نحوه تعیین توالی دنباله اعداد

توالی

توالی- آی تی کیتعناصر برخی از مجموعه ها:

برای هر عدد طبیعی می توانید یک عنصر از این مجموعه را مشخص کنید.
این عدد شماره عنصر است و موقعیت این عنصر را در دنباله نشان می دهد.
برای هر عنصر (عضو) دنباله، می توانید عنصر بعدی دنباله را مشخص کنید.

بنابراین دنباله نتیجه است استوارانتخاب عناصر یک مجموعه داده شده و اگر هر مجموعه ای از عناصر متناهی باشد، و ما از نمونه ای از حجم محدود صحبت کنیم، آنگاه معلوم می شود که دنباله نمونه ای از حجم نامتناهی است.

یک سکانس طبیعتاً نمایشگر است، بنابراین نباید آن را با مجموعه‌ای که در سکانس «اجرا می‌کند» اشتباه گرفت.

توالی های مختلفی در ریاضیات در نظر گرفته می شوند:

سری های زمانی با ماهیت عددی و غیر عددی؛
دنباله ای از عناصر فضای متریک
دنباله ای از عناصر فضای کاربردی
دنباله ای از حالت های سیستم های کنترل و خودکار.

هدف از مطالعه انواع توالی ها، یافتن الگوها، پیش بینی حالت های آینده و تولید توالی است.

تعریف

اجازه دهید مجموعه ای از عناصر ماهیت دلخواه داده شود. | هر نگاشت از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه معین نامیده می شود توالی(عناصر مجموعه).

تصویر یک عدد طبیعی، یعنی یک عنصر، نامیده می شود - هفتم عضویا عنصر توالیو عدد ترتیبی یکی از اعضای دنباله شاخص آن است.

تعاریف مرتبط

اگر دنباله فزاینده ای از اعداد طبیعی بگیریم، می توان آن را دنباله ای از شاخص های یک دنباله معین در نظر گرفت: اگر عناصر دنباله اصلی را با شاخص های مربوطه (برگرفته از دنباله افزایشی اعداد طبیعی) بگیریم، سپس ما دوباره می توانیم دنباله ای به دست آوریم که نامیده می شود دنبالهیک دنباله داده شده

نظرات (1)

در تحلیل ریاضی، یک مفهوم مهم حد یک دنباله اعداد است.

تعیین ها

دنباله های فرم

مرسوم است که با استفاده از پرانتز فشرده بنویسید:

یا

گاهی اوقات از بریس های فرفری استفاده می شود:

با اجازه دادن مقداری آزادی بیان، می توان دنباله های متناهی فرم را نیز در نظر گرفت

که تصویر پاره ابتدایی دنباله ای از اعداد طبیعی را نشان می دهند.

را نیز ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010.

مترادف ها:

ببینید "Sequence" در فرهنگ های دیگر چیست:

توالی. در مقاله IV Kireevsky "قرن نوزدهم" (1830) می خوانیم: "از همان سقوط امپراتوری روم تا زمان ما، روشنگری اروپا در یک توسعه تدریجی و در یک توالی بی وقفه برای ما ظاهر می شود" (جلد 1، ص ...... تاریخ الفاظ

SEQUENCE, sequences, pl. نه، همسران (کتاب). حواس پرتی اسم سازگار باشد. دنباله ای از نوعی پدیده. ثبات در تغییر جزر و مد. سازگاری در استدلال. فرهنگ لغتاوشاکوف....... فرهنگ توضیحی اوشاکوف

پیوستگی، تداوم، سازگاری؛ ردیف، پیشرفت، نتیجه گیری، سری، رشته، جانشینی، زنجیره، زنجیره، آبشار، رله. پشتکار، اعتبار، استخدام، روشمندی، چیدمان، هماهنگی، پشتکار، متوالی، اتصال، نوبت، ... فرهنگ لغت مترادف

SEQUENCE، اعداد یا موارد به ترتیب سازماندهی شده. دنباله ها می توانند متناهی (دارای تعداد محدودی عنصر) یا نامتناهی باشند، مانند یک دنباله کامل از اعداد طبیعی 1، 2، 3، 4 .... ... ... فرهنگ دانشنامه علمی و فنی

SEQUENCE، مجموعه ای از اعداد (عبارات ریاضی و غیره؛ می گویند: عناصر هر ماهیت) که با اعداد طبیعی شماره گذاری شده اند. دنباله به صورت x1، x2، ...، xn، ... یا به صورت کوتاه (xi) نوشته می شود. دایره المعارف مدرن

یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات. دنباله توسط عناصری از هر ماهیت تشکیل می شود که با اعداد طبیعی 1، 2، ...، n، ... شماره گذاری شده و به شکل x1، x2، ...، xn، ... یا به صورت کوتاه (xn) نوشته می شود. )... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

توالی- SEQUENCE، مجموعه ای از اعداد (عبارات ریاضی و غیره؛ می گویند: عناصر هر ماهیت)، شماره گذاری شده با اعداد طبیعی. دنباله به صورت x1، x2، ...، xn، ... یا کوتاه (xi) نوشته می شود. ... فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

سکانس، و، همسران. 1. ترتیبی را ببینید. 2. در ریاضیات: مجموعه ای از اعداد مرتب شده بی نهایت. فرهنگ توضیحی اوژگوف. S.I. اوژگوف، ن.یو. شودووا 1949 1992 ... فرهنگ توضیحی اوژگوف

انگلیسی. توالی / توالی؛ آلمانی Konsequenz. 1. ترتیب پیروی یکی پس از دیگری. 2. یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات. 3. کیفیت درست است تفکر منطقی، هنگامی که رم کنیم، استدلال عاری از تناقضات درونی در یک و همان ... ... دایره المعارف جامعه شناسی

توالی- تابعی تعریف شده بر روی مجموعه اعداد طبیعی که مجموعه مقادیر آن می تواند از عناصری با هر ماهیتی تشکیل شده باشد: اعداد، نقاط، توابع، بردارها، مجموعه ها، متغیرهای تصادفی و غیره که با اعداد طبیعی شماره گذاری شده اند. . فرهنگ لغت اقتصاد و ریاضیات

کتاب ها

یک دنباله می سازیم. بچه گربه ها 2-3 سال،. بازی "گربه ها". یک دنباله می سازیم. سطح 1. سلسله" آموزش پیش دبستانی". بچه گربه های بامزه تصمیم گرفتند در ساحل آفتاب بگیرند! اما آنها نمی توانند مکان ها را به اشتراک بگذارند. به آنها کمک کنید تا بفهمند! ...

گونه ها y= f(ایکس), ایکس O ن, جایی که ن- مجموعه ای از اعداد طبیعی (یا تابعی از یک آرگومان طبیعی)، نشان داده شده است y=f(n) یا y 1 ,y 2 ,…, y n، …. ارزش ها y 1 ,y 2 ,y 3 ,… به ترتیب اعضای اول، دوم، سوم، ... دنباله نامیده می شوند.

به عنوان مثال، برای تابع y= n 2 را می توان نوشت:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

روش های تنظیم توالیتوالی ها را می توان به روش های مختلفی مشخص کرد که سه مورد از آن ها اهمیت ویژه ای دارند: تحلیلی، توصیفی و تکراری.

1. اگر فرمول داده شود دنباله ای به صورت تحلیلی داده می شود nعضو ام:

y n=f(n).

مثال. y n= 2n - 1 – دنباله ای از اعداد فرد: 1، 3، 5، 7، 9، ...

2. توصیفی روش تعیین یک دنباله عددی به این صورت است که توضیح می دهد که دنباله از چه عناصری ساخته شده است.

مثال 1. "همه اعضای دنباله برابر با 1 هستند". این یعنی، می آیددر مورد یک دنباله ثابت 1، 1، 1،…، 1،….

مثال 2. "یک دنباله از تمام اعداد اول به ترتیب صعودی تشکیل شده است." بنابراین، دنباله داده شده 2، 3، 5، 7، 11، ... است. با این روش تنظیم دنباله در این مثالپاسخ دادن به اینکه مثلاً هزارمین عنصر دنباله چیست دشوار است.

3. یک روش تکراری برای تعیین یک دنباله این است که یک قانون مشخص می شود که به شما امکان می دهد محاسبه کنید nدر صورتی که اعضای قبلی آن مشخص باشند. نام راه بازگشتی از کلمه لاتین گرفته شده است عود می کند- برگرد اغلب، در چنین مواردی، فرمولی نشان داده می شود که به فرد اجازه می دهد بیان کند n-مین ترم دنباله از طریق موارد قبلی، و 1-2 عضو اولیه دنباله را تنظیم کنید.

مثال 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 اگر n = 2, 3, 4,….

اینجا y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

می بینید که توالی به دست آمده در این مثال را می توان به صورت تحلیلی نیز مشخص کرد: y n= 4n - 1.

مثال 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 اگر n = 3, 4,….

اینجا: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

دنباله در این مثال به طور ویژه در ریاضیات مورد مطالعه قرار گرفته است، زیرا دارای تعدادی ویژگی و کاربرد جالب است. به نام ریاضیدان ایتالیایی قرن سیزدهم، دنباله فیبوناچی نامیده می شود. تعریف دنباله فیبوناچی به صورت بازگشتی بسیار آسان است، اما از نظر تحلیلی بسیار دشوار است. n-امین عدد فیبوناچی از طریق عدد ترتیبی آن با فرمول زیر بیان می شود.

در نگاه اول، فرمول برای nعدد فیبوناچی بعید به نظر می رسد، زیرا فرمول مشخص کننده دنباله ای از اعداد طبیعی است ریشه های مربع، اما می توانید اعتبار این فرمول را برای چند مورد اول به صورت "دستی" بررسی کنید n.

ویژگی های دنباله اعداد

دنباله عددی یک مورد خاص از یک تابع عددی است، بنابراین، تعدادی از ویژگی های توابع برای دنباله ها نیز در نظر گرفته می شود.

تعریف . توالی ( y n} اگر هر یک از اعضای آن (به جز اولین) بزرگتر از قبلی باشد افزایش نامیده می شود:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

تعریف. دنباله ( y n} در صورتی کاهنده نامیده می شود که هر یک از اعضای آن (به استثنای اولی) از عضو قبلی کمتر باشد:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

دنباله های صعودی و نزولی با یک اصطلاح مشترک - دنباله های یکنواخت متحد می شوند.

مثال 1. y 1 = 1; y n= n 2 - دنباله صعودی.

بنابراین، قضیه زیر صادق است (یک ویژگی مشخصه یک تصاعد حسابی). یک دنباله عددی در صورتی حسابی است که هر یک از اعضای آن، به جز اولین (و آخرین در مورد دنباله متناهی)، با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی برابر باشد.

مثال. با چه ارزشی ایکسشماره 3 ایکس + 2, 5ایکس- 4 و 11 ایکس+ 12 یک پیشرفت محاسباتی محدود را تشکیل می دهند؟

با توجه به ویژگی مشخصه، عبارات داده شده باید رابطه را برآورده کنند

5ایکس – 4 = ((3ایکس + 2) + (11ایکس + 12))/2.

جواب این معادله را می دهد ایکس= –5,5. با این مقدار ایکسعبارات داده شده 3 ایکس + 2, 5ایکس- 4 و 11 ایکس+ 12، به ترتیب، مقادیر 14.5-، –31,5, –48,5. این - پیشرفت حسابی، تفاوت آن 17- است.

پیشرفت هندسی

دنباله ای عددی که همه اعضای آن غیر صفر هستند و هر عضو آن با شروع از دومی، با ضرب در همان عدد از جمله قبلی به دست می آید. q، یک تصاعد هندسی نامیده می شود و عدد q- مخرج یک تصاعد هندسی.

به این ترتیب، پیشرفت هندسییک دنباله عددی است ( b n) به صورت بازگشتی توسط روابط تعریف می شود

ب 1 = ب, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(بو q -اعداد داده شده، ب ≠ 0, q ≠ 0).

مثال 1.2، 6، 18، 54، ... - افزایش پیشرفت هندسی ب = 2, q = 3.

مثال 2. 2, –2, 2, –2,… – پیشرفت هندسی ب= 2,q= –1.

مثال 3. 8، 8، 8، 8، ... – پیشرفت هندسی ب= 8, q= 1.

یک پیشروی هندسی یک دنباله صعودی است اگر ب 1 > 0, q> 1، و کاهش اگر ب 1> 0، 0 q

یکی از خصوصیات بارز پیشرفت هندسی این است که اگر یک دنباله یک تصاعد هندسی باشد، یک دنباله از مربع ها، یعنی.

ب 1 2 , ب 2 2 , ب 3 2 , …, b n 2، ... یک تصاعد هندسی است که عبارت اول آن است ب 1 2، و مخرج است q 2 .

فرمول n-ترم ترم هندسی شکل دارد

b n= ب 1 q n- 1 .

می توانید فرمولی برای مجموع اعضای یک پیشرفت هندسی محدود بدست آورید.

اجازه دهید یک تصاعد هندسی محدود داده شود

ب 1 ,ب 2 ,ب 3 , …, b n

اجازه دهید S n -مجموع اعضای آن، یعنی.

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + … +b n.

فرض می شود که qشماره 1. برای تعیین S nیک ترفند مصنوعی اعمال می شود: برخی از تبدیل های هندسی عبارت انجام می شود S n q.

S n q = (ب 1 + ب 2 + ب 3 + … + b n –1 + b n)q = ب 2 + ب 3 + ب 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– ب 1 .

به این ترتیب، S n q= S n +b n q - b 1 و بنابراین

این یک فرمول با امت n عضو یک پیشرفت هندسیبرای موردی که q≠ 1.

در q= 1، فرمول را می توان به طور جداگانه حذف کرد، بدیهی است که در این مورد S n= آ 1 n.

پیشروی هندسی به این دلیل نامگذاری شده است که هر عبارت در آن به جز مورد اول برابر است با میانگین هندسی اعضای قبلی و بعدی. در واقع، از آن زمان

b n = b n- 1 q;

b n = b n + 1 / q،

از این رو، b n 2= b n- 1 b n + 1 و قضیه زیر صادق است (ویژگی مشخصه یک تصاعد هندسی):

یک دنباله عددی یک تصاعد هندسی است اگر و فقط اگر مربع هر یک از اعضای آن، به جز اولین (و آخرین در مورد یک دنباله متناهی)، برابر با حاصلضرب اعضای قبلی و بعدی باشد.

محدودیت توالی

بگذارید یک دنباله باشد ( c n} = {1/n}. این دنباله هارمونیک نامیده می شود، زیرا هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، میانگین هارمونیک بین اعضای قبلی و بعدی است. میانگین هندسی اعداد آو بیک عدد وجود دارد

در غیر این صورت، دنباله واگرا نامیده می شود.

بر اساس این تعریف می توان مثلاً وجود حد را اثبات کرد A = 0دنباله هارمونیک ( c n} = {1/n). فرض کنید ε یک عدد مثبت دلخواه کوچک باشد. تفاوت در نظر گرفته شده است

آیا چنین چیزی وجود دارد نکه برای همه n ≥ ننابرابری 1 / ن؟ اگر به عنوان در نظر بگیریم نهر عدد طبیعیبیش از حد 1/ε سپس برای همه n ≥ Nنابرابری 1 / n ≤ 1/ N ε, Q.E.D.

گاهی اوقات اثبات اینکه یک دنباله محدودیت دارد بسیار دشوار است. متداول ترین دنباله ها به خوبی مطالعه شده اند و در کتاب های مرجع ذکر شده اند. قضایای مهمی وجود دارد که به ما امکان می‌دهد بر اساس دنباله‌هایی که قبلاً مطالعه شده‌اند، نتیجه بگیریم که یک دنباله معین دارای محدودیت است (و حتی آن را محاسبه می‌کند).

قضیه 1. اگر دنباله ای حدی داشته باشد، محدود است.

قضیه 2. اگر دنباله ای یکنواخت و محدود باشد، آنگاه حدی دارد.

قضیه 3. اگر دنباله ( یک n} محدودیت دارد آ، سپس دنباله ها ( می توان}, {یک n+ s) و (| یک n|} محدودیت دارند cA, آ +ج, |آ| به ترتیب (اینجا ج- یک عدد دلخواه).

قضیه 4. اگر دنباله ها ( یک n} و ( b n) دارای حدود برابر است آو ب ماهی تابه + qb n) محدودیت دارد pA+ qB.

قضیه 5. اگر دنباله ها ( یک n) و ( b n) دارای حدود برابر است آو ببه ترتیب، سپس دنباله ( a n b n) محدودیت دارد AB

قضیه 6. اگر دنباله ها ( یک n} و ( b n) دارای حدود برابر است آو ببه ترتیب، و علاوه بر این، b n ≠ 0 و ب ≠ 0، سپس دنباله ( a n / b n) محدودیت دارد الف/ب.

آنا چوگاینووا

دنباله عددی یک تابع عددی است که بر روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف شده است .

اگر تابع روی مجموعه اعداد طبیعی تنظیم شده باشد
، سپس مجموعه مقادیر تابع و هر عدد قابل شمارش خواهد بود
با عدد مطابقت دارد
... در این صورت می گویند که داده است دنباله عددی... اعداد نامیده می شوند عناصریا اعضای دنباله و تعداد - عمومی یا عضو سکانس. هر عنصر یک عنصر پیگیری دارد
... این استفاده از اصطلاح "توالی" را توضیح می دهد.

یک دنباله معمولاً یا با برشمردن عناصر آن یا با مشخص کردن قانونی که عنصر دارای عدد محاسبه می شود تنظیم می شود. ، یعنی فرمول آن را نشان می دهد Th عضو .

مثال.توالی
با فرمول قابل ارائه است:
.

معمولاً توالی ها به صورت زیر تعیین می شوند: و غیره، که در آن فرمول در پرانتز نشان داده شده است. عضو ام

مثال.توالی
‑این دنباله است

مجموعه ای از تمام عناصر دنباله
نشان داده شده است
.

اجازه دهید
و
- دو دنباله

با امتدنباله ها
و
دنباله تماس
، جایی که
، یعنی

آر فراوانیبه این دنباله ها توالی می گویند
، جایی که
، یعنی

اگر و ‑ ثابت، سپس دنباله
,
نامیده می شوند ترکیب خطی دنباله ها
و
، یعنی

بر اساس محصولدنباله ها
و
یک دنباله را با -ام عضو
، یعنی
.

اگر
، سپس می توانید تعریف کنید خصوصی
.

مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دنباله ها
و
آنها نامیده می شوند جبریترکیبات.

مثال.دنباله ها را در نظر بگیرید
و
، جایی که. سپس
، یعنی توالی
تمام عناصر برابر با صفر است.

,
، یعنی همه عناصر کار و ضریب برابر هستند
.

اگر برخی از عناصر دنباله را خط بزنید
به طوری که تعداد نامتناهی از عناصر باقی می ماند، سپس دنباله دیگری به نام می گیریم دنبالهدنباله ها
... اگر چند عنصر اول سکانس را خط بزنید
، سپس دنباله جدید فراخوانی می شود بقیه.

توالی
محدوددر بالا(در ذیل) اگر مجموعه
در بالا (پایین) محدود شده است. دنباله نامیده می شود محدوداگر از بالا و پایین محدود شده باشد. دنباله محدود است اگر و تنها در صورتی که هر یک از باقیمانده آن محدود باشد.

دنباله های همگرا

آنها گفتند که توالی
اگر عددی وجود داشته باشد همگرا می شود به طوری که برای هر
چنین وجود دارد
که برای هر
، نابرابری برقرار است:
.

عدد نامیده می شوند حد توالی
... در عین حال بنویسید
یا
.

مثال.
.

بگذارید این را نشان دهیم
... بیایید هر عددی را تنظیم کنیم
... نابرابری
برای
به طوری که
که تعریف همگرایی برای عدد برآورده شده است
... به معنای،
.

به عبارت دیگر
به این معنی است که همه اعضای دنباله
با اعداد به اندازه کافی بزرگ تفاوت کمی با عدد دارد ، یعنی از یک عدد شروع می شود
(برای) عناصر دنباله در فاصله هستند
که نامیده می شود - همسایگی نقطه .

توالی
که حد آن صفر است (
، یا
در
) نامیده میشود بی نهایت کوچک.

در مورد بی نهایت کوچک، عبارات زیر درست است:

مجموع دو بینهایت کوچک بی نهایت کوچک است.

حاصل ضرب یک بینهایت کوچک با کمیت محدود بی نهایت کوچک است.

قضیه .به منظور قوام
حدی دارد، لازم و کافی است که
، جایی که - مقدار ثابت؛ - بی نهایت کوچک .

ویژگی های اصلی دنباله های همگرا:

خواص 3. و 4. به هر تعداد از دنباله های همگرا تعمیم می یابد.

توجه داشته باشید که هنگام محاسبه حد کسری که صورت و مخرج آن ترکیب خطی توان ها هستند. ، حد کسر برابر است با حد نسبت بالاترین جمله ها (یعنی عبارت هایی که دارای بیشترین توان ها هستند. صورت و مخرج).

توالی
به نام:

همه این دنباله ها نامیده می شوند یکنواخت.

قضیه . اگر دنباله
به طور یکنواخت افزایش می یابد و از بالا محدود می شود، سپس همگرا می شود و حد آن برابر با حد بالایی آن است. اگر دنباله کاهش یابد و از پایین محدود شود، آنگاه به کران پایینی دقیق خود همگرا می شود.

مقدمه…………………………………………………………………………………… 3

1. بخش نظری……………………………………………………………………………………………………………………………

مفاهیم و اصطلاحات اساسی…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 انواع دنباله ها ……………………………………………………………………………………

1.1.1. دنباله های عددی محدود و نامحدود ... ..6

1.1.2. یکنواختی دنباله ها ……………………………………………

1.1.3. دنباله های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک …… .7

1.1.4. خواص دنباله های بی نهایت کوچک …………………………

1.1.5. دنباله های همگرا و واگرا و خواص آنها ... ... 9

1.2 محدودیت ترتیب ……………………………………………………………………………………………

1.2.1. قضایای حدود دنباله………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3. پیشروی حسابی …………………………………………………………………………………………………

1.3.1. ویژگی های پیشروی حسابی ……………………………………………………………………………

1.4 پیشرفت هندسی………………………………………………………………………………………

1.4.1. ویژگی های یک تصاعد هندسی ………………………………………………………………………

1.5. اعداد فیبوناچی……………………………………………………… ..21

1.5.1 رابطه اعداد فیبوناچی با سایر حوزه های دانش ……………………………

1.5.2. استفاده از یک سری اعداد فیبوناچی برای توصیف طبیعت جاندار و بی جان ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. تحقیق خود ………………………………………………………………………………………

نتیجه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست ادبیات مورد استفاده ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 31

معرفی.

توالی اعداد موضوع بسیار جالب و آموزشی است. این موضوع در کوئست ها رخ می دهد افزایش پیچیدگیتوسط نویسندگان به دانش آموزان ارائه می شود مواد آموزشی، در مسائل المپیادهای ریاضی، کنکور عالی مدارسو در امتحان من علاقه مند به یادگیری رابطه توالی های ریاضی با سایر حوزه های دانش هستم.

هدف کار پژوهشی: دانش خود را در مورد دنباله اعداد گسترش دهید.

1. دنباله را در نظر بگیرید.

2. خواص آن را در نظر بگیرید;

3. وظیفه تحلیلی دنباله را در نظر بگیرید.

4. نقش خود را در توسعه سایر حوزه های دانش نشان دهد.

5. استفاده از یک سری اعداد فیبوناچی را برای توصیف طبیعت جاندار و بی جان نشان دهید.

1. بخش نظری.

مفاهیم و اصطلاحات اساسی.

تعریف. یک دنباله عددی تابعی از شکل y = f (x)، x О N است، که در آن N مجموعه ای از اعداد طبیعی (یا تابعی از یک آرگومان طبیعی) است که با y = f (n) یا y1، y2 نشان داده می شود. ,…, y,…. مقادیر y1، y2، y3،… به ترتیب اولین، دوم، سوم، … اعضای دنباله نامیده می شوند.

عدد a حد دنباله x = (xn) نامیده می شود اگر برای یک عدد مثبت دلخواه از پیش تعیین شده دلخواه و کوچک ε یک عدد طبیعی N وجود داشته باشد به طوری که برای همه n> N نابرابری | x n - a |< ε.

اگر عدد a حد دنباله x = (x n) باشد، می گویند x n به a تمایل دارد و می نویسند

یک دنباله (yn) صعودی نامیده می شود که هر یک از اعضای آن (به جز اولین) بزرگتر از قبلی باشد:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

دنباله ای (yn) نزولی نامیده می شود که هر یک از اعضای آن (به جز اولین) کمتر از قبلی باشد:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

دنباله های صعودی و نزولی با یک اصطلاح مشترک - دنباله های یکنواخت متحد می شوند.

دنباله ای دوره ای نامیده می شود که یک عدد طبیعی T وجود داشته باشد به طوری که با شروع از مقداری n، برابری yn = yn + T برقرار باشد. عدد T را طول دوره می نامند.

پیشروی حسابی دنباله ای (an) است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با مجموع جمله قبلی و همان عدد d را پیشروی حسابی می گویند و عدد d تفاضل یک عدد است. پیشرفت حسابی

بنابراین، یک پیشرفت حسابی یک دنباله عددی (an) است که به صورت بازگشتی توسط روابط داده می شود.

a1 = a، an = an - 1 + d (n = 2، 3، 4، ...)

پیشروی هندسی دنباله ای است که همه اعضای آن غیر صفر هستند و هر جمله آن با شروع از جمله دوم، با ضرب در همان عدد q از جمله قبلی به دست می آید.

بنابراین، یک پیشروی هندسی یک دنباله عددی (bn) است که به صورت بازگشتی توسط روابط داده می شود.

b1 = b، bn = bn - 1 q (n = 2، 3، 4…).

1.1 انواع توالی.

1.1.1 توالی های محدود و نامحدود.

دنباله (bn) از بالا محدود خوانده می شود اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای هر عدد n نابرابری bn≤ M برآورده شود.

دنباله ای (bn) از زیر محدود خوانده می شود اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای هر عدد n نابرابری bn≥ M برآورده شود.

برای مثال:

1.1.2 یکنواختی توالی ها.

دنباله (bn) غیر افزایشی (غیر کاهنده) نامیده می شود اگر برای هر عدد n، نابرابری bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) درست باشد.

دنباله (bn) کاهنده (افزاینده) نامیده می شود اگر برای هر عدد n، نابرابری bn> bn + 1 (bn) باشد.

دنباله های کاهنده و افزایشی را کاملاً یکنواخت و یکنواخت غیرافزاینده در معنای وسیع می نامند.

به دنباله هایی که در بالا و پایین به طور همزمان محدود می شوند، محدود می گویند.

دنباله همه این انواع در مجموع یکنواخت نامیده می شوند.

1.1.3 توالی های بی نهایت بزرگ و کوچک.

دنباله بی نهایت کوچک یک تابع یا دنباله عددی است که به سمت صفر میل می کند.

دنباله an را بی نهایت کوچک اگر می گویند

یک تابع در همسایگی نقطه x0 بی نهایت کوچک نامیده می شود اگر ℓimx → x0 f (x) = 0.

یک تابع در بی نهایت بی نهایت کوچک نامیده می شود اگر ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 یا ℓimx → -∞ f (x) = 0

همچنین، یک تابع بینهایت کوچک، تفاوت بین یک تابع و حد آن است، یعنی اگر ℓimx →. + ∞ f (x) = a، سپس f (x) - a = α (x)، ℓimx →. + ∞ f ((x) -a) = 0.

یک دنباله بی نهایت بزرگ یک تابع عددی یا دنباله ای است که به بی نهایت میل می کند.

یک دنباله an بی نهایت بزرگ اگر نامیده می شود

ℓimn → 0 an = ∞.

اگر ℓimx → x0 f (x) = ∞، یک تابع بی نهایت بزرگ در همسایگی نقطه x0 خوانده می شود.

یک تابع بی نهایت بزرگ در بی نهایت اگر نامیده می شود

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ یا ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 ویژگی های دنباله های بی نهایت کوچک.

مجموع دو دنباله بی نهایت کوچک نیز خود یک دنباله بی نهایت کوچک است.

تفاوت دو دنباله بی نهایت کوچک نیز خود یک دنباله بی نهایت کوچک است.

جمع جبری هر کدام عدد محدوددنباله های بی نهایت کوچک خود نیز دنباله های بی نهایت کوچک هستند.

حاصل ضرب یک دنباله محدود شده توسط یک دنباله بی نهایت کوچک، یک دنباله بی نهایت کوچک است.

حاصل ضرب هر تعداد محدود دنباله های بی نهایت کوچک، دنباله ای بینهایت کوچک است.

هر دنباله بی نهایت کوچکی محدود است.

اگر یک دنباله ثابت بی نهایت کوچک باشد، تمام عناصر آن، که با یک شروع می شوند، برابر با صفر هستند.

اگر کل دنباله بینهایت کوچک از عناصر یکسان تشکیل شده باشد، این عناصر صفر هستند.

اگر (xn) دنباله‌ای بی‌نهایت بزرگ است که شامل صفر نیست، دنباله‌ای (1 / xn) وجود دارد که بی‌نهایت کوچک است. با این وجود، اگر (xn) حاوی عناصر صفر باشد، هنوز هم می‌توان دنباله (1 / xn) را تعریف کرد که از مقداری n شروع می‌شود و همچنان بی‌نهایت کوچک خواهد بود.

اگر (an) یک دنباله بی نهایت کوچک است که شامل صفر نیست، یک دنباله (1 / an) وجود دارد که بی نهایت بزرگ است. با این وجود، اگر (an) حاوی عناصر صفر باشد، دنباله (1 / an) همچنان می تواند با شروع از مقداری n تعریف شود و همچنان بی نهایت بزرگ خواهد بود.

1.1.5 دنباله های همگرا و واگرا و خواص آنها.

دنباله همگرا دنباله ای از عناصر مجموعه X است که در این مجموعه حدی دارد.

دنباله واگرا دنباله ای است که همگرا نباشد.

هر دنباله بی نهایت کوچک همگرا است. حد آن صفر است.

حذف هر تعداد محدودی از عناصر از یک دنباله نامتناهی بر همگرایی یا محدودیت این دنباله تأثیر نمی گذارد.

هر دنباله همگرا محدود است. با این حال، هر دنباله محدودی همگرا نمی شود.

اگر دنباله (xn) همگرا شود، اما بی نهایت کوچک نباشد، با شروع از یک عدد، دنباله (1 / xn) تعریف می شود که محدود است.

مجموع دنباله های همگرا نیز یک دنباله همگرا است.

تفاوت دنباله های همگرا نیز یک دنباله همگرا است.

حاصلضرب دنباله های همگرا نیز یک دنباله همگرا است.

ضریب دو دنباله همگرا با شروع از یک عنصر تعریف می شود، مگر اینکه دنباله دوم بی نهایت کوچک باشد. اگر ضریب دو دنباله همگرا تعریف شود، یک دنباله همگرا است.

اگر یک دنباله همگرا از پایین محدود شود، هیچ یک از کران پایینی آن از حد خود فراتر نمی رود.

اگر یک دنباله همگرا از بالا محدود شود، حد آن از هیچ یک از کران های بالایی آن تجاوز نمی کند.

اگر برای هر عددی اعضای یک دنباله همگرا از اعضای دنباله همگرا دیگر تجاوز نکنند، حد دنباله اول نیز از حد دوم تجاوز نمی کند.

سخنرانی 8. دنباله های عددی.

تعریف8.1. اگر به هر مقدار طبق قانون معینی یک عدد واقعی اختصاص داده شودایکس n ، سپس مجموعه اعداد حقیقی شماره گذاری شده

– علامت اختصاری
, (8.1)

تماس خواهد گرفتدنباله عددی یا فقط یک سکانس

اعداد جدا ایکس n  عناصر یا اعضای یک دنباله (8.1).

دنباله را می توان با یک فرمول اصطلاح رایج ارائه کرد، به عنوان مثال:
یا
... دنباله را می توان به طور مبهم مشخص کرد، به عنوان مثال، دنباله -1، 1، -1، 1، ... را می توان با فرمول مشخص کرد.
یا
... گاهی اوقات یک روش بازگشتی برای تعیین یک دنباله استفاده می شود: چند عضو اول دنباله داده می شود و یک فرمول برای محاسبه عناصر بعدی استفاده می شود. به عنوان مثال، دنباله تعریف شده توسط عنصر اول و رابطه بازگشت
(پیشرفت حسابی). دنباله ای به نام را در نظر بگیرید نزدیک فیبوناچی: دو عنصر اول تنظیم شده است ایکس 1 =1, ایکس 2 = 1 و رابطه عود
برای هرچی
... دنباله ای از اعداد 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، … برای چنین مجموعه ای، یافتن فرمولی برای اصطلاح کلی نسبتاً دشوار است.

8.1. عملیات حسابی با دنباله.

دو دنباله را در نظر بگیرید:

(8.1)

تعریف 8.2. بیا زنگ بزنیممحصول دنباله
با شماره مترتوالی
... بیایید آن را اینگونه بنویسیم:
.

بیایید دنباله را صدا کنیم مجموع دنباله ها (8.1) و (8.2)، به صورت زیر می نویسیم:; به طور مشابه
بیا زنگ بزنیم تفاوت توالی (8.1) و (8.2)؛
 محصول دنباله ها (8.1) و (8.2)؛  سکانس های خصوصی (8.1) و (8.2) (همه عناصر
).

8.2. سکانس های محدود و نامحدود.

مجموعه ای از تمام عناصر در یک توالی دلخواه
مجموعه‌ای عددی را تشکیل می‌دهد که می‌توان آن را از بالا (از پایین) محدود کرد و تعاریف مشابه با تعاریف ارائه شده برای اعداد واقعی معتبر است.

تعریف 8.3. توالی
تماس گرفتاز بالا محدود شده است ، اگر ؛ م  لبه بالایی

تعریف 8.4. توالی
تماس گرفتاز پایین محدود شده است ، اگر ؛متر  لبه پایین

تعریف 8.5.توالی
تماس گرفتمحدود اگر هم از بالا و هم پایین محدود شود، یعنی اگر دو عدد واقعی M و وجود داشته باشدمتر به طوری که هر عنصر دنباله
نابرابری ها را برآورده می کند:

, (8.3)

متروم- لبه های پایین و بالا
.

نامساوی (8.3) نامیده می شود شرط محدود بودن دنباله
.

به عنوان مثال، دنباله
محدود، و
نامحدود

♦ بیانیه 8.1.
محدود شده است .

اثباتبیایید انتخاب کنیم
... با توجه به تعریف 8.5، دنباله
محدود خواهد شد. ■

تعریف 8.6. توالی
تماس گرفتنامحدود اگر برای هر عدد واقعی مثبت (به طور خودسرانه بزرگ) A حداقل یک عنصر از دنباله وجود داشته باشدایکس n ارضای نابرابری:
.

به عنوان مثال، دنباله 1، 2، 1، 4، ...، 1، 2 n,…  نامحدود، از آنجا که فقط از پایین محدود شده است.

8.3. دنباله های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک.

تعریف 8.7. توالی
تماس گرفتبی نهایت بزرگ اگر برای هر عدد واقعی (خودسرانه بزرگ) A یک عدد وجود داشته باشد
طوری که برای همه
المانهاایکس n
.

☼ نکته 8.1.اگر دنباله بی نهایت بزرگ باشد، نامحدود است. اما نباید فکر کرد که هر دنباله نامحدودی بی نهایت بزرگ است. به عنوان مثال، دنباله
محدود نیست، اما نه بی نهایت بزرگ، زیرا وضعیت
حتی برای همه شکست می خورد n. ☼

 مثال 8.1.
بی نهایت بزرگ است هر شماره ای بگیرید آ> 0. از نابرابری
ما گرفتیم n>آ... اگر بگیرید
سپس برای همه n>ننابرابری
، یعنی طبق تعریف 8.7، دنباله
بی نهایت بزرگ 

تعریف 8.8. توالی
تماس گرفتبی نهایت کوچک اگر برای
(هرچند کوچک ) یک عدد وجود دارد
طوری که برای همه
المانها این دنباله نابرابری را برآورده می کند
.

 مثال 8.2.اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله بی نهایت کوچک

هر شماره ای بگیرید
... از نابرابری
ما گرفتیم ... اگر بگیرید
سپس برای همه n>ننابرابری
. 

♦ بیانیه 8.2. توالی
بی نهایت بزرگ است برای
و بی نهایت کوچک برای
.

اثبات

1) ابتدا بگذارید
:
، جایی که
... با فرمول برنولی (مثال 6.3، ص 6.1.)
... یک عدد مثبت دلخواه را ثابت می کنیم آو با آن یک عدد انتخاب کنید نبه طوری که نابرابری درست است: