کدام عبارات پیشرفت محاسباتی است. پیشرفت جبری

به عنوان مثال، دنباله \\ (2 \\)؛ \\ (پنج \\)؛ \\ (هشت \\)؛ \\ (یازده \\)؛ \\ (14 \\) ... پیشرفت محاسباتی است، زیرا هر عنصر بعدی از قبل متفاوت است (می تواند از آن اضافه شده از ترستین اضافه شود):

در این پیشرفت، تفاوت \\ (d \\) مثبت است (برابر با \\ (3 \\))، و در نتیجه هر عضو بعدی بیشتر از قبلی است. چنین پیشرفتی نامیده می شود افزایش.

با این حال، \\ (d \\) ممکن است یک عدد منفی باشد. مثلا، که در پیشرفت حساب \\ (شانزده)؛ \\ (10 \u200b\u200b\\)؛ \\ (چهار \\)؛ \\ (- 2 \\)؛ \\ (- 8 \\) ... تفاوت پیشرفت \\ (d \\) منهای شش است.

و در این مورد، هر عنصر بعدی کمتر از گذشته خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند نزولی.

تعیین پیشرفت حسابداری

پیشرفت با یک نامه کوچک لاتین مشخص می شود.

اعداد شکل گیری پیشرفت آن را دارند اعضا (یا عناصر).

آنها با همان حرف به عنوان یک پیشرفت محاسباتی نشان داده می شوند، اما با یک شاخص عددی برابر با عدد عنصر به ترتیب.

به عنوان مثال، پیشرفت محاسباتی \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2؛ 5؛ 8؛ 11؛ 14 ... \\ right \\) \\) متشکل از عناصر \\ (a_1 \u003d 2 \\)؛ \\ (a_2 \u003d 5 \\)؛ \\ (a_3 \u003d 8 \\) و غیره

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2، 5؛ 8؛ 11؛ 14 ... \\ right \\) \\)

وظایف حل برای پیشرفت ریاضی

در اصل، اطلاعات فوق در حال حاضر به اندازه کافی برای حل تقریبا هر کار در زمینه پیشرفت حساب (از جمله کسانی که ارائه شده در OGE).

مثال (OGE). پیشرفت محاسباتی توسط شرایط \\ (b_1 \u003d 7؛ d \u003d 4 \\) تنظیم شده است. پیدا کردن \\ (b_5 \\).
تصمیم گیری:

پاسخ: \\ (B_5 \u003d 23 \\)

مثال (OGE). سه عضو اول پیشرفت ریاضی داده می شود: \\ (62؛ 49؛ 36 ... \\) ارزش اول عضو منفی این پیشرفت را پیدا کنید ..
تصمیم گیری:

	ما عناصر اول دنباله را داده ایم و شناخته شده است که این پیشرفت محاسباتی است. به عبارت دیگر، هر عنصر متفاوت از همان تعداد همسایه است. ما در مورد چه چیزی، از عنصر بعدی قبلی یاد می گیریم: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\).
	در حال حاضر ما می توانیم پیشرفت خود را به یکی از ما نیاز (اول منفی) را بازگردانیم.
	آماده. شما می توانید یک پاسخ بنویسید

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). عناصر پیشرفت محاسباتی محاسباتی عناصر پیشرفت محاسباتی وجود دارد: \\ (... 5؛ x؛ 10؛ 12.5 ... \\) مقدار عنصر نشان داده شده توسط نامه \\ (x \\) را تعیین می کند.
تصمیم گیری:

	برای پیدا کردن \\ (x \\)، ما باید بدانیم که چه مقدار عنصر بعدی از قبل متفاوت است، به عبارت دیگر - تفاوت پیشرفت. ما آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا خواهیم کرد: \\ (d \u003d 12.5-10 \u003d 2.5 \\).
	و در حال حاضر بدون هیچ مشکلی ما مورد نظر را پیدا می کنیم: \\ (X \u003d 5 + 2.5 \u003d 7.5 \\).
	آماده. شما می توانید یک پاسخ بنویسید

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشرفت ریاضی توسط شرایط زیر تنظیم می شود: \\ (a_1 \u003d -11 \\)؛ \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) مجموع شش عضو اول این پیشرفت را پیدا کنید.
تصمیم گیری:

ما باید مقدار شش عضو اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما ما ارزش های خود را نمی دانیم، ما تنها عنصر اول را ارائه می دهیم. بنابراین، ابتدا مقادیر را به نوبه خود با استفاده از این به ما محاسبه کنید: \\ (n \u003d 1 \\)؛ \\ (a_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\) \\ (n \u003d 2)؛ \\ (a_ (2 + 1) \u003d a_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\) \\ (n \u003d 3 \\)؛ \\ (a_ (3 + 1) \u003d a_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4 \\) و محاسبه شش عنصر ما نیاز داریم - ما مجموع آنها را پیدا می کنیم.

\\ (s_6 \u003d a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \u003d \\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

مقدار مورد نظر یافت شد.

پاسخ: \\ (s_6 \u003d 9 \\).

مثال (OGE). در پیشرفت ریاضی \\ (a_ (12) \u003d 23 \\)؛ \\ (a_ (16) \u003d 51 \\). تفاوت در این پیشرفت را پیدا کنید.
تصمیم گیری:

پاسخ: \\ (d \u003d 7 \\).

فرمول های مهم برای پیشرفت ریاضی

همانطور که می بینید، بسیاری از وظایف در پیشرفت محاسباتی را می توان حل کرد، به سادگی چیز اصلی را درک کرد - پیشرفت محاسباتی یک زنجیره ای از اعداد است، و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن به یک و همان شماره ( تفاوت پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات شرایطی وجود دارد که کاملا ناراحت کننده باشد که تصمیم بگیرد "در پیشانی". به عنوان مثال، تصور کنید که در مثال اول، ما باید یک عنصر پنجم و نه پنجم \\) و سه صد هشتاد و شش \\ (B_ (386) را پیدا کنیم. این چیزی است که ایالات متحده \\ (385 \\) برای اضافه کردن چهار بار؟ یا تصور کنید که در مثال آخر، لازم است که مجموع هفتاد و سه عنصر را پیدا کنید. شکنجه را در نظر بگیرید ...

بنابراین، در چنین مواردی، "در پیشانی" حل نمی شود، اما از فرمول های ویژه مشتق شده برای پیشرفت محاسباتی استفاده می شود. و اصلی ترین آنها فرمول یک عضو نامعتبر از پیشرفت و فرمول مقدار \\ (n \\) از اعضای اول است.

فرمول \\ (n \\) - عضو: \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\)، که در آن \\ (a_1 \\) اولین دوره پیشرفت است؛
\\ (n \\) - تعداد عنصر هنری؛
\\ (a_n \\) عضو پیشرفت با شماره \\ (n \\) است.

این فرمول به ما اجازه می دهد تا به سرعت حداقل سه صد، حداقل یک میلیون عنصر را پیدا کنیم، دانستن تنها اولین و تفاوت پیشرفت.

مثال. پیشرفت محاسباتی توسط شرایط تنظیم شده است: \\ (B_1 \u003d -159 \\)؛ \\ (d \u003d 8.2 \\). پیدا کردن \\ (B_ (246) \\).
تصمیم گیری:

پاسخ: \\ (B_ (246) \u003d 1850 \\).

فرمول مقدار اعضاء اول: \\ (s_n \u003d \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\ cdot n \\)، جایی که

\\ (a_n \\) - آخرین عضو جمع آوری شده؛

مثال (OGE). پیشرفت ریاضی توسط شرایط \\ (A_N \u003d 3.4N-0.6 \\) تنظیم شده است. مقدار اول \\ (25 \\) اعضای این پیشرفت را پیدا کنید.
تصمیم گیری:

\\ (s_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\)		برای محاسبه مقدار بیست و پنج عنصر اول، ما باید ارزش عضو اول و بیست و پنجم را بدانیم. پیشرفت ما توسط فرمول یک عضو enon بسته به تعداد آن خواسته می شود (جزئیات بیشتر را ببینید). بیایید اولین عنصر را محاسبه کنیم، جایگزینی به جای \\ (n \\) یک واحد.
\\ (n \u003d 1؛ \\) \\ (a_1 \u003d 3.4 · 1-0.6 \u003d 2.8 \\)		حالا ما عضو بیست و پنجم را پیدا خواهیم کرد، جایگزین به جای \\ (n \\) بیست و پنج.
\\ (n \u003d 25؛ \\) \\ (a_ (25) \u003d 3.4 · 25-0.6 \u003d 84.4 \\)		خوب، و در حال حاضر بدون هیچ مشکلی، ما مقدار مورد نظر را محاسبه می کنیم.
\\ (s_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (2.8 + 84.4) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		پاسخ آماده است

پاسخ: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).

برای مقدار \\ (n \\) اعضای اول، شما می توانید فرمول دیگری را دریافت کنید: شما فقط نیاز به \\ (s_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ CDOT 25 \\) به جای \\ (a_n \\)، فرمول را برای آن جایگزین کنید \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\). ما گرفتیم:

فرمول مقدار اعضاء اول: \\ (s_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)، جایی که

\\ (S_N \\) مقدار مورد نظر \\ (n \\) عناصر اول است؛
\\ (A_1 \\) - اولین عضو خلاصه؛
\\ (d \\) - تفاوت پیشرفت؛
\\ (n \\) - تعداد عناصر در مقدار.

مثال. مقدار اول \\ (33 \\) را پیدا کنید - سابق اعضای برنامه پیشرفت حساب: \\ (17 \\)؛ \\ (15.5 \\)؛ \\(چهارده\\)…
تصمیم گیری:

پاسخ: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).

وظایف پیچیده تر برای پیشرفت ریاضی

در حال حاضر شما تمام اطلاعات لازم را برای حل تقریبا هر کار در زمینه پیشرفت محاسباتی دارید. موضوع را با توجه به وظایف که در آن آسان نیست استفاده از فرمول ها آسان نیست، بلکه به فکر کمی (در ریاضیات آن مفید است ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام اعضای منفی پیشرفت را پیدا کنید: \\ (- 19.3 \\)؛ \\ (- نوزده \\)؛ \\ (- 18.7 \\) ...
تصمیم گیری:

\\ (s_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		وظیفه بسیار شبیه به قبلی است. ما همچنین شروع به حل: اول ما پیدا کردن \\ (d \\).
\\ (d \u003d a_2-a_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0.3 \\)		در حال حاضر من جایگزین \\ (d \\) در فرمول برای مقدار ... و در اینجا nuance کوچک ظاهر می شود - ما نمی دانیم \\ (n \\). به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عضو باید بسته شوند. چگونه می توان پیدا کرد؟ بیایید فکر کنیم هنگامی که ما به اولین عنصر مثبت برسیم، عناصر تاشو را متوقف می کنیم. به این ترتیب، شما باید تعداد این مورد را بدانید. چطور؟ ما فرمول را برای محاسبه هر عنصر پیشرفت محاسباتی نوشتیم: \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\) برای مورد ما.
\\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\)
\\ (a_n \u003d -19،3 + (n - 1) · 0.3 \\)		ما نیاز داریم، به طوری که \\ (a_n \\) صفر تر شده است. بنابراین، با چه \\ (n \\) اتفاق می افتد.
\\ (- 19.3+ (n - 1) · 0،3\u003e 0 \\)
\\ ((n - 1) · 0،3\u003e 19.3 \\) \\ (|: 0.3 \\)		ما هر دو بخش نابرابری را در \\ (0.3 \\) تقسیم می کنیم.
\\ (n-1\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\)		حمل منهای یکی، فراموش نکنید که علائم را تغییر دهید
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1 \\)		محاسبه ...
\\ (n\u003e 65،333 ... \\)		... و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت شماره \\ (66 \\) داشته باشد. بر این اساس، منفی دوم دارای \\ (n \u003d 65 \\) است. فقط در مورد، آن را بررسی کنید.
\\ (n \u003d 65؛ \\) \\ (a_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0.3 \u003d -0.1 \\) \\ (n \u003d 66؛ \\) \\ (a_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) · 0.3 \u003d 0.2 \\)		بنابراین، ما باید عناصر اول \\ (65 \\) را از بین ببریم.
\\ (s_ (65) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \\)\\ (\\ cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (((- 38،6 + 19.2) (2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630.5 \\)		پاسخ آماده است

پاسخ: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\).

مثال (OGE). پیشرفت ریاضی توسط شرایط تنظیم شده است: \\ (a_1 \u003d -33 \\)؛ \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\). مجموع را از \\ (26 \\) به عنصر \\ (42 \\) فراگیر پیدا کنید.
تصمیم گیری:

\\ (a_1 \u003d -33؛ \\) \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\)	این وظیفه همچنین نیاز به پیدا کردن مقدار عناصر، اما شروع از اول، و c \\ (26 \\). برای چنین مواردی، ما هیچ فرمولهایی نداریم. چگونه حل شود؟ آسان - برای دریافت مقدار از \\ (26 \\) - برو به \\ (42 \\) - آه، لازم است برای اولین بار پیدا کردن مقدار از \\ (1 \\) - wow \\ (42 \\) - اوه، و سپس کسر مقدار آن از اول به \\ (25 \\) - CSO (تصویر را ببینید).
	برای پیشرفت ما \\ (a_1 \u003d -33 \\)، و تفاوت \\ (d \u003d 4 \\) (پس از همه، ما به عنصر قبلی به مورد قبلی اضافه می کنیم تا یکی بعدی را پیدا کنیم). دانستن این، ما مقدار اول \\ (42 \\) را پیدا خواهیم کرد.
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ cdot 42 \u003d 2058 \\)	در حال حاضر مقدار اول \\ (25 \\) عناصر.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (2 \\ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	و در نهایت، ما پاسخ را محاسبه می کنیم.
\\ (s \u003d s_ (42) -s_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

پاسخ: \\ (S \u003d 1683 \\).

برای پیشرفت ریاضی، فرمول های متعددی وجود دارد که ما به دلیل ابزار عملی کوچک آنها در این مقاله در نظر گرفته نشده است. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.

I. V. Yakovlev | مواد ریاضی | mathus.ru

پیشرفت حساب

پیشرفت ریاضی یک توالی فرم خاص است. بنابراین، قبل از تعریف پیشرفت ریاضی (و سپس پیشرفت هندسی)، ما باید به طور خلاصه در مورد مفهوم مهم توالی عددی بحث کنیم.

توالی

تصور کنید دستگاه بر روی صفحه نمایش که برخی از اعداد نمایش داده می شود. بیایید بگویم 2؛ 7؛ 13؛ یکی؛ 6؛ 0؛ 3؛ ::::: یک مجموعه ای از اعداد فقط یک نمونه از دنباله است.

تعریف. توالی عددی مجموعه ای از اعداد است که در آن هر شماره شما می توانید یک شماره منحصر به فرد (یعنی یک عدد طبیعی واحد را تشکیل دهید) 1. شماره n شماره نامیده می شود n-m دیک توالی ها

بنابراین، در مثال بالا، شماره اول شماره 2 دارای اولین عضو دنباله ای است که می تواند توسط A1 نشان داده شود؛ شماره پنج دارای شماره 6 عضو پنجم دنباله است که می تواند توسط A5 نشان داده شود. در همه، عضو n-th دنباله توسط یک (یا BN، CN، و غیره) نشان داده شده است.

وضعیت بسیار راحت است زمانی که عضو n-th از دنباله می تواند برای برخی از فرمول خواسته شود. به عنوان مثال، فرمول AN \u003d 2N 3 مجموعه دنباله: 1؛ یکی؛ 3؛ پنج؛ 7؛ :::: فرمول AN \u003d (1) N مجموعه دنباله: 1؛ یکی؛ یکی؛ یکی؛ :: :::

تعداد زیادی از اعداد دنباله ای نیست. بنابراین، بخش توالی نیست؛ این شامل بسیاری از اعداد بسیاری است تا آنها بتوانند اجاره کنند. مجموعه R از تمام اعداد معتبر نیز یک دنباله نیست. این حقایق در جریان تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت شده است.

پیشرفت محاسباتی: تعاریف اساسی

اکنون ما آماده هستیم تا پیشرفت ریاضی را تعریف کنیم.

تعریف. پیشرفت محاسباتی یک دنباله است، هر عضو که (از ثانیه شروع می شود) برابر با مقدار عضو قبلی و برخی از شماره ثابت است (به نام تفاوت در پیشرفت محاسباتی).

به عنوان مثال، یک دنباله 2؛ پنج؛ هشت؛ یازده ::: این پیشرفت محاسباتی با اولین دوره 2 و تفاوت 3. توالی 7؛ 2؛ 3؛ هشت؛ ::: این پیشرفت محاسباتی با درجه اول 7 و تفاوت 5. دنباله 3؛ 3؛ 3؛ ::: این پیشرفت محاسباتی با تفاوت برابر برابر صفر است.

تعریف معادل: دنباله A به نام پیشرفت محاسباتی نامیده می شود اگر تفاوت آن + 1 مقدار دائمی (مستقل از n) باشد.

پیشرفت ریاضی افزایش می یابد اگر تفاوت آن مثبت باشد و اگر تفاوت آن منفی باشد، کاهش می یابد.

1 اما تعریف بیشتر لاکونیک: دنباله یک تابع تعریف شده در مجموعه است اعداد طبیعی. به عنوان مثال، دنباله ای از شماره های معتبر دارای عملکرد F: N است! R.

توالی پیش فرض بی پایان در نظر گرفته شده است، یعنی تعداد زیادی تعداد بی نهایت. اما هیچ کس نمی تواند توالی های نهایی را در نظر بگیرد؛ در واقع، هر مجموعه محدودی از اعداد را می توان به ترتیب نهایی نامیده می شود. به عنوان مثال، دنباله نهایی 1؛ 2؛ 3؛ چهار؛ 5 شامل پنج عدد است.

فرمول عضو N-th از پیشرفت ریاضی

آسان است درک کنید که پیشرفت محاسباتی به طور کامل توسط دو عدد تعیین می شود: اولین عضو و تفاوت. بنابراین، این سوال مطرح می شود: چگونه، دانستن اولین دوره و تفاوت، یک عضو دلخواه خود را از پیشرفت محاسباتی پیدا کنید؟

دریافت فرمول مورد نظر از عضو N-th از پیشرفت محاسباتی دشوار نیست. اجازه دهید یک

پیشرفت محاسباتی با تفاوت D. ما داریم:
+ 1 \u003d an + d (n \u003d 1؛ 2؛:: :):
به طور خاص، ما نوشتیم:
a2 \u003d a1 + d؛
a3 \u003d a2 + d \u003d (a1 + d) + d \u003d a1 + 2d؛
a4 \u003d A3 + D \u003d (A1 + 2D) + D \u003d A1 + 3D؛
و اکنون روشن می شود که فرمول برای یک فرم دارای فرم است:
aN \u003d A1 + (n 1) D:

وظیفه 1. در پیشرفت ریاضی 2؛ پنج؛ هشت؛ یازده :::: فرمول عضو N-th را پیدا کنید و صد نفر را محاسبه کنید.

تصمیم گیری با توجه به فرمول (1) ما داریم:

aN \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

اموال و نشانه پیشرفت محاسباتی

اموال پیشرفت ریاضی. در پیشرفت ریاضی برای هر یک

به عبارت دیگر، هر عضو پیشرفت محاسباتی (از ثانیه شروع می شود) یک عضو همسایه محاسباتی میانی است.

	شواهد و مدارک. ما داریم:
	a n 1 + a n + 1		(d) + (an + d)

چه اتفاقی افتاد

بیشتر مسیر مشترک، برای پیشرفت ریاضی یک برابری عادلانه است

n \u003d a n k + a n + k

با هر n\u003e 2 و هر k طبیعی< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

به نظر می رسد که فرمول (2) نه تنها لازم است، بلکه شرایط کافی را نیز فراهم می کند که توالی پیشرفت محاسباتی است.

نشانه پیشرفت محاسباتی. اگر هیچ برابری (2) برای همه n\u003e 2 انجام نمی شود، سپس دنباله یک پیشرفت محاسباتی است.

شواهد و مدارک. ما فرمول را بازنویسی می کنیم (2) به شرح زیر است:

a n a n 1 \u003d a n + 1 a n:

می توان دید که تفاوت + 1 AN به N وابسته نیست، و این فقط به این معنی است که توالی یک پیشرفت محاسباتی است.

اموال و نشانه پیشرفت محاسباتی را می توان به صورت یک بیانیه فرموله کرد. ما آن را برای راحتی برای سه عدد ایجاد خواهیم کرد (این وضعیت اغلب در وظایف یافت می شود).

مشخصه پیشرفت محاسباتی. سه عدد A، B، C یک پیشرفت محاسباتی را تشکیل می دهند و تنها اگر 2b \u003d a + c باشد.

وظیفه 2. (MSU، ESCU. FT، 2007) سه عدد 8x، 3 x2 و 4 در روش مشخص شده، پیشرفت محاسباتی را کاهش می دهند. X را پیدا کنید و تفاوت این پیشرفت را نشان دهید.

تصمیم گیری توسط اموال پیشرفت محاسباتی، ما داریم:

2 (3 x2) \u003d 8x 4، 2x2 + 8x 10 \u003d 0، x2 + 4x 5 \u003d 0، x \u003d 1؛ x \u003d 5:

اگر x \u003d 1، پس از آن، پیشرفت کاهش 8، 2، 4 با تفاوت 6 به دست می آید. اگر x \u003d 5، پس از آن، پیشرفت فزاینده به دست می آید 40، 22، 4؛ این مورد مناسب نیست

پاسخ: x \u003d 1، تفاوت برابر با 6 است.

مجموع اعضای اولین N عضو پیشرفت محاسباتی

افسانه می گوید که یک روز معلم دستور داد که کودکان را به جمع آوری مجموع اعداد از 1 تا 100 برسد و به آرامی روزنامه را بخواند. با این حال، چند دقیقه گذشت، به عنوان یک پسر گفت که او تصمیم گرفت. این کارل فریدریش گاوس 9 ساله بود، سپس یکی از بزرگترین ریاضیدانان در تاریخ بود.

ایده یک گاوس کوچک به شرح زیر بود. بیایید

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

ما این مقدار را در جهت معکوس بنویسیم:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1؛

و دو مورد از این فرمول ها را بگذارید:

2s \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

هر اصطلاح در براکت برابر با 101 است، و تمام چنین شرایطی 100. بنابراین

2S \u003d 101 100 \u003d 10100؛

ما از این ایده برای خروجی مبلغ مبلغ استفاده می کنیم.

s \u003d a1 + a2 + :: + + a + a n n: (3)

اصلاح مفید فرمول (3) به دست می آید اگر آنها جایگزین فرمول N-th عضو AN \u003d A1 + (n 1) D:

		2a1 + (n 1) d

وظیفه 3. مجموع مجموع شماره های سه رقمی مثبت تقسیم شده توسط 13 را پیدا کنید.

تصمیم گیری اعداد سه رقمی، متعدد 13، فرم پیشرفت محاسباتی را با اولین عضو 104 و تفاوت بین 13 تشکیل می دهند. عضو n-th این پیشرفت عبارتند از:

aN \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13N:

بیایید متوجه شویم که چگونه بسیاری از اعضای پیشرفت ما شامل می شوند. برای انجام این کار، حل نابرابری:

6 999؛ 91 + 13N 6 999؛

n 6 908 13 \u003d 6911 13؛ n 6 69:

بنابراین، در پیشرفت ما 69 عضو. توسط فرمول (4) ما مقدار جستجو را پیدا می کنیم:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

بنابراین، نشستن و شروع به نوشتن هر عدد. مثلا:
شما می توانید هر شماره بنویسید، و آنها می توانند به هر حال (در مورد ما). چند عدد ما نوشته ایم، ما همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها دوم است و به همین ترتیب به آخر، یعنی ما می توانیم آنها را بی حس کنیم. این یک نمونه از یک توالی عددی است:

دنباله شماره
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده تنها برای یک تعداد توالی مشخص است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. شماره دوم (به عنوان یک عدد) همیشه یکی است.
شماره با شماره یک عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولا تمام دنباله ها را می خوانیم (به عنوان مثال،)، و هر عضو این دنباله یک نامه با شاخص برابر با تعداد این عضو است :.

در مورد ما:

فرض کنید ما داریم دنباله شمارهکه در آن تفاوت بین تعداد همسایه ها یکسان و برابر است.
مثلا:

و غیره.
چنین توالی عددی، پیشرفت محاسباتی نامیده می شود.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی بوزیم در قرن ششم معرفی شد و به معنای گسترده تر به عنوان یک توالی عددی بی نهایت شناخته شد. نام "ریاضی" از نظریه نسبت های مداوم، که در یونانیان باستان مشغول به کار بود منتقل شد.

این یک توالی عددی است، هر عضو که برابر با قبلی است، با همان شماره بسته بندی شده است. این شماره تفاوت در پیشرفت محاسباتی نامیده می شود و نشان داده شده است.

سعی کنید تعیین کنید که کدام توالی های عددی پیشرفت محاسباتی هستند و نه:

آ)
ب)
ج)
د)

کشف؟ مقایسه پاسخ ما:
هست یک پیشرفت ریاضی - B، c.
نیست پیشرفت ریاضی - A، D.

بیایید به یک پیشرفت معین بازگردیم () و سعی کنید معنی آن را پیدا کنید - یک عضو. وجود دارد دو چگونه آن را پیدا کنید

1. روش

ما می توانیم به ارزش قبلی تعداد پیشرفت اضافه کنیم، تا زمانی که ما قبل از پیشرفت پیشرفت انجام دهیم. خوب است که ما باید کمی چپ را خلاصه کنیم - تنها سه معانی:

بنابراین، یک عضو از پیشرفت ریاضی توصیف شده برابر است.

2. روش

و اگر ما نیاز به پیدا کردن معنی یک عضو از پیشرفت داشته باشیم؟ جمع شدن ما را یک ساعت طول نخواهد کشید و نه این واقعیت که ما هنگام اضافه کردن اعداد اشتباه نخواهیم کرد.
البته، ریاضیات با یک روش مطرح شد که نیازی به اضافه کردن تفاوت در پیشرفت محاسباتی به ارزش قبلی نیست. به دقت نگاه کنید به طراحی کشیده شده ... مطمئنا شما قبلا متوجه برخی از منظم بودن، یعنی:

به عنوان مثال، بیایید ببینیم ارزش یک عضو از این پیشرفت محاسباتی چیست؟


به عبارت دیگر:

سعی کنید اهمیت یک عضو از این پیشرفت محاسباتی را به این طریق پیدا کنید.

محاسبه شد؟ سوابق خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفا توجه داشته باشید که دقیقا همان شماره را در روش قبلی دارید، زمانی که ما به طور مداوم به ارزش قبلی اعضای پیشرفت محاسباتی اضافه شدیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را شناسایی کنیم - ما آن را به آن می دهیم فرم عمومی و دریافت:

معادله پیشرفت محاسباتی.

پیشرفت محاسباتی افزایش می یابد و کاهش می یابد.

افزایش - پیشرفت هایی که در آن هر مقدار بعدی اعضا بیش از یک قبلی است.
مثلا:

نزولی - پیشرفت هایی که هر مقدار بعدی اعضا کمتر از گذشته است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه اعضای هر دو در افزایش و کاهش اعضای پیشرفت محاسباتی اعمال می شود.
آن را در عمل بررسی کنید.
ما به پیشرفت محاسباتی داده می شود، متشکل از شماره های زیر است: بررسی تعداد این پیشرفت محاسباتی، اگر از فرمول ما هنگام محاسبه آن استفاده می کنید:

از آن به بعد:

بنابراین، ما اطمینان دادیم که فرمول هر دو در پیشرفت محاسباتی نزولی و افزایش می یابد.
سعی کنید اعضای خود را از این پیشرفت محاسباتی پیدا کنید.

مقایسه نتایج به دست آمده:

اموال پیشرفت ریاضی

تکمیل وظیفه - برداشتن اموال پیشرفت محاسباتی.
فرض کنید ما چنین شرایطی داده ایم:
- پیشرفت حساب، پیدا کردن یک مقدار.
آسان، شما می گویید، و شما شروع به در نظر گرفتن فرمول که قبلا به شما شناخته شده است:

اجازه دهید، و سپس:

کاملا درست است به نظر می رسد، ما برای اولین بار پیدا می کنیم، سپس آن را به شماره اول اضافه کنید و مورد نظر را دریافت کنید. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، در این مورد هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد و اگر شماره به ما داده شود؟ موافقم، فرصتی برای اشتباه در محاسبات وجود دارد.
و اکنون فکر می کنم این مشکل را در یک اقدام با استفاده از هر فرمول حل می کند؟ البته، بله، و او این است که ما سعی خواهیم کرد آن را در حال حاضر به ارمغان بیاورد.

ما عضو مورد نظر پیشرفت محاسباتی را نشان می دهیم، فرمول موقعیت مکانی آن به ما شناخته شده است - این فرمول بسیار مشتق شده توسط ما در ابتدا است:
، سپس:

• پیشرفت دوره قبلی:
• عضو بعدی پیشرفت این است:

ما اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه می کنیم:

به نظر می رسد که مجموع اعضای پیشین و بعدی پیشرفت، ارزش دوگانه یک عضو از پیشرفت است که بین آنها است. به عبارت دیگر، برای پیدا کردن ارزش یک عضو از پیشرفت با ارزش های شناخته شده قبلی و متوالی، لازم است آنها را اضافه کنید و تقسیم کنید.

درست است، ما همان شماره را گرفتیم. مواد را ببندید ارزش خود را برای پیشرفت خودتان محاسبه کنید، زیرا کاملا ساده است.

آفرین! شما تقریبا همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! این امر برای پیدا کردن تنها یک فرمول، که در افسانه ها بدون مشکل، یکی از بزرگترین ریاضیدانان همه زمان ها، "پادشاه ریاضیدانان" بود - کارل گاوس ...

هنگامی که کارل گاوسو 9 ساله بود، معلم مشغول چک کردن کارهای دانشجویان کلاس های دیگر، از کار زیر در درس خواسته بود: "شمار مجموع تمام اعداد طبیعی از (توسط منابع دیگر) شامل." تعجب معلم، زمانی که یکی از دانش آموزانش (این کارل گاوس) بود، در یک دقیقه پاسخ صحیح به مجموعه کار را داد، در حالی که اکثر همکلاسی های Mozelchka پس از محاسبه طولانی نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

جوان Karl Gauss متوجه برخی از منظم بودن، که شما به راحتی می توانید متوجه شوید.
فرض کنید ما یک پیشرفت محاسباتی داریم، متشکل از یک عضو است: ما باید مقدار این اعضای پیشرفت محاسباتی را پیدا کنیم. البته، ما می توانیم به صورت دستی تمام مقادیر را جمع کنیم، اما آنچه که باید انجام دهیم، اگر در این کار انجام شود، لازم است مقدار اعضای او را پیدا کنید، چگونه به دنبال گاوس بود؟

من پیشرفتم را به ما نشان خواهم داد. به دقت به شماره های اختصاصی نگاه کنید و سعی کنید اقدامات مختلف ریاضی را با آنها تولید کنید.


تلاش کرد؟ متوجه شدید؟ درست! مبلغ آنها برابر است

و در حال حاضر پاسخ، چقدر جفت هایی در پیشرفت به ما داده می شود؟ البته، دقیقا نیمی از تمام اعداد، یعنی است.
بر اساس این واقعیت است که مجموع دو عضو از پیشرفت محاسباتی برابر است، و چنین جفت برابر، ما دریافت کل مقدار این است:
.
بنابراین، فرمول برای مجموع اعضای اولین پیشرفت محاسباتی مانند این است:

در برخی از وظایف، ما برای ما ناشناخته است، اما تفاوت در پیشرفت شناخته شده است. سعی کنید فرمول خلاصه ای را جایگزین کنید، فرمول عضو.
چه کار کردین؟

آفرین! در حال حاضر ما به وظیفه ای باز می گردیم که کارل گاوس تنظیم شد: شمارش به طور مستقل، که برابر با مقدار اعداد، شروع از -Go، و مقدار اعداد از آن است.

چقدر انجام دادید؟
گاوس معلوم شد که میزان اعضا برابر است و میزان اعضا. آیا شما حل کرده اید؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای پیشرفت محاسباتی توسط دانشمند باستان یونان دیوفانتا در قرن سوم ثابت شد و در طول این مدت، مردم شوخ طبعی خود را با خواص پیشرفت محاسباتی مورد استفاده قرار دادند.
به عنوان مثال، تصور کنید مصر باستان و بزرگترین ساخت زمان - ساخت هرم ... شکل یک طرف را نشان می دهد.

پیشرفت شما کجاست؟ به دقت نگاه کنید و یک الگو را در تعداد بلوک های شن و ماسه در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


پیشرفت محاسباتی چیست؟ محاسبه چقدر بلوک ها برای ساخت یک دیوار ضروری است، اگر آجر بلوک در پایه قرار گیرد. من امیدوارم که شما حساب نخواهید کرد، انگشت خود را بر روی مانیتور هدایت کنید، آخرین فرمول را به یاد می آورید و همه چیزهایی که ما در مورد پیشرفت محاسباتی صحبت کردیم؟

که در این مورد پیشرفت به نظر می رسد این است :.
تفاوت پیشرفت محاسباتی.
تعداد اعضای پیشرفت محاسباتی.
ما اطلاعات ما را در آخرین فرمول ها جایگزین می کنیم (تعداد بلوک ها را در 2 روش محاسبه می کنیم).

روش 1

روش 2

و اکنون ممکن است بر روی مانیتور محاسبه شود: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما قرار دارند مقایسه کنید. ذخیره شده؟ به خوبی انجام شد، شما مجموع پیشرفت محاسبات محاسباتی را تسلط دادید.
البته، از بلوک های در پایین هرم ساخت نخواهند بود، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که چگونه بسیاری از آجر های شن و ماسه برای ساخت یک دیوار با چنین شرایطی مورد نیاز است.
مقابله
پاسخ درست - بلوک:

تمرین

وظایف:

1. ماشا به شکل تابستان شکل می گیرد. هر روز تعداد سکته ها را افزایش می دهد. چند بار ماشا بعد از چند هفته پس از آن، اگر او را در جلسه آموزش اول ساخته شده است.
2. مجموع تعداد اعداد عجیب و غریب موجود در آن چیست؟
3. چوب زینتی هنگام ذخیره سازی سیاهههای مربوط به ذخیره سازی به گونه ای است که هر لایه بالا شامل یک ورودی کمتر از قبلی است. چند تا از سیاهههای مربوط به یک سنگ تراشی، اگر پایه سنگ تراشی در حال وارد شدن به سیاهههای مربوط است.

پاسخ ها:

1. ما پارامترهای پیشرفت محاسباتی را تعریف می کنیم. در این مورد
   (هفته ها \u003d روز).

   پاسخ:دو هفته، ماشا باید یک بار در روز بماند.

2. اولین عدد فرد، آخرین شماره
   تفاوت پیشرفت محاسباتی.
   تعداد اعداد عجیب و غریب در نصف، با این حال، این واقعیت را با استفاده از فرمول عضو مورد علاقه پیشرفت محاسباتی بررسی خواهد کرد:

   اعداد واقعا شامل اعداد عجیب و غریب هستند.
   داده های موجود برای جایگزینی در فرمول:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد عجیب و غریب موجود در برابر است.

3. به یاد آوردن وظیفه در مورد هرم. برای مورد ما، a، از آنجا که هر لایه بالا بر روی یک ورودی کاهش می یابد، سپس فقط در یک دسته از لایه ها، یعنی.
   داده های جایگزین در فرمول:

   پاسخ:در مصالح ساختمانی سیاهههای مربوط است.

بیایید خلاصه کنیم

1. - توالی تعداد که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و برابر است. این اتفاق می افتد رشد و کاهش می یابد.
2. فرمول اقامت "یک عضو از پیشرفت محاسباتی توسط فرمول -، جایی که - تعداد اعداد در پیشرفت ثبت می شود ثبت می شود.
3. اموال اعضای پیشرفت حسابداری - - کجا - تعداد اعداد در پیشرفت.
4. مجموع اعضای پیشرفت حسابداری می توان به دو روش یافت می شود:
   
   کجا - تعداد مقادیر.

پیشرفت حساب سطح متوسط

دنباله شماره

بیایید نشستن و شروع به نوشتن هر عدد. مثلا:

شما می توانید هر شماره را بنویسید و هر جا می تواند وجود داشته باشد. اما شما همیشه می توانید بگویید کدام یک از آنها، دومین و غیره است، یعنی ما می توانیم آنها را بیاموزیم. این یک نمونه از یک توالی عددی است.

دنباله شماره - این تعداد زیادی از اعداد است، که هر کدام می توانند یک شماره منحصر به فرد اختصاص داده شوند.

به عبارت دیگر، هر شماره را می توان مطابق با یک عدد طبیعی خاص و تنها یکی قرار داد. و این شماره ما هیچ تعداد دیگری از این مجموعه را مناسب نخواهیم داشت.

شماره با شماره یک عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولا تمام دنباله ها را می خوانیم (به عنوان مثال،)، و هر عضو این دنباله یک نامه با شاخص برابر با تعداد این عضو است :.

بسیار راحت، اگر یک عضو از دنباله را می توان برای برخی از فرمول خواسته شد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را مشخص می کند:

و فرمول چنین توالی است:

به عنوان مثال، پیشرفت محاسباتی توالی است (اولین دوره در اینجا برابر است، و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول n-th عضو

ما چنین فرمول را می نامیم که در آن شما نیاز به دانستن قبلی یا بیشتر قبلا شناخته شده است:

برای پیدا کردن چنین فرمول، به عنوان مثال، عضو پیشرفت، ما باید 9 را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب، حالا چه چیزی روشن است؟

در هر ردیف، ما چند عدد را افزایش می دهیم. چی؟ بسیار ساده: این تعداد عضو فعلی منهای:

در حال حاضر بسیار راحت تر، درست است؟ بررسی:

به اشتراک گذاشتن خودم:

در پیشرفت ریاضی، فرمول عضو N-TH را پیدا کرده و یک عضو صدها را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

عضو اول برابر است. و تفاوت چیست؟ اما چی:

(این به این دلیل است که آن را تغییر می دهد که برابر با تفاوت اعضای متوالی پیشرفت است).

بنابراین، فرمول:

سپس یک عضو صدها این است:

مجموع تمام اعداد طبیعی از آن چیست؟

به گفته افسانه، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس، یک پسر 9 ساله است که این مقدار را در چند دقیقه در نظر گرفت. او خاطرنشان کرد که مجموع شماره اول و آخر برابر با مجموع دوم است و همچنین Penultimate - نیز مجموع سوم و سوم از پایان نیز، و غیره است. چقدر جفت؟ درست است، دقیقا نیمی از تعداد تمام اعداد، یعنی است. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع اعضای اولین پیشرفت محاسباتی مانند این است:

مثال:
مجموع تمام اعداد دو رقمی را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

اولین عدد این است. هر بعدی با اضافه کردن به شماره قبلی به دست می آید. بنابراین، اعداد شما علاقه مند به پیشرفت محاسباتی با اولین عضو و تفاوت.

عضو Formula -Go برای این پیشرفت:

چند نفر از اعضای پیشرفت، اگر همه آنها باید دو رقمی باشند؟

بسیار آسان: .

آخرین عضو پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مبلغ:

پاسخ:.

حالا تصمیم خواهم گرفت:

1. هر روز یک ورزشکار بر روی M بیشتر از روز قبل اجرا می شود. چه تعداد کل کیلومتر آن را برای یک هفته اجرا می کند، اگر در روز اول او km m m را اجرا کرد؟
2. دوچرخه سواری هر روز به KM بیشتر از قبل از آن رانندگی می کند. در روز اول، او KM را سوار کرد. چند روز او باید به غلبه بر KM برود؟ چند کیلومتر او را در روز آخر راه می گذرد؟
3. قیمت یخچال و فریزر در فروشگاه سالانه به همان مقدار کاهش می یابد. تعیین میزان قیمت یخچال و فریزر هر سال کاهش یافت، اگر در معرض فروش برای روبل، شش سال برای روبل فروخته شد.

پاسخ ها:

1. در اینجا مهمترین چیز این است که پیشرفت محاسباتی را تشخیص دهیم و پارامترهای آن را تعیین کنیم. در این مورد، (هفته ها \u003d روز). لازم است مقدار اول اعضای این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده شده است: شما باید پیدا کنید.
   بدیهی است، شما باید از همان فرمول خلاصه ای همانطور که در کار قبلی استفاده کنید استفاده کنید:
   .
   ما مقادیر را جایگزین می کنیم:

   ریشه بدیهی است مناسب نیست، به این معنی است که پاسخ.
   محاسبه مسیر تصویب شده در روز گذشته با کمک فرمول عضو:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. دانو: برای پیدا کردن :.
   این اتفاق نمی افتد:
   (RUB).
   پاسخ:

پیشرفت حساب به طور خلاصه در مورد چیز اصلی

این یک توالی عددی است که در آن تفاوت بین تعداد همسایه ها یکسان و برابر است.

پیشرفت محاسباتی افزایش می یابد () و کاهش ().

مثلا:

فرمول پیدا کردن یک عضو N-Bous از پیشرفت محاسباتی

این نوشته شده توسط فرمول، جایی که - تعداد اعداد در پیشرفت است.

اموال اعضای پیشرفت حسابداری

این باعث می شود که یک عضو پیشرفت را پیدا کنید، اگر اعضای همسایه آن شناخته شده باشند، جایی که تعداد اعداد در پیشرفت هستند.

مقدار اعضای پیشرفت حسابداری

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

کجا - تعداد مقادیر.

کجا - تعداد مقادیر.

مقالات باقی مانده 2/3 تنها به دانشجویان یوگور در دسترس هستند!

تبدیل شدن به یک دانش آموز دودیکور،

آماده شدن برای OGE یا EGE در ریاضیات در قیمت "فنجان قهوه در هر ماه"،

و همچنین برای دسترسی نامحدود به کتاب درسی "یوکولر"، برنامه آماده سازی (Reshebnik) "100GIA"، نامحدود محاکمه و OGE، 6000 وظیفه با تصمیمات و سایر خدمات یورکور و 100GIA.