تعریف افزایش دوره سخنرانی
اجازه دهید تابع داده شود دو ارزش استدلال را انجام دهید: ابتدا 
و تغییر کرده است، که معمول است 
جایی که 
- ارزش آن استدلال در طول انتقال از اولین مقدار به دوم تغییر می کند، آن را نامیده می شود افزایش استدلال.
مقادیر استدلال و مطابقت با مقادیر خاصی از تابع: اولیه 
و تغییر کرد 
، تعداد 
که در آن مقدار تابع تغییر می کند زمانی که استدلال توسط مقدار تغییر نامیده می شود نامیده می شود تابع افزایش
2. مفهوم محدودیت عملکرد در نقطه.
عدد 
محدودیت تابع را نام برد 
با جستجو 
اگر برای هر عدد 
چنین تعداد وجود دارد 
که در همه 
رضایت بخش نابرابری 
، نابرابری انجام خواهد شد 
.
تعریف دوم: این شماره محدودیت عملکرد را در صورتی به دنبال دارد، در صورتی که برای هر عدد، چنین محله ای از این نقطه وجود دارد، که برای هر یک از این محله ها وجود دارد. نشان دادن 
.
3. توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک در نقطه. تابع بی نهایت کوچک در نقطه یک تابع است که محدودیت آن، زمانی که آن را در تلاش برای این نقطه صفر است. عملکرد بی نهایت بزرگ در نقطه، عملکرد محدودی از آن است که زمانی که آن را به این نقطه تمایل دارد برابر با بی نهایت است.
4. قضیه اصلی در مورد محدودیت ها و بررسی آنها (بدون اثبات).
cURLELARY: چند ضلعی دائمی را می توان از حد مجاز به دست آورد: 
اگر توالی I. 
همگرایی و محدودیت توالی متفاوت از صفر است، سپس
cURLELARY: چند ضلعی دائمی را می توان با محدودیت رسید.
11. اگر محدودیت های توابع وجود داشته باشد 
و 
و محدودیت عملکرد از صفر متفاوت است
سپس محدودیت ارتباط آنها نیز وجود دارد رابطه برابر محدودیت توابع و:
.
12. اگر 
T. 
، منصفانه و معکوس
13. قضیه در حد توالی متوسط. اگر دنباله 
شهرستان، I. 
و 
که 
5. تابع محدود در بی نهایت.
شماره A محدودیت عملکرد در بی نهایت نامیده می شود (در X به دنبال بی نهایت) اگر برای هر توالی به دنبال بی نهایت 
مربوط به دنباله ای از مقادیر کسانی است که به شماره متعهد هستند ولی.
6. Diatensses توالی عددی.
عدد ولی محدودیت توالی عددی را نامیده می شود، اگر برای هر تعداد مثبت باشد 
پیدا کردن عدد طبیعی n، به طوری که در همه n.>
n. نابرابری انجام می شود 
.
این نمادین تعیین می شود: 
نمایشگاه.
این واقعیت که تعداد ولی این محدودیت توالی است، به شرح زیر نشان داده شده است:
.
7. "E". لگاریتم های طبیعی
عدد "E"
نشان دهنده حد توالی عددی است n.-
یکی از اعضای آن 
، به عنوان مثال
.
لگاریتم طبیعی - لگاریتم e
لگاریتم های طبیعی نشان داده شده است 
بدون مشخص کردن پایه 
عدد 
به شما اجازه می دهد تا از حرکت کنید لگاریتم دهدهی به طور طبیعی و عقب.
این ماژول انتقال از لگاریتم های طبیعی به دهدهی نامیده می شود.
8. محدودیت های فوق العاده 
,
.
اولین محدودیت فوق العاده:
بنابراین، به عنوان 
توسط تئوری ترمینال ترمینال قضیه
دومین حد فوق العاده:
.
برای اثبات وجود محدودیت 
استفاده از Lemma: برای هر شماره واقعی 
و 
نابرابری نسبتا 
(2) (زمانی که 
یا 
تجاوز به نابرابری به برابری.)
دنباله (1) را می توان به صورت زیر نوشته شده است:
.
در حال حاضر دنباله کمکی را با یک عضو مشترک در نظر بگیرید. 
ما مطمئن هستیم که آن را کاهش می دهد و محدود به زیر است: 
اگر یک 
دنباله کاهش می یابد. اگر یک 
دنباله به پایین محدود است. آن را نشان می دهد:
به موجب برابری (2)
i.E. 
یا 
. به عبارت دیگر، دنباله کاهش می یابد، و غیره. دنباله محدود به پایین است. اگر دنباله کاهش یابد و به پایین محدود شود، محدودیت دارد. سپس
این محدودیت و توالی (1)، از آنجا است. 
و 
.
L. Euler این محدودیت را نام برد 
.
9. محدودیت های یک طرفه، تابع شکستن.
شماره و محدودیت سمت چپ اگر زیر برای هر دنباله دنبال شود :.
شماره و حد مناسب اگر زیر برای هر دنباله دنبال شود :.
اگر در نقطه ولی عملکرد تعیین عملکرد یا مرز متعلق به آن، شرایط تداوم عملکرد، مختل می شود، سپس نقطه است ولی نقطه شکستن یا یک پارگی از عملکرد نامیده می شود. اگر نکته باشد
12. مجموع اعضای کاهش بی پایان پیشرفت هندسی.
پیشرفت هندسی یک توالی است که در آن رابطه بین اعضای بعدی و پیشین بدون تغییر باقی می ماند، این رابطه نامیده می شود مقدار اول n. اعضای پیشرفت هندسی توسط فرمول بیان می شود 
این فرمول مناسب برای استفاده از کاهش پیشرفت هندسی است - پیشرفتی که ارزش مطلق نامعلوم آن کمتر از صفر است. 
- دوره اول؛ 
- متداول پیشرفت؛ 
- تعداد عضو جمع آوری شده دنباله. مجموع پیشرفت کاهش بی نهایت، تعداد است که مجموع اولین اعضای پیشرفت کاهش تعداد پیشرفت های کاهش، با افزایش نامحدود تعداد نادیده گرفته می شود. 
به. مجموع اعضای بی نهایت کاهش پیشرفت هندسی برابر است 
.
اجازه دهید x یک نقطه دلخواه باشد که در برخی از محیط اطراف نقطه ثابت x 0 پرواز می کند. تفاوت X - X 0 به منظور افزایش افزایش توسط یک متغیر مستقل (یا افزایش استدلال) در نقطه X 0 گرفته شده است و Δx را نشان می دهد. به این ترتیب،
Δx \u003d x -x 0،
از جایی که آن را دنبال می کند
حفاظت از عملکرد -تفاوت بین دو مقدار تابع.
اجازه دهید یک تابع مشخص شود w. = f (x)تعریف شده با ارزش استدلال برابر است h. 0 بیایید افزایش استدلال را بدهیم h.، ᴛ.ᴇ. ارزش استدلال را برابر کنید ایکس. 0 + D. h.. فرض کنید این ارزش این استدلال نیز در منطقه تعریف این تابع گنجانده شده است. سپس تفاوت D. y = f (x. 0 + D. ایکس) – f (x 0) این معمول است که به عنوان افزایش عملکرد نامیده می شود. تابع حفاظت f.(ایکس.) در نقطه ایکس. - عملکرد معمولا نشان داده شده Δ x f از متغیر جدید Δ ایکس. که تعریف میشود
Δ x f(Δ ایکس.) = f.(ایکس. + Δ ایکس.) − f.(ایکس.).
پیدا کردن افزایش استدلال و افزایش عملکرد در نقطه X 0، اگر
مثال 2. افزایش عملکرد f (x) \u003d x 2، اگر x \u003d 1، ΔH \u003d 0.1
راه حل: f (x) \u003d x 2، f (x + ΔH) \u003d (x + ΔH) 2
پیدا کردن تابع ΔF \u003d f (x + Δx) - f (x) \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2x * Δx + Δx 2 - x 2 \u003d 2x * Δx + Δx 2 /
ما مقادیر x \u003d 1 و ΔH \u003d 0.1 را جایگزین می کنیم، ما ΔF \u003d 2 * 1 * 0.1 + (0،1) 2 \u003d 0.2 + 0.01 \u003d 0.21 را دریافت می کنیم
پیدا کردن افزایش استدلال و افزایش عملکرد در نقاط x 0
2.f (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4
3. f (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0.8
4. f (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8
تعریف: مشتق توابع در نقطه، معمول است برای تماس با محدودیت (اگر آن را وجود دارد و محدود) نسبت افزایش عملکرد به افزایش استدلال ارائه شده است که دومی تمایل به صفر است.
تعیین های زیر مشتق شده رایج ترین هستند:
به این ترتیب،
پیدا کردن یک مشتق شده به نام تماس تفکیک . معرفی کرد تعریف تابع تمجنی: تابع F که در هر نقطه از شکاف مشتق شده است، در یک فاصله زمانی مشخص می شود.
فرض کنید که در برخی از دگلیس های محله، عملکرد تابع عملکرد چنین تعداد ای است که عملکرد در منطقه اطراف آن نامیده می شود تو(ایکس. 0) می تواند به عنوان نشان داده شود
f.(ایکس. 0 + h.) = f.(ایکس. 0) + آه + o.(h.)
اگر وجود دارد.
تعریف تابع مشتق شده در نقطه.
اجازه دهید تابع f (x) تعریف شده در فاصله (a؛ ب)و - نقاط این شکاف.
تعریف. تابع مشتق شده f (x) در نقطه ای، معمول است که محدودیت ارتباط عملکرد تابع را برای افزایش استدلال در آن، به دست آورید. نشان می دهد
هنگامی که آخرین محدودیت مقدار نهایی بتن را می گیرد، پس از آن صحبت می کنید مشتق محدود در نقطه. در صورتی که محدودیت بی نهایت باشد، آنها می گویند بی نهایت مشتق شده در این نقطه. در صورتی که محدودیت وجود نداشته باشد، پس تابع مشتق شده در این نقطه وجود ندارد.
تابع f (x) نامیده می شود در نقطه زمانی که آن را یک مشتق محدود در آن است.
در صورتی که تابع f (x) قابل تم گیری در هر نقطه از یک فاصله (a؛ ب)این تابع در این فاصله متفاوت است. τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ، هر نقطه ایکس. از شکاف (a؛ ب) شما می توانید مطابق با ارزش تابع مشتق شده در این مرحله قرار دهید، یعنی ما توانایی تعیین عملکرد جدید به نام تابع مشتق شده را داریم f (x) در فاصله زمانی (a؛ ب).
عملیات پیدا کردن یک مشتق شده معمول است که تمایز نامیده می شود.
فیزیک پزشکی و بیولوژیکی
سخنرانی №1
تابع مشتق شده و دیفرانسیل.
مشتقات خصوصی
1. مفهوم مشتق شده، معنای مکانیکی و هندسی آن.
ولی ) افزایش استدلال و عملکرد.
اجازه دهید تابع y \u003d f (x) داده شود، جایی که ارزش استدلال از عملکرد تعیین عملکرد. اگر شما دو مقادیر Argument X O و X را از یک فاصله مشخص از منطقه تعریف تابع انتخاب کنید، تفاوت بین دو مقادیر استدلال، افزایش استدلال نامیده می شود: x - x O \u003d ΔH.
مقدار استدلال x را می توان با x 0 تعیین کرد و افزایش آن: x \u003d x o + ΔH.
تفاوت بین دو مقادیر تابع، افزایش تابع نامیده می شود: ΔY \u003d ΔF \u003d f (x o + ΔH) - f (x o).
افزایش استدلال عملکرد را می توان به صورت گرافیکی نشان داد (شکل 1). افزایش استدلال و افزایش عملکرد می تواند هر دو مثبت و منفی باشد. به شرح زیر از شکل 1، افزایش هندسی از استدلال Δх با افزایش Abscissa نشان داده شده است، و افزایش عملکرد ΔU افزایش بخش است. محاسبه تابع افزایش باید به ترتیب زیر انجام شود:
ما این استدلال را افزایش می دهیم Δх و دریافت مقدار - x + Δx؛
2) ما ارزش تابع را برای ارزش استدلال (x + ΔH) - f (x + ΔH) پیدا می کنیم؛
3) ما افزایش تابع ΔF \u003d f (x + ΔH) - f (x) را پیدا می کنیم.
مثال:تعیین افزایش عملکرد y \u003d x 2 اگر استدلال از x O \u003d 1 به x \u003d 3 تغییر کرده است. برای نقطه X در مورد مقدار تابع f (x o) \u003d x² در مورد؛ برای یک نقطه (x o + ΔH)، مقدار تابع f (x o + ΔH) \u003d (x o + ΔH) 2 \u003d x² حدود + 2x o ΔH + ΔH 2، از جایی که ΔF \u003d f (x o + Δх) -f (xo) \u003d (xo + ΔH) 2-х2 O \u003d x² حدود + 2x ΔH + ΔH 2-x² O \u003d 2x О Δх + Δх 2؛ ΔF \u003d 2x O ΔH + ΔH 2؛ ΔH \u003d 3-1 \u003d 2؛ ΔF \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.
ب)وظایف منجر به مفهوم مشتق شده است. تعیین مشتق، معنای فیزیکی آن.
مفهوم افزایش استدلال و عملکرد لازم برای معرفی مفهوم مشتق شده است، که از لحاظ تاریخی بر روی نیاز به تعیین سرعت فرآیندهای خاص آغاز شده است.
در نظر بگیرید که چگونه می توان میزان حرکت مستقیم مستقیم را تعیین کرد. اجازه دهید بدن به طور مستقیم بر اساس قانون حرکت کند: Δѕ \u003d · Δt. برای جنبش ارزیابی: \u003d ΔS / ΔT.
برای حرکت متغیر، مقدار ΔS / Δtodetes مقدار CP. ، I.E. CF. \u003d ΔS / Δt. اما سرعت متوسط \u200b\u200bامکان پذیر نیست که ویژگی های جنبش بدن را منعکس کند و ایده ای از سرعت واقعی را در زمان t ارائه دهد. با کاهش در دوره زمانی، به عنوان مثال هنگامی که Δt → 0، به طور متوسط \u200b\u200bبه سرعت به حد خود را رول - سرعت فوری:
MGN. \u003d. 
چهارشنبه \u003d. 
ΔS / ΔT.
به همان شیوه، میزان واکنش شیمیایی لحظه ای تعیین می شود:
MGN. \u003d. 
چهارشنبه \u003d. 
Δх / Δt،
جایی که X مقدار ماده ای است که در طی یک واکنش شیمیایی در طی T. چنین مشکلات در تعیین سرعت فرآیندهای مختلف منجر به معرفی در ریاضیات مفهوم یک تابع مشتق شده است.
اجازه دهید تابع پیوسته f (x)، تعیین شده در فاصله] a، در [EI، افزایش ΔF \u003d f (x + ΔH) -f (x). 
این یک تابع Δх است و سرعت متوسط \u200b\u200bتغییر عملکرد را بیان می کند.
محدودیت رابطه 
هنگامی که Δх → 0، ارائه داد که این حد وجود دارد، یک تابع مشتق شده نامیده می شود :
y 'x \u003d 
.
مشتق شده نشان داده شده است: 
- (شفافیت بارکد x)؛ f "
(x) - (EF بارکد x) ;
y "- (بارکد کوسه)؛ DY / DY –
(degrea for de x)؛
- (بازی با یک نقطه).
بر اساس تعریف مشتق شده، می توان گفت که سرعت لحظه ای از حرکت مستقیم از زمان زمان مشتق شده است:
MGN. \u003d s "t \u003d f " (t).
بنابراین، می توان نتیجه گرفت که مشتق از استدلال X یک نرخ فوری تغییر در تابع f (x) است:
u "x \u003d f " (x) \u003d MGN.
این معنای فیزیکی مشتق شده است. فرایند پیدا کردن یک مشتق شده، تمایز نامیده می شود، بنابراین عبارت "عملکرد ژن" معادل عبارت "پیدا کردن یک تابع مشتق شده" است.
که در)معنی هندسی مشتق شده است.
پ 
عملکرد عملیاتی y \u003d f (x) دارای معنای هندسی ساده ای است که در برخی موارد به مفهوم منحنی خطوط مربوط می شود. در همان زمان، مماس، من. خط مستقیم به صورت تحلیلی به شکل y \u003d kH \u003d tg · x بیان می شود، جایی که
–
زاویه گرایش مماسی (راست) به محور x منحنی پیوسته به عنوان یک تابع y \u003d f (x)، نقطه m 1 را نزدیک به آن بر روی منحنی قرار می دهد و نقطه تأمین را به دست می آورد. ضریب زاویه ای آن به SEC \u003d TG β \u003d 
. اگر نقطه m 1 را به m برسانید، سپس افزایش استدلال Δx
این برای صفر تلاش خواهد کرد، و عالمت در β \u003d α موقعیت مماس را می گیرد. شکل 2 به شرح زیر است: TGα \u003d 
tgβ \u003d 
\u003d y "x. اما tgαins ضریب زاویه ای مماس به نمودار تابع:
k \u003d tgα \u003d 
\u003d y "x \u003d f "
(ایکس). بنابراین، ضریب زاویه ای مماس به گراف عملکرد در این نقطه برابر با مشتق آن در نقطه لمس است. این معنای هندسی مشتق شده است.
د)قاعده کلی پیدا کردن یک مشتق شده.
بر اساس تعیین مشتق شده، روند تمایز تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
f (x + ΔH) \u003d f (x) + Δf؛
پیدا کردن افزایش عملکرد: ΔF \u003d f (x + ΔH) - f (x)؛
نسبت افزایش عملکرد به افزایش استدلال عبارت است از:
;
مثال:f (x) \u003d x 2؛ F. " (x) \u003d؟
با این حال، همانطور که حتی از این مثال ساده دیده می شود، استفاده از دنباله مشخص شده هنگام مصرف مشتقات یک فرآیند وقت گیر و پیچیده است. بنابراین، برای توابع مختلف وارد شده است فرمول های عمومی تمایز، که به صورت یک جدول "فرمول های پایه ای از توابع" ارائه شده است.
نه همیشه در زندگی، ما علاقه مند به مقادیر دقیق هر مقادیر هستیم. گاهی اوقات جالب است بدانیم تغییر در این مقدار، به عنوان مثال، سرعت متوسط \u200b\u200bاتوبوس، نسبت میزان حرکت به فاصله زمانی، و غیره برای مقایسه مقادیر عملکرد در برخی از نکات با مقادیر عملکرد مشابه در نقاط دیگر، راحت استفاده از مفاهیم مانند "افزایش عملکرد" \u200b\u200bو "افزایش استدلال" است.
مفاهیم "افزایش عملکرد" \u200b\u200bو "افزایش استدلال"
فرض کنید X برخی از نقطه دلخواه است که در هر محله نقطه X0 قرار دارد. افزایش استدلال در نقطه X0 تفاوت X-X0 است. افزایش به شرح زیر است: Δx.
- Δх \u003d x-x0.
گاهی اوقات این اندازه نیز افزایش یک متغیر مستقل در نقطه X0 نامیده می شود. از فرمول به شرح زیر است: x \u003d x0 + ΔH. در چنین مواردی، گفته شده است که مقدار اولیه یک متغیر مستقل X0، افزایش به Δх را به دست آورد.
اگر ما این استدلال را تغییر دهیم، ارزش تابع نیز تغییر خواهد کرد.
- f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + ΔH) - f (x0).
افزایش تابع f در نقطه x0، افزایش مربوط به ΔH به نام تفاوت F (x0 + ΔH) - f (x0) است. افزایش عملکرد به صورت زیر نشان داده شده است. ΔF. بنابراین، ما به دست آمده، با تعریف:
- ΔF \u003d f (x0 + Δx) - f (x0).
گاهی اوقات، ΔF نیز افزایش متغیر وابسته نامیده می شود و از ΔU برای تعیین اینکه آیا تابع، به عنوان مثال Y \u003d f (x) استفاده می شود.
معنای هندسی افزایش
به نقاشی بعدی نگاه کنید.
همانطور که می بینید، افزایش تغییر در واحد و Abscissa از نقطه را نشان می دهد. و نسبت افزایش عملکرد برای افزایش استدلال، زاویه تمایل به گذر از گذر از طریق موقعیت اولیه و نهایی نقطه را تعیین می کند.
نمونه هایی از افزایش عملکرد و استدلال را در نظر بگیرید
مثال 1 افزایش Argument ΔH و افزایش عملکرد ΔF در نقطه x0، اگر f (x) \u003d x 2، x0 \u003d 2 a) x \u003d 1.9 b) x \u003d 2.1
ما از فرمول های موجود در بالا استفاده می کنیم:
a) ΔH \u003d x-x0 \u003d 1.9 - 2 \u003d -0.1؛
- Δf \u003d f (1.9) - f (2) \u003d 1.9 2 - 2 2 \u003d -0.39؛
ب) Δx \u003d x - x0 \u003d 2.1-2 \u003d 0.1؛
- ΔF \u003d f (2.1) - f (2) \u003d 2.1 2 - 2 2 \u003d 0.41.
مثال 2 محاسبه افزایش ΔF برای تابع f (x) \u003d 1 / x در نقطه x0، اگر افزایش استدلال Δx است.
باز هم، ما از فرمول های به دست آمده از بالا استفاده می کنیم.
- ΔF \u003d f (x0 + Δx) - f (x0) \u003d 1 / (x0-Δx) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + Δx)) / (x0 * (x0 + Δx)) \u003d - Δx / ( (x0 * (x0 + Δx)).
تعریف 1
اگر برای هر جفت $ (X، Y) از مقادیر دو متغیر مستقل از یک منطقه خاص، مطابق با مقدار مشخصی از $ z $ قرار گرفته است، پس گفته می شود که $ z $ عملکرد است دو متغیر $ (x، y) $. تعیین: $ z \u003d f (x، y) $.
با توجه به عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ ما مفهوم عمومی (کامل) و افزایش خصوصی عملکرد را در نظر می گیریم.
اجازه دهید عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ دو متغیر مستقل $ (x، y) $.
یادداشت 1.
از آنجا که متغیرها $ (X، Y) $ مستقل هستند، پس یکی از آنها می تواند تغییر کند، و دیگری برای حفظ ارزش ثابت.
اجازه دهید ما یک متغیر $ x $ افزایش $ \\ delta x $، در حالی که صرفه جویی در ارزش متغیر $ y $ بدون تغییر.
سپس عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ افزایش می یابد که به عنوان افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای یک متغیر $ x $ نامیده می شود. تعیین:
به طور مشابه، ما یک متغیر $ Y $ افزایش $ \\ delta y $، در حالی که صرفه جویی در ارزش $ x $ متغیر بدون تغییر است.
سپس تابع $ z \u003d f (x، y) $ افزایش می یابد که افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ در امتداد متغیر $ y $ نامیده می شود. تعیین:
اگر $ x $ Argument افزایش $ \\ delta x $ باشد، و Argument $ Y $ افزایش $ \\ delta y $ است، سپس افزایش کامل تابع مشخص شده $ z \u003d f (x، y) $ است . تعیین:
بنابراین، ما داریم:
$ \\ delta _ (x) z \u003d f (x + \\ deelta x، y) -f (x، y) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ به $ x $؛
$ \\ delta _ (y) z \u003d f (x، y + \\ deelta y) -f (x، y) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای $ y $؛
$ \\ delta z \u003d f (x + \\ deelta x، y + \\ deelta y) -f (x، y) $ افزایش کامل عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ است.
مثال 1
تصمیم گیری:
$ \\ delta _ (x) z \u003d x + \\ deelta x + y $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای $ x $؛
$ \\ delta _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $ افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای $ y $.
$ \\ delta z \u003d x + \\ delta x + y + \\ delta y $ - افزایش کامل عملکرد $ z \u003d f (x، y) $.
مثال 2
محاسبه افزایش خصوصی و کامل عملکرد $ z \u003d xy $ در نقطه $ (1؛ 2) $ با $ \\ deelta x \u003d 0.1؛ \\، \\، \\ deelta y \u003d 0.1 $.
تصمیم گیری:
با تعریف افزایش خصوصی، ما می بینیم:
$ \\ delta _ (x) z \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای $ x $
$ \\ delta _ (y) z \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ برای $ y $؛
با تعریف کامل افزایش، ما می بینیم:
$ \\ delta z \u003d (x + \\ delta x) \\ cdot (y + \\ delta y) $ - افزایش کامل عملکرد $ z \u003d f (x، y) $.
از این رو،
\\ [\\ delta _ (x) z \u003d (1 + 0.1) \\ cdot 2 \u003d 2.2 \\] \\ [\\ delta _ (y) z \u003d 1 \\ cdot (2 + 0.1) \u003d 2.1 \\] \\ [\\ delta z \u003d (1 + 0.1) \\ cdot (2 + 0.1) \u003d 1.1 \\ cdot 2،1 \u003d 2.31. \\]
تبصره 2
افزایش کامل عملکرد مشخص شده $ z \u003d f (x، y) $ برابر با مجموع افزایش خصوصی خود از $ \\ delta _ (x) z $ و $ _ delta _ (y) z $ نیست. ضبط ریاضی: $ \\ delta z \\ ne \\ delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z $.
مثال 3
نظرات تایید را بررسی کنید
تصمیم گیری:
$ \\ delta _ (x) z \u003d x + \\ deelta x + y $؛ $ \\ delta _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $؛ $ \\ delta z \u003d x + \\ deelta x + y + \\ delta y $ (به دست آمده در مثال 1)
ما مقدار افزایش خصوصی از عملکرد مشخص شده را پیدا خواهیم کرد $ z \u003d f (x، y) $
\\ [\\ delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z \u003d x + \\ deelta x + y + (x + y + \\ deelta y) \u003d 2 \\ cdot (x + y) + \\ delta x + \\ دلتا y \\]
\\ [\\ delta _ (x) z + \\ delta _ (y) z \\ ne \\ delta z. \\]
تعریف 2
اگر برای هر سه دلار (x، y، z) از مقادیر سه متغیر مستقل از یک منطقه خاص مطابق با ارزش مشخصی از $ w $، گفته شده است که $ W $ یک تابع از سه متغیر $ (X، Y، Z) $ در این منطقه.
تعیین: $ w \u003d f (x، y، z) $.
تعریف 3
اگر برای هر مجموع $ (X، Y، Z، ...، T) $، مقادیر متغیرهای مستقل از یک منطقه خاص مطابق با ارزش مشخصی از $ w $ قرار می گیرد، پس گفته می شود که $ W $ عملکرد متغیرهای $ (x، y، z، ...، t) $ در این منطقه است.
تعیین: $ w \u003d f (x، y، z، ...، t) $.
برای عملکرد سه متغیر و متغیرهای بیشتر، شبیه به چگونگی عملکرد دو متغیر توسط افزایش خصوصی برای هر یک از متغیرها تعیین می شود:
$ \\ delta _ (z) w \u003d f (x، y، z + \\ deelta z) -f (x، y، z) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z ،. ..، t) $ برای $ z $؛
$ \\ delta _ (t) w \u003d f (x، y، z، ...، t + \\ deelta t) -f (x، y، z، ...، t) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z، ...، t) $ برای $ t $.
مثال 4
انتقال خصوصی و کامل عملکرد را بنویسید
تصمیم گیری:
با تعریف افزایش خصوصی، ما می بینیم:
$ \\ delta _ (x) w \u003d ((x + \\ deelta x) + y) \\ cdot z $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ برای $ x $
$ \\ delta _ (y) w \u003d (x + (y + \\ deelta y)) \\ cdot z $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ برای $ y $؛
$ \\ delta _ (z) w \u003d (x + y) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ برای $ z $؛
با تعریف کامل افزایش، ما می بینیم:
$ \\ delta w \u003d ((x + \\ delta x) + (y + \\ delta y)) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - افزایش کامل عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $
مثال 5
محاسبه افزایش خصوصی و کامل عملکرد $ w \u003d xyz $ در نقطه $ (1؛ 2؛ 1) $ با $ \\ deelta x \u003d 0.1؛ \\، \\، \\، \\، \\، \\ delta z \u003d 0.1 $.
تصمیم گیری:
با تعریف افزایش خصوصی، ما می بینیم:
$ \\ delta _ (x) w \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y \\ cdot z $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ $ x $
$ \\ deelta _ (y) w \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) \\ cdot z $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ برای $ y $؛
$ \\ delta _ (z) w \u003d x \\ cdot y \\ cdot (z + \\ delta z) $ - افزایش خصوصی از عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ برای $ z $؛
با تعریف کامل افزایش، ما می بینیم:
$ \\ delta w \u003d (x + \\ delta x) \\ cdot (y + \\ delta y) \\ cdot (z + \\ delta z) $ - افزایش کامل عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ .
از این رو،
\\ [\\ delta _ (x) w \u003d (1 + 0.1) \\ cdot 2 \\ cdot 1 \u003d 2.2 \\] \\ [\\ delta _ (y) w \u003d 1 \\ cdot (2 + 0،1) \\ cdot 1 \u003d 2.1 \\] \\ [\\ delta _ (y) w \u003d 1 \\ cdot 2 \\ cdot (1 + 0.1) \u003d 2.2 \\] \\ [\\ delta z \u003d (1 + 0،1) \\ cdot (2 + 0.1) \\ cdot ( 1 + 0.1) \u003d 1.1 \\ CDOT 2.1 \\ CDOT 1.1 \u003d 2.541. \\]
از نقطه نظر هندسی، افزایش کامل عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ (با تعریف $ \\ deelta z \u003d f (x + \\ deelta x، y + \\ deelta y) -f (x، y) $) برابر با افزایش استفاده از گراف، توابع $ z \u003d f (x، y) $ در انتقال از نقطه $ m (x، y) $ به نقطه $ m_ (1) (x + \\ delta x، y + \\ delta y) $ (شکل 1).
تصویر 1
