معادله مربع - به سادگی حل شده است! * بعدی در متن "ku".دوستان به ظاهر، ممکن است در ریاضیات ساده تر از یک راه حل برای چنین معادله ای باشد. اما چیزی به من پیشنهاد کرد که بسیاری از آنها با او مشکل دارند. من تصمیم گرفتم ببینم که چگونه بسیاری از برداشت ها در هر ماه به Yandex می دهد. این چه اتفاقی افتاد، نگاه کنید به:

چه مفهومی داره؟ این به این معنی است که حدود 70،000 نفر در هر ماه به دنبال این اطلاعات هستند، این تابستان چیست، و چه چیزی در میان خواهد بود سال تحصیلی - درخواست ها دو برابر خواهد بود. تعجب آور نیست، زیرا این بچه ها و دخترانی که از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای امتحان آماده می شوند، آنها به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان به دنبال آن را در حافظه تازه می کنند.

با وجود این واقعیت که بسیاری از سایت هایی وجود دارد که در آن توضیح داده شده است که چگونه این معادله را حل می کند، تصمیم گرفتم سهم خود را انجام دهم و مواد را منتشر کنم. اول، من می خواهم به سایت من برای این درخواست بروم و بازدید کنندگان به سایت من آمدند؛ ثانیا، در مقالات دیگر، زمانی که سخنرانی "KU" به این مقاله اشاره می کند؛ سوم، من به شما در مورد تصمیم خود به شما بگویم کمی بیشتر از معمولا در سایت های دیگر. بایر!محتوای مقاله:

معادله مربع معادله فرم است:

جایی که ضرایب Aب و با شماره های دلخواه، با چیزی ≠ 0.

که در دوره مدرسه مواد در فرم زیر داده می شود - جداسازی معادلات در هر سه کلاس به صورت مشروط انجام می شود:

1. دو ریشه داشته باشید.

2. * تنها یک ریشه وجود دارد.

3. ریشه نداشته باشید. لازم به ذکر است که آنها ریشه های معتبر ندارند

چگونه ریشه ها محاسبه می شوند؟ به سادگی!

محاسبه تبعیض آمیز. در این کلمه "وحشتناک" کلمه کاملا ساده است:

فرمول های ریشه فرم زیر را دارند:

* این فرمول ها باید قلب را بدانند.

شما بلافاصله می توانید بنویسید و تصمیم بگیرید:

مثال:

1. اگر D\u003e 0، معادله دارای دو ریشه است.

2. اگر d \u003d 0، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این مناسبت، زمانی که تبعیض صفر است، در دوره مدرسه گفته شده است که یکی از ریشه ها به نظر می رسد، در اینجا برابر نه برابر است. درست است و وجود دارد، اما ...

این دیدگاه تا حدودی نادرست است. در واقع، دو ریشه به دست می آید. بله، شگفت زده نشوید، دو ریشه برابر به دست می آیند، و اگر شما ریاضی دقیق هستید، باید در پاسخ به دو ریشه باید ثبت شود:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

اما این یک عقب نشینی کمی است. در مدرسه می تواند بنویسد و بگوید که ریشه یکی است.

در حال حاضر مثال زیر است:

همانطور که می دانیم - ریشه تعداد منفی حذف نمی شود، بنابراین در این مورد هیچ راه حل وجود ندارد.

این کل فرآیند راه حل است.

تابع درجه دوم.

در اینجا نشان داده شده است که چگونه راه حل به نظر هندسی به نظر می رسد. بسیار مهم است که درک کنیم (در آینده، در یکی از مقالات، ما راه حل نابرابری مربع را در جزئیات جدا خواهیم کرد).

این تابع فرم است:

جایی که x و y متغیرها هستند

a، B، C - شماره های تنظیم شده، با چه چیزی ≠ 0

برنامه پارابولا است:

به این معناست که معلوم می شود که تصمیم گیری معادله مربع در "Y" برابر صفر است، ما نقطه تقاطع پارابولا را با محور اوه پیدا می کنیم. این نکات ممکن است دو باشد (مثبت تبعیض آمیز)، یکی (تبعیض آمیز صفر است) و نه تنها (معجزه منفی). جزئیات O. تابع درجه دوم شما می توانید مشاهده کنید مقاله Inna Feldman.

مثالها را در نظر بگیرید:

مثال 1: حل کنید 2x 2 +8 ایکس.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

پاسخ: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* این امکان وجود دارد که بلافاصله سمت چپ و راست معادله به تقسیم 2، یعنی آن، آن را ساده تر کنیم. محاسبات آسان تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

به دست آورد که x 1 \u003d 11 و x 2 \u003d 11

در پاسخ، مجاز به نوشتن X \u003d 11 است.

پاسخ: x \u003d 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

تبعیض منفی است، هیچ راه حل در شماره های معتبر وجود ندارد.

پاسخ: هیچ راه حل

تبعیض منفی است. راه حل این است!

در اینجا آن را در مورد حل معادله در مورد زمانی که یک تبعیض منفی به دست آمده بحث خواهد شد. آیا چیزی در مورد شماره های یکپارچه می دانید؟ من جزئیات بیشتری در مورد اینکه چرا و جایی که آنها بوجود آمد و نقش خاص آنها و نیاز به ریاضیات مورد بحث قرار می گیرند، بحث نخواهند کرد.

مفهوم یک عدد پیچیده.

کمی نظریه

تعداد مجتمع z تعداد گونه ها را نام برد

z \u003d a + bi

جایی که A و B شماره های معتبر هستند، من - واحد به اصطلاح خیالی.

a + bi - این یک شماره واحد است، نه علاوه بر این.

واحد خیالی برابر با ریشه واحد منهای است:

در حال حاضر معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه کنجکاو دریافت کرد.

معادله مربع ناقص.

موارد خصوصی را در نظر بگیرید، این زمانی است که ضریب "B" یا "C" صفر است (یا هر دو صفر هستند). آنها بدون هیچ گونه تبعیض به راحتی حل می شوند.

مورد 1. ضریب B \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم:

مثال:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

مورد 2. ضریب C \u003d 0.

معادله به دست می آید:

ما تبدیل می کنیم، تکثیر می کنیم:

* کار صفر است زمانی که حداقل یکی از ضددرد صفر است.

مثال:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (X-5) \u003d 0 \u003d\u003e X \u003d 0 یا X-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

مورد 3. ضرایب B \u003d 0 و C \u003d 0.

در اینجا روشن است که راه حل معادله همیشه x \u003d 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که اجازه می دهد حل معادلات با ضرایب بزرگ.

ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + ب + c \u003d 0،که

- اگر برای ضرایب معادله ولیایکس. 2 + bx+ c.=0 برابری انجام می شود

آ. + c \u003d.ب, که

این خواص به حل معادلات خاصی کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس. 2 –4995 ایکس. – 6=0

مجموع ضرایب 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0، این بدان معنی است

مثال 2: 2501 ایکس. 2 +2507 ایکس.+6=0

برابری انجام می شود آ. + c \u003d.ب, بنابراین

قوانین ضرایب

1. اگر در معادله AX 2 + BX + C \u003d 0، ضریب "B" برابر با (2 +1) باشد، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

مثال. معادله 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. اگر در AX 2 - BX + C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (و 2 +1) است، و ضریب "C" به صورت عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 15x 2 -226x +15 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. اگر در معادلهaX 2 + BX - C \u003d 0 ضریب "B" برابر (2 - 1) و ضریب "C" عددی برابر با ضریب "A", سپس ریشه های او برابر است

aX 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

مثال. معادله 17x 2 + 288x را در نظر بگیرید - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. اگر در AX 2 - BX - C \u003d 0 معادله، ضریب "B" برابر با (2 - 1) است، و ضریب عددی برابر با ضریب "A" است، ریشه های آن برابر است

aX 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

مثال. معادله 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 را در نظر بگیرید.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

قضیه Vieta

قضیه Vieta توسط نام ریاضیات معروف فرانسوی Francois Vieta نامیده می شود. با استفاده از قضیه Vieta، می توانید مقدار و محصول ریشه های خودسرانه KU را از طریق ضرایب آن بیان کنید.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

به طور خلاصه، شماره 14 تنها 5 و 9 داده می شود. این ریشه ها هستند. با استفاده از یک مهارت خاص، با استفاده از قضیه که توسط بسیاری از معادلات مربع نشان داده شده است، می توانید تصمیم بگیرید که آیا به صورت خوراکی آمده است.

قضیه Vieta علاوه بر این. این راحت است، زیرا پس از حل معادله مربع به روش معمول (از طریق تبعیض)، ریشه های به دست آمده را می توان بررسی کرد. من توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهم.

روش عبور

در این روش، ضریب "A" توسط یک عضو آزاد ضرب می شود، به عنوان اگر "حرکت" به او، به طوری که آن را نامیده می شود روش "حمل و نقل".این روش زمانی استفاده می شود که شما به راحتی می توانید ریشه های معادله را با استفاده از قضیه Vieta پیدا کنید و مهمتر از همه، زمانی که تبعیض یک مربع دقیق است.

اگر یک ولی± b + C.≠ 0، سپس پذیرش استفاده می شود، به عنوان مثال:

2h. 2 – 11x +5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +10 = 0 (2)

توسط تئوری Vieta در معادله (2) آسان است که تعیین کنید که x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

ریشه های به دست آمده از معادله باید به 2 تقسیم شوند (به عنوان دو بار از x 2 "منتقل شدند)، ما به دست آوردیم)

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

توجیه چیست؟ نگاه کن چه اتفاقی می افتد

معادلات تبعیض آمیز (1) و (2) برابر هستند:

اگر شما به ریشه های معادلات نگاه کنید، تنها معادلات مختلف به دست آمده است، و نتیجه بستگی به ضریب x 2 دارد:

دومین ریشه (اصلاح شده) 2 برابر بیشتر به دست می آید.

بنابراین، نتیجه و تقسیم 2.

* اگر ما یک سفر را پرتاب کنیم، نتیجه 3، و غیره جدا می شود

پاسخ: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

sq UR-YE و EGE.

من در مورد اهمیت او به طور خلاصه می گویم - شما باید بتوانید به سرعت و بدون تفکر، فرمول ریشه ها و تبعیضان را حل کنید، باید با قلب بدانید. وظایف بسیار زیادی که در وظایف استفاده شده است، به حل معادله مربع (هندسی شامل) کاهش می یابد.

چه چیزی برای جشن گرفتن!

1. شکل معادله ضبط ممکن است "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، این ورودی امکان پذیر است:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 یا 15 -5X + 10X 2 \u003d 0.

شما باید آن را به فرم استاندارد اضافه کنید (به طوری که در هنگام حل شدن اشتباه نکنید).

2. به یاد داشته باشید که X یک مقدار ناشناخته است و می توان آن را با هر حرف دیگر - T، Q، P، H و دیگر نشان داد.

Copsevskaya دبیرستان روستایی

10 راه حل معادلات مربع

رهبر: Patrekva Galina Anatolyevna،

معلم ریاضی

s.Kopievo، 2007.

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است

معادلات مربع 1.3 در هند

1.4 معادلات مربع در ALCOHISE

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - قرن ها XVII

1.6 درباره قضیه Vieta

2. روش های حل معادلات مربع

نتیجه

ادبیات

1. تاریخ توسعه معادلات مربع

1.1 معادلات مربع در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها اولین، بلکه همچنین درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل وظایف مربوط به محل زمین های زمین و با زمین های زمین های نظامی، و همچنین با توسعه نجوم و همچنین خود ریاضیات معادلات مربع قادر به حل حدود 2000 سال قبل بودند. e بابل

با استفاده از یک رکورد جبری مدرن، می توانیم بگوییم که در متون کلیوکس آنها، به جز ناقص، و به عنوان مثال، معادلات مربع کامل، وجود دارد:

ایکس. 2 + ایکس. = ¾; ایکس. 2 - ایکس. = 14,5

حاکمیت حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساسا با مدرن است، اما شناخته شده نیست که بابلیان به این قانون رسیده اند. تقریبا تمام متون کلی کمان تا کنون، تنها وظایف با تصمیمات در قالب دستور العمل ها، بدون نشان دادن اینکه چگونه آنها یافت می شود، انجام می شود.

با وجود سطح بالا توسعه جبر در بابل، در متون بالینی هیچ مفهومی از تعداد منفی و روش های کلی برای حل معادلات مربع وجود ندارد.

1.2 به عنوان معادلات مربع دیفانت حل شده و حل شده است.

در "محاسبات" دیوفانا هیچ ارائه سیستماتیک جبر وجود ندارد، اما شامل تعداد سیستماتیک وظایف همراه با توضیحات و آماده سازی معادلات درجه های مختلف است.

هنگام تدوین معادلات Diofant برای ساده سازی راه حل به طرز ماهرانه ای ناشناخته را انتخاب می کند.

در اینجا، به عنوان مثال، یکی از وظایف او.

وظیفه 11 "پیدا کردن دو عدد، دانستن اینکه مجموع آنها 20 است، و کار 96"

Diofant استدلال می کند: از شرایط مشکل، به شرح زیر است که اعداد مورد نظر برابر نیستند، زیرا اگر آنها برابر باشند، کار آنها 96 و 100 نیست. بنابراین، یکی از آنها بیش از نیمی از آنها خواهد بود مجموع آنها، یعنی. 10 + H. دیگر کمتر است، به عنوان مثال 10 - H. . تفاوت بین آنها 2x .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

از اینجا x \u003d 2 . یکی از اعداد مورد نظر است 12 ، دیگر 8 . تصمیم x \u003d -2. این برای دیوفانتا وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی تنها تعداد مثبت را می دانستند.

اگر ما این کار را انتخاب کنیم، انتخاب یکی از اعداد مورد نظر به عنوان ناشناخته، ما برای حل معادله خواهیم آمد

y (20 - y) \u003d 96،

در 2 - 20u + 96 \u003d 0. (2)

روشن است که انتخاب به عنوان یک بازی ناشناخته از اعداد مورد نظر، Diofant تصمیم گیری را ساده تر می کند؛ او می تواند وظیفه حل معادله مربع ناقص را کاهش دهد (1).

1.3 معادلات مربع در هند

وظایف هر معادلات مربع در حال حاضر در دستگاه نجومی "Ariabhatti" یافت می شود، که در 499 تشکیل شده است. ریاضیدان هند و ستاره شناس Ariabhatta. یکی دیگر از دانشمندان هندی، برهماگپتا (قرن هفتم)، قانون کلی حل معادلات مربع را به یک فرم کانونیک اختصاص داد:

آه 2 + ب x \u003d s، a\u003e 0. (1)

در معادله (1) ضرایب به جز ولی ممکن است منفی باشد قانون برماگتاپا اساسا با ما همخوانی دارد.

در هند باستان، مسابقات عمومی در حل وظایف دشوار توزیع شد. در یکی از کتاب های قدیمی هندی، در مورد چنین مسابقات به شرح زیر است: "همانطور که خورشید با زرق و برق، ستارگان درهم می شکند، بنابراین دانشمند مشتاق از شهرت دیگری در مجمع مردم، ارائه و حل آن است وظایف جبری" وظایف اغلب در شکل شاعرانه لذت می برند.

در اینجا یکی از وظایف معروف ریاضیات معروف هند XII است. باسکرا

وظیفه 13

"بیانیه میمون ها و دوازده نفر در لیانام ...

قدرت روبرو شدن، لذت بردن از آن. شروع به پریدن، حلق آویز ...

آنها در قسمت مربع هشتم هستند که چگونه بسیاری از میمون ها بودند

در گلدان سرگرم شد آیا به من بگویید، در این پشته؟ "

تصمیم باسکرا به این واقعیت شهادت می دهد که او در مورد دو برابر ریشه های معادلات مربع می دانست (شکل 3).

وظیفه مربوط به 13 معادله:

( ایکس. /8) 2 + 12 = ایکس.

Bhaskara تحت پوشش قرار می نویسد:

x 2 - 64x \u003d -768

و برای تکمیل بخش چپ این معادله به مربع به هر دو قسمت اضافه می شود 32 2 ، گرفتن سپس:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024،

(x - 32) 2 \u003d 256،

x - 32 \u003d ± 16،

x 1 \u003d 16، x 2 \u003d 48.

1.4 معادلات مربع در الخورزمی

در رساله جبری الخورزمی طبقه بندی معادلات خطی و مربع را می دهد. نویسنده شامل 6 گونه از معادلات است، که آنها را به شرح زیر بیان می کند:

1) "مربع ها ریشه ها هستند"، به عنوان مثال آه 2 + c \u003d ب ایکس.

2) "مربع برابر با شماره"، به عنوان مثال آه 2 \u003d s

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند"، به عنوان مثال ah \u003d s

4) "مربع ها و اعداد برابر با ریشه هستند"، به عنوان مثال آه 2 + c \u003d ب ایکس.

5) "مربع ها و ریشه ها برابر با شماره هستند"، به عنوان مثال آه 2 + bx \u003d s

6) "ریشه ها و اعداد برابر با مربع هستند"، به عنوان مثال bx + C \u003d AH 2.

برای الخورزمی، اجتناب از استفاده از اعداد منفی، اعضای هر یک از این معادلات اجزای سازنده هستند و نه کم. در عین حال، معادلات که هیچ راه حل مثبتی ندارند، به طور واضح به حساب نمی آیند. نویسنده راه حل هایی را برای حل این معادلات، با استفاده از تکنیک های الجبر و الموکابا، راه اندازی می کند. تصمیمات او، البته، با ما همخوانی ندارد. در حال حاضر ذکر نشده است که صرفا لفظی است، به عنوان مثال، باید اشاره کرد که هنگام حل معادله مربع ناقص از نوع اول

الخورزمی، مانند تمام ریاضیات تا قرن هجدهم، راه حل صفر را در نظر می گیرد، احتمالا به این دلیل که در وظایف عملی خاص مهم نیست. هنگام حل معادلات کامل مربع الگوریک در نمونه های عددی خصوصی، قوانین تصمیم گیری و سپس شواهد هندسی را تعیین می کند.

وظیفه 14 "مربع و شماره 21 برابر با 10 ریشه هستند. ریشه را پیدا کنید » (این به عنوان ریشه معادله x 2 + 21 \u003d 10x قابل درک است).

تصمیم نویسنده چیزی شبیه به این را می خواند: ما تعداد ریشه ها را تقسیم می کنیم، شما 5 را دریافت خواهید کرد، شما خود را به دست خواهید آورد، از کار یک 21، از کار 21، باقی می ماند. از بین بردن ریشه از 4، شما 2 را دریافت خواهید کرد . Onde 2 OT5، شما 3 دریافت خواهید کرد، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا اضافه کردن 2 تا 5، که 7 را می دهد، آن را نیز ریشه دارد.

رساله الخورزمی اولین است که کتاب را به ما رساند که در آن طبقه بندی معادلات مربع به طور سیستماتیک تعیین شده و فرمول ها داده می شود.

1.5 معادلات مربع در اروپا XIII - جونیور bb

فرمول های حل معادلات مربع برای الخورزمی در اروپا ابتدا در کتاب "کتاب Abaka" نوشته شده است که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است. این کار کامل، که نشان دهنده تأثیر ریاضیات، هر دو کشور اسلام است یونان باستان، متشکل از همبستگی و وضوح ارائه. نویسنده به طور مستقل توسعه یافته است نمونه های جبری حل مشکلات و اولین در اروپا به معرفی تعداد منفی رسید. کتاب او گسترش دانش جبری را نه تنها در ایتالیا بلکه در آلمان، فرانسه، فرانسه و سایر کشورهای اروپایی ارتقا داد. چالش های بسیاری از کتاب "Abaka" تقریبا تمام کتاب های درسی اروپا XVI - قرن ها را تصویب کرد. و به طور جزئی XVIII.

قاعده کلی حل معادلات مربع به همان فرم کانونی:

x 2 +. bx \u003d C،

برای همه نوع ترکیبی از علائم ضریب ب , از جانب این در اروپا تنها در سال 1544 M. Stiffel فرموله شد.

خروجی فرمول برای حل معادله مربع در عمومی یک ویتا وجود دارد، اما ویتن تنها ریشه های مثبت را به رسمیت می شناسد. ریاضیدان ایتالیایی Tartalia، Kardano، بمباران در میان اول در قرن XVI. داده شده، علاوه بر ریشه های مثبت و منفی. فقط در قرن XVII. با توجه به کار Girard، دکارت، نیوتن و سایر دانشمندان، روش حل معادلات مربع، ظاهر مدرن را به نمایش می گذارد.

1.6 درباره قضیه Vieta

قضیه بیان رابطه بین ضرایب معادله مربع و ریشه های آن، که نام Vieta است، برای اولین بار در سال 1591 به شرح زیر است: "اگر ب + D. ضربدر آ. - آ. 2 خوب bd T. آ. به همان اندازه که در و برابر است D. ».

برای درک ویتا، باید آن را به یاد داشته باشید ولی مانند هر نامه واکه به معنای او ناشناخته است (ما h.) حروف صدادار که در، D. - ضرایب ناشناخته. در زبان جبر مدرن بالا، اصطلاحات Vieta به معنی است: اگر وجود دارد

(A +. ب ) x - x 2 \u003d اب ,

x 2 - (a + ب ) x + a ب = 0,

x 1 \u003d a، x 2 \u003d \u003d ب .

بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های رایج با استفاده از نمادها، Visiet یکنواختی را در روش های حل معادلات تعیین کرده است. با این حال، نمادگرایی ویتنام هنوز دور از آن است نمایش مدرن. او اعداد منفی را به رسمیت نمی شناسد و برای این، هنگام حل معادلات، تنها مواردی را در نظر گرفت که تمام ریشه ها مثبت هستند.

2. روش های حل معادلات مربع

معادلات مربع پایه ای هستند که ساختمان با شکوه جبر در حال استراحت است. معادلات مربع به طور گسترده ای در حل معادلات سه گانه، نشان دهنده، لگاریتمی، غیر منطقی و متعالی و نابرابری استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه می توانیم معادلات مربع از نیمکت مدرسه (درجه 8) را قبل از پایان دانشگاه حل کنیم.

که در جامعه مدرن توانایی انجام اقدامات با معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده ای در عمل در علم استفاده می شود تحولات فنی. شواهد این می تواند به طراحی کشتی های دریایی و رودخانه، هواپیما و موشک ها خدمت کند. با کمک چنین محاسبات، مسیرهای حرکت بدن های مختلف، از جمله اشیاء فضایی. نمونه هایی از نمونه هایی با محلول معادلات مربع نه تنها در پیش بینی اقتصادی، طراحی و ساخت و ساز ساختمان ها، بلکه در شرایط عادی روزمره استفاده می شود. آنها ممکن است در کمپین های توریستی، در ورزش، در فروشگاه های خرید و در سایر شرایط بسیار رایج مورد نیاز باشند.

ما بیان را بر اجزای ضرب کننده ها شکست می دهیم

درجه معادله با حداکثر مقدار درجه در متغیر تعیین می شود که شامل این عبارت است. در صورتی که 2 باشد، چنین معادله ای فقط مربع است.

اگر زبان فرمول ها بیان شود، عبارات مشخص شده، بدون توجه به اینکه چگونه آنها نگاه می کنند، همیشه می توانند به صورت فرم ایجاد شوند، زمانی که قسمت چپ بیان از سه اصطلاح تشکیل شده است. در میان آنها: AX 2 (یعنی متغیر به یک مربع با ضریب آن)، BX (ناشناخته بدون مربع با ضریب آن) و C (جزء آزاد، یعنی شماره معمول) است. همه اینها در سمت راست برابر با 0. در مورد زمانی که هیچ یک از اجزای آن شرایط آن وجود ندارد، به استثنای تبر 2، معادله مربع ناقص نامیده می شود. نمونه هایی از حل این وظایف، ارزش متغیرهایی که در آن آسان است برای پیدا کردن، باید ابتدا در نظر گرفته شود.

اگر عبارت ظاهر می شود به نظر می رسد به طوری که دو، دقیق تر، AX 2 و BX، بیان بر بیان بر عبارت در سمت راست، ساده تر برای پیدا کردن یک متغیر برای براکت ها است. در حال حاضر معادله ما به نظر می رسد: X (AX + B). بعد، آن را واضح می شود که یا X \u003d 0 یا کار به منظور پیدا کردن یک متغیر از عبارت زیر کاهش می یابد: AX + B \u003d 0. یکی مشخص شده یکی از خواص ضرب شده است. این قانون می گوید که محصول دو عامل به عنوان یک نتیجه از 0 تنها در صورتی است که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x \u003d 0 یا 8x - 3 \u003d 0

در نتیجه، ما دو ریشه از معادله را به دست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات این نوع می تواند حرکت بدن را تحت تاثیر گرانش توصیف کند، که جنبش را از یک نقطه خاص در ابتدای مختصات آغاز کرد. در اینجا، رکورد ریاضی فرم زیر را می گیرد: y \u003d v 0 t + gt 2/2. جایگزینی مقادیر لازم، معادل سمت راست 0 و پیدا کردن ناشناخته های احتمالی، شما می توانید زمان عبور از لحظه افزایش بدن را تا زمانی که سقوط آن، و همچنین بسیاری از ارزش های دیگر را پیدا کنید. اما ما بعدا درباره آن صحبت خواهیم کرد.

تجزیه بیان بر ضرب کننده

قانون شرح داده شده در بالا امکان پذیر است که وظایف مشخص شده و موارد پیچیده تر را حل کند. مثالها را با حل معادلات مربع این نوع در نظر بگیرید.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0

این سه میدان سه برابر کامل است. برای شروع، ما این عبارت را تغییر می دهیم و آن را برای چند ضلعی تجزیه می کنیم. آنها دو نفر به دست می آیند: (x-8) و (x-25) \u003d 0. به عنوان یک نتیجه، ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

نمونه هایی از حل معادلات مربع در کلاس 9 اجازه می دهد این روش برای پیدا کردن یک متغیر در عبارات نه تنها دوم، بلکه حتی سفارشات سوم و چهارم.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. با تجزیه قسمت راست چند ضلعی با متغیر، آنها سه، آن، (x + 1)، (x-3) و ( x + 3).

در نتیجه، واضح است که این معادله سه ریشه دارد: -3؛ -On؛ 3

ریشه مربع را استخراج کنید

یکی دیگر از موارد معادله ناقص سفارش دوم عبارت است از زبان، در زبان حروف ارائه شده به گونه ای است که سمت راست از اجزای تبر 2 و C ساخته شده است. در اینجا، برای مقدار متغیر، عضو آزاد منتقل می شود سمت راست، و سپس از هر دو بخش از برابری استخراج می شود ریشه دوم. لازم به ذکر است که در این مورد ریشه های معادله معمولا دو است. یک استثنا تنها می تواند برابر با برابری باشد، به طور کلی حاوی اصطلاح C نیست، جایی که متغیر صفر است، و همچنین گزینه هایی برای عبارات، زمانی که سمت راست به نظر می رسد منفی است. که در آخرین مورد هیچ راه حل وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه ها انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این مورد، ریشه های معادله -4 و 4 خواهد بود.

محاسبه یک طرح زمین

نیاز به چنین محاسبات در دوران باستان عمیق ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در بسیاری از موارد در آن زمان های دور به دلیل نیاز به تعیین دقت ترین منطقه و محیط زمین های زمین بود.

مثالها با حل معادلات مربع بر اساس وظایف این نوع، باید به ما در نظر گرفته شود.

بنابراین، بگذارید بگوییم یک قطعه مستطیل شکل وجود دارد، که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. این باید طول، عرض و محیط اطراف سایت پیدا شود، اگر شناخته شده باشد که منطقه آن برابر با 612 متر مربع است.

شروع یک ماده، ابتدا معادله لازم را انجام دهید. نشان دادن x عرض سایت، سپس طول آن خواهد بود (x + 16). از نوشته شده است که این منطقه توسط بیان X (X + 16) تعیین می شود که، با توجه به شرایط مشکل ما، 612 است. این به این معنی است که x (x + 16) \u003d 612.

راه حل معادلات مربع کامل، و این عبارت دقیقا چنین است، نمی تواند به همان شیوه انجام شود. چرا؟ اگر چه سمت چپ آن هنوز هم شامل دو عامل است، محصول به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین روش های دیگر در اینجا استفاده می شود.

تبعیض

اول از همه، ما تبدیل لازم را تولید خواهیم کرد، پس از ظهور این عبارت به نظر می رسد: X 2 + 16X - 612 \u003d 0. این بدان معنی است که ما در فرم مربوط به استاندارد قبلا مشخص شده، جایی که A \u003d 1، b \u003d 16، c \u003d -612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات مربع از طریق تبعیض آمیز باشد. در اینجا، محاسبات مورد نیاز بر اساس طرح ساخته شده است: D \u003d B 2 - 4AC. این مقدار کمکی فقط امکان پیدا کردن ارزش های مورد نظر را در معادله دوم مرتبه پیدا نمی کند، آن را تعیین می کند گزینه های احتمالی. در مورد D\u003e 0، دو وجود دارد؛ هنگامی که d \u003d 0، یک ریشه وجود دارد. در مورد د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تبعیض آمیز است: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. این نشان می دهد که پاسخ از کار ما وجود دارد. اگر می دانید، K، راه حل معادلات مربع باید با استفاده از فرمول زیر ادامه یابد. این اجازه می دهد تا شما را به محاسبه ریشه ها.

این به این معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 \u003d 18، x 2 \u003d -34. نسخه دوم در این معضل نمی تواند یک راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، به این معنی X (یعنی عرض سایت) 18 متر است. از اینجا، ما طول را محاسبه می کنیم: 18 + 16 \u003d 34، و محیط 2 (34 + 18) \u003d 104 (m 2).

نمونه ها و اهداف

ما همچنان به مطالعه معادلات مربع ادامه می دهیم. نمونه ها و یک راه حل دقیق از چندین آنها بیشتر خواهد شد.

1) 15X 2 + 20X + 5 \u003d 12X 2 + 27X + 1

ما همه چیز را به قسمت سمت چپ برابری انتقال می دهیم، ما یک تحول را ایجاد خواهیم کرد، یعنی فرم معادله ای است که استاندارد نامیده می شود و آن را با صفر ارزیابی می کنیم.

15X 2 + 20X + 5 - 12x 2 - 27X - 1 \u003d 0

پس از تاشو مانند، ما تعریف را تعریف می کنیم: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. بنابراین، معادله ما دو ریشه دارد. ما آنها را طبق فرمول بالا محاسبه می کنیم، به این معنی که اولین یکی از آنها 4/3 و دوم است.

2) حالا معماهای دیگری را نشان می دهد.

پیدا کردن، آیا ریشه در اینجا X 2 - 4X + 5 \u003d 1 وجود دارد؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، ما چندجملهای را به آشنایی مناسب ارائه می دهیم و تبعیض آمیز را محاسبه می کنیم. در مثال مشخص شده، راه حل معادله مربع لازم نیست، زیرا ماهیت این کار در این مورد نیست. در این مورد، d \u003d 16 - 20 \u003d 4، به این معنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه Vieta

معادلات مربع به راحتی از طریق فرمول های بالا و تبعیض آمیز زمانی که ریشه مربع از آخرین مقدار استخراج می شود، حل می شود. اما همیشه اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن متغیرها در این مورد وجود دارد. به عنوان مثال: راه حل های معادلات مربع در قضیه Vieta. او به خاطر استعدادهای ریاضی و حیاط های ریاضی خود، نامگذاری شده است. پرتره از آن را می توان در مقاله دیده می شود.

الگوی معروف فرانسه اشاره کرد که به شرح زیر است. او ثابت کرد که ریشه های معادله در مقدار به صورت عددی برابر با -p \u003d b / a است، و محصول آنها مربوط به q \u003d c / a است.

در حال حاضر وظایف خاص را در نظر بگیرید.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

برای سادگی، ما بیان را تغییر می دهیم:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

ما از قضیه Vieta استفاده می کنیم، به ما موارد زیر را می دهد: مقدار ریشه ها -7 و کار آنها -18 است. از اینجا، ما به دست می آوریم که ریشه های معادله اعداد -9 و 2. پس از انجام چک، اطمینان حاصل کنید که این مقادیر متغیرها واقعا در بیان مناسب هستند.

معادله گراف و Parabola

مفاهیم عملکرد درجه دوم و معادلات مربع نزدیک به یکدیگر متصل هستند. نمونه هایی از این قبلا قبلا نشان داده شده است. در حال حاضر برخی از معماهای ریاضی کمی بیشتر. هر معادله نوع توصیف شده را می توان تصور کرد. وابستگی مشابهی که به شکل یک گراف کشیده شده است، یک پارابولا نامیده می شود. انواع مختلف او در شکل زیر نشان داده شده است.

هر پارابولا دارای یک رأس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن بیرون می آیند. در مورد A\u003e 0، آنها در بی نهایت بالا و زمانی که یک<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تصاویر بصری از توابع به حل هر معادلات، از جمله مربع کمک می کند. این روش گرافیک نامیده می شود. و مقدار متغیر X مختصات Abscissa در نقاط جایی است که گراف نمودار از 0x عبور می کند. مختصات رأس ها را می توان با توجه به تنها فرمول داده شده X 0 \u003d -B / 2A یافت. و جایگزینی مقدار حاصل به معادله اولیه تابع، شما می توانید Y 0 را یاد بگیرید، یعنی هماهنگی دوم رأس مروارید متعلق به محور واحد.

عبور از شاخه های پارابولا با محور Abscissa

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع بسیار زیاد است، اما الگوهای کلی وجود دارد. آنها را در نظر بگیرید واضح است که تقاطع گراف با محور 0X در A\u003e 0 تنها ممکن است اگر 0 مقدار منفی را دریافت کند. و برای A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

با توجه به نمودار، پارابولا ها را می توان تعریف کرد و ریشه ها. مخالفش هم درست است. به این معناست که اگر یک تصویر بصری از یک تابع درجه دوم را دریافت کنید آسان نیست، شما می توانید سمت راست بیان را به 0 تقسیم کنید و معادله به دست آمده را حل کنید. و دانستن نقاط تقاطع با محور 0X، برنامه ریزی آسان تر است.

از تاریخ

با کمک معادلات حاوی متغیر مطرح شده به مربع، در روزهای قدیمی نه تنها محاسبات ریاضی را انجام داد و منطقه ای از ارقام هندسی را تعیین کرد. محاسبات مشابهی از باستان برای اکتشافات بزرگ در زمینه فیزیک و نجوم مورد نیاز بود، و همچنین برای تهیه پیش بینی های طالع بینی.

به عنوان ارقام علمی مدرن نشان می دهد، در میان اولین راه حل های معادلات مربع، ساکنان بابل به دست آمد. این در چهار قرن قبل از شروع دوره ما اتفاق افتاد. البته محاسبات آنها در ریشه متفاوت از حالا تصویب شده و معلوم شد که بسیار ابتدایی است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین در مورد وجود تعداد منفی هیچ نظری نداشتند. غریبه ها نیز ظرافت های دیگر را از کسانی که هر دانش آموز از زمان ما را می دانند، داشتند.

شاید حتی دانشمندان پیشین بابل، راه حل معادلات مربع، یک سیج هند بود. Budhoyama درگیر بود. این در حدود هشت قرن قبل از دوران مسیح اتفاق افتاد. درست است، معادله مرتبه دوم، روش های حل که او منجر شد، به طور همزمان بود. علاوه بر او، چنین سوالاتی به ریاضیدانان قدیمی و چینی علاقمند بود. در اروپا، معادلات مربع تنها در قرن ابتلا به XIII شروع به حل کردند، اما بعدا آنها در کار خود مانند دانشمندان بزرگ به عنوان نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر مورد استفاده قرار گرفتند.

در ادامه موضوع "تصمیم معادلات"، مادی از این مقاله شما را به معادلات مربع معرفی می کند.

همه چیز را در نظر بگیرید: جوهر و رکورد معادله مربع، شرایط همراهی را تنظیم می کنیم، ما طرح را برای راه حل معادلات ناقص و کامل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، با فرمول ریشه ها و تبعیض آمیز آشنا شوید، ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را ایجاد کنید و البته ما یک راه حل بصری از نمونه های عملی ارائه می دهیم.

Yandex.rtb R-A-339285-1

معادله مربع، انواع آن

تعریف 1

معادله درجه دوم - این معادله ثبت شده است a · x 2 + b · x + c \u003d 0جایی که ایکس. - متغیر، a، b و C. - برخی از اعداد، در حالی که آ.صفر نیست

اغلب معادلات مربع نیز نام معادلات درجه دوم نامیده می شود، زیرا اساسا معادله مربع معادله جبری درجه دوم است.

ما یک مثال برای نشان دادن یک تعریف داده را ارائه می دهیم: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0؛ 7، 5 · x 2 + 3، 1 · x + 0، 11 \u003d 0، و غیره - این معادلات مربع است.

تعریف 2

اعداد a، b و C. - این ضرایب معادله مربع است a · x 2 + b · x + c \u003d 0، با ضریب آ. این اولین، یا قدیمی تر یا ضریب x 2، b - ضریب دوم یا ضریب زمانی نامیده می شود ایکس.، ولی C. عضو رایگان

به عنوان مثال، در یک معادله مربع 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 ضریب ارشد 6، ضریب دوم است − 2 و عضو آزاد برابر است − 11 . توجه به این واقعیت است که زمانی که ضرایب بو / یا C منفی هستند، سپس یک فرم کوتاه از ضبط نمایش استفاده می شود. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0، اما نه 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

ما همچنین این جنبه را روشن می کنیم: اگر ضرایب آ. و / یا ب برابر 1 یا − 1 ، پس از آن مشارکت صریح در ضبط معادله مربع، آنها ممکن است گرفته نشود، که توسط ویژگی های ضبط این ضرایب عددی توضیح داده نمی شود. به عنوان مثال، در یک معادله مربع y 2 - y + 7 \u003d 0 ضریب ارشد 1، و ضریب دوم است − 1 .

معادلات مربع مشخص و متاهل

با ارزش اول ضریب، معادلات مربع به بالا و بدون پرداخت تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله مربع کاهش یافته - این معادله مربع است که ضریب قدیمی تر برابر با 1 است. برای مقادیر دیگر ضریب قدیم، معادله مربع غیر نامعتبر است.

ما نمونه هایی را ارائه می دهیم: معادلات مربع x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0، x 2 - x - 4 5 \u003d 0 در هر کدام از آنها ضریب قدیم 1 ارائه شده است.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - معادله مربع یکپارچه، جایی که ضریب اول متفاوت است 1 .

هر معادله مربع بدون علامت ممکن است به یک معادله معین تبدیل شود، اگر از هر دو قسمت به ضریب اول (تحول معادل آن) تقسیم شود. معادله تبدیل شده همان ریشه های مشابه را به عنوان معادله هوشمند مشخص شده و یا نه ریشه ها در همه.

در نظر گرفتن یک مثال خاص، به ما اجازه می دهد تا به طور واضح انتقال از یک معادله مربع یکپارچه به یک داده شده را نشان دهیم.

مثال 1

معادله تعیین شده است 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . لازم است معادله اولیه را در فرم بالا تبدیل کنید.

تصمیم

طرح فوق مشخص شده توسط هر دو قسمت از معادله اولیه در ضریب ارشد 6 جدا شده است. سپس ما دریافت می کنیم: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3و این همانند: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 و بیشتر: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. از اینجا: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. بنابراین، معادله به عنوان مشخص شده است.

پاسخ: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

معادلات مربع کامل و ناقص

به تعریف معادله مربع تبدیل شوید. در آن ما روشن کردیم ≠ 0.. چنین شرایطی برای معادله ضروری است a · x 2 + b · x + c \u003d 0 دقیقا مربع بود زیرا a \u003d 0 این اساسا به معادله خطی تبدیل می شود b · x + c \u003d 0.

در مورد زمانی که ضرایب ب و C.برابر با صفر (که ممکن است، هر دو به صورت جداگانه و با هم)، معادله مربع ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله مربع ناقص - چنین معادله مربع a · x 2 + b · x + c \u003d 0،جایی که حداقل یکی از ضرایب است بو C.(یا هر دو) صفر است.

معادله مربع کامل - یک معادله مربع که در آن تمام ضرایب عددی صفر نیست.

ما به این دلیل که چرا انواع معادلات مربع دقیقا نام ها را به دست می آوریم.

برای معادله B \u003d 0 مربع طول می کشد a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0این همان چیزی است که a · x 2 + c \u003d 0. برای c \u003d 0 معادله مربع ثبت شده است a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0این معادل است a · x 2 + b · x \u003d 0. برای b \u003d 0. و c \u003d 0 معادله این دیدگاه را می گیرد a · x 2 \u003d 0. معیارهای دریافتی که ما دریافت کرده ایم متفاوت از معادله مربع کامل است که بخش های چپ آنها شامل یک جزء از متغیر x یا یک عضو آزاد یا هر دو یک بار نیست. در واقع، این واقعیت از نام چنین نوع معادلات خواسته شد - ناقص.

به عنوان مثال، x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 و - 7 · x 2 - 2 · x + 1، 3 \u003d 0 معادلات مربع کامل هستند؛ x 2 \u003d 0، - 5 · x 2 \u003d 0؛ 11 · x 2 + 2 \u003d 0، - x 2 - 6 · x \u003d 0 - معادلات مربع ناقص.

تصمیم معادلات مربع ناقص

تعریف فوق باعث می شود که انواع زیر معادلات مربع ناقص را تشخیص دهیم:

• a · x 2 \u003d 0، این معادله مربوط به ضرایب است b \u003d 0. و c \u003d 0؛
• a · x 2 + c \u003d 0 برای b \u003d 0؛
• a · x 2 + b · x \u003d 0 در c \u003d 0.

تصمیم هر نوع معادله مربع ناقص را در نظر بگیرید.

راه حل معادله a · x 2 \u003d 0

همانطور که در بالا ذکر شد، معادله مربوط به ضرایب است ب و C.برابر صفر است. معادله a · x 2 \u003d 0 ممکن است معادله را به معادل آن تبدیل کند x 2 \u003d 0که ما دریافت می کنیم، هر دو بخش از معادله منبع را به اشتراک می گذاریم آ.برابر صفر نیست واقعیت واضح این است که ریشه معادله x 2 \u003d 0 این صفر است زیرا 0 2 = 0 . ریشه های دیگر، این معادله هیچ، که توسط خواص درجه توضیح داده شده است: برای هر عدد پ،برابر صفر نیست، نابرابری وفادار p 2\u003e 0چه اتفاقی می افتد؟ p ≠ 0. برابری p 2 \u003d 0هرگز به دست نخواهد آمد

تعریف 5

بنابراین، برای یک معادله مربع ناقص a · x 2 \u003d 0 تنها ریشه وجود دارد x \u003d 0.

مثال 2

به عنوان مثال، ما یک معادله مربع ناقص را حل می کنیم - 3 · x 2 \u003d 0. این معادل معادله است x 2 \u003d 0، تنها ریشه او است x \u003d 0، سپس معادله اولیه تنها ریشه - صفر است.

به طور خلاصه تصمیم گیری شده است:

- 3 · x 2 \u003d 0، x 2 \u003d 0، x \u003d 0.

راه حل معادله a · x 2 + c \u003d 0

در صف - راه حل معادلات مربع ناقص، جایی که B \u003d 0، C ≠ 0، یعنی معادلات فرم است a · x 2 + c \u003d 0. ما این معادله را تغییر می دهیم که اصطلاح را از یک بخش از معادله به دیگری انجام می دهد، تغییر علامت به مخالف و تقسیم هر دو بخش از معادله به تعداد، نه برابر صفر:

• منتقل کردن C. در قسمت راست، که معادله را می دهد a · x 2 \u003d - c;
• ما هر دو بخش معادله را تقسیم می کنیم آ.، من در انتهای x \u003d - c a دریافت می کنم.

تحولات ما به ترتیب معادل آن معادل است، معادله حاصل نیز معادل منبع است، و این واقعیت باعث می شود که ریشه های معادله را به دست آورید. از معانی چیست؟ آ. و C.مقدار بیان بستگی دارد - C A: ممکن است علامت منفی داشته باشد (بگذارید بگوییم اگر a \u003d 1 و C \u003d 2، سپس - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) یا علامت پلاس (به عنوان مثال، اگر a \u003d - 2 و c \u003d 6، سپس - c a \u003d - 6 - 6 - 2 \u003d 3)؛ صفر نیست زیرا c ≠ 0. اجازه دهید ما جزئیات بیشتری را در شرایطی که - c a< 0 и - c a > 0 .

در مورد زمانی که - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پ. برابری P 2 \u003d - C نمی تواند درست باشد.

همه در غیر این صورت، زمانی که - c a\u003e 0: به یاد آوردن ریشه مربع، و آن را واضح است که معادله x 2 \u003d - c a خواهد شد تعداد - C a، از - c a 2 \u003d - c a. دشوار نیست درک کنید که تعداد آن است - C A همچنین ریشه معادله x 2 \u003d - c a: در واقع، - - c a 2 \u003d - c a.

معادله ریشه های دیگر نخواهد داشت. ما می توانیم آن را با استفاده از روش تند و زننده نشان دهیم. برای شروع، تعیین نام های موجود در بالای ریشه ها را تنظیم کنید x 1 و - x 1. من پیشنهاد خواهم کرد که معادله x 2 \u003d - C A نیز ریشه دارد x 2که از ریشه ها متفاوت است x 1 و - x 1. ما می دانیم که جایگزینی به معادله به جای آن ایکس. ریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی عادلانه تبدیل می کنیم.

برای x 1 و - x 1 ما می نویسیم: x 1 2 \u003d - c a، و برای x 2 - x 2 2 \u003d - c a. با تکیه بر خواص عددی عددی، یک برابری راست را از دیگری پر کنید، که به ما می دهد: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. از خواص اقدامات با اعداد استفاده کنید تا آخرین برابری را بازنویسی کنید (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. شناخته شده است که کار دو عدد صفر است و تنها اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از گفت که این به دنبال آن است x 1 - x 2 \u003d 0 و / یا x 1 + x 2 \u003d 0این همان چیزی است x 2 \u003d x 1 و / یا x 2 \u003d - x 1. یک تناقض واضح بود، زیرا در ابتدا موافقت کرد که ریشه معادله x 2 متفاوت از x 1 و - x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله ریشه های دیگر ندارد، به جز x \u003d - c a و x \u003d - - c a.

ما تمام استدلال های بالا را خلاصه می کنیم.

تعریف 6

معادله مربع ناقص a · x 2 + c \u003d 0 معادل معادله x 2 \u003d - c a، که:

• هنگامی که - c a ریشه ندارد< 0 ;
• دو ریشه x \u003d - c a و x \u003d - - c a با - c a\u003e 0 وجود دارد.

ما نمونه هایی از حل معادلات را ارائه می دهیم a · x 2 + c \u003d 0.

مثال 3

معادله مربع مشخص شده است 9 · x 2 + 7 \u003d 0.لازم است تصمیم خود را پیدا کنید.

تصمیم

ما یک عضو آزاد را به قسمت سمت راست معادله انتقال می دهیم، سپس معادله فرم را می گیرد 9 · x 2 \u003d - 7.
ما هر دو بخش از معادله به دست آمده را تقسیم می کنیم 9 ، بیا به x 2 \u003d - 7 9. در قسمت راست، ما یک عدد را با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله مشخصی هیچ ریشه ای ندارد. سپس معادله مربع ناقص اصلی 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ریشه ندارد

پاسخ: معادله 9 · x 2 + 7 \u003d 0این ریشه ندارد

مثال 4

لازم است معادله را حل کند - x 2 + 36 \u003d 0.

تصمیم

ما 36 را به سمت راست حرکت می دهیم: - x 2 \u003d - 36.
ما هر دو قسمت را تقسیم می کنیم − 1 ، گرفتن x 2 \u003d 36. در قسمت راست - یک عدد مثبت، از اینجا می توان نتیجه گرفت که x \u003d 36 یا x \u003d - 36.
ریشه را بردارید و نتیجه نهایی را بنویسید: یک معادله مربع ناقص - x 2 + 36 \u003d 0 او دو ریشه دارد x \u003d 6 یا x \u003d - 6.

پاسخ: x \u003d 6 یا x \u003d - 6.

راه حل معادله a · x 2 + b · x \u003d 0

ما نوع سوم معادلات مربع ناقص را بررسی خواهیم کرد c \u003d 0. برای پیدا کردن یک معادله مربع ناقص a · x 2 + b · x \u003d 0، ما از روش تجزیه بر ضریب ها استفاده می کنیم. گسترش چندجملهای چندجملهای، که در قسمت چپ معادله قرار دارد، با ایجاد یک ضریب عمومی برای براکت ها ایکس.. این مرحله فرصتی برای تبدیل معادله مربع ناقص ناقص به معادل آن فراهم می کند x · (a · x + b) \u003d 0. و این معادله، به نوبه خود، معادل کل معادلات است x \u003d 0 و a · x + b \u003d 0. معادله a · x + b \u003d 0 خطی، و ریشه آن: x \u003d - b a.

تعریف 7

بنابراین، یک معادله مربع ناقص a · x 2 + b · x \u003d 0 دو ریشه دارد x \u003d 0 و x \u003d - b a.

مواد را به عنوان مثال را ببندید.

مثال 5

لازم است راه حل معادله را پیدا کنید 2 3 · x 2 - 2 7 7 · x \u003d 0.

تصمیم

بیایید رهبری کنیم ایکس. برای براکت ها و معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. این معادله معادل معادلات است x \u003d 0 و 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. در حال حاضر لازم است معادله خطی حاصل شود: 2 3 · x \u003d 2 2 7، x \u003d 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه حل معادله برای نوشتن این راه:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 یا 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 یا x \u003d 3 3 7

پاسخ: x \u003d 0، x \u003d 3 3 7.

تبعیض آمیز، فرمول ریشه های معادله مربع

برای پیدا کردن یک راه حل معادلات مربع، یک فرمول برای ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x \u003d - b ± d 2 · جایی که d \u003d b 2 - 4 · a · c - به اصطلاح تبعیض آمیز یک معادله مربع.

ضبط x \u003d - b ± d 2 · A به معنای آن است که x 1 \u003d - b + d 2 · a، x 2 \u003d - b - d 2 · a.

این مفید خواهد بود که بدانیم چگونه فرمول مشخص شده مشتق شده و نحوه استفاده از آن.

خروجی ریشه های معادله مربع

اجازه دهید ما را به حل معادله مربع حل کنیم a · x 2 + b · x + c \u003d 0. تعدادی از تحولات معادل را انجام دهید:

• ما هر دو بخش از معادله را برای تعداد تقسیم می کنیم آ.به غیر از صفر، ما معادله مربع کاهش یافته را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a \u003d 0؛
• ما مربع کامل را در سمت چپ معادله دریافتی برجسته می کنیم:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca .
  پس از آن، معادله فرم را می گیرد: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0؛
• در حال حاضر ممکن است انتقال دو اصطلاح گذشته را به سمت راست دست، تغییر علامت به طرف مقابل، پس از آن ما دریافت: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · 2 - c a؛
• در نهایت، ما تبدیل بیان را در سمت راست آخرین برابری تبدیل می کنیم:
  B 2 · 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

بنابراین، ما به معادله X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · a · c 4 · A 2، معادله منبع معادل رسید a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

ما راه حل این معادلات را در پاراگراف های قبلی (تصمیم گیری معادلات مربع ناقص) را درک کردیم. تجربه به دست آمده امکان پذیر می شود در مورد ریشه های معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• در B 2 - 4 · a · c 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• برای B 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0، معادله فرم X + B 2 · a 2 \u003d 0، سپس x + b 2 · a \u003d 0 است.

از این رو تنها ریشه x \u003d - b 2 · a واضح است؛

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0، درست خواهد بود: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · 2 یا x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · A 2، که همان x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · A 2، I.E. معادله دارای دو ریشه است.

ممکن است نتیجه گیری شود که حضور یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · 2 (و از این رو معادله اولیه) بستگی به علامت بیان B دارد 2 - 4 · A · C 4 · A 2، در سمت راست ثبت شده است. و علامت این عبارت توسط تعداد عددی تعیین می شود (Dentinator 4 · 2 همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه ای از بیان B 2 - 4 · a · c. این عبارت B 2 - 4 · a · c نام، تبعیض آمیز از تخلیه مربع است و به عنوان تعیین نامه آن تعریف شده است. در اینجا شما می توانید ماهیت تبعیض را ضبط کنید - با ارزش آن و علامت نتیجه گیری می شود که آیا معادله مربع ریشه های معتبر دارد و اگر این است، تعداد ریشه ها - یک یا دو.

بازگشت به معادله x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. من آن را با استفاده از تعیین تعریف تبعیض بازنویسی می کنم: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

ما نتیجه گیری را دوباره فرموله خواهیم کرد:

تعریف 9

• برای D.< 0 معادله هیچ ریشه معتبر ندارد
• برای d \u003d 0 معادله تنها ریشه x \u003d - b 2 · a؛
• برای d\u003e 0 معادله دارای دو ریشه است: x \u003d - b 2 · a + d 4 · a 2 یا x \u003d - b 2 · a - d 4 · a 2. این ریشه ها بر اساس خواص رادیکال ها می توانند به صورت فرم نوشته شوند: x \u003d - b 2 · a + d 2 · a یا - b 2 · a - d 2 · a. و هنگامی که ما ماژول ها را نشان می دهیم و به بخش هایی می دهیم مخرج مشترک، ما دریافت می کنیم: x \u003d - b + d 2 · a، x \u003d - b-d 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما حذف فرمول ریشه های معادله مربع بود:

x \u003d - b + d 2 · a، x \u003d - b - d 2 · a، discriminant D. محاسبه شده توسط فرمول d \u003d b 2 - 4 · a · c.

این فرمول ها ممکن است زمانی که تبعیض آمیز بزرگتر برای تعیین هر دو ریشه معتبر باشد. هنگامی که تبعیض صفر است، استفاده از هر دو فرمول همان ریشه را به عنوان تنها راه حل معادله مربع ارائه می دهد. در مورد زمانی که تشخیص منفی منفی است، تلاش برای استفاده از فرمول ریشه معادله مربع، ما با نیاز به حذف ریشه مربع از تعداد منفی، که ما را فراتر از اعداد واقعی هدایت می کند. با یک معادله منفی، معادله مربع، ریشه های معتبر نخواهد بود، اما یک جفت ریشه های جامع به طور جامع، تعیین شده توسط همان فرمول ریشه های به دست آمده توسط ما امکان پذیر است.

الگوریتم برای حل معادلات مربع در فرمول های ریشه

ممکن است معادله مربع را حل کنید، بلافاصله فرمول ریشه را دوچرخه سواری کنید، اما اساسا آنها در صورت لزوم، ریشه های پیچیده ای را پیدا می کنند.

در توده اصلی موارد، معمولا برای جستجو برای ریشه های غیر پیچیده، اما معتبر معادله مربع، به طور معنی داری است. سپس به طور مطلوب قبل از استفاده از فرمول های ریشه های مربع، ابتدا تعریف تشخیص را تعیین کنید و مطمئن شوید که منفی نیست (در غیر این صورت ما نتیجه می گیریم که معادله هیچ ریشه معتبر ندارد)، و سپس به محاسبه مقدار ریشه ها ادامه دهید.

استدلال های فوق، توانایی تشکیل یک الگوریتم برای حل معادله مربع را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل معادله مربع a · x 2 + b · x + c \u003d 0، لازم است:

• با توجه به فرمول d \u003d b 2 - 4 · a · c ارزش تبعیض را پیدا کنید
• با D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• در d \u003d 0 تنها ریشه ی معادله را با توجه به فرمول x \u003d - b 2 · a پیدا کنید.
• برای D\u003e 0، دو ریشه معتبر از معادله مربع را با توجه به فرمول X \u003d - B ± D 2 تعیین کنید.

توجه داشته باشید که زمانی که تبعیض صفر است، شما می توانید از فرمول X \u003d - B ± D 2 استفاده کنید، این نتیجه مشابهی را به عنوان فرمول x \u003d - b 2 · a ارائه می دهد.

مثالها را در نظر بگیرید

نمونه هایی از راه حل های معادلات مربع

ما راه حل نمونه هایی را در مقادیر مختلف تبعیض قرار می دهیم.

مثال 6

لازم است ریشه های معادله را پیدا کنید x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

تصمیم

ما ضرایب شماره معادله مربع را بنویسیم: a \u003d 1، b \u003d 2 و c \u003d - 6. بعد، ما در الگوریتم عمل می کنیم، به عنوان مثال ما به محاسبه تبعیض آمیز ادامه خواهیم داد، زیرا ما ضرایب را جایگزین خواهیم کرد و C. در فرمول تبعیض آمیز: d \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

بنابراین، ما D\u003e 0 را به دست آوردیم و این بدان معنی است که معادله اولیه دو ریشه معتبر داشته باشد.
برای پیدا کردن آنها، ما از فرمول ریشه X \u003d - B ± D 2 · A استفاده می کنیم و جایگزین مقادیر مربوطه می شود، ما دریافت می کنیم: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. ما بیانگر نتیجه را ساده تر می کنیم، و چند برابر شدن برای علامت ریشه، و سپس برش بخش:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 یا x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 یا x \u003d - 1 - 7

پاسخ: x \u003d - 1 + 7، x \u003d - 1 - 7.

مثال 7

لازم است معادله مربع را حل کند - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

تصمیم

تعیین تشخیص: d \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. با این مقدار تبعیض آمیز، معادله اولیه تنها یک ریشه تعریف شده توسط فرمول x \u003d - b 2 · a دارد.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3، 5

پاسخ: x \u003d 3، 5.

مثال 8

لازم است معادله را حل کند 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

تصمیم

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a \u003d 5، b \u003d 6 و c \u003d 2. ما از این مقادیر برای پیدا کردن یک تبعیض استفاده می کنیم: d \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. تبعیض محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله اولیه مربع ریشه های معتبر ندارد.

در مورد زمانی که وظیفه این است که ریشه های پیچیده را مشخص کنید، فرمول ریشه را اعمال کنید، انجام اقدامات با شماره های پیچیده:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5،

x \u003d - 6 + 2 · i 10 یا x \u003d - 6 - 2 · i 10،

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i یا x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ: هیچ ریشه معتبر وجود ندارد ریشه های پیچیده به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · I، 3 5 - 1 5 5 · I.

که در برنامه مدرسه به طور استاندارد نیازی به جستجو برای ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین اگر در حین راه حل، تبعیض به عنوان منفی تعریف شود، پاسخ بلافاصله ثبت می شود که هیچ ریشه معتبر وجود ندارد.

ریشه های فرمول برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x \u003d - b ± d 2 · a (d \u003d b 2 - 4 · a · c) امکان دریافت فرمول دیگری را فراهم می آورد، جمع و جور تر، اجازه می دهد راه حل های معادلات مربع را با ضریب حتی در X پیدا کنید (یا با ضریب نوع 2 · n، به عنوان مثال، 2 · 3 یا 14 · LN 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). ما نشان می دهیم که چگونه این فرمول نمایش داده می شود.

اجازه دهید ما وظیفه پیدا کردن راه حل معادله مربع A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0 باشد. ما بر روی الگوریتم عمل می کنیم: تعریف D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c)، و سپس استفاده از فرمول ریشه:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · a، x \u003d - 2 ± 4 · n 2 - a · c 2 · a، x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a، x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

اجازه دهید بیان n 2 - a · c به عنوان d 1 (گاهی اوقات d "نشان داده شود. سپس فرمول ریشه های معادله مربع مورد بررسی با ضریب دوم 2 · n فرم را انجام می دهد:

x \u003d - n ± d 1 a، جایی که d 1 \u003d n 2 - a · c.

آسان است که ببینید که d \u003d 4 · d 1، یا d 1 \u003d d 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم از تبعیض آمیز است. واضح است که علامت D 1 همانند علامت D است، به این معنی که علامت D 1 نیز می تواند به عنوان شاخص حضور یا عدم وجود ریشه های معادله مربع باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای پیدا کردن راه حل معادله مربع با ضریب دوم 2 · n، لازم است:

• پیدا کردن d 1 \u003d n 2 - a · c؛
• با D 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• برای d 1 \u003d 0، تنها ریشه ی معادله را با توجه به فرمول x \u003d - n a تعیین کنید؛
• برای D 1\u003e 0، دو ریشه معتبر را با توجه به فرمول x \u003d - n ± d 1 تعیین کنید.

مثال 9

لازم است حل معادله مربع 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0 باشد.

تصمیم

ضریب دوم معادله مشخص شده را می توان به عنوان 2 · (- 3) نشان داد. سپس معادله مربع مشخص شده را به عنوان 5 · x 2 + 2 بازنویسی کنید (- 3) · x - 32 \u003d 0، که در آن a \u003d 5، n \u003d - 3 و c \u003d - 32.

ما بخش چهارم را محاسبه می کنیم: d 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. ارزش به دست آمده مثبت، این بدان معنی است که معادله دارای دو ریشه معتبر است. ما آنها را با توجه به فرمول ریشه مربوطه تعریف می کنیم:

x \u003d - n ± d 1 a، x \u003d - - - 3 ± 169 5، x \u003d 3 ± 13 5،

x \u003d 3 + 13 5 یا x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 یا x \u003d - 2

ممکن است محاسبات و فرمول معمولی ریشه های معادله مربع را ایجاد کنید، اما در این مورد، راه حل بسیار سخت تر خواهد بود.

پاسخ: x \u003d 3 1 5 یا x \u003d - 2.

ساده سازی گونه های معادلات مربع

گاهی اوقات ممکن است بهینه سازی نوع معادله منبع، که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، معادله مربع 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 به وضوح مناسب تر از 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0 است.

اغلب ساده سازی گونه های معادله مربع توسط ضرب یا تقسیم هر دو بخش آن به یک نوع تعداد انجام می شود. به عنوان مثال، ما یک رکورد ساده از معادله را نشان دادیم 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0، به دست آمده با تقسیم هر دو قسمت توسط 100.

چنین تبدیل ممکن است زمانی که ضرایب معادله مربع تعداد دو طرفه ساده نیست. سپس معمولا هر دو بخش معادله را به بزرگترین تقسیم مشترک مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می کنند.

به عنوان مثال، از معادله مربع 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0 استفاده کنید. ما گره مقادیر مطلق ضرایب آن را تعریف می کنیم: گره ها (12، 42، 48) \u003d گره (گره (12، 42)، 48) \u003d گره (6، 48) \u003d 6. ما دو قسمت از معادله مربع اصلی را به 6 تقسیم می کنیم و معادله مربع معادل 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0 را به دست می آوریم.

ضرب هر دو قسمت از معادله مربع معمولا از ضرایب کسری خلاص می شود. در همان زمان ضرب شده توسط کوچکترین ژنراتور چندگانه چند ضرایب آن. به عنوان مثال، اگر هر بخش از معادله مربع 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 ضرب از NOC (6، 3، 1) \u003d 6، پس از آن ضبط شده در فرم ساده X 2 ثبت می شود + 4 · x - 18 \u003d 0.

در نهایت، ما یادآوری می کنیم که تقریبا همیشه از منهای منفی در اولین ضریب معادله مربع خلاص می شود، علائم هر عضو معادله را تغییر می دهد که با ضرب (یا تقسیمات) هر دو بخش از 1 به دست می آید. به عنوان مثال، از یک معادله مربع - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0، شما می توانید به نسخه ساده خود بروید 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

ارتباط بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات مربع x \u003d - B ± D 2 · A شناخته شده به ما نشان می دهد ریشه های معادله از طریق ضرایب عددی آن. با تکیه بر این فرمول، ما فرصتی برای تنظیم وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب داریم.

معروف ترین و قابل اجرا، فرمول های قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 \u003d - b a و x 2 \u003d c a.

به طور خاص، برای معادله مربع کاهش یافته، مقدار ریشه ها ضریب دوم با علامت مخالف است و محصول ریشه ها رایگان است. به عنوان مثال، با توجه به گونه معادله مربع 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0، ممکن است بلافاصله تعیین کنید که مجموع ریشه های آن 7 3 است و محصول ریشه 22 3 است.

شما همچنین می توانید تعدادی از لینک های دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع را پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مربعات ریشه های معادله مربع را می توان از طریق ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

از لحاظ "معادله مربع"، کلید کلمه "مربع" است. این به این معنی است که متغیر باید در معادله (همان IX) در مربع حضور داشته باشد، و در درجه سوم (و بیشتر) هیچ IC وجود ندارد.

راه حل بسیاری از معادلات به حل معادلات دقیق مربع کاهش می یابد.

بیایید یاد بگیریم که چگونه تعیین کنیم که یک معادله مربع داشته باشیم، و نه دیگر.

مثال 1

هر عضو معادله در مورد نامزدی و تحت سلطه

ما همه چیز را به سمت چپ و اعضای گروه در نزولی درجه ای از ICA انتقال می دهیم

حالا شما می توانید با اطمینان بگویید که این معادله مربع است!

مثال 2

سمت چپ و راست داخلی:

این معادله، اگر چه در اصل در آن بود، مربع نیست!

مثال 3

دامنه همه چیز:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... با این حال، اگر ما جایگزین، پس ما خواهیم دید که ما یک معادله مربع ساده داریم:

مثال 4

به نظر می رسد، اما بیایید به شدت نگاه کنیم. ما همه چیز را به سمت چپ انتقال می دهیم:

ببینید، کاهش یافته - و در حال حاضر یک معادله خطی ساده است!

در حال حاضر سعی کنید تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر مربع هستند، و کدام نه:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. نه مربع؛
4. نه مربع؛
5. نه مربع؛
6. مربع؛
7. نه مربع؛
8. مربع.

ریاضیات به طور معمول تمام معادلات مربع را در نوع تقسیم می کند:

• معادلات مربع کامل - معادلات که در آن ضرایب و، و همچنین یک عضو آزاد برابر صفر نیست (همانطور که در مثال). علاوه بر این، در میان معادلات مربع کامل تخصیص ارایه شده - این معادلات است که در آن ضریب (معادله از مثال یک نه تنها کامل است، بلکه همچنین داده شده است!)

• معادلات مربع ناقص - معادلات که در آن ضریب و عضو آزاد صفر است:

  به طور ناقص، زیرا آنها نوعی آیتم ندارند. اما معادله همیشه باید در مربع حضور داشته باشد !!! در غیر این صورت، مربع نخواهد بود، بلکه معادله دیگری است.

چرا شما چنین تقسیم کردید؟ به نظر می رسد که X در مربع وجود دارد، و خوب است. چنین بخش به دلیل روش های راه حل ها است. هر یک از آنها را در جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.

تصمیم معادلات مربع ناقص

برای شروع، ما در حل معادلات مربع ناقص متوقف خواهیم شد - آنها بسیار ساده تر هستند!

معادلات مربع ناقص نوع هستند:

1. در این معادله، ضریب برابر است.
2. در این معادله، یک عضو آزاد برابر است.
3. در این معادله، ضریب و عضو آزاد برابر هستند.

1. و. همانطور که می دانیم چگونه یک ریشه مربع را استخراج کنیم، بیایید از این معادله بیان کنیم

بیان می تواند هر دو منفی و مثبت باشد. شماره ای که به مربع نصب شده نمی تواند منفی باشد، زیرا با ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت - نتیجه همیشه یک عدد مثبت است، به طوری که اگر معادله راه حل نداشته باشد.

و اگر شما دو ریشه را دریافت کنید. این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. مهمترین چیز شما باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که ممکن است کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند نمونه را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را تعیین کنید

در حال حاضر باقی مانده است که از سمت چپ و راست حذف شود. پس از همه، آیا به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

هرگز در مورد ریشه ها با علامت منفی فراموش نکنید !!!

مثال 6:

معادله را تعیین کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را تعیین کنید

اوه مربع عدد نمی تواند منفی باشد، یعنی معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلات که در آن هیچ ریشه ای وجود ندارد، ریاضیات با یک آیکون خاص (مجموعه خالی) آمد. و پاسخ را می توان به عنوان:

پاسخ:

بنابراین، این معادله مربع دارای دو ریشه است. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را حذف نکردیم.
مثال 8:

معادله را تعیین کنید

من براکت را خلاصه خواهم کرد:

به این ترتیب،

این معادله دارای دو ریشه است.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات مربع ناقص (اگر چه همه آنها ساده، درست است؟). بدیهی است، این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد:

در اینجا ما بدون نمونه انجام خواهیم داد.

حل معادلات مربع کامل

ما به شما یادآوری می کنیم که معادله مربع کامل معادله معادله ای است که در آن

راه حل معادلات مربع کامل کمی پیچیده تر (بسیار کمی) از بالا است.

یاد آوردن، هر معادله مربع را می توان با کمک تبعیض آمیز حل کرد! حتی ناقص

بقیه راه ها به سرعت آن کمک می کنند، اما اگر مشکلی با معادلات مربع داشته باشید، راه حل با کمک تبعیض نامیده می شود.

1. راه حل معادلات مربع با کمک تبعیض آمیز.

راه حل معادلات مربع به این ترتیب بسیار ساده است، اصلی ترین چیز این است که دنباله ای از اقدامات و چند فرمول را به یاد داشته باشید.

اگر معادله ریشه خاصی داشته باشد، به دنبال یک گام خاص است. تبعیض آمیز () ما را بر تعداد ریشه های معادله نشان می دهد.

• اگر، پس فرمول به آن کاهش می یابد. بنابراین، معادله کل ریشه دارد.
• اگر، ما قادر به استخراج ریشه از تشخیص در مرحله نیست. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلاتمان بازگردیم و چند نمونه را در نظر بگیریم.

مثال 9:

معادله را تعیین کنید

مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

بنابراین معادله دارای دو ریشه است.

مرحله 3

پاسخ:

مثال 10:

معادله را تعیین کنید

معادله در یک فرم استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

بنابراین معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را تعیین کنید

معادله در یک فرم استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1 ما پرشدیم

گام 2.

ما تشخیص دادیم:

این نمی تواند ریشه را از تبعیض استخراج کند. ریشه های معادله وجود ندارد

حالا ما می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی بنویسیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات مربع با استفاده از قضیه Vieta.

اگر به یاد داشته باشید، یعنی نوعی معادلات ارائه شده (زمانی که ضریب A برابر است):

چنین معادلات با استفاده از قضیه Vieta بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها مشخص شده معادله مربع برابر است، و محصول ریشه برابر است.

مثال 12:

معادله را تعیین کنید

این معادله مناسب برای حل استفاده از قضیه Vieta است، زیرا .

مقدار ریشه های معادله برابر است، I.E. ما اولین معادله را دریافت می کنیم:

و کار این است:

ما همچنین سیستم را تصمیم خواهیم گرفت:

• و. مقدار برابر است؛
• و. مقدار برابر است؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را تعیین کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را تعیین کنید

معادله داده شده است، و بنابراین:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله مربع چیست؟

به عبارت دیگر، معادله مربع معادله گونه ای است که ناشناخته برخی از اعداد است و.

شماره نامیده می شود بزرگتر یا ضریب اول معادله مربع - ضریب دوم، ولی - عضو رایگان.

چرا؟ از آنجا که اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید می شود

در همان زمان، و می تواند صفر باشد. در این مدفوع، معادله ناقص نامیده می شود. اگر تمام اجزای موجود در محل باشد، یعنی معادله کامل است.

راه حل های مختلف انواع معادلات مربع

روش های حل معادلات مربع ناقص:

برای شروع، ما روش های راه حل های معادلات مربع ناقص را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - آنها آسان تر هستند.

شما می توانید نوع چنین معادلات را انتخاب کنید:

I.، در این معادله، ضریب و عضو آزاد برابر هستند.

دوم در این معادله، ضریب برابر است.

III در این معادله، یک عضو آزاد برابر است.

در حال حاضر راه حل هر یک از این زیرمجموعه ها را در نظر بگیرید.

بدیهی است، این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد:

تعداد که به مربع نصب شده نمی تواند منفی باشد، زیرا با ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت است. از این رو:

اگر معادله راه حل نداشته باشد؛

اگر ما دو ریشه را آموخته ایم

این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. مهمترین چیز این است که به یاد داشته باشید که ممکن است کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز در مورد ریشه ها با علامت منفی فراموش نکنید!

مربع عدد نمی تواند منفی باشد، یعنی معادله

بدون ریشه

به طور خلاصه ضبط کنید که این کار هیچ راه حل ندارد، از یک آیکون خالی تنظیم استفاده کنید.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دارای دو ریشه است: و.

پاسخ:

من کارخانه را برای براکت ها خلاصه می کنم:

محصول صفر است، اگر حداقل یکی از ضررهای صفر باشد. این بدان معنی است که معادله یک راه حل دارد:

بنابراین، این معادله مربع دارای دو ریشه است: و.

مثال:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

بخش چپ معادله کارخانه را گسترش دهید و ریشه ها را پیدا کنید:

پاسخ:

روش های حل معادلات مربع کامل:

1. تبعیض آمیز

حل معادلات مربع به این ترتیب آسان است، اصلی ترین چیز این است که به یاد داشته باشید دنباله ای از اقدامات و چند فرمول. به یاد داشته باشید، هر معادله مربع را می توان با کمک تبعیض آمیز حل کرد! حتی ناقص

آیا ریشه را از تبعیض آمیز در فرمول ریشه متوجه شدید؟ اما تبعیض ممکن است منفی باشد. چه باید بکنید؟ ما باید توجه ویژه ای به مرحله 2 داشته باشیم. تبعیض آمیز ما را بر تعداد ریشه های معادله نشان می دهد.

• اگر معادله ریشه داشته باشد:
• اگر معادله همان ریشه داشته باشد، و در واقع یک ریشه:

  چنین ریشه ها دوبار نامیده می شوند.

• اگر ریشه تبعیض آمیز حذف نشده باشد. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا تعداد ریشه های مختلف وجود دارد؟ به K. معنای هندسی معادله مربع نمودار تابع پارابولا است:

در یک مورد خاص، که یک معادله مربع است. و این بدان معنی است که ریشه های معادله مربع نقاط تقاطع با محور Abscissa (محور) است. پارابولا ممکن است از محور عبور نکند، یا از آن عبور کند (زمانی که بالای پارابولا در محور قرار دارد) یا دو امتیاز.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های پارابولا است. اگر شاخه های Parabola به سمت بالا هدایت شوند، و اگر پایین باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ:.

پاسخ:

بنابراین، هیچ راه حل وجود ندارد.

پاسخ:.

2. قضیه Vieta

قضیه Vieta بسیار آسان است برای استفاده: شما فقط باید چنین تعداد زیادی از اعداد را انتخاب کنید، محصول آن برابر با یک عضو آزاد از معادله است، و مقدار دوم ضریب گرفته شده با علامت مخالف است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه Vieta تنها می تواند مورد استفاده قرار گیرد معادلات مربع کاهش یافته ().

چند نمونه را در نظر بگیرید:

مثال شماره 1:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

این معادله مناسب برای حل استفاده از قضیه Vieta است، زیرا . ضرایب باقی مانده:؛ .

مقدار ریشه های معادله این است:

و کار این است:

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن برابر است و بررسی کنید که آیا مجموع آنها برابر است:

• و. مقدار برابر است؛
• و. مقدار برابر است؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، ریشه های معادله ما.

پاسخ:؛ .

مثال شماره 2:

تصمیم گیری:

ما چنین جفت اعداد را که در کار داده می شود را انتخاب می کنیم و سپس بررسی کنیم که آیا مبلغ آنها برابر است:

و: در مقدار آنها می دهد.

و: در مقدار آنها می دهد. فقط به اندازه کافی برای تغییر علائم ریشه های ادعایی: و به دلیل کار.

پاسخ:

مثال شماره 3:

تصمیم گیری:

عضو آزاد معادله منفی است، که به معنی محصول ریشه - تعداد منفی است. این ممکن است تنها اگر یکی از ریشه ها منفی باشد، و دیگری مثبت است. بنابراین مقدار ریشه ها برابر است تفاوت ماژول های آنها.

ما چنین جفتی از اعداد را که در کار داده می شود را انتخاب می کنیم و تفاوت آن برابر است:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست؛

و: - مناسب نیست؛

و: - مناسب نیست؛

و: - مناسب این تنها به یاد می آورد که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجا که مقدار آنها باید برابر باشد، پس منفی باید یک ماژول ریشه کوچکتر باشد :. بررسی:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

معادله داده شده است، و بنابراین:

عضو آزاد منفی است و بنابراین محصول ریشه منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی باشد، و دیگری مثبت است.

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن برابر است، و سپس ما تعریف می کنیم که ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است، تنها ریشه ها برای شرایط اول مناسب هستند و:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری:

معادله داده شده است، و بنابراین:

مقدار ریشه ها منفی است، به این معنی که حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجا که کار آنها مثبت است، به معنی هر دو ریشه با علامت منفی است.

ما چنین جفت اعداد را انتخاب خواهیم کرد، محصول آن عبارت است از:

بدیهی است، ریشه ها اعداد هستند و.

پاسخ:

موافقم، بسیار راحت است - به جای آن با توجه به این تبعیض تند و زننده، ریشه های خوراکی را به صورت خوراکی اختراع کنید. سعی کنید از قضیه Vieta تا آنجا که ممکن است استفاده کنید.

اما قضیه Vieta به منظور تسهیل و سرعت بخشیدن به پیدا کردن ریشه ها مورد نیاز است. برای کمک به شما از آن استفاده کنید، باید به اتوماستی اقدام کنید. و برای این، پاشنه های بیشتری از نمونه ها. اما نه پوسته پوسته شدن: تشخیص نمی تواند مورد استفاده قرار گیرد! فقط قضیه Vieta:

راه حل های کار برای کار مستقل:

وظیفه 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

در قضیه Vieta:

به طور معمول، ما انتخاب کار را آغاز می کنیم:

به دلیل مقدار مناسب نیست

: مقدار - آنچه شما نیاز دارید.

پاسخ:؛ .

وظیفه 2

و دوباره، قضیه Vieta مورد علاقه ما: در مقدار باید تبدیل شود، و کار برابر است.

اما از آنجایی که نباید باشد، اما علائم ریشه ها را تغییر دهید و (در مقدار).

پاسخ:؛ .

وظیفه 3

hmm ... و کجا چیست؟

لازم است تمام شرایط را در یک بخش انتقال دهیم:

مقدار ریشه ها برابر است، کار.

بنابراین، توقف! معادله داده نشده است. اما قضیه Vieta تنها در معادلات فوق قابل استفاده است. بنابراین ابتدا باید معادله را بیاورید. اگر کار نکنید، این ایده را بچرخانید و به شیوه ای متفاوت تصمیم بگیرید (به عنوان مثال از طریق تبعیض آمیز). اجازه دهید به شما یادآوری کنم که معادله مربع را به ارمغان بیاورد - این بدان معنی است که ضریب ارشد را به:

عالی. سپس مقدار ریشه ها برابر است، و کار.

در اینجا ساده تر است انتخاب کنید ساده تر: پس از همه، یک شماره ساده (متاسفم برای tautology).

پاسخ:؛ .

وظیفه 4

عضو آزاد منفی است در این چه خاص است؟ و این واقعیت که ریشه ها علائم مختلفی خواهد بود. و در حال حاضر در طول انتخاب، ما مقدار ریشه ها را بررسی نمی کنیم، اما تفاوت بین ماژول های آنها: این تفاوت برابر است، و کار.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند، اما یکی از آنها با منهای. تئوری Vieta به ما می گوید که مقدار ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است، یعنی. بنابراین منهای یک ریشه کوچکتر خواهد بود: و از آن زمان.

پاسخ:؛ .

وظیفه 5

چه چیزی باید برای اولین بار انجام شود؟ راست، معادله را به ارمغان بیاورید:

باز هم: ما ضرب کننده تعداد را انتخاب می کنیم، و تفاوت آنها باید برابر باشد:

ریشه ها برابر هستند و یکی از آنها با منهای. چی؟ مقدار آنها باید برابر باشد، به این معنی است که منهای ریشه بزرگتر خواهد بود.

پاسخ:؛ .

من خلاصه خواهم کرد:

1. قضیه Vieta تنها در معادلات مربع داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه Vieta شما می توانید ریشه ها را انتخاب کنید، به صورت خوراکی.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفتی از ضرب کننده های یک عضو آزاد وجود ندارد، به این معنی که هیچ ریشه ای کامل وجود ندارد و لازم است که روش دیگری را حل کنیم (به عنوان مثال از طریق تبعیض آمیز).

3. روش تخصیص یک مربع کامل

اگر تمام اصطلاحات شامل ناشناخته، برای ارائه در قالب اجزای ضریب ضریب ضریب جمع یا تفاوت، پس از جایگزینی متغیرها، معادله ای در قالب یک معادله مربع ناقص نوع می تواند نشان داده شود .

مثلا:

مثال 1:

معادله را انتخاب کنید :.

تصمیم گیری:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را انتخاب کنید :.

تصمیم گیری:

پاسخ:

به طور کلی، تحول به نظر می رسد:

این دلالت می کنه که: .

هیچ چیز به یاد نمی آورد؟ این تبعیض است! این، فرمول تبعیض آمیز است.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی

معادله درجه دوم- این معادله گونه است، جایی که - ناشناخته، - ضرایب معادله مربع، یک عضو آزاد است.

معادله مربع کامل - معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیست.

معادله مربع کاهش یافته - معادله ای که ضریب آن است، یعنی:.

معادله مربع ناقص - معادله ای که در آن ضریب و عضو آزاد صفر است:

• اگر ضریب، معادله این است:
• اگر یک عضو آزاد، معادله فرم را داشته باشد:
• اگر معادله فرم را داشته باشد:.

1. الگوریتم حل معادلات مربع ناقص

1.1. معادله مربع ناقص گونه که در آن:

1) ابراز ناشناخته:

2) بررسی علامت بیان:

• اگر معادله راه حل نداشته باشد،
• اگر معادله دو ریشه داشته باشد.

1.2 معادله مربع ناقص گونه که در آن:

1) من کارخانه را برای براکت ها خلاصه می کنم:

2) محصول صفر است، اگر حداقل یکی از چند ضلعی صفر باشد. بنابراین، معادله دارای دو ریشه است:

1.3. معادله مربع ناقص گونه، جایی که:

این معادله همیشه تنها یک ریشه دارد :.

2. الگوریتم برای حل معادلات مربع کامل گونه که در آن

2.1. راه حل با کمک تبعیض آمیز

{!LANG-73954750f2864639813af5ee91f8b545!}

{!LANG-09609c126cacf25101eb0021d036c47a!}

{!LANG-a37fd059118e71d5d0f657fcec3f5032!}

• {!LANG-d56a2abcb830ca58afc4baaaf915d5e7!}
• {!LANG-685fa3c0e4123080a38075fc46a8abc3!}
• {!LANG-98eae7535e4cfa70b2675873520ee5f6!}

{!LANG-283bc7ce4b072b23d72a0c0847c07d3e!}

{!LANG-61d895516753df914cb04fa2a63ca3bf!}

{!LANG-6d1cda62665b7b88deda8bbeebbeaef9!}