نسبت مماس. قوانین برای یافتن توابع مثلثاتی: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 25 سانتی متر است، اگر زاویه مجاور قائم الزاویه 36 درجه باشد، طول پایه دوم را محاسبه کنید.
راه حل:
طبق تعریف، مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت پای مقابل به مجاور. پای a=25 سانتی متر در مجاورت زاویه α=36 درجه است و پای مجهول b مقابل آن قرار دارد. سپس:

$$ tg(\alpha) = \frac(b)(a) $$، بنابراین $$ b = a \cdot tg(\alpha) $$

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:

$$ b = 25 \cdot tg (36^0) = 25 \cdot 0.727 = 18.175 cm$$
پاسخ:
$$ b = 18.175 cm$$
مقدار عبارت را محاسبه کنید: $2 + tg(12^0) - tg^2 \left(\frac(\pi)(5) \راست)$$
راه حل:
هنگام تعویض، باید در نظر داشته باشید که یکی از زاویه ها بر حسب درجه و دیگری با رادیان اندازه گیری می شود:

$$ 2 + tg(12^0) - tg^2 \left(\frac(\pi)(5) \راست) = 2 + 0.213 - 0.727^2 \تقریباً 1.684 $$
پاسخ:
برای محاسبه ارتفاع هرم خئوپس، دانشمند منتظر ماند تا خورشید از جایی که او در آن قرار دارد، بالای آن را لمس کند. سپس ارتفاع زاویه ای خورشید را در بالای افق اندازه گرفت، معلوم شد که 21 درجه است و فاصله تا هرم 362 متر است، ارتفاع آن چقدر است؟
راه حل:
ارتفاع هرم H و فاصله آن تا L پايه هاي مثلث قائم الزاويه اي هستند كه هيپوتنوز آن يك پرتو خورشيد است. سپس مماس زاویه ای که خورشید در بالای هرم دیده می شود:

$$ tg \alpha = \frac(H)(L) $$، ارتفاع را با تبدیل فرمول محاسبه می‌کنیم:

$$ H = L \cdot tg(\alpha) = 362 \cdot tg(21^0) = 138.96 $$
پاسخ:
$$ H = 138.96 $ $
اگر پای مقابل 6 سانتی متر و پای مجاور آن 5 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
راه حل:
الف- مقدماتی

$$ tg \alpha = \frac(b)(a) $$

$$tg \alpha = \frac(6)(5) = 1.2 $$

بنابراین زاویه $$ \alpha = 50^(\circ) $$ .
پاسخ:
$$tg \alpha = 1.2 $$
اگر پای مقابل 8 سانتی متر و هیپوتانوس 10 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
راه حل:
با استفاده از فرمول فیثاغورث، ساق مجاور مثلث را پیدا می کنیم:

$$ a = \sqrt((c^2 - b^2)) $$

$$ a = \sqrt((10^2 - 8^2)) = \sqrt(36) = 6 \ cm $$

الف- مقدماتی

$$tg \\alpha = \frac(8)(6) = 1.333$$

بنابراین زاویه $$ \alpha = 53^(\circ) $$ .
پاسخ:
$$ tg \alpha = 1.333 $$
اگر پای مجاور 2 برابر بزرگتر از پای مقابل باشد و هیپوتانوس 5√5 سانتی متر باشد tg α را پیدا کنید.
راه حل:
با استفاده از فرمول فیثاغورث، پاهای مثلث را پیدا می کنیم:

$$ c = \sqrt( (b^2 + 4b^2) ) = \sqrt((5b^2)) = b\sqrt(5) $$

$$ b = \frac(c)(\sqrt(5)) = \frac( 5\sqrt(5) )(\sqrt(5)) = 5 \ cm $$

$$ a = 5 \cdot 2 = 10 \ cm $$

الف- مقدماتی

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(5)(10) = 0.5$$

بنابراین زاویه $$ \alpha = 27^(\circ) $$.
پاسخ:
$$ tg \alpha = 0.5 $$
اگر هیپوتانوس 12 سانتی متر و زاویه β=30 درجه باشد tg α را پیدا کنید.
راه حل:
پای مجاور گوشه مورد نظر را پیدا کنید. مشخص است که پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتنوز است. به معنای،

$$ a = 6 \ cm $$

با قضیه فیثاغورث، ساق را در مقابل زاویه مورد نظر می یابیم:

$$ b = \sqrt( (c^2 + a^2) ) $$

$$ b = \sqrt( (144-36) ) = \sqrt(108) = 6\sqrt(3)$$

الف- مقدماتی

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$ tg \ \alpha = \frac(6 \sqrt(3))(6) = \sqrt(3) = 1.732 $$

بنابراین زاویه $$ \alpha = 60^(\circ) $$ .
پاسخ:
$$ tg \alpha = 1.732 $$

اگر پايه هاي مقابل و مجاور مساوي باشند، tg α را بيابيد و هيپوتنوز 6√2 سانتی متر باشد.

راه حل:

الف- مقدماتی

$$ tg \ \alpha = \frac(b)(a) $$

$$tg \\alpha = 1 $$

بنابراین زاویه $$ \alpha = 45^(\circ) $$.

پاسخ:

مفاهیم سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مقوله های اصلی مثلثات - شاخه ای از ریاضیات هستند و به طور جدایی ناپذیری با تعریف زاویه مرتبط هستند. داشتن این علم ریاضی مستلزم حفظ و درک فرمول ها و قضایا و همچنین تفکر فضایی توسعه یافته است. به همین دلیل است که محاسبات مثلثاتی اغلب برای دانش آموزان و دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. برای غلبه بر آنها باید با توابع و فرمول های مثلثاتی بیشتر آشنا شوید.

مفاهیم در مثلثات

برای درک مفاهیم اولیه مثلثات، ابتدا باید تصمیم بگیرید که مثلث قائم الزاویه و زاویه در یک دایره چیست و چرا تمام محاسبات مثلثاتی اولیه با آنها مرتبط است. مثلثی که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد، مثلث قائم الزاویه است. از نظر تاریخی، این رقم اغلب توسط مردم در معماری، ناوبری، هنر، نجوم استفاده می شد. بر این اساس، با مطالعه و تجزیه و تحلیل ویژگی های این رقم، افراد به محاسبه نسبت های مربوط به پارامترهای آن رسیدند.

دسته های اصلی مرتبط با مثلث های قائم الزاویه عبارتند از: هیپوتنوس و پاها. هیپوتنوز ضلع مثلثی است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد. پاها به ترتیب دو طرف دیگر هستند. مجموع زوایای هر مثلثی همیشه 180 درجه است.

مثلثات کروی بخشی از مثلثات است که در مدرسه مطالعه نمی شود، اما در علوم کاربردی مانند نجوم و زمین شناسی، دانشمندان از آن استفاده می کنند. یکی از ویژگی های مثلث در مثلثات کروی این است که همیشه مجموع زوایای آن بیشتر از 180 درجه است.

زوایای یک مثلث

در یک مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه، نسبت ساق مقابل زاویه مورد نظر به هیپوتنوز مثلث است. بر این اساس، کسینوس نسبت پای مجاور و هیپوتنوز است. هر دوی این مقادیر همیشه مقداری کمتر از یک دارند، زیرا هیپوتنوز همیشه از ساق بلندتر است.

مماس یک زاویه مقداری است برابر با نسبت پایه مقابل به پایه مجاور زاویه مورد نظر یا سینوس به کسینوس. کوتانژانت به نوبه خود، نسبت پایه مجاور زاویه مورد نظر به کاکتت مقابل است. با تقسیم واحد بر مقدار مماس هم می توان کوتانژانت یک زاویه را به دست آورد.

دایره واحد

دایره واحد در هندسه دایره ای است که شعاع آن برابر با یک است. چنین دایره ای در سیستم مختصات دکارتی ساخته می شود که مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق است و موقعیت اولیه بردار شعاع با جهت مثبت محور X (محور آبسیسا) تعیین می شود. هر نقطه از دایره دارای دو مختصات است: XX و YY، یعنی مختصات ابسیسا و مختصات. با انتخاب هر نقطه از دایره در صفحه XX، و رها کردن عمود از آن به محور آبسیسا، یک مثلث قائم الزاویه به دست می آوریم که با شعاع نقطه انتخاب شده تشکیل شده است (بگذارید آن را با حرف C نشان دهیم)، یک عمود بر روی محور X (نقطه تقاطع با حرف G نشان داده می شود)، و یک قطعه از محور آبسیسا بین مبدا (نقطه با حرف A مشخص می شود) و نقطه تقاطع G. یک دایره، که در آن AG هیپوتنوز است و AC و GC پاها هستند. زاویه بین شعاع دایره AC و بخش محور آبسیسا با نام AG را به عنوان α (آلفا) تعریف می کنیم. بنابراین، cos α = AG/AC. با توجه به اینکه AC شعاع دایره واحد است و برابر با یک است، معلوم می شود که cos α=AG. به طور مشابه، sin α=CG.

علاوه بر این، با دانستن این داده ها، می توان مختصات نقطه C را روی دایره تعیین کرد، زیرا cos α=AG و sin α=CG، به این معنی که نقطه C مختصات داده شده (cos α؛ sin α) را دارد. با دانستن اینکه مماس برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، می توانیم تعیین کنیم که tg α \u003d y / x و ctg α \u003d x / y. با در نظر گرفتن زوایای سیستم مختصات منفی، می توان محاسبه کرد که مقادیر سینوس و کسینوس برخی زوایا می تواند منفی باشد.

محاسبات و فرمول های اساسی

مقادیر توابع مثلثاتی

با در نظر گرفتن ماهیت توابع مثلثاتی از طریق دایره واحد، می‌توان مقادیر این توابع را برای برخی زوایا استخراج کرد. مقادیر در جدول زیر آمده است.

ساده ترین هویت های مثلثاتی

معادلاتی که در آنها مقدار مجهولی در زیر علامت تابع مثلثاتی وجود دارد، مثلثاتی می گویند. هویت هایی با مقدار sin x = α، k هر عدد صحیحی است:

sin x = 0، x = πk.
2. sin x \u003d 1، x \u003d π / 2 + 2πk.
sin x \u003d -1، x \u003d -π / 2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
sin x = a, |a| ≦ 1، x = (-1)^k * arcsin α + πk.

هویت هایی با مقدار cos x = a که k هر عدد صحیحی است:

cos x = 0، x = π/2 + πk.
cos x = 1، x = 2πk.
cos x \u003d -1، x \u003d π + 2πk.
cos x = a، |a| > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
cos x = a، |a| ≦ 1، х = ±arccos α + 2πk.

هویت هایی با مقدار tg x = a، که k هر عدد صحیح است:

tg x = 0، x = π/2 + πk.
tg x \u003d a، x \u003d arctg α + πk.

هویت هایی با مقدار ctg x = a که k هر عدد صحیحی است:

ctg x = 0، x = π/2 + πk.
ctg x \u003d a، x \u003d arcctg α + πk.

فرمول های بازیگری

این دسته از فرمول‌های ثابت روش‌هایی را نشان می‌دهند که با استفاده از آنها می‌توانید از توابع مثلثاتی شکل به توابع آرگومان بروید، یعنی سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه با هر مقدار را به شاخص‌های مربوط به زاویه تبدیل کنید. فاصله بین 0 تا 90 درجه برای راحتی بیشتر محاسبات.

فرمول های کاهش توابع برای سینوس زاویه به صورت زیر است:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

برای کسینوس یک زاویه:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

استفاده از فرمول های فوق با رعایت دو قانون امکان پذیر است. ابتدا، اگر زاویه را بتوان به عنوان یک مقدار (π/2 ± a) یا (3π/2 ± a) نشان داد، مقدار تابع تغییر می کند:

از گناه به cos;
از cos به گناه;
از tg به ctg؛
از ctg تا tg.

اگر زاویه را بتوان به صورت (π ± a) یا (2π ± a) نشان داد، مقدار تابع بدون تغییر باقی می ماند.

ثانیاً، علامت تابع کاهش یافته تغییر نمی کند: اگر در ابتدا مثبت بود، همچنان باقی می ماند. همین امر در مورد توابع منفی نیز صادق است.

فرمول های اضافه

این فرمول ها مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه چرخش را بر حسب توابع مثلثاتی بیان می کنند. زاویه ها معمولاً به صورت α و β نشان داده می شوند.

فرمول ها به شکل زیر هستند:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (1-± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

این فرمول ها برای هر زاویه α و β معتبر هستند.

فرمول های دو و سه زاویه

فرمول های مثلثاتی یک زاویه دوتایی و سه گانه فرمول هایی هستند که به ترتیب توابع زوایای 2α و 3α را به توابع مثلثاتی زاویه α مرتبط می کنند. برگرفته از فرمول های جمع:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

انتقال از جمع به محصول

با توجه به اینکه 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)، با ساده کردن این فرمول، هویت sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 را بدست می آوریم. به طور مشابه، sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

انتقال از محصول به جمع

این فرمول‌ها از هویت‌های انتقال مجموع به محصول به‌دست می‌آیند:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2 *.

فرمول های کاهش

در این هویت ها، توان های مربع و مکعب سینوس و کسینوس را می توان بر حسب سینوس و کسینوس توان اول یک زاویه چندگانه بیان کرد:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

جایگزینی جهانی

فرمول های جانشینی مثلثاتی جهانی توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند.

sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2)، در حالی که x \u003d π + 2πn;
cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2)، که در آن x = π + 2πn;
tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2)، که در آن x \u003d π + 2πn؛
ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2)، در حالی که x \u003d π + 2πn.

موارد خاص

موارد خاص از ساده ترین معادلات مثلثاتی در زیر آورده شده است (k هر عدد صحیحی است).

خصوصی برای سینوس:

مقدار sin x	مقدار x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk یا 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk یا -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk یا 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk یا -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk یا 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk یا -2π/3 + 2πk

ضرای کسینوس:

مقدار cos x	مقدار x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	± 2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	± 5π/6 + 2πk

خصوصی برای مماس:

مقدار tg x	مقدار x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

ضرایب کتانژانت:

مقدار ctg x	مقدار x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

قضایا

قضیه سینوس

دو نسخه از قضیه وجود دارد - ساده و توسعه یافته. قضیه سینوس ساده: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. در این حالت، a، b، c اضلاع مثلث و α، β، γ به ترتیب زوایای مخالف هستند.

قضیه سینوس بسط یافته برای یک مثلث دلخواه: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. در این هویت، R نشان دهنده شعاع دایره ای است که مثلث داده شده در آن حک شده است.

قضیه کسینوس

هویت به این صورت نمایش داده می شود: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. در فرمول a,b,c اضلاع مثلث و α زاویه مقابل ضلع a است.

قضیه مماس

فرمول رابطه بین مماس های دو زاویه و طول اضلاع مقابل آنها را بیان می کند. اضلاع دارای برچسب a، b، c، و زوایای مقابل مربوطه α، β، γ هستند. فرمول قضیه مماس: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

قضیه کتانژانت

شعاع دایره ای که در یک مثلث محاط شده است را با طول اضلاع آن مرتبط می کند. اگر a، b، c اضلاع یک مثلث و A، B، C به ترتیب زوایای مقابل آنها باشند، r شعاع دایره محاطی و p نیمه محیط مثلث است، هویت های زیر است. نگه دارید:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

برنامه های کاربردی

مثلثات نه تنها یک علم نظری مرتبط با فرمول های ریاضی است. خواص، قضایا و قواعد آن در عمل توسط شاخه های مختلف فعالیت های انسانی استفاده می شود - نجوم، ناوبری هوا و دریا، تئوری موسیقی، ژئودزی، شیمی، آکوستیک، اپتیک، الکترونیک، معماری، اقتصاد، مهندسی مکانیک، کار اندازه گیری، گرافیک کامپیوتری، نقشه کشی، اقیانوس شناسی، و بسیاری دیگر.

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مفاهیم اولیه مثلثات هستند که با استفاده از آنها می توان رابطه بین زوایا و طول اضلاع در یک مثلث را به صورت ریاضی بیان کرد و از طریق هویت ها، قضایا و قواعد کمیت های مورد نظر را پیدا کرد.

به عبارت ساده، اینها سبزیجاتی هستند که طبق دستور العمل خاصی در آب پخته می شوند. من دو جزء اولیه (سالاد سبزیجات و آب) و نتیجه نهایی - گل گاوزبان را در نظر خواهم گرفت. از نظر هندسی، این را می توان به عنوان یک مستطیل نشان داد که در آن یک طرف نشان دهنده کاهو و طرف دیگر نشان دهنده آب است. مجموع این دو ضلع نشانگر گل گاوزبان خواهد بود. مورب و مساحت چنین مستطیل "بورشت" مفاهیمی کاملاً ریاضی است و هرگز در دستور العمل های گل گاوزبان استفاده نمی شود.

چگونه کاهو و آب از نظر ریاضی به گل گاوزبان تبدیل می شوند؟ چگونه مجموع دو بخش می تواند به مثلثات تبدیل شود؟ برای درک این موضوع به توابع زاویه خطی نیاز داریم.

در کتاب های ریاضی چیزی در مورد توابع زاویه خطی پیدا نمی کنید. اما بدون آنها ریاضیات وجود ندارد. قوانین ریاضیات، مانند قوانین طبیعت، چه بدانیم که وجود دارند یا نه، کار می کنند.

توابع زاویه ای خطی قوانین جمع هستند.ببینید چگونه جبر به هندسه و هندسه به مثلثات تبدیل می شود.

آیا می توان بدون توابع زاویه ای خطی انجام داد؟ شما می توانید، زیرا ریاضیدانان هنوز بدون آنها مدیریت می کنند. ترفند ریاضیدانان در این واقعیت نهفته است که آنها همیشه فقط در مورد مسائلی به ما می گویند که خودشان می توانند حل کنند و هرگز در مورد مسائلی که نمی توانند حل کنند به ما نمی گویند. دیدن. اگر حاصل جمع و یک جمله را بدانیم، برای یافتن جمله دیگر از تفریق استفاده می کنیم. همه. ما مشکلات دیگر را نمی دانیم و قادر به حل آنها نیستیم. اگر فقط نتیجه جمع را بدانیم و هر دو اصطلاح را ندانیم چه کنیم؟ در این حالت، نتیجه جمع باید با استفاده از توابع زاویه ای خطی به دو ترم تجزیه شود. علاوه بر این، ما خودمان انتخاب می‌کنیم که یک جمله چه چیزی باشد، و توابع زاویه‌ای خطی نشان می‌دهند که عبارت دوم باید چه باشد تا نتیجه جمع دقیقاً همان چیزی باشد که ما نیاز داریم. می تواند تعداد نامتناهی از این جفت اصطلاح وجود داشته باشد. در زندگی روزمره، بدون تجزیه مجموع، خیلی خوب عمل می کنیم؛ تفریق برای ما کافی است. اما در مطالعات علمی قوانین طبیعت، بسط مجموع به اصطلاح می تواند بسیار مفید باشد.

یکی دیگر از قوانین جمع که ریاضیدانان دوست ندارند در مورد آن صحبت کنند (ترفند دیگر آنها) مستلزم این است که اصطلاحات واحد اندازه گیری یکسانی داشته باشند. برای کاهو، آب و گل گاوزبان، اینها ممکن است واحدهای وزن، حجم، هزینه یا واحد اندازه گیری باشند.

شکل دو سطح تفاوت را برای ریاضی نشان می دهد. سطح اول تفاوت در زمینه اعداد است که نشان داده شده است آ, ب, ج. این کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند. سطح دوم تفاوت در مساحت واحدهای اندازه گیری است که در پرانتز نشان داده شده و با حرف نشان داده شده است. U. این کاری است که فیزیکدانان انجام می دهند. ما می توانیم سطح سوم - تفاوت در محدوده اشیاء توصیف شده را درک کنیم. اجسام مختلف می توانند تعداد واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. چقدر این مهم است، می‌توانیم در مثال مثلثات بورشت ببینیم. اگر برای واحدهای اندازه‌گیری اشیاء مختلف، زیرنویس‌هایی را به نماد یکسان اضافه کنیم، می‌توانیم دقیقاً بگوییم که چه کمیت ریاضی یک شی خاص را توصیف می‌کند و چگونه در طول زمان یا در ارتباط با اعمال ما تغییر می‌کند. حرف دبلیوآب را با حرف علامت می زنم اسسالاد را با حرف مشخص می کنم ب- بورش در اینجا توابع زاویه خطی برای گل گاوزبان چگونه به نظر می رسند.

اگر مقداری از آب و مقداری از سالاد را برداریم با هم تبدیل به یک وعده گل گاوزبان می شوند. در اینجا به شما پیشنهاد می کنم کمی از گل گاوزبان فاصله بگیرید و دوران کودکی دور خود را به یاد بیاورید. یادتان هست چگونه به ما یاد دادند که خرگوش و اردک را کنار هم قرار دهیم؟ لازم بود که تعداد حیوانات را پیدا کنیم. آن وقت به ما یاد دادند که چه کار کنیم؟ به ما یاد دادند که واحدها را از اعداد جدا کنیم و اعداد را جمع کنیم. بله، هر عددی را می توان به هر عدد دیگری اضافه کرد. این یک مسیر مستقیم به اوتیسم ریاضیات مدرن است - ما نمی‌فهمیم چه چیزی، مشخص نیست چرا، و ما بسیار ضعیف می‌دانیم که چگونه این با واقعیت ارتباط دارد، زیرا به دلیل سه سطح تفاوت، ریاضیدانان فقط روی یک کار می‌کنند. یادگیری نحوه حرکت از یک واحد اندازه گیری به واحد دیگر صحیح تر خواهد بود.

و خرگوش ها و اردک ها و حیوانات کوچک را می توان تکه تکه شمرد. یک واحد اندازه گیری مشترک برای اجسام مختلف به ما امکان می دهد آنها را با هم جمع کنیم. این یک نسخه کودکانه از مشکل است. بیایید به یک مشکل مشابه برای بزرگسالان نگاه کنیم. وقتی خرگوش و پول اضافه می کنید چه چیزی بدست می آورید؟ در اینجا دو راه حل ممکن وجود دارد.

گزینه اول. ما ارزش بازار خرگوش ها را تعیین می کنیم و آن را به پول نقد موجود اضافه می کنیم. ما ارزش کل ثروت خود را از نظر پول بدست آوردیم.

گزینه دوم. می توانید تعداد خرگوش ها را به تعداد اسکناس هایی که داریم اضافه کنید. مقدار اموال منقول را تکه تکه به دست می آوریم.

همانطور که می بینید، قانون جمع یکسان به شما اجازه می دهد تا نتایج متفاوتی بدست آورید. همه چیز بستگی به این دارد که دقیقاً چه چیزی می خواهیم بدانیم.

اما به گل گاوزبان خودمان برگردیم. اکنون می توانیم ببینیم که برای مقادیر مختلف زاویه توابع زاویه خطی چه اتفاقی خواهد افتاد.

زاویه صفر است. سالاد داریم اما آب نداریم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان نیز صفر است. این اصلا به این معنی نیست که صفر گاوزبان برابر با صفر آب است. برش صفر نیز می تواند در سالاد صفر باشد (زاویه راست).

برای من شخصا، این دلیل اصلی ریاضی این واقعیت است که . صفر هنگام اضافه شدن عدد را تغییر نمی دهد. این به این دلیل است که اگر فقط یک جمله وجود داشته باشد و جمله دوم وجود نداشته باشد، خود جمع غیرممکن است. شما می توانید هر طور که دوست دارید با این موضوع ارتباط برقرار کنید، اما به یاد داشته باشید - تمام عملیات ریاضی با صفر توسط خود ریاضیدانان اختراع شده است، بنابراین منطق خود را دور بریزید و تعاریف ابداع شده توسط ریاضیدانان را احمقانه جمع کنید: "تقسیم بر صفر غیرممکن است"، "هر عددی ضربدر صفر شود." برابر با صفر" ، "پشت نقطه صفر" و مزخرفات دیگر است. کافی است یک بار به یاد بیاورید که صفر یک عدد نیست و شما هرگز این سوال را نخواهید داشت که آیا صفر یک عدد طبیعی است یا خیر، زیرا چنین سوالی به طور کلی معنای خود را از دست می دهد: چگونه می توان عددی را که عدد نیست در نظر گرفت. . مثل این است که بپرسیم یک رنگ نامرئی را به چه رنگی نسبت دهیم. افزودن صفر به یک عدد مانند نقاشی با رنگی است که وجود ندارد. آنها برس خشک را تکان دادند و به همه گفتند "ما نقاشی کرده ایم". اما کمی منحرف می شوم.

زاویه بزرگتر از صفر اما کمتر از چهل و پنج درجه است. ما کاهو زیاد داریم اما آب کم. در نتیجه یک گل گاوزبان غلیظ بدست می آوریم.

زاویه چهل و پنج درجه است. ما به مقدار مساوی آب و کاهو داریم. این گل گاوزبان عالی است (شاید آشپزها مرا ببخشند، این فقط ریاضی است).

زاویه بزرگتر از چهل و پنج درجه اما کمتر از نود درجه است. آب زیاد داریم و کاهو کم. گل گاوزبان مایع بگیرید.

زاویه راست. آب داریم فقط خاطراتی از کاهو باقی مانده است، زیرا ما به اندازه گیری زاویه از خطی که زمانی کاهو را مشخص می کرد، ادامه می دهیم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان صفر است. در این صورت دست نگه دارید و تا زمانی که آب در دسترس است بنوشید)))

اینجا. چیزی شبیه به این. من می توانم داستان های دیگری را در اینجا بگویم که در اینجا مناسب تر است.

این دو دوست سهم خود را در تجارت مشترک داشتند. پس از قتل یکی از آنها همه چیز به سراغ دیگری رفت.

ظهور ریاضیات در سیاره ما.

همه این داستان ها به زبان ریاضیات با استفاده از توابع زاویه ای خطی گفته می شود. زمانی دیگر جایگاه واقعی این توابع را در ساختار ریاضیات به شما نشان خواهم داد. در ضمن به مثلثات گل گاوزبان برگردیم و پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

شنبه 26 اکتبر 2019

چهارشنبه 7 آگوست 2019

در پایان گفتگو در مورد ، باید مجموعه ای بی نهایت را در نظر بگیریم. با توجه به این که مفهوم "بی نهایت" بر ریاضیدانان تأثیر می گذارد، مانند یک بوآ بر روی خرگوش. وحشت لرزان بی نهایت ریاضیدانان را از عقل سلیم محروم می کند. به عنوان مثال:

منبع اصلی قرار دارد. آلفا یک عدد واقعی را نشان می دهد. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید، چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی را به عنوان مثال در نظر بگیریم، نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای اثبات بصری ادعای خود، ریاضیدانان روش های مختلفی را ارائه کرده اند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان رقص شمن ها با تنبور نگاه می کنم. در اصل همه آنها به این نتیجه می رسند که یا برخی از اتاق ها اشغال نشده و مهمانان جدیدی در آنها مستقر می شوند یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان را به داخل راهرو پرتاب می کنند تا برای مهمانان جا باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب داستانی خارق العاده در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد نامتناهی بازدیدکننده زمان بی نهایت می برد. بعد از اینکه اولین اتاق مهمان را خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می توان عامل زمان را به طور احمقانه نادیده گرفت، اما این قبلاً از دسته "قانون برای احمق ها نوشته نشده است" خواهد بود. همه چیز به کاری که ما انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با نظریه های ریاضی یا بالعکس.

"هتل بی نهایت" چیست؟ مسافرخانه اینفینیتی مسافرخانه ای است که همیشه هر تعداد جای خالی دارد، مهم نیست چند اتاق اشغال شده باشد. اگر تمام اتاق های راهروی بی پایان «برای بازدیدکنندگان» اشغال شده باشد، راهروی بی پایان دیگری با اتاق هایی برای «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. در عین حال، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده است. از سوی دیگر، ریاضیدانان قادر به دور شدن از مشکلات پیش پا افتاده روزمره نیستند: خدا-الله-بودا همیشه یکی است، هتل یکی است، راهرو تنها یکی است. بنابراین ریاضیدانان در تلاشند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «بی‌هوش‌ها را هل داد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا ما خود اعداد را اختراع کرده ایم، در طبیعت هیچ عددی وجود ندارد. بله، طبیعت می داند که چگونه بشمرد، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. همانطور که طبیعت فکر می کند، یک بار دیگر به شما خواهم گفت. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه از اعداد طبیعی وجود داشته باشد. هر دو گزینه را همانطور که شایسته یک دانشمند واقعی است در نظر بگیرید.

گزینه یک "بگذارید به ما داده شود" یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در یک قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده و جایی برای بردن آنها نیست. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا قبلاً آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست. می‌توانیم یک واحد از مجموعه‌ای که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. پس از آن، می توانیم یک واحد را از قفسه برداریم و آن را به آنچه مانده ایم اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت می کنیم. شما می توانید تمام دستکاری های ما را اینگونه بنویسید:

من عملیات را در نماد جبری و در تئوری مجموعه ها یادداشت کرده ام و عناصر مجموعه را با جزئیات فهرست کرده ام. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان عدد به آن اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی را در قفسه داریم. تأکید می کنم - متفاوت هستند، با وجود این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. یکی از این مجموعه ها را می گیریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلا گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. در اینجا چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس های "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلفی تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی دیگری به یک مجموعه نامتناهی اضافه شود، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

از مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود مانند خط کش برای اندازه گیری. حال تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این قبلاً یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، در نظر بگیرید که آیا در مسیر استدلال نادرست هستید که توسط چندین نسل از ریاضیدانان زیر پا گذاشته شده است. بالاخره کلاس های ریاضی اول از همه یک کلیشه پایدار از تفکر را در ما شکل می دهند و فقط در این صورت توانایی های ذهنی را به ما اضافه می کنند (یا برعکس، ما را از تفکر آزاد محروم می کنند).

pozg.ru

یکشنبه 4 آگوست 2019

در حال نوشتن پس‌نوشته‌ای برای مقاله‌ای در مورد این متن فوق‌العاده در ویکی‌پدیا بودم:

می خوانیم: «... مبنای نظری غنی ریاضیات بابل، ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون، عاری از یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل یافت.

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا برای ما ضعیف است که به ریاضیات مدرن در همین چارچوب نگاه کنیم؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً موارد زیر را دریافت کردم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ویژگی کل نگر ندارد و به مجموعه‌ای از بخش‌های ناهمگون کاهش می‌یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات متفاوت است. اسامی یکسان در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک چرخه کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای این کار باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. یک مثال را در نظر بگیرید.

باشد که ما بسیاری داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. بیایید عناصر این مجموعه را از طریق حرف مشخص کنیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان دهنده شماره ترتیبی هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "ویژگی جنسی" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آدر مورد جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "مردم" ما اکنون به مجموعه "افراد با جنسیت" تبدیل شده است. پس از آن می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسیتی حالا می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک مرد باشد یا زن. اگر در شخصی وجود داشته باشد آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس ریاضیات معمول مدرسه را اعمال می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، دو زیرمجموعه به دست آوردیم: زیر مجموعه مذکر bmو زیر مجموعه ای از زنان bw. تقریباً به همان روشی که ریاضیدانان وقتی نظریه مجموعه ها را در عمل به کار می برند، استدلال می کنند. اما آنها به ما اجازه ورود به جزئیات را نمی دهند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است برای شما این سوال پیش بیاید که چگونه ریاضیات را به درستی در تبدیل های فوق به کار برده است؟ به جرات می توانم به شما اطمینان دهم که در واقع تبدیل ها به درستی انجام شده است، کافی است توجیه ریاضی حساب، جبر بولی و سایر بخش های ریاضی را بدانید. آن چیست؟ یک بار دیگر در مورد آن به شما خواهم گفت.

در مورد ابرمجموعه ها، می توان با انتخاب واحد اندازه گیری که در عناصر این دو مجموعه وجود دارد، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کرد.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضی رایج، تئوری مجموعه ها را به گذشته تبدیل می کند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضیدانان همان کاری را کردند که زمانی شمن ها انجام می دادند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "درست" به کار ببرند. این «دانش» را به ما می آموزند.

در نهایت، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند.

دوشنبه 7 ژانویه 2019

در قرن پنجم پیش از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که مشهورترین آنها آپوریا «آخیل و لاک پشت» است. در اینجا چگونه به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در زمان حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشد ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از دیدگاه ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای اعمال واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازنگری و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت خودرو، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا به طور همزمان نیاز دارید، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (به طور طبیعی، شما هنوز هم به داده های اضافی برای محاسبات نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی را برای کاوش فراهم می کنند.
من روند را با یک مثال نشان خواهم داد. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن قسمتی از «کل» را انتخاب می کنیم و مجموعه «با کمان» را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، خود را تغذیه می کنند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد در یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل" را با رنگ متحد کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. ما مقدار زیادی "قرمز" گرفتیم. حالا یک سوال پیچیده: آیا ست های دریافتی "با کمان" و "قرمز" یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همین طور باشد.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ مجموعه ای از "جوال قرمز جامد با کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری بر اساس چهار واحد اندازه گیری مختلف صورت گرفت: رنگ (قرمز)، قدرت (جامد)، زبری (در یک جوش)، تزئینات (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری، توصیف مناسب اشیاء واقعی را در زبان ریاضی ممکن می سازد.. در اینجا به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. در پرانتز، واحدهای اندازه گیری برجسته شده است، که بر اساس آن "کل" در مرحله مقدماتی اختصاص داده می شود. واحد اندازه گیری که بر اساس آن مجموعه تشکیل می شود، از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدها برای تشکیل مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و آن را با "بدیهی بودن" استدلال کنند، زیرا واحدهای اندازه گیری در زرادخانه "علمی" آنها گنجانده نشده است.

با کمک واحدهای اندازه گیری، شکستن یک یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

در جایی که وظایف حل مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شد، قول دادم تکنیکی را برای حفظ تعاریف سینوس و کسینوس ارائه کنم. با استفاده از آن، همیشه به سرعت به یاد خواهید آورد که کدام پا متعلق به هیپوتنوز (مجاور یا مقابل) است. تصمیم گرفتم بی نهایت موکول نکنم مطالب لازم در زیر هست لطفا بخونید😉

واقعیت این است که من بارها مشاهده کرده ام که چگونه دانش آموزان کلاس های 10-11 در به خاطر سپردن این تعاریف مشکل دارند. آنها به خوبی به یاد دارند که پا به هیپوتنوز اشاره دارد، اما کدام یک- فراموش کن و سردرگم. بهای یک اشتباه همانطور که می دانید در امتحان یک نمره از دست رفته است.

اطلاعاتی که من مستقیماً به ریاضیات ارائه خواهم کرد هیچ ربطی ندارد. با تفکر مجازی و با روش های ارتباط کلامی-منطقی همراه است. درسته من خودم یه بار برای همیشه یادم اومدداده های تعریف اگر هنوز آنها را فراموش کرده اید، با کمک تکنیک های ارائه شده همیشه به راحتی می توانید به خاطر بسپارید.

بگذارید تعاریف سینوس و کسینوس را در مثلث قائم الزاویه به شما یادآوری کنم:

کسینوسزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است:

سینوسیزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است:

بنابراین، کلمه کسینوس چه تداعی هایی را در شما برمی انگیزد؟

احتمالاً هرکسی خود را داردلینک را به خاطر بسپارید:

بنابراین، بلافاصله یک بیان در حافظه خود خواهید داشت -

«… نسبت پای مجاور به هیپوتانوز».

مشکل تعریف کسینوس حل شد.

اگر لازم است تعریف سینوس را در یک مثلث قائم الزاویه به خاطر بسپارید، سپس تعریف کسینوس را به خاطر بسپارید، به راحتی می توانید ثابت کنید که سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت سمت مقابل به هیپوتانوس است. از این گذشته ، فقط دو پا وجود دارد ، اگر پای مجاور توسط کسینوس "اشغال" شود ، فقط طرف مقابل برای سینوس باقی می ماند.

مماس و کوتانژانت چطور؟ همان سردرگمی دانش‌آموزان می‌دانند که این نسبت پاها است، اما مشکل این است که به یاد داشته باشیم که کدام یک به کدام اشاره دارد - یا مخالف مجاور یا برعکس.

تعاریف:

مماسیک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت سمت مقابل به سمت مجاور است:

کوتانژانتزاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به مخالف است:

چگونه به خاطر بسپاریم؟ دو راه وجود دارد. یکی همچنین از یک ارتباط کلامی-منطقی استفاده می کند، دیگری - یک ارتباط ریاضی.

روش ریاضی

چنین تعریفی وجود دارد - مماس یک زاویه حاد نسبت سینوس یک زاویه به کسینوس آن است:

* با به خاطر سپردن فرمول، همیشه می توانید تعیین کنید که مماس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به سمت مجاور است.

به همین ترتیب.کوتانژانت یک زاویه حاد نسبت کسینوس یک زاویه به سینوس آن است:

بنابراین! با یادآوری این فرمول ها، همیشه می توانید تعیین کنید که:

- مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به مجاور است.

- کتانژانت یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به سمت مقابل است.

روش کلامی-منطقی

در مورد مماس لینک را به خاطر بسپارید:

یعنی اگر لازم است تعریف مماس را به خاطر بسپارید، با استفاده از این ارتباط منطقی، می توانید به راحتی آن را به خاطر بسپارید.

"... نسبت پای مقابل به مجاور"

اگر صحبت از کوتانژانت به میان می آید، پس با یادآوری تعریف مماس، می توانید به راحتی تعریف کوتانژانت را بیان کنید -

«... نسبت پای مجاور به مخالف»

یک تکنیک جالب برای به خاطر سپردن مماس و کوتانژانت در سایت وجود دارد " پشت سر هم ریاضی " ، نگاه کن

روش جهانی

شما فقط می توانید آسیاب کنید.اما همانطور که تمرین نشان می دهد، به لطف ارتباطات کلامی-منطقی، فرد اطلاعات را برای مدت طولانی به یاد می آورد، و نه تنها ریاضی.

امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.