사인과 코사인 표가 완성되었습니다. 사인(sin x) 및 코사인(cos x) – 속성, 그래프, 공식
과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 유래되었습니다. 최초의 삼각법 비율은 천문학자들이 정확한 달력과 별의 방향을 만들기 위해 파생되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평면 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.
삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.
서기 1000년 문화와 과학의 전성기 동안 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프 시대 사람들의 장점입니다. 특히, 투르크멘 과학자 al-Marazwi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 함수를 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값에 대한 최초의 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 삼각법은 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 에라토스테네스(Eratosthenes)와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 많은 주목을 받았습니다.
삼각법의 기본 수량
숫자 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 자체 그래프를 가지고 있습니다.
이 수량의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예를 사용하여 증거가 제공되기 때문에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일합니다"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.
사인, 코사인 및 기타 관계는 직각삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제시하고 삼각 함수 간의 관계를 추적해 보겠습니다.
보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 변 a를 사인 A와 빗변 c의 곱으로, 변 b를 cos A * c로 상상하면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다.
삼각원
언급된 수량 간의 관계를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.
이 경우 원은 0°에서 360°까지 각도 α의 가능한 모든 값을 나타냅니다. 그림에서 볼 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어, α가 원의 1/4과 2/4에 속하면, 즉 0°에서 180° 사이의 범위에 있으면 sin α에 "+" 기호가 표시됩니다. 180°에서 360°까지의 α(III 및 IV 분기)의 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.
특정 각도에 대한 삼각표를 작성하고 수량의 의미를 알아보세요.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수 사례라고 합니다. 이에 대한 삼각 함수 값이 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.
이 각도는 무작위로 선택되지 않았습니다. 표의 π 지정은 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 의존성을 확립하기 위해 도입되었으며 라디안으로 계산할 때 반경의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.
삼각 함수 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.
따라서 2π가 완전한 원, 즉 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
삼각 함수의 속성: 사인과 코사인
사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 해당 기능을 그리는 것이 필요합니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.
사인과 코사인의 속성 비교표를 고려하십시오.
| 사인파 | 코사인 |
|---|---|
| y = 사인x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk인 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk에서, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk에서, 여기서 k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, 즉 함수가 홀수입니다. | cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다. |
| 함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다. | |
| sin x › 0, x는 1분기와 2분기 또는 0° ~ 180°(2πk, π + 2πk)에 속합니다. | cos x › 0, x는 I 및 IV 분기에 속하거나 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x 〈 0, x는 3/4 및 4/4 또는 180° ~ 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다. | cos x 〈 0, x는 2분기와 3분기 또는 90° ~ 270°(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)에 속함 |
| 구간 증가 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | 간격 [-π + 2πk, 2πk]에 따라 증가 |
| 간격 [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]에 따라 감소 | 간격에 따라 감소 |
| 도함수(sin x)' = cos x | 미분 (cos x)' = - 죄 x |
함수가 짝수인지 아닌지를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각량의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것만으로도 충분합니다. 부호가 일치하면 함수는 짝수이고, 그렇지 않으면 홀수입니다.
라디안의 도입과 사인파 및 코사인파의 기본 속성 목록을 통해 다음 패턴을 제시할 수 있습니다.
공식이 맞는지 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 x = π/2의 경우 사인은 1이고 x = 0의 코사인은 1입니다. 확인은 표를 참조하거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 수행할 수 있습니다.
탄젠트소이드와 코탄젠트소이드의 특성
탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 사인 및 코사인 함수와 크게 다릅니다. tg와 ctg 값은 서로 상반됩니다.
- Y = 황갈색 x.
- 탄젠트는 x = π/2 + πk에서 y 값으로 향하는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
- 접선의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Tg (- x) = - tg x, 즉 함수는 홀수입니다.
- Tg x = 0, x = πk인 경우.
- 기능이 증가하고 있습니다.
- Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ의 경우 Tg x 〈 0(— π/2 + πk, πk).
- 미분(tg x)' = 1/cos 2 x.
아래 텍스트에서 코탄젠토이드의 그래픽 이미지를 고려하세요.
코탄젠토이드의 주요 특성:
- Y = 유아용 침대 x.
- 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠토이드에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
- 코탄젠토이드는 x = πk에서 y 값을 얻으려는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
- 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Ctg (- x) = - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk인 경우.
- 기능이 감소하고 있습니다.
- Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ(π/2 + πk, πk)의 경우 Ctg x 〈 0.
- 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 x 정확함
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
우선, "사인과 코사인이란 무엇입니까? 탄젠트와 코탄젠트는 무엇입니까?" 단원에서 얻은 간단하면서도 매우 유용한 결론을 상기시켜 드리겠습니다.
출력은 다음과 같습니다.
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 각도와 밀접하게 연결되어 있습니다. 우리는 한 가지를 안다는 것은 다른 것을 안다는 뜻입니다.
즉, 각 각도에는 고유한 상수 사인과 코사인이 있습니다. 그리고 거의 모든 사람은 자신만의 탄젠트와 코탄젠트를 가지고 있습니다. 왜 거의?이에 대한 자세한 내용은 아래에서 확인하세요.
이 지식은 공부에 많은 도움이 됩니다! 사인에서 각도로 또는 그 반대로 이동해야 하는 작업이 많이 있습니다. 이를 위해 사인 테이블.마찬가지로, 코사인을 사용하는 작업의 경우 - 코사인 테이블.그리고 짐작하셨겠지만, 접선 테이블그리고 코탄젠트 표.)
테이블이 다릅니다. 긴 것들은 sin37°6'이 무엇인지 볼 수 있습니다. Bradis 테이블을 열고 6분 동안 37도 각도를 찾아 0.6032의 값을 확인합니다. 이 숫자(및 수천 개의 다른 테이블 값)를 기억할 필요가 전혀 없다는 것은 분명합니다.
실제로 우리 시대에는 코사인, 사인, 탄젠트, 코탄젠트의 긴 테이블이 실제로 필요하지 않습니다. 하나의 좋은 계산기가 이를 완전히 대체합니다. 그러나 그러한 테이블의 존재를 아는 것은 나쁠 것이 없습니다. 일반적인 학식을 위해.)
그런데 왜 이 수업이?! - 물어.
그런데 왜요. 무한히 많은 각도 중에 특별한,당신이 알아야 할 것 모두. 모든 학교 기하학과 삼각법은 이러한 각도를 기반으로 만들어졌습니다. 이것은 삼각법의 일종의 "곱셈표"입니다. 예를 들어 sin50°가 무엇인지 모른다면 아무도 당신을 판단하지 않을 것입니다.) 그러나 sin30°가 무엇인지 모른다면 당연히 2를 얻을 준비를 하십시오...
그런 특별한각도도 꽤 괜찮습니다. 학교 교과서는 대개 친절하게 암기를 제공합니다. 사인 테이블과 코사인 테이블 17개의 각도에 대해. 그리고 물론, 탄젠트 테이블과 코탄젠트 테이블동일한 17개 각도에 대해... 즉 68개의 값을 기억하는 것이 좋습니다. 그건 그렇고, 서로 매우 유사하며 가끔씩 반복하고 기호를 변경합니다. 완벽한 시각적 기억력이 없는 사람에게는 이것은 상당한 작업입니다...)
우리는 다른 길을 택할 것입니다. 암기식 암기를 논리와 독창성으로 바꾸자. 그런 다음 사인표와 코사인표의 값을 3개(3개!) 외워야 합니다. 그리고 탄젠트 표와 코탄젠트 표에 대한 값은 3개입니다. 그게 다야. 68개 값보다 6개 값이 기억하기 더 쉬운 것 같아요...)
우리는 강력한 법적 치트 시트를 사용하여 이 6가지에서 필요한 다른 모든 값을 얻을 것입니다. - 삼각법 원. 이 주제를 공부하지 않았다면 게으르지 말고 링크를 따르십시오. 이 원은 이번 수업에만 필요한 것이 아닙니다. 그 사람은 대체불가 모든 삼각법을 동시에. 그러한 도구를 사용하지 않는 것은 단순히 죄악입니다! 당신이 원하지 않는? 그것은 당신의 사업입니다. 암기하다 사인 테이블. 코사인 표. 접선 테이블. 코탄젠트 표.다양한 각도에 대한 총 68가지 값입니다.)
그럼 시작해 보겠습니다. 먼저, 이 모든 특별한 각도를 세 그룹으로 나누어 보겠습니다.
첫 번째 각도 그룹.
첫 번째 그룹을 생각해 봅시다. 열일곱 개의 각도 특별한. 각도는 0°, 90°, 180°, 270°, 360°의 5가지 각도입니다.
각 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 표는 다음과 같습니다.
각도 x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
각도 x
|
0 |
||||
죄 x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
왜냐하면 x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
명사 |
0 |
명사 |
0 |
CTG X |
명사 |
0 |
명사 |
0 |
명사 |
기억하고 싶은 분들은 기억하세요. 하지만 이 모든 1과 0은 머릿속에서 매우 혼란스러워진다고 바로 말씀드리겠습니다. 원하는 것보다 훨씬 강합니다.) 따라서 논리와 삼각법 원을 켭니다.
원을 그리고 그 위에 동일한 각도(0°, 90°, 180°, 270°, 360°)를 표시합니다. 저는 이 모서리를 빨간색 점으로 표시했습니다.
이 각도의 특별한 점은 즉시 명백해집니다. 예! 떨어지는 각도들이에요 정확히 좌표축에!사실 그래서 사람들이 헷갈려 하는 거고... 하지만 우리는 헷갈리지 않을 거예요. 많은 암기 없이 이러한 각도의 삼각함수를 찾는 방법을 알아봅시다.
참고로 각도 위치는 0도입니다. 완전히 일치하다 360도 각도 위치. 이는 이 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트가 정확히 동일하다는 것을 의미합니다. 원을 완성하기 위해 360도 각도를 표시했습니다.
통합 국가 시험의 어려운 스트레스 환경에서 어떻게 든 의심했다고 가정 해보십시오. 사인 0도는 무엇입니까? 0인 것 같은데... 1이라면?! 기계적 암기는 그런 것입니다. 가혹한 상황 속에서 의심이 갉아먹히기 시작하는데...)
진정하세요, 그냥 진정하세요!) 100% 정답을 주고 모든 의심을 완전히 없애줄 실용적인 기술을 알려드리겠습니다.
예를 들어 사인 0도를 명확하고 안정적으로 결정하는 방법을 알아 보겠습니다. 그리고 동시에 코사인은 0입니다. 이상하게도 사람들이 종종 혼란스러워하는 것은 이러한 값입니다.
이렇게 하려면 원을 그리세요. 임의의모서리 엑스. 1분기에는 0도에 가까웠다. 이 각도의 사인과 코사인을 축에 표시해 보겠습니다. 엑스,모든 것이 괜찮습니다. 이와 같이:
그리고 지금 - 주의! 각도를 줄여보자 엑스, 움직이는 쪽을 축에 더 가깝게 가져옵니다. 오. 사진 위에 커서를 올리거나 태블릿에서 사진을 탭하면 모든 내용이 표시됩니다.
이제 기본 논리를 켜 보겠습니다!보고 생각해보자: 각도 x가 감소함에 따라 sinx는 어떻게 동작합니까? 각도가 0에 가까워지면?줄어들고 있어요! 그리고 cosx가 증가합니다!각도가 완전히 무너지면 사인에 어떤 일이 일어날 지 알아내는 것이 남아 있습니다. 각도의 움직이는 면(점 A)이 언제 OX 축에 안착되고 각도가 0이 됩니까? 분명히 각도의 사인은 0이 될 것입니다. 그리고 코사인은 다음과 같이 증가할 것입니다. 각도의 움직이는 변(삼각원의 반지름)의 길이는 얼마입니까? 하나!
여기에 답이 있습니다. 0도의 사인은 0과 같습니다. 0도의 코사인은 1과 같습니다. 절대적으로 철갑이며 의심의 여지가 없습니다!) 간단히 말해서 그렇지 않으면 그럴 수 없다.
예를 들어, 똑같은 방법으로 270도의 사인을 알아내거나 명확히 할 수 있습니다. 또는 코사인 180. 원을 그립니다. 임의의우리가 관심 있는 좌표축 옆에 있는 1/4의 각도를 정신적으로 각도의 측면으로 움직여서 각도의 측면이 축에 놓일 때 사인과 코사인이 어떻게 될지 파악합니다. 그게 다야.
보시다시피, 이 각도 그룹에 대해서는 아무것도 외울 필요가 없습니다. 여기서는 필요하지 않습니다 사인 테이블...예 그리고 코사인 테이블-도 마찬가지입니다.) 그런데 삼각법 원을 여러 번 사용한 후에는 이러한 모든 값이 자동으로 기억됩니다. 그리고 잊어버리면 5초 안에 원을 그려서 명확하게 했습니다. 화장실에서 친구에게 전화해서 인증서를 위험에 빠뜨리는 것보다 훨씬 쉽죠?)
탄젠트와 코탄젠트는 모든 것이 동일합니다. 원에 접선(코탄젠트)을 그리면 모든 것이 즉시 표시됩니다. 0과 같고 존재하지 않는 곳. 뭐, 탄젠트선과 코탄젠트선에 대해 모르시나요? 슬프지만 고칠 수 있습니다.) 우리는 삼각법 원의 탄젠트와 코탄젠트 섹션 555를 방문했는데 문제가 없습니다!
다섯 가지 각도에 대해 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 명확하게 정의하는 방법을 알아냈다면 축하합니다! 만약을 대비해 이제 함수를 정의할 수 있음을 알려드립니다. 축에 떨어지는 모든 각도.그리고 이것은 450°, 540°, 1800°, 그리고 무한한 수의 다른 것입니다...) 나는 원의 각도를 (정확하게!) 세었고 기능에는 문제가 없습니다.
하지만 문제와 오류가 발생하는 것은 바로 각도 측정과 관련이 있습니다... 이를 방지하는 방법은 삼각법 원에 각도를 도 단위로 그리는 방법(계산) 강의에 나와 있습니다. 초보적이지만 오류와의 싸움에 매우 도움이 됩니다.)
여기에 교훈이 있습니다: 삼각법 원의 각도를 라디안 단위로 그리는(측정하는) 방법 - 더 멋질 것입니다. 가능성 측면에서. 예를 들어, 각도가 4개의 반축 중 어느 축에 속하는지 결정해 보겠습니다.
몇 초 안에 할 수 있습니다. 농담 아니야! 몇 초 안에요. 물론 345파이뿐만 아니라...) 그리고 121, 16, -1345도 있습니다. 모든 정수 계수는 즉각적인 답변에 적합합니다.
그리고 코너라면
그냥 생각해! 분모에 2가 있는 라디안의 분수 값에 대해 10초 안에 정답을 얻습니다.
사실 삼각원의 좋은 점은 바로 이것이다. 함께 일할 수 있는 능력이 있기 때문에 일부모서리가 자동으로 확장됩니다. 무한 세트모서리
그래서 우리는 17개 코너 중 5개 코너를 정리했습니다.
두 번째 각도 그룹.
다음 각도 그룹은 30°, 45° 및 60° 각도입니다. 예를 들어 20, 50, 80이 아닌 정확히 이것이 무엇입니까? 예, 어떻게 든 이런 식으로 밝혀졌습니다... 역사적으로.) 더 나아가 이러한 각도가 왜 좋은지 알게 될 것입니다.
이 각도에 대한 사인 코사인 탄젠트 코탄젠트 테이블은 다음과 같습니다.
각도 x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
각도 x
|
0 |
||||
죄 x |
0 |
1 |
|||
왜냐하면 x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
명사 |
||
CTG X |
명사 |
1 |
0 |
그림을 완성하기 위해 앞의 표에서 0°와 90°에 대한 값을 남겨두었습니다.) 그래야 이 각도가 1/4에 위치하고 증가하는 것을 알 수 있습니다. 0부터 90까지. 이것은 나중에 우리에게 유용할 것입니다.
30°, 45°, 60° 각도에 대한 표 값을 기억해야 합니다. 원한다면 기억해 두세요. 그러나 여기에도 삶을 더 쉽게 만들 수 있는 기회가 있습니다.) 사인 테이블 값이 각도. 그리고 비교 코사인 테이블 값...
예! 그들 같은!그냥 역순으로 정리했습니다. 각도 증가(0, 30, 45, 60, 90) 및 사인 값 증가하다 0부터 1까지. 계산기로 확인하실 수 있습니다. 그리고 코사인 값은 감소하고 있다 1에서 0까지. 게다가 가치 자체도 같은. 20, 50, 80 각도에서는 작동하지 않습니다.
이것은 유용한 결론이다. 충분히 배울 수 있다 삼 30, 45, 60도 각도 값. 그리고 사인의 경우 증가하고 코사인의 경우 감소한다는 것을 기억하십시오. 사인 방향으로.) 중간(45°)에서 만납니다. 즉, 사인 45도는 코사인 45도와 같습니다. 그러다 또 갈라지는데... 세 가지 의미를 배울 수 있겠죠?
탄젠트 - 코탄젠트를 사용하면 그림이 정확히 동일합니다. 1-1. 단지 의미가 다를 뿐입니다. 이 값들(세 개 더!)도 배워야 합니다.
자, 거의 모든 암기가 끝났습니다. 당신은 (희망적으로) 축에 떨어지는 다섯 각도의 값을 결정하는 방법을 이해하고 30도, 45도, 60도 각도의 값을 배웠습니다. 총 8개.
9개의 코너로 구성된 마지막 그룹을 처리해야 합니다.
각도는 다음과 같습니다.
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. 이러한 각도에 대해서는 사인표, 코사인표 등을 알아야 합니다.
악몽이죠?)
그리고 여기에 405°, 600° 또는 3000°와 같은 각도를 추가하고 똑같이 아름다운 각도도 많이 추가한다면?)
아니면 라디안 단위의 각도인가요? 예를 들어 각도에 대해서는 다음과 같습니다.
그리고 당신이 알아야 할 다른 많은 것 모두.
이걸 아는게 제일 웃긴다 모두 - 원칙적으로 불가능합니다.기계식 메모리를 사용하는 경우.
삼각법 원을 사용하면 실제로 매우 쉽습니다. 삼각법 원을 사용하여 작업하는 방법을 익힌 후에는 모든 두려운 각도를 쉽고 우아하게 좋은 구식 각도로 줄일 수 있습니다.
그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.
기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제논(Zeno of Elea)은 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데, 그 중 가장 유명한 것은 “아킬레스와 거북이” 아포리아입니다. 소리는 다음과 같습니다.아킬레스가 거북이보다 10배 더 빨리 달리고 거북이보다 1000보 뒤쳐져 있다고 가정해 보겠습니다. 아킬레스건이 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 아킬레스가 100보를 달리면 거북이는 10보를 더 기어가는 식입니다. 이 과정은 무한히 계속될 것이고, 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.
이 추론은 이후 모든 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 힐베르트... 그들은 모두 어떤 방식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서" ... 토론은 오늘날까지 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통 의견에 도달하지 못했습니다 ... 문제 연구에 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적, 철학적 접근 방식이 포함되었습니다. ; 그 중 어느 것도 문제에 대해 일반적으로 받아들여지는 해결책이 되지 못했습니다..."[위키피디아, '제노의 아포리아'. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만, 그 속임수가 무엇인지는 누구도 이해하지 못한다.
수학적 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 양에서 로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이러한 전환은 영구적인 전환 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 사용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 우리는 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성으로 인해 상호 가치에 일정한 시간 단위를 적용합니다. 물리적인 관점에서 볼 때 이것은 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간 완전히 멈출 때까지 시간이 느려지는 것처럼 보입니다. 시간이 멈춘다면 아킬레스는 더 이상 거북이를 앞지르지 못합니다.
일반적인 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달린다. 그의 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 경로보다 10배 더 짧습니다. 따라서 이를 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10분의 1로 줄어듭니다. 이런 상황에 '무한대' 개념을 적용하면 '아킬레우스는 무한히 빠르게 거북이를 따라잡을 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 역수 단위로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어에서는 다음과 같습니다.
아킬레스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 1000보를 더 달리고 거북이는 100보를 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적인 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것이 문제의 완전한 해결책은 아닙니다. 빛의 속도의 저항 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 여전히 이 문제를 연구하고, 다시 생각하고, 해결해야 합니다. 그리고 그 해는 무한히 큰 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 이야기합니다.
날아가는 화살은 매 순간 정지해 있고 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문에 움직이지 않습니다.
이 아포리아에서는 논리적 역설이 매우 간단하게 극복됩니다. 날아가는 화살이 매 순간 공간의 다른 지점에 정지해 있다는 사실, 즉 실제로 움직임이 있다는 점을 명확히 하는 것만으로도 충분합니다. 여기서 또 다른 점에 주목해야 합니다. 도로 위의 자동차 사진 한 장만으로는 자동차의 움직임 사실이나 자동차까지의 거리를 판단하는 것이 불가능합니다. 자동차가 움직이는지 확인하려면 서로 다른 시점에서 같은 지점에서 촬영한 두 장의 사진이 필요하지만 두 장의 사진 사이의 거리를 확인할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 한 시점에 공간의 서로 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그 사진에서는 이동 사실을 확인할 수 없습니다. 물론 계산을 위해 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다. ). 제가 특별히 주목하고 싶은 점은 시간의 두 지점과 공간의 두 지점은 서로 다른 연구 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 된다는 점입니다.
2018년 7월 4일 수요일
집합과 다중 집합의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 어디 보자.
보시다시피 "한 세트에 두 개의 동일한 요소가 있을 수 없습니다." 그러나 한 세트에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중 집합"이라고 합니다. 이성적인 존재들은 이런 터무니없는 논리를 결코 이해하지 못할 것이다. 완전히'라는 단어부터 지능이 없는 말하는 앵무새와 훈련된 원숭이의 수준이다. 수학자들은 평범한 훈련자처럼 행동하며 그들의 터무니없는 생각을 우리에게 설교합니다.
옛날 옛적에 다리를 건설한 기술자들이 다리를 테스트하는 동안 다리 아래에서 보트를 타고 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 엔지니어는 자신이 만든 잔해 속에서 죽었습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어는 다른 다리를 건설했습니다.
수학자들이 "나 집에 있어요"라는 문구 뒤에 숨어 있거나 오히려 "수학은 추상 개념을 연구합니다"라는 문구 뒤에 숨어 있더라도 현실과 뗄래야 뗄 수 없게 연결하는 하나의 탯줄이 있습니다. 이 탯줄은 돈이다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보겠습니다.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 계산대에 앉아 급여를 지급하고 있습니다. 그래서 한 수학자가 돈을 찾아 우리에게 왔습니다. 우리는 그에게 전체 금액을 세어 테이블 위에 여러 더미로 쌓아 놓고 같은 액면가의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 청구서를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소가 있는 집합과 동일하지 않다는 것을 증명한 경우에만 나머지 지폐를 받게 될 것이라고 수학자에게 설명하겠습니다. 이것이 재미가 시작되는 곳입니다.
우선, “이것은 다른 사람에게는 적용될 수 있지만 나에게는 적용될 수 없습니다!”라는 대리인의 논리가 작동할 것입니다. 그러면 그들은 같은 액면가의 지폐라도 지폐 번호가 다르기 때문에 동일한 요소로 간주될 수 없다는 사실을 우리에게 확신시키기 시작할 것입니다. 좋아요, 급여를 동전으로 계산해 봅시다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자들은 물리학을 미친 듯이 기억하기 시작할 것입니다. 동전마다 먼지의 양이 다르며, 원자의 결정 구조와 배열은 동전마다 고유합니다.
이제 가장 흥미로운 질문이 생겼습니다. 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 선은 어디에 있습니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 과학은 여기에 거짓말에 가깝지도 않습니다.
이봐. 동일한 경기장 면적을 가진 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 영역은 동일합니다. 이는 다중 집합이 있음을 의미합니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 알 수 있습니다. 보시다시피, 동일한 요소 집합은 집합이자 다중 집합입니다. 어느 것이 맞나요? 그리고 여기서 수학자이자 샤먼인 샤프리스트는 소매에서 나팔 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 관해 우리에게 말하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다고 우리에게 확신시켜 줄 것입니다.
현대 무당이 집합 이론을 어떻게 작동하고 그것을 현실과 연결하는지 이해하려면 한 가지 질문에 대답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다릅니까? "하나의 전체가 아닌 것으로 생각할 수 있다", "하나의 전체로 생각할 수 없는 것" 없이 보여드리겠습니다.
2018년 3월 18일 일요일
숫자의 합은 탬버린을 들고 무당이 추는 춤인데, 이는 수학과는 아무 상관이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 합을 찾아 사용하는 방법을 배웠습니다. 하지만 그렇기 때문에 그들은 무당이고 후손에게 기술과 지혜를 가르치는 것입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 사라질 것입니다.
증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 자릿수 합계" 페이지를 찾아보세요. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 숫자의 합을 구하는 데 사용할 수 있는 공식이 없습니다. 결국 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어에서 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합을 찾으세요." 수학자들은 이 문제를 풀 수 없지만 무당들은 쉽게 풀 수 있습니다.
주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을 어떻게 하는지 알아봅시다. 그러면 숫자 12345가 있다고 가정하겠습니다. 이 숫자의 자릿수 합계를 찾으려면 어떻게 해야 합니까? 모든 단계를 순서대로 고려해 봅시다.
1. 종이에 숫자를 적습니다. 우리는 무엇을 했나요? 숫자를 그래픽 숫자 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
2. 결과 사진 하나를 개별 숫자가 포함된 여러 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 기호를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 추가합니다. 이제 이것은 수학입니다.
12345의 숫자의 합은 15이다. 수학자들이 이용하는 무당이 가르치는 '재단과 재봉 강좌'이다. 그러나 그것이 전부는 아닙니다.
수학적 관점에서 볼 때 어떤 숫자 체계로 숫자를 쓰는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 숫자의 합이 달라집니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 아래 첨자로 표시됩니다. 큰 숫자 12345를 사용하면 내 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려해 보겠습니다. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수, 16진수 체계로 적어 보겠습니다. 우리는 현미경으로 모든 단계를 살펴보지는 않을 것입니다; 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.
보시다시피, 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수 합계가 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 직사각형의 면적을 미터와 센티미터 단위로 결정하면 완전히 다른 결과를 얻을 수 있는 것과 같습니다.
0은 모든 숫자 체계에서 동일하게 보이며 숫자의 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 수학에서 숫자가 아닌 것은 어떻게 지정됩니까? 뭐, 수학자에게는 숫자 외에는 아무것도 존재하지 않는 걸까요? 나는 이것을 무당들에게는 허용할 수 있지만 과학자들에게는 허용하지 않습니다. 현실은 숫자에만 국한되지 않습니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 양의 다른 측정 단위를 사용한 동일한 조치가 비교 후 다른 결과로 이어진다면 이는 수학과 관련이 없습니다.
진짜 수학이란 무엇인가? 이는 수학 연산의 결과가 숫자의 크기, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.
오! 여기 여자 화장실 아닌가요?
- 젊은 여성! 이것은 천국으로 올라가는 동안 영혼의 비애애적인 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 상단에 후광이 있고 위쪽에 화살표가 있습니다. 또 무슨 화장실이요?
암컷... 위쪽의 후광과 아래쪽 화살표는 수컷입니다.
이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈 앞에 번쩍인다면,
그렇다면 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 저는 똥 싸는 사람의 마이너스 4도(사진 1장)(여러 장의 사진 구성: 마이너스 기호, 숫자 4, 각도 지정)를 보려고 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀가 물리학을 모르는 바보라고 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지를 인식하는 것에 대한 강한 고정관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 항상 우리에게 이것을 가르칩니다. 여기에 예가 있습니다.
1A는 "마이너스 4도"나 "1a"가 아닙니다. 이것은 "똥내는 남자" 또는 16진수 표기법으로 "26"이라는 숫자입니다. 이 숫자 체계에서 지속적으로 작업하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
삼각 함수의 값 표
삼각 함수 값 표는 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 및 360도 각도와 vradian의 해당 각도 값에 대해 작성됩니다. 삼각함수 중 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트가 표에 표시되어 있습니다. 학교 문제 풀이의 편의를 위해 표의 삼각 함수 값은 숫자의 제곱근 추출 기호를 유지하면서 분수 형태로 작성되는데, 이는 복잡한 수학적 표현을 줄이는 데 매우 도움이 됩니다. 탄젠트 및 코탄젠트의 경우 일부 각도의 값을 결정할 수 없습니다. 이러한 각도의 탄젠트 및 코탄젠트 값의 경우 삼각 함수 값 표에 대시가 있습니다. 이러한 각도의 탄젠트와 코탄젠트는 무한대와 같다는 것이 일반적으로 인정됩니다. 별도의 페이지에는 삼각함수를 줄이는 공식이 있습니다.
삼각 사인 함수의 값 표에는 sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 각도에 대한 값이 표시됩니다. sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi(라디안 각도 단위). 사인의 학교 테이블.
삼각 코사인 함수의 경우 표에는 cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 각도에 대한 값이 표시되며 이는 cos 0 pi에 해당합니다. , cos pi x 6, cos pi x 4, cos pi x 3, cos pi x 2, cos pi, cos 3 pi x 2, cos 2 pi(라디안 각도 단위). 코사인의 학교 테이블.
삼각 탄젠트 함수에 대한 삼각법 테이블은 tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 각도에 대한 값을 제공하며 이는 tg 0 pi, tg pi/6에 해당합니다. tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi(라디안 각도 단위). 삼각 탄젠트 함수의 다음 값은 tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2로 정의되지 않으며 무한대와 동일한 것으로 간주됩니다.
삼각법 표의 코탄젠트 삼각 함수의 경우 다음 각도의 값이 제공됩니다: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270(도 단위). 이는 ctg pi/6, ctg pi/4에 해당합니다. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2(라디안 각도 단위). 삼각 코탄젠트 함수의 다음 값은 ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi로 정의되지 않으며 무한대와 동일한 것으로 간주됩니다.
삼각 함수 시컨트 및 코시컨트의 값은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트와 동일한 각도 및 라디안으로 제공됩니다.
비표준 각도의 삼각 함수 값 표는 각도 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72도 및 라디안 파이/12의 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 보여줍니다. , 파이/10, 파이/8, 파이/5, 3파이/8, 2파이/5 라디안. 학교 예제에서 분수를 더 쉽게 줄일 수 있도록 삼각함수의 값을 분수와 제곱근으로 표현합니다.
삼각법 괴물이 세 마리 더 있습니다. 첫 번째는 1.5 1.5도의 탄젠트 또는 파이를 120으로 나눈 값입니다. 두 번째는 파이를 240으로 나눈 코사인, 파이/240입니다. 가장 긴 것은 파이의 코사인을 17로 나눈 값, 파이/17입니다.
사인과 코사인 함수 값의 삼각법 원은 각도의 크기에 따라 사인과 코사인의 부호를 시각적으로 나타냅니다. 특히 금발의 경우 혼동을 줄이기 위해 코사인 값에 녹색 대시로 밑줄을 그었습니다. 라디안을 파이 단위로 표현할 때 각도를 라디안으로 변환하는 방법도 매우 명확하게 나타납니다.
이 삼각법 표는 0도부터 90도까지의 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 값을 1도 간격으로 표시합니다. 처음 45도의 경우 테이블 상단에 있는 삼각함수 이름을 확인해야 합니다. 첫 번째 열에는 각도가 포함되어 있으며 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값이 다음 4개 열에 기록됩니다.
45도에서 90도 사이의 각도에 대해서는 삼각함수의 이름이 표 하단에 기록되어 있습니다. 마지막 열에는 각도가 포함되며 코사인, 사인, 코탄젠트 및 탄젠트 값은 이전 4개 열에 기록됩니다. 삼각함수 표 아래쪽에 있는 삼각함수의 이름이 표 위쪽에 있는 이름과 다르므로 주의해야 합니다. 사인과 코사인은 탄젠트와 코탄젠트처럼 서로 바뀌어 있습니다. 이는 삼각함수 값의 대칭성 때문입니다.
삼각 함수의 기호는 위 그림에 표시되어 있습니다. 사인은 0~180도 또는 0~pi 사이의 양수 값을 갖습니다. 사인은 180도에서 360도까지 또는 pi에서 2pi까지의 음수 값을 갖습니다. 코사인 값은 0~90도 및 270~360도 또는 0~1/2파이 및 3/2~2파이의 양수입니다. 탄젠트와 코탄젠트는 0에서 90도, 180에서 270도 사이의 양수 값을 가지며, 이는 0에서 1/2파이, 파이에서 3/2파이 사이의 값에 해당합니다. 탄젠트와 코탄젠트의 음수 값은 90도에서 180도, 270도에서 360도, 또는 1/2 파이에서 파이, 3/2 파이에서 2 파이입니다. 360도 또는 2파이보다 큰 각도에 대한 삼각 함수의 부호를 결정할 때 이러한 함수의 주기성 속성을 사용해야 합니다.
삼각함수 사인, 탄젠트, 코탄젠트는 홀수 함수입니다. 음의 각도에 대한 이러한 함수의 값은 음수입니다. 코사인은 짝수 삼각 함수입니다. 음의 각도에 대한 코사인 값은 양수입니다. 삼각함수를 곱하고 나눌 때는 부호 규칙을 따라야 합니다.
삼각 사인 함수의 값 표는 다음 각도에 대한 값을 보여줍니다.
문서별도의 페이지에 축소 공식이 있습니다 삼각법기능. 안에 테이블가치을 위한삼각법기능공동주어진가치을 위한다음과 같은모서리: 죄 0, 죄 30, 죄 45 ...
제안된 수학적 장치는 임의의 자유도 n을 갖는 n차원 초복소수에 대한 복소수 계산의 완전한 유사체이며 비선형 수학적 모델링을 위한 것입니다.
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