندجملهای را می توان با فرمول ضریب اختصار به مربع مقدار یا تفاوت فرو ریخت. پس از آن، برای حل آن، به عنوان یک معادله خطی. یا از فرمول استفاده کنید:

اگر تبعیض بیشتر از صفر باشد، لازم است از روش زیر استفاده کنید:

قضیه Vieta

اگر معادله داده شود، یعنی ضریب عضو ارشد برابر با یکسان است، سپس می توانید استفاده کنید قضیه Vieta.

بنابراین، فرض کنید که معادله به نظر می رسد:

ریشه های معادله به شرح زیر است:

معادله مربع ناقص

گزینه های متعددی برای به دست آوردن معادله مربع ناقص وجود دارد، نوع آن بستگی به وجود ضرایب دارد.

1. اگر ضریب دوم و سوم صفر باشد (b \u003d 0، c \u003d 0)معادله مربع به نظر می رسد:

این معادله یک راه حل واحد دارد. برابری تنها زمانی درست خواهد بود که معادله به عنوان یک راه حل صفر باشد.

فرمول ریشه های معادله مربع. موارد ریشه های معتبر، چندگانه و پیچیده در نظر گرفته می شود. تجزیه سه ضلعی سه تکه شده مربع. تفسیر هندسی. نمونه هایی از تعیین ریشه ها و تجزیه چندگانگی.

فرمول های پایه

یک معادله مربع را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های مربع ریشه (1) توسط فرمول ها تعیین می شود:
; .
این فرمول ها می توانند مانند این ترکیب شوند:
.
هنگامی که ریشه های معادله مربع شناخته شده است، چندجملهای درجه دوم را می توان به عنوان یک اثر از عوامل نشان داد (تجزیه بر ضریب ها):
.

بعد، ما معتقدیم که تعداد واقعی.
در نظر گرفتن معادله مربع معادله:
.
اگر تبعیض آمیز مثبت باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه معتبر معتبر است:
; .
سپس تجزیه مربع سه کاهش می یابد بر روی عوامل، شکل:
.
اگر تبعیض آمیز صفر باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه معتبر چندگانه (برابر) است:
.
فاکتور سازی:
.
اگر معادله مربع منفی باشد، معادله مربع (1) دارای دو ریشه جامد همجوشی است:
;
.
اینجا - واحد خیالی؛
و - بخش های واقعی و خیالی ریشه ها:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیک

اگر ساخت تابع برنامه ریزی
,
که پارابولا است، سپس نقطه تقاطع گراف با محور، ریشه های معادله خواهد بود
.
هنگامی که، برنامه از محور Abscissa (محور) در دو نقطه عبور می کند.
هنگامی که نمودار در یک نقطه به محور Abscissa مربوط می شود.
هنگامی که، برنامه محور Abscissa را تقسیم نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این نمودارها است.

فرمول های مفید مرتبط با معادله مربع

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

خروجی فرمول برای ریشه های معادله مربع

ما تحولات را انجام می دهیم و فرمول ها را اعمال می کنیم (F.1) و (F.3):




,
جایی که
; .

بنابراین، ما یک فرمول برای چند جمله ای از درجه دوم در فرم دریافت کردیم:
.
از اینجا می توان آن را معادله کرد

انجام شده در
و.
به عبارت دیگر، ریشه های معادله مربع ریشه هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های معادله مربع

مثال 1

(1.1) .

تصمیم

.
در مقایسه با معادله ما (1.1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
از آنجا که تبعیض آمیز مثبت است، معادله دارای دو ریشه معتبر است:
;
;
.

از اینجا ما تجزیه یک مربع سه رقمی را در چند برابر می کنیم:

.

تابع برنامه y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 محور Abscissa را در دو نقطه عبور می کند.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. او محور Abscissa (محور) را در دو نقطه قرار می دهد:
و.
این نکات ریشه های معادله اولیه (1.1) است.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های معادله مربع را پیدا کنید:
(2.1) .

تصمیم

ما معادله مربع را به طور کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اولیه (2.1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
از آنجا که تبعیض آمیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (برابر) است:
;
.

سپس تجزیه سه تصمیم در مورد ضرب ها، فرم دارد:
.

تابع گراف y \u003d x 2 - 4 x + 4 محور Abscissa را در یک نقطه درخواست می کند.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. این مربوط به محور Abscissa (محور) در یک نقطه است:
.
این نکته ریشه ی معادله اولیه (2.1) است. از آنجا که این ریشه وارد انبساط چند برابر می شود:
,
این ریشه چندگانه نامیده می شود. به اعتقاد بر این است که دو ریشه برابر وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های معادله مربع را پیدا کنید:
(3.1) .

تصمیم

ما معادله مربع را به طور کلی بنویسیم:
(1) .
ما معادله اولیه را بازنویسی می کنیم (3.1):
.
مقایسه C (1)، ما مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تشخیص دادیم:
.
تشخیص منفی است. بنابراین، هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور Abscissa عبور نمی کند. هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

ما یک برنامه تابع ساختیم
.
برنامه این تابع پارابولا است. این محور Abscissa (محور) را تقسیم نمی کند. بنابراین، هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه معتبر وجود ندارد. ریزها یکپارچه هستند:
;
;
.

با استفاده از این برنامه ریاضی شما می توانید حل معادله مربع.

این برنامه نه تنها به وظیفه پاسخ می دهد، بلکه روند راه حل را به دو روش نمایش می دهد:
- با کمک تبعیض آمیز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).

علاوه بر این، پاسخ خروجی دقیق است، نه تقریبی.
به عنوان مثال، برای معادله \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\)، پاسخ در این فرم خروجی است:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8+ \\ sqrt (145)) (81)، \\ Quad X_2 \u003d \\ frac (8-1 \\ sqrt (145)) (81) $$ و نه در این: \\ (x_1 \u003d 0.247 ؛ \\ quad x_2 \u003d -0.05 \\)

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دانش آموزان دبیرستان در آماده سازی مفید باشد کار کنترل و امتحانات، هنگام چک کردن دانش قبل از امتحان، والدین برای کنترل راه حل بسیاری از مشکلات در ریاضیات و جبر. یا شاید شما بیش از حد گران هستید برای استخدام یک معلم یا خرید کتاب های درسی جدید؟ یا فقط می خواهید در اسرع وقت انجام دهید مشق شب در ریاضیات یا جبر؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

بنابراین، شما می توانید آموزش و / یا آموزش خود را از برادران یا خواهران جوان خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه وظایف حل شده افزایش می یابد.

اگر شما با قوانین ورود به چندجملهای مربع آشنا نیستید، توصیه می کنیم خودتان را با آنها آشنا کنید.

قوانین ورودی چندجملهای مربع

به عنوان یک متغیر می تواند هر نامه لاتین باشد.
به عنوان مثال: \\ (x، y، z، a، b، c، o، p، q \\)، و غیره

اعداد می توانند کل یا کسری را وارد کنند.
علاوه بر این، اعداد کسری را نمی توان نه تنها به شکل دهدهی، بلکه همچنین به شکل یک کسری عادی انجام داد.

قوانین ورود به بخش های اعشاری.
در کسرهای دهدهی، بخش کوچکی از کل می تواند به عنوان یک نقطه و کاما جدا شود.
به عنوان مثال، شما می توانید وارد کنید بخش های دهدهی SO: 2.5X - 3.5X ^ 2

قوانین برای ورود به بخش های معمولی.
فقط یک عدد صحیح می تواند به عنوان یک عددی، نامزدی و کل بخش از کسری عمل کند.

معنی نمی تواند منفی باشد.

هنگامی که وارد یک کسر عددی می شود، عددی از جانباز جدا شده به علامت شکافتی جدا شده است: /
کل بخش از امپراطوری fraraty جدا شده است: &
ورودی: 3 و 1/3 - 5 و 6 / 5Z + 1/7Z ^ 2
نتیجه: \\ (3 \\ frac (1) (3) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

هنگام ورود به عبارت شما می توانید براکت ها را استفاده کنید. در این مورد، هنگام حل معادله مربع، بیان وارد شده برای اولین بار ساده شده است.
به عنوان مثال: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5Y-10 و 1/2)

=0

تصميم گرفتن

یافته شده است که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نمی شوند، و برنامه ممکن است کار نکند.
شما ممکن است Adblock را شامل شود.
در این مورد، آن را قطع کنید و صفحه را به روز کنید.

شما اجرای جاوا اسکریپت را در مرورگر خود دارید.
برای ایجاد راه حل به نظر می رسد، شما باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل ها، نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر شما وجود دارد.

زیرا مایل به حل این کار بسیار زیاد است، درخواست شما در خط است.
پس از چند ثانیه، راه حل زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید SEC ...

اگر شما متوجه اشتباه در حلشما می توانید در فرم بازخورد در مورد آن بنویسید.
فراموش نکن مشخص کردن چه کاری شما تصمیم می گیرید و چه وارد میدان شوید.

بازی های ما، پازل، شبیه ساز:

کمی نظریه

معادله مربع و ریشه های آن. معادلات مربع ناقص

هر یک از معادلات
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1،4 \u003d 0، \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0، \\ Quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
ظاهر دارد
\\ (تبر ^ 2 + bx + c \u003d 0، \\)
جایی که x متغیر، a، b و c - اعداد است.
در معادله اول A \u003d -1، B \u003d 6 و C \u003d 1.4، در دوم A \u003d 8، B \u003d -7 و C \u003d 0، در سوم A \u003d 1، B \u003d 0 و C \u003d 4/9. چنین معادلات نامیده می شوند معادلات مربع.

تعریف.
معادله مربع معادله فرم تبر 2 + Bx + C \u003d 0، جایی که X متغیر است، A، B و C برخی از اعداد، و \\ (a \\ neq 0 \\) است.

اعداد A، B و C ضرایب معادله مربع هستند. شماره A اولین ضریب نامیده می شود، تعداد B ضریب دوم و شماره C - یک عضو آزاد است.

در هر یک از معادلات فرم تبر 2 + BX + C \u003d 0، جایی که \\ (a \\ neq 0 \\)، بزرگترین درجه متغیر x - مربع است. از این رو نام: معادله مربع.

توجه داشته باشید که معادله مربع نیز معادله درجه دوم نامیده می شود، زیرا بخش چپ آن دارای چندجملهای درجه دوم است.

معادله مربع که در آن ضریب x 2 است 1، نامیده می شود با توجه به معادله مربع. به عنوان مثال، معادلات مربع داده شده معادلات هستند
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0، \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0، \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

اگر در معادله مربع AX 2 + BX + C \u003d 0، حداقل یکی از ضرایب B یا C صفر باشد، پس از آن چنین معادله نامیده می شود معادله مربع ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 + 7 \u003d 0، 3x 2 -10x \u003d 0، -4x 2 \u003d 0 معادلات مربع ناقص هستند. در اولین آنها B \u003d 0، در دوم C \u003d 0، در سوم B \u003d 0 و C \u003d 0.

معادلات مربع ناقص سه گونه هستند:
1) AX 2 + C \u003d 0، جایی که \\ (c \\ nq 0 \\)؛
2) AX 2 + BX \u003d 0، که در آن \\ (b \\ nq 0 \\)؛
3) AX 2 \u003d 0.

راه حل معادلات هر یک از این گونه ها را در نظر بگیرید.

برای حل معادله مربع ناقص فرم تبر 2 + C \u003d 0، با \\ (C \\ nq 0 \\)، آن را به عضو آزاد خود را به سمت راست منتقل می شود و هر دو بخش از معادله را در A:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow x_ (1،2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

از آنجا که \\ (C \\ NEQ 0 \\)، سپس \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neg 0 \\)

اگر \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\)، معادله دارای دو ریشه است.

اگر \\ (- \\ frac (c) (a)، برای حل معادله مربع ناقص فرم تبر 2 + bx \u003d 0، با \\ (b \\ neq 0 \\)، آنها بخش چپ خود را به ضرب کننده ها کاهش می دهند و معادله را کاهش می دهند
\\ (X (AX + B) \u003d 0 \\ rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (آرایه) \\ right. \\ rightarrow \\ left \\ (\\ levet (آرایه) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (آرایه) \\ right. \\)

بنابراین، معادله مربع ناقص فرم تبر 2 + bx \u003d 0 با \\ (B \\ NEQ 0 \\) همیشه دارای دو ریشه است.

معادله مربع ناقص از فرم AX 2 \u003d 0 معادل معادله x 2 \u003d 0 است و بنابراین تنها ریشه 0 دارد.

فرمول ریشه مربع مربع

در حال حاضر چگونه معادلات مربع حل می شود که در آن هر دو ضرایب با اعضای ناشناخته و رایگان از صفر متفاوت هستند.

معادله مربع Spest به طور کلی و در نتیجه ما فرمول ریشه را به دست می آوریم. سپس این فرمول را می توان در هنگام حل معادله مربع استفاده کرد.

معادله مربع معکوس AX 2 + BX + C \u003d 0

جدا کردن هر دو قسمت از آن بر روی یک معادله مربع ارائه شده به دست می آوریم
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

ما این معادله را تغییر می دهیم، برجسته کردن مربع تندرست:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ rightarrow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ rightarrow \\) \\ (\\ left (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac (ج) \\ rightarrow \\ سمت چپ (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ rightarrow \\) \\ (x + \\ frac (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4AC) (4a ^ 2)) \\ rightarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \\ rightarrow \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b / pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

بیان هدایت شده نامیده می شود معادله مربع معادله AX 2 + BX + C \u003d 0 ("تبعیض آمیز" در لاتین یک تمایز است). این نشانگر نامه D، I.E.
\\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

در حال حاضر، با استفاده از تعیین تعریف تبعیض، فرمول برای ریشه های معادله مربع را بازنویسی کنید:
\\ (x_ (1،2) \u003d \\ frac (-b / pm \\ sqrt (d)) (2a) \\)، جایی که \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)

واضح است که:
1) اگر d\u003e 0، معادله مربع دارای دو ریشه است.
2) اگر d \u003d 0، معادله مربع دارای یک ریشه \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\) است.
3) اگر به این ترتیب، بسته به مقدار تبعیض آمیز، معادله مربع ممکن است دو ریشه داشته باشد (با D\u003e 0)، یک ریشه (در d \u003d 0) یا نه ریشه ها (با D، هنگام حل معادله مربع برای این فرمول، توصیه می شود به روش زیر اعمال شود:
1) محاسبه تبعیض آمیز و مقایسه آن با صفر؛
2) اگر تشخیص مثبت یا برابر صفر باشد، سپس از فرمول ریشه استفاده کنید، اگر معجزه منفی باشد، سپس ریشه ها را بنویسید.

قضیه Vieta

معادله مربع ارائه شده AX 2 -7X + 10 \u003d 0 ریشه 2 و 5. مقدار ریشه ها 7 است، و محصول 10 است. ما می بینیم که مقدار ریشه ها برابر با ضریب دوم با مخالفت است علامت گذاری، و محصول ریشه برابر با یک عضو آزاد است. چنین اموال دارای معادله مربع خاصی است که دارای ریشه است.

مجموع ریشه های معادله مربع ارائه شده برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و محصول ریشه برابر با یک عضو آزاد است.

کسانی که. تئوری Vieta استدلال می کند که ریشه های X 1 و X 2 معادله مربع داده شده X 2 + PX + Q \u003d 0 دارای یک ملک هستند:
\\ (\\ left \\ (\\ شروع (آرایه) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (آرایه) \\ right. \\)

معادله مربع - به سادگی حل شده است! * بعدی در متن "ku".دوستان به ظاهر، ممکن است در ریاضیات ساده تر از یک راه حل برای چنین معادله ای باشد. اما چیزی به من پیشنهاد کرد که بسیاری از آنها با او مشکل دارند. من تصمیم گرفتم ببینم که چگونه بسیاری از برداشت ها در هر ماه به Yandex می دهد. این چه اتفاقی افتاد، نگاه کنید به:

چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70،000 نفر در هر ماه به دنبال این اطلاعات هستند، این تابستان چیست، و چه چیزی در میان خواهد بود سال تحصیلی - درخواست ها دو برابر خواهد بود. تعجب آور نیست، زیرا این بچه ها و دخترانی که از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای امتحان آماده می شوند، آنها به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان به دنبال آن را در حافظه تازه می کنند.

با وجود این واقعیت که بسیاری از سایت هایی وجود دارد که در آن توضیح داده شده است که چگونه این معادله را حل می کند، تصمیم گرفتم سهم خود را انجام دهم و مواد را منتشر کنم. اول، من می خواهم به سایت من برای این درخواست بروم و بازدید کنندگان به سایت من آمدند؛ ثانیا، در مقالات دیگر، زمانی که سخنرانی "KU" به این مقاله اشاره می کند؛ سوم، من به شما در مورد تصمیم خود به شما بگویم کمی بیشتر از معمولا در سایت های دیگر. بایر!محتوای مقاله:

معادله مربع معادله فرم است:

جایی که ضرایب aب و با شماره های دلخواه، با چیزی ≠ 0.

در دوره مدرسه، مواد به صورت زیر داده می شود - جداسازی معادلات در هر سه کلاس به صورت مشروط انجام می شود:

1. دو ریشه داشته باشید.

2. * تنها یک ریشه وجود دارد.

3. ریشه نداشته باشید. لازم به ذکر است که آنها ریشه های معتبر ندارند

چگونه ریشه ها محاسبه می شوند؟ به سادگی!

محاسبه تبعیض آمیز. در این کلمه "وحشتناک" کلمه کاملا ساده است:

فرمول های ریشه فرم زیر را دارند:

* این فرمول ها باید قلب را بدانند.

شما بلافاصله می توانید بنویسید و تصمیم بگیرید:

مثال:

1. اگر D\u003e 0، معادله دارای دو ریشه است.

2. اگر d \u003d 0، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این مناسبت، زمانی که تبعیض صفر است، در دوره مدرسه گفته شده است که یکی از ریشه ها به نظر می رسد، در اینجا برابر نه برابر است. درست است و وجود دارد، اما ...

این دیدگاه تا حدودی نادرست است. در واقع، دو ریشه به دست می آید. بله، شگفت زده نشوید، دو ریشه برابر به دست می آیند، و اگر شما ریاضی دقیق هستید، باید در پاسخ به دو ریشه باید ثبت شود:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

اما این یک عقب نشینی کمی است. در مدرسه می تواند بنویسد و بگوید که ریشه یکی است.

در حال حاضر مثال زیر است:

همانطور که می دانیم - ریشه تعداد منفی حذف نمی شود، بنابراین در این مورد هیچ راه حل وجود ندارد.

این کل فرآیند راه حل است.

تابع درجه دوم.

در اینجا نشان داده شده است که چگونه راه حل به نظر هندسی به نظر می رسد. بسیار مهم است که درک کنیم (در آینده، در یکی از مقالات، ما راه حل نابرابری مربع را در جزئیات جدا خواهیم کرد).

این تابع فرم است:

جایی که x و y متغیرها هستند

a، B، C - شماره های تنظیم شده، با چه چیزی ≠ 0

برنامه پارابولا است:

به این معناست که معلوم می شود که تصمیم گیری معادله مربع در "Y" برابر صفر است، ما نقطه تقاطع پارابولا را با محور اوه پیدا می کنیم. این نکات ممکن است دو باشد (مثبت تبعیض آمیز)، یکی (تبعیض آمیز صفر است) و نه تنها (معجزه منفی). جزئیات O. تابع درجه دوم شما می توانید مشاهده کنید مقاله Inna Feldman.

مثالها را در نظر بگیرید:

مثال 1: حل کنید 2x 2 +8 ایکس.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

پاسخ: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* این امکان وجود دارد که بلافاصله سمت چپ و راست معادله به تقسیم 2، یعنی آن، آن را ساده تر کنیم. محاسبات آسان تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

به دست آورد که x 1 \u003d 11 و x 2 \u003d 11

در پاسخ، مجاز به نوشتن X \u003d 11 است.

پاسخ: x \u003d 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

تبعیض منفی است، هیچ راه حل در شماره های معتبر وجود ندارد.

پاسخ: هیچ راه حل

تبعیض منفی است. راه حل این است!

در اینجا آن را در مورد حل معادله در مورد زمانی که یک تبعیض منفی به دست آمده بحث خواهد شد. آیا چیزی در مورد شماره های یکپارچه می دانید؟ من جزئیات بیشتری در مورد اینکه چرا و جایی که آنها بوجود آمد و نقش خاص آنها و نیاز به ریاضیات مورد بحث قرار می گیرند، بحث نخواهند کرد.

مفهوم یک عدد پیچیده.

کمی نظریه

تعداد مجتمع z تعداد گونه ها را نام برد

z \u003d a + bi

جایی که A و B شماره های معتبر هستند، من - واحد به اصطلاح خیالی.

a + bi. - این یک شماره واحد است، نه علاوه بر این.

واحد خیالی برابر با ریشه واحد منهای است:

در حال حاضر معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه کنجکاو دریافت کرد.

معادله مربع ناقص.

موارد خصوصی را در نظر بگیرید، این زمانی است که ضریب "B" یا "C" صفر است (یا هر دو صفر هستند). آنها بدون هیچ گونه تبعیض به راحتی حل می شوند.

مورد 1. ضریب B \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم:

مثال:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

مورد 2. ضریب C \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم، تکثیر می کنیم:

* کار صفر است زمانی که حداقل یکی از ضددرد صفر است.

مثال:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (X-5) \u003d 0 \u003d\u003e X \u003d 0 یا X-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

مورد 3. ضرایب B \u003d 0 و C \u003d 0.

در اینجا روشن است که راه حل معادله همیشه x \u003d 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که اجازه می دهد حل معادلات با ضرایب بزرگ.

ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + ب + c \u003d 0،که

- اگر برای ضرایب معادله ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + c \u003d.ب, که

این خواص به حل معادلات خاصی کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس. 2 –4995 ایکس. – 6=0

مجموع ضرایب 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0، این بدان معنی است

مثال 2: 2501 ایکس. 2 +2507 ایکس.+6=0

برابری انجام می شود آ. + c \u003d.ب, بنابراین

قوانین ضرایب

1. اگر در معادله AX 2 + BX + C \u003d 0، ضریب "B" برابر با (2 +1) باشد، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

مثال. معادله 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. اگر در AX 2 - BX + C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (و 2 +1) است، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 15x 2 -226x +15 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. اگر در معادلهaX 2 + BX - C \u003d 0 ضریب "B" برابر (2 - 1) و ضریب "C" عددی برابر با ضریب "A", سپس ریشه های او برابر است

aX 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 17x 2 + 288x را در نظر بگیرید - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. اگر در AX 2 - BX - C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (2 - 1) است، و ضریب عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

مثال. معادله 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

قضیه Vieta

قضیه Vieta توسط نام ریاضیات معروف فرانسوی Francois Vieta نامیده می شود. با استفاده از قضیه Vieta، می توانید مقدار و محصول ریشه های خودسرانه KU را از طریق ضرایب آن بیان کنید.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

به طور خلاصه، شماره 14 تنها 5 و 9 داده می شود. این ریشه ها هستند. با استفاده از یک مهارت خاص، با استفاده از قضیه که توسط بسیاری از معادلات مربع نشان داده شده است، می توانید تصمیم بگیرید که آیا به صورت خوراکی آمده است.

قضیه Vieta علاوه بر این. این راحت است، زیرا پس از حل معادله مربع به روش معمول (از طریق تبعیض)، ریشه های به دست آمده را می توان بررسی کرد. من توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهم.

روش عبور

در این روش، ضریب "A" توسط یک عضو آزاد ضرب می شود، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود روش "حمل و نقل".این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

اگر یک ولی± b + C.≠ 0، سپس پذیرش استفاده می شود، به عنوان مثال:

2h. 2 – 11x +5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +10 = 0 (2)

توسط تئوری Vieta در معادله (2) آسان است که تعیین کنید که x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

ریشه های به دست آمده از معادله باید به 2 تقسیم شوند (به عنوان دو بار از x 2 "منتقل شدند)، ما به دست آوردیم)

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

توجیه چیست؟ نگاه کن چه اتفاقی می افتد

معادلات تبعیض آمیز (1) و (2) برابر هستند:

اگر شما به ریشه های معادلات نگاه کنید، تنها معادلات مختلف به دست آمده است، و نتیجه بستگی به ضریب x 2 دارد:

دومین ریشه (اصلاح شده) 2 برابر بیشتر به دست می آید.

بنابراین، نتیجه و تقسیم 2.

* اگر ما یک سفر را پرتاب کنیم، نتیجه 3، و غیره جدا می شود

پاسخ: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

sq UR-YE و EGE.

من در مورد اهمیت او به طور خلاصه می گویم - شما باید بتوانید به سرعت و بدون تفکر، فرمول ریشه ها و تبعیضان را حل کنید، باید با قلب بدانید. وظایف بسیار زیادی که در وظایف استفاده شده است، به حل معادله مربع (هندسی شامل) کاهش می یابد.

چه چیزی برای جشن گرفتن!

1. شکل معادله ضبط ممکن است "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، این ورودی امکان پذیر است:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15 -5X + 10X 2 \u003d 0.

شما باید آن را به فرم استاندارد اضافه کنید (به طوری که در هنگام حل شدن اشتباه نکنید).

2. به یاد داشته باشید که X یک مقدار ناشناخته است و می توان آن را با هر حرف دیگر - T، Q، P، H و دیگر نشان داد.

"این، معادلات درجه اول است. در این درس ما آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد چه معادله مربع نامیده می شود و چگونگی حل آن.

چه معادله مربع نامیده می شود

مهم!

درجه معادله با بیشترین مقدار که در آن ناشناخته است تعیین می شود.

اگر حداکثر درجه ای که ناشناخته است "2" است، به این معنی است که شما یک معادله مربع هستید.

نمونه هایی از معادلات مربع

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

مهم! نمای کلی معادله مربع به نظر می رسد این است:

A X 2 + B X + C \u003d 0

"A"، "B" و "C" - شماره مشخص شده.

• "A" اولین یا ارشد ضریب است؛
• "B" - ضریب دوم؛
• "C" یک عضو آزاد است.

برای پیدا کردن "A"، "B" و "C" شما نیاز به مقایسه معادله خود را با نمای کلی از معادله مربع "AX 2 + BX + C \u003d 0" مقایسه کنید.

بیایید مراقب تعیین ضرایب "A"، "B" و "C" در معادلات مربع باشیم.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -x 2 + x +

معادله	عوامل
a \u003d 5 b \u003d -14. c \u003d 17
a \u003d -7. b \u003d -13. c \u003d 8

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0.25x \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0.25.
• c \u003d 0

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

چگونه برای حل معادلات مربع

در مقایسه با معادلات خطی برای حل معادلات مربع، ویژه فرمول برای پیدا کردن ریشه ها.

یاد آوردن!

برای حل معادله مربع شما نیاز دارید:

• یک معادله مربع را به نمای کلی "AX 2 + BX + C \u003d 0". به این ترتیب، تنها "0" باید در قسمت راست باقی بماند؛
• از فرمول ریشه استفاده کنید:

بیایید به عنوان مثال تجزیه و تحلیل کنیم، نحوه استفاده از فرمول برای پیدا کردن ریشه های معادله مربع. اجازه دهید معادله مربع.

x 2 - 3x - 4 \u003d 0

معادله "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" در حال حاضر به ظاهر کل "AX 2 + BX + C \u003d 0" داده شده است و نیازی به ساده سازی های اضافی ندارد. برای حل آن، ما به اندازه کافی برای اعمال فرمول پیدا کردن ریشه های معادله مربع.

ما ضرایب "A"، "B" و "C" را برای این معادله تعریف می کنیم.

x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d

با آن، هر معادله مربع حل شده است.

در فرمول "x 1؛ 2 \u003d" اغلب عبارات هدایت شده را جایگزین می کند
"B 2 - 4ac" بر روی حرف "D" و به نام Discriminant نامیده می شود. مفهوم تبعیض آمیز در درس "آنچه که تبعیض آمیز است" در نظر گرفته شده است.

مثال دیگری از معادله مربع را در نظر بگیرید.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

در این فرم، ضرایب "A" را تعیین کنید، "B" و "C" بسیار دشوار است. بیایید برای اولین بار معادله را به نوع عمومی "AX 2 + BX + C \u003d 0" بدهیم.

x 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

حالا شما می توانید از فرمول ریشه استفاده کنید.

x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x 1؛ 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3
پاسخ: x \u003d 3

مواردی وجود دارد که هیچ ریشه ای در معادلات مربع وجود ندارد. این وضعیت زمانی رخ می دهد که یک عدد منفی تحت ریشه باشد.