خطای مطلق خطای محاسبه مطلق و نسبی

X = X cf X

مطلق

خطا

نسبت فامیلی

خطا

a + ب

a + ب

اجازه دهید برخی از متغیرهای تصادفی آاندازه گیری شده nبار در همان شرایط نتایج اندازه گیری یک مجموعه است nاعداد مختلف

خطای مطلق- ارزش بعدی در میان nمقادیر خطاهای مطلق لزوماً مثبت و منفی یافت می شوند.

برای محتمل ترین مقدار ولیمعمولاً بگیرند میانگینمقدار اندازه گیری

.

هرچه تعداد اندازه گیری ها بیشتر باشد ، مقدار متوسط ​​به مقدار واقعی نزدیکتر است.

خطای مطلقمن

.

خطای مربوطهمنبعد بعدی کمیت نامیده می شود

خطای نسبی کمیتی بدون بعد است. معمولاً خطای نسبی برای این منظور به صورت درصد بیان می شود من مندر 100٪ ضرب کنید. اندازه خطای نسبی ، دقت اندازه گیری را مشخص می کند.

میانگین خطای مطلقاینگونه تعریف شده است:

.

ما بر لزوم جمع بندی مقادیر مطلق (مدول) مقادیر D تأکید می کنیم a مندر غیر این صورت ، یک نتیجه صفر یکسان بدست می آید.

خطای نسبی متوسطکمیت نامیده می شود

.

با تعداد زیادی اندازه گیری.

خطای نسبی را می توان مقدار خطا در واحد مقدار اندازه گیری شده دانست.

صحت اندازه گیری ها بر اساس مقایسه اشتباهات نتایج اندازه گیری قضاوت می شود. بنابراین ، خطاهای اندازه گیری به شکلی بیان می شوند که برای ارزیابی صحت ، فقط مقایسه اشتباهات نتایج ، بدون مقایسه ابعاد اجسام اندازه گیری شده یا شناخت دقیق این ابعاد کافی است. از نظر عملی مشخص است که خطای مطلق در اندازه گیری زاویه به مقدار زاویه بستگی ندارد و خطای مطلق در اندازه گیری طول به مقدار طول بستگی دارد. هرچه مقدار طول بیشتر باشد ، بیشتر خواهد بود این روشو شرایط اندازه گیری ، خطای مطلق بزرگتر خواهد بود. بنابراین ، با خطای مطلق نتیجه ، می توان در مورد صحت اندازه گیری زاویه قضاوت کرد ، اما دقت اندازه گیری طول نمی تواند. بیان خطا به شکل نسبی امکان مقایسه در موارد شناخته شدهدقت اندازه گیری های زاویه ای و خطی.

مفاهیم اساسی نظریه احتمال. خطای تصادفی

با خطای تصادفی جز component خطای اندازه گیری نامیده می شود ، که به طور تصادفی هنگام تکرار اندازه گیری های همان مقدار تغییر می کند.

هنگامی که اندازه گیری های مکرر از همان مقدار ثابت ثابت را با همان دقت و در همان شرایط انجام می دهیم ، نتایج اندازه گیری ها را می گیریم - برخی از آنها با یکدیگر متفاوت هستند و برخی از آنها همزمان هستند. چنین اختلافاتی در نتایج اندازه گیری نشانگر وجود م randomلفه های تصادفی خطا در آنها است.

یک خطای تصادفی زمانی رخ می دهد که بسیاری از منابع به طور همزمان عمل می کنند ، که هر یک از آنها خود تأثیر نامحسوس بر روی نتیجه اندازه گیری دارند ، اما اثر کل همه منابع می تواند کاملاً قوی باشد.

خطاهای تصادفی نتیجه اجتناب ناپذیر هر اندازه گیری است و ناشی از موارد زیر است:

الف) عدم صحت قرائت در مقیاس ابزار و ابزار ؛

ب) شرایط یکسان اندازه گیری های مکرر نیست ؛

ج) تغییرات تصادفی در شرایط خارجی (دما ، فشار ، میدان نیرو و غیره) که قابل کنترل نیستند.

د) سایر تأثیرات در اندازه گیری ها ، دلایل آن برای ما ناشناخته است. با تکرار مکرر آزمایش و پردازش مناسب ریاضی نتایج می توان میزان خطای تصادفی را به حداقل رساند.

یک خطای تصادفی می تواند مقادیر مختلف مطلق را به خود اختصاص دهد ، که برای یک عمل اندازه گیری مشخص پیش بینی نمی شود. این خطا می تواند به همان اندازه مثبت و منفی باشد. خطاهای تصادفی همیشه در یک آزمایش وجود دارد. در صورت عدم وجود خطاهای سیستماتیک ، باعث پراکندگی اندازه گیری های مکرر نسبت به مقدار واقعی می شوند.

بگذارید فرض کنیم که دوره نوسان آونگ با کمک کرونومتر اندازه گیری می شود و اندازه گیری چندین بار تکرار می شود. خطا در شروع و توقف کرونومتر ، خطا در مقدار خواندن ، کمی بی نظمی در حرکت آونگ - همه اینها باعث پراکندگی در نتایج اندازه گیری های مکرر می شود و بنابراین می توان آنها را به گروه خطاهای تصادفی نسبت داد.

اگر خطاهای دیگری وجود نداشته باشد ، برخی از نتایج تا حدی بیش از حد تخمین زده می شوند ، در حالی که برخی دیگر تا حدودی دست کم گرفته می شوند. اما اگر علاوه بر این ، ساعت نیز عقب باشد ، همه نتایج دست کم گرفته می شوند. این در حال حاضر یک خطای سیستماتیک است.

عوامل مختلفی می توانند همزمان باعث خطای سیستماتیک و تصادفی شوند. بنابراین ، با روشن و خاموش کردن کرنومتر ، می توانیم از زمان شروع و توقف ساعت ، یک پراکندگی نامنظم کوچک نسبت به حرکت آونگ ایجاد کنیم و بنابراین یک خطای تصادفی معرفی کنیم. اما اگر علاوه بر این ، ما هر بار عجله داریم که کرنومتر را روشن کنیم و در خاموش کردن آن تا حدودی به تأخیر بیفتیم ، این امر منجر به یک خطای سیستماتیک می شود.

خطاهای تصادفی ناشی از خطای اختلاف منظر هنگام خواندن تقسیمات مقیاس ابزار ، تکان دادن پایه ساختمان ، تأثیر حرکت ناچیز هوا و غیره است.

اگرچه حذف خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی غیرممکن است ، اما تئوری ریاضی پدیده های تصادفی به ما اجازه می دهد تا تأثیر این خطاها را در نتیجه اندازه گیری نهایی کاهش دهیم. در زیر نشان داده خواهد شد که برای این کار لازم است نه یک اندازه گیری ، بلکه چندین اندازه گیری انجام شود و هرچه مقدار خطایی که می خواهیم بدست آوریم کوچکتر است ، لازم است اندازه گیری های بیشتری انجام شود.

با توجه به اینکه وقوع خطاهای تصادفی اجتناب ناپذیر و اجتناب ناپذیر است ، وظیفه اصلی هر فرآیند اندازه گیری به حداقل رساندن خطاها است.

تئوری خطاها بر اساس دو فرض اصلی است که توسط تجربه تأیید می شود:

1. با تعداد زیادی اندازه گیری ، خطاهای تصادفی با همان اندازه ، اما علامت متفاوت، یعنی خطاهایی در جهت افزایش و کاهش نتیجه کاملاً رایج است.

2- خطاهای بزرگ مطلق نسبت به کوچک کمتر رایج هستند ، بنابراین ، با افزایش مقدار آن ، احتمال خطا کاهش می یابد.

رفتار متغیرهای تصادفی الگوهای آماری را توصیف می کند که موضوع نظریه احتمالات هستند. تعریف آماری از احتمال من منتحولات مننگرش است

جایی که n- تعداد کل آزمایشات ، n من- تعداد آزمایش هایی که در آن رویداد انجام می شود مناتفاق افتاده در این حالت ، تعداد کل آزمایشات باید بسیار زیاد باشد ( n¥). با تعداد زیادی اندازه گیری ، خطاهای تصادفی از توزیع طبیعی (توزیع گوسی) پیروی می کنند ، ویژگی های اصلی آن به شرح زیر است:

1. هرچه انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی بیشتر باشد ، احتمال چنین نتیجه ای کمتر است.

2. انحراف در هر دو جهت از مقدار واقعی به یک اندازه محتمل است.

از فرضیات فوق نتیجه می شود که برای کاهش تأثیر خطاهای تصادفی ، لازم است این مقدار را چندین بار اندازه گیری کنید. فرض کنید در حال اندازه گیری مقداری x هستیم. بگذار تولید شود nاندازه گیری ها: x 1 ، x 2 ، ... x n- با همان روش و با همان دقت. ممکن است انتظار داشته باشید که این تعداد باشد dnنتایج بدست آمده ، که در یک فاصله نسبتاً باریک از قرار دارند ایکسقبل از x + dx، باید متناسب با موارد زیر باشد:

مقدار فاصله گرفته شده dx;

تعداد کل اندازه گیری ها n.

احتمال ساکن(ایکس) که مقداری ارزش دارد ایکسدر محدوده از قرار دارد ایکسقبل از x + dx ،به شرح زیر تعریف شده است :

(با تعداد اندازه گیری ها n ®¥).

تابع f(NS) تابع توزیع یا چگالی احتمال نامیده می شود.

به عنوان فرضیه نظریه خطاها ، فرض بر این است که نتایج اندازه گیری های مستقیم و خطاهای تصادفی آنها با تعداد زیادی از آنها از قانون توزیع طبیعی پیروی می کنند.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته که توسط گاوس پیدا شده است ایکسبه نظر می رسد مانند این:

کجا m و s - پارامترهای توزیع .

پارامتر m از توزیع نرمال برابر است با مقدار متوسط ​​б ایکسñ از یک متغیر تصادفی ، که برای یک توابع توزیع دلخواه شناخته شده توسط انتگرال تعیین می شود

.

بدین ترتیب، مقدار m محتمل ترین مقدار اندازه گیری شده x است ، به عنوان مثال بهترین تخمین او

پارامتر s 2 از توزیع نرمال برابر است با واریانس D متغیر تصادفی ، که در حالت کلی با انتگرال زیر تعیین می شود

.

ریشه دوماز واریانس انحراف استاندارد متغیر تصادفی نامیده می شود.

میانگین انحراف (خطا) متغیر تصادفی ásñ با استفاده از تابع توزیع به شرح زیر تعیین می شود

میانگین خطای اندازه گیری ásñ ، محاسبه شده از تابع توزیع گوس ، مربوط به مقدار انحراف استاندارد s به شرح زیر است:

< s > = 0.8 ثانیه

پارامترهای s و m به شرح زیر به یکدیگر مربوط می شوند:

.

در صورت وجود منحنی توزیع نرمال ، این عبارت به شما امکان می دهد انحراف استاندارد را پیدا کنید.

نمودار تابع Gaussian در شکل ها نشان داده شده است. تابع f(ایکس) با توجه به مختصاتی که در نقطه رسم شده است متقارن است x =متر از نقطه ماکزیمم عبور می کند x = m و در نقاط m ± s دارای عطف است. بنابراین ، واریانس عرض تابع توزیع را مشخص می کند ، یا نشان می دهد که مقادیر یک متغیر تصادفی نسبت به مقدار واقعی آن چگونه پراکنده شده اند. هرچه اندازه گیری دقیق تر باشد ، نتایج اندازه گیری های جداگانه به مقدار واقعی نزدیکتر است. مقدار s کمتر است. شکل A عملکرد را نشان می دهد f(ایکس) برای سه مقدار s .

مساحت یک شکل محدود شده توسط یک منحنی f(ایکس) و خطوط عمودی رسم شده از نقاط ایکس 1 و ایکس 2 (شکل B) , از نظر عددی با احتمال افتادن نتیجه اندازه گیری در فاصله D برابر است x = x 1 - ایکس 2 ، که سطح اطمینان نامیده می شود. مساحت زیر کل منحنی f(ایکس) برابر است با احتمال افتادن یک متغیر تصادفی در بازه از 0 تا ¥ ، یعنی

,

از آنجا که احتمال یک رویداد خاص برابر با یک است.

با استفاده از توزیع طبیعی ، تئوری خطا دو مشکل اصلی را ایجاد و حل می کند. اولین مورد ارزیابی صحت اندازه گیری ها است. مورد دوم تخمین دقت میانگین است مقدار حسابینتایج اندازه گیری. فاصله اطمینان. ضریب دانشجو.

نظریه احتمال به شما امکان می دهد اندازه فاصله ای را که در آن احتمال مشخص است تعیین کنید wنتایج اندازه گیری های فردی یافت می شود. به این احتمال گفته می شود سطح اطمینان، و فاصله مربوطه (<ایکس> ± D ایکس)wنامیده می شود فاصله اطمینان.سطح اطمینان همچنین با نسبت نسبی نتیجه هایی که در فاصله اطمینان قرار دارند برابر است.

اگر تعداد اندازه گیری ها باشد nبه اندازه کافی بزرگ است ، سپس سطح اطمینان کسری از را بیان می کند کلnآن اندازه گیری هایی که در آنها مقدار اندازه گیری شده در فاصله اطمینان است. هر یک سطح اطمینان wمربوط به فاصله اطمینان آن است. w 2 80٪. هرچه فاصله اطمینان بیشتر باشد ، احتمال نتیجه گیری در آن بازه بیشتر است. در نظریه احتمال ، یک رابطه کمی بین مقدار فاصله اطمینان ، احتمال اطمینان و تعداد اندازه گیری ها برقرار می شود.

اگر فاصله مربوط به خطای میانگین را به عنوان فاصله اطمینان یعنی D انتخاب کنیم a =آگهی ولیñ ، سپس برای تعداد کافی اندازه گیری با سطح اطمینان مطابقت دارد w 60٪ با کاهش تعداد اندازه گیری ها ، احتمال اطمینان مربوط به چنین فاصله اطمینان (b ولیñ ± آگهی ولیñ) کاهش می یابد.

بنابراین ، برای تخمین فاصله اطمینان یک متغیر تصادفی ، می توان از مقدار خطای متوسط ​​áD استفاده کرد ولیñ .

برای مشخص کردن میزان خطای تصادفی ، لازم است که دو عدد تنظیم شود ، یعنی مقدار فاصله اطمینان و مقدار احتمال اطمینان . نشان دادن میزان خطا به تنهایی بدون احتمال اطمینان مربوطه تا حد زیادی بی معنی است.

اگر میانگین خطای اندازه گیری ásñ مشخص باشد ، فاصله اطمینان ، که در فرم نوشته شده است (<ایکس> ± ásñ) w، با سطح اطمینان تعیین می شود w= 0,57.

اگر انحراف معیار s مشخص باشد توزیع نتایج اندازه گیری ، فاصله مشخص شده فرم دارد (<ایکس>± t wد) w، جایی که t wضریبی است که به سطح اطمینان بستگی دارد و با استفاده از توزیع گوسی محاسبه می شود.

مقادیر معمولاً استفاده شده D ایکسدر جدول 1 نشان داده شده است.

در عمل ، معمولاً اعدادی که محاسبات بر روی آنها انجام می شود مقادیر تقریبی مقادیر خاص هستند. برای اختصار گفتار ، مقدار تقریبی کمیت را عدد تقریبی می نامند. مقدار واقعی یک مقدار را یک عدد دقیق می نامند. یک عدد تقریبی فقط وقتی ارزش عملی دارد که بتوانیم تعیین کنیم با چه درجه ای از دقت داده شده است ، یعنی خطای آن را تخمین بزنید. بیایید مفاهیم اساسی را از اینجا بخوانیم دوره عمومیریاضیات

بیایید نشان دهیم: ایکس- تعداد دقیق (مقدار واقعی مقدار) ، ولیعدد تقریبی (مقدار تقریبی مقدار).

تعریف 1... خطای (یا خطای واقعی) عدد تقریبی تفاوت بین عدد است ایکسو مقدار تقریبی آن ولی... خطای عدد تقریبی ولینشان خواهد داد بنابراین،

شماره دقیق ایکسغالباً ناشناخته است ، بنابراین یافتن خطاهای واقعی و مطلق امکان پذیر نیست. از طرف دیگر ، گاهی لازم است خطای مطلق را تخمین بزنید ، یعنی عددی را نشان دهید که خطای مطلق از آن فراتر نرود. به عنوان مثال ، هنگام اندازه گیری طول یک شی با این ابزار ، باید مطمئن باشیم که خطای مقدار عددی بدست آمده از یک عدد خاص فراتر نمی رود ، به عنوان مثال ، از 0.1 میلی متر. به عبارت دیگر ، ما باید حد مطلق خطا را بدانیم. این مرز خطای مطلق محدود کننده نامیده می شود.

تعریف 3... خطای مطلق محدود عدد تقریبی ولییک عدد مثبت نامیده می شود به عنوان مثال ،

به معنای، NSتوسط کمبود ، - توسط بیش از حد. علامت گذاری زیر نیز استفاده می شود:

واضح است که حداکثر خطای مطلق به طور مبهم تعیین می شود: اگر تعداد معینی حداکثر خطای مطلق باشد ، هر عدد بزرگتر نیز حداکثر خطای مطلق است. در عمل ، آنها سعی می کنند کوچکترین و ساده ترین (با 1-2 رقم قابل توجه) عددی را که نابرابری را برآورده می کند انتخاب کنند (2.3).

مثال.خطای مطلق ، مطلق و حداکثر عدد a = 0.17 را که به عنوان مقدار تقریبی عدد در نظر گرفته شده است ، تعیین کنید.

خطای واقعی:

خطای مطلق:

برای خطای مطلق محدود کننده ، می توانید یک عدد و هر عدد بزرگتری را انتخاب کنید. در علامت اعشاری ، ما خواهیم داشت: جایگزینی این عدد با یک علامت بزرگ و احتمالاً ساده تر ، ما قبول خواهیم کرد:

اظهار نظر... اگر ولیمقدار تقریبی عدد وجود دارد NS، و خطای مطلق محدود کننده است ساعتسپس آنها می گویند که ولیمقدار تقریبی عدد وجود دارد NSدقیق به ساعت

آگاهی از عدم اطمینان مطلق برای توصیف کیفیت اندازه گیری یا محاسبه کافی نیست. برای مثال فرض کنید هنگام اندازه گیری طول چنین نتایجی بدست آورید. فاصله بین دو شهر S 1= 500 کیلومتر 1 و فاصله بین دو ساختمان در شهر S 2= 10 کیلومتر 1 اگرچه خطاهای مطلق هر دو نتیجه یکسان است ، اما ضروری است که در حالت اول خطای مطلق 1 کیلومتر بر روی 500 کیلومتر ، در حالت دوم - بر روی 10 کیلومتر واقع شود. کیفیت اندازه گیری در حالت اول بهتر از مورد دوم است. کیفیت یک نتیجه اندازه گیری یا محاسبه با یک خطای نسبی مشخص می شود.

تعریف 4خطای نسبی مقدار تقریبی ولیشماره NSنسبت خطای مطلق عدد است ولیبه مقدار مطلق عدد NS:

تعریف 5خطای نسبی محدود کننده عدد تقریبی ولییک عدد مثبت نامیده می شود به طوری که

از آنجا که ، از فرمول (2.7) نتیجه می شود که می توانیم با فرمول محاسبه کنیم

برای اختصار گفتار ، در مواردی که این باعث سو mis تفاهم نشود ، به جای "خطای نسبی حاشیه ای" آنها فقط می گویند "خطای نسبی".

خطای نسبی حاشیه ای اغلب به صورت درصد بیان می شود.

مثال 1... ... با فرض اینکه می توانیم قبول کنیم =. با تقسیم و گرد کردن (لزوماً در جهت افزایش) ، 0.0008 = 0.08٪ بدست می آوریم.

مثال 2هنگام توزین بدن ، نتیجه بدست آمد: p = 23.4 0.2 گرم. ما = 0.2 داریم. ... با تقسیم و گرد کردن ، 0.9 = بدست می آوریم.

فرمول (2.8) رابطه بین خطاهای مطلق و نسبی را تعیین می کند. از فرمول (2.8) به شرح زیر است:

با استفاده از فرمول های (2.8) و (2.9) ، اگر عدد مشخص باشد ، می توانیم ولی، برای یک خطای مطلق مشخص ، خطای نسبی را پیدا کنید و بالعکس.

توجه داشته باشید که فرمول های (2.8) و (2.9) اغلب حتی وقتی تعداد تقریبی آن را نمی دانیم باید اعمال شوند ولیبا دقت لازم ، اما یک مقدار تقریبی تقریبی می دانیم ولی... به عنوان مثال ، لازم است طول یک شی با خطای نسبی بیش از 0.1٪ اندازه گیری شود. س isال این است: آیا می توان با استفاده از کولیسی که به شما اجازه می دهد طول را با خطای مطلق تا 0.1 میلی متر اندازه بگیرید ، طول را با دقت لازم اندازه گیری کنید؟ اگرچه ما هنوز جسم را با ابزار دقیق اندازه گیری نکرده ایم ، اما می دانیم که مقدار تقریبی تقریبی طول حدود 12 است سانتی متر.با استفاده از فرمول (1.9) ، خطای مطلق را پیدا می کنیم:

از این امر مشخص می شود که با کمک کولیس ورنی می توان با دقت لازم اندازه گیری کرد.

در فرآیند کار محاسباتی ، اغلب لازم است که از خطای مطلق به نسبی تغییر دهید و بالعکس ، که با استفاده از فرمول های 1.8 و (1.9) انجام می شود.

هیچ اندازه گیری عاری از خطا نیست ، یا به عبارت دقیق تر ، احتمال اندازه گیری بدون خطا به صفر می رسد. ماهیت و علل خطاها بسیار متنوع است و تحت تأثیر عوامل زیادی قرار دارد (شکل 1.2).

خصوصیات کلی عوامل تأثیرگذار را می توان از منظرهای مختلف ، به عنوان مثال ، با توجه به تأثیر ، سیستم بندی کرد عوامل فوق(شکل 1.2).

با توجه به نتایج اندازه گیری ، خطاها را می توان به سه نوع سیستماتیک ، تصادفی و از دست رفته تقسیم کرد.

خطاهای سیستماتیک به نوبه خود ، آنها به علت وقوع و ماهیت بروز خود ، به گروههایی تقسیم می شوند. به عنوان مثال ، با ارائه اصلاحیه ها می توان آنها را از طرق مختلف از بین برد.

برنج. 1.2

خطاهای تصادفی ناشی از مجموعه عواملی پیچیده ، معمولاً ناشناخته و تجزیه و تحلیل دشوار است. تأثیر آنها در نتیجه اندازه گیری می تواند کاهش یابد ، به عنوان مثال ، با اندازه گیری های مکرر با پردازش آماری بیشتر نتایج به دست آمده با روش تئوری احتمال.

به دلتنگ می شود شامل خطاهای فاحشی است که با تغییرات ناگهانی در شرایط آزمایشی بوجود می آیند. این عدم دقت ها ماهیت تصادفی نیز دارند و باید پس از شناسایی برطرف شوند.

دقت اندازه گیری توسط خطاهای اندازه گیری ، که براساس ماهیت وقوع آنها به ابزاری و روشمند و با روش محاسبات به مطلق ، نسبی و کاهش تقسیم می شوند.

وسیله خطا با کلاس دقت دستگاه اندازه گیری مشخص می شود ، که در گذرنامه آن به صورت خطاهای اساسی و اضافی نرمال داده می شود.

روشمند این خطا به دلیل ناقص بودن روشها و ابزار اندازه گیری است.

مطلق خطا اختلاف بین G u اندازه گیری شده و مقادیر G واقعی مقدار است که با فرمول تعیین می شود:

Δ = ΔG = G u -G

توجه داشته باشید که کمیت بعد کمیت اندازه گیری شده را دارد.

نسبت فامیلی خطا از برابری پیدا شده است

δ = ± ΔG / G u 100٪

داده شده خطا با فرمول (کلاس دقت دستگاه اندازه گیری) محاسبه می شود

δ = ± ΔG / G هنجار 100

که در آن هنجار G مقدار نرمال سازی مقدار اندازه گیری شده است. برابر است با:

الف) مقدار نهایی مقیاس ابزار ، اگر علامت صفر در لبه یا خارج از مقیاس باشد ؛

ب) مجموع مقادیر نهایی مقیاس بدون در نظر گرفتن علائم ، اگر علامت صفر در داخل مقیاس قرار داشته باشد ؛

ج) طول مقیاس ، اگر مقیاس ناهموار باشد.

کلاس دقت دستگاه هنگام بررسی تعیین می شود و یک خطای استاندارد است که توسط فرمول ها محاسبه می شود

γ = norm ΔG / G هنجار 100٪ اگرΔG m = ساختار

جایی که ΔG m بزرگترین خطای مطلق دستگاه است.

G k - مقدار نهایی حد اندازه گیری دستگاه ؛ с و d ضرایبی هستند که پارامترهای طراحی و خصوصیات مکانیسم اندازه گیری دستگاه را در نظر می گیرند.

به عنوان مثال ، برای یک ولت متر با یک خطای نسبی ثابت ، برابری

δ m = ± c

خطاهای نسبی و کاهش یافته با وابستگی های زیر مرتبط هستند:

الف) برای هر مقدار از خطای کاهش یافته

δ = ± γ G هنجار / G u

ب) برای بزرگترین خطای کاهش یافته

δ = ± γ m G هنجار / G u

از این نسبت ها نتیجه می گیرد که هنگام اندازه گیری ، به عنوان مثال ، با ولت متر ، در یک مدار با همان مقدار ولتاژ ، ولتاژ اندازه گیری شده کمتر ، خطای نسبی بیشتر است. و اگر این ولت متر اشتباه انتخاب شده باشد ، خطای نسبی می تواند متناسب با مقدار باشد G n که نامعتبر است توجه داشته باشید که مطابق اصطلاحات مشکلات حل شده ، به عنوان مثال ، هنگام اندازه گیری ولتاژ G = U ، هنگام اندازه گیری جریان C = I ، تعیین حروف در فرمول های محاسبه خطاها باید با نمادهای مربوطه جایگزین شود.

مثال 1.1.با یک ولت متر با مقادیر γ m = 1.0٪ ، هنجارهای U n = G ، G k = 450 ولت، ولتاژ U u را برابر با 10 ولت اندازه گیری کنید. بگذارید خطاهای اندازه گیری را تخمین بزنیم.

راه حل.

پاسخ.خطای اندازه گیری 45٪ است. با چنین خطایی نمی توان ولتاژ اندازه گیری شده را قابل اعتماد دانست.

با گزینه های محدود برای انتخاب دستگاه (ولت متر) ، خطای روش را می توان با تصحیح محاسبه شده توسط فرمول در نظر گرفت

مثال 1.2. هنگام اندازه گیری ولتاژ در مدار DC خطای مطلق ولت متر V7-26 را محاسبه کنید. کلاس دقت ولت متر با حداکثر خطای کاهش یافته γ γ = ± 2.5 مشخص می شود. حد مقیاس ولتمتر استفاده شده در کار ، هنجار U = 30 ولت است.

راه حل.خطای مطلق با استفاده از فرمول های معروف محاسبه می شود:

(از آنجا که خطای کاهش یافته ، طبق تعریف ، با فرمول بیان می شود) ، سپس از اینجا می توانید خطای مطلق را پیدا کنید:

پاسخ.ΔU = 0.75 V. ولت

پردازش نتایج و قوانین گرد کردن مراحل مهمی در فرآیند اندازه گیری هستند. نظریه محاسبات تقریبی اجازه می دهد تا ، با دانستن درجه دقت داده ها ، میزان دقت نتایج را حتی قبل از انجام اقدامات تخمین بزنید: برای انتخاب داده ها با درجه دقت مناسب ، کافی برای اطمینان از صحت مورد نیاز نتیجه ، اما خیلی عالی نیست که ماشین حساب را از محاسبات بی فایده نجات دهید. خود فرآیند محاسبه را عقلانی کنید و آن را از شر محاسباتی که تعداد دقیق و نتایج را تحت تأثیر قرار نمی دهد ، آزاد کنید.

هنگام پردازش نتایج ، قوانین گرد اعمال می شود.

• قانون 1 اگر اولین رقم دور انداخته شده بیشتر از پنج باشد ، آخرین رقم ذخیره شده نیز یک افزایش می یابد.

• قانون 2 اگر رقم اول دور ریخته شده کمتر از پنج باشد ، هیچ افزایشی حاصل نمی شود.

• قانون 3 اگر رقم دور انداخته شده برابر با پنج باشد و هیچ رقم قابل توجهی در پشت آن نباشد ، گرد کردن به نزدیکترین مرحله انجام می شود عدد زوج، یعنی آخرین رقم ذخیره شده اگر یکنواخت باشد بدون تغییر باقی می ماند و اگر یکنواخت نباشد افزایش می یابد.

اگر ارقام قابل توجهی در پشت عدد پنج وجود داشته باشد ، گرد کردن مطابق قانون 2 انجام می شود.

اعمال قانون 3 برای گرد کردن یک عدد باعث افزایش دقت گرد نمی شود. اما با چندین دور ، تعداد اضافی به اندازه کافی کافی ظاهر نمی شوند. جبران خطای متقابل بالاترین دقت نتیجه را فراهم می کند.

عددی را که به وضوح از خطای مطلق فراتر می رود (یا در بدترین حالت برابر آن) می نامند محدود کردن خطای مطلق.

حاشیه خطا کاملاً مشخص نیست. برای هر عدد تقریبی ، حداکثر خطای آن (مطلق یا نسبی) باید شناخته شود.

وقتی مستقیماً نشان داده نشود ، می توان فهمید که حداکثر خطای مطلق نیمی از واحد آخرین رتبه نوشته شده است. بنابراین ، اگر بدون تعیین حداکثر خطا عدد تقریبی 4.78 داده شود ، فرض می شود که حداکثر خطای مطلق 0.005 باشد. در نتیجه این توافق ، همیشه بدون تعیین حداکثر خطای عددی که مطابق با قوانین 1-3 گرد شده است ، می توان این کار را انجام داد ، یعنی اگر عدد تقریبی با حرف α نشان داده شود ،

جایی که Δn آخرین خطای مطلق است. و δ n خطای نسبی محدود کننده است.

علاوه بر این ، هنگام پردازش نتایج ، ما استفاده می کنیم قوانین یافتن خطا جمع ، تفاوت ، محصول و ضریب.

• قانون 1 خطای مطلق محدود کننده جمع برابر با مجموع خطاهای مطلق محدود کننده اصطلاحات منفرد است ، اما با تعداد قابل توجهی از خطاهای اصطلاحات ، جبران متقابل خطاها معمولاً اتفاق می افتد ، بنابراین خطای واقعی حاصل از جمع فقط به طور استثنایی موارد همزمان با خطای محدود کننده است یا نزدیک به آن است.

• قانون 2 خطای مطلق محدودکننده اختلاف برابر است با مجموع خطاهای مطلق محدود کننده کاهش یا تفریق.

با محاسبه خطای مطلق حاشیه به راحتی می توان خطای نسبی حاشیه ای را پیدا کرد.

• قانون 3 خطای نسبی محدود کننده جمع (اما نه تفاوت) بین کوچکترین و بزرگترین خطای نسبی اصطلاحات نهفته است.

اگر همه اصطلاحات دارای خطای نسبی حاشیه ای یکسانی باشند ، در نتیجه مجموع دارای خطای نسبی حاشیه ای یکسانی هستند. به عبارت دیگر ، در این حالت ، صحت جمع (بر حسب درصد) از صحت اصطلاحات کم ندارد.

در مقابل جمع ، اختلاف بین اعداد تقریبی ممکن است کمتر از عدد کم شده و کسر باشد. از دست دادن دقت به ویژه هنگامی زیاد می شود که تفریق و تفریق تفاوت چندانی با یکدیگر نداشته باشند.

• قانون 4 خطای نسبی محدود کننده محصول تقریباً برابر است با مجموع خطاهای نسبی محدود کننده عوامل: δ = δ 1 + δ 2 ، یا ، دقیق تر ، δ = δ 1 + δ 2 + δ 1 δ 2 که δ است خطای نسبی محصول ، δ 1 δ2 عوامل خطای نسبی هستند.

یادداشت ها (ویرایش):

1. اگر اعداد تقریبی با همان تعداد رقم قابل توجه ضرب شود ، باید همان تعداد ارقام قابل توجه در محصول ذخیره شود. آخرین رقم ذخیره شده کاملاً قابل اعتماد نخواهد بود.

2. اگر برخی از فاکتورها ارقام قابل توجه تری نسبت به بقیه دارند ، قبل از ضرب باید اولین فاکتورها را گرد کرد ، به همان اندازه رقم کمترین فاکتور دقیق یا یک فاکتور دیگر را ذخیره کرد (صرفه جویی اضافی) ، صرفه جویی در ارقام بیشتر بی فایده است .

3. اگر لازم باشد حاصلضرب دو عدد دارای یک عدد کاملاً قابل اطمینان باشد که از قبل داده شده است ، در هر یک از فاکتورها تعداد ارقام دقیق (که با اندازه گیری یا محاسبه بدست آمده است) باید یک عدد بیشتر باشد. اگر تعداد فاکتورها بیشتر از دو و کمتر از ده باشد ، در هر یک از فاکتورها تعداد ارقام دقیق برای ضمانت کامل باید دو بیشتر از تعداد مورد نیاز رقم دقیق باشد. در عمل ، کافی است فقط یک رقم اضافی بگیرید.

• قانون 5 خطای نسبی محدود کننده ضریب تقریباً برابر با مجموع خطاهای نسبی محدود کننده سود سهام و تقسیم کننده است. مقدار دقیق خطای نسبی محدود کننده همیشه از حد تقریبی فراتر می رود. درصد اضافی تقریباً برابر با حداکثر خطای نسبی تقسیم کننده است.

مثال 1.3. حداکثر خطای مطلق ضریب 2.81: 0.571 را پیدا کنید.

راه حل.خطای نسبی محدود کننده سود 0.005 است: 2.81 = 0.2٪ ؛ تقسیم کننده - 0.005: 0.571 = 0.1؛ ؛ خصوصی - 0.2 + + 0.1 = = 0.3. خطای مطلق محدود کننده ضریب تقریباً 2.81: 0.571 0.0030 = 0.015 خواهد بود

این بدان معناست که در ضریب 2.81: 0.571 = 4.92 ، رقم سوم قابل اعتماد نیست.

پاسخ. 0,015.

مثال 1.4. خطای نسبی را در قرائت ولتمتر متصل شده بر اساس مدار محاسبه کنید (شکل 1.3) ، در صورتی که فرض کنیم ولت متر مقاومت بی نهایت بزرگی داشته باشد و مدار اندازه گیری شده را مخدوش نکند ، بدست می آید. عدم قطعیت اندازه گیری را برای این کار طبقه بندی کنید.

برنج. 1.3

راه حل.بیایید قرائت یک ولت متر واقعی از طریق AND ، و یک ولت متر با مقاومت بی نهایت بزرگ از طریق AND den را نشان دهیم. خطای نسبی جستجو شده

توجه کنید که

سپس دریافت می کنیم

از آنجا که R AND >> R و R> r ، کسر در مخرج آخرین برابری بسیار کمتر از یک است. بنابراین ، می توانید از فرمول تقریبی استفاده کنید برای λ≤1 برای هر α معتبر است. با فرض اینکه در این فرمول α = -1 و λ = rR (r + R) -1 R AND -1 ، δ ≈ rR / (r + R) R AND بدست می آوریم.

هرچه مقاومت ولت متر در مقایسه با مقاومت خارجی مدار بیشتر باشد ، خطا نیز کمتر می شود. اما شرط R<

پاسخ.خطای روشمند سیستماتیک.

مثال 1.5. دستگاه های زیر در مدار جریان مستقیم گنجانده شده اند (شکل 1.4): A - یک آمپرمتر از نوع M 330 از کلاس دقت K A = 1.5 با حد اندازه گیری I k = 20 A ؛ A 1 - یک آمپرمتر از نوع M 366 کلاس دقت K A1 = 1.0 با حد اندازه گیری I k1 = 7.5 A. بزرگترین خطای نسبی ممکن را در اندازه گیری جریان I 2 و محدودیت های احتمالی مقدار واقعی آن را پیدا کنید ، اگر ابزار دارای نشان داده شده است که من = 8 ، 0A. و من 1 = 6.0A. بعد را طبقه بندی کنید.

برنج. 1.4

راه حل.جریان I 2 را با توجه به قرائت دستگاه تعیین می کنیم (بدون در نظر گرفتن خطاهای آنها): I 2 = I-I 1 = 8.0-6.0 = 2.0 A

بیایید خطاهای مطلق آمپرمترهای A و A 1 را پیدا کنیم

برای A ما برابری داریم برای آمپرمتر

بگذارید جمع ماژول های خطای مطلق را پیدا کنیم:

در نتیجه ، بزرگترین مقدار ممکن و یکسان ، که در کسری از این مقدار بیان می شود ، برابر با 1 است. 10 3 - برای یک دستگاه ؛ 2 · 10 3 - برای دستگاه دیگر. کدام یک از این ابزار دقیق ترین خواهد بود؟

راه حل.دقت ابزار با مقدار معکوس خطا مشخص می شود (هرچه ابزار دقیق تر باشد ، خطای آن کوچکتر است) ، به عنوان مثال برای دستگاه اول 1 / (1. 10 3) = 1000 خواهد بود ، برای دستگاه دوم - 1 / (2. 10 3) = 500. توجه داشته باشید که 1000> 500. بنابراین ، دستگاه اول دو برابر دقیق تر است دومین.

با بررسی تطابق خطاها می توان به نتیجه مشابهی رسید: 2. 10 3/1. 10 3 = 2.

پاسخ.دستگاه اول دو برابر دقیق دستگاه دوم است.

مثال 1.6. مجموع اندازه گیری های تقریبی دستگاه را پیدا کنید. تعداد علائم صحیح را پیدا کنید: 0.0909 + 0.0833 + 0.0769 + 0.0714 + 0.0667 + 0.0625 + 0.0588+ 0.0556 + 0.0526.

راه حل.با اضافه کردن تمام نتایج اندازه گیری ، 0.6187 بدست می آوریم. حداکثر حداکثر خطای حاصل از جمع 0.00005 9 = 0.00045 است. این بدان معنی است که در رقم چهارم آخر مجموع ، خطای حداکثر 5 واحد امکان پذیر است. بنابراین ، جمع را به رقم اعشار سوم می رسانیم ، یعنی هزارم ، 0.619 بدست می آوریم - نتیجه ای که در آن همه علائم صحیح است.

پاسخ. 0.619. تعداد نویسه های صحیح سه رقم اعشار است.

محبوب

اسرار ارتباط با شخص تحریک پذیر این حق آنهاست. آن نیست ...

درس خواندن فوق برنامه براساس داستان یو راهروهای مدرسه دوستان ...

چگونه به کودک آموزش دهیم که تکالیف خود را انجام دهد انجام تکالیف ، ...

چه کسی به دنبال کمک به حقوق بشر است بسیاری از افراد آشنا هستند ...

برای انتقال دانش آموز از مدرسه ای به مدرسه دیگر چه مدارکی لازم است؟ والدین دانش آموزان ...

جدید در سایت

تحصیل در کلاس نهم در سه ماهه سوم دو دانش آموز

پسرم از رفتن به دانشگاه منصرف شد ، از تحصیل امتناع کرد من نمی خواهم به دانشگاه بروم که چه کاری انجام دهم

بیکاری شیرین زیر بوی شاه بلوط بو داده

اگر کودک زبان خود را به سختی گاز بگیرد تا جایی که خونریزی کند ، چه می شود؟

اگر دانش آموخته ای در امتحان موفق نشده است چه کاری باید انجام دهد