불완전한 완전한 정사각형 방정식의 전환은 그 것처럼 보입니다 (사례 \\ (b \u003d 0 \\)) :

\\ (c \u003d 0 \\) 또는 두 계수가 0 인 경우 모든 것이 유사합니다.

이 경우 0 \\ (a \\)의 평등에 대한 연설이 없으므로 0이 될 수는 없습니다.

불완전한 사각형 방정식의 결정.

우선, 불완전한 사각형 방정식이 여전히 여전히 해결 될 수 있음을 이해해야합니다. 따라서 일반적인 사각형 (통과). 이렇게하려면 방정식의 누락 된 구성 요소를 0 계수로 추가하기 만하면됩니다.

예 : 방정식의 뿌리를 찾아 \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\ \\ \\)
결정 :

		우리는 계수 \\ (b \u003d 0 \\)의 정사각형 방정식이 불완전합니다. 즉, 다음과 같은 형식으로 방정식을 쓸 수 있습니다.
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ CDOT x-27 \u003d 0 \\)		사실, 여기서 처음에는 동일한 방정식이지만, 이제는 일반 정사각형으로 해결할 수 있습니다. 먼저 계수를 씁니다.
\\ (a \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		수식 \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\ \\ \\ \\ 4ac)에 의해 판별을 계산하십시오
\\ (d \u003d 0 ^ 2-4 \\ CDOT3 \\ CDOT (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		수식으로 방정식의 뿌리를 찾으십시오 \\ (x_ (1) \u003d \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) 및 \\ (x_ (2) \u003d \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d )))))) (2A) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-0+ \\ sqrt (324)) (2 \\ CDOT3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ CDOT3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ fRAC (-18) (6) \\ (\u003d - 3 \\)		답변을 기록하십시오

대답 : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

예 : 방정식 \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\ \\)의 뿌리를 찾으십시오.
결정 :

		다시, 불완전한 정사각형 방정식이지만, 지금은 계수 \\ (c \\)와 같습니다. 기록 방정식을 완료하십시오.

2 차 방정식. 판별. 해결책, 예.

주의!
이 주제에는 추가가 있습니다
특별 섹션 555의 재료.
강하게 "별로 ..."
그리고 "매우 ..."인 사람들에게는)

사각형 방정식의 종류

사각형 방정식이란 무엇입니까? 그것은 어떻게 생겼습니까? 측면에서 이차 방정식 키워드가 있습니다 "광장". 그것은 방정식에서 그것을 의미합니다 전에 사각형의 광장에 있어야합니다. 그 외에는 방정식에서 (그리고 그렇지 않을 수도 있음) 단순히 x (첫 번째 학위)와 그냥 숫자 (자유 회원). 학위가 더 많아야합니다.

수학적 언어로 말하면 사각형 방정식은 양식의 방정식입니다.

여기 a, B 및 With. - 일부 숫자. b 및 C. - 모든 것, 그리고 그러나- 아무도 제로이지만. 예 :

여기 그러나 =1; 비. = 3; 씨. = -4

여기 그러나 =2; 비. = -0,5; 씨. = 2,2

여기 그러나 =-3; 비. = 6; 씨. = -18

글쎄, 너는 이해 했어.

이 사각형 방정식에서 왼쪽은 존재합니다 풀세트 회원. 계수가있는 X 광장 그러나,계수가있는 첫 번째 학위 비. 과 무료 딕.

이러한 사각형 방정식이 불립니다 완전한.

만약 비. \u003d 0, 우리는 무엇을합니까? 우리는 가지고 있습니다 x는 첫 번째 정도가 사라지고 있습니다. 곱셈에서 0으로부터는 일어납니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0.

기타. 그리고 두 계수가 모두, 비. 과 씨. 0과 동등하면 여전히 더 간단합니다.

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0.

무언가가 누락 된 방정식이 호출됩니다 불완전한 사각형 방정식. 상당히 논리적 인 것은 무엇입니까? 나는 X가 모든 방정식에서 사각형에있는 것이 존재한다는 것을 알아 봅니다.

그건 그렇고, 왜 그러나 0 일 수 없습니까? 그리고 대신 대체합니다 그러나 nolik.) 우리는 광장에서 사라질 것입니다! 방정식은 선형이 될 것입니다. 그리고 그것은 이미 꽤 다르게 해결되었습니다 ...

그것은 모든 주요 유형입니다 사각형 방정식...에 가득 차 있고 불완전한.

사각 방정식의 솔루션.

전체 정사각형 방정식을 해결합니다.

사각형 방정식은 단순히 해결됩니다. 수식과 명확하게 간단한 규칙에 따라. 첫 번째 단계에서, 주어진 방정식은 표준 형태로 가져와야한다. 마음에:

이미이 양식에 방정식이 주어지면 첫 번째 단계는 필요하지 않습니다.) 주요한 것은 모든 계수를 정확하게 정의하는 것입니다. 그러나, 비. 과 씨..

사각형 방정식의 뿌리를 찾는 공식은 다음과 같습니다.

루트 표시 아래의 표현식이 호출됩니다. 차별...에 그러나 그것에 대해서 - 아래에. 보시다시피 ICA를 찾으려면 사용합니다. a, B 및 With. 그. 사각형 방정식의 계수. 그냥 깔끔하게 값을 대체합니다 a, B 및 With. 이 공식에서 우리는 고려합니다. 대용품 징후로! 예를 들어, 방정식에서 :

그러나 =1; 비. = 3; 씨. \u003d -4. 여기에 쓰고 :

예를 들어 실제로 해결됩니다.

이것은 대답입니다.

모든 것은 매우 간단합니다. 실수를하는 것은 불가능하다고 생각합니까? 글쎄, 네, 어떻게 ...

가장 흔한 실수 - 가치의 징후와의 혼란 a, B 및 With....에 오히려 징후가 아닌 (혼란스러워졌습니다.) 뿌리를 계산하는 수식에서 음수 값을 대체합니다. 다음은 특정 숫자가있는 수식의 자세한 항목입니다. 컴퓨팅에 문제가있는 경우, 그렇게하십시오!

이것을 해결해야한다고 가정 해보십시오.

여기 ㅏ. = -6; 비. = -5; 씨. = -1

처음으로 답변이 거의없는 것임을 알고 있다고 가정 해보십시오.

글쎄, 게으르다. 과도한 줄을 작성하면 30 초가 걸리고 오류 수 날카롭게 자른다...에 여기서 우리는 모든 괄호와 표지판으로 세부 사항을 작성합니다.

그것은 매우 어려울 것으로 보이는 것처럼 보입니다. 너무 조심스럽게 페인트. 그러나 그것은 단지 보인다. 시험. 글쎄, 또는 선택하십시오. 더 좋고 빠르거나, 옳은 것은 무엇입니까? 또한, 당신을 걷어차는 것입니다. 잠시 후 모든 것을 페인트하기 위해 조심스럽게 사라질 것입니다. 그 자체가 옳을 것입니다. 특히 실용적인 기술을 적용하는 경우에는 아래에 설명되어 있습니다. 마이너스 무리를 가진이 악의 예는 쉽고 오류없이 해결 될 것입니다!

그러나 종종 사각형 방정식은 약간 다릅니다. 예를 들어, 다음과 같이 :

알아보십시오.) 예! 그것 불완전한 사각형 방정식.

불완전한 사각형 방정식의 결정.

그들은 또한 일반 공식에 의해 해결 될 수 있습니다. 그것은 무엇이 같은 것을 상상할 필요가 있습니다. a, B 및 With..

수정 되었습니까? 첫 번째 예제에서 a \u003d 1; b \u003d 4; 그러나 씨.~을 빼앗아가는 것 아무도 없습니다! 음, 네, 맞아. 수학에서 이것은 그것을 의미합니다 c \u003d 0. ...에! 그게 다야. 우리는 제로 공식에서 대신 대체합니다 씨, 그리고 모든 것이 밖으로 나올 것입니다. 유사하게, 두 번째 예제와 함께 여기서 0이 아닙니다 ...에서,하지만 비. !

그러나 불완전한 사각형 방정식은 훨씬 쉽게 해결 될 수 있습니다. 수식없이. 첫 번째 불완전한 방정식을 고려하십시오. 왼쪽에서 거기에서 수행 할 수있는 것은 무엇입니까? 당신은 괄호를위한 것입니다! 가져 가자.

그리고 이것으로부터 무엇을 무엇입니까? 그리고 그 일이 0이고 곱셈기 중 일부가 0 일 때만 일이 일어날 경우에만! 믿을 수 없어? 글쎄, 두 개의 0이 아닌 숫자가 있으므로 곱하기로 0을 줄 것입니다!
작동하지 않습니까? 그게 무언가 야.
결과적으로 자신있게 쓸 수 있습니다. x 1 \u003d 0., x 2 \u003d 4..

모두. 이것은 우리 방정식의 뿌리가 될 것입니다. 둘 다 적합합니다. 원래 방정식으로 그 중 하나를 대체 할 때, 우리는 충실한 신분증을 얻을 수 있습니다. 0 \u003d 0을 알 수 있듯이 해결책은 일반 수식보다 훨씬 간단합니다. 나는 그런데 x가 첫 번째이고 두 번째는 절대적으로 무관심합니다. 몇 가지에 기록하기에 편리합니다. x 1. - 덜 뭐지? x 2. - 더 많은 것은 무엇입니까?

두 번째 방정식은 또한 단순히 해결 될 수 있습니다. 우리는 오른쪽으로 9를 가지고 있습니다. 우리는 다음과 같습니다.

그것은 9에서 추출하기 위해 뿌리가 남아 있습니다. 그것은 밝혀:

또한 2 개의 뿌리 . x 1 \u003d -3., x 2 \u003d 3..

모든 불완전한 정사각형 방정식이 해결됩니다. 브래킷을 만들거나, 단순히 오른쪽으로 번호를 전송 한 다음 루트 추출을 통해
이러한 기술을 혼동하는 것은 매우 어렵습니다. 단순히 첫 번째 경우에는 XCA에서 루트를 추출해야합니다. 이는 어떻게 든 상관 없으며 두 번째 경우에는 브래킷을위한 것이 없습니다 ...

판별. 차별적 인 공식.

마술 단어 차별 ...에! 희귀 한 고등학생은 그 말을 듣지 못했습니다! "판별을 통해 결정"이라는 문구는 자신감을 심어줍니다. 차별에서 트릭을 기다릴 필요가 없으므로! 그것은 간단하고 문제가 없으며 순환이 필요하지 않습니다.) 나는 당신에게 해결하기위한 가장 일반적인 공식을 생각 나게합니다. 어떤 사각형 방정식 :

뿌리의 표시 아래의 표현은 판별이라고합니다. 일반적으로 차별은 편지로 표시됩니다 디....에 차별적 인 공식 :

D \u003d B 2 - 4ac.

주목할만한 표현이란 무엇입니까? 왜 그렇게 특별한 이름을 받았습니까? 뭐라구? 판별의 의미? 아무튼 -비, 또는 도 2a. 이 수식에서는 편지와 문자를 구체적으로 호출하지 않습니다.

그 일은 무엇입니까? 이 공식에 대해 사각형 방정식을 해결할 때 가능합니다. 총 3 가지 경우.

1. 차별적 인 긍정적 인. 즉, 루트를 추출 할 수 있음을 의미합니다. 좋은 뿌리가 추출되거나 나쁨 - 질문이 다릅니다. 원칙적으로 추출되는 것이 중요합니다. 그런 다음 정사각형 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별자는 0입니다. 그런 다음 하나의 해결책을 얻습니다. 분자의 제로 빼기는 아무 것도 변경하지 않기 때문에. 엄밀히 말하면, 이것은 하나의 뿌리가 아닙니다. 두 가지 동일한 것...에 그러나 단순화 된 버전에서는 걱정하는 것이 일반적입니다. 하나의 해결책.

3. 판별은 부정적입니다. 음수의 경우 제곱근이 제거되지 않습니다. 글쎄, 알았어. 즉, 해결책이 없습니다.

솔직히, 함께 간단한 결정 사각형 방정식, 판별의 개념은 특별히 필요하지 않습니다. 우리는 수식에서 계수의 값을 대체합니다. 예, 우리는 믿습니다. 그것은 모두 모든 것을 일어나고, 두 개의 뿌리와 하나가 아닙니다. 그러나 더 해결할 때 복잡한 작업, 지식없이 의미와 수식 차별 부족한. 특히 - 매개 변수가있는 방정식. 이러한 방정식은 GIA와 EGE에서 가장 높은 조종사입니다!)

그래서, 사각형 방정식을 해결하는 방법 당신이 기억 한 판별을 통해. 또는 그것은 또한 나쁘지 않다는 것을 알게되었습니다. a, B 및 With....에 지식 조심스럽게 뿌리 공식과 그들을 대체하십시오 조심스럽게 결과를 계산하십시오. 당신은 그것을 깨달았습니다 예어 여기 - 조심스럽게?

이제는 오류 수를 획기적으로 줄이는 실질적인 기술을 기록하십시오. 부주의 때문에 가장 많은 것. ... 그때는 상처와 상처를 입는다.

리셉션 먼저 ...에 사각형 방정식을 해결하기 전에 게으름이되지 마십시오. 표준 형식으로 가져 오십시오. 이것은 무엇을 의미 하는가?
모든 변화가 끝나면 다음 방정식을 받았습니다.

루트 수식을 쓰지 않도록 서두르지 마십시오! 거의 아마도, 당신은 계수를 혼동합니다 A, B 및 S. 올바르게 예제를 만듭니다. 첫째, x는 정사각형에 있으며, 그 다음 사각형이 없으면 자유로운 거시기. 다음과 같이 :

다시 서두르지 마라! 사각형의 IX 앞의 마이너스는 당신을 화나게하기 위해 건강 할 수 있습니다. 쉽게 잊어 버려 ... 마이너스를 제거하십시오. 어떻게? 예, 이전 주제에서 가르쳐졌습니다! -1의 전체 방정식을 곱할 필요가 있습니다. 우리는 다음과 같습니다.

그러나 이제는 뿌리의 수식을 안전하게 기록하고 차별과 예제를 고려할 수 있습니다. 너 자신을 데려다. 뿌리 2와 -1이 있어야합니다.

리셉션 2. 뿌리를 확인하십시오! Vieta 정리에. 놀리지 마라. 나는 모든 것을 설명 할 것이다! 검사 마지막 것 방정식. 그. 우리가 뿌리 공식을 기록했습니다. (이 예에서와 같이) 계수가있는 경우 a \u003d 1.뿌리를 쉽게 확인하십시오. 그들을 곱할만큼 충분히. 무료 회원이 있어야합니다. 우리의 경우 -2에서. 참고 2, 아니오, -2! 무료 딕 당신의 서명과 함께 ...에 그것이 작동하지 않았다면, 그것은 그들이 누적 된 어딘가에 의미합니다. 오류를 찾으십시오.

그것이 일어난다면 - 뿌리를 접을 필요가 있습니다. 마지막 및 최종 수표. 계수가 발생해야합니다 비. ...에서 반대말 기호. 우리의 경우 -1 + 2 \u003d +1에서. 계수 비.그것은 ix 앞에 -1과 같습니다. 그래서 모든 것이 옳습니다!
예를 들어 x가 깨끗하고 계수가 깨끗한 것은 매우 간단하다는 동정입니다. a \u003d 1. 그러나 적어도 그러한 방정식을 확인하십시오! 오류가 적을 것입니다.

셋째 ...에 방정식에 분수 계수가있는 경우 - 분수를 제거하십시오! 여러 방정식을 기반으로합니다 공통 분모공과에서 설명한대로 "방정식을 해결하는 방법? 동일한 변환". 어떤 이유로 오류의 분수로 작업 할 때 ...

그건 그렇고, 나는 단순화하기 위해 마이너스 한 무리와 함께 사악한 예를 약속했다. 아니에요! 여기있어.

마이너스에 혼동되지 않도록하려면 -1의 방정식이 지배적입니다. 우리는 다음과 같습니다.

그게 다야! 결정 - 한 번 즐거움!

그래서 주제를 요약하십시오.

실용적인 조언:

1. 해결하기 전에 표준 양식에 사각형 방정식을 제공하고 빌드합니다. 권리.

2. 네거티브 계수가 X 이전의 음수 계수가있는 경우 -1의 전체 방정식의 곱셈을 제거하십시오.

3. 분수 계수가 전체 방정식에 해당 배수기에 곱하여 분수를 제거하는 경우.

4. x가 정사각형 - 깨끗한 경우 계수가 하나와 같으면 Vieta 정리가 솔루션을 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!

이제 계산할 수 있습니다.)

방정식 해결 :

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0.

x 2 + 3x + 8 \u003d 0.

x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

답변 (무질서) :

x 1 \u003d 0.
x 2 \u003d 5.

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2.
x 2 \u003d -0.5.

x - 모든 번호

x 1 \u003d -3.
x 2 \u003d 3.

아니 솔루션 없음

x 1 \u003d 0.25.
x 2 \u003d 0.5.

모든 것이 수렴합니까? 우수한! 사각형 방정식은 두통이 아닙니다. 처음 3 개가 밝혀졌고 나머지는 - 아니요? 그런 다음 문제가 사각형 방정식이 아닙니다. 문제는 방정식의 동일한 변형에 있습니다. 참조로 산책하면 유용합니다.

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정사각형 방정식을 고려하십시오 :
(1) .
뿌리 정사각형 방정식 (1)은 수식에 의해 결정된다 :
; .
이 수식은 다음과 같이 결합 될 수 있습니다.
.
사각 방정식의 뿌리가 알려지면 두 번째도 다항식은 요인의 작업으로 표현 될 수 있습니다 (곱셈기에서 분해) :
.

다음으로, 우리는 실제 숫자를 믿습니다.
중히 여기다 판별적인 사각형 방정식:
.
판별자가 양수이면 사각형 방정식 (1)은 두 가지 유효한 루트가 있습니다.
; .
그런 다음 사각형 3의 분해는 요인에 대해서는 형식이 있습니다.
.
판별자가 0이면 정사각형 방정식 (1)은 두 개의 다중 (동일한) 유효한 루트가 있습니다.
.
채권 차압 통고:
.
판별자가 음수이면, 정사각형 방정식 (1)은 2 개의 종합적으로 공액 루트를 갖는다 :
;
.
여기 - 가상 유닛;
및 - 뿌리의 실제 및 가상 부분 :
; .
그때

.

그래픽 해석

빌드라면 일정 기능
,
포물선은 파라라 폴 (parabola)이고, 축을 가진 그래프의 교차점은 방정식의 뿌리가 될 것입니다.
.
일정은 두 점에서 횡축 축 (축)을 교차합니다.
언제 그래프는 Asscissa 축에 한 지점에 관련되어 있습니다.
일정은 횡축 축과 교차하지 않습니다.

다음은 그러한 그래프의 예입니다.

사각형 방정식과 관련된 유용한 수식

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

정사각형 방정식의 뿌리에 대한 공식의 출력

우리는 변형을 수행하고 수식을 적용하고 (F.1) :




,
어디
; .

그래서 우리는 두 번째 학위의 다항식을위한 공식을 형성합니다 :
.
여기에서 방정식을 볼 수 있습니다

에서 공연했다
과.
즉, 사각형 방정식의 뿌리는 뿌리입니다.
.

사각형 방정식의 뿌리를 결정하는 예

예제 1.

(1.1) .

결정

.
우리의 방정식 (1.1)과 비교하여 계수의 값을 찾습니다.
.
우리는 판별을 찾는다 :
.
판별자는 긍정적이기 때문에 방정식에는 두 가지 유효한 루트가 있습니다.
;
;
.

여기에서 우리는 곱셈기에 사각형 3 스테이크를 분해합니다.

.

일정 함수 y \u003d. 2 x 2 + 7 x + 3. 두 점에서 횡축 축을 가로 지르십시오.

우리는 함수 일정을 구성합니다
.
이 기능의 일정은 포물선입니다. 그녀는 두 점으로 횡축 축 (축)을 놓습니다.
과.
이 점은 초기 방정식 (1.1)의 뿌리입니다.

대답

;
;
.

예 2.

사각형 방정식의 뿌리를 찾으십시오 :
(2.1) .

결정

우리는 일반적인 형식으로 사각형 방정식을 씁니다.
.
초기 방정식 (2.1)과 비교하여 계수의 값을 찾습니다.
.
우리는 판별을 찾는다 :
.
판별자는 0이기 때문에 방정식에는 2 개의 다중 (동등한) 루트가 있습니다.
;
.

그런 다음 곱셈기에 대한 세 가지 결정의 분해는 다음과 같습니다.
.

기능 그래프 Y \u003d X. 2 - 4 x + 4. Asscissa 축을 한 지점에서 요청합니다.

우리는 함수 일정을 구성합니다
.
이 기능의 일정은 포물선입니다. 그것은 한 지점에서 횡축 축 (축)에 관한 것입니다.
.
이 점은 초기 방정식 (2.1)의 루트입니다. 이 루트는 곱셈기의 확장을 두 번 입력합니다.
,
이러한 루트를 여러 번 호출합니다. 즉, 두 개의 동등한 루트가 있다고 믿어집니다.
.

대답

;
.

예 3.

사각형 방정식의 뿌리를 찾으십시오 :
(3.1) .

결정

우리는 일반적인 형식으로 사각형 방정식을 씁니다.
(1) .
초기 방정식 (3.1)을 다시 작성합니다.
.
C (1)을 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별을 찾는다 :
.
판별자는 부정적입니다. 따라서 유효한 뿌리가 없습니다.

복잡한 뿌리를 찾을 수 있습니다.
;
;

우리는 함수 일정을 구성합니다
.
이 기능의 일정은 포물선입니다. 그것은 횡좌표 축 (축)과 교차하지 않습니다. 따라서 유효한 뿌리가 없습니다.

대답

유효한 뿌리가 없습니다. Roings가 통합됩니다 :
;
;
.

그것은 평등 AH2 + VX + C \u003d O, 여기서 A, B 및 C - 알려지지 않은 X에서의 실제 계수가 있고, 여기서 ≠ OH, 그리고 B 및 C가 0으로되는 것으로 알려져있다. 동시에 또는 떨어져 있습니다. 예를 들어, c \u003d o, ∈ O 또는 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 우리는 거의 정사각형 방정식의 정의를 기억했습니다.

두 번째 정도의 트리거는 0입니다. 첫 번째 계수 a ∈ O, B 및 C는 임의의 값을 취할 수 있습니다. 변수 x의 값은 대체가 올바른 수치 평등으로 변합니다. 방정식의 해결책은 계수 중 어느 것도 같지 않은 방정식이라고 불릴 수있는 방정식이라는 방정식이라고 불릴 수 있지만, 방정식은 ≠ O에서 ≠ o에 완전히 호출 될 수 있습니다.
나는 예제를 해결한다. 2x 2 -9x-5 \u003d O, 우리는 찾습니다.
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
d 양의 양수, 뿌리는 이용 가능, x 1 \u003d (9 + ± 121) : 4 \u003d 5 및 두 번째 x 2 \u003d (9-± 121) : 4 \u003d -O, 5. 확인을 통해 그들이 올바른지 확인하는 데 도움이됩니다.

다음은 정사각형 방정식의 단계적 솔루션입니다

차별을 통해 모든 방정식은 왼쪽에서 알려진 사각형이 3- 부실이있는 왼쪽 부분에서 해결할 수 있습니다. 우리의 예에서. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH 2 + Vx + C \u003d O)

두 번째 학위의 불완전한 방정식은 무엇인지 생각해보십시오.

1. aH 2 + VH \u003d O. 자유 용어, x 0이있는 계수, 여기에는 0이됩니다.
   이 유형의 불완전한 사각형 방정식을 해결하는 방법은 무엇입니까? 중괄호로 X를 수행합니다. 우리는 두 배수의 제품이 0 일 때를 기억합니다.
   x (ax + b) \u003d O, x \u003d o 또는 ax + b \u003d o 일 때 일 수 있습니다.
   2 번째를 결정한 후 x \u003d -b / a를 가지고 있습니다.
   결과적으로, 계산 x 2 \u003d -b / a에 따라 뿌리 x 1 \u003d 0이 있습니다.
2. 이제 x의 계수는 (≠)와 같지 않고 같지 않습니다.
   x 2 + c \u003d o. 우리는 평등의 오른쪽으로 옮겨 갔고, x 2 \u003d -c를 얻습니다. 이 방정식은 다음과 같은 실제 뿌리가 있습니다 (\u003co),
   x 1은 각각 x 2--------k (-c)와 같습니다. 그렇지 않으면 방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.
3. 마지막 변형 : b \u003d c \u003d o, 즉 ah2 \u003d o. 당연히 그러한 간단한 방정식에는 하나의 루트가 있습니다. x \u003d o.

비공개 사례

불완전한 사각형 방정식을 해결하는 방법은 고려해졌으며 이제 우리는 어떤 종류 가든 취할 것입니다.

• 전체 정사각형 방정식에서, x의 두 번째 계수 - 우수.
  k \u003d o, 5b가 되십시오. 우리는 차별과 뿌리를 계산하기위한 수식을 가지고 있습니다.
  D / 4 \u003d K 2 - AC, 루트는 X 1.2 \u003d (-k ± ± (d / 4) / a)로 계산됩니다.
  x \u003d -k / a d \u003d o.
  D \u003co에 대한 뿌리가 없습니다.
• 정사각형의 계수가 1이면 정사각형 방정식이 줄어 듭니다. x 2 + px + q \u003d o를 기록하는 것입니다. 위의 모든 수식이 모두 확산되고 계산은 다소 간단합니다.
  예, x 2 -4x-9 \u003d 0. d : 2 2 +9, d \u003d 13을 계산합니다.
  x 1 \u003d 2 + ∅13, x 2 \u003d 2-¼13.
• 또한 방정식 방정식의 뿌리의 양은 -p, 마이너스 (반대쪽 부호를 의미)로 두 번째 계수가 있고 동일한 뿌리의 제품이 Q가 될 것이라고 쉽게 사용할 수 있습니다. 회원. 이 방정식의 뿌리를 쉽게 결정할 수있는 방법을 확인하십시오. 미지급 (모든 아닌 계수가있는)의 경우이 정리는 적용 가능합니다. Sum x 1 + x 2는 -b / a와 같습니다. 제품 x 1 · x 2는 C / A와 같습니다.

자유 부재 (C) 및 제 1 계수 (A)의 양은 계수 B와 동일하다. 이 상황에서 방정식은 하나 이상의 루트 (쉽게 입증)가 없으며, 첫 번째는 반드시 -1과 같고 두 번째 ° C / A가 존재하는 경우. 불완전한 사각형 방정식을 해결하는 방법은 자신을 확인할 수 있습니다. 파이처럼 쉽습니다. 계수는 스스로 일부 관계에있을 수 있습니다.

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• 모든 계수의 합은 같습니다.
  이러한 방정식 - 1 및 S / A의 뿌리. 예제, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

두 번째 정도의 방정식을 해결하는 다른 여러 가지 방법이 있습니다. 여기서, 예를 들면, 완전한 사각형 의이 다항식으로부터의 격리 방법. 그래픽 메소드 약간. 그러한 예제를 자주 다루는 경우, 모든 방법이 자동으로 마음에 들리기 때문에 씨앗처럼 "클릭하십시오"를 배웁니다.

에 현대 사회 정사각형으로 제기 된 변수가 포함 된 방정식으로 행동을 수행하는 능력은 많은 활동 영역에서 유용 할 수 있으며 과학적으로 실제로 널리 사용됩니다. 기술 개발...에 이것에 대한 증거는 해양 및 강 혈관, 항공기 및 미사일의 디자인을 제공 할 수 있습니다. 그러한 계산의 도움으로 우주 물체를 포함하여 다양한 시체의 움직임의 궤적. 사각 방정식의 해결책을 가진 예는 건물의 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일반적인 일상 상황에서도 경제 예측에서도 사용되지 않습니다. 그들은 관광 캠페인, 스포츠, 쇼핑 매장 및 다른 매우 일반적인 상황에서 필요할 수 있습니다.

우리는 승수의 구성 요소에 표현을 끊습니다

방정식의 정도는이 표현식을 포함하는 변수의 정도의 최대 값에 의해 결정됩니다. 그것이 2이고, 그러한 방정식은 방금 정사각형이라고 불립니다.

수식의 언어가 표현되면 표현식의 왼쪽 부분이 세 가지 용어로 구성 될 때 항상 표시되는 표현식은 항상 발생할 수 있습니다. 그 중에서도 : 도끼 2 (즉, 계수가있는 정사각형으로 세워진 가변), BX (계수가있는 정사각형없이 알 수 없음) 및 C (자유 구성 요소, 즉 일반적으로 숫자). 오른쪽에있는이 모든 것이 0과 같습니다. 그런 경우에는 AX 2를 제외하고는 용어의 구성 요소 중 하나가없는 경우 불완전한 정사각형 방정식이라고합니다. 이러한 작업을 해결하는 데 사용되는 예제, 발견하기 쉽고 변수의 가치는 먼저 고려해야합니다.

표현식이 양식에 나타나면 두 개의보다 정확하게, 도끼 2 및 BX가 오른쪽 표현식에 대한 표현식에 대한 표현식이 괄호를위한 변수를 찾는 것이 가장 쉽습니다. 이제 우리의 방정식은 다음과 같습니다 : x (ax + b). 다음으로, 그것은 또는 x \u003d 0이되거나, 다음의 식으로부터 변수를 찾기 위해이 작업이 축소되거나, ax + b \u003d 0이다. 지정된 곱셈 속성 중 하나를 지정했습니다. 이 규칙은 두 가지 요소의 결과가 0 중 하나가 0 인 경우에만 0으로 인해 결과로 제공됩니다.

예

x \u003d 0 또는 8x - 3 \u003d 0.

결과적으로, 우리는 방정식의 2 개의 뿌리를 얻습니다 : 0 및 0.375.

이 종류의 방정식은 좌표의 시작 부분에서 채택 된 특정 지점에서 움직이기 시작한 중력의 영향을받은 몸의 움직임을 기술 할 수 있습니다. 여기서 수학적 기록은 다음과 같은 양식을 취합니다. y \u003d v 0 t + gt 2/2. 필요한 가치를 대체하고, 오른쪽 0과 동등하고 가능한 알려지지 않은 것을 찾는 데, 당신은 다른 많은 가치뿐만 아니라 가을 때까지 몸이 상승하는 순간부터 지나가는 시간을 알 수 있습니다. 그러나 우리는 나중에 그것에 대해 이야기 할 것입니다.

승수에 대한 표현의 분해

위에서 설명한 규칙을 사용하면 지정된 작업을 해결할 수 있습니다. 복잡한 경우...에 이 유형의 정사각형 방정식을 해결하여 예제를 고려하십시오.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0.

이 square Treechlen 그것은 완전합니다. 시작하기 위해, 우리는 표현을 변화시키고 곱셈기에 대해 그것을 분해합니다. 이들은 2 개를 얻습니다 : (X-8) 및 (X-25) \u003d 0 결과로, 우리는 2 개의 뿌리 8 및 25를 갖는다.

9 학년에서 사각형 방정식을 해결하는 예제 에서이 방법은 두 번째뿐만 아니라 세 번째 및 네 번째 주문조차도 표현식에서 변수를 찾을 수 있습니다.

예 : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. 변수가있는 승산기의 오른쪽 부분의 분해가있는 경우 3 개, 즉 (x-3), (x-3) 및 ( x + 3).

결과적 으로이 방정식은 3 개의 뿌리를 가지고 있다는 것이 분명해진다. -3; -하나; 삼.

제곱근 추출

두 번째 순서의 불완전한 방정식의 또 다른 경우는 오른쪽이 AX 2와 C의 구성 요소로 구성된 방식으로 제시된 문자의 언어로 표현식입니다. 여기서 변수의 값에 대해 자유 멤버가 전송됩니다. 오른쪽그리고 평등의 두 부분에서 추출됩니다. 제곱근...에 주의를 기울여야한다 이 경우 방정식의 뿌리는 일반적으로 2입니다. 예외는 일반적으로 변수가 0이고, 오른쪽이 음수가 될 때 표현식 옵션뿐만 아니라 변수가 0이라는 용어를 포함하지 않는 균등성과 동일 할 수 있습니다. 에 마지막 경우 위의 작업을 뿌리로 만들 수 없기 때문에 전혀 해결책이 없습니다. 이 유형의 정사각형 방정식의 솔루션의 예를 고려해야합니다.

이 경우 방정식의 뿌리는 -4와 4입니다.

토지 플롯의 계산

이러한 계산의 필요성은 깊은 고대에 나타났습니다. 왜냐하면 멀리 떨어진 시간에 많은면에서 수학의 발달이 그 지역의 가장 정확성과 랜드 플롯의 둘레를 결정할 필요가 있기 때문입니다.

이러한 종류의 업무를 기반으로 한 정사각형 방정식을 해결하는 예제는 우리에게 간주되어야합니다.

그래서, 직사각형의 땅이 있다고 가정 해 봅시다. 그 길이는 너비보다 16 미터 더 큽니다. 그 영역이 612 m 2와 같으면 알려진 경우 사이트의 길이, 너비 및 둘레를 발견해야합니다.

문제를 시작하고, 먼저 필요한 방정식을 만듭니다. x의 폭의 x에 의해 표시된 다음 그 길이가 (x + 16)됩니다. 서면으로부터 그 지역은 우리의 문제의 조건에 따라 612 (x + 16) 인 표현식 x (x + 16)에 의해 결정된다는 것을 추적합니다. 이는 X (x + 16) \u003d 612를 의미합니다.

완전한 사각형 방정식의 해결책, 그리고이 발현은 정확하게 동일한 방식으로 수행 할 수 없습니다. 왜? 왼쪽의 왼쪽에는 두 가지 요소가 포함되어 있지만 제품은 전혀 0이 아니므로 다른 방법이 여기에 사용됩니다.

차별

우선, 우리는 필요한 전환을 일으킬 것이고,이 표현의 모습은 다음과 같이 보일 것입니다 : x 2 + 16x - 612 \u003d 0 이것은 우리가 이전에 지정된 표준에 해당하는 형태로 표현식을 얻었습니다. 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

이것은 판별을 통해 사각형 방정식을 해결하는 예가 될 수 있습니다. 여기서, 필요한 계산은 방식에 따라 이루어진다 : D \u003d B 2 - 4AC. 이 보조 값은 두 번째 순서 방정식에서 원하는 값을 찾을 수있는 것이 아니라 숫자를 결정합니다. 가능한 옵션...에 D\u003e 0에서는 두 가지가 있습니다. d \u003d 0 일 때 하나의 루트가 있습니다. D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

뿌리와 그들의 공식에 대해서

우리의 경우, 판별자는 다음과 같습니다 : 256 - 4 (-612) \u003d 2704. 이것은 우리의 업무의 답변이 존재한다는 것을 암시합니다. 당신이 알고 있다면, K는 아래 공식을 사용하여 사각 방정식의 솔루션을 계속해서 계속해야합니다. 그것은 당신이 뿌리를 계산할 수 있습니다.

이것은 제시된 경우 : x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. 이 딜레마의 두 번째 버전은 땅의 치수를 음수로 측정 할 수 없으므로 X (즉, 사이트의 폭)는 18m이므로 여기에서 길이 : 18 + 16 \u003d 34 및 주변 2 (34 + 18) \u003d 104 (m2).

예 및 목표

우리는 계속 평방 방정식을 공부합니다. 사례와 몇 가지의 상세한 솔루션이 더욱 부여 될 것입니다.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

우리는 모든 것을 평등의 왼쪽 부분으로 옮기고, 우리는 변화를 일으킬 것입니다. 즉, 표준이라고하는 방정식의 형태를 얻고 0으로 균등화합니다.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

접는 후, 우리는 D \u003d 49 - 48 \u003d 1, 우리의 방정식은 두 개의 뿌리를 가질 것입니다. 우리는 위의 공식에 따라 그들을 계산합니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 4/3입니다.

2) 다른 종류의 수수께끼를 드러내십시오.

알아보십시오, 여기에 뿌리가 있니? x 2 - 4x + 5 \u003d 1입니까? 포괄적 인 반응을 얻으려면, 우리는 적절한 친숙 함을 위해 다항식을 제공하고 차별을 계산합니다. 지정된 예에서는 작업의 본질 이이 전혀 아닌 정사각형 방정식의 해결책이 필요하지 않습니다. 이 경우 d \u003d 16 - 20 \u003d 4이므로 정말로 뿌리가 없음을 의미합니다.

vieta 정리

정사각형 방정식은 마지막 값에서 제곱근을 추출 할 때 위의 수식 및 판별을 통해 편리하게 해결됩니다. 그러나 그것은 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나이 경우 변수를 얻는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예 : Vieta 정리의 정사각형 방정식의 솔루션. 그녀는 프랑스에서 XVI 세기에 살았던 지명 된 지명되어 수학적 재능과 안뜰로 인해 화려한 경력을 쌓았습니다. 기사에서 볼 수 있습니다.

유명한 프랑스어가 언급 한 패턴은 다음과 같습니다. 그는 양의 방정식의 뿌리가 -P \u003d B / A와 수치 적으로 동일하다는 것이 증명되었고, 이들의 생성물은 Q \u003d C / A에 해당한다는 것을 증명했다.

이제 특정 작업을 고려하십시오.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0.

단순화를 위해, 우리는 표현식을 변화시킵니다.

x 2 + 7x - 18 \u003d 0.

우리는 Vieta 정리를 사용합니다. 우리에게 다음을 줄 것입니다 : 뿌리의 양은 -7이고 그들의 작업은 -18입니다. 여기에서 우리는 방정식의 뿌리가 -9와 2의 뿌리가 숫자를 얻었습니다. 수표를 만들었는데, 이러한 변수 값이 표현식에 정말로 적합한 지 확인하십시오.

그래프 및 파라 보라 방정식

개념 2 차 함수 및 사각형 방정식이 밀접하게 연결됩니다. 이것의 예는 이미 이전에 나타났습니다. 이제 일부 수학적 수수께끼를 좀 더 생각해보십시오. 설명 된 유형의 방정식을 상상할 수 있습니다. 그래프의 형태로 그려지는 유사한 의존성을 파라 보라 (parabola)라고합니다. 그녀의 다양한 유형은 아래 그림과 같습니다.

모든 포물선에는 꼭지점, 즉 지점이 나오는 지점이 있습니다. a\u003e 0의 경우, 그들은 무한대로 높이 둡니다.<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

기능의 시각적 이미지는 광장을 포함하여 방정식을 해결하는 데 도움이됩니다. 이 방법을 그래픽이라고합니다. 변수 x의 값은 그래프의 그래프가 0x에서 횡단하는 지점에서 횡좌표의 좌표입니다. 정점의 좌표는 유일한 주어진 공식 X 0 \u003d -B / 2A에 따라 발견 될 수 있습니다. 그리고 결과 값을 함수의 초기 방정식으로 대체하면 y 0, 즉 종축 축에 속한 Pearabol 정점의 두 번째 좌표를 배울 수 있습니다.

Abscissa Axis와 포물선의 가지를 건너십시오

사각형 방정식의 해결책을 가진 예는 매우 많지만 일반적인 패턴이 있습니다. 그들을 고려하십시오. 0x가 0x에서 축 0x가있는 그래프의 교차점이 0이 음수 값을 수신하면 가능합니다. 그리고 A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

차트에 따르면, 파라라라라스를 정의하고 뿌리를 얻을 수 있습니다. 그 반대는 또한 사실입니다. 즉, 2 차 함수의 시각적 이미지가 쉽지 않은 경우 표현식의 오른쪽을 0으로 평등하고 결과 방정식을 해결할 수 있습니다. 0x 축을 사용하여 교차점을 알면 일정을 구축하는 것이 더 쉽습니다.

역사에서

옛날에는 정사각형으로 제기 된 변수가 포함 된 방정식의 도움으로 수학 계산뿐만 아니라 기하학적 인 수치 영역을 결정했습니다. 물리학 및 천문학 분야에서는 점성학 전망을 컴파일하는 것뿐만 아니라 물리학 및 천문학 분야에서 고대의 유사한 계산이 필요했습니다.

현대 과학 수치가 제시된 정사각형 방정식의 첫 해법 중 바빌론 주민들이 차지했습니다. 그것은 시대의 발병 전에 4 세기에 일어났습니다. 물론 루트의 계산은 이제 채택되어 많은 원시적 인 것으로 밝혀졌습니다. 예를 들어, Mesopotamian 수학자들은 음수의 존재에 대해 전혀 모른다. 낯선 사람들은 또한 우리 시대의 학생을 아는 사람들로부터 다른 미묘함을 가지고있었습니다.

아마도 Babylon의 이전 과학자들도 사각형 방정식의 솔루션 인 인도의 현자가 종사했습니다. 그것은 그리스도 시대에 약 8 세기 전에 일어났습니다. 진실한, 두 번째 순서의 방정식, 그가 LED가 가장 동시에 해결하는 방법. 그 외에도 그러한 질문은 옛날과 중국 수학자들에 관심이있었습니다. 유럽에서는 Square 방정식이 XIII 세기 초반에만 해결하기 시작했지만 나중에 그들은 뉴턴, 데카르트 및 많은 다른 많은 과학자들과 같은 일에 사용되었습니다.