탄젠트, 코탄젠트

쌍곡선 함수의 정의, 정의 및 값의 영역

쉬 엑스- 쌍곡선 사인
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
채널 x- 쌍곡선 코사인
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
고마워- 쌍곡선 탄젠트
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- 쌍곡선 코탄젠트
, x ≠ 0; 와이< -1 или y > +1 .

쌍곡선 함수의 그래프

쌍곡선 사인 플롯 y = 쉬 엑스

쌍곡선 코사인 플롯 y = 채널 x

쌍곡선 탄젠트의 플롯 y= 고마워

쌍곡선 코탄젠트 y=의 플롯 cth x

쌍곡선 함수가 있는 공식

삼각함수와의 관계

죄 iz = 나는 sh z ; cos iz = ch z
sh iz = 나는 sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i 번째 z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
여기서 i는 허수 단위입니다. i 2 = - 1 .

이 공식을 삼각 함수에 적용하여 쌍곡선 함수와 관련된 공식을 얻습니다.

동등

쉬(-x) = - 쉬 x; 채널(-x) = 채널 x.
일(-x) = -일 x; cth(-x) = - cth x.

기능 채널(x)- 조차. 기능 쉬(x), 고마워), cth(x)- 이상한.

제곱의 차이

채널 2 x - sh 2 x = 1.

인수의 합과 차에 대한 공식

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

쉬 2 x = 2 쉬 x 채널 x,
채널 2 x = 채널 2 x + 쉬 2 x = 2 채널 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

쌍곡선 사인 및 코사인 곱에 대한 공식

,
,
,

,
,
.

쌍곡선 함수의 합과 차에 대한 공식

,
,
,
,
.

쌍곡선 사인 및 코사인과 탄젠트 및 코탄젠트의 관계

, ,
, .

파생상품

,

sh x, ch x, th x, cth x의 적분

,
,
.

시리즈로 확장

역함수

에어리어신

- ∞에서< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

에어리어코사인

~에 1 ≤ x< ∞ 그리고 0 ≤ y< ∞ 공식이 있습니다:
,
.

areacosine의 두 번째 분기는 다음 위치에 있습니다. 1 ≤ x< ∞ 그리고 - ∞< y ≤ 0 :
.

면적 접선

에 - 1 < x < 1 그리고 - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

소개

수학 및 자연 과학 및 기술에 대한 응용 분야에서 지수 함수가 널리 사용됩니다. 이것은 특히 자연과학에서 연구되는 많은 현상이 소위 유기적 성장 과정에 속하며, 그 과정에서 참여하는 기능의 변화율이 기능의 값에 비례한다는 사실로 설명됩니다. 그들 자신.

함수와 인수로 표시되는 경우 유기적 성장 과정의 미분 법칙은 일정한 비례 계수인 형태로 작성될 수 있습니다.

이 방정식의 적분은 지수 함수 형태의 일반 솔루션으로 이어집니다.

초기 조건을 로 설정하면 임의의 상수를 결정할 수 있으므로 고려 중인 프로세스의 적분 법칙인 특정 솔루션을 찾을 수 있습니다.

유기적 성장의 과정에는 예를 들어 지표 위 높이에 따른 대기압의 변화, 방사성 붕괴, 일정한 온도의 환경에서 신체의 냉각 또는 가열과 같은 현상과 같은 몇 가지 단순화된 가정 하에 포함됩니다. 질량 작용 법칙(반응 속도는 존재하는 반응물의 양에 비례)이 발생하는 단분자 화학 반응(예: 물에 있는 물질의 용해), 미생물의 번식 및 기타 여러 가지가 있습니다.

복리(이자에 대한 이자)의 발생으로 인한 금액의 증가도 유기적 성장의 과정이다.

이러한 예는 계속될 수 있습니다.

수학 및 그 응용 분야의 개별 지수 함수와 함께 지수 함수의 다양한 조합이 사용되며, 그 중 함수의 특정 선형 및 선형 분수 조합과 소위 쌍곡선 함수가 특히 중요합니다. 이러한 기능에는 6가지가 있으며 다음과 같은 특수 이름과 명칭이 도입되었습니다.

(쌍곡선 사인),

(쌍곡선 코사인),

(쌍곡선 탄젠트),

(쌍곡선 코탄젠트),

(쌍곡선 시컨트),

(쌍곡선 시컨트).

정확히 그러한 이름이 부여된 이유에 대한 질문이 발생합니다. 여기에 쌍곡선과 삼각법에서 알려진 함수 이름(사인, 코사인 등)이 있습니다. 삼각함수를 단위반경 원의 점 좌표와 연결하는 관계는 쌍곡선 함수를 단위 반축이 있는 등변 쌍곡선의 점 좌표와 연결하는 관계와 유사하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 쌍곡선 함수의 이름을 정당화합니다.

쌍곡선 함수

공식에 의해 주어진 함수는 각각 쌍곡선 코사인 및 쌍곡선 사인이라고 합니다.

이러한 함수는 정의되고 계속 켜져 있으며 짝수 함수이고 홀수 함수입니다.

그림 1.1 - 함수 그래프

쌍곡선 함수의 정의에서 다음을 따릅니다.

삼각 함수와 유추하여 쌍곡선 탄젠트와 코탄젠트는 각각 다음 공식으로 정의됩니다.

함수는 정의되고 연속적이며, 함수는 구멍이 뚫린 점이 있는 집합에 대해 정의되고 연속적입니다. 두 기능 모두 홀수이며, 해당 그래프는 아래 그림에 나와 있습니다.

그림 1.2 - 함수 그래프

그림 1.3 - 함수 그래프

함수 및 함수는 엄격하게 증가하는 반면 함수는 엄격하게 감소하는 것으로 표시될 수 있습니다. 따라서 이러한 기능은 되돌릴 수 있습니다. 에 의해 각각 역함수를 나타냅니다.

함수에 반대되는 함수를 고려하십시오. 기능. 우리는 그것을 기초적인 것들로 표현합니다. 에 대해 방정식을 풀면

로 및 로 대체하여 쌍곡선 사인에 대한 역함수 공식을 찾습니다.

복잡한 영역에서 발견한 삼각함수와 지수함수의 연결(오일러 공식)과 함께

복잡한 영역에서 삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에는 매우 간단한 연결이 있습니다.

정의에 따라 다음을 기억하십시오.

항등식 (3)에서 우변을 then으로 바꾸면 항등식의 우변에 있는 것과 동일한 표현식을 얻게 되며, 이로부터 좌변의 평등이 뒤따릅니다. ID (4) 및 (2)에 대해서도 마찬가지입니다.

동일성(6)의 두 부분을 동일성(5)의 해당 부분으로 나누고 그 반대로 (5)를 (6)으로 나누면 다음을 얻습니다.

동일성 (1) 및 (2)의 유사한 대체 및 동일성 (3) 및 (4)와의 비교는 다음을 제공합니다.

마지막으로 식 (9)와 (10)에서 우리는 다음을 찾습니다.

x가 실수인 식 (5) - (12)를 입력하면, 즉 인수를 순수하게 허수로 간주하면 순수 허수 인수의 삼각 함수와 실수 인수의 해당 쌍곡선 함수 사이에 8개의 더 많은 항등식을 얻게 됩니다. 인수, 그리고 순전히 허수인 가상 인수의 쌍곡선 함수와 실제 인수의 해당 삼각 함수 사이:

얻은 관계를 통해 삼각 함수에서 쌍곡선 함수로 전달할 수 있습니다.

가상 인수를 실제 인수로 대체하여 쌍곡선 함수를 삼각 함수로 변환합니다. 다음 규칙으로 공식화할 수 있습니다.

허수 인수의 삼각 함수에서 쌍곡선 함수로 또는 반대로 허수 인수의 쌍곡선 함수에서 삼각 함수로 이동하려면 사인 및 접선에 대한 함수의 부호에서 허수 단위를 빼서 모두 버려야 합니다. 코사인을 위해.

확립된 연결은 특히 삼각 함수 사이의 알려진 관계에서 쌍곡 함수를 쌍곡 함수로 대체하여 쌍곡 함수 사이의 모든 관계를 얻을 수 있다는 점에서 주목할 만합니다.

어떤지 보여드리겠습니다. 이루어지고 있습니다.

기본 삼각법을 예로 들어 보겠습니다.

x가 실수인 곳에 넣으십시오. 우리는 얻는다:

이 항등식에서 사인과 코사인을 공식에 ​​따라 쌍곡선 사인과 코사인으로 바꾸면 또는 이것은 이전에 다른 방식으로 파생된 것 사이의 기본 동일성입니다.

마찬가지로 인수의 합과 차, 이중 및 반 인수 등의 쌍곡선 함수에 대한 공식을 비롯한 다른 모든 공식을 파생할 수 있으므로 일반 삼각법에서 "쌍곡선 삼각법"을 얻습니다.