چگونه محیط یک مثلث را در صورتی که همه ضلع آن مشخص نیست، پیدا کنیم؟ چگونه محیط یک مثلث را در صورتی که همه ضلع آن مشخص نیست، پیدا کنیم نحوه محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه

محیط یک مثلثمانند سایر چیزها و هر شکلی، مجموع طول همه اضلاع نامیده می شود. اغلب، این مقدار به یافتن مساحت کمک می کند یا برای محاسبه سایر پارامترهای شکل استفاده می شود.
فرمول محیط یک مثلث به صورت زیر است:

مثالی از محاسبه محیط مثلث. بگذارید مثلثی با اضلاع a = 4 سانتی متر، b = 6 سانتی متر، c = 7 سانتی متر داده شود. داده های فرمول را جایگزین کنید: cm

فرمول محاسبه محیط مثلث متساوی الساقینبه این صورت خواهد بود:

فرمول محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع:

مثالی از محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع. هنگامی که تمام اضلاع شکل برابر است، آنگاه می توان آنها را به سادگی در سه ضرب کرد. فرض کنید یک مثلث منتظم با ضلع 5 سانتی متر در این مورد داده می شود: سانتی متر

به طور کلی، وقتی همه طرف ها داده می شوند، پیدا کردن محیط نسبتاً آسان است. در شرایط دیگر، لازم است اندازه ضلع از دست رفته را پیدا کنید. در یک مثلث قائم الزاویه، می توانید ضلع سوم را پیدا کنید قضیه فیثاغورث. به عنوان مثال، اگر طول پاها مشخص باشد، می توانید با استفاده از فرمول هیپوتانوس را پیدا کنید:

مثالی از محاسبه محیط مثلث متساوی الساقین را در نظر بگیرید، مشروط بر اینکه طول پایه های یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه را بدانیم.
یک مثلث با پاهای a \u003d b \u003d 5 سانتی متر داده شده است. محیط را پیدا کنید. ابتدا، بیایید طرف گمشده را با استفاده از . سانتی متر
حالا محیط را محاسبه می کنیم: سانتی متر
محیط مثلث متساوی الساقین راست 17 سانتی متر خواهد بود.

در مواردی که هیپوتنوز و طول یک پا مشخص باشد، گمشده را می توان با فرمول پیدا کرد:
اگر هیپوتانوس و یکی از زوایای تند در مثلث قائم الزاویه شناخته شوند، ضلع گمشده با فرمول پیدا می شود.

مثلث قائم الزاویه یک شکل ساده اما بسیار مهم برای ریاضیات است. دانستن ویژگی های آن و توانایی عملکرد با پارامترهای اساسی مثلث قائم الزاویه به شما این امکان را می دهد که هم با وظایف مدرسه و هم کارهای واقعی کنار بیایید.

هندسه مثلث قائم الزاویه

از نظر هندسی، مثلث سه نقطه است که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، که توسط قطعات به هم متصل می شوند. مثلث قائم الزاویه شکلی است که دو ضلع آن یک زاویه قائمه تشکیل دهند. این ضلع ها را پایه های مثلث و سومین ضلع طولانی ترین ضلع را هیپوتنوس می نامند. نسبت مربعات پاها و هیپوتنوس قضیه فیثاغورث - یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی - را ایجاد می کند.

نسبت هایپوتنوس و پاها نیز پایه و اساس بخش کاملی از ریاضیات - مثلثات را ایجاد کرد. در ابتدا، سینوس ها و کسینوس ها به عنوان توابع زوایای یک مثلث قائم الزاویه تعریف می شدند، اما در مفهوم امروزی، توابع مثلثاتی به کل محور عددی گسترش می یابند. امروزه، مثلثات در بسیاری از زمینه‌های فعالیت انسان مورد استفاده قرار می‌گیرد: از نجوم و اقیانوس‌شناسی گرفته تا تحلیل بازارهای مالی و توسعه بازی‌های رایانه‌ای.

مثلث قائم الزاویه در واقعیت

خود مثلث قائم الزاویه در واقعیت در هر گوشه ای یافت می شود، هم به معنای واقعی کلمه و هم مجازی. صورت چهار وجهی ها و منشورها به شکل مثلث قائم الزاویه است که در حقیقت به قطعات ماشین، کاشی و سرامیک یا شیب سقف تبدیل می شود. مربع ابزاری برای طراحی است که فرد برای اولین بار در درس هندسه با آن آشنا می شود، شکل مثلث قائم الزاویه دارد و در طراحی، ساخت و ساز و نجاری کاربرد دارد.

محیط یک مثلث

محیط تخمین عددی طول تمام اضلاع یک شکل هندسی تخت است. محیط یک n-گون به عنوان مجموع طول های n ضلع پیدا می شود. برای تعیین محیط مثلث قائم الزاویه از یک فرمول ساده استفاده می شود:

a و b پاها هستند، c هیپوتانوس است.

با محاسبه دستی محیط یک مثلث، باید هر سه ضلع را اندازه بگیرید، عملیات مثلثاتی اضافی انجام دهید یا با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبات را انجام دهید. با استفاده از ماشین حساب آنلاین، فقط باید جفت متغیرهای زیر را پیدا کنید:

دو پا؛
پا و گوشه؛
هیپوتانوس و زاویه

در وظایف مدرسه یا در عمل، داده های اولیه به شما داده می شود، بنابراین ماشین حساب به شما امکان می دهد با دانستن جفت پارامترهای مختلف، محیط را پیدا کنید. علاوه بر این، ابزار به طور خودکار تمام ویژگی های دیگر یک مثلث قائم الزاویه را محاسبه می کند، یعنی طول همه ضلع ها و مقادیر تمام زوایا. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

نمونه های زندگی واقعی

تکلیف مدرسه

اجازه دهید در یک مسئله مدرسه به شما یک مثلث قائم الزاویه با طول پایه 5 سانتی متر و زاویه شامل 60 درجه داده شود. برای یافتن محیط یک شکل هندسی لازم است. ماشین حساب آنلاین با نقاشی همراه است که اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه را نشان می دهد. می بینیم که اگر پا \u003d 5 سانتی متر باشد، زاویه شامل آن زاویه بتا است. این یک نکته مهم است، زیرا اگر از زاویه آلفا برای محاسبات استفاده کنید، نتیجه نادرست خواهد بود. ما این داده ها را به فرم هدایت می کنیم و پاسخی را در فرم دریافت می کنیم:

برنامه ما علاوه بر خود محیط، مقدار زاویه مقابل و همچنین طول پای دوم و هیپوتنوز را نیز تعیین کرد.

چیدمان تخت گل

فرض کنید می خواهید یک حصار تخت گل بسازید که به شکل مثلث قائم الزاویه باشد. برای این کار باید محیط شکل را بدانید. البته، در واقعیت، شما می توانید به سادگی هر سه طرف را اندازه گیری کنید، اما آسان است که کار خود را ساده کنید و فقط دو پا را اندازه گیری کنید. بگذارید 8 و 15 متر طول داشته باشند. ما این داده ها را به فرم ماشین حساب هدایت می کنیم و پاسخ را می گیریم:

بنابراین، برای چیدمان حصار 40 متری باید موادی را خریداری کنید. ماشین حساب ما همچنین طول هیپوتنوز را محاسبه کرد - 17 متر. اعداد 8، 15 و 17 سه گانه فیثاغورث را تشکیل می دهند - اعداد طبیعی که شرایط قضیه فیثاغورث را برآورده می کنند.

نتیجه

مثلث های مستطیلی به طور گسترده در زندگی روزمره مورد استفاده قرار می گیرند، بنابراین تعیین مساحت یا محیط یک شکل هندسی مطمئناً هنگام حل مسائل مدرسه یا مسائل روزمره مفید خواهد بود.

محیط کمیتی است که بر طول تمام اضلاع یک شکل هندسی مسطح (دو بعدی) دلالت دارد. برای اشکال هندسی مختلف، راه های مختلفی برای یافتن محیط وجود دارد.

در این مقاله یاد می گیرید که چگونه محیط یک شکل را با توجه به چهره های شناخته شده آن به روش های مختلف پیدا کنید.

روش های ممکن:

هر سه ضلع یک متساوی الساقین یا هر مثلث دیگری مشخص است.
چگونه محیط یک مثلث قائم الزاویه با دو وجه شناخته شده را پیدا کنیم.
دو وجه و زاویه ای که بین آنها قرار دارد (فرمول کسینوس) بدون خط وسط و ارتفاع مشخص است.

روش اول: تمام اضلاع شکل مشخص است

چگونه محیط یک مثلث را وقتی که هر سه وجه مشخص است پیدا کنیم؟، باید از فرمول زیر استفاده کنید: P = a + b + c، که در آن a، b، c طول های شناخته شده همه ضلع های مثلث هستند، P محیط شکل است.

به عنوان مثال، سه ضلع شکل مشخص است: a = 24 cm، b = 24 cm، c = 24 cm. این یک شکل متساوی الساقین منظم است، برای محاسبه محیط از فرمول استفاده می کنیم: P = 24 + 24 + 24 = 72 سانتی متر.

این فرمول برای هر مثلثی کار می کند، فقط باید طول تمام اضلاع آن را بدانید. اگر حداقل یکی از آنها ناشناخته است، باید از روش های دیگری استفاده کنید که در ادامه به آنها خواهیم پرداخت.

مثال دیگر: a = 15 سانتی متر، b = 13 سانتی متر، c = 17 سانتی متر محیط را محاسبه کنید: P = 15 + 13 + 17 = 45 سانتی متر.

علامت گذاری واحد اندازه گیری در پاسخ دریافتی بسیار مهم است. در مثال‌های ما، طول اضلاع بر حسب سانتی‌متر (سانتی‌متر) است، با این حال، وظایف مختلفی وجود دارد که واحدهای اندازه‌گیری دیگری در آنها وجود دارد.

روش دوم: مثلث قائم الزاویه و دو ضلع شناخته شده آن

در موردی که در تکلیف حل شده، یک شکل مستطیلی داده می شود که طول دو وجه آن مشخص است، اما سومی مشخص نیست، باید از قضیه فیثاغورث استفاده کرد.

رابطه بین وجوه یک مثلث قائم الزاویه را توضیح می دهد. فرمول توصیف شده توسط این قضیه یکی از شناخته شده ترین و پرکاربردترین قضایا در هندسه است. پس این خود قضیه است:

اضلاع هر مثلث قائم الزاویه با معادله زیر توضیح داده می شود: a^2 + b^2 = c^2، که در آن a و b پاهای شکل هستند و c فرضیه است.

هیپوتنوئوس. همیشه در مقابل زاویه قائم (90 درجه) قرار دارد و همچنین طولانی ترین وجه مثلث است. در ریاضیات مرسوم است که فرضیه را با حرف c نشان می دهند.
پاها- این وجوه یک مثلث قائم الزاویه هستند که به یک زاویه قائمه تعلق دارند و با حروف a و b نشان داده می شوند. یکی از پاها نیز ارتفاع فیگور است.

بنابراین، اگر شرایط مسئله، طول دو وجه از سه وجه چنین شکل هندسی را مشخص کند، با استفاده از قضیه فیثاغورث، باید بعد وجه سوم را پیدا کرد و سپس از فرمول روش اول استفاده کرد.

به عنوان مثال، طول 2 پایه را می دانیم: a = 3 سانتی متر، b = 5 سانتی متر. مقادیر را با قضیه جایگزین کنید: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^ 2 => c = 5 سانتی متر پس افت فشار چنین مثلثی 5 سانتی متر است اتفاقاً این مثال رایج ترین است و نامیده می شود. به عبارت دیگر، اگر دو پایه شکل 3 سانتی متر و 4 سانتی متر باشند، هیپوتانوس به ترتیب 5 سانتی متر خواهد بود.

اگر طول یکی از پاها نامشخص باشد، لازم است فرمول را به صورت زیر تبدیل کنید: c^2 - a^2 = b^2. و برعکس برای پای دیگر.

بیایید مثال را ادامه دهیم. اکنون باید به فرمول استاندارد برای یافتن محیط یک شکل رجوع کنید: P = a + b + c. در مورد ما: P = 3 + 4 + 5 = 12 سانتی متر.

روش سوم: توسط دو وجه و زاویه بین آنها

در دبیرستان و همچنین دانشگاه، اغلب باید به این روش خاص برای یافتن محیط روی بیاورید. اگر شرایط مسئله طول دو ضلع و همچنین ابعاد زاویه بین آنها را مشخص کند، سپس از قانون کسینوس استفاده کنید.

این قضیه مطلقاً برای هر مثلثی صدق می کند که آن را به یکی از مفیدترین مثلث ها در هندسه تبدیل می کند. خود قضیه به این شکل است: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C))، که در آن a، b، c طول های استاندارد و A، B و C هستند. زوایایی هستند که در مقابل وجوه متناظر مثلث قرار دارند. یعنی A زاویه مقابل ضلع a است و به همین ترتیب.

تصور کنید مثلثی توصیف می شود که اضلاع a و b آن به ترتیب 100 سانتی متر و 120 سانتی متر است و زاویه بین آنها 97 درجه است. یعنی a = 100 سانتی متر، b = 120 سانتی متر، C = 97 درجه.

تنها کاری که در این مورد باید انجام شود این است که همه مقادیر شناخته شده را با قضیه کسینوس جایگزین کنیم. طول وجه های شناخته شده مربع می شود و پس از آن اضلاع معلوم بین یکدیگر و در دو ضرب می شود و در کسینوس زاویه بین آنها ضرب می شود. در مرحله بعد، باید مربع های صورت ها را اضافه کنید و مقدار دوم به دست آمده را از آنها کم کنید. ریشه مربع از مقدار نهایی استخراج می شود - این سومین سمت ناشناخته قبلی خواهد بود.

پس از مشخص شدن هر سه صورت شکل، باید از فرمول استاندارد برای یافتن محیط شکل توصیف شده از روش اول استفاده کنیم که قبلاً عاشق آن شده ایم.