असली दुनिया में फ्रैक्टल। अनुसंधान वस्तु। अनुसंधान "विश्व फ्रैक्टल की यात्रा

फ्रैक्टल कैसा था

मैथमैटिकल फॉर्म फ्रैक्टल के रूप में जाना जाता है जो एक उत्कृष्ट वैज्ञानिक बेनोइट मंडेलब्रॉट के प्रतिभा से संबंधित है। उन्होंने यूएस विश्वविद्यालय येल में गणित को अपने अधिकांश जीवन सिखाया। 1 9 77 - 1 9 82 में, मंडेलब्रॉट प्रकाशित वैज्ञानिक कार्य"फ्रैक्टल ज्यामिति" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित, जिसमें पहली नज़र में, घटक तत्वों पर यादृच्छिक गणितीय रूप, जो दोहराने से निकटतम समीक्षा में शामिल हुए, - जिसने एक निश्चित नमूने की उपस्थिति भी साबित की प्रतिलिपि बनाना। मंडेलब्रोक के उद्घाटन के भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीवविज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण परिणाम थे।

प्रकृति में फ्रैक्टल

प्रकृति में, कई वस्तुओं में फ्रैक्टल गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़, फूलगोभी, बादलों, मनुष्यों और जानवरों के रक्त और वायुकोशीय प्रणाली के मुकुट, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में बनाए जाते हैं, तट (फ्रैक्टल अवधारणा ने वैज्ञानिकों को अनुमति दी है ब्रिटिश द्वीप समूह तटरेखा और अन्य, पहले अतुलनीय, वस्तुओं) को मापें।

फूलगोभी की संरचना पर विचार करें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि एक ही फूलगोभी हाथों में रहता है, केवल छोटे। आप एक माइक्रोस्कोप के नीचे भी बार-बार काट सकते हैं - लेकिन जो कुछ भी हमें मिलता है वह फूलगोभी की छोटी प्रतियां है। इस सबसे सरल मामले में, फ्रैक्टल का एक छोटा सा हिस्सा भी पूरी अंतिम संरचना के बारे में जानकारी है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल

फ्रैक्टल ज्यामिति ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई प्रौद्योगिकियों के विकास में एक अमूल्य योगदान दिया, साथ ही डिजिटल छवियों के संभावित संपीड़न को भी बनाया। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल तस्वीर के बजाय संपीड़न छवि के भंडारण सिद्धांत पर आधारित होते हैं। छवि को संपीड़ित करने के लिए, मुख्य तस्वीर एक निश्चित बिंदु बनी हुई है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोष खाने पर इस एल्गोरिदम के विभिन्न प्रकारों में से एक का उपयोग किया, लेकिन एक कारण या किसी अन्य कारण से, इस विचार को व्यापक प्रसार नहीं मिला।

गणितीय आधार फ्रैक्टल ग्राफिक्स फ्रैक्टल ज्यामिति निहित है, जहां प्रारंभिक "मूल वस्तुओं" से विरासत के तरीके "वारिस छवियों" के तरीकों के आधार पर आधारित हैं। फ्रैक्टल ज्यामिति और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं केवल 30 साल पहले दिखाई दीं, लेकिन यह पहले से ही कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के उपयोग में मजबूती से शामिल थी।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफिक्स की मूल अवधारणाएं हैं:

• फ्रैक्टल त्रिकोण - फ्रैक्टल आकृति - फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• फ्रैक्टल सीधे
• भोग-रचना
• "अभिभावक वस्तु" और "वस्तु उत्तराधिकारी"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स में, फ्रैक्टल छवियों का निर्माण गणितीय रूप से गणना की गई। पहले दो प्रकार के ग्राफिक्स से मुख्य अंतर यह है कि फ्रैक्टल छवि समीकरण या समीकरणों की प्रणाली द्वारा बनाई गई है - कुछ भी नहीं बल्कि कंप्यूटर की स्मृति में सूत्र सभी गणनाओं को स्टोर करने के लिए आवश्यक नहीं है - और गणितीय उपकरण की ऐसी कॉम्पैक्टनेस की अनुमति है कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार का उपयोग। बस समीकरण के गुणांक को बदलना, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांक की मदद से, सतहों और रेखाओं को बहुत ही निर्दिष्ट किया जाता है जटिल रूपयह आपको क्षैतिज और लंबवत, समरूपता और विषमता, विकर्ण दिशाओं और बहुत कुछ के रूप में रचनाओं की ऐसी संरचना को लागू करने की अनुमति देता है।

एक फ्रैक्टल कैसे बनाएं?

फ्रैक्टल का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और एक आविष्कारक वैज्ञानिक के रूप में कार्य करता है। "स्क्रैच से" ड्राइंग के निर्माण के काम के चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का पैटर्न सेट करें
• प्रक्रिया के अभिसरण का अन्वेषण करें और इसके मापदंडों को अलग करें
• छवि छवि का चयन करें
• फूलों का एक पैलेट चुनें

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में आवंटित किया जा सकता है:

• "कला डब्बलर"
• "पेंटर" (एक कंप्यूटर के बिना, एक कलाकार कभी भी एक पेंसिल और पेन ब्रश का उपयोग करके संभावनाओं के प्रोग्रामर तक नहीं पहुंच जाएगा)
• "एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां "स्क्रैच से" छवि नहीं बनाई गई है, और, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित)

एक मनमानी फ्रैक्टल ज्यामितीय आकार के डिवाइस पर विचार करें। अपने केंद्र में एक सरल तत्व है - एक समतुल्य त्रिभुज, जिसे एक ही नाम प्राप्त हुआ: "फ्रैक्टल"। पार्टियों के औसत खंड पर, हम प्रारंभिक फ्रैक्टल त्रिकोण के पक्ष में एक तिहाई पक्ष के साथ समतुल्य त्रिकोण का निर्माण करेंगे। एक ही सिद्धांत में, दूसरी पीढ़ी के छोटे त्रिकोण-वारिस भी बनाया जा रहा है - और इतनी अनिश्चित काल तक। ऑब्जेक्ट, जो परिणामस्वरूप निकला, जिसे "फ्रैक्टल आकृति" कहा जाता है, जिनके अनुक्रमों से हमें "फ्रैक्टल संरचना" मिलती है।

स्रोत: http://www.iknowit.ru/

फ्रैक्टल और प्राचीन मंडल

यह पैसा आकर्षित करने के लिए एक मंडला है। स्वीकृति दें कि लाल रंग की तरह काम करता है मनी मैग्नेट। और जहाजों ने आपको कुछ भी याद नहीं किया है? वे मुझे बहुत परिचित लग रहे थे और मैं मंडला के अध्ययन में एक फ्रैक्टल के रूप में लगी हुई थी।

सिद्धांत रूप में, मंडला एक जटिल संरचना का एक ज्यामितीय प्रतीक है, जिसे ब्रह्मांड के मॉडल के रूप में व्याख्या किया जाता है, "कॉसमॉस मानचित्र"। फ्रैक्टैलिटी का पहला संकेत यहां दिया गया है!

वे ऊतक पर कढ़ाई करते हैं, रेत पर खींचे जाते हैं, गैर-लौह पाउडर के साथ प्रदर्शन करते हैं और धातु, पत्थर, लकड़ी से बने होते हैं। एक उज्ज्वल और आकर्षक दिखने वाला, इसे भारत में मंदिरों की फर्श, दीवारों और छत की एक सुंदर सजावट बनाता है। प्राचीन भारतीय भाषा मंडला ब्रह्मांड की आध्यात्मिक और भौतिक ऊर्जा या जीवन के एक अलग फूल के रिश्ते के एक रहस्यमय सर्कल को दर्शाता है।

मैं कम से कम पैराग्राफ के साथ फ्रैक्टल मंडलस का एक सिंहावलोकन लिखना चाहता था, यह दर्शाता है कि संबंध स्पष्ट रूप से मौजूद है। हालांकि, एक पूरे में फ्रैक्टल और मंडल के बारे में जागरूक और संबद्ध जानकारी खोजने की कोशिश कर रहा है, मुझे मेरे लिए अज्ञात स्थान में क्वांटम कूद की भावना थी।

हम इस विषय के उद्धरण की तीव्रता का प्रदर्शन करते हैं: "इस तरह की फ्रैक्टल रचनाओं या मंडाल का उपयोग चित्रों के रूप में किया जा सकता है, आवासीय और कामकाजी स्थान के डिजाइन के तत्व, वीडियो टेप के रूप में पहनने योग्य ताबीज, कंप्यूटर प्रोग्राम... "सामान्य रूप से, फ्रैक्टल के शोध के लिए विषय सिर्फ एक बड़ा है।

एक बात मैं बिल्कुल कह सकता हूं, दुनिया उनके बारे में हमारे दिमाग के मनहूस विचारों की तुलना में अधिक विविध और समृद्ध है।

फ्रैक्टल समुद्री जानवर

फ्रैक्टल समुद्री जानवरों के बारे में मेरे अनुमानों को भूखा नहीं था। यहां पहले प्रतिनिधि हैं। ऑक्टोपस - चार्टन फिट से सागर डोनया पशु।

इस तस्वीर को देखते हुए, मैं अपने शरीर की एक स्पष्ट फ्रैक्टल संरचना बन गया और इस जानवर के सभी आठ तम्बू पर चूसने वाले। वयस्क ऑक्टोपस तम्बू पर सक्शन कप 2000 तक पहुंचता है।

यह दिलचस्प है कि ऑक्टोपस तीन दिल है: एक (सबसे महत्वपूर्ण रूप से) पूरे शरीर में नीले रक्त को चलाता है, और दो अन्य - गिल - गिल के माध्यम से रक्त को धक्का देते हैं। जहरीले के इन गहरे पानी के फ्रैक्टल के कुछ प्रकार।

के तहत अपनाना और मास्किंग वातावरणऑक्टोपस में रंग बदलने की बहुत उपयोगी क्षमता है।

ऑक्टोप्रेस को सभी अपरिवर्तकों के बीच सबसे अधिक "स्मार्ट" माना जाता है। लोगों को जानें, उन लोगों के लिए उपयोग करें जो उन्हें खिलाते हैं। ऑक्टोपस को देखना दिलचस्प होगा, जो ट्रेन के लिए आसान है, अच्छी याददाश्त है और यहां तक \u200b\u200bकि ज्यामितीय आकार भी अलग है। लेकिन इन फ्रैक्टल जानवरों की उम्र एक गैर-राष्ट्रीय है - अधिकतम 4 साल।

एक व्यक्ति इस जीवित फ्रैक्टल और अन्य चार्ट की स्याही का उपयोग करता है। वे कलाकारों से उनकी स्थायित्व और एक सुंदर भूरे रंग के स्वर के लिए मांग में हैं। भूमध्य व्यंजन में, ऑक्टोपस विटामिन बी 3, बी 12, पोटेशियम, फास्फोरस और सेलेनियम का स्रोत है। लेकिन मुझे लगता है कि इन नौटिकल फ्रैक्टल को अपनी खाद्य खपत का आनंद लेने के लिए तैयार करने में सक्षम होना चाहिए।

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऑक्टोपस शिकारियों हैं। वे अपने फ्रैक्टल तम्बू को पीड़ित को मोलस्क, क्रस्टेसियन और मछली के रूप में रखते हैं। यह एक दयालु है यदि इन समुद्री फ्रैक्टल का भोजन इतना सुंदर मोलस्क बन जाता है। मेरी राय में, समुद्री साम्राज्य के फ्रैक्टल का एक विशिष्ट प्रतिनिधि भी।

यह एक घोंघा रिश्तेदार है, एक बर्गलर-पैर वाला ग्लैज़ ग्लेव, वह ग्लुकोस है, वह ग्लुकोस अटलांटिकस है, वह ग्लूकीला मार्जिनटा है। यह फ्रैक्टल भी असामान्य है कि यह सतह तनाव के कारण होल्डिंग करते समय पानी की सतह के नीचे रहता है और चलता है। चूंकि Mollusk एक hermaphrodite है, फिर दोनों "भागीदारों" दोनों अंडे डालते हैं। यह फ्रैक्टल उष्णकटिबंधीय बेल्ट के सभी महासागरों में पाया जाता है।

समुद्री राज्य के फ्रैक्टल

हम में से प्रत्येक अपने जीवन में कम से कम एक बार अपने हाथों में रखे और वास्तविक बाल रूचि के साथ उसने समुद्र के खोल को देखा।

आमतौर पर गोले समुद्र की यात्रा के समान एक सुंदर स्मारिका हैं। जब आप इनवर्टेब्रेट मोलस्क के इस सर्पिल गठन को देखते हैं, तो इसकी फ्रैक्टल प्रकृति में कोई संदेह नहीं है।

हम, लोग, कुछ के साथ हम इन मुलायम मोलस्कों को याद दिलाते हैं, जो अच्छी तरह से बनाए रखा ठोस घरों के फ्रैक्टल में अपवित्र हैं, तेजी से कारों में अपने शरीर को रखकर और स्थानांतरित करते हैं।

फ्रैक्टल अंडरवाटर वर्ल्ड का एक और विशिष्ट प्रतिनिधि कोरल है।
प्रकृति में, कोरल की 3500 से अधिक किस्मों को ज्ञात किया जाता है, जिनमें से 350 रंगीन रंगों तक प्रतिष्ठित होते हैं।

कोरल कोरल पॉलीप्स कॉलोनी की कंकाल सामग्री, अपरिवर्तनीय परिवार से भी है। उनके विशाल संचय पूरे मूंगा चट्टानों, गठन की फ्रैक्टल विधि स्पष्ट है।

पूर्ण आत्मविश्वास के साथ कोरल को समुद्री साम्राज्य से फ्रैक्टल कहा जा सकता है।

यह गहने और गहने के लिए स्मारिका या कच्चे माल के रूप में एक व्यक्ति द्वारा भी प्रयोग किया जाता है। लेकिन फ्रैक्टल प्रकृति की सुंदरता और पूर्णता को दोहराएं बहुत मुश्किल है।

किसी कारण से, मुझे कोई संदेह नहीं है कि पानी के नीचे की दुनिया में कई फ्रैक्टल जानवर भी गहरा हो गए हैं।

एक बार फिर, रसोईघर में एक चाकू और एक काटने बोर्ड के साथ एक अनुष्ठान को पूरा करना, और फिर, चाकू को कम करना ठंडा पानीमैं एक बार फिर आँसू में आँसू के साथ आया, कैसे एक आंसू फ्रैक्टल से निपटने के लिए, जो लगभग दैनिक मेरी आंखों में दिखाई देता है।

फ्रैक्टलिटी का सिद्धांत प्रसिद्ध Matryoshka - घोंसले के समान है। यही कारण है कि फ्रैक्टैलिटी नोटिस तुरंत नहीं। इसके अलावा, उज्ज्वल सजातीय रंग और अप्रिय संवेदना पैदा करने की इसकी प्राकृतिक क्षमता ब्रह्मांड पर स्थिर अवलोकन और फ्रैक्टल गणितीय पैटर्न की पहचान में योगदान नहीं देती है।

लेकिन अपने रंगों के कारण लिलाक रंग का सलाद कटोरा और आंसू phytoncides की कमी इस सब्जी की प्राकृतिक अस्थिरता पर प्रतिबिंब पर लाया। बेशक, यह फ्रैक्टल यह विभिन्न व्यास की एक साधारण, सामान्य परिधि है, आप एक आदिम फ्रैक्टल भी कह सकते हैं। लेकिन यह याद रखने में कोई दिक्कत नहीं करेगा कि गेंद को हमारे ब्रह्मांड के भीतर एक आदर्श ज्यामितीय आंकड़ा माना जाता है।

इंटरनेट पर ल्यूक के उपयोगी गुणों पर प्रकाशित बहुत सारे लेख, लेकिन किसी भी तरह से किसी ने भी इस प्राकृतिक प्रतिलिपि को फ्रैक्टलिटी के दृष्टिकोण से अध्ययन करने की कोशिश नहीं की। मैं केवल रसोईघर में धनुष के रूप में फ्रैक्टल के उपयोग के लाभ का लाभ उठा सकता हूं।

पी.एस. और मैंने पहले ही फ्रैक्टल पीसने के लिए सब्जी कटर हासिल कर लिया है। अब आपको यह दर्शाना होगा कि एक साधारण सफेद गोभी की तरह, एक उपयोगी सब्जी कितनी फ्रैक्टेबल है। घोंसले का एक ही सिद्धांत।

लोक कला में फ्रैक्टल

मेरा ध्यान विश्व प्रसिद्ध खिलौना "Matryoshka" की कहानी को आकर्षित किया। सावधानी से देखकर, आत्मविश्वास के साथ यह कहा जा सकता है कि यह स्मारिका खिलौना एक विशिष्ट फ्रैक्टल है।

फ्रैक्टलिटी का सिद्धांत स्पष्ट है जब लकड़ी के खिलौने के सभी आंकड़े एक पंक्ति में बनाए जाते हैं, और एक दूसरे में निवेश नहीं करते हैं।

विश्व बाजार में इस खिलौने फ्रैक्टल के इतिहास के मेरे मामूली अध्ययनों से पता चला है कि इस सुंदरता की जड़ें जापानी हैं। Matryoshka हमेशा एक अद्भुत रूसी स्मारिका माना जाता था। लेकिन यह पता चला कि वह ओल्ड मैन-सेज फुकुरम के जापानी आंकड़े का प्रोटोटाइप थी, जो एक बार जापान से मास्को में लाया गया था।

लेकिन यह रूसी खिलौना मछली पकड़ने वाला था जो इस जापानी आंकड़े के लिए विश्व प्रसिद्धि लाया। फ्रैक्टल घोंसले के खिलौनों का विचार कहां था, व्यक्तिगत रूप से मेरे लिए और एक रहस्य बना रहा। सबसे अधिक संभावना है कि इस खिलौने के लेखक ने एक दूसरे में आंकड़ों के घोंसले के सिद्धांत का उपयोग किया। और निवेश का सबसे आसान तरीका विभिन्न आकारों के आंकड़े हैं, और यह पहले से ही एक फ्रैक्टल है।

अध्ययन की एक समान रूप से दिलचस्प वस्तु फ्रैक्टल खिलौनों की पेंटिंग है। यह एक सजावटी पेंटिंग - खोख्लोमा है। खोख्लोमा के पारंपरिक तत्व फूल, जामुन और शाखाओं के हर्बल पैटर्न हैं।

फिर से फ्रैक्टलिटी के सभी संकेत। आखिरकार, एक ही तत्व को विभिन्न संस्करणों और अनुपात में कई बार दोहराया जा सकता है। नतीजतन, एक लोक फ्रैक्टल पेंटिंग प्राप्त की जाती है।

और यदि कंप्यूटर चूहों की नई शैली की पेंटिंग, लैपटॉप और फोन के कवर कोई भी आश्चर्यचकित नहीं होगा, तो लोक शैली में कार की फ्रैक्टल ट्यूनिंग ऑटोडिज़िन में कुछ नया है। यह केवल हमारे जीवन में हमारे जीवन में इस तरह के असामान्य तरीके से हमारे जीवन में फ्रैक्टल की अभिव्यक्ति में आश्चर्यचकित रहता है।

रसोई में फ्रैक्टल

हर बार, उबलते पानी में ब्लैंचिंग के लिए छोटी inflorescences में फूलगोभी को अलग किया, मैंने कभी भी अस्थिरता के स्पष्ट संकेतों पर ध्यान नहीं दिया है, जबकि मेरे पास इस उदाहरण में यह उदाहरण नहीं था।

विशिष्ट फ्रैक्टल प्रतिनिधि सब्जी दुनिया मेरे पाकगृह पर।

फूलगोभी के लिए मेरे सारे प्यार के साथ, यह हर समय एक सजातीय सतह के साथ एक सजातीय सतह के साथ सामने आया, और यहां तक \u200b\u200bकि एक-दूसरे में एम्बेडेड प्रवाह की बड़ी संख्या में मुझे इस उपयोगी सब्जी में फ्रैक्टल सब्जी देखने का कारण नहीं मिला ।

लेकिन एक स्पष्ट रूप से स्पष्ट फ्रैक्टल ज्यामिति के साथ इस विशेष उदाहरण की सतह ने इस प्रकार के गोभी के फ्रैक्टल उत्पत्ति में मामूली संदेह नहीं छोड़ा।

हाइपरमार्केट की एक और यात्रा ने केवल फ्रैक्टल गोभी की स्थिति की पुष्टि की। विदेशी सब्जियों की बड़ी संख्या में, एक पूरे बॉक्स को फ्रैक्टल के साथ अवरुद्ध कर दिया गया था। यह एक रोमांस, या रोमनस्की ब्रोकोली, रंगीन कोरल गोभी था।

यह पता चला है कि डिजाइनर और 3 डी कलाकार फ्रैक्टल के समान अपने विदेशी रूपों के साथ उत्साही हैं।

लॉगरिदमिक सर्पिल पर गोभी गुर्दे बढ़ रहे हैं। कैबेस्टो रोमेन्टिक के पहले संदर्भ 16 वीं शताब्दी के इटली से आए थे।

और गोभी ब्रोकोली मेरे आहार में पूरी तरह से अक्सर अतिथि नहीं है, हालांकि उपयोगी पदार्थों की सामग्री और तत्वों का पता लगाता है, यह कई बार एक फूलगोभी से अधिक होता है। लेकिन इसकी सतह और फॉर्म इतने सजातीय हैं कि मैं इसमें सब्जी फ्रैक्टल को देखने के लिए कभी नहीं हुआ।

Qilling में फ्रैक्टल

एक क्विलिंग तकनीक में ओपनवर्क शिल्प को देखते हुए, मैंने कभी महसूस नहीं किया कि कुछ वे मुझे याद दिलाते हैं। विभिन्न आकारों में एक ही तत्वों की पुनरावृत्ति निश्चित रूप से, यह अस्थिरता का सिद्धांत है।

Qulation में अगले मास्टर क्लास को देखने के बाद, रानी की अस्थिरता के बारे में कोई संदेह नहीं था। आखिरकार, रानी से शिल्प के लिए विभिन्न तत्वों के निर्माण के लिए, विभिन्न व्यास के मंडलियों के साथ एक विशेष लाइन का उपयोग किया जाता है। उत्पादों की सभी सुंदरता और विशिष्टता के साथ, यह एक अविश्वसनीय रूप से सरल तकनीक है।

क्विलिंग में शिल्प के लिए लगभग सभी बुनियादी तत्व पेपर से बने होते हैं। मुफ्त में क्वीनिंग के लिए स्टॉक पेपर के लिए, अपने बुकशेल्व का होम संशोधन करें। निश्चित रूप से, वहां आपको कुछ उज्ज्वल चमकदार पत्रिकाएं मिलेंगी।

QWILL उपकरण सरल और सस्ती हैं। आपको बस शौकिया-शैली quilling को पूरा करने की जरूरत है, आप अपने घर स्टेशनरी में पा सकते हैं।

और 18 वीं शताब्दी में यूरोप में रानी का इतिहास शुरू होता है। पुनर्जागरण के युग में, रानी की मदद से फ्रांसीसी और इतालवी मठों के भिक्षुओं को पुस्तक कवर के साथ सजाया गया था और यह भी संदेह नहीं था कि एक फ्रैक्टिटी का आविष्कार पेपरवर्क का आविष्कार किया गया था। उच्चतम समाज की लड़कियों ने विशेष स्कूलों में रानी पर भी एक कोर्स पारित किया। यह तकनीक देशों और महाद्वीपों के माध्यम से फैल गई।

लक्जरी पंखों के निर्माण के लिए इस मास्टर क्लास वीडियो quilling को भी "फ्रैक्टल अपने हाथों से" कहा जा सकता है। पेपर फ्रैक्टल की मदद से, अद्भुत विशेष कार्ड - वैलेंटाइन्स और कई अलग-अलग अन्य रोचक चीजें प्राप्त की जाती हैं। आखिरकार, कल्पना, अविश्वसनीय की प्रकृति की तरह।

यह कोई रहस्य नहीं है कि जीवन में जापानी अंतरिक्ष में दृढ़ता से सीमित है, जिसके संबंध में उन्हें प्रभावी रूप से उपयोग में परिष्कृत होना है। मियाकावा ताकेशी दिखाता है कि इसे एक साथ और सौंदर्यशास्त्र कैसे किया जा सकता है। इसकी फ्रैक्टल कोठरी पुष्टि है कि डिजाइन में फ्रैक्टल का उपयोग न केवल फैशन के लिए एक श्रद्धांजलि है, बल्कि सामंजस्यपूर्ण भी है डिजाइन समाधान सीमित स्थान की शर्तों में।

वास्तविक जीवन में फ्रैक्टल का उपयोग करने का यह उदाहरण, जैसा कि फर्नीचर के डिजाइन पर लागू हुआ, मुझे दिखाया कि फ्रैक्टल न केवल गणितीय सूत्रों और कंप्यूटर प्रोग्राम में पेपर पर वास्तविक हैं।

और ऐसा लगता है कि फ्रैक्टलिटी प्रकृति का सिद्धांत हर जगह उपयोग करता है। बस इसे चौकस देखने की जरूरत है, और यह खुद को अपनी बड़ी बहुतायत और अनंतता में दिखाएगा।

नगर बजट सामान्य शिक्षा - औसत माध्यमिक विद्यालय

से। कुत्ता

वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन "गणित की अद्भुत दुनिया"

अनुसंधान "फ्रैक्टल की दुनिया की यात्रा"

प्रदर्शन: छात्र 10 वर्ग

Allahverdieva Naila

नेता: डेविडोवा ई वी।

1. 
   परिचय।
2. 
   मुख्य हिस्सा:

ए) फ्रैक्टल की अवधारणा;

बी) फ्रैक्टल के निर्माण का इतिहास;

ग) फ्रैक्टल का वर्गीकरण;

डी) फ्रैक्टल का उपयोग;

ई) प्रकृति में फ्रैक्टल;

ई) फ्रैक्टल रंग।

3. निष्कर्ष।

परिचय।

"फ्रैक्टल" की रहस्यमय अवधारणा के पीछे क्या छुपा रहा है? शायद, कई लोगों के लिए, यह शब्द कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके बनाई गई सुंदर छवियों, जटिल पैटर्न और उज्ज्वल छवियों से जुड़ा हुआ है। लेकिन फ्रैक्टल आसान चित्र नहीं हैं। ये विशेष संरचनाएं हैं जो सब कुछ घेरती हैं। ब्रूरिंग बी वैज्ञानिक दुनिया कुछ दशकों पहले, फ्रैक्टल आस-पास की वास्तविकता की धारणा में एक वास्तविक क्रांति का उत्पादन करने में कामयाब रहे। फ्रैक्टल का उपयोग करके, एक व्यक्ति प्राकृतिक वस्तुओं, प्रणालियों, प्रक्रियाओं और घटनाओं के उच्च परिशुद्धता गणितीय मॉडल बना सकता है।

मुख्य हिस्सा
फ्रैक्टल की अवधारणा।

भग्न(लैट से। फ्रैक्टस। - कुचल, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - एक जटिल ज्यामितीय आकृति, जिसमें आत्म-समानता की संपत्ति है, जो कि कई हिस्सों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पूरे आंकड़े के समान है। प्रकृति में कई वस्तुओं में फ्रैक्टल गुण होते हैं, जैसे कि तट, बादल, पेड़ ताज, संचार प्रणाली और मानव या पशु alveoli प्रणाली।

विशेष रूप से विमान पर फ्रैक्टल, कंप्यूटर का उपयोग करके निर्माण की आसानी के साथ सौंदर्य के संयोजन के कारण लोकप्रिय हैं।

सृजन का इतिहास.
फ्रैक्टल के विज्ञान को एक नए स्तर पर लाने के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रोट प्रबंधित किया गया था - वैज्ञानिक जो आज फ्रैक्टल ज्यामिति के पिता के रूप में मान्यता प्राप्त है। पहली बार MandelBroid ने "फ्रैक्टल" शब्द की परिभाषा दी:

उद्धरण

"फ्रैक्टल को भागों से युक्त संरचना कहा जाता है, जो कुछ अर्थों में पूरी तरह से होते हैं"
70 के दशक में, बेनोइट मंडेलब्रॉट ने आईबीएम में गणितीय विश्लेषक के रूप में काम किया। वैज्ञानिक ने पहले इलेक्ट्रॉनिक नेटवर्क में शोर का अध्ययन करने की प्रक्रिया में फ्रैक्टल के बारे में सोचा। पहली नज़र में, डेटा ट्रांसमिशन के दौरान बिल्कुल अराजक हस्तक्षेप था। मंडेलब्रॉट ने त्रुटियों का एक कार्यक्रम बनाया और यह आश्चर्यचकित था कि किसी भी समय पैमाने पर, सभी टुकड़े भी दिखते थे। सप्ताह के शोर के पैमाने पर एक दिन, एक घंटे या मिनट के पैमाने पर एक ही अनुक्रम में दिखाई दिया। मंडेलब्रॉट समझ गया कि त्रुटियों की आवृत्ति जब डेटा स्थानांतरण को कैंटोर द्वारा निर्धारित सिद्धांत पर समय के साथ वितरित किया जाता है देर से XIX। सदी। फिर बेनोय मंडेलब्रॉट को गंभीर रूप से फ्रैक्टल के अध्ययन से दूर किया गया था।
अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, यह मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल के निर्माण के लिए ज्यामितीय निर्माण नहीं था, लेकिन बीजगणितीय परिवर्तन विभिन्न जटिलता। गणितज्ञ ने रिवर्स पुनरावृत्तियों की विधि का उपयोग किया, जो एक ही समारोह की एकाधिक गणना का तात्पर्य है। कंप्यूटर के उपयोग का उपयोग करके, गणितज्ञ ने बड़ी मात्रा में सफलता की गणना की, जिसके परिणाम जटिल विमान पर ग्राफिक रूप से प्रदर्शित होते हैं। इतने सारे मंडेलब्रोक दिखाई दिए - एक जटिल बीजगणितीय फ्रैक्टल, जिसे आज फ्रैक्टल पर विज्ञान का क्लासिक माना जाता है। कुछ मामलों में, एक ही विषय को एक साथ चिकनी और फ्रैक्टल माना जा सकता है। यह बताने के लिए कि ऐसा क्यों होता है, मंडेलब्रोथ एक दिलचस्प दृश्य उदाहरण लाता है। ऊनी धागे का एक उलझन, एक निश्चित दूरी पर हटा दिया गया, आयाम के साथ एक बिंदु की तरह दिखता है 1. आस-पास स्थित टेंगल, दो-आयामी डिस्क की तरह दिखता है। इसे हाथ में लेकर, आप स्पष्ट रूप से गेंद की मात्रा महसूस कर सकते हैं - अब इसे त्रि-आयामी माना जाता है। और टेंगल के फ्रैक्टल को केवल एक आवर्धक डिवाइस, या मक्खियों का उपयोग करके पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से माना जा सकता है, जो असमान ऊनी धागे की सतह पर परोसा जाता है। इसलिए, वस्तु की वास्तविक अस्थिरता पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण और उपकरण के संकल्प पर निर्भर करती है।
मंडेलब्रॉट ने एक दिलचस्प पैटर्न का उल्लेख किया - मापा वस्तु पर विचार करने के करीब, इसकी सीमा अधिक विस्तारित होगी। इस संपत्ति को प्राकृतिक फ्रैक्टल - तटरेखा में से एक की लंबाई को मापने के उदाहरण पर स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। द्वारा माप आयोजित करना भौगोलिक मानचित्र।, लंबाई का अनुमानित मूल्य प्राप्त करना संभव है, क्योंकि सभी अनियमितताओं और झुकाव को ध्यान में नहीं रखा जाएगा। यदि आप माप को मापते हैं, तो मानव विकास की ऊंचाई से दृश्यमान राहत की सभी अनियमितताओं को ध्यान में रखते हुए, नतीजा कुछ हद तक अलग होगा - समुद्र तट की लंबाई में काफी वृद्धि होगी। और अगर सैद्धांतिक रूप से कल्पना करें कि मापने वाला उपकरण प्रत्येक कंकड़ की अनियमितता को रिबन करेगा, तो इस मामले में समुद्र तट की लंबाई लगभग अनंत होगी।
फ्रैक्टल वर्गीकरण।

फ्रैक्टल में विभाजित हैं:

ज्यामितीय: इस वर्ग के फ्रैक्टल सबसे अधिक दृश्य हैं, वे तुरंत आत्म-समानता दिखाई देते हैं। फ्रैक्टल का इतिहास ज्यामितीय फ्रैक्टल के साथ शुरू हुआ, जिसका अध्ययन xix शताब्दी में गणितज्ञों द्वारा किया गया था।

बीजगणित: इस फ्रैक्टल समूह को ऐसा नाम मिला क्योंकि फ्रैक्टल सरल बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग करके गठित होते हैं।

स्टोकास्टिक: फ्रैक्टल पैरामीटर की पुनरावृत्ति प्रक्रिया में आकस्मिक परिवर्तन के मामले में गठित होते हैं। द्वि-आयामी स्टोकास्टिक फ्रैक्टल का उपयोग इलाके और समुद्र की सतह को मॉडलिंग में किया जाता है।

ज्यामितीय फ्रैक्टल

यह उनसे था कि फ्रैक्टल का इतिहास शुरू हुआ। इस प्रकार का फ्रैक्टल सरल ज्यामितीय निर्माण द्वारा प्राप्त किया जाता है। आम तौर पर, इन फ्रैक्टल का निर्माण करते समय, वे ऐसा करते हैं: "बीज" लिया जाता है - वसंत - सेगमेंट का एक सेट, जिसके आधार पर फ्रैक्टल बनाया जाएगा। इस "बीज" के आगे नियमों का एक सेट लागू करें जो इसे किसी को भी परिवर्तित करता है ज्यामितीय आकार। इसके बाद, नियमों का एक ही सेट इस आकृति के प्रत्येक भाग पर लागू होता है। प्रत्येक चरण के साथ, यह आंकड़ा अधिक जटिल और अधिक कठिन हो जाएगा, और यदि हम फ़ीड (कम से कम दिमाग में), असीमित संख्या में परिवर्तन - हमें एक ज्यामितीय फ्रैक्टल मिलता है। क्लासिक उदाहरण ज्यामितीय फ्रैक्टल: कोच स्नोफ्लेक, पत्ता, सर्पिंस्की का त्रिकोण, ड्रैगनोव टूटा हुआ (परिशिष्ट 1)।

बीजगणितीय फ्रैक्टल

दूसरा बड़ा फ्रैक्टल समूह बीजगणितीय (परिशिष्ट 2) है। उन्होंने यह सुनिश्चित करने के लिए अपना नाम प्राप्त किया कि वे बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर बनाए गए हैं, कभी-कभी बहुत आसान होते हैं। बीजगणितीय फ्रैक्टल प्राप्त करने के तरीके कई हैं।

दुर्भाग्यवश, फ्रैक्टल निर्माण की व्याख्या करने के लिए आवश्यक जटिल संख्याओं से जुड़े 10-11 वर्ग के कई नियम स्तर मेरे लिए अज्ञात हैं और अभी भी समझना मुश्किल है, इसलिए मेरे लिए इस तरह के फ्रैक्टल के निर्माण का वर्णन करना संभव नहीं है।

प्रारंभ में फ्रैक्टल नेचर ब्लैक एंड व्हाइट, लेकिन यदि आप थोड़ा फंतासी और पेंट जोड़ते हैं, तो आप कला का असली काम प्राप्त कर सकते हैं।

स्टोकास्टिक फ्रैक्टल

फ्रैक्टल "प्लाज्मा" (परिशिष्ट 3) के इस वर्ग का एक विशिष्ट प्रतिनिधि। इसे बनाने के लिए, एक आयताकार लें और इसके प्रत्येक कोण के लिए रंग निर्धारित करेगा। इसके बाद, हमें आयताकार का केंद्रीय बिंदु मिल जाता है और इसे आयताकार के कोनों पर औसत अंकगणितीय रंगों के बराबर रंग में रंग में पेंट किया जाता है। अधिक यादृच्छिक संख्या - अधिक "टूटा हुआ" एक ड्राइंग होगा। अगर हम अब कहते हैं कि बिंदु का रंग समुद्र तल से ऊंचाई है - हमें प्लाज्मा के बजाय मिलता है - एक पर्वत श्रृंखला। यह इस सिद्धांत पर है कि पहाड़ों को अधिकांश कार्यक्रमों में अनुकरण किया जाता है। प्लाज्मा के समान एल्गोरिदम की मदद से, ऊंचाई का नक्शा बनाया गया है, विभिन्न फ़िल्टर इसे लागू करते हैं, हम बनावट पर लागू होते हैं, कृपया, फोटोरियलिस्टिक पर्वत तैयार हैं!

आवेदन फ्रैक्टल

पहले से ही, विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में फ्रैक्टल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ग्राफिक जानकारी के फ्रैक्टल संग्रह की दिशा सक्रिय रूप से विकासशील है। सैद्धांतिक रूप से, फ्रैक्टल संग्रह गुणवत्ता के नुकसान के बिना बिंदु के आकार में छवियों को संपीड़ित कर सकता है। फ्रैक्टल सिद्धांत के अनुसार संपीड़ित चित्रों में वृद्धि के साथ, सबसे छोटे विवरण स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होते हैं, और अनाज प्रभाव पूरी तरह से अनुपस्थित है।

फ्रैक्टल के सिद्धांत के सिद्धांतों का उपयोग इलेक्ट्रोकार्डियोग्राम का विश्लेषण करने के लिए दवा में किया जाता है, क्योंकि दिल के संक्षिप्त नाम की लय भी एक फ्रैक्टल है। परिसंचरण तंत्र और मानव शरीर की अन्य आंतरिक प्रणालियों के अध्ययन की दिशा सक्रिय रूप से विकासशील है। जीवविज्ञान में, आबादी के भीतर होने वाली प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है।
मौसम विज्ञानी वायु द्रव्यमान की तीव्रता का विश्लेषण करने के लिए फ्रैक्टल निर्भरताओं का उपयोग करते हैं, जिससे मौसम परिवर्तन की अधिक सटीक भविष्यवाणी की संभावना दिखाई देती है। महान सफलता के साथ फ्रैक्टल मीडिया के भौतिकी जटिल अशांत प्रवाह, सोखने और प्रसार प्रक्रियाओं की गतिशीलता का अध्ययन करने का कार्य हल करती है। पेट्रोकेमिकल उद्योग में, छिद्रपूर्ण सामग्री अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल का सिद्धांत प्रभावी रूप से वित्तीय बाजारों में उपयोग किया जाता है। शक्तिशाली एंटीना डिवाइस बनाने के लिए फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
आज, फ्रैक्टल सिद्धांत विज्ञान का एक स्वतंत्र क्षेत्र है, जिसके आधार पर विभिन्न क्षेत्रों में सभी नए और नए निर्देश बनाए जा रहे हैं। फ्रैक्टल का महत्व कई वैज्ञानिक कागजात से समर्पित है।

लेकिन ये असामान्य वस्तुएं न केवल बेहद सहायक हैं, बल्कि अविश्वसनीय रूप से सुंदर भी हैं। यही कारण है कि फ्रैक्टल धीरे-धीरे कला में अपनी जगह ढूंढ रहे हैं। उनकी अद्भुत सौंदर्य अपील कई कलाकारों को फ्रैक्टल पेंटिंग्स बनाने के लिए प्रेरित करती है। आधुनिक संगीतकार विभिन्न फ्रैक्टल विशेषताओं के साथ इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का उपयोग करके संगीत कार्यों का निर्माण करते हैं। लेखकों ने अपने साहित्यिक कार्यों को बनाने के लिए एक फ्रैक्टल संरचना लागू की, और डिजाइनर फ्रैक्टल फर्नीचर और आंतरिक वस्तुओं को बनाते हैं।

प्रकृति में अस्थिरता

1 9 77 में, मंडेलब्रॉट "फ्रैक्टल: फॉर्म, दुर्घटना और आयाम" की पुस्तक प्रकाशित की गई थी, और 1 9 82 में एक और मोनोग्राफ प्रकाशित किया गया था - "प्रकृति की फ्रैक्टल ज्यामिति", जिन पृष्ठों पर लेखक ने प्रदर्शित किया था दृश्य उदाहरण प्रकृति में फ्रैक्टल के अस्तित्व के विभिन्न फ्रैक्टल सेट और एलईडी सबूत। फ्रैक्टल मंडेलब्रॉट के सिद्धांत का मुख्य विचार निम्नलिखित शब्दों में व्यक्त किया गया:

"ज्यामिति को अक्सर ठंडा और सूखा क्यों कहा जाता है? कारणों में से एक यह है कि यह बादलों, पहाड़ों, लकड़ी या समुंदर के किनारे का सटीक वर्णन करने में असमर्थ है। बादल गोलाकार नहीं हैं, किनारे की रेखाएं एक सर्कल नहीं हैं, और छाल नहीं है चिकनी नहीं है। और जिपर एक सीधी रेखा में लागू नहीं होता है। प्रकृति हमें और अधिक नहीं दर्शाती है उच्च डिग्री, और जटिलता का एक पूरी तरह से अलग स्तर। संरचनाओं में लंबाई की विभिन्न लंबाई की संख्या हमेशा अनंत होती है। इन संरचनाओं का अस्तित्व हमें उन रूपों का अध्ययन करने के कठिन कार्य के रूप में एक चुनौती देता है जो यूक्लिडियन को निर्दोष के रूप में गिरा दिया - असंगत के रूपव्यवस्था के अध्ययन के कार्यों के कार्यों। गणित, हालांकि, इस चुनौती से उपेक्षित और प्रकृति से तेजी से और अधिक पसंद करते हैं, सिद्धांतों का आविष्कार करते हैं जो आप देख सकते हैं या महसूस कर सकते हैं। "

कई प्राकृतिक वस्तुओं को फ्रैक्टल सेट (परिशिष्ट 4) के गुणों के पास रखा जाता है।

क्या फ्रैक्टल वास्तव में सार्वभौमिक संरचनाएं हैं जिन्हें इस दुनिया में बिल्कुल सबकुछ बनाते समय आधार के रूप में लिया गया था? कई प्राकृतिक वस्तुओं का रूप फ्रैक्टल के जितना संभव हो उतना करीब है। लेकिन सभी दुनिया के मौजूदा फ्रैक्टल में गणितज्ञों द्वारा बनाए गए सेट के रूप में इतनी सही और असीमित रूप से दोहराई गई संरचना नहीं होती है। पर्वत लकीरें, धातु गलती सतह, अशांत प्रवाह, बादल, फोम और कई-कई अन्य प्राकृतिक फ्रैक्टल पूरी तरह से सटीक आत्म-समानता से वंचित हैं। और यह विश्वास करना पूरी तरह से गलत होगा कि ब्रैक्टल ब्रह्मांड के सभी रहस्यों के लिए एक सार्वभौमिक कुंजी हैं। अपनी सभी स्पष्ट जटिलता के साथ, फ्रैक्टल वास्तविकता का केवल एक सरलीकृत मॉडल हैं। लेकिन आज उपलब्ध सभी फ्रैक्टल सिद्धांतों में से आसपास की दुनिया का वर्णन करने का सबसे सटीक माध्यम है।

क्या फ्रैक्टल वास्तव में सार्वभौमिक संरचनाएं हैं जिन्हें इस दुनिया में बिल्कुल सबकुछ बनाते समय आधार के रूप में लिया गया था? कई प्राकृतिक वस्तुओं का रूप फ्रैक्टल के जितना संभव हो उतना करीब है। लेकिन सभी दुनिया के मौजूदा फ्रैक्टल में गणितज्ञों द्वारा बनाए गए सेट के रूप में इतनी सही और असीमित रूप से दोहराई गई संरचना नहीं होती है। पर्वत लकीरें, धातु गलती सतह, अशांत प्रवाह, बादल, फोम और कई-कई अन्य प्राकृतिक फ्रैक्टल पूरी तरह से सटीक आत्म-समानता से वंचित हैं। और यह विश्वास करना पूरी तरह से गलत होगा कि ब्रैक्टल ब्रह्मांड के सभी रहस्यों के लिए एक सार्वभौमिक कुंजी हैं। अपनी सभी स्पष्ट जटिलता के साथ, फ्रैक्टल वास्तविकता का केवल एक सरलीकृत मॉडल हैं। लेकिन आज उपलब्ध सभी फ्रैक्टल सिद्धांतों में से आसपास की दुनिया का वर्णन करने का सबसे सटीक माध्यम है।
फ्रैक्टल के रंग

फ्रैक्टल की सुंदरता उनके उज्ज्वल और आकर्षक रंग को जोड़ती है। जटिल रंग योजनाएं खूबसूरत और यादगार के साथ फ्रैक्टल बनाती हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, फ्रैक्टल काले और सफेद वस्तुएं हैं, जिनमें से प्रत्येक बिंदु या तो सेट से संबंधित है, या संबंधित नहीं है। लेकिन आधुनिक कंप्यूटरों की संभावनाएं आपको रंग और उज्ज्वल के साथ फ्रैक्टल बनाने की अनुमति देती हैं। और यह कई यादृच्छिक क्रम के पड़ोसी क्षेत्रों का एक साधारण रंग नहीं है।

प्रत्येक बिंदु के मूल्य का विश्लेषण करते हुए, प्रोग्राम स्वचालित रूप से एक या किसी अन्य खंड की छाया को निर्धारित करता है। ब्लैक उन बिंदुओं को दिखाता है जिसमें फ़ंक्शन निरंतर मूल्य लेता है। यदि फ़ंक्शन का मान अनंतता में जाता है, तो बिंदु को दूसरे रंग में चित्रित किया जाता है। धुंधला की तीव्रता अनंत तक सन्निकटन की दर पर निर्भर करती है। अधिक पुनरावृत्ति को बिंदु को स्थिर मूल्य तक पहुंचने की आवश्यकता होती है, हल्का इसकी छाया बन जाती है। और इसके विपरीत - अंक, तेजी से अनंतता, उज्ज्वल और समृद्ध रंगों में चित्रित।
निष्कर्ष

पहली बार उसने फ्रैक्टल सुना, सवाल पूछो, यह क्या है?

एक तरफ, यह एक जटिल ज्यामितीय आंकड़ा है, जिसमें आत्म-समानता की विशेषताएं हैं, जो कि कई हिस्सों से बना है, जिनमें से प्रत्येक पूरे आंकड़े के समान है।

यह अवधारणा अपनी सुंदरता और रहस्य के साथ आकर्षित करती है, जो सबसे अप्रत्याशित क्षेत्रों में प्रकट होती है: मौसम विज्ञान, दर्शन, भूगोल, जीवविज्ञान, यांत्रिकी और यहां तक \u200b\u200bकि कहानियां भी।

प्रकृति में फ्रैक्टल को देखने के लिए लगभग असंभव है, क्योंकि लगभग हर वस्तु (बादल, पहाड़, तटरेखा, आदि) में एक फ्रैक्टल संरचना होती है। अधिकांश वेब डिजाइनर, प्रोग्रामर की अपनी फ्रैक्टल गैलरी (बेहद खूबसूरत) होती है।

संक्षेप में, फ्रैक्टल हमारी आंखें खोलते हैं और आपको दूसरी ओर गणित को देखने की अनुमति देते हैं। ऐसा लगता है कि पारंपरिक "सूखे" आंकड़ों के साथ सामान्य गणना की जाती है, लेकिन यह हमें अपने तरीके से अद्वितीय परिणाम देती है, जिससे आप प्रकृति के निर्माता को महसूस कर सकते हैं। फ्रैक्टल यह स्पष्ट करते हैं कि गणित भी सुंदर का विज्ञान है।

उसके डिज़ाइन का काम मैं गणित "फ्रैक्टल" में एक नई नई अवधारणा के बारे में बताना चाहता था। यह क्या है, प्रजातियां क्या हैं जहां वे विस्तारित हैं। मुझे उम्मीद है कि फ्रैक्टल आप में रुचि रखते हैं। आखिरकार, जैसा कि यह निकला, फ्रैक्टल काफी रोचक हैं और वे लगभग हर कदम पर हैं।

ग्रन्थसूची

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अनुलग्नक 1

परिशिष्ट 2।

परिशिष्ट 3।

परिशिष्ट 4।

शिक्षा मंत्रालय, विज्ञान और Crimea गणराज्य के युवा

नगरपालिका बजटीय शैक्षिक संस्थान "शॉप एजुकेशनल कॉम्प्लेक्स" नगरपालिका शिक्षा क्राइमा गणराज्य के क्रास्नोपेरेकॉप्स्की जिला

दिशा: गणित

फ्रैक्टल मॉडल की सुविधाओं का अध्ययन

व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए

मैंने काम किया है:

नगरपालिका बजटीय जनरल एजुकेशन इंस्टीट्यूशन "शॉप एजुकेशनल कॉम्प्लेक्स" के ग्रेड 8 के छात्र Crimea गणराज्य के नगर शिक्षा Krasnoperekopsky जिला

वैज्ञानिक सलाहकार:

नगरपालिका बजट शैक्षिक संस्थान के गणित शिक्षक "शॉप एजुकेशनल कॉम्प्लेक्स" नगरपालिका शिक्षा के नगरपालिका शिक्षा क्रास्नोपेरेकोप्स्की जिले क्राइमा के गणराज्य के जिला

Krasnoperekopsky जिला - 2016

विज्ञान कई सरल खोजों और आविष्कारों द्वारा किया गया था, पूरी तरह से मानवता के जीवन को बदल रहा था: बिजली, परमाणु ऊर्जा, टीका और बहुत कुछ। हालांकि, ऐसी खोजें हैं जो छोटे मूल्यों को देती हैं, लेकिन वे भी हमारे जीवन को प्रभावित करने और प्रभावित करने में सक्षम हैं। इन खोजों में से एक फ्रैक्टल हैं जो अराजकता में भी घटनाओं के बीच एक लिंक स्थापित करने में मदद करते हैं।

अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रॉट ने अपनी पुस्तक "फ्रैक्टल ज्यामिति की प्रकृति" में लिखा: "ज्यामिति को अक्सर ठंडा और सूखा क्यों कहा जाता है? कारणों में से एक यह है कि यह क्लाउड, पहाड़ों, लकड़ी या समुद्र तटों के आकार का सटीक वर्णन करने में असमर्थ है। बादल गोलाकार नहीं हैं, रेलवे लाइनें एक सर्कल नहीं है, और छाल चिकनी नहीं है, लेकिन बिजली एक सीधी रेखा में लागू नहीं होती है। प्रकृति हमें केवल एक उच्च डिग्री नहीं, बल्कि जटिलता का एक पूरी तरह से अलग स्तर का प्रदर्शन करती है। संरचनाओं में लंबाई की विभिन्न लंबाई की संख्या हमेशा अनंत होती है। इन संरचनाओं का अस्तित्व हमें उन रूपों का अध्ययन करने के कठिन कार्य के रूप में एक चुनौती देता है जो यूक्लिडियन को निर्दोष के रूप में गिरा दिया - असंगत के रूपव्यवस्था के अध्ययन के कार्यों के कार्यों। हालांकि, गणित ने इस चुनौती से उपेक्षा की और प्रकृति से अधिक से अधिक और अधिक चुना, सिद्धांतों का आविष्कार किया जो आप देख सकते हैं या महसूस कर सकते हैं। "

परिकल्पना:हमारे आस-पास की दुनिया में मौजूद सभी एक फ्रैक्टल हैं।

कार्य का उद्देश्य:उन वस्तुओं को बनाना जिनकी छवियां प्राकृतिक के समान हैं।

अध्ययन का उद्देश्य:विज्ञान और वास्तविक दुनिया के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल।

अध्ययन का विषय:फ्रैक्टल ज्यामिति।

अनुसंधान कार्य:

1. फ्रैक्टल की अवधारणा के साथ परिचित, बी मंडेलब्रॉट, कोच, वी। सर्पिंस्की एट अल द्वारा इसकी घटना और अनुसंधान का इतिहास;

3. आसपास की दुनिया की अस्थिरता के सिद्धांत की पुष्टि करें;

4. अन्य विज्ञानों और व्यवहार में फ्रैक्टल के उपयोग का अध्ययन करना;

5. अपनी फ्रैक्टल छवियों को बनाने के लिए एक प्रयोग का संचालन करें।

अनुसंधान की विधियां:विश्लेषणात्मक, खोज, प्रयोगात्मक।

"फ्रैक्टल" की अवधारणा की उपस्थिति का इतिहास

मैथमैटिक्स में एक नई दिशा के रूप में फ्रैक्टल ज्यामिति, 1 9 75 में दिखाई दी। "फ्रैक्टल" की अवधारणा ने पहली बार गणित अमेरिकी वैज्ञानिक बेनोइट मंडेलब्रॉट में पेश किया। फ्रैक्टल (अंग्रेजी से। "अंश") - एक अंश भागों में विभाजित। मंडेलब्रॉम द्वारा दिए गए फ्रैक्टल की परिभाषा, ऐसा लगता है: "फ्रैक्टल को एक संरचना कहा जाता है जिसमें भागों से मिलकर, जो कुछ अर्थों में पूरी तरह से होते हैं"।

आईबीएम रिसर्च सेंटर में काम करना, जिनके कर्मचारियों ने दूरी के हस्तांतरण पर काम किया, जटिल और बहुत महत्वपूर्ण कार्य को बेनौआआ का सामना करना पड़ा - इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर हस्तक्षेप की घटना की भविष्यवाणी कैसे करें। मंडेलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न पर ध्यान दिया - एक अलग पैमाने पर शोर चार्ट समान रूप से दिखते थे। एक ही तस्वीर देखी गई थी कि यह एक दिन में एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे में शोर का एक चार्ट था या नहीं। यह चार्ट के पैमाने को बदलने लायक था, और चित्र हर बार दोहराया गया था। अजीब पैटर्न के अर्थ में सोच, फ्रैक्टल का सार बेनुआ आया था।

हालांकि, 1 9 वीं शताब्दी में फ्रैक्टल ज्यामिति के पहले विचार उठ गए।

तो जॉर्ज कैंटोर (कैंटोर, 1845-19 18) एक जर्मन गणितज्ञ, तर्क, एक धर्मशास्त्र, अनंत सेट के सिद्धांत के निर्माता, एक साधारण दोहराने वाली प्रक्रिया की मदद से लाइन को असंबंधित बिंदुओं के सेट में बदल दिया गया। उसने लाइन ली और केंद्रीय तीसरे को हटा दिया और उसके बाद उसने शेष खंडों के साथ इसे दोहराया। क्या हुआ, जिसे कैंटर की धूल कहा जाता है (चित्रा 1)।

और इतालवी गणितज्ञ जूस्पेपे पेनो (जिएसेपे पीनो; 1858-19 32) ने लाइन ली और मूल रेखा की लंबाई से 3 गुना कम से कम 9 सेगमेंट द्वारा इसे बदल दिया। इसके बाद, उन्होंने प्रत्येक खंड के साथ भी ऐसा ही किया। और इतनी अनिश्चित काल तक। बाद में, इसी तरह के निर्माण में किया गया तीन-आयामी अंतरिक्ष (चित्र 2)।

पहले फ्रैक्टल चित्रों में से एक मंडेलब्रोक के एक समूह की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जिसका जन्म गैस्टन मॉरीस जूलिया (चित्रा 3) के शोध के लिए धन्यवाद था।

सभी फ्रैक्टल को समूहों में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन सबसे बड़े लोग हैं:

ज्यामितीय फ्रैक्टल;

बीजगणितीय फ्रैक्टल;

स्टोकास्टिक फ्रैक्टल।

ज्यामितीय फ्रैक्टल

ज्यामितीय फ्रैक्टल सबसे अधिक दृश्य हैं और वे सरल ज्यामितीय निर्माण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। जनरेटर नामक कुछ टूटी हुई (या एक त्रि-आयामी मामले में सतह) लें। फिर टूटे हुए प्रत्येक सेगमेंट को एक उचित पैमाने पर एक टूटे हुए जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अनंत पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय फ्रैक्टल प्राप्त किया जाता है। ज्यामितीय फ्रैक्टल के उदाहरण हो सकते हैं:

1) कोच वक्र। बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, वैज्ञानिकों से पहले क्वांटम यांत्रिकी के तेजी से विकास के साथ, इस तरह के वक्र को खोजने का कार्य, जो ब्राउनियन कणों के आंदोलन को सबसे अच्छा दिखाएगा। इसके लिए, वक्र में निम्नलिखित संपत्ति होनी चाहिए: किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा नहीं है। गणित कोह ने एक ऐसे वक्र का सुझाव दिया: एक सेगमेंट लें, हम तीन बराबर भागों में विभाजित होते हैं और इस सेगमेंट के बिना एक समतुल्य त्रिभुज के साथ औसत अंतराल को प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, एक टूटी हुई रूप बनाई गई है, जिसमें 1/3 की चार पंक्तियां शामिल हैं। अगले चरण में, हम निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए ऑपरेशन दोहराते हैं, आदि।

वक्र को सीमित करें और एक कोच वक्र है (चित्रा 4) . समतुल्य त्रिभुज के किनारों पर समान रूपांतरण करने के बाद, आप कोच स्नोफ्लेक्स की एक फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं।

2) लेवी वक्र . वर्ग का आधा लिया जाता है और प्रत्येक पक्ष को उसी खंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ऑपरेशन कई बार दोहराया जाता है और आखिरकार यह लेवियन वक्र (चित्रा 5) को बदल देता है।

3) Minkowski वक्र। नींव एक सेगमेंट है, और जनरेटर आठ लिंकों में से टूटा हुआ है (दो बराबर लिंक एक दूसरे को जारी रखते हैं) (चित्रा 6)।

4) पेनो वक्र (चित्रा 2)।

5) ड्रैगन वक्र (चित्रा 7)।

6) पायथागोर पेड़। "पायथगोरा पैंट" के रूप में जाना जाने वाला एक आकृति पर बनाया गया, जहां पक्षों पर आयताकार त्रिभुज स्क्वायर हैं। पहली बार, पायथागोर पेड़ एक पारंपरिक ड्राइंग लाइन (चित्रा 8) का उपयोग करके बनाया गया।

7) सर्पिंस्की का वर्ग। सर्पिंस्की (चित्रा 9) के "जाली" या "नैपकिन" के रूप में जाना जाता है। वर्ग 9 बराबर वर्गों पर, सीधे अपनी पार्टियों के समानांतर द्वारा विभाजित होता है। वर्ग से केंद्रीय वर्ग हटा दिया। एक सेट जिसमें 8 शेष वर्ग "प्रथम रैंक" प्राप्त होते हैं। पहले रैंक वर्गों में से प्रत्येक के समान ही करके, हम एक सेट प्राप्त करते हैं जिसमें दूसरे रैंक के 64 वर्ग शामिल हैं। इस प्रक्रिया को असीम रूप से जारी रखते हुए, हमें एक अनंत अनुक्रम या सर्पिंस्की का वर्ग मिलता है।

बीजगणितीय फ्रैक्टल

बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर फ्रैक्टल, बीजगणितीय फ्रैक्टल से संबंधित हैं। यह फ्रैक्टल का सबसे बड़ा समूह है। इनमें मंडेलब्रॉट का फ्रैक्टल शामिल है (चित्रा 3) , न्यूटन फ्रैक्टल (चित्रा 10), कई जूलिया (चित्रा 11) और कई अन्य।

कुछ बीजगणितीय फ्रैक्टल जानवरों, पौधों और अन्य जैविक वस्तुओं की छवियों जैसा दिखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप बायोमोर्फ कहा जाता था।

स्टोकास्टिक फ्रैक्टल

स्टोकास्टिक फ्रैक्टल फ्रैक्टल की एक और प्रमुख विविधता है जो किसी भी पैरामीटर में यादृच्छिक परिवर्तनों के बार-बार पुनरावृत्ति द्वारा गठित किया जाता है। साथ ही, वस्तुओं को प्राकृतिक - विषम पेड़ों, ऊबड़ तटवर्ती रेखाओं आदि के समान ही प्राप्त किया जाता है।

तो यदि आप एक आयताकार लेते हैं और इसके प्रत्येक कोने को निर्धारित करने के लिए। फिर इसे एक केंद्रीय बिंदु लें और इसे आयताकार के कोनों पर औसत अंकगणितीय रंगों के बराबर रंग में रंग दें और एक यादृच्छिक संख्या। अधिक यादृच्छिक संख्या - अधिक "टूटा हुआ" एक ड्राइंग होगा। इस प्रकार, यह फ्रैक्टल "प्लाज्मा" (चित्रा 12) होगा। और अगर हम मानते हैं कि बिंदु का रंग समुद्र तल से ऊंचाई है - हमें प्लाज्मा के बजाय मिलता है - एक पर्वत श्रृंखला। यह इस सिद्धांत पर है कि पहाड़ों को अधिकांश कार्यक्रमों में अनुकरण किया जाता है। एल्गोरिदम की मदद से, ऊंचाई का एक नक्शा बनाया गया है, इसके लिए विभिन्न फ़िल्टर लागू होते हैं, बनावट और फोटोरियलिस्टिक पहाड़ अतिरंजित होते हैं।

आवेदन फ्रैक्टल

फ्रैक्टल पेंटिंग।डिजिटल कलाकारों के बीच लोकप्रिय आधुनिक कला की दिशा। फ्रैक्टल पैटर्न एक व्यक्ति पर असामान्य और आकर्षक रूप से अभिनय कर रहे हैं, जिससे चमकीले ज्वलनशील छवियों को जन्म दिया जाता है। गणितीय सूत्रों को उबाऊ करके शानदार अमूर्तताएं बनाए जाते हैं, लेकिन कल्पना उन्हें जिंदा (चित्रा 13) मानती है। कोई भी फ्रैक्टल कार्यक्रमों के साथ व्यायाम कर सकता है और अपने फ्रैक्टल उत्पन्न कर सकता है। असली कला रंग और रूप का एक अद्वितीय संयोजन खोजने की क्षमता में है।

साहित्य में फ्रैक्टल। साहित्यिक कार्यों में पाया जाता है, जिसमें फ्रैक्टल प्रकृति होती है, यानी आत्मनिर्भरता की संरचना से घोंसला:

1. "यहाँ घर है।

जो जैक बनाया।

लेकिन गेहूं।

जो जैक बनाया

लेकिन मैसेंजर बर्ड-टाइट,

जो गेहूं चुराता है,

जो डार्क चुलाना स्टोर में है

जो जैक बनाया ... "।

सैमुअल मार्शक

2. फ्लीस बिग बिगिंग फ्लेव

पिस्सू तकनीक - बेबी-टुकड़ों,

जैसा कि वे कहते हैं, विज्ञापन infinitum।

जोनाथन स्विफ़्ट

दवा में फ्रैक्टल।मानव शरीर में विभिन्न प्रकार के फ्रैक्टल-जैसी संरचनाएं होती हैं: रक्त, लिम्फोटिक और तंत्रिका तंत्र, मांसपेशियों, ब्रोंची, आदि (चित्रा 14, 15)।

भौतिकी और यांत्रिकी में फ्रैक्टल।प्राकृतिक वस्तुओं के फ्रैक्टल मॉडल आपको विभिन्न भौतिक घटनाओं को अनुकरण करने और पूर्वानुमान बनाने की अनुमति देते हैं।

अमेरिकी अभियंता नाथन कोहेन, जो बोस्टन के केंद्र में रहते थे, जहां बाहरी एंटेना की स्थापना को प्रतिबंधित कर दिया गया था, एक एल्यूमीनियम पन्नी से कोच वक्र के रूप में एक आकृति काट दिया गया था, इसे कागज की एक शीट पर फंस गया और रिसीवर से जुड़ा हुआ था । यह पता चला कि इस तरह के एक एंटीना सामान्य से भी बदतर नहीं काम करता है। और यद्यपि इस तरह के एंटीना के भौतिक सिद्धांतों का अभी भी अध्ययन नहीं किया गया है, इसने कोहेन को अपनी कंपनी को औचित्य साबित नहीं किया और अपनी सीरियल रिलीज स्थापित नहीं किया। में इस पल अमेरिकन फर्म "फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम" मोबाइल फोन के लिए फ्रैक्टल एंटीना का उत्पादन करती है।

प्रकृति में फ्रैक्टल।प्रकृति अक्सर अद्भुत ज्यामिति और इस तरह के सद्भाव के साथ अद्भुत और उत्कृष्ट फ्रैक्टल बनाती है, जो प्रशंसा से मर जाती है। और यहां उनके उदाहरण हैं:

- समुद्र के गोले;

फूलगोभी (ब्रासिका कौलिफ्लोरा) की उप-प्रजातियां, फर्न;

मोर पंख;

https://pandia.ru/text/80/404/images/image009_13.jpg "align \u003d" बाएं "चौड़ाई \u003d" 237 "ऊंचाई \u003d" 178 src \u003d "\u003e

पत्ती से जड़ तक पेड़।

https://pandia.ru/text/80/404/images/image011_13.jpg "alt \u003d" (! लैंग: 122 का चित्र 7" align="left" width="168" height="113 src=">!}

हमारे चारों ओर प्रकृति में फ्रैक्टल हर जगह और हर जगह हैं। पूरे ब्रह्मांड को गणितीय सटीकता के साथ आश्चर्यजनक सामंजस्यपूर्ण कानूनों द्वारा बनाया गया है। क्या यह सोचने के लिए संभव है कि हमारा ग्रह कणों की यादृच्छिक पकड़ है?

व्यावहारिक कार्य

फ्रैक्टल ट्री।माइक्रोसॉफ्ट वर्ड प्रोग्राम के "ड्राइंग" टूलबार की मदद से और ग्रुपिंग, कॉपीिंग और सम्मिलन के अस्वीकार्य रूपांतरण, मैंने अपना फ्रैक्टल पेड़ बनाया। एक निश्चित तरीके से स्थित पांच सेगमेंट मेरे फ्रैक्टल का मीटर बन गए।
.jpg "चौड़ाई \u003d" 44 9 ऊंचाई \u003d 303 "ऊंचाई \u003d" 303 "\u003e

चित्रा 8. पायथागोर ट्री

चित्र 9. सर्पिंस्की स्क्वायर

चित्रा 10. न्यूटन फ्रैक्टल

चित्र 11. कई जूलिया

चित्र 12. फ्रैक्टल "प्लाज्मा"

https://pandia.ru/text/80/404/images/image028_2.jpg "चौड़ाई \u003d" 480 ऊंचाई \u003d 2 9 9 "ऊंचाई \u003d" 29 9 "\u003e

चित्रा 14. मानव रक्त प्रणाली

चित्र 15. तंत्रिका कोशिकाओं का समूह

फ्रैक्टल लगभग एक शताब्दी के लिए पहले से ही ज्ञात हैं, अच्छी तरह से अध्ययन और जीवन में कई अनुप्रयोग हैं। हालांकि, इस घटना का आधार एक बहुत ही सरल विचार है: अनंत सौंदर्य और कई आंकड़ों की विविधता केवल दो संचालन - प्रतिलिपि और स्केलिंग का उपयोग करके अपेक्षाकृत सरल डिज़ाइन से प्राप्त की जा सकती है।

Evgeny Epifanov

पेड़ के साथ आम क्या है, समुद्र के किनारे, बादलों या रक्त वाहिकाओं हमारे हाथ में? पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि ये सभी वस्तुएं एकजुट नहीं हैं। हालांकि, वास्तव में, सभी सूचीबद्ध विषयों में अंतर्निहित संरचना की एक संपत्ति है: वे आत्म-जैसे हैं। शाखा से, एक पेड़ के ट्रंक से, प्रोजेस्टियन छोटा होता है, उनमें से छोटे भी होते हैं, आदि, यह है कि शाखा पूरे पेड़ के समान है। रक्त प्रणाली उसी तरह समान है: धमनी धमनियों से निकलती है, और वे सबसे छोटी केशिकाएं हैं, जिसके अनुसार ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्र तट के अंतरिक्ष शॉट्स को देखें: हम बे और प्रायद्वीप देखेंगे; उसे देखो, लेकिन एक पक्षी के आंखों के दृश्य से: हम दृश्यमान बे और टोपी होंगे; अब कल्पना करें कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देखते हैं: हमेशा कंकड़ रहेगा जो बाकी की तुलना में आगे निकल रहे हैं। यही है, पैमाने में वृद्धि के साथ तटरेखा स्वयं के समान ही बनी हुई है। वस्तुओं की यह संपत्ति अमेरिकी (हालांकि, फ्रांस में दे रही है) गणित बेनोइट मंडेलब्रॉट को फ्रैक्टैलिटी कहा जाता है, और ऐसी ऑब्जेक्ट्स स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस - टूटी हुई) से।

इस अवधारणा में कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आम तौर पर, फ्रैक्टल को एक ज्यामितीय आकार कहा जाता है जो निम्न गुणों में से एक या अधिक को संतुष्ट करता है: है जटिल संरचना पैमाने में किसी भी वृद्धि के साथ (इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा, जिसका कोई भी हिस्सा सबसे सरल ज्यामितीय आंकड़ा है - सेगमेंट)। (लगभग) आत्म-जैसे। इसमें एक आंशिक हौसडोर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है जो अधिक टोपोलॉजिकल है। पुनरावर्ती प्रक्रियाओं द्वारा बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

XIX और XX सदियों की बारी पर फ्रैक्टल का अध्ययन एक व्यवस्थित चरित्र की बजाय एक एपिसोडिक था, क्योंकि पहले गणित को मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया गया था जो सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके अनुसंधान के नेतृत्व में थे। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल Weierhtrass एक निरंतर कार्य का एक उदाहरण बनाता है जो कहीं भी अलग नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और अनुभव करना मुश्किल था। इसलिए, 1 9 04 में, स्वीडन हेल्घ वॉन कोह एक सतत वक्र के साथ आया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्श नहीं होता है, और इसे आकर्षित करना काफी आसान है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के विकल्पों में से एक "स्नोफ्लेक कोच" नाम है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों ने फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी को भविष्य में सलाहकार बेनोयन मंडेलब्रॉट उठाया। 1 9 38 में, उनके लेख "फ्लैट और स्थानिक वक्र और सतहों को पूरा करने वाले हिस्सों से युक्त" सामने आया, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया - लेवी का सी-वक्र। इनमें से सभी फ्रैक्टल को संरचनात्मक (ज्यामितीय) फ्रैक्टल के एक वर्ग के लिए सशर्त रूप से जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजगणितीय) फ्रैक्टल है जिसके लिए मंडेलब्रोक का सेट है। इस दिशा में पहली अध्ययन 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू हुई और गैस्टन झुलिया और पियरे फाटा के फ्रांसीसी गणितज्ञों के नाम से जुड़े हुए हैं। 1 9 18 में, लगभग दो-सौ-स्थिति के ज्ञापन जुलीशिया ने जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों को समर्पित किया, जो जूलिया के सेट का वर्णन करता है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार, मंडलब्रॉट की भीड़ से निकटता से संबंधित है। इस काम को पुरस्कार से सम्मानित किया गया फ्रेंच अकादमीहालांकि, इसमें कोई चित्रण नहीं था, इसलिए खुली वस्तुओं की सुंदरता का मूल्यांकन करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने उस समय के गणितज्ञों के बीच झुुलिया की महिमा की, वे उसके बारे में काफी जल्दी भूल गए थे। फिर, इस पर ध्यान देने के लिए केवल आधे शताब्दी बाद में कंप्यूटर के आगमन के साथ अपील की: यह वे थे जिन्होंने फ्रैक्टल की दुनिया की आत्मा और सुंदरता बनाई थी।

भग्न आयाम

जैसा कि ज्ञात है, ज्यामितीय आकार के आयाम (माप की संख्या) इस आकृति पर झूठ बोलने वाली बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या है।
उदाहरण के लिए, वक्र पर बिंदु की स्थिति एक समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है, सतह पर (आवश्यक रूप से विमान नहीं) दो निर्देशांक के साथ, तीन निर्देशांक के साथ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में।
अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोण के साथ, इस तरह से आयाम को निर्धारित करना संभव है: रैखिक आयामों में वृद्धि, आइए ऑब्जेक्ट्स (सेगमेंट) के एक-आयामी (एक स्थलीय बिंदु से) के लिए दो बार, दो बार कहें दो-आयामी (वर्ग) के लिए आकार (लंबाई) में वृद्धि, रैखिक आयामों में समान वृद्धि के लिए तीन-आयामी (घन) - 8 गुना के लिए आकार (क्षेत्र) 4 गुना वृद्धि की ओर जाता है। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित hausdorfov) आयाम की गणना किसी भी रैखिक आकार में वृद्धि के लिए अंगोगरिक के "आकार" में लॉगरिदम में वृद्धि के रूप में गणना की जा सकती है। यह है, सेगमेंट डी \u003d लॉग (2) / 1 के लिए, प्लेन डी \u003d लॉग (4) / 2 के लिए वॉल्यूम डी \u003d लॉग (8) / लॉग (2) के लिए ) \u003d 3।
अब हम कोच वक्र के आयाम की गणना करते हैं, निर्माण करने के लिए जो एक सेगमेंट को तीन बराबर भागों में बांटा गया है और इस सेगमेंट के बिना एक समतुल्य त्रिभुज के साथ औसत अंतराल को प्रतिस्थापित किया गया है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में वृद्धि के साथ, कोच वक्र की लंबाई लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1.26 में तीन गुना बढ़ जाती है। वह है, कोच वक्र का आयाम - फ्रैक्शनल!

विज्ञान और कला

1 9 82 में, मंडेलब्रॉट "फ्रैक्टल ज्यामिति की प्रकृति" की पुस्तक प्रकाशित की गई थी, जिसमें लेखक ने फ्रैक्टल पर लगभग सभी जानकारी और उस समय उल्लिखित एक आसान और सुलभ तरीके से एकत्र और व्यवस्थित किया। मंडेलब्रॉट की प्रस्तुति में मुख्य जोर भारी सूत्रों और गणितीय संरचनाओं पर नहीं था, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर। कंप्यूटर का उपयोग करके प्राप्त चित्रों के लिए धन्यवाद, और ऐतिहासिक बाइक, जो लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलतापूर्वक पतला कर दिया, पुस्तक एक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए ज्ञात हो गए। अधातुओं के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि उच्च विद्यालय के छात्र को समझने में सक्षम हैं जो बहुत ही सरल डिज़ाइन और सूत्रों की मदद से, छवि की अद्भुत जटिलता और सुंदरता प्राप्त की जाती है। जब व्यक्तिगत कंप्यूटर पर्याप्त शक्तिशाली हो जाते हैं, तो कला में पूरी दिशा भी दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और कंप्यूटर के लगभग किसी भी मालिक इसे कर सकते हैं। अब इंटरनेट पर आप आसानी से इस विषय को समर्पित कई साइटें पा सकते हैं।

कोच वक्र प्राप्त करने की योजना

युद्ध और शांति

जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ्रैक्टल गुण वाले प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। उसके साथ, या बल्कि, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जुड़ा हुआ है दिलचस्प कहानीवह वापस गिर गया वैज्ञानिक लेख मंडेलब्रॉट, और अपनी पुस्तक "फ्रैक्टल ज्यामिति की प्रकृति" में भी वर्णित है। हम प्रयोग के बारे में बात कर रहे हैं, जो लुईस रिचर्डसन - एक बहुत ही प्रतिभाशाली और सनकी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी डालते हैं। उनके शोध की दिशाओं में से एक कारणों के गणितीय विवरण और दोनों देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष की संभावना को खोजने का प्रयास था। उन मापदंडों में से जिन्हें उन्होंने ध्यान में रखा वह दो युद्धरत देशों की समग्र सीमा की लंबाई थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो यह पता चला कि स्पेन की कुल सीमा और पुर्तगाल की कुल सीमा पर विभिन्न स्रोतों में डेटा बहुत अधिक है। यह अगली खोज पर आया: देश की सीमाओं की लंबाई शासक पर निर्भर करती है, जिसे हम उन्हें मापते हैं। जितना छोटा पैमाना, सीमा प्राप्त की जाती है। यह इस तथ्य के कारण है कि बड़ी वृद्धि के साथ इसे तट के सभी नए और नए झुकाव को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिसे पहले माप की अशिष्टता के कारण अनदेखा किया गया था। और यदि, पैमाने में प्रत्येक वृद्धि के साथ, पहले खाता लाइनों में नहीं लिया जाएगा, यह पता चला है कि अंतहीन की सीमाओं की लंबाई! सच है, वास्तव में, ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता में अंतिम सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन के प्रभाव कहा जाता है।

संरचनात्मक (ज्यामितीय) फ्रैक्टल

सामान्य मामले में एक रचनात्मक फ्रैक्टल बनाने के लिए एल्गोरिदम। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकार की आवश्यकता है, आइए उन्हें आधार और खंड कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के फ्रैक्टल का आधार चित्रित किया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने पर लिया गया एक टुकड़ा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आंकड़े फिर से कुछ हिस्सों में टुकड़े के समान आंकड़ों में बदलते हैं, आदि। यदि आप इस प्रक्रिया को अनंत को जारी रखते हैं, तो सीमा फ्रैक्टल होगी।

कोच वक्र के उदाहरण पर इस प्रक्रिया पर विचार करें (पिछले पृष्ठ पर डालें देखें)। कोच वक्र के आधार के रूप में, आप किसी भी वक्र को ले सकते हैं ("कोच स्नोफ्लेक्स" एक त्रिकोण है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित करेंगे - सेगमेंट। खंड - चित्र में शीर्ष पर स्थित टूटा हुआ। इस मामले में एल्गोरिदम के पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रारंभिक खंड खंड के साथ मेल खाता है, फिर इसके खंडों के प्रत्येक घटकों को स्वयं को टूटे हुए, टुकड़े के समान, और इसी तरह से प्रतिस्थापित किया जाएगा। यह आंकड़ा पहले चार दिखाता है इस प्रक्रिया के चरण।

गणित भाषा: गतिशील (बीजगणितीय) फ्रैक्टल

इस प्रकार के फ्रैक्टल गैरलाइनर गतिशील प्रणालियों (इसलिए और नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली का व्यवहार एक जटिल nonlinear समारोह (बहुपद) एफ (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। जटिल विमान पर कुछ प्रकार के शुरुआती बिंदु Z0 लें (सम्मिलन देखें)। अब जटिल विमान पर संख्याओं के इस तरह के अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त किया जाता है: Z0, z1 \u003d f (z0), z2 \u003d f (z1), ... zn + 1 \u003d f (zn) । शुरुआती बिंदु Z0 के आधार पर, यह अनुक्रम विभिन्न तरीकों से व्यवहार कर सकता है: एन -\u003e ∞ पर अनंतता के लिए प्रयास करने के लिए; कुछ अंत बिंदु तक अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प संभव हैं।

जटिल आंकड़े

एक जटिल संख्या एक संख्या है जिसमें दो भाग होते हैं - वैध और काल्पनिक, यानी औपचारिक योग x + iy (x और y यहां असली संख्याएं हैं)। मैं तथाकथित हूं। काल्पनिक इकाई, यानी, वह है, समीकरण को संतुष्ट करने वाली संख्या मैं ^।2 \u003d -1। जटिल संख्याओं पर, मूल गणितीय परिचालनों को परिभाषित किया गया है - अतिरिक्त, गुणा, विभाजन, घटाव (केवल तुलना ऑपरेशन परिभाषित नहीं किया गया है)। एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग अक्सर जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है - विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है) एब्सिसा अक्ष के साथ, वास्तविक भाग संकुचित हो जाता है, और ऑर्डिनेट की धुरी के साथ - कल्पना के साथ, जटिल संख्या के अनुरूप होगा कार्टेशियन समन्वय एक्स और वाई के साथ बिंदु

इस प्रकार, जटिल विमान के किसी भी बिंदु Z में फ़ंक्शन एफ (जेड) के पुनरावृत्तियों में व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान भागों में विभाजित होते हैं। साथ ही, इन हिस्सों की सीमाओं पर झूठ बोलने वाले बिंदुओं में ऐसी संपत्ति होती है: मनमाने ढंग से कम विस्थापन के साथ, उनके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदलती है (ऐसे बिंदुओं को विभाजन बिंदु कहा जाता है)। इसलिए, यह पता चला है कि एक विशेष प्रकार के व्यवहार वाले कई बिंदुओं के साथ-साथ कई विभाजन बिंदुओं में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। यह फंक्शन एफ (जेड) के लिए झुलिया का सेट है।

ड्रैगन परिवार

आधार और टुकड़ा को बदलना, आप संरचनात्मक फ्रैक्टल की एक शानदार विविधता प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, इस तरह के संचालन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है। वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण "मेजर", "सर्पिंस्की के पिरामिड" और अन्य के रूप में कार्य कर सकते हैं।
संरचनात्मक फ्रैक्टल में ड्रैगन परिवार शामिल हैं। कभी-कभी उन्हें "हेवेवा-हार्टर के ड्रेगन" (वे चीनी ड्रेगन जैसा दिखते हैं) के खोज के नाम से बुलाया जाता है। इस वक्र को बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे आसान और सबसे अधिक दृश्य है: आपको कागज की काफी लंबी पट्टी लेने की आवश्यकता है (पेपर पतला, बेहतर), और इसे आधे में मोड़ना होगा। फिर इसे पहली बार उसी दिशा में दो बार घुमाएं। कई पुनरावृत्ति के बाद (आमतौर पर पांच या छह के बाद, फोल्डिंग स्ट्रिप बहुत मोटी हो जाती है ताकि इसे सावधानी से मोड़ सके) आपको स्ट्रिप को वापस तोड़ने की आवश्यकता है, और 90˚ के अनुभागों में होने की कोशिश करें। फिर प्रोफ़ाइल ड्रैगन वक्र को बाहर कर देती है। बेशक, यह केवल तभी दृष्टिकोण होगा, जैसे हमारे सभी प्रयासों को फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट्स को चित्रित करने के लिए। कंप्यूटर आपको इस प्रक्रिया के अधिक चरणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, और नतीजतन, यह एक बहुत ही सुंदर आकृति बन जाता है।

मंडेलब्रॉट कई कुछ अलग हैं। फ़ंक्शन एफसी (जेड) \u003d जेड 2 + सी पर विचार करें, जहां सी एक जटिल संख्या है। हम Z0 \u003d 0 के साथ इस फ़ंक्शन के अनुक्रम का निर्माण करते हैं, इसके साथ पैरामीटर के आधार पर इन्फिनिटी के लिए फैलाया जा सकता है या सीमित किया जा सकता है। इस मामले में, सभी मूल्यों के साथ, जिसमें यह अनुक्रम सीमित है, बस मंडेलब्रॉट का एक सेट बनाएं। यह मंडेलब्रॉम और अन्य गणितज्ञों द्वारा विस्तार से अध्ययन किया गया था, जिसने इस सेट के बहुत सारे रोचक गुण खोले।

यह देखा जा सकता है कि जूलिया और मंडेलब्रॉट के सेट की परिभाषा एक दूसरे के समान हैं। वास्तव में, ये दो सेट निकटता से जुड़े हुए हैं। अर्थात्, मंडेलब्रॉट का सेट जटिल पैरामीटर सी के सभी मान हैं, जिसमें जूलिया एफसी (जेड) का सेट जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्ट किया जाता है यदि इसे दो गैर-चक्र भागों में नहीं तोड़ा जा सकता है, कुछ अतिरिक्त के साथ शर्तेँ)।

फ्रैक्टल और जीवन

आजकल, फ्रैक्टल सिद्धांत मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अनुसंधान के लिए पूरी तरह से वैज्ञानिक सुविधा के अलावा और पहले से ही फ्रैक्टल पेंटिंग का उल्लेख किया गया है, ग्राफिक डेटा के संपीड़न के लिए जानकारी के सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां फ्रैक्टल स्व-समानता संपत्ति का उपयोग यहां किया जाता है - आखिरकार, के एक छोटे टुकड़े को याद रखने के लिए ड्राइंग और परिवर्तन, जिसके साथ अन्य भागों को प्राप्त किया जा सकता है, पूरी फ़ाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम स्मृति)। एक फ्रैक्टल, यादृच्छिक परेशानियों को निर्दिष्ट सूत्रों को जोड़ना, स्टोकास्टिक फ्रैक्टल द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, जो कुछ वास्तविक वस्तुओं को प्रेषित करने के लिए बहुत प्रशंसनीय हैं - राहत के तत्व, जलाशयों की सतह, कुछ पौधे जो सफलतापूर्वक भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर में लागू होते हैं वास्तविक के साथ नकली वस्तुओं की अधिक समानता प्राप्त करने के लिए ग्राफ। रेडियोइलेक्ट्रॉनिक्स में, एंटेना, एक फ्रैक्टल फॉर्म होने के बाद, पिछले दशक में एंटेना का उत्पादन शुरू हुआ। थोड़ी सी जगह लेना, वे काफी उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। अर्थशास्त्री वक्र वक्र वक्रता मुद्रा का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (यह संपत्ति 30 साल पहले मंडेलब्रोटॉम द्वारा खोली गई थी)। इस पर हम इस छोटे भ्रमण को अद्भुत सुंदरता और फ्रैक्टल की दुनिया की विविधता को पूरा करेंगे।

हमारे चारों ओर दुनिया में फ्रैक्टल।

प्रदर्शन: 9 वीं कक्षा के छात्र

Mbou Kirovskaya sosh

लिथुआंको Ekaterina निकोलेवना।
नेता: गणित शिक्षक

Mbou Kirovskaya sosh

Kacoon Natalia Nikolaevna।

परिचय ................................................. ....................... 3।

अध्ययन का उद्देश्य।

अनुसंधान वस्तुओं।

परिकल्पना।

लक्ष्य, उद्देश्यों और अनुसंधान के तरीके।

अनुसंधान भाग। ................................................. 7।

फ्रैक्टल और पास्कल के त्रिकोण के बीच एक कनेक्शन ढूँढना।

फ्रैक्टल और एक सुनहरे खंड के बीच संबंध ढूँढना।

फ्रैक्टल और अनुमानित संख्याओं के बीच एक कनेक्शन ढूँढना।

फ्रैक्टल और के बीच संचार ढूँढना साहित्यिक कार्य.

3. फ्रैक्टल का व्यावहारिक अनुप्रयोग ................................. .. 13

4। निष्कर्ष ............................................... ................... .. 15

4.1 अनुसंधान परिणाम।

5. ग्रंथसूची ............................................... .............................. 16

परिचय

अनुसंधान वस्तु: फ्रैक्टल .

जब ज्यादातर लोगों को लगता था कि प्रकृति में ज्यामिति एक रेखा, एक सर्कल, एक शंकुधारी, एक बहुभुज, क्षेत्र, एक वर्गबद्ध सतह, साथ ही उनके संयोजन के रूप में इस तरह के सरल आंकड़ों तक ही सीमित है। उदाहरण के लिए, दावे से अधिक सुंदर क्या हो सकता है कि हमारे सौर मंडल में ग्रह अंडाकार कक्षाओं पर सूर्य के चारों ओर घूमते हैं?

हालांकि, कई प्राकृतिक प्रणालियां इतनी जटिल और अनियमित हैं कि उनके मॉडलिंग के लिए शास्त्रीय ज्यामिति की केवल परिचित वस्तुओं का उपयोग निराशाजनक लगता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति की शर्तों में एक पर्वत श्रृंखला या पेड़ ताज का एक मॉडल बनाएं? जैविक विन्यासों की विविधता का वर्णन कैसे करें कि हम पौधों और जानवरों की दुनिया का निरीक्षण करते हैं? विभिन्न प्रकार के केशिकाओं और रक्त वाहिकाओं और मानव शरीर के प्रत्येक कोशिका को वितरित करने वाले परिसंचरण तंत्र की जटिलता की कल्पना करें। कल्पना करें कि कैसे हिट्रोफिक रूप से व्यवस्थित प्रकाश और गुर्दे, एक शाखा मुकुट के साथ पेड़ों जैसा दिखता है।

वास्तविक प्राकृतिक प्रणालियों की गतिशीलता जटिल और अनियमित हो सकती है। कैस्केड झरने या अशांत प्रक्रियाओं के मॉडलिंग को कैसे संपर्क करें जो मौसम निर्धारित करते हैं?

फ्रैक्टल और गणितीय अराजकता मुद्दों के अध्ययन के लिए उपयुक्त उपकरण हैं। अवधि भग्नकुछ स्थिर ज्यामितीय विन्यास को संदर्भित करता है, जैसे झरने की तत्काल छवि। अराजकता - शब्द गतिशीलता अशांत मौसम व्यवहार के समान घटनाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाती है। अक्सर, जो हम प्रकृति में देखते हैं, एक ही पैटर्न की अनंत पुनरावृत्ति के लिए हमें साज़िश करते हैं, जो कितना समय बढ़ाते हैं या कम होते हैं। उदाहरण के लिए, पेड़ की शाखाएं हैं। इन शाखाओं पर छोटी शाखाएं हैं, आदि सैद्धांतिक रूप से, तत्व "शाखा" असीमित रूप से कई बार दोहराता है, कम और कम हो रहा है। माउंटेन राहत की तस्वीर को देखकर, इसे देखा जा सकता है। एक पहाड़ रिज की थोड़ी करीबी छवि की कोशिश करें - आप पहाड़ों को फिर से देखेंगे। इसलिए फ्रैक्टल की संपत्ति की विशेषता प्रकट होती है स्व-समान।

फ्रैक्टल पर कई कार्यों में, आत्म-समानता को एक परिभाषित संपत्ति के रूप में उपयोग किया जाता है। बेनोइट मैडलब्रॉट के बाद, हम इस दृष्टिकोण को स्वीकार करते हैं, जिसके अनुसार फ्रैक्टल (फ्रैक्शनल) आयाम के संदर्भ में फ्रैक्टल निर्धारित किए जाने चाहिए। इसलिए शब्द की उत्पत्ति भग्न (लैट से। फ्रैक्टस। - आंशिक)।

आंशिक आयाम की अवधारणा एक जटिल अवधारणा है जो कई चरणों में निर्धारित की जाती है। डायरेक्ट एक आयामी वस्तु है, और विमान द्वि-आयामी है। यदि यह प्रत्यक्ष और विमान बहुत घुमावदार है, तो आप परिणामी विन्यास के आयाम को बढ़ा सकते हैं; साथ ही, नया आयाम आमतौर पर एक अर्थ में भिन्नात्मक होगा, जिसे हमें स्पष्ट करना है। आंशिक आयाम और आत्म-समानता का संयोजन यह है कि आत्म-समानता की मदद से, कई आंशिक आयामों का निर्माण सबसे सरल तरीके से किया जा सकता है। यहां तक \u200b\u200bकि अधिक जटिल फ्रैक्टल के मामले में, जैसे कि मंडलब्रोन के एक सेट की सीमा, जब कोई शुद्ध आत्म-समानता नहीं होती है, तो तेजी से कम रूप में आधार रूप की लगभग पूरी पुनरावृत्ति होती है।

शब्द "फ्रैक्टल" गणितीय शब्द नहीं है और आमतौर पर स्वीकार्य सख्त गणितीय परिभाषा नहीं है। इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब विचार के तहत आंकड़ा नीचे सूचीबद्ध कुछ गुण हैं:

सैद्धांतिक बहुआयामी (किसी भी माप में जारी रखा जा सकता है)।

यदि आप एक नियमित रूप से एक बड़े पैमाने पर एक छोटे से टुकड़े पर विचार करते हैं, तो यह एक सीधी टुकड़ा के समान होगा। बड़े पैमाने पर फ्रैक्टल खंड किसी भी अन्य पैमाने के समान होगा। फ्रैक्टल के लिए, पैमाने में वृद्धि संरचना के सरलीकरण का कारण नहीं बनती है, सभी तराजू पर हम एक ही जटिल तस्वीर देखेंगे।

आत्म-जैसा या लगभग आत्म-जैसा है, प्रत्येक स्तर पूरी तरह से समान है

एक फ्रैक्टल की लंबाई, वर्ग और वॉल्यूम शून्य हैं, अन्य - अनंतता से संपर्क करें।

इसमें एक आंशिक आयाम है।

फ्रैक्टल के प्रकार: बीजगणितीय, ज्यामितीय, stochastic।

बीजगणितीय फ्रैक्टल फ्रैक्टल का सबसे बड़ा समूह हैं। वे उन्हें मंडेलब्रॉट और जूलिया जैसे एन-आयामी रिक्त स्थान में nonlinear प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त करते हैं।

दूसरा फ्रैक्टल समूह - ज्यामितिक फ्रैक्टल। फ्रैक्टल का इतिहास ज्यामितीय फ्रैक्टल के साथ शुरू हुआ, जिसका अध्ययन XIX शताब्दी में गणितज्ञों द्वारा किया गया था। इस वर्ग के फ्रैक्टल सबसे अधिक दृश्य हैं, क्योंकि वे तुरंत आत्म-समानता के लिए दिखाई देते हैं। इस प्रकार का फ्रैक्टल सरल ज्यामितीय निर्माण द्वारा प्राप्त किया जाता है। इन फ्रैक्टल का निर्माण करते समय, सेगमेंट का एक सेट आमतौर पर लिया जाता है, जिसके आधार पर फ्रैक्टल बनाया जाएगा। इसके बाद, इस सेट का उपयोग नियमों के एक सेट द्वारा किया जाता है जो उन्हें किसी भी ज्यामितीय आकार में परिवर्तित करता है। इसके बाद, नियमों का एक ही सेट इस आकृति के प्रत्येक भाग पर लागू होता है। प्रत्येक चरण के साथ, आंकड़ा अधिक जटिल और अधिक कठिन हो जाएगा, और यदि आप ऐसे परिचालनों की एक अनंत संख्या प्रस्तुत करेंगे, तो एक ज्यामितीय फ्रैक्टल प्राप्त किया जाता है।

यह आंकड़ा सर्पिंस्की के त्रिभुज को दिखाता है - एक ज्यामितीय फ्रैक्टल, जो निम्नानुसार बनता है: पहले चरण में, हम सामान्य त्रिभुज देखते हैं, अगले चरण में, पार्टियों के बीच जुड़े होते हैं, 4 त्रिकोण बनाते हैं, जिनमें से एक उलटा हुआ है। इसके बाद, हम उलटा, और इतनी अनिश्चित काल तक, सभी त्रिकोणों के साथ किए गए ऑपरेशन को दोहराते हैं।

ज्यामितीय फ्रैक्टल के उदाहरण:

1.1 स्टार कोच

गणित की बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, ऐसे वक्र ऐसे घटता की तलाश में थे जो किसी भी बिंदु पर टैंगेंट नहीं हैं। इसका मतलब था कि वक्र नाटकीय रूप से इसकी दिशा बदलता है, और इसके अलावा जबरदस्त उच्च गति (व्युत्पन्न अनंत के बराबर होता है)। इन घटता की खोज सिर्फ निष्क्रिय ब्याज गणितज्ञों के कारण हुई थी। तथ्य यह है कि बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, क्वांटम यांत्रिकी ने बहुत हिंसक रूप से विकसित किया। शोधकर्ता एम ब्रोवन ने पानी में निलंबित कणों के प्रक्षेपवक्र को आकर्षित किया और इस घटना को समझाया: यादृच्छिक रूप से चलने वाले तरल पदार्थ परमाणुओं को निलंबित कणों पर मारा जाता है और इस प्रकार उन्हें गति में ले जाता है। वैज्ञानिकों से पहले ब्राउनियन आंदोलन के इस तरह के स्पष्टीकरण के बाद, इस तरह के वक्र को खोजने का कार्य, जो ब्राउनियन कणों के आंदोलन का सबसे अच्छा अनुमान लगाएगा। इसके लिए, वक्र को निम्नलिखित गुणों को पूरा करना था: किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा नहीं है। गणित कोह ने एक ऐसे वक्र की पेशकश की। हम इसके निर्माण के लिए नियमों के स्पष्टीकरण में नहीं जाएंगे, लेकिन बस इसकी छवि दें जिससे सब कुछ स्पष्ट हो जाए। एक महत्वपूर्ण संपत्ति कि कोच के बर्फ के टुकड़े की सीमा के पास है ... उसकी अंतहीन लंबाई। यह आश्चर्यजनक प्रतीत हो सकता है क्योंकि हम गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम से घटता से निपटने के आदी हैं। आमतौर पर चिकनी या कम से कम टुकड़े टुकड़े चिकना वक्र हमेशा एक सीमित लंबाई होती है (जिसे आप एकीकरण सुनिश्चित कर सकते हैं)। इस संबंध में मंडेलब्रॉट ने कई आकर्षक काम प्रकाशित किए, जिसमें ब्रिटिश तटरेखा की लंबाई को मापने का मुद्दा जांच की गई है। एक मॉडल के रूप में, उन्होंने अपवाद में बर्फ के टुकड़े की सीमा के समान एक फ्रैक्टल वक्र का उपयोग किया जो उसने मौके का एक तत्व पेश किया जो प्रकृति में दुर्घटना को ध्यान में रखता है। नतीजतन, यह पता चला कि तटरेखा का वर्णन करने वाले वक्र में अनंत लंबाई है।

स्पंज मेनगर

एक और प्रसिद्ध फ्रैक्टल क्लास है स्टोकेस्टिक यदि पुनरावृत्ति प्रक्रिया में यादृच्छिक रूप से किसी भी पैरामीटर को बदल दिया जाता है तो फ्रैक्टल। साथ ही, वस्तुएं प्राकृतिक के समान हैं - विषम पेड़, ऊबड़ तटीय रेखाएं आदि। ।

अनुसंधान वस्तुएं

1. त्रिकोण पास्कल।

डब्ल्यू
पास्कल त्रिभुज का निर्माण इकाई के साइड पक्ष हैं, प्रत्येक संख्या इसके ऊपर दो के योग के बराबर होती है। त्रिभुज अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।

पास्कल का त्रिकोण फॉर्म (एक्स + 1) एन की उपस्थिति के ढाल गुणांक की गणना करने के लिए कार्य करता है। इकाइयों से त्रिभुज से शुरू होने से, आसन्न संख्याओं के अतिरिक्त प्रत्येक अनुक्रमिक स्तर पर मानों की गणना करें; बाद में एक इकाई डाल दिया। इस प्रकार, यह निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, यह (x + 1) 4 \u003d 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0।

अनुमानित संख्या।

पहली बार पायथागोरस, वीआई बीसी में, इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित करते हुए, खुद को कंकड़ के स्कोर के साथ मदद करते हुए, लोग कभी-कभी पत्थरों को सही आंकड़ों में बनाते हैं। आप केवल कंकड़ को एक पंक्ति में डाल सकते हैं: एक, दो, तीन। यदि आप उन्हें दो पंक्तियों में डालते हैं ताकि आयताकार प्राप्त हो जाएं, तो हम पाएंगे कि सभी संख्याएं भी प्राप्त की जाती हैं। आप तीन पंक्तियों में पत्थरों को बाहर रख सकते हैं: तीनों द्वारा विभाजित संख्याएं प्राप्त की जाती हैं। किसी भी संख्या में विभाजित होने वाली किसी भी संख्या को आयताकार द्वारा दर्शाया जा सकता है, और केवल साधारण संख्या "आयताकार" नहीं हो सकती है।

रैखिक संख्या संख्याएं हैं जो कारकों में विघटन नहीं करती हैं, यानी, उनकी पंक्ति कई प्रमुख संख्याओं के साथ मेल खाती है, एक पूरक इकाई: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23 ,. ..)। ये साधारण संख्या हैं।

फ्लैट नंबर - संख्या दो कारकों (4,6,8,9,10,12,14,15,) के एक काम के रूप में संख्याएं

क्लॉज नंबर - तीन सुविधाओं के काम से व्यक्त संख्या (8,12,18,20,24,27,28, ...), आदि

बहुभुज संख्या:

त्रिकोणीय संख्या: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

वर्ग संख्या दो समान संख्याओं का एक उत्पाद है, यानी, पूर्ण वर्ग हैं: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., एन 2, ...)

पेंटागोनल संख्या: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

हेक्सागोनल संख्या (1, 6, 15, 28, 45, ...)

सुनहरा अनुभाग ..

गोल्डन क्रॉस सेक्शन (चरम अनुपात, चरम और मध्यम दायरे में विभाजन, हार्मोनिक डिवीजन, एफआईडीआईआई की संख्या) - ऐसे मामलों में भागों में निरंतर परिमाण का विभाजन, जिसमें अधिकांश तरीके से यह एक छोटे से तरीके से संबंधित है क्योंकि पूरे मूल्य अधिक है । बाईं ओर की तस्वीर में, बिंदु सी सेगमेंट एबी के गोल्डन सेक्शन का उत्पादन करता है, यदि: ए सी: एबी \u003d एसवी: एयू।

यह अनुपात ग्रीक पत्र को नामित करने के लिए बनाया गया है। । यह बराबर है 1,618। इस अनुपात से, यह देखा जा सकता है कि सोने के खंड के साथ, बड़े सेगमेंट की लंबाई पूरे सेगमेंट की औसत ज्यामितीय लंबाई और इसके छोटे हिस्से की है। गोल्डन सेक्शन के पार्ट्स कुल सेगमेंट का लगभग 62% और 38% हैं। पूर्णांक के अनुक्रम से जुड़ी संख्या के साथ फिबोनैकी : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... अक्सर प्रकृति में पाया जाता है। यह पुनरावर्ती अनुपात द्वारा उत्पन्न होता है एफ n + 2। \u003d एफ। n + 1। + एफ। एन से आरंभिक स्थितियां एफ 1 \u003d एफ। 2 = 1.

एक प्राचीन साहित्यिक स्मारक जिसमें गोल्डन सेक्शन के संबंध में एक सेगमेंट का विभाजन पाया जाता है वह "शुरुआत" यूक्लिडा है। दूसरी पुस्तक में पहले से ही "शुरुआत" यूक्लिडा एक गोल्डन क्रॉस सेक्शन बनाता है, और भविष्य में यह कुछ सही बहुभुज और पॉलीहेड्रा बनाने के लिए लागू होता है।

परिकल्पना:

क्या फ्रैक्टल और के बीच संबंध है

त्रिकोण पास्कल।

गोल्डन क्रॉस सेक्शन।

चित्रा संख्या।

साहित्यिक कार्य

1.4 उद्देश्य:

1. श्रोताओं को गणित की नई शाखा के साथ परिचित - फ्रैक्टल।

2. काम में सेट की गई परिकल्पना को अस्वीकार या साबित करें।

अनुसंधान कार्य:

अनुसंधान पर साहित्य का काम और विश्लेषण करें।

विभिन्न प्रकार के फ्रैक्टल पर विचार करें।

फ्रैक्टल की दुनिया के साथ प्राथमिक परिचितीकरण के लिए फ्रैक्टल छवियों के संग्रह को इकट्ठा करें।

पास्कल, साहित्यिक कार्यों, अनुमानित संख्याओं और एक गोल्डन क्रॉस सेक्शन के त्रिकोण के बीच संबंध स्थापित करें।

अनुसंधान की विधियां:

सैद्धांतिक (वैज्ञानिक और विशेष साहित्य का अध्ययन और सैद्धांतिक विश्लेषण; संक्षेप में अनुभव);

व्यावहारिक (गणना की तैयारी, परिणामों का सामान्यीकरण)।

अनुसंधान भाग।

2.1 फ्रैक्टल और पास्कल के त्रिकोण के बीच एक कनेक्शन ढूँढना।

त्रिभुज पास्कल त्रिभुज सर्पिंस्की

पास्कल त्रिभुज में विषम संख्याओं को हाइलाइट करते समय, सर्पिन का त्रिकोण प्राप्त किया जाता है। पैटर्न कंप्यूटर प्रोग्राम के "अंकगणितीयकरण" में उपयोग किए गए गुणांक के गुणों को दर्शाता है जो उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है।

2.1 फ्रैक्टल और एक गोल्डन क्रॉस सेक्शन के बीच एक कनेक्शन ढूंढना।

फ्रैक्टल का आयाम।

यदि आप गणितीय दृष्टिकोण से देखते हैं, तो आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है।

एक-आयामी वस्तुओं के लिए - रैखिक आयामों के 2 गुना में वृद्धि में आयामों में वृद्धि होती है (लंबाई के इस मामले में) 2 गुना, यानी 21 पर।

द्वि-आयामी वस्तुओं के लिए, 2 गुना रैखिक आयामों में वृद्धि आकार (क्षेत्र) 4 गुना वृद्धि की ओर ले जाती है, यानी 2 2 पर। आइए एक उदाहरण दें। आर त्रिज्या की डैन रेंज, फिर एस \u003d π आर 2 .

यदि आप त्रिज्या 2 गुना बढ़ाते हैं, तो: S1 \u003d π (2) आर) 2 ; S 1 \u003d 4π आर 2 .

त्रि-आयामी वस्तुओं के लिए, रैखिक आयामों के 2 गुना में वृद्धि 8 गुना मात्रा में वृद्धि की ओर ले जाती है, यानी 2 3।

यदि हम एक घन लेते हैं, तो वी \u003d ए 3, वी "\u003d (2 ए) 3 \u003d 8 ए; वी" / वी \u003d 8।

हालांकि, प्रकृति हमेशा इन कानूनों का पालन नहीं करती है। आइए एक साधारण उदाहरण पर फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट्स के आयाम पर विचार करने का प्रयास करें।

कल्पना कीजिए कि फ्लाई ऊन के उलझन पर बैठना चाहती है। जब वह इसे दूर से देखती है, तो वह केवल एक बिंदु को देखता है, जिस का आयाम 0. करीब होता है, वह पहले सर्कल को देखता है, इसके आयाम 2, और फिर गेंद - आयाम 3. जब फ्लाई टेंगल पर बैठा है , वह गेंद नहीं देख पाएगी, लेकिन विलिन, धागे, खालीपन, यानी की तलाश करेगी। आंशिक आयाम के साथ वस्तु।

ऑब्जेक्ट का आयाम (डिग्री के संकेतक) दिखाता है कि इसका आंतरिक क्षेत्र कैसे बढ़ रहा है। इसी प्रकार, बढ़ते आकार के साथ फ्रैक्टल की वृद्धि बढ़ जाती है। वैज्ञानिकों ने निष्कर्ष निकाला कि फ्रैक्टल आंशिक आयाम के साथ एक सेट है।

के रूप में फ्रैक्टल गणितीय वस्तुएं जरूरतों के कारण उठी वैज्ञानिक ज्ञान तेजी से जटिल प्राकृतिक प्रणालियों (जैसे पर्वत श्रृंखला, तटरेखा, लकड़ी का ताज, क्राउड वाटरफॉल, वायुमंडल में अशांत वायु प्रवाह, आदि) के पर्याप्त सैद्धांतिक विवरण में, अंततः, समग्र रूप से प्रकृति के गणितीय मॉडलिंग में। और गोल्डन क्रॉस सेक्शन ज्ञात है, प्रकृति सद्भाव के सबसे जीवंत और टिकाऊ अभिव्यक्तियों में से एक है। इसलिए, उपरोक्त वस्तुओं के संबंधों की पहचान करना काफी संभव है, यानी। फ्रैक्टल के सिद्धांत में एक गोल्डन क्रॉस सेक्शन का पता लगाएं।

याद रखें कि गोल्ड क्रॉस सेक्शन अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है
(*) और एकमात्र सकारात्मक जड़ है वर्ग समीकरण
.

फिबोनाची की संख्या 1,1,2,3,5,8,13,21 स्वर्ण खंड से निकटता से संबंधित हैं ... जिनमें से प्रत्येक दो पिछले लोगों का योग है। दरअसल, मूल्य पड़ोसी फाइबोनैकी संख्याओं के रिश्ते से बना संख्या का रिम है:
,

और मूल्य - एक चीज के माध्यम से ली गई फाइबोनैकी संख्याओं के संबंधों से बना एक पंक्ति की रिम:

फ्रैक्टल को एक संरचना कहा जाता है जिसमें पूरे हिस्से जैसे भाग होते हैं। एक और परिभाषा के अनुसार, फ्रैक्टल एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्रैक्शनल (गैर-मैकेनिकल) आयाम है। इसके अलावा, फ्रैक्टल हमेशा अपने निर्माण द्वारा एक ही प्रकार के ज्यामितीय संचालन के एक अनंत अनुक्रम के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है, यानी यह सीमा संक्रमण का एक परिणाम है, जो इसे गोल्डन सेक्शन से संबंधित करता है, जो एक अनंत संख्यात्मक श्रृंखला की सीमा का भी प्रतिनिधित्व करता है। अंत में, फ्रैक्टल का आयाम आमतौर पर एक तर्कहीन संख्या (जैसे गोल्डन क्रॉस सेक्शन) होता है।

पूर्वगामी के प्रकाश में, इस तथ्य का पता लगाने कि कई क्लासिक फ्रैक्टल का आयाम एक सटीकता के साथ सटीकता के साथ एक गोल्ड क्रॉस सेक्शन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है आश्चर्यजनक नहीं है। तो, उदाहरण के लिए, स्नोफ्लेक्स कोह के आयामों के लिए अनुपात डी एससी। \u003d 1,2618595 ... और मैनर स्पंज डी ग्राम \u003d 2.7268330 ..., खाते में ले जाना (*) को फॉर्म में दर्ज किया जा सकता है
तथा
.

इसके अलावा, पहली अभिव्यक्ति त्रुटि केवल 0.004% है, और दूसरी अभिव्यक्ति 0.1% है, और प्राथमिक अनुपात 10 \u003d 2 · 5 को ध्यान में रखते हुए यह मानों का पालन करता है डी एससी। तथा डी ग्राम गोल्डन सेक्शन और फाइबोनैकी नंबरों के संयोजन हैं।

सर्पिंस्की के कालीन का आयाम डी केएस। \u003d 1,5849625 ... और कैंटोर की धूल डी पीसी \u003d 0.630 9 2 9 7 ... गोल्डन सेक्शन के मूल्य के करीब भी माना जा सकता है:
तथा
। इन अभिव्यक्तियों की त्रुटि 2% है।

एक असमान (दो पैमाने पर) के एक असमान (दो पैमाने पर) सेट के एक असमान (दो पैमाने पर) सेट (उदाहरण के लिए, जिनमें सेगमेंट) की लंबाई (उदाहरण के लिए) में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फ्रैक्टल के सिद्धांत का आयाम।
तथा
- फाइबोनैकी की संख्या के रूप में एक-दूसरे से संबंधित हैं:
) , लेकिन अ डी एमके \u003d 0.6110 ... आकार से अलग है
केवल 1% से।

इस प्रकार, गोल्ड क्रॉस सेक्शन और फ्रैक्टल परस्पर संबंध हैं।

2.2 फ्रैक्टल और आकृति संख्याओं के बीच संबंध ढूंढना .

संख्या के प्रत्येक समूह पर विचार करें।

पहला नंबर है 1. अगला नंबर 3 है 3. यह पिछले नंबर, 1, दो बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है ताकि वांछित आंकड़ा एक त्रिभुज बन जाए। तीसरे चरण में, हम त्रिभुज आंकड़े रखते हुए तीन अंक जोड़ते हैं। बाद के चरणों पर, एन अंक जोड़े जाते हैं, जहां एन त्रिकोणीय संख्या की क्रियात्मक संख्या है। अंक की पिछली संख्या में जोड़कर प्रत्येक संख्या प्राप्त की जाती है। त्रिभुज संख्याओं के लिए एक आवर्ती सूत्र इस संपत्ति से प्राप्त किया गया था: टी एन \u003d एन + टी एन -1।

पहला नंबर 1 है। निम्नलिखित संख्या 4. वर्ग बनाने के लिए प्रत्यक्ष कोण के रूप में पिछले संख्या में 3 अंक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। वर्ग संख्याओं के लिए सूत्र बहुत आसान है, यह संख्याओं के इस समूह के नाम से बाहर आता है: जी एन \u003d एन 2। लेकिन, इस सूत्र के अलावा, स्क्वायर नंबरों के लिए पुनरावर्ती सूत्र को प्राप्त करना संभव है। ऐसा करने के लिए, पहले पांच वर्ग संख्याओं पर विचार करें:

जी एन \u003d जी एन -1 + 2 एन -1

2 \u003d 4 \u003d 1 + 3 \u003d 1 + 2 · 2-1

जी 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 · 3-1

जी 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 · 4-1

जी 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 · 5-1

पहला नंबर 1 है। अगला नंबर 5 है। यह चार अंक जोड़कर प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार, परिणामी आंकड़ा पेंटागन का रूप लेता है। ऐसे पेंटागन के एक तरफ में 2 अंक होते हैं। एक तरफ अगले चरण में 3 अंक होंगे, अंक की कुल संख्या - 12. आइए पेंटागोनल संख्याओं की गणना के लिए सूत्र को आउटपुट करने का प्रयास करें। पहले पांच पेंटागोनल संख्या: 1, 5, 12, 22, 35. वे निम्नानुसार बनते हैं:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 · 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 \u003d 12 \u003d 5 + 7 \u003d 5 + 3 · 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 · 4-2

एफ 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 · 5-2

पहला नंबर 1 है। दूसरा - 6. आंकड़ा 2 अंकों के साथ एक हेक्सागोन की तरह दिखता है। तीसरे चरण में, 15 अंक पहले से ही 3 अंकों के साथ एक हेक्सागोन के रूप में बनाए गए हैं। पुनरावर्ती सूत्र वापस लें:

यू एन \u003d यू एन -1 + 4 एन -3

2 \u003d 6 \u003d 1 + 4 · 2-3

यू 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 · 3-3

यू 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 · 4-3

यू 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 · 5-3

यदि आप अधिक चौकस देखते हैं, तो आप सभी पुनरावर्ती सूत्रों के बीच कनेक्शन देख सकते हैं।

त्रिकोणीय संख्याओं के लिए: टी एन \u003d टी एन -1 + एन \u003d टी एन -1 +1 एन -0

वर्ग संख्या के लिए: जी एन \u003d जी एन -1 +2 एन -1

पेंटगोनल संख्याओं के लिए: एफ एन \u003d एफ एन -1 +3 एन -2

हेक्सागोनल संख्याओं के लिए: यू एन \u003d यू एन -1 +4 एन -3

हम देखते हैं कि घुंघराले संख्या दोहराने पर बनाए जाते हैं: यह आवर्ती सूत्रों पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। हम सुरक्षित रूप से तर्क दे सकते हैं कि घुंघराले संख्या एक फ्रैक्टल संरचना पर आधारित हैं।

2.3 फ्रैक्टल और साहित्यिक कार्यों के बीच एक कनेक्शन ढूँढना।

कला के एक काम के रूप में स्पष्ट रूप से विचार करें, और दो मुख्य विशेषताओं की विशेषता: 1) इसका हिस्सा किसी भी तरह से पूरे जैसा ही है (आदर्श रूप से, समानता का यह अनुक्रम अनंतता पर लागू होता है, हालांकि किसी ने कभी भी वास्तव में अनंत अनुक्रम नहीं देखा है एक हिमपात का निर्माण; 2) उनकी धारणा नेस्टेड स्तरों के अनुक्रम पर आती है। ध्यान दें कि फ्रैक्टल आकर्षण बस इस आकर्षक और dizzying सिस्टम के स्तर के रास्ते पर होता है, जिसके साथ वापसी की गारंटी नहीं है।

मैं अंतहीन पाठ कैसे बना सकता हूं? इस मुद्दे को एक्स-एल की कहानी के नायक द्वारा पूछा गया था। बुरहेस "डाइविंग ट्रेल ऑफ डाइविंग ट्रेल": "... मैंने खुद से पूछा कि पुस्तक अनंत कैसे हो सकती है। इसके अलावा, चक्रीय, टॉम, वॉल्यूम के चारों ओर घूमने के अलावा, कुछ भी नहीं आता है, जिसमें अंतिम पृष्ठ पहली चीज दोहराता है जो उसे जितना चाहें उतना जारी रखने की अनुमति देता है। "

चलो देखते हैं कि अन्य समाधान क्या मौजूद हैं।

सबसे सरल अनंत पाठ डुप्लिकेट तत्वों की एक अनंत संख्या, या बॉब्स से टेक्स्ट होगा जिसने दोहराया हिस्सा "पूंछ" है - किसी भी प्रारंभिक छंद के साथ एक ही पाठ को छोड़ दिया गया है। योजनाबद्ध रूप से, इस तरह के पाठ को एक अटूट पेड़ या दोहराए गए संस्करणों के आवधिक अनुक्रम के रूप में चित्रित किया जा सकता है। पाठ की इकाई - वाक्यांश, स्टेन्ज़ा या कहानी शुरू होती है, विकसित होती है और समाप्त होती है, प्रारंभिक बिंदु पर लौटती है, संक्रमण मूल को दोहराते हुए पाठ की अगली इकाई को इंगित करता है। इस तरह के पाठ की तुलना अनंत की तुलना की जा सकती है आवधिक फ्रैसी: 0,33333 ..., यह अभी भी 0 के रूप में लिखा जा सकता है, (3)। यह देखा जा सकता है कि "हेड" काटने - प्रारंभिक इकाइयों की संख्या, कुछ भी नहीं बदलेगी, और "पूंछ" पूरे पाठ के साथ सटीक रूप से मेल खाता है।

किसी भी जोड़े से खुद को अनियंत्रित अंतहीन पेड़ पहचानकर्ता।

इस तरह के अनंत कार्यों में - बच्चों या लोक गीतों के लिए कविताओं, उदाहरण के लिए, पॉप और उसके कुत्ते के बारे में कविता रूसी लोक कविता से, या एम। सैस्नोवा "स्कार्क्रो-मेडो" की कविता, बिल्ली के बारे में बताती है जो गाती है बिल्ली का बच्चा जो बिल्ली के बच्चे के बारे में गाता है। या, सबसे छोटा: "पुजारी आंगन था, आंगन पर एक हिस्सेदारी थी, इसे कोक पर पेशाब किया गया - पहले परी कथा शुरू न करें? ... पॉप यार्ड था ..."

मैं जा रहा हूं और मैं पुल को कौआ ब्राउन के नीचे देखता हूं,
मैंने पूंछ के पीछे कौवों को लिया, इसे पुल पर रखा, कौवा को डूबने दें।
मैं जा रहा हूं और मैं पुल पर डूब गया पुल देखता हूं,
मैंने पूंछ के लिए कौवे लिया, इसे पुल के नीचे डाल दिया, कौवा उड़ने दो ...

अनंत संस्करणों के विपरीत, मंडेलब्रॉट के फ्रैक्टल के टुकड़े अभी भी समान नहीं हैं, लेकिन एक दूसरे के समान हैं, और यह गुणवत्ता और इसे आकर्षक आकर्षण देता है। इसलिए, साहित्यिक फ्रैक्टल के अध्ययन में, पाठ तत्वों के समानता, समानता (और पहचान) की खोज करने का कार्य सामना नहीं किया जाता है।

अंतहीन अंतराल के मामले में, समानता पर पहचान का प्रतिस्थापन विभिन्न तरीकों से किया गया था। आप कम से कम दो संभावनाएं दे सकते हैं: 1) विविधता के साथ कविताओं का निर्माण, 2) वेतन वृद्धि के साथ।

विविधताओं के साथ कविताओं, उदाहरण के लिए, एसएनआईकिटिन के कारोबार में लॉन्च किया गया है और जो लोक गीत "पेगी एक हंसमुख हंस रहते थे" बन गए हैं, जिसमें पेगिन आसपास और उनकी आदतें अलग-अलग होती हैं।

पेगी एक हंसमुख हंस रहते थे,

वह दिल से सभी गाने जानता था।

आह, एक हंसमुख हंस क्या है!

पहनें, पेगी, पहनें!

पेगी एक मजेदार पिल्ला रहते थे,

वह अपने ड्राइंग के तहत नृत्य कर सकता था।

आह, एक मजाकिया पिल्ला क्या है!

पहनें, पेगी, पहनें!

पेगी में एक पतली जिराफ है,

वह एक अलमारी की तरह लालित्य था,

यह एक पतला जिराफ है!

पहनें, पेगी, पहनें!

पेगी एक मजेदार पेंगुइन रहते थे,

उन्होंने सभी वाइन को प्रतिष्ठित किया,

आह, क्या मजाकिया पेंगुइन!

पहनें, पेगी, पहनें!

पेगी एक हंसमुख हाथी रहते थे,

उन्होंने सिंक्रोफासोट्रॉन लड़ा,

खैर, एक हंसमुख हाथी क्या है,

Unscrew, Peggy, पहनें! ..

पहले से ही, अगर अनंत नहीं है, तो बड़ी संख्या में बेकर्स: वे तर्क देते हैं कि कैसेट "हमारी सदी के गीत" गीतों के दो विविधताओं के साथ बाहर आए, और शायद संख्या बढ़ती जा रही है। यहां समान छंदों की अनंतता कोचनेबल, बचपन, बेवकूफ और हास्यास्पद के कारण दूर करने की कोशिश कर रही है।

एक और अवसर "वेतन वृद्धि" के साथ ग्रंथों में निहित है। ऐसे वे हैं जो बचपन से एक रेपका या कोलोबकिन का एक झटके के बाद से ज्ञात हैं, जिनमें से प्रत्येक एपिसोड में वर्णों की संख्या बढ़ जाती है:

"Teremok"

मुहा-ईंधन।
मुहा-गुल्ली, कोमर-पिस्कुन।
मुहा-टोरजुखा, कोमर-पिस्कुन, माउस-नॉरस्का।
मुहा-खाड़ी, कोमर-पिस्कुन, माउस-नॉरस्का, कुबाश्का मेंढक।
मुहा-टोररी, मच्छर पिस्कुन, माउस-नॉरस्का, क्यूबन मेंढक, बनी-पंपचेयर।
मुहा-खाड़ी, मच्छर-पिस्कुन, माउस-नॉरस्का, कुबाश्का मेंढक, बनी - पंपरचिक, फॉक्स-बहन।
मुखा-टोररी, मच्छर-पिस्कुन, माउस-नोमुष्का, क्यूबन मेंढक, बनी - पंपरचिक, फॉक्स-बहन, कलाई बैंड-ग्रे पूंछ।
मुहा-टोररी, कोमर-पिस्कुन, माउस-नॉरशका, मेंढक-कुबाश्का, बनी - पंपरचिक, फॉक्स-बहन, वाइल्ड्रेन-ग्रे पूंछ, भालू, आप सभी को देते हैं।

इस तरह के ग्रंथों में "क्रिसमस ट्री" या "matryoshki" की संरचना है, जिसमें प्रत्येक स्तर को बढ़ती छवि आकार के साथ पिछले एक को दोहराता है।

काव्य कार्य जिसमें प्रत्येक वाहन को स्वतंत्र रूप से पढ़ा जा सकता है, क्रिसमस के पेड़ की एक अलग "मंजिल" की तरह, साथ ही साथ एक साथ, पाठ बनाना जो एक से दूसरे में विकसित होता है, और आगे प्रकृति, शांति और ब्रह्मांड, द्वारा निर्मित T.wasilee:

अब, मुझे लगता है कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक फ्रैक्टल संरचना के साथ साहित्यिक कार्य हैं।

3. फ्रैक्टल का व्यावहारिक अनुप्रयोग

विज्ञान में फ्रैक्टल का उपयोग तेजी से उपयोग किया जाता है। इसका मुख्य कारण यह है कि वे पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर दुनिया का वर्णन करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

संगनक् सिस्टम

कंप्यूटर विज्ञान में फ्रैक्टल का सबसे उपयोगी उपयोग फ्रैक्टल डेटा संपीड़न है। इस प्रकार के संपीड़न का आधार यह तथ्य है कि वास्तविक दुनिया को फ्रैक्टल ज्यामिति द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। साथ ही, चित्रों को परंपरागत तरीकों (जैसे जेपीईजी या जीआईएफ) द्वारा किए गए चित्रों की तुलना में बहुत बेहतर संपीड़ित किया जाता है। फ्रैक्टल संपीड़न का एक अन्य लाभ यह है कि तस्वीर में वृद्धि के साथ, पिक्सेलिज़ेशन का प्रभाव नहीं देखा गया है (छवि को विकृत करने के आकार के बिंदुओं के आकार को बढ़ाएं)। फ्रैक्टल संपीड़न के साथ, वृद्धि के बाद, चित्र अक्सर इसके पहले से भी बेहतर दिखता है।

तरल पदार्थ के यांत्रिकी

1. प्रवाह में अशांति का अध्ययन फ्रैक्टल के लिए बहुत अच्छी तरह से समायोजित है। अशांत धाराएं अराजक हैं और इसलिए उन्हें बस अनुकरण करना मुश्किल है। और यहां यह संक्रमण को फ्रैक्टल प्रतिनिधित्व से मदद करता है। इंजीनियरों और भौतिकविदों के काम को कितनी सुविधा प्रदान करता है, जिससे उन्हें जटिल प्रवाह की गतिशीलता को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति मिलती है।

2. फ्रैक्टल का उपयोग करके, आप ज्वाला भाषाओं को अनुकरण भी कर सकते हैं।

3. इस तथ्य के कारण फ्रैक्टल फॉर्म में छिद्रपूर्ण सामग्री अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व की जाती है कि उनके पास एक बहुत ही जटिल ज्यामिति है। इसका उपयोग तेल विज्ञान में किया जाता है।

दूरसंचार

एंटेना का उपयोग दूरी पर डेटा संचारित करने के लिए किया जाता है, जिसमें फ्रैक्टल रूप होते हैं, जो उनके आकार और वजन को बहुत कम कर देते हैं।

भौतिकी सतह

सतहों के वक्रता का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। असमान सतह को दो अलग-अलग फ्रैक्टल के संयोजन द्वारा विशेषता है।

दवा

1. chicoensory बातचीत।

2. दिल

बायोलॉजी

अराजक प्रक्रियाओं का अनुकरण, विशेष रूप से जनसंख्या मॉडल का वर्णन करते समय।

4। निष्कर्ष

4.1 अनुसंधान परिणाम

मेरे काम में, मानव ज्ञान के सभी क्षेत्रों को नहीं दिया जाता है, जहां उन्हें फ्रैक्टल सिद्धांत का उपयोग मिला। मैं सिर्फ यह कहना चाहता हूं कि सिद्धांत के उद्भव के बाद से एक तिहाई से अधिक नहीं, लेकिन इस समय के दौरान, कई शोधकर्ताओं के लिए फ्रैक्टल रात में अचानक उज्ज्वल प्रकाश बन गए हैं, जो विशिष्ट क्षेत्रों में अज्ञात परिभाषाओं और पैटर्न को प्रकाशित करते हैं आंकड़े का। फ्रैक्टल के सिद्धांत का उपयोग करके आकाशगंगाओं के विकास और सेल के विकास, पहाड़ों के उद्भव और बादलों के गठन, स्टॉक एक्सचेंज पर कीमतों की आवाजाही और समाज और परिवार के विकास की व्याख्या करना शुरू किया। शायद पहली बार, यह फ्रैक्टल जुनून भी बहुत हिंसक था और फ्रैक्टल के सिद्धांत की मदद से सबकुछ समझाने का प्रयास अन्यायपूर्ण था। लेकिन, इसमें कोई संदेह नहीं है, इस सिद्धांत का अस्तित्व का अधिकार है।

मेरे काम में मैंने एकत्र किया रोचक जानकारी फ्रैक्टल, उनके प्रकार, आयाम और गुणों पर, उनके उपयोग पर, साथ ही पास्कल, अनुमानित संख्या, स्वर्ण खंड, फ्रैक्टल साहित्यिक कार्यों और कई अन्य चीजों पर त्रिकोण।

अध्ययन के दौरान निम्नलिखित कार्य किया गया था:

अनुसंधान के विषय पर साहित्य का विश्लेषण और काम किया।

विभिन्न प्रकार के फ्रैक्टल पर विचार और अध्ययन किया गया था।

फ्रैक्टल छवियों का संग्रह फ्रैक्टल की दुनिया के साथ प्राथमिक परिचितीकरण के लिए एकत्र किया जाता है।

फ्रैक्टल और पास्कल, साहित्यिक कार्यों, अनुमानित संख्याओं और एक गोल्डन क्रॉस सेक्शन के त्रिकोण के बीच संबंध स्थापित किए गए हैं।

मैंने यह सुनिश्चित किया कि जो लोग फ्रैक्टल में लगे हुए हैं, सुंदर, अद्भुत दुनिया, जिसमें गणित, प्रकृति और कला शासनकाल। मुझे लगता है कि मेरे काम से परिचित होने के बाद, आप, मेरे जैसे, सुनिश्चित करें कि गणित सुंदर और अद्भुत है।

5. जैसे:

1. Bogkin S.V., परशिन डीए। फ्रैक्टल और मल्टीफ्रैक्टल। इज़ेव्स्क: एनआईसी "नियमित और अराजक गतिशीलता", 2001. - 128С।

2. Voloshinov ए वी। गणित और कला: केएन। उन लोगों के लिए जो न केवल गणित और कला से प्यार करते हैं, बल्कि विज्ञान की सुंदर और सुंदरता की प्रकृति के बारे में भी सोचने की इच्छा रखते हैं। 2 एड।, डोरप। और जोड़। - एम।: Enlightenment, 2000. - 39 9с।

3. गार्डनर एम। एक neskual गणित। कैलिडोस्कोप पहेलियाँ। एम।: एएसटी: एस्ट्रेल, 2008. - 288 सी।: IL।

4. Grinchenko वी। टी।, मत्सशपुरा वी। टी, स्नीकी एए। Nonlinear गतिशीलता का परिचय। अराजकता और फ्रैक्टल
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7. रिचर्ड एम। क्रोथ फ्रैक्टल और अराजकता गतिशील प्रणालियों में फ्रैक्टल और अराजकता के लिए परिचय।
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8. आसपास के अमेरिकामीरा स्पष्ट रूप से नामित के साथ ठोस निकायों के रूप में ... गठन और देखने के कार्यक्रम को खोजें फ्राक्टल, अन्वेषण और कई निर्माण फ्राक्टल। साहित्य 1. एआई। एजेविच "बीस ...