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의료 및 생물학 물리학

강의 №1.

파생 및 차동 기능.

개인 파생 상품.

1. 파생상의 개념, 기계 및 기하학적 의미.

그러나 ) 인수와 기능의 증가.

함수 y \u003d f (x)가 주어지면, 여기서 함수를 결정하는 함수의 인수 값이있는 곳. 인수 x o 및 x의 두 값을 함수 정의 영역의 일정 간격으로 선택하면 인수의 두 값의 차이가 인수의 증가 (x-x o \u003d ΔH)라고합니다.

X 인수의 값은 x 0과 그 증분을 결정할 수 있습니다. x \u003d x + ΔH.

함수의 두 값 사이의 차이는 기능의 증분이라고합니다. ΔY \u003d ΔF \u003d F (XO + ΔH) - F (XO).

함수의 인수의 증가는 그래픽으로 표현 될 수 있습니다 (그림 1). 인수의 증가와 함수의 증분은 양성 및 음수 일 수 있습니다. 다음과 같이,도 1에서, 인수 Δх의 기하학적 증가는 횡축의 증가에 의해 도시되고, ΔU 함수의 증가는 종축의 증가이다. 증분 기능의 계산은 다음 순서로 수행되어야합니다.

우리는 인수를 증가 Δх에주고 값을 얻습니다 - x + Δx;

2) 인수 (x + ΔH) - F (x + ΔH)의 값에 대한 기능 값을 찾습니다.

3) 우리는 기능 ΔF \u003d F (x + ΔH) - F (x) 함수의 증가를 발견합니다.

예:인수가 X o \u003d 1에서 x \u003d 3에서 변경된 경우 y \u003d x 2 함수의 증가를 결정합니다. F (x o) \u003d x²의 값을 여는 점 x; 점 (x o + ΔH)의 경우, 기능 F (x + ΔH) \u003d (XO + ΔH) 2 \u003d x² 약 + 2x O ΔH + ΔH2, 여기서 ΔF \u003d F (x o + Δz) -F (xo) \u003d (xo + ΔH) 2 -х² o \u003d x² 약 + 2x ΔH + ΔH2-x² \u003d 2x ® Δх + Δх 2; ΔF \u003d 2X O ΔH + ΔH2; ΔH \u003d 3-1 \u003d 2; ΔF \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.

비)파생 상품의 개념으로 이어지는 작업. 파생물을 결정하는 것, 물리적 의미.

논증 증가의 개념은 파생상의 개념을 도입하는 데 필요합니다. 이는 역사적으로 특정 프로세스의 속도를 결정할 필요가 있습니다.

직선 움직임 속도를 결정할 수있는 방법을 고려하십시오. 시체가 법에 따라 즉시 움직 이도록하십시오 : Δѕ \u003d ¬ · Δt. 평가자 이동을 위해 :  \u003d Δѕ / Δt.

가변 동작의 경우 CP의 값 Δѕ / Δtodetes 값입니다. , 즉, CF. \u003d Δѕ / Δt.하지만 평균 속도 그것은 신체 운동의 특징을 반영하고 시간 t에서 진정한 속도에 대한 아이디어를 제공 할 수 없습니다. 시간 기간의 감소로, 즉. Δt → 0 일 때, 평균 속도는 즉각적인 속도로 평가됩니다.

mgn. \u003d.
수요일 수요일 \u003d.
Δѕ / Δt.

같은 방식으로 순간 화학 반응 속도가 결정됩니다.

mgn. \u003d.
수요일 수요일 \u003d.
Δх / Δt,

여기서 x는 T 동안 화학 반응 동안 형성된 물질의 양이다. 다양한 프로세스의 속도를 결정하는 그러한 문제점은 수학의 도입으로 인해 파생 기능의 개념이 발생했습니다.

간격 (Δf \u003d f (x + ΔH) -F (x)의 증가 (x)를 간격으로 결정한 연속 함수 f (x)를합시다.
함수 Δх이며 기능의 평균 변화 속도를 표현합니다.

관계의 한계 이 한계가 존재하는 경우 Δх → 0을 제공하면 파생 기능이라고합니다. :

y "x \u003d.

.

파생물이 표시됩니다.
- (x의 바코드의 묘화); f " (x) - (ef의 바코드) ; y "- (상어 바코드); DY / DX – (dex의 deamea); - (포인트로 재생).

파생상의 정의에 따라, 직선 운동의 순간 속도는 시간의 시간으로부터 유도된다고 말할 수있다.

mgn. \u003d s "t \u003d f. " (티).

따라서, 인수 x의 파생물은 함수 f (x)의 순간적 변화율 인 것으로 결론 지어 질 수있다 :

u "x \u003d F. " (x) \u003d mgn.

이것은 파생물의 물리적 의미입니다. 파생 상품을 찾는 과정을 분화라고하므로 "유도 기능"표현은 "파생 기능 찾기"표현식과 동일합니다.

에)기하학적 의미 파생물.

피
작동 함수 Y \u003d F (x)는 어느 시점에서 라인 곡선의 개념과 관련된 간단한 기하학적 의미가 있습니다. 동시에, 인턴, 즉. 다이렉트 라인은 Y \u003d KH \u003d TG · X의 형태로 분석적으로 표현됩니다. – x 축에 접선 곡선 (직선)의 경사각은 y \u003d f (x) 함수로서 연속 곡선을 나타내고, 곡선에서 m1의 점을 닫아서 고정점을 부여합니다. 그 각도 계수는 sec \u003d tg β \u003d. . 포인트 m 1에서 m을 가져 오는 경우, 인수 Δх의 증가 그것은 0으로 노력하고 β \u003d α의 SERSER은 접선의 위치를 \u200b\u200b취할 것입니다. 그림 2는 다음과 같습니다. tgα \u003d
tgβ \u003d.
\u003d y "x. 그러나 tgαins 함수 그래프에 대한 각도 계수 접선 :

k \u003d tgα \u003d
\u003d Y "x \u003d F. " (엑스). 따라서이 시점에서 기능의 그래프에 대한 접선의 각도 계수는 터치 시점에서 파생물과 같습니다. 이것은 파생물의 기하학적 의미입니다.

디)파생 상품을 찾는 일반적인 규칙.

파생 판정을 기반으로 함수의 분화 과정은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다.

f (x + ΔH) \u003d F (x) + ΔF;

함수의 증가를 찾으십시오 : ΔF \u003d F (x + ΔH) - F (x);

인수의 증가에 대한 기능 증분 비율은 다음과 같습니다.

;

예:f (x) \u003d x 2; 에프. " (x) \u003d?

그러나이 간단한 예에서도 볼 수있는 바와 같이 파생 상품을 복용 할 때 지정된 시퀀스의 사용은 시간이 오래 걸리고 복합체입니다. 따라서 다양한 기능에 대해 입력됩니다 일반 공식 분화, "기능의 기본 수식 분화"테이블의 형태로 표시됩니다.

항상 인생에서는 어떤 가치의 정확한 가치에 관심이 있습니다. 때로는이 값의 변화를 아는 것이 흥미 롭습니다 (예 : 버스의 평균 속도, 시간 간격으로 이동의 크기의 비율 등 다른 점에서 함수 값을 다른 점에서 동일한 함수의 값과 비교하려면 이러한 개념을 "함수의 증가"와 "인수 증가"로 사용하는 것이 편리합니다.

"함수의 증가"및 "인수의 증가"의 개념

X가 포인트 x0의 이웃에있는 임의의 지점이라고 가정합니다. Point x0의 인수의 증가는 차이 x-x0입니다. 증분 증분은 다음과 같습니다. Δх.

Δх \u003d x-x0.

때로는이 크기가 지점 x0에서 독립 변수의 증가라고도합니다. 공식에서 다음을 따릅니다. x \u003d x0 + ΔH. 이러한 경우, 독립적 인 변수 x0의 초기 값이 Δх로 증가 함을 나타냅니다.

인수를 변경하면 함수의 값도 변경됩니다.

f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + ΔH) - F (x0).

Point x0에서 함수 f의 증가, 해당 증분은 차이 F (x0 + ΔH) - F (x0)이라고 불리는 ΔH입니다. 함수의 증가는 다음과 같이 표시됩니다. 따라서 우리는 정의에 의해 얻어냅니다 :

Δf \u003d f (x0 + Δx) - F (x0).

때로는 ΔF가 종속 변수의 증분이라고도하며 함수가 y \u003d f (x)와 같이 지정하도록 ΔU를 사용합니다.

증분의 기하학적 의미

다음 그림을보십시오.

볼 수 있듯이 증분은 좌표의 변화와 지점의 횡좌표의 변화를 보여줍니다. 그리고 인수를 증분시키는 기능의 증분 증분의 비율은 포인트의 초기 위치 및 최종 위치를 통과하는 순차적 통과의 경사각을 결정합니다.

기능 및 주장의 증가의 예를 고려하십시오.

예제 1. 인수 ΔH의 증분 및 F (x) \u003d x 2, x0 \u003d 2 a) x \u003d 1.9 b) x \u003d 2.1 인 경우 ΔF 함수 ΔF의 증분을 찾습니다.

우리는 위에 표시된 수식을 사용합니다.

a) ΔH \u003d X-X0 \u003d 1.9 - 2 \u003d -0.1;

ΔF \u003d F (1.9) - F (2) \u003d 1.9 2 - 2 2 \u003d -0.39;

b) Δx \u003d x-x0 \u003d 2.1-2 \u003d 0.1;

ΔF \u003d F (2.1) - F (2) \u003d 2.1 2 - 2 2 \u003d 0.41.

예 2. 인수 증가가 Δx 인 경우, 인수 증가가 Δx 인 경우, 포인트 x0의 함수 f (x) \u003d 1 / x에 대한 증분 Δf를 계산합니다.

다시, 우리는 위에서 얻은 수식을 사용합니다.

ΔF \u003d F (x0 + Δx) - F (x0) \u003d 1 / (x0-Δx) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 - (x0 + Δx)) / (x0 * (x0 + Δx)) \u003d - Δx / ( (x0 * (x0 + Δx)).

x가 고정 점 X 0의 주변에서 파리를 파는 임의의 지점이되도록하자. 차이 x -x 0은 점 x 0에서 독립 변수 (또는 인수를 증가)로 증분을 호출하여 Δx를 나타냅니다. 이런 식으로,

Δx \u003d x -x 0,

그것이 어디에 있는지부터

기능 보호 -함수의 두 값의 차이점.

함수를 지정하게하십시오 습득 = f (x)인수 값과 동일한 것으로 정의됩니다 하류 0. 인수 증분 증분을 주자 하류, ᴛ. 인수 값의 가치를 고려하십시오 엑스. 0 + D. 하류...에 이 함수의 정의 영역 에도이 값이 또한 인수 값이 포함되어 있다고 가정합니다. 그런 다음 차이점 D. 와이. = f (X. 0 + D. 엑스) – f (x 0) 함수 증가라고하는 것은 관습적입니다. 보호 기능 에프.(엑스.) 시점에서 엑스. - 기능은 일반적으로 표시됩니다 X F. 새로운 변수 δ에서 엑스. ~로써 정의 된

Δ X F.(Δ 엑스.) = 에프.(엑스. + Δ 엑스.) − 에프.(엑스.).

인수의 증가와 포인트 x 0에서 함수의 증가를 찾습니다.

예제 2. x \u003d 1, ΔH \u003d 0.1 인 경우 F (x) \u003d x 2의 증가를 찾습니다.

해결책 : f (x) \u003d x 2, f (x + ΔH) \u003d (x + ΔH) 2

함수의 증가를 찾으십시오. Δf \u003d f (x + Δx) - f (x) \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2x * Δx + Δx 2 - x 2 \u003d 2x * Δx + Δx 2 /

우리는 x \u003d 1 및 ΔH \u003d 0.1 값을 대체하고, 우리는 ΔF \u003d 2 * 1 * 0.1 + (0,1) 2 \u003d 0.2 + 0.01 \u003d 0.21을 얻는다.

인수의 증가를 찾고 점 x 0에서 함수를 증가시킵니다.

2.F (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0.8

4. f (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

정의: 파생금 함수는 후자가 0이 길게하는 것으로 제공된 인수의 증가에 대한 함수의 증가에 대한 한계를 증가시키는 한계 (존재하고 유한 인 경우)의 비율을 호출하는 것이 일반적입니다.

다음과 같은 파생물의 지정은 가장 일반적입니다.

이런 식으로,

전화라고하는 파생물 찾기 분화 ...에 소개 차별화 된 기능의 정의: 일부 갭의 각 지점에서 파생물이있는 기능 F는 주어진 간격에서 차별화 될 수 있습니다.

일부 이웃의 뒤에서, 성능 함수의 함수는 주변 지역의 함수의 기능이라고 가정합니다. 유.(엑스. 0)대로 표현할 수 있습니다

에프.(엑스. 0 + 하류) = 에프.(엑스. 0) + 아. + 영형.(하류)

있을 경우.

시점에서 파생 기능의 정의.

그 기능을합시다 f (x) 간격에 정의되어 있습니다 (a; b)그리고 -이 틈의 포인트.

정의...에 파생 된 기능 f (x) 점에서 함수의 함수의 관계의 한계를 호출하여 인수를 in 인수를 증분시키는 것이 일반적입니다. 표현된다.

마지막 제한이 구체적인 최종 가치를 취하면 존재에 대해 이야기하고 있습니다. 지점에서 유한 파생 상품...에 한계가 무한대이면, 그들은 이 시점에서 파생 무한증...에 한계가 존재하지 않으면 이 시점에서 파생 기능이 존재하지 않습니다.

함수 f (x) 그것이 유한 파생 상품이 있으면 그 시점에서 차별화 할 수 있습니다.

기능의 경우 f (x) 일부 간격의 모든 지점에서 차별화 될 수 있습니다 (a; b)이 기능을이 간격으로 차별화 할 수 있습니다. τ ᴀᴋᴎᴍ, 어느 시점 엑스. 갭에서 (a; b) 이 시점에서 파생 기능의 값에 따라 할 수 있습니다. 즉, 파생 함수라는 새로운 기능을 결정할 수있는 기능이 있습니다. f (x) 간격에서 (a; b).

파생물을 찾는 작업은 차별화라고하는 관례입니다.

정의 1.

특정 영역에서 2 개의 독립 변수의 값 값의 $ (x, y) $의 각 쌍에 대해 $ z $의 특정 값에 따라 $ z $는 함수가됩니다. 2 개의 변수 $ (x, y) $. 지정 : $ z \u003d f (x, y) $.

함수와 관련하여 $ z \u003d f (x, y) $ 우리는 일반적인 (전체) 및 개인 단위의 개념을 고려합니다.

기능 $ z \u003d f (x, y) $ 2 개의 독립적 인 변수 $ (x, y) $를합시다.

주 1.

변수 $ (x, y) $는 독립적이기 때문에 그 중 하나가 변경 될 수 있으며 다른 하나는 일정한 값을 유지 관리 할 수 \u200b\u200b있습니다.

변수 $ y $ y $ valsegeded의 값을 저장하면서 변수 $ x $ 증가 $ \\ delta x $를 제공하십시오.

그런 다음 $ z \u003d f (x, y) $ 함수는 $ x $ 변수에 대한 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증분으로 참조되는 증분을 수신합니다. 지정:

마찬가지로, $ y $ increment $ \\ delta y $를 제공하면서 $ x $ 변수의 값을 저장하면 변경되지 않습니다.

그런 다음 $ z \u003d f (x, y) $ 함수는 $ y $ 변수를 따라 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증분을받는 증분을 수신합니다. 지정:

$ x $ 인수가 $ \\ delta x $의 증가이고 $ y $ 인수는 $ \\ Δ y $의 증가이면, 지정된 함수의 전체 증분은 $ \u003d f (x, y) $입니다 ...에 지정:

따라서 우리는 다음과 같습니다 :

$ \\ delta _ (x) z \u003d f (x + \\ deelta x, y) -F (x, y) $ - $ x $에 대한 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증가;

$ \\ delta _ (y) z \u003d f (x, y + \\ deelta y) -F (x, y) $ - $ y $에 대한 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증가.

$ \\ delta z \u003d f (x + \\ deelta x, y + \\ deelta y) -F (x, y) $는 함수의 완전한 증분 $ z \u003d f (x, y) $입니다.

예제 1.

결정:

$ \\ delta _ (x) z \u003d x + \\ deelta x + y $ - 함수의 개인 증분 $ z \u003d f (x, y) $ x $;

$ \\ delta _ (y) z \u003d x + y + \\ delta y $는 $ y $에 대한 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증가입니다.

$ \\ delta z \u003d x + \\ delta x + y + \\ delta y $ - 함수 $ z \u003d f (x, y) $의 완전한 증분.

예 2.

$ \\ deelta x \u003d 0.1; \\, \\, \\ deelta y \u003d 0.1 $의 $ z \u003d xy $에서 $ z \u003d xy $의 비공개 및 완전한 증분을 계산하십시오.

결정:

사적인 증분의 정의에 따라 우리는 다음을 찾습니다.

$ \\ delta _ (x) z \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y $ - 함수의 개인 증가 $ z \u003d f (x, y) $ $ x $

$ \\ delta _ (y) z \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) $ - $ z \u003d f (x, y) $ y $의 비공개 증가.

완전한 증분의 정의에 의해 우리는 다음과 같습니다.

$ \\ delta z \u003d (x + \\ delta x) \\ cdot (y + \\ Δy) $ - 함수 $ z \u003d f (x, y) $의 완전한 증분.

그 후,

\\ [\\ delta _ (x) z \u003d (1 + 0.1) \\ CDOT 2 \u003d 2.2 \\] \\ Δ (y) z \u003d 1 \\ cdot (2 + 0.1) \u003d 2.1 \\] \\ [\\ delta z \u003d (1 + 0.1) \\ CDOT (2 + 0.1) \u003d 1.1 \\ CDOT 2,1 \u003d 2.31. \\]

노트 2.

지정된 함수의 완전한 증분 $ z \u003d f (x, y) $는 $ \\ delta _ (x) z $ 및 $ \\ delta _ (y) z $의 개인 단위의 합계와 같지 않습니다. 수학 녹음 : $ \\ 델타 Z \\ NE \\ DELTA _ (x) z + \\ DEELTA _ (y) z $.

예 3.

기능에 대한 승인 댓글 확인하십시오

결정:

$ \\ 델타 _ (x) z \u003d x + \\ deelta x + y $; $ \\ delta _ (y) z \u003d x + y + \\ 델타 y $; $ \\ delta z \u003d x + \\ deelta x + y + \\ 델타 y $ (예 1에서 얻은)

지정된 함수 $ z \u003d f (x, y) $의 비공개 증분량을 찾을 수 있습니다.

\\ [\\ delta _ (x) z + \\ deelta _ (y) z \u003d x + \\ deelta x + y + (x + y + \\ deelta y) \u003d 2 \\ CDOT (x + y) + \\ Δ x + 델타 y. \\]

\\ [\\ delta _ (x) z + \\ 델타 _ (y) z \\ n ne \\ delta z. \\]

정의 2.

특정 영역에서 $ W $의 특정 영역에서 3 개의 독립 변수의 값의 3 $ (x, y, z) $에 대해 $ w $는 $ w $의 함수가 이 영역에서 세 가지 변수 $ (x, y, z) $.

지정 : $ w \u003d f (x, y, z) $.

정의 3.

$ (x, y, z, ..., t) $의 각 전체에 대해 특정 영역의 독립 변수의 값이 $ W $의 특정 값에 따라 이루어집니다. $ W $는이 영역에서 VARIABLES $ (x, y, z, ..., t) $의 함수입니다.

지정 : $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.

세 가지 이상의 변수의 기능을 위해 두 변수의 기능이 각 변수에 대해 개인 단위로 결정되는 방식과 유사합니다.

$ \\ delta _ (z) w \u003d f (x, y, z + \\ deelta z) -F (x, y, z) $ - 함수의 개인 증가 $ w \u003d f (x, y, z,. .., t) $ z $에 대한 $;

$ \\ delta _ (t) w \u003d f (x, y, z, ..., t + \\ deelta t) -F (x, y, z, ..., t) $ - 함수의 개인 증가 $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $ t $ for $.

예 4.

기능의 개인적이고 완전한 증분을 작성하십시오

결정:

사적인 증분의 정의에 따라 우리는 다음을 찾습니다.

$ \\ delta _ (x) w \u003d ((x + \\ deelta x) + y) \\ cdot z $ - $ x $ x에 대한 $ w \u003d f (x, y, z) $의 비공개 증가

$ \\ delta _ (y) w \u003d (x + (y + \\ deelta y)) \\ cdot z $ - $ y $ for for $ w \u003d f (x, y, z) $의 비공개 증분;

$ \\ delta _ (z) w \u003d (x + y) \\ cdot (z + \\ Δz) $ - $ \u003d f (x, y, z) $ z $에 대한 비공개 증가 $ z $;

완전한 증분의 정의에 의해 우리는 다음과 같습니다.

$ \\ delta w \u003d ((x + \\ delta x) + (y + \\ Δy)) \\ CDOT (z + \\ △ z) $ - 함수의 완전한 증분 $ w \u003d f (x, y, z) $.

예 5.

$ \\ deelta x \u003d 0.1; \\, \\, \\, \\ \\, \\ delta z \u003d 0.1 $의 Point $ (1; 2; 1) $에서 $ w \u003d xyz $의 비공개 및 완전한 증분을 계산하십시오.

결정:

사적인 증분의 정의에 따라 우리는 다음을 찾습니다.

$ \\ delta _ (x) w \u003d (x + \\ deelta x) \\ cdot y \\ cdot z $ - $ w \u003d f (x, y, z) $ $ x $의 비공개 증분

$ \\ deelta _ (y) w \u003d x \\ cdot (y + \\ deelta y) \\ cdot z $ - $ y $ for for $ y \u003d f (x, y, z) $의 개인 증가.

$ \\ delta _ (z) w \u003d x \\ cdot y \\ cdot (z + \\ Δz) $ - $ \u003d f (x, y, z) $ z $ z $의 개인 증가.

완전한 증분의 정의에 의해 우리는 다음과 같습니다.

$ \\ delta w \u003d (x + \\ Δ x) \\ cdot (y + \\ Δy) \\ cdot (z + \\ Δz) $ - 함수의 완전한 증분 $ w \u003d f (x, y, z) $ ...에

그 후,

\\ [\\ delta _ (x) W \u003d (1 + 0.1) \\ CDOT 2 \\ CDOT 1 \u003d 2.2 \\] \\ [\\ Δ _ (y) W \u003d 1 \\ CDOT (2 + 0,1) \\ CDOT 1 \u003d 2.1 \\] \\ [\\ delta _ (y) W \u003d 1 \\ CDOT 2 \\ CDOT (1 + 0.1) \u003d 2.2 \\] \\ [\\ delta z \u003d (1 + 0,1) \\ CDOT (2 + 0.1) \\ CDOT ( 1 + 0.1) \u003d 1.1 \\ CDOT 2.1 \\ CDOT 1.1 \u003d 2.541. \\]

기하학적 인 관점에서, 함수의 완전한 증분 $ z \u003d f (x, y) $ (정의별로 $ \\ deelta z \u003d f (x + \\ deelta x, y \\ eelta y) -f (x, y) $)는 Point $ m (x, y) $에서 point $ m_ (1)까지의 전환에서 $ z \u003d f (x, y) $ 그래프의 적용과 동일합니다. + \\ 델타 x, y \\ elta y) $ (그림 1).

그림 1.