각도의 삼각 함수 값 표. 각도의 정도 측정
과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 유래되었습니다. 최초의 삼각법 비율은 천문학자들이 정확한 달력과 별의 방향을 만들기 위해 파생되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평면 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.
삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.
서기 1000년 문화와 과학의 전성기 동안 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프 시대 사람들의 장점입니다. 특히, 투르크멘 과학자 al-Marazwi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 함수를 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값에 대한 최초의 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 삼각법은 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 에라토스테네스(Eratosthenes)와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 많은 주목을 받았습니다.
삼각법의 기본 수량
숫자 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 자체 그래프를 가지고 있습니다.
이 수량의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예를 사용하여 증거가 제공되기 때문에 "모든 방향에서 동일한 피타고라스 바지"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.
사인, 코사인 및 기타 관계는 직각삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제시하고 삼각 함수 간의 관계를 추적해 보겠습니다.
보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 변 a를 사인 A와 빗변 c의 곱으로, 변 b를 cos A * c로 상상하면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다.
삼각원
언급된 수량 간의 관계를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.
이 경우 원은 0°에서 360°까지 각도 α의 가능한 모든 값을 나타냅니다. 그림에서 볼 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어, α가 원의 1/4과 2/4에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 sin α에는 "+" 기호가 표시됩니다. 180°에서 360°까지의 α(III 및 IV 분기)의 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.
특정 각도에 대한 삼각표를 작성하고 수량의 의미를 알아보세요.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수 사례라고 합니다. 이에 대한 삼각 함수 값이 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.
이 각도는 무작위로 선택되지 않았습니다. 표의 π 지정은 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 의존성을 확립하기 위해 도입되었으며 라디안으로 계산할 때 반경의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.
삼각 함수 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.
따라서 2π가 완전한 원, 즉 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
삼각 함수의 속성: 사인과 코사인
사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 해당 기능을 그리는 것이 필요합니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.
사인과 코사인의 속성 비교표를 고려하십시오.
| 사인파 | 코사인 |
|---|---|
| y = 사인x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk인 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk에서, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk에서, 여기서 k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, 즉 함수가 홀수입니다. | cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다. |
| 함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다. | |
| sin x › 0, x는 1분기와 2분기 또는 0° ~ 180°(2πk, π + 2πk)에 속합니다. | cos x › 0, x는 I 및 IV 분기에 속하거나 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x 〈 0, x는 3/4 및 4/4 또는 180° ~ 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다. | cos x 〈 0, x는 2분기와 3분기 또는 90° ~ 270°(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)에 속함 |
| 구간 증가 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | 간격 [-π + 2πk, 2πk]에 따라 증가 |
| 간격 [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]에 따라 감소 | 간격에 따라 감소 |
| 도함수(sin x)' = cos x | 미분 (cos x)' = - 죄 x |
함수가 짝수인지 아닌지를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각량의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것만으로도 충분합니다. 부호가 일치하면 함수는 짝수이고, 그렇지 않으면 홀수입니다.
라디안의 도입과 사인파 및 코사인파의 기본 속성 목록을 통해 다음 패턴을 제시할 수 있습니다.
공식이 맞는지 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 x = π/2의 경우 사인은 1이고 x = 0의 코사인은 1입니다. 확인은 표를 참조하거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 수행할 수 있습니다.
탄젠트소이드와 코탄젠트소이드의 특성
탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 사인 및 코사인 함수와 크게 다릅니다. tg와 ctg 값은 서로 상반됩니다.
- Y = 황갈색 x.
- 탄젠트는 x = π/2 + πk에서 y 값으로 향하는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
- 접선의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Tg (- x) = - tg x, 즉 함수는 홀수입니다.
- Tg x = 0, x = πk인 경우.
- 기능이 증가하고 있습니다.
- Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ의 경우 Tg x 〈 0(— π/2 + πk, πk).
- 미분(tg x)' = 1/cos 2 x.
아래 텍스트에서 코탄젠토이드의 그래픽 이미지를 고려하십시오.
코탄젠토이드의 주요 특성:
- Y = 유아용 침대 x.
- 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠토이드에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
- 코탄젠토이드는 x = πk에서 y 값을 얻으려는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
- 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Ctg (- x) = - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk인 경우.
- 기능이 감소하고 있습니다.
- Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ(π/2 + πk, πk)의 경우 Ctg x 〈 0.
- 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 x 정확함
기사에서 우리는 그것이 어떻게 생겼는지 완전히 이해할 것입니다 삼각법 값, 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표. 0,30,45,60,90,...,360도 각도에서 삼각함수의 기본 의미를 생각해 봅시다. 삼각 함수의 값을 계산할 때 이러한 테이블을 사용하는 방법을 살펴보겠습니다.
먼저 살펴 보겠습니다. 코사인, 사인, 탄젠트, 코탄젠트 표 0, 30, 45, 60, 90,...도의 각도에서. 이러한 양의 정의를 통해 0도와 90도 각도의 함수 값을 결정할 수 있습니다.
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, 00의 코탄젠트는 정의되지 않습니다.
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0의 탄젠트는 불확실합니다.
각도가 30도에서 90도 사이인 직각 삼각형을 취하는 경우. 우리는 다음을 얻습니다:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
얻은 모든 값을 형식으로 표현해 보겠습니다. 삼각법 테이블:
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 표!
축소 공식을 사용하면 테이블이 증가하여 최대 360도 각도에 대한 값이 추가됩니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
또한 주기성의 특성에 따라 각도를 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z(여기서 z는 정수)로 바꾸면 테이블이 늘어날 수 있습니다. 이 표에서는 단일 원의 점에 해당하는 모든 각도의 값을 계산할 수 있습니다.
솔루션에서 테이블을 사용하는 방법을 살펴보겠습니다.
모든 것이 매우 간단합니다. 우리에게 필요한 값은 필요한 셀의 교차점에 있기 때문입니다. 예를 들어 60도 각도의 cos를 취하면 표에서 다음과 같습니다.
삼각 함수의 주요 값에 대한 최종 표에서도 동일한 방식으로 진행됩니다. 하지만 이 표에서는 1020도 각도에서 탄젠트가 얼마나 되는지 알 수 있습니다. = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2을 확인해 보겠습니다. 표를 이용하여 찾아보자.
브라디스 테이블. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 경우.
Bradis 테이블은 코사인 및 사인 테이블, 탄젠트 및 코탄젠트 테이블로 구성된 여러 부분으로 나누어져 있으며 이는 두 부분(최대 90도 각도의 tg 및 작은 각도의 ctg)으로 나뉩니다.
사인과 코사인
00에서 시작하여 760으로 끝나는 각도 tg, 140에서 시작하여 900으로 끝나는 각도 ctg.
최대 900까지의 tg 및 작은 각도의 ctg.
문제 해결에 Bradis 테이블을 사용하는 방법을 알아 보겠습니다.
지정 sin(왼쪽 가장자리 열의 지정) 42분(지정은 맨 윗줄에 있음)을 찾아보겠습니다. 교차점을 통해 지정을 찾습니다. 즉 = 0.3040입니다.
분 값은 6분 간격으로 표시되며, 필요한 값이 정확히 이 간격 내에 속하는 경우 어떻게 해야 합니까? 44분을 투자했는데 표에는 42개밖에 없습니다. 42개를 기본으로 하고 오른쪽의 추가 열을 사용하여 두 번째 수정안을 취하고 0.3040 + 0.0006을 더하면 0.3046이 됩니다.
sin 47분을 기준으로 48분을 기준으로 1개의 수정을 뺍니다. 즉, 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
cos를 계산할 때 sin과 유사하게 작동하지만 표의 맨 아래 행만 기초로 사용합니다. 예를 들어 cos 20 0 = 0.9397
90°까지의 tg 각도 값과 작은 각도의 cot 값은 정확하며 수정 사항이 없습니다. 예를 들어 tg 78 0 37min = 4.967을 구합니다. 
그리고 ctg 20 0 13min = 25.83 
자, 우리는 기본적인 삼각함수 표를 살펴보았습니다. 이 정보가 귀하에게 매우 유용했기를 바랍니다. 테이블에 대해 궁금한 점이 있으시면 댓글로 적어주세요!
참고: 벽범퍼는 벽을 보호하기 위한 범퍼보드입니다. 프레임 없는 벽 범퍼 링크(http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)를 따라가서 자세한 내용을 알아보세요.
기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제논(Zeno of Elea)은 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데, 그 중 가장 유명한 것은 “아킬레스와 거북이” 아포리아입니다. 소리는 다음과 같습니다.아킬레스가 거북이보다 10배 더 빨리 달리고 거북이보다 1000보 뒤쳐져 있다고 가정해 보겠습니다. 아킬레스건이 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 아킬레스가 100보를 달리면 거북이는 10보를 더 기어가는 식입니다. 이 과정은 무한히 계속될 것이고, 아킬레스는 결코 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.
이 추론은 이후 모든 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 힐베르트... 그들은 모두 어떤 방식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서" ... 토론은 오늘날까지 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통 의견에 도달하지 못했습니다 ... 문제 연구에 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적, 철학적 접근 방식이 포함되었습니다. ; 그 중 어느 것도 문제에 대해 일반적으로 받아들여지는 해결책이 되지 못했습니다..."[위키피디아, '제노의 아포리아'. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만, 그 속임수가 무엇인지는 누구도 이해하지 못한다.
수학적 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 양에서 로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이러한 전환은 영구적인 전환 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 사용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 우리는 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성으로 인해 상호 가치에 일정한 시간 단위를 적용합니다. 물리적인 관점에서 볼 때 이것은 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간 완전히 멈출 때까지 시간이 느려지는 것처럼 보입니다. 시간이 멈춘다면 아킬레스는 더 이상 거북이를 앞지르지 못합니다.
일반적인 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달린다. 그의 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 경로보다 10배 더 짧습니다. 따라서 이를 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10분의 1로 줄어듭니다. 이런 상황에 '무한대' 개념을 적용하면 '아킬레스는 무한히 빠르게 거북이를 따라잡을 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 역수 단위로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어에서는 다음과 같습니다.
아킬레스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 1000보를 더 달리고 거북이는 100보를 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적인 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것이 문제의 완전한 해결책은 아닙니다. 빛의 속도의 저항 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 여전히 이 문제를 연구하고, 다시 생각하고, 해결해야 합니다. 그리고 그 해는 무한히 큰 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 이야기합니다.
날아가는 화살은 매 순간 정지해 있고 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있기 때문에 움직이지 않습니다.
이 아포리아에서는 논리적 역설이 매우 간단하게 극복됩니다. 날아가는 화살이 매 순간 공간의 다른 지점에 정지해 있다는 사실, 즉 실제로 운동이라는 점을 명확히 하는 것만으로도 충분합니다. 여기서 또 다른 점에 주목해야 합니다. 도로 위의 자동차 사진 한 장만으로는 자동차의 움직임 사실이나 자동차까지의 거리를 판단하는 것이 불가능합니다. 자동차가 움직이는지 확인하려면 서로 다른 시점에서 같은 지점에서 촬영한 두 장의 사진이 필요하지만 두 장의 사진 사이의 거리를 확인할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 한 시점에 공간의 서로 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그 사진에서는 이동 사실을 확인할 수 없습니다. 물론 계산을 위해 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다. ). 제가 특별히 주목하고 싶은 점은 시간의 두 지점과 공간의 두 지점은 서로 다른 연구 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 된다는 점입니다.
2018년 7월 4일 수요일
집합과 다중 집합의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 어디 보자.
보시다시피 "한 세트에 두 개의 동일한 요소가 있을 수 없습니다." 그러나 한 세트에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중 집합"이라고 합니다. 이성적인 존재들은 이런 터무니없는 논리를 결코 이해하지 못할 것이다. 완전히'라는 단어부터 지능이 없는 말하는 앵무새와 훈련된 원숭이의 수준이다. 수학자들은 평범한 훈련자처럼 행동하며 그들의 터무니없는 생각을 우리에게 설교합니다.
옛날 옛적에 다리를 건설한 기술자들이 다리를 테스트하는 동안 다리 아래에서 보트를 타고 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 엔지니어는 자신이 만든 잔해 속에서 죽었습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어는 다른 다리를 건설했습니다.
수학자들이 "나 집에 있어요"라는 문구 뒤에 숨어 있거나 오히려 "수학은 추상 개념을 연구합니다"라는 문구 뒤에 숨어 있더라도 현실과 뗄래야 뗄 수 없게 연결하는 하나의 탯줄이 있습니다. 이 탯줄은 돈이다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보겠습니다.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 계산대에 앉아 급여를 지급하고 있습니다. 그래서 한 수학자가 돈을 찾아 우리에게 왔습니다. 우리는 그에게 전체 금액을 세어 테이블 위에 여러 더미로 쌓아 놓고 같은 액면가의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 청구서를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소가 있는 집합과 동일하지 않다는 것을 증명한 경우에만 나머지 지폐를 받게 될 것이라고 수학자에게 설명하겠습니다. 이것이 재미가 시작되는 곳입니다.
우선, “이것은 다른 사람에게는 적용될 수 있지만 나에게는 적용될 수 없습니다!”라는 대리인의 논리가 작동할 것입니다. 그러면 그들은 같은 액면가의 지폐라도 지폐 번호가 다르기 때문에 동일한 요소로 간주될 수 없다는 사실을 우리에게 확신시키기 시작할 것입니다. 좋아요, 급여를 동전으로 계산해 봅시다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자들은 물리학을 미친 듯이 기억하기 시작할 것입니다. 동전마다 먼지의 양이 다르며, 원자의 결정 구조와 배열은 동전마다 고유합니다.
이제 가장 흥미로운 질문이 생겼습니다. 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 선은 어디에 있습니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 과학은 여기에 거짓말에 가깝지도 않습니다.
이봐. 동일한 경기장 면적을 가진 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 영역은 동일합니다. 이는 다중 집합이 있음을 의미합니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 알 수 있습니다. 보시다시피, 동일한 요소 집합은 집합이자 다중 집합입니다. 어느 것이 맞나요? 그리고 여기서 수학자이자 샤먼인 샤프리스트는 소매에서 나팔 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 관해 우리에게 말하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다고 우리에게 확신시켜 줄 것입니다.
현대 무당이 집합 이론을 어떻게 작동하고 그것을 현실과 연결하는지 이해하려면 한 가지 질문에 대답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다릅니까? "하나의 전체가 아닌 것으로 생각할 수 있다", "하나의 전체로 생각할 수 없는 것" 없이 보여드리겠습니다.
2018년 3월 18일 일요일
숫자의 합은 탬버린을 들고 무당이 추는 춤인데, 이는 수학과는 아무 상관이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 합을 찾아 사용하는 방법을 배웠습니다. 하지만 그렇기 때문에 그들은 무당이고 후손에게 기술과 지혜를 가르치는 것입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 사라질 것입니다.
증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 자릿수 합계" 페이지를 찾아보세요. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 숫자의 합을 구하는 데 사용할 수 있는 공식이 없습니다. 결국 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어에서 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합을 찾으세요." 수학자들은 이 문제를 풀 수 없지만 무당들은 쉽게 풀 수 있습니다.
주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을 어떻게 하는지 알아봅시다. 그러면 숫자 12345가 있다고 가정하겠습니다. 이 숫자의 자릿수 합계를 찾으려면 어떻게 해야 합니까? 모든 단계를 순서대로 고려해 봅시다.
1. 종이에 숫자를 적습니다. 우리는 무엇을 했나요? 숫자를 그래픽 숫자 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
2. 결과 사진 하나를 개별 숫자가 포함된 여러 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 기호를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 추가합니다. 이제 이것은 수학입니다.
12345의 숫자의 합은 15이다. 수학자들이 이용하는 무당이 가르치는 '재단과 재봉 강좌'이다. 그러나 그것이 전부는 아닙니다.
수학적 관점에서 볼 때 어떤 숫자 체계로 숫자를 쓰는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 숫자의 합이 달라집니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 아래 첨자로 표시됩니다. 큰 숫자 12345를 사용하면 내 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려해 보겠습니다. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수, 16진수 체계로 적어 보겠습니다. 우리는 현미경으로 모든 단계를 살펴보지는 않을 것입니다; 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.
보시다시피, 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수 합계가 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 직사각형의 면적을 미터와 센티미터 단위로 결정하면 완전히 다른 결과를 얻을 수 있는 것과 같습니다.
0은 모든 숫자 체계에서 동일하게 보이며 숫자의 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 수학에서 숫자가 아닌 것은 어떻게 지정됩니까? 뭐, 수학자에게는 숫자 외에는 아무것도 존재하지 않는 걸까요? 나는 이것을 무당들에게는 허용할 수 있지만 과학자들에게는 허용하지 않습니다. 현실은 숫자에만 국한되지 않습니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 양의 다른 측정 단위를 사용한 동일한 조치가 비교 후 다른 결과로 이어진다면 이는 수학과 관련이 없습니다.
진짜 수학이란 무엇인가? 이는 수학 연산의 결과가 숫자의 크기, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.
오! 여기 여자 화장실 아닌가요?
- 젊은 여성! 이것은 천국으로 올라가는 동안 영혼의 비애애적인 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 상단에 후광이 있고 위쪽에 화살표가 있습니다. 또 무슨 화장실이요?
암컷... 위쪽의 후광과 아래쪽 화살표는 수컷입니다.
이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈 앞에 번쩍인다면,
그렇다면 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 저는 똥 싸는 사람의 마이너스 4도(사진 1장)(여러 장의 사진 구성: 마이너스 기호, 숫자 4, 각도 지정)를 보려고 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀가 물리학을 모르는 바보라고 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지를 인식하는 것에 대한 강한 고정관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 항상 우리에게 이것을 가르칩니다. 여기에 예가 있습니다.
1A는 "마이너스 4도"나 "1 a"가 아닙니다. 이것은 "똥내는 남자" 또는 16진수 표기법으로 "26"이라는 숫자입니다. 이 숫자 체계에서 지속적으로 작업하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
사인(), 코사인(), 탄젠트(), 코탄젠트()의 개념은 각도의 개념과 불가분의 관계가 있습니다. 언뜻보기에 이러한 복잡한 개념 (많은 학생들에게 공포 상태를 유발하는)을 잘 이해하고 "악마가 그려진 것만 큼 끔찍하지 않음"을 확인하기 위해 다음부터 시작하겠습니다. 각도의 개념을 이해하고 시작해보세요.
각도 개념: 라디안, 도
사진을 보자. 벡터는 점을 기준으로 일정량만큼 "회전"했습니다. 따라서 초기 위치에 대한 회전의 측정값은 다음과 같습니다. 모서리.
각도의 개념에 대해 또 무엇을 알아야 합니까? 물론, 각도 단위입니다!
기하학과 삼각법 모두에서 각도는 도와 라디안으로 측정할 수 있습니다.
각도(1도)는 원의 일부와 동일한 원호에 해당하는 원의 중심 각도입니다. 따라서 전체 원은 원호의 "조각"으로 구성됩니다. 즉 원이 나타내는 각도는 동일합니다.
즉, 위 그림은 다음과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 원주 크기의 원호에 있습니다.
라디안 단위의 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호에 대응되는 원의 중심각입니다. 글쎄, 알아냈어? 그렇지 않다면 그림에서 알아 봅시다.
따라서 그림은 라디안과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 길이가 원의 반경과 같은 원호에 있습니다 (길이는 길이와 같거나 반경은 호의 길이). 따라서 호 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.
라디안 단위의 중심각은 어디에 있습니까?
글쎄, 이것을 알면 원이 나타내는 각도에 몇 라디안이 포함되는지 답할 수 있습니까? 예, 이를 위해서는 원주 공식을 기억해야 합니다. 여기 그녀가 있습니다:
자, 이제 이 두 공식을 연관시키고 원이 나타내는 각도가 같다는 것을 알아봅시다. 즉, 도와 라디안 값을 연관시켜서 알 수 있습니다. 각각 . 보시다시피, "도"와 달리 "라디안"이라는 단어는 생략됩니다. 왜냐하면 일반적으로 측정 단위가 문맥에서 명확하기 때문입니다.
몇 라디안이 있나요? 좋아요!
알았어요? 그런 다음 계속해서 수정하세요.
어려움이 있나요? 그럼 봐 답변:
직각 삼각형: 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트
그래서 우리는 각도의 개념을 알아냈습니다. 그런데 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 무엇일까요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해서는 직각삼각형이 도움이 될 것입니다.
직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 이것이 변입니다). 다리는 나머지 두 변(직각에 인접한 것)이며, 각도를 기준으로 다리를 고려하면 다리는 인접한 다리이고 다리는 반대쪽입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.
각도의 사인- 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 코사인- 빗변에 대한 인접한 (닫힌) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 탄젠트- 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 코탄젠트- 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
코사인→터치→터치→인접;
코탄젠트→터치→터치→인접.
우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.
예를 들어 각도의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형에서: 이지만 삼각형에서 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다: . 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.
정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!
아래 그림에 표시된 삼각형에 대해 우리는 찾습니다.
글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도에 대해서도 동일하게 계산하십시오.
단위(삼각) 원
각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 다음과 같은 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.
보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원의 반경은 1과 같고 원의 중심은 좌표의 원점에 있고 반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반경입니다).
원의 각 점은 축 좌표와 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형을 생각해 보세요. 축에 수직이므로 직사각형입니다.
삼각형은 무엇과 같습니까? 좋아요. 또한, 우리는 이것이 단위원의 반지름이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.
삼각형은 무엇과 같습니까? 물론이죠! 이 공식에 반경 값을 대입하면 다음을 얻습니다.
그러면 원에 속한 점이 어떤 좌표를 가지고 있는지 알 수 있나요? 글쎄요? 그것을 깨닫고 단지 숫자일 뿐이라면 어떨까요? 어느 좌표에 해당합니까? 물론 좌표도요! 그리고 그것은 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표! 따라서 기간.
그렇다면 과 는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.
각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:
이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각 삼각형을 생각해 보세요: 각도(각에 인접한 각도). 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 무엇입니까? 그렇습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 준수합니다.
보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표와 일치합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.
반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 - 부정적인.
따라서 우리는 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전이 or라는 것을 알고 있습니다. 반경 벡터를 회전할 수 있나요? 물론 가능합니다! 따라서 첫 번째 경우에는 반경 벡터가 완전히 한 바퀴 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.
두 번째 경우, 즉 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.
따라서 위의 예에서 우리는 또는 (여기서 정수는 어디입니까)만큼 다른 각도가 반경 벡터의 동일한 위치에 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
아래 그림은 각도를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리 등에 해당합니다. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식 또는 (정수는 어디에 있습니까)로 쓸 수 있습니다
이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.
여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:
어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.
여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 음, 순서대로 시작하겠습니다. 각도는 좌표가 있는 점에 해당하므로 다음과 같습니다.
존재하지 않는다;
또한 동일한 논리를 사용하여 모서리가 각각 좌표가 있는 점에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.
답변:
따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.
이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.
그러나 아래 표에 주어진 각도의 삼각 함수 값은, 기억해야 한다:
겁내지 마세요. 이제 한 가지 예를 보여드리겠습니다. 해당 값을 기억하는 것은 매우 간단합니다.:
이 방법을 사용하려면 각도()의 세 가지 측정값 모두에 대한 사인 값과 각도의 탄젠트 값을 기억하는 것이 중요합니다. 이 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,
이를 알면 값을 복원할 수 있습니다. 분자 " "가 일치하고 분모 " "가 일치합니다. 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표의 모든 값을 기억하는 것으로 충분할 것입니다.
원 위의 한 점의 좌표
원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 원의 중심 좌표, 반경 및 회전 각도를 아는 것?
물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 점의 좌표를 찾는 일반 공식.
예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.
점이 원의 중심이라는 것을 알 수 있습니다. 원의 반지름은 같습니다. 점을 각도만큼 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
그림에서 볼 수 있듯이 점의 좌표는 세그먼트의 길이에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표에 해당합니다. 즉, 동일합니다. 세그먼트의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.
그런 다음 점 좌표에 대한 정보를 얻습니다.
동일한 논리를 사용하여 점의 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,
따라서 일반적으로 점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
원의 중심 좌표,
원 반경,
벡터 반경의 회전 각도입니다.
보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.
자, 원에서 점 찾기를 연습하면서 이 공식들을 시험해 볼까요?
1. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
2. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
3. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
4. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
5. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
원 위의 한 점의 좌표를 찾는 데 문제가 있습니까?
다음 다섯 가지 예를 풀면(또는 잘 풀 수 있게 되면) 그 예를 찾는 방법을 배우게 될 것입니다!
요약 및 기본 공식
각도의 사인은 반대쪽(먼 쪽) 다리와 빗변의 비율입니다.
각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.
각도의 탄젠트는 반대쪽(먼 쪽)과 인접한(가까운) 쪽의 비율입니다.
각도의 코탄젠트는 인접한(가까운) 변과 반대(먼) 변의 비율입니다.
자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.
왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!
이제 가장 중요한 것입니다.
당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 더 뛰어납니다.
문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.
무엇을 위해?
통합 주 시험에 성공적으로 합격하고, 예산에 맞춰 대학에 입학하고, 가장 중요한 것은 평생 동안입니다.
아무것도 설득하지 않고 딱 하나만 말씀드리겠습니다...
좋은 교육을 받은 사람은 그렇지 않은 사람보다 훨씬 더 많은 돈을 번다. 이것은 통계입니다.
그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.
가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 그들 앞에 더 많은 기회가 열리고 삶이 더 밝아지기 때문일까요? 모른다...
하지만 스스로 생각해 보세요...
통합 상태 시험에서 다른 사람보다 더 뛰어나고 궁극적으로 더 행복해지려면 무엇이 필요합니까?
이 주제에 대한 문제를 해결하여 손을 잡으십시오.
시험 중에는 이론을 요구하지 않습니다.
필요할 것이예요 시간에 맞춰 문제를 해결하다.
그리고 문제를 많이 해결하지 못했다면(많이!) 어딘가에서 어리석은 실수를 저지르거나 시간이 없을 것입니다.
그것은 스포츠와 같습니다. 확실히 승리하려면 여러 번 반복해야 합니다.
원하는 곳 어디에서나 컬렉션을 찾아보세요. 반드시 솔루션, 상세한 분석으로결정하고 결정하고 결정하세요!
우리의 작업(선택 사항)을 사용할 수 있으며 물론 권장됩니다.
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결론적으로...
우리 작업이 마음에 들지 않으면 다른 작업을 찾으십시오. 이론에만 머물지 마세요.
'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.
문제를 찾아 해결해보세요!
