사각형 방정식 - 그것은 단순히 해결됩니다! * 텍스트 "ku"텍스트에 있습니다.친구들은 겉으로보기에, 그러한 방정식에 대한 해결책보다 수학에서 더 쉽습니다. 그러나 어떤 것이 많은 사람들이 그에게 문제가 있다고 제안했습니다. 나는 한 달에 요청에 대한 많은 인상이 양안덱스를 제공하기로 결정했습니다. 그게 무슨 일이 있었 니?

무슨 뜻이에요? 즉, 한 달에 약 7 만 명의 사람들 이이 정보를 찾고 있으며, 이번 여름은 무엇인가, 무엇이 될 것인가? 학년 - 요청은 두 배나 많을 것입니다. 오랫동안 학교를 졸업하고 시험 준비를하고있는 사람들과 소녀 들이이 정보를 찾고 있으며, 학생들은이 정보를 찾고 있습니다.

이 방정식을 해결하는 방법에 대해 묘사 된 사이트가 많이 있음에도 불구하고 나는 자료를 공헌하고 공헌하기로 결정했습니다. 첫째, 나는이 요청에 대해 내 사이트에 와서 방문자가 내 사이트에 왔습니다. 둘째, 다른 기사에서 "ku"의 연설 이이 기사에 대한 언급을 줄 때; 셋째, 일반적으로 다른 사이트에서 설정하는 것보다 약간의 결정에 대해 알려 드리겠습니다. 바이에!기사의 내용 :

사각형 방정식은 양식의 방정식입니다.

계수 인 A.비. 임의의 숫자로 ¼ 0이 있습니다.

에 학교 과정 이 물질은 다음 형태로 제공됩니다 - 3 개의 수업 당 수식 분리가 조건부로 완료됩니다.

1. 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. * 하나의 루트 만 있습니다.

3. 뿌리가 없어. 유효한 뿌리가없는 것은 여기에 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산됩니까? 간단히!

차별을 계산하십시오. 이 "끔찍한"단어 아래에 아주 간단한 공식이 있습니다.

루트 수식에는 다음과 같은 양식이 있습니다.

* 이러한 수식은 마음에 의해 알아야합니다.

즉시 쓰고 결정할 수 있습니다.

예:

1. D\u003e 0이면 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. D \u003d 0이면 방정식에는 루트가 하나 있습니다.

3. D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴 보겠습니다.

이 경우, 차별이 0 일 때, 학교 과정에서 하나의 루트가 밝혀졌습니다. 여기에서는 여기에서 9와 같습니다. 그게 맞아.하지만 ...

이보기는 다소 잘못되었습니다. 사실, 두 개의 뿌리가 얻어집니다. 예, 놀라지 말고, 두 개의 동등한 뿌리가 얻어지며 수학적으로 정확한 경우 두 개의 뿌리가 답변에 기록되어야합니다.

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3.

그러나 이것은 너무 약간의 퇴각입니다. 학교에서는 뿌리가 하나라고 쓸 수 있습니다.

이제 다음 예제는 다음과 같습니다.

우리가 알고있는 것처럼 음수의 뿌리가 제거되지 않으므로이 경우에는 해결 방법이 없습니다.

그것은 전체 솔루션 프로세스입니다.

2 차 함수.

여기서 솔루션이 어떻게 지적으로 보이는지 보여줍니다. 이해하는 것이 매우 중요합니다 (미래에는 기사 중 하나에서 우리는 사각형 불평등의 해결책을 자세하게 분해합니다).

이것은 형식의 함수입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다

a, B, C - 숫자를 설정합니다.

일정은 parabola입니다.

즉, "Y"의 정사각형 방정식을 0과 같은 정사각형 방정식을 결정하는 것은 축과 함께 파라 보라의 교차점을 찾습니다. 이 포인트는 2 개의 (차별적 인 양성), 하나 (차별이 0이며, 단일 (부정적인 차별) 일 수 있습니다. Detail o. 2 차 기능 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman 기사.

사례를 고려하십시오.

예제 1 : 해결 2x. 2 +8 엑스.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192.

D \u003d B. 2 -4AC \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

답변 : x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 즉시 왼쪽과 오른쪽으로 왼쪽과 오른쪽으로 단순화하는 것이 가능했습니다. 계산이 쉬울 것입니다.

예제 2 : 결정하다 x 2.–22 x + 121 \u003d 0.

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121.

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

x 1 \u003d 11 및 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.

이에 응답하여 x \u003d 11을 쓰는 것이 허용됩니다.

답변 : x \u003d 11.

예제 3 : 결정하다 x 2 -8x + 72 \u003d 0.

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72.

d \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

판별자는 음수이며 유효한 숫자에 해결책이 없습니다.

답변 : 해결책 없음

판별자는 부정적입니다. 해결책은!

여기서는 부정적인 차별이 얻어지는 경우의 방정식을 해결하는 것에 대해 논의 할 것입니다. 통합 번호에 대해 알고 있습니까? 왜 그 이유와 그들이 일어난 곳과 특정한 역할이 무엇인지, 수학의 필요성에 대해 자세히 이야기하지 않을 것입니다. 수학의 필요성은 큰 별도의 기사의 주제입니다.

복소수의 개념.

약간의 이론.

복소수 Z는 종 수를 불렀습니다

z \u003d A + BI.

a와 b가 유효한 숫자 인 경우, I - 소위 가상 유닛.

a + BI. - 이것은 추가 번호가 아니라 단일 숫자입니다.

가상 단위는 빼기 단위의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

두 개의 공액 뿌리를 받았다.

불완전한 사각형 방정식.

사적인 사례를 고려하십시오. 이것은 계수 "b"또는 "C"가 0이면 (또는 둘 다 0이지만)입니다. 그들은 어떤 판별없이 쉽게 해결됩니다.

케이스 1. 계수 B \u003d 0.

방정식은 양식을 취득합니다.

우리는 변형 :

예:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

케이스 2. C \u003d 0 계수.

방정식은 양식을 취득합니다.

우리는 변형, 곱셈기를 배치합니다.

* 승산기 중 적어도 하나가 0 일 때 작업이 0입니다.

예:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 또는 x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5.

case 3. 계수 b \u003d 0 및 c \u003d 0입니다.

방정식의 해결책이 항상 x \u003d 0 인 것이 여기는 분명합니다.

유용한 특성 및 계수 패턴.

큰 계수와 방정식을 해결할 수있는 속성이 있습니다.

그러나엑스. 2 + bx.+ 씨.=0 평등이 수행됩니다

ㅏ. + 비. + C \u003d 0,그

- 방정식 계수에 대한 경우 그러나엑스. 2 + bx.+ 씨.=0 평등이 수행됩니다

ㅏ. + c \u003d.비., 그

이러한 속성은 특정 유형의 방정식을 해결하는 데 도움이됩니다.

예제 1 : 5001 엑스. 2 –4995 엑스. – 6=0

계수의 합은 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, 그것은 수단을 의미합니다

예제 2 : 2501 엑스. 2 +2507 엑스.+6=0

평등이 수행됩니다 ㅏ. + c \u003d.비., 그래서

계수 법칙.

1. 도끼 2 + Bx + C \u003d 0 방정식에서 계수 "B"가 (a 2 + 1)와 같고 계수 "C"가 계수 "A"와 수치 적으로 동일하다면 뿌리는 동일합니다.

도끼 2 + (A 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

예. 방정식 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. 도끼 2 - BX + C \u003d 0 방정식에서 계수 "B"가 (및 2 +1)와 같고 계수 "C"는 계수 "A"와 동일전히 동일하며 뿌리는 동일합니다.

도끼 2 - (A 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / a.

예. 방정식 15x 2 -226x +15 \u003d 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. 방정식에있는 경우도끼 2 + BX - C \u003d 0 계수 "B" 동등한 (a 2. - 1) 및 계수 "C" 계수 "A"와 숫자로 동일한, 그런 다음 그의 뿌리는 동일합니다

도끼 2 + (A 2 -1) ∙ X - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

예. 방정식 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. 도끼 2 - BX-C \u003d 0 방정식에서 계수 "B"가 (A2-1)와 같고 계수는 "A"계수와 수치 적으로 동일합니다. 뿌리는 동일합니다.

도끼 2 - (A 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

예. 방정식 10x 2 - 99x -10 \u003d 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10.

Vieta 정리.

Vieta 정리는 Francois Vieta의 유명한 프랑스 수학의 이름으로 불려갑니다. Vieta 정리를 사용하면 계수를 통해 임의의 쿠의 뿌리의 금액과 제품을 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

합계에서, 숫자 14는 5와 9 만 주어집니다. 이들은 뿌리입니다. 많은 사각형 방정식으로 표시된 정리를 사용하여 특정 기술을 사용하면 구두로 올지 여부를 결정할 수 있습니다.

Vieta 정리, 게다가. 일반적인 방정식에서 사각형 방정식을 해결 한 후에도 얻어진 뿌리를 점검 할 수 있기 때문에 편리합니다. 나는 항상 그것을하는 것이 좋습니다.

지나가는 방법

이 방법에서는 계수 "A"가 자유 멤버가 "움직이는 것"으로 곱해 지므로 호출됩니다. "transit"의 방법.이 방법은 Vieta 정리를 사용하여 방정식의 뿌리를 쉽게 찾을 수있을 때 사용됩니다.

만약 그러나± b + C.≠ 0, 그런 다음 수신이 사용됩니다.

2하류 2 – 11x +.5 = 0 (1) => 하류 2 – 11x +.10 = 0 (2)

방정식 (2)의 Vieta 정리에 의해 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1을 결정하기 쉽습니다.

수득 된 수식 뿌리는 2로 나누어야합니다 (x 2의 두 번 「X 2」이 움직였다).

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

정당화는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나는지보세요.

판별 자 방정식 (1)과 (2)는 동일합니다.

방정식의 뿌리를 보면 다른 분모가 얻어지고 결과는 x 2의 계수에 따라 달라집니다.

두 번째 (수정 된) 뿌리는 2 배 더 획득됩니다.

따라서 결과가 2만큼 나뉩니다.

* 우리가 여행을 던지면 결과가 3 등으로 구분됩니다.

답변 : x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

sq. UR-YE와 EGE.

나는 그의 중요성에 대해 간단히 말할 것입니다 - 당신은 뿌리와 생각없이 뿌리와 심장에 대해 알아야 할 뿌리의 수식을 해결할 수 있어야합니다. 사용의 작업에 포함 된 많은 작업이 정사각형 방정식 (기하학적 포함)을 해결하기 위해 줄어 듭니다.

축하 할 것!

1. 녹음 방정식의 형태는 "암시 적"일 수 있습니다. 예를 들어,이 항목은 가능합니다.

15 + 9x 2 - 45x \u003d 0 또는 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 또는 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

당신은 그것을 표준 양식으로 가져와야합니다 (해결할 때 혼란스러워하지 않도록하십시오).

2. X는 알 수없는 값이며 다른 문자 T, Q, P, H 및 기타로 표시 할 수 있음을 기억하십시오.

Copsevskaya 농촌 중등 학교

사각형 방정식을 해결하는 10 가지 방법

지도자 : Patrikeva Galina Anatolyevna,

수학 교사

s.Kopievo, 2007.

1. 사각형 방정식 개발의 역사

1.1 2 차 방정식 고대 바빌론에서

1.2에 대한 설명 및 해결 된 디오프넌트 사각형 방정식

인도의 1.3 평방 방정식

Alcohise의 1.4 평방 방정식

유럽에서 1.5 평방 방정식 XIII - XVII 세기

1.6 Vieta 정리에 대해서

2. 사각형 방정식을 해결하는 방법

결론

문학

1. 사각형 방정식 개발의 역사

고대 바빌론의 1.1 정사각형 방정식

방정식을 처음으로 해결할 필요성은 토지 지역의 위치와 지구상의 지구와 관련된 작업을 해결할 필요가 있으며, 천문학의 발달과 관련하여 유물이 두 번째 정도로 인해 발생했습니다. 수학 자체. 사각형 방정식은 약 2000 년 전에 해결할 수있었습니다. 이자형. 바빌로니아 사람.

현대적인 대수 기록을 적용하면 임원 한 텍스트에서 불완전한 것을 제외하고, 예를 들어 전체 사각형 방정식을 제외하고는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

엑스. 2 + 엑스. = ¾; 엑스. 2 - 엑스. = 14,5

바빌로니아 텍스트에 명시된이 방정식을 해결하는 규칙은 근대적으로 현대적으로 일치하지만 바빌로이 인이 어떻게이 규칙에 도달했는지 알려지지 않았습니다. 거의 모든 임상 보우 텍스트는 지금까지 발견 된 방법으로 조리법의 형태로 결정된 의사 결정과 만 작업을 수행합니다.

무례 높은 레벨 Babylon에서 대수학의 대수학의 개발, 임상 텍스트에서는 사각형 방정식을 해결하기위한 음수와 일반적인 방법의 개념이 없습니다.

1.2에 대한 설명 및 해결 된 사각 방정식을 설명합니다.

Diophanta의 "산술"에서는 대수학의 체계적인 프리젠 테이션이 없지만 설명을 수반하고 다른 각도의 방정식 준비로 해결 된 체계적인 수의 작업을 포함합니다.

솔루션을 간소화하기 위해 아울증 방정식을 그리면 솔직히 알려지지 않은 것을 선택하십시오.

예를 들어, 그의 작업 중 하나입니다.

작업 11. "그들의 합계가 20 일이고 일은 96"이라는 것을 아는 두 가지 숫자를 찾습니다.

디오포트는 다음과 같이 논쟁합니다. 문제의 조건에서 원하는 숫자가 동일하지 않은 것처럼, 그들의 작업은 96, 100이 아닐 것입니다. 따라서 그 중 하나는 그 중 하나가 그들의 합, 즉. 10 + H. 다른 하나는 덜, 즉. 10 - H. ...에 그들의 차이점 2x. .

따라서 방정식 :

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96.

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

여기에서 x \u003d 2. ...에 원하는 숫자 중 하나입니다 12 , 다른 8 ...에 결정 x \u003d -2. 그리스 수학은 양수 숫자 만 알고 있기 때문에 Diophanta에 존재하지 않습니다.

이 작업을 결정하면 원하는 숫자 중 하나를 알 수 없으므로 방정식을 해결하기 위해 올 것입니다.

y (20 - y) \u003d 96,

2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

원하는 숫자의 알려지지 않은 게임으로 선택하는 것은, 이는 결정을 단순화합니다. 그는 불완전한 정사각형 방정식 (1)을 해결하는 작업을 줄일 수 있습니다.

1.3 인도의 정사각형 방정식

사각형 방정식 당 작업은 이미 천문선 "Ariabhatti"에서 이미 발견되며 499. 인도 수학자 및 천문학 자 아리아 바트타. Brahmagupta (VII 세기) 또 다른 인디언 과학자 (VII 세기)는 단일 표준 형태로 주어진 정사각형 방정식을 해결하는 일반적인 규칙을 설명했습니다.

AH 2 +. 비. x \u003d s, a\u003e 0 (1)

식 (1) 계수에서 제외하고 있습니다 그러나 부정적 일 수 있습니다. Brahmagupta 규칙은 본질적으로 우리와 일치합니다.

고대 인도에서는 공공 대회가 어려운 일을 해결할 때 배포되었습니다. 옛 인도의 책 중 하나에서는 다음과 같은 대회에 관해 "반짝이는 태양, 별이 일식하여 과학자가 사람들의 집회에서 다른 사람의 명성보다 열망하고 해결합니다. 대수 작업...에 " 작업은 종종 시적 모양으로 즐기는 것입니다.

유명한 인도 수학 XII 세기의 업무 중 하나입니다. Bhaskara.

작업 13.

"원숭이를 말하고, Lianam에 12 개 ...

직면의 힘, 재미. 점프하기 시작했다, 매달려 ...

그들은 여덟 번째 원숭이의 사각형 부분에 있으며, 얼마나 많은 원숭이가 있었습니까?

숲경에서 즐겁게되었습니다. 이 스택에서 말해? "

Bhaskara의 결정은 사각형 방정식의 뿌리의 이중도를 알고있는 사실을 증언합니다 (그림 3).

해당 작업 13 방정식 :

( 엑스. /8) 2 + 12 = 엑스.

Bhaskara는 다음과 같은지도를 씁니다 :

x 2 - 64x \u003d -768.

그리고이 방정식의 왼쪽 부분을 정사각형으로 보충하려면 두 부분 모두에 추가됩니다. 32 2 , 다음을 얻는 방법 :

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 in Al - Khorezmi의 방정식

대수학에서 Al - Khorezmi는 선형 및 사각형 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6 종의 방정식을 포함하여 다음과 같이 표현합니다.

1) "사각형은 뿌리", 즉. AH 2 + C \u003d 비. 엑스.

2) "사각형은 숫자와 같습니다." AH 2 \u003d s.

3) "뿌리는 숫자와 같습니다. I.E. Ah \u003d s.

4) "사각형과 숫자는 뿌리와 같습니다", 즉. AH 2 + C \u003d 비. 엑스.

5) "사각형과 뿌리는 숫자와 같습니다. I.E. AH 2 +. bx. \u003d s.

6) "뿌리와 숫자는 사각형과 같습니다", I.E. bx. + C \u003d AH 2.

알 - khorezmi의 경우 음수의 사용을 피하고 각 방정식의 구성원은 구성 요소이며 빼지 않습니다. 동시에 긍정적 인 해결책이없는 방정식을 고려하지는 않습니다. 저자는 알 - JABR 및 AL-Mukabala의 기술을 사용하여 이러한 방정식을 해결할 수있는 방법을 제시합니다. 물론 그의 결정은 우리와 일치하지 않습니다. 이미 정확한 수사학이기도하지는 않을 것입니다. 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 사각형 방정식을 해결할 때는 주목해야합니다.

al - XVII 세기가 될 때까지 모든 수학과 마찬가지로 특정 실제 작업에서 중요하지 않기 때문에 제로 솔루션을 고려한 것입니다. 개인 숫자 예제에서 완전한 정사각형 알로스 방정식을 해결할 때 결정 규칙과 기하학적 증거를 제시합니다.

작업 14. "사각형과 숫자 21은 10 루트와 같습니다. 루트 찾기» (그것은 방정식 x 2 + 21 \u003d 10x의 뿌리로 이해된다).

저자의 결정은 다음과 같은 것을 읽습니다. 우리는 뿌리의 수를 나눕니다. 당신은 5 개의 21의 작업에서 자신을 곱할 것입니다. 4. 루트를 4에서 꺼내는 것입니다. . onde 2 OT5, 당신은 3을 받게되면 원하는 루트가됩니다. 또는 2 ~ 5를 추가하면서 7을 줄 수 있으며 루트가 있습니다.

Al-Khorezmi Treatsise는 처음으로 정사각형 방정식의 분류가 체계적으로 제시된 책과 수식이 주어지는 책입니다.

유럽의 1.5 평방 방정식 xiii. - xvii. 바이스

유럽의 알 - khorezmi에 대한 사각형 방정식을 해결하기위한 공식은 이탈리아 수학자 Leonardo Fibonacci에 의해 1202 년에 작성된 "아바카"에서 처음 출발했습니다. 이슬람교의 양국의 효과를 반영하는 철저한 일과 고대 그리스, 완전성과 프레젠테이션의 명확성을 구별하는 것. 저자는 독립적으로 새로운 새로운 것을 개발했습니다 대수 예제 문제를 해결하고 유럽의 첫 번째는 음수의 도입에 접근했습니다. 그의 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서도 대수 지식의 확산을 촉진했습니다. "Abaka Book"의 많은 도전 과제는 거의 모든 유럽 교과서 XVI - XVII 수세기를 통과했습니다. 부분적으로 xviii.

동일한 표준 형식으로 주어진 정사각형 방정식을 해결하는 일반적인 규칙 :

x 2 +. bx. \u003d c,

모든 종류의 계수 신호의 조합에 대해 비. , ...에서 그것은 1544 M. Stiffel에서만 유럽에서만 공식화되었습니다.

사각형 방정식을 해결하기위한 수식의 출력 일반 베트타가 있지만, 베트비는 긍정적 인 뿌리 만 인식했습니다. 이탈리아 수학자 Tartalia, Kardano, Bombelly XVI 세기 중 첫 번째. 긍정적이고 부정적인 뿌리 외에도 주어진다. XVII 세기에만. Girard, Descartes, Newton 및 기타 과학자의 노동으로 인해 사각 방정식을 해결하는 방법은 현대적인 모습을 취합니다.

1.6 Vieta 정리에 대해서

정사각형 방정식의 계수와 베레사의 이름 인 이론은 다음과 같이 1591 년에 처음으로 제제화되었습니다. " 비. + 디. 곱하기 ㅏ. - ㅏ. 2 잘 bd. 티. ㅏ. 같이 에 그리고 동등한 것 디. ».

베레사를 이해하기 위해서, 당신은 그것을 기억해야합니다 그러나 모든 모음 편지가 의미하는 것처럼 그는 알려지지 않은 (우리의 하류), 모음 에, 디. - 알 수없는 계수. 위의 현대 대수학의 언어로 베레사의 말씀은 다음을 의미합니다 :

(A +. 비. ) x - x 2 \u003d aB ,

x 2 - (A + 비. ) x + A. 비. = 0,

x 1 \u003d A, x 2 \u003d. 비. .

심볼을 사용하여 기록 된 공통 수식과 방정식의 뿌리와 계수 간의 관계를 표현하면 Visiet은 방정식을 해결하는 방법에 균일 성을 설정했습니다. 그러나 베트의 상징주의는 여전히 멀리 떨어져있다. 현대 전망...에 그는 방정식을 해결할 때 그는 음수를 인식하지 못했습니다. 모든 뿌리가 긍정적 인 경우뿐입니다.

2. 사각형 방정식을 해결하는 방법

사각형 방정식은 대수학의 장엄한 건물이 쉬고있는 기초입니다. 정사각형 방정식은 삼각법, 지시, 대수, 비합리적 및 초월 방정식 및 불평등을 해결하는 데 널리 사용됩니다. 우리 모두는 대학이 끝나기 전에 학교 벤치 (8 학년)의 사각형 방정식을 해결하는 방법을 알고 있습니다.

에 현대 사회 정사각형으로 제기 된 변수가 포함 된 방정식으로 행동을 수행하는 능력은 많은 활동 영역에서 유용 할 수 있으며 과학적으로 실제로 널리 사용됩니다. 기술 개발...에 이것에 대한 증거는 해양 및 강 혈관, 항공기 및 미사일의 디자인을 제공 할 수 있습니다. 그러한 계산의 도움으로 우주 물체를 포함하여 다양한 시체의 움직임의 궤적. 사각 방정식의 해결책을 가진 예는 건물의 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일반적인 일상 상황에서도 경제 예측에서도 사용되지 않습니다. 그들은 관광 캠페인, 스포츠, 쇼핑 매장 및 다른 매우 일반적인 상황에서 필요할 수 있습니다.

우리는 승수의 구성 요소에 표현을 끊습니다

방정식의 정도는이 표현식을 포함하는 변수의 정도의 최대 값에 의해 결정됩니다. 그것이 2이고, 그러한 방정식은 방금 정사각형이라고 불립니다.

수식의 언어가 표현되면 표현식의 왼쪽 부분이 세 가지 용어로 구성 될 때 항상 표시되는 표현식은 항상 발생할 수 있습니다. 그 중에서도 : 도끼 2 (즉, 계수가있는 정사각형으로 세워진 가변), BX (계수가있는 정사각형없이 알 수 없음) 및 C (자유 구성 요소, 즉 일반적으로 숫자). 오른쪽에있는이 모든 것이 0과 같습니다. 그런 경우에는 AX 2를 제외하고는 용어의 구성 요소 중 하나가없는 경우 불완전한 정사각형 방정식이라고합니다. 이러한 작업을 해결하는 데 사용되는 예제, 발견하기 쉽고 변수의 가치는 먼저 고려해야합니다.

표현식이 양식에 나타나면 두 개의보다 정확하게, 도끼 2 및 BX가 오른쪽 표현식에 대한 표현식에 대한 표현식이 괄호를위한 변수를 찾는 것이 가장 쉽습니다. 이제 우리의 방정식은 다음과 같습니다 : x (ax + b). 다음으로, 그것은 또는 x \u003d 0이되거나, 다음의 식으로부터 변수를 찾기 위해이 작업이 축소되거나, ax + b \u003d 0이다. 지정된 곱셈 속성 중 하나를 지정했습니다. 이 규칙은 두 가지 요소의 결과가 0 중 하나가 0 인 경우에만 0으로 인해 결과로 제공됩니다.

예

x \u003d 0 또는 8x - 3 \u003d 0.

결과적으로, 우리는 방정식의 2 개의 뿌리를 얻습니다 : 0 및 0.375.

이 종류의 방정식은 좌표의 시작 부분에서 채택 된 특정 지점에서 움직이기 시작한 중력의 영향을받은 몸의 움직임을 기술 할 수 있습니다. 여기서 수학적 기록은 다음과 같은 양식을 취합니다. y \u003d v 0 t + gt 2/2. 필요한 가치를 대체하고, 오른쪽 0과 동등하고 가능한 알려지지 않은 것을 찾는 데, 당신은 다른 많은 가치뿐만 아니라 가을 때까지 몸이 상승하는 순간부터 지나가는 시간을 알 수 있습니다. 그러나 우리는 나중에 그것에 대해 이야기 할 것입니다.

승수에 대한 표현의 분해

위에서 설명한 규칙을 사용하면 지정된 작업과보다 복잡한 경우를 해결할 수 있습니다. 이 유형의 정사각형 방정식을 해결하여 예제를 고려하십시오.

x 2 - 33x + 200 \u003d 0.

이 광장 트리플이 완료되었습니다. 시작하기 위해, 우리는 표현을 변화시키고 곱셈기에 대해 그것을 분해합니다. 이들은 2 개를 얻습니다 : (X-8) 및 (X-25) \u003d 0 결과로, 우리는 2 개의 뿌리 8 및 25를 갖는다.

9 학년에서 사각형 방정식을 해결하는 예제 에서이 방법은 두 번째뿐만 아니라 세 번째 및 네 번째 주문조차도 표현식에서 변수를 찾을 수 있습니다.

예 : 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. 변수가있는 승산기의 오른쪽 부분의 분해가있는 경우 3 개, 즉 (x-3), (x-3) 및 ( x + 3).

결과적 으로이 방정식은 3 개의 뿌리를 가지고 있다는 것이 분명해진다. -3; -하나; 삼.

제곱근 추출

두 번째 순서의 불완전한 방정식의 또 다른 경우는 오른쪽이 AX 2와 C의 구성 요소로 구성된 방식으로 제시된 문자의 언어로 표현식입니다. 여기서 변수의 값에 대해 자유 멤버가 전송됩니다. 오른쪽그리고 평등의 두 부분에서 추출됩니다. 제곱근...에 이 경우 방정식의 뿌리는 일반적으로 2입니다. 예외는 일반적으로 변수가 0이고, 오른쪽이 음수가 될 때 표현식 옵션뿐만 아니라 변수가 0이라는 용어를 포함하지 않는 균등성과 동일 할 수 있습니다. 에 마지막 경우 위의 작업을 뿌리로 만들 수 없기 때문에 전혀 해결책이 없습니다. 이 유형의 정사각형 방정식의 솔루션의 예를 고려해야합니다.

이 경우 방정식의 뿌리는 -4와 4입니다.

토지 플롯의 계산

이러한 계산의 필요성은 깊은 고대에 나타났습니다. 왜냐하면 멀리 떨어진 시간에 많은면에서 수학의 발달이 그 지역의 가장 정확성과 랜드 플롯의 둘레를 결정할 필요가 있기 때문입니다.

이러한 종류의 업무를 기반으로 한 정사각형 방정식을 해결하는 예제는 우리에게 간주되어야합니다.

그래서, 직사각형의 땅이 있다고 가정 해 봅시다. 그 길이는 너비보다 16 미터 더 큽니다. 그 영역이 612 m 2와 같으면 알려진 경우 사이트의 길이, 너비 및 둘레를 발견해야합니다.

문제를 시작하고, 먼저 필요한 방정식을 만듭니다. x의 폭의 x에 의해 표시된 다음 그 길이가 (x + 16)됩니다. 서면으로부터 그 지역은 우리의 문제의 조건에 따라 612 (x + 16) 인 표현식 x (x + 16)에 의해 결정된다는 것을 추적합니다. 이는 X (x + 16) \u003d 612를 의미합니다.

완전한 사각형 방정식의 해결책, 그리고이 발현은 정확하게 동일한 방식으로 수행 할 수 없습니다. 왜? 왼쪽의 왼쪽에는 두 가지 요소가 포함되어 있지만 제품은 전혀 0이 아니므로 다른 방법이 여기에 사용됩니다.

차별

우선, 우리는 필요한 전환을 일으킬 것이고,이 표현의 모습은 다음과 같이 보일 것입니다 : x 2 + 16x - 612 \u003d 0 이것은 우리가 이전에 지정된 표준에 해당하는 형태로 표현식을 얻었습니다. 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

이것은 판별을 통해 사각형 방정식을 해결하는 예가 될 수 있습니다. 여기서, 필요한 계산은 방식에 따라 이루어진다 : D \u003d B 2 - 4AC. 이 보조 값은 두 번째 순서 방정식에서 원하는 값을 찾을 수있는 것이 아니라 숫자를 결정합니다. 가능한 옵션...에 D\u003e 0에서는 두 가지가 있습니다. d \u003d 0 일 때 하나의 루트가 있습니다. D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

뿌리와 그들의 공식에 대해서

우리의 경우, 판별자는 다음과 같습니다 : 256 - 4 (-612) \u003d 2704. 이것은 우리의 업무의 답변이 존재한다는 것을 암시합니다. 당신이 알고 있다면, K는 아래 공식을 사용하여 사각 방정식의 솔루션을 계속해서 계속해야합니다. 그것은 당신이 뿌리를 계산할 수 있습니다.

이것은 제시된 경우 : x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. 이 딜레마의 두 번째 버전은 땅의 치수를 음수로 측정 할 수 없으므로 X (즉, 사이트의 폭)는 18m이므로 여기에서 길이 : 18 + 16 \u003d 34 및 주변 2 (34 + 18) \u003d 104 (m2).

예 및 목표

우리는 계속 평방 방정식을 공부합니다. 사례와 몇 가지의 상세한 솔루션이 더욱 부여 될 것입니다.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

우리는 모든 것을 평등의 왼쪽 부분으로 옮기고, 우리는 변화를 일으킬 것입니다. 즉, 표준이라고하는 방정식의 형태를 얻고 0으로 균등화합니다.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

접는 후, 우리는 D \u003d 49 - 48 \u003d 1, 우리의 방정식은 두 개의 뿌리를 가질 것입니다. 우리는 위의 공식에 따라 그들을 계산합니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 4/3입니다.

2) 다른 종류의 수수께끼를 드러내십시오.

알아보십시오, 여기에 뿌리가 있니? x 2 - 4x + 5 \u003d 1입니까? 포괄적 인 반응을 얻으려면, 우리는 적절한 친숙 함을 위해 다항식을 제공하고 차별을 계산합니다. 지정된 예에서는 작업의 본질 이이 전혀 아닌 정사각형 방정식의 해결책이 필요하지 않습니다. 이 경우 d \u003d 16 - 20 \u003d 4이므로 정말로 뿌리가 없음을 의미합니다.

vieta 정리

정사각형 방정식은 마지막 값에서 제곱근을 추출 할 때 위의 수식 및 판별을 통해 편리하게 해결됩니다. 그러나 그것은 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나이 경우 변수를 얻는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예 : Vieta 정리의 정사각형 방정식의 솔루션. 그녀는 프랑스에서 XVI 세기에 살았던 지명 된 지명되어 수학적 재능과 안뜰로 인해 화려한 경력을 쌓았습니다. 기사에서 볼 수 있습니다.

유명한 프랑스어가 언급 한 패턴은 다음과 같습니다. 그는 양의 방정식의 뿌리가 -P \u003d B / A와 수치 적으로 동일하다는 것이 증명되었고, 이들의 생성물은 Q \u003d C / A에 해당한다는 것을 증명했다.

이제 특정 작업을 고려하십시오.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0.

단순화를 위해, 우리는 표현식을 변화시킵니다.

x 2 + 7x - 18 \u003d 0.

우리는 Vieta 정리를 사용합니다. 우리에게 다음을 줄 것입니다 : 뿌리의 양은 -7이고 그들의 작업은 -18입니다. 여기에서 우리는 방정식의 뿌리가 -9와 2의 뿌리가 숫자를 얻었습니다. 수표를 만들었는데, 이러한 변수 값이 표현식에 정말로 적합한 지 확인하십시오.

그래프 및 파라 보라 방정식

개념 2 차 함수 및 사각형 방정식이 밀접하게 연결됩니다. 이것의 예는 이미 이전에 나타났습니다. 이제 일부 수학적 수수께끼를 좀 더 생각해보십시오. 설명 된 유형의 방정식을 상상할 수 있습니다. 그래프의 형태로 그려지는 유사한 의존성을 파라 보라 (parabola)라고합니다. 그녀의 다양한 유형은 아래 그림과 같습니다.

모든 포물선에는 꼭지점, 즉 지점이 나오는 지점이 있습니다. a\u003e 0의 경우, 그들은 무한대로 높이 둡니다.<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

기능의 시각적 이미지는 광장을 포함하여 방정식을 해결하는 데 도움이됩니다. 이 방법을 그래픽이라고합니다. 변수 x의 값은 그래프의 그래프가 0x에서 횡단하는 지점에서 횡좌표의 좌표입니다. 정점의 좌표는 유일한 주어진 공식 X 0 \u003d -B / 2A에 따라 발견 될 수 있습니다. 그리고 결과 값을 함수의 초기 방정식으로 대체하면 y 0, 즉 종축 축에 속한 Pearabol 정점의 두 번째 좌표를 배울 수 있습니다.

Abscissa Axis와 포물선의 가지를 건너십시오

사각형 방정식의 해결책을 가진 예는 매우 많지만 일반적인 패턴이 있습니다. 그들을 고려하십시오. 0x가 0x에서 축 0x가있는 그래프의 교차점이 0이 음수 값을 수신하면 가능합니다. 그리고 A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

차트에 따르면, 파라라라라스를 결정하고 뿌리를 뿌릴 수 있습니다. 그 반대는 또한 사실입니다. 즉, 이전 기능의 시각적 이미지가 쉽지 않은 경우 표현식의 오른쪽 부분을 0으로 동등하고 얻은 방정식을 해결할 수 있습니다. 0x 축을 사용하여 교차점을 알면 일정을 구축하는 것이 더 쉽습니다.

역사에서

옛날에는 정사각형으로 제기 된 변수가 포함 된 방정식의 도움으로 수학 계산뿐만 아니라 기하학적 인 수치 영역을 결정했습니다. 물리학 및 천문학 분야에서는 점성학 전망을 컴파일하는 것뿐만 아니라 물리학 및 천문학 분야에서 고대의 유사한 계산이 필요했습니다.

현대 과학 수치가 제시된 정사각형 방정식의 첫 해법 중 바빌론 주민들이 차지했습니다. 그것은 시대의 발병 전에 4 세기에 일어났습니다. 물론 루트의 계산은 이제 채택되어 많은 원시적 인 것으로 밝혀졌습니다. 예를 들어, Mesopotamian 수학자들은 음수의 존재에 대해 전혀 모른다. 낯선 사람들은 또한 우리 시대의 학생을 아는 사람들로부터 다른 미묘함을 가지고있었습니다.

아마도 Babylon의 이전 과학자들도 사각형 방정식의 솔루션 인 인도의 현자가 종사했습니다. 그것은 그리스도 시대에 약 8 세기 전에 일어났습니다. 진실한, 두 번째 순서의 방정식, 그가 LED가 가장 동시에 해결하는 방법. 그 외에도 그러한 질문은 옛날과 중국 수학자들에 관심이있었습니다. 유럽에서는 Square 방정식이 XIII 세기 초반에만 해결하기 시작했지만 나중에 그들은 뉴턴, 데카르트 및 많은 다른 많은 과학자들과 같은 일에 사용되었습니다.

주제 "방정식의 결정"을 계속하면이 기사의 자료는 당신을 사각형 방정식으로 소개합니다.

모든 것을 자세히 생각해보십시오. 정사각형 방정식의 본질과 기록은 첨부 된 용어를 설정하고, 불완전하고 완전한 방정식의 솔루션을 분석하고, 뿌리와 차별의 공식에 익숙해지고, 뿌리와 계수 사이의 링크를 구축 할 것입니다. 물론 우리는 실질적인 예제의 시각적 솔루션을 제공합니다.

yandex.rtb R-A-339285-1.

사각형 방정식, 그 유형

정의 1.

이차 방정식 - 이것은 기록 된 방정식입니다 A · x 2 + b · x + c \u003d 0어디 엑스. - 변수, a, b 및 씨. - 일부 숫자, ㅏ.제로가 없습니다.

본질적으로 정사각형 방정식은 두 번째 정사각형의 대수 방정식이기 때문에 두 번째 정사각형 방정식이라고도합니다.

우리는 주어진 정의를 설명하기위한 예를 보여줍니다 : 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 등 - 이들은 정사각형 방정식입니다.

정의 2.

숫자 A, B 및 씨. - 이들은 정사각형 방정식의 계수입니다 A · x 2 + b · x + c \u003d 0, 계수와 함께 ㅏ. 첫 번째 또는 구형 또는 x 2, b - 두 번째 계수 또는 계수에서 계수라고합니다. 엑스.,하지만 씨. 무료 회원을 착용하십시오.

예를 들어, 정사각형 방정식에서 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 고위 계수는 6이고 두 번째 계수는입니다 − 2 무료 회원은 동일합니다 − 11 ...에 계수 할 때주의하십시오 비.및 / 또는 c는 음수이고, 뷰 기록의 간단한 형태가 사용된다. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, 하지만 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

우리는 또한이 측면을 분명히합니다 : 계수 인 경우 ㅏ. 및 / or. 비. 같은 1 또는 − 1 그런 다음 정사각형 방정식의 기록에 명시 적으로 참여하면 이들 숫자 계수의 기록의 기능에 의해 설명되지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 정사각형 방정식에서 Y 2 - y + 7 \u003d 0. 고위 계수는 1이고 두 번째 계수는 − 1 .

명시된 미혼 사각형 방정식

제 1 계수의 값으로, 정사각형 방정식은 상기와 무급으로 분할된다.

정의 3.

감소 된 정사각형 방정식 - 오래된 계수가 1과 같는 정사각형 방정식입니다. 이전 계수의 다른 값은 사각형 방정식이 유효하지 않습니다.

우리는 사각형 방정식 x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0이 이전 계수가 1 인 각각에 제시됩니다.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - 일정한 정사각형 방정식은 첫 번째 계수가 다른 1 .

포획되지 않은 사각형 방정식은 양쪽 부분에서 첫 번째 계수 (등가 변환)로 나누어지면 주어진 방정식으로 변환 할 수 있습니다. 변형 된 방정식은 지정된 지능형 방정식으로 동일한 뿌리를 가지지 않거나 뿌리를 전혀 갖지 않을 것입니다.

구체적인 예를 고려할 때, 우리는 주어진 사각형 방정식으로부터의 전환을 명확하게 보여줄 수있게 해줍니다.

예제 1.

방정식은 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0으로 설정됩니다. . 위의 양식의 초기 방정식을 변환해야합니다.

결정

위의 특정 방식은 고위 계수 6의 초기 방정식의 두 부분으로 분리됩니다. 그런 다음 우리는 다음과 같습니다. (6 · x 2 + 18 · x - 7) : 3 \u003d 0 : 3그리고 이것은 다음과 같습니다. (6 · x 2) : 3 + (18 · x) : 3 - 7 : 3 \u003d 0 그리고 추가 : (6 : 6) · x 2 + (18 : 6) · x - 7 : 6 \u003d 0. 여기에서: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. 따라서 방정식이 지정된 것으로 간주됩니다.

대답: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

가득 차 있고 불완전한 사각형 방정식

정사각형 방정식의 정의로 이동하십시오. 그것에 우리는 그것을 명확히했습니다 ¼ 0....에 이러한 조건은 방정식에 필요합니다 A · x 2 + b · x + c \u003d 0 그것은 정확히 정사각형이었습니다 a \u003d 0. 본질적으로 선형 방정식으로 변환됩니다 B / X + C \u003d 0..

계수가있는 경우 비. 과 씨.제로 (개별적으로 그리고 함께 가능하고 함께 가능), 정사각형 방정식을 불완전하게합니다.

정의 4.

불완전한 사각형 방정식 - 그런 정사각형 방정식 A · x 2 + b · x + c \u003d 0,계수 중 하나 이상 비.과 씨.(또는 둘 다)는 0입니다.

전체 정사각형 방정식 - 모든 숫자 계수가 0이 아닌 정사각형 방정식.

우리는 왜 정사각형 방정식의 유형이 이름을 정확히 주어주는 이유를 탐색합니다.

b \u003d 0 평방 방정식은 양식을 취합니다 A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0그게 똑같은 일이야 A · X 2 + C \u003d 0....에 에 대한 c \u003d 0. 사각형 방정식은대로 기록됩니다 A · x 2 + b · x + 0 \u003d 0그것은 동등한 것입니다 A · x 2 + b · x \u003d 0...에 에 대한 b \u003d 0. 과 c \u003d 0. 방정식이보기를 취합니다 · x 2 \u003d 0....에 우리가받은 방정식은 왼쪽 부품의 전체 정사각형 방정식과 다르며 X 변수 또는 자유 멤버 또는 둘 다에있는 구성 요소 또는 두 가지 모두에서 구성 요소가 포함되어 있지 않습니다. 사실,이 사실은 이러한 유형의 방정식의 이름을 불완전하게하는 것으로 묻습니다.

예를 들어, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 및 - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0은 완전한 정사각형 방정식입니다. x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - 불완전한 정사각형 방정식.

불완전한 사각형 방정식의 결정

위의 정의를 사용하면 다음 유형의 불완전한 사각형 방정식을 구별 할 수 있습니다.

• · x 2 \u003d 0.이 방정식은 계수에 해당합니다 b \u003d 0. 및 c \u003d 0;
• a · X 2 + C \u003d 0 b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0에서 c \u003d 0입니다.

각 유형의 불완전한 정사각형 방정식의 결정을 고려하십시오.

방정식 A · x 2 \u003d 0

위에서 언급했듯이 방정식은 계수에 해당합니다. 비. 과 씨.0과 같습니다. 방정식 · x 2 \u003d 0. 방정식을 이와 동등한 변환 할 수 있습니다. x 2 \u003d 0.우리가 얻는 소스 방정식의 두 부분을 모두 공유합니다. ㅏ.0이 아닙니다. 분명한 사실은 방정식의 근원입니다 x 2 \u003d 0. 이것은 0이기 때문에 이것은 0입니다 0 2 = 0 ...에 다른 뿌리,이 방정식은 수준의 속성에 의해 설명되어 있습니다. 피,충실한 불평등이 0이 아닙니다 P 2\u003e 0.언제까지는 다음과 같이됩니다 p ≠ 0. 평등 P 2 \u003d 0.결코 달성되지 않을 것입니다.

정의 5.

따라서 불완전한 정사각형 방정식 A · x 2 \u003d 0 유일한 루트가 있습니다. x \u003d 0..

예 2.

예를 들어, 우리는 불완전한 정사각형 방정식을 해결합니다 - 3 · x 2 \u003d 0....에 그것은 방정식과 같습니다 x 2 \u003d 0., 그의 유일한 뿌리는입니다 x \u003d 0.초기 방정식에는 유일한 루트 - 0이 있습니다.

간단히 결정은 다음과 같이 구성됩니다.

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

방정식 A · X 2 + C \u003d 0

대기열에서 - 불완전한 사각형 방정식의 솔루션, 여기서 b \u003d 0, c ≠ 0, 즉 양식의 방정식 A · X 2 + C \u003d 0....에 우리는이 방정식을 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 변형시켜 방정식의 방정식의 두 부분을 0과 같지 않고 숫자로 나누는 기호를 변화시킵니다.

• 이전 씨. 오른쪽 부분에 방정식을 제공합니다 A · x 2 \u003d - C.;
• 우리는 방정식의 두 부분을 나눕니다 ㅏ., 끝에 X \u003d - c a.

우리의 변화는 각각 동일합니다. 결과 방정식은 또한 소스와 동일합니다.이 사실은 방정식의 뿌리를 결론 지을 수 있습니다. 의미는 무엇입니까? ㅏ. 과 씨.표현식의 값은 -c a : 마이너스 기호가있을 수 있습니다 (if a \u003d 1. 과 C \u003d 2., 다음 - c a \u003d - 2 1 \u003d - - 2) 또는 더하기 기호 (예 : if A \u003d 2. 과 C \u003d 6., 다음, ca \u003d - 6 - 2 \u003d 3); 그것은 0이 아닙니다 c ≠ 0....에 우리가 상황에서 더 자세하게 살아가게하십시오 - c a< 0 и - c a > 0 .

이 경우 - C A.< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피. 평등 P 2 \u003d - C A는 사실 일 수 없습니다.

그렇지 않으면 - c a\u003e 0 : 제곱근을 회상하고, 방정식 x 2 \u003d ca는 -c a 2 \u003d -c a를 숫자 - C a가 될 것이라는 것이 명백 할 것입니다. 숫자가 수학 식 A의 루트이기도합니다. 숫자가 방정식 X 2 \u003d - C A : - C (ko-c a 2 \u003d c a)를 이해하는 것은 어렵지 않습니다.

다른 뿌리 방정식은 없을 것입니다. 우리는 불쾌한 방법을 사용하여 그것을 보여줄 수 있습니다. 시작하려면 뿌리 위에있는 지정을 다음과 같이 설정하십시오. x 1. 과 - x 1....에 방정식 x 2 \u003d - c a는 또한 뿌리를 제안 할 것입니다. x 2.그것은 뿌리와 다릅니다 x 1. 과 - x 1....에 우리는 방정식으로 대체하는 것을 알고 있습니다 엑스. 그것의 뿌리, 우리는 방정식을 공정한 수치 평등으로 변화시킵니다.

에 대한 x 1. 과 - x 1. 우리는 x 1 2 \u003d - c a, x 2. - x 2 2 \u003d - c a. 숫자가 평등의 특성에 의존하고, 다른 것과 하나의 권리 평등을 보충합니다. x 1 2 - x 2 2 \u003d 0....에 숫자로 작업의 속성을 사용하여 최신 평등을 다시 작성하십시오. (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0...에 두 숫자의 작업이 0이고 숫자 중 적어도 하나가 0 인 경우에만 알려져 있습니다. 그 말은 그것을 따른다 x 1 - x 2 \u003d 0. 및 / or. x 1 + x 2 \u003d 0.똑같은 일 x 2 \u003d x 1. 및 / or. x 2 \u003d - x 1....에 처음에는 방정식의 뿌리가 동의 되었기 때문에 명백한 모순이 있었기 때문입니다. x 2. ~와 다르다 x 1. 과 - x 1....에 그래서, 우리는 방정식이 X \u003d -C a 및 x \u003d - -ca를 제외한 다른 뿌리가 없다는 것을 증명했습니다.

우리는 위의 모든 추론을 요약합니다.

정의 6.

불완전한 사각형 방정식 A · X 2 + C \u003d 0. 방정식 x 2 \u003d - C a와 동일한 경우 :

• 뿌리가 없을 때 - C A.< 0 ;
• 두 개의 뿌리 x \u003d - c a 및 x \u003d - - c a with-c a\u003e 0이 있습니다.

우리는 해결 방정식의 예를 제공합니다 A · X 2 + C \u003d 0..

예 3.

사각형 방정식이 지정됩니다 9 · x 2 + 7 \u003d 0.그의 결정을 찾아야합니다.

결정

우리는 무료 회원을 방정식의 오른쪽 부분으로 옮긴 다음 방정식이 양식을 취할 것입니다. 9 · x 2 \u003d - 7.
얻은 방정식의 두 부분을 모두 나눕니다 9 , x 2 \u003d - 7 9로와. 오른쪽 부분에서는 빼기 기호가있는 숫자를 봅니다. 즉, 지정된 방정식에는 뿌리가 없습니다. 그런 다음 원래의 불완전한 정사각형 방정식 9 · x 2 + 7 \u003d 0. 뿌리가 없을 것입니다.

대답: 방정식 9 · x 2 + 7 \u003d 0.그것은 뿌리가 없습니다.

예 4.

방정식을 해결할 필요가 있습니다 - x 2 + 36 \u003d 0..

결정

우리는 36 개의 오른쪽으로 이동합니다. - x 2 \u003d - 36..
우리는 두 부분을 모두 나눌 수 있습니다 − 1 , 가져 오기 x 2 \u003d 36....에 오른쪽 부분 - 양수, 여기에서 우리는 결론을 내릴 수 있습니다. x \u003d 36 또는 x \u003d - 36.
루트를 제거하고 최종 결과를 적어 두십시오 : 불완전한 사각형 방정식 - x 2 + 36 \u003d 0. 그는 두 개의 뿌리가 있습니다 x \u003d 6. 또는 x \u003d - 6..

대답: x \u003d 6. 또는 x \u003d - 6..

방정식 A · X 2 + B · x \u003d 0

우리는 불완전한 정사각형 방정식의 세 번째 유형을 검토 할 것입니다. c \u003d 0....에 불완전한 사각형 방정식의 결정을 찾으려면 A · x 2 + b · x \u003d 0, 우리는 곱셈기에서 분해하는 방법을 사용합니다. 방정식의 왼쪽 부분에있는 다항식의 곱셈기에 퍼짐, 괄호에 대한 일반적인 배율을 만듭니다. 엑스....에 이 단계에서는 원래의 불완전한 정사각형 방정식을 동등한 것으로 변환 할 수있는 기회를 제공합니다. x · (a · x + b) \u003d 0...에 그리고이 방정식은 방정식의 전체와 동일합니다. x \u003d 0. 과 A · x + b \u003d 0....에 방정식 A · x + b \u003d 0. 선형 및 루트 : x \u003d - b a..

정의 7.

따라서 불완전한 정사각형 방정식 A · x 2 + b · x \u003d 0 두 개의 뿌리가 있습니다 x \u003d 0. 과 x \u003d - b a..

예를 들어 물질을 고정하십시오.

예 5.

방정식 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0의 솔루션을 찾아야합니다.

결정

리드하자 엑스. 괄호의 경우 방정식 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. 이 방정식은 방정식과 동일합니다 x \u003d 0. 및 2 3 · x-2 2 7 \u003d 0. 이제 결과적인 선형 방정식을 해결할 필요가 있습니다. 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

방정식을 간단히 해결 하여이 방법을 씁니다.

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 또는 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 또는 x \u003d 3 3 7.

대답: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

판별, 사각형 방정식의 뿌리 공식

사각형 방정식의 해결책을 찾으려면 뿌리를위한 공식이 있습니다.

정의 8.

x \u003d - b ± d 2 · D \u003d B 2 - 4 · A / C - 정사각형 방정식의 소위 판별 자.

녹음 x \u003d b ± d 2 · 본질적으로 x는 x 1 \u003d - b + d 2 · a, x 2 \u003d - b-d 2 · a.

지정된 수식이 어떻게 파생되었는지와 적용하는 방법을 이해하는 것이 유용합니다.

정사각형 방정식의 뿌리의 출력

정사각형 방정식을 해결하기 위해 우리가 도전합시다 A · x 2 + b · x + c \u003d 0...에 여러 변환을 수행하십시오.

• 방정식의 방정식의 두 부분을 숫자로 나눕니다. ㅏ.0 이외의 경우, 우리는 감소 된 정사각형 방정식을 얻습니다 : x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• 우리는받은 방정식의 왼쪽에있는 전체 사각형을 강조 표시합니다.
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · · x + b 2 · a 2 - B 2 · 2 + ca \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca ...에
  그 후, 방정식은 X + B 2 · A 2-B 2 · A 2 + C a \u003d 0;
• 이제 마지막 두 용어를 오른쪽으로 전송하여 사인을 반대쪽으로 변경하는 것이 가능합니다. X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2-C a;
• 마지막으로, 우리는 마지막 평등의 오른쪽에 기록 된 표현식을 변화시킵니다.
  B 2 · A 2-C A \u003d B 2 4 · A 2-C A \u003d B 2 4 · A 2 ~ 4 · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A / C 4 · A 2.

따라서 우리는 방정식 x + b 2 · 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, 등가물 방정식 A · x 2 + b · x + c \u003d 0.

우리는 이전 단락에서 그러한 방정식의 해결책을 이해했습니다 (불완전한 정사각형 방정식의 결정). 얻은 경험을 통해 방정식 X + B 2 · 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · 2 : 2의 뿌리와 관련하여 결론을 내릴 수 있습니다.

• b 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2-4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0의 경우 방정식은 X + B 2 · 2 \u003d 0, X + B 2 · a \u003d 0입니다.

따라서 유일한 뿌리 x \u003d b 2 · a는 분명합니다.

• b 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0의 경우, 올바른 것입니다 : x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 또는 x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · A · C 4 · A 2, X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 또는 X \u003d B2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, I.E. 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

방정식 X + B 2 · 2 \u003d B 2-4 · A · C4 · A 2 (그리고 따라서 초기 방정식)의 뿌리의 존재 또는 부재가 표현 B의 부호에 의존한다고 결론 내릴 수있다. 2 - 4 · a · c 4 · a 2, 오른쪽에 기록됩니다. 이 표현식의 부호는 분자의 수로 설정됩니다 (분모 4 · 2. 항상 긍정적 일 것임), 즉 표현의 표시 B 2 - 4 · A / C....에 이 표현식 B 2 - 4 · A / C. 이 이름은 정사각형 대피의 판별이며 편지 D의 지정으로 정의됩니다. 여기에 귀하는 귀하의 가치에 따라 차별의 본질을 기록 할 수 있으며 사각형 방정식이 유효한 뿌리를 가질 것이고, 그것이있는 경우 뿌리 수는 무엇인지, 1 ~ 2인지 뿌리 수는 무엇인지 확인합니다.

방정식 x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2로 돌아 가기. 나는 차별적 인 지정을 사용하여 그것을 다시 작성합니다. x + b 2 · a 2 \u003d d 4 · a 2.

우리는 결론을 다시 공식화 할 것입니다 :

정의 9.

• ...에 대한 디.< 0 방정식에는 유효한 뿌리가 없습니다.
• ...에 대한 d \u003d 0. 방정식은 유일한 루트 X \u003d B2 · a;
• ...에 대한 D\u003e 0. 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다. x \u003d - b 2 · a + d 4 · a 2 또는 x \u003d b 2 · a - d 4 · a 2. 라디칼의 특성을 기반으로 한 이러한 뿌리는 X \u003d B2 · A + D 2 · A 또는 -B 2 · A - D 2 · a. 그리고 우리가 모듈을 드러내고 분수를 공통 분모, 우리는 다음을 얻습니다 : x \u003d b + d 2 · a, x \u003d - b - d 2 · a.

따라서 우리의 추론의 결과는 사각형 방정식의 뿌리의 공식을 제거하는 것이 었습니다.

x \u003d - b + d 2 · a, x \u003d - b - d 2 · a, 차별 디. 공식으로 계산됩니다 D \u003d B 2 - 4 · A / C.

이러한 수식은 식별이 유효한 뿌리를 모두 결정하는 것이 더 클 경우 가능합니다. 판별자가 0 일 때, 양식 모두의 사용은 사각형 방정식의 유일한 해결책과 동일한 루트를 제공합니다. 판별이 부정적인 경우 사각형 방정식의 뿌리 공식을 사용하려고 시도하면 음수의 제곱근을 제거 할 필요가 있으므로 실제 숫자를 넘어서게됩니다. 부정적인 차별로, 정사각형 방정식은 유효한 뿌리가 아니지만, 우리가 얻은 동일한 뿌리 수식에 의해 결정된 쌍의 포괄적 인 접합체 뿌리가 가능하다.

뿌리 수식에서 사각형 방정식을 해결하기위한 알고리즘

뿌리의 공식을 즉시 순환시키는 정사각형 방정식을 해결할 수 있지만, 기본적으로 필요한 경우 복잡한 뿌리를 찾을 수 있습니다.

사례의 주요 질량에서는 일반적으로 비 복잡한 검색을 위해 묵시적이지만 정사각형 방정식의 유효한 뿌리가 있습니다. 그런 다음 정사각형 방정식의 뿌리의 수식을 사용하기 전에 최적으로 차별을 결정하고 부정적이지 않은지 확인하십시오 (그렇지 않으면 방정식에 유효한 뿌리가없는 것으로 결론 지어)을 진행하여 뿌리 값을 계산하십시오.

위의 논쟁은 사각형 방정식을 해결하기위한 알고리즘을 공식화하는 능력을 제공합니다.

정의 10.

정사각형 방정식을 해결합니다 A · x 2 + b · x + c \u003d 0, 필요합니다 :

• 공식에 따르면 D \u003d B 2 - 4 · A / C 차별의 가치를 찾는다.
• d.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0에서는 수식 x \u003d-b2 · a에 따라 방정식의 유일한 근원을 찾는다.
• d\u003e 0의 경우 공식 x \u003d b ± d 2 · a에 따라 정사각형 방정식의 두 개의 유효한 뿌리를 결정하십시오.

판별자가 0 일 때, 수식 x \u003d b ± d 2 · a를 사용할 수 있으므로 수식 x \u003d b2 · a.

사례를 고려하십시오.

사각형 방정식의 솔루션의 예

우리는 차별의 다른 가치에서 예제의 해결책을 제시합니다.

예 6.

방정식의 뿌리를 찾아야합니다. x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

결정

우리는 정사각형 방정식의 숫자 계수를 씁니다 : a \u003d 1, b \u003d 2 및 C \u003d - 6....에 다음으로, 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 우리는 차별을 계산할 것입니다. 우리는 계수를 대체 할 것입니다. 과 씨. 차별의 공식에서 : D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 24 \u003d 24.

그래서 우리는 D\u003e 0을 획득했으며, 이것은 초기 방정식이 두 개의 유효한 뿌리를 가질 것임을 의미합니다.
그들을 찾으려면 루트 수식 x \u003d b ± d 2 · a를 사용하고 해당 값을 대체하고, 우리는 획득합니다 : x \u003d 2 ± 28 2 · 1. 우리는 결과적인 표현을 단순화하여 루트 기호에 대한 배율을 만들고 분수를 절단합니다.

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2.

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 또는 x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 또는 x \u003d - 1 - 7

대답: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

예 7.

정사각형 방정식을 해결할 필요가 있습니다 - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

결정

차별을 결정하십시오 : D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0...에 이러한 판별 값을 사용하면 초기 방정식은 수식 x \u003d b 2 · a에 의해 정의 된 루트 만 하나만 갖습니다.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

대답: x \u003d 3, 5..

예 8.

방정식을 해결할 필요가 있습니다 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

결정

이 방정식의 숫자 계수는 a \u003d 5, b \u003d 6 및 c \u003d 2입니다. 우리는이 값을 사용하여 차별을 찾습니다. D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. 계산 된 판별은 음수이므로 초기 사각형 방정식에는 유효한 뿌리가 없습니다.

작업이 복잡한 루트를 지정하는 경우 복잡한 숫자로 작업을 수행하는 루트 수식을 적용하십시오.

x \u003d - 6 ± 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 또는 x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i 또는 x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

대답: 유효한 뿌리가 없습니다. 복잡한 뿌리는 다음과 같습니다 : - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

에 학교 프로그램 표준하게 복잡한 뿌리를 검색 할 필요가 없으므로 해결책 중에 차별이 부정적으로 정의되면 유효한 뿌리가없는 경우 즉시 답변이 기록됩니다.

2 차 계수를위한 수식 뿌리

뿌리 x \u003d b ± d 2 · a (d \u003d b 2 - 4 · a · c)의 공식은 또 다른 공식을 얻을 수 있고, 더욱 콤팩트하여 x에서 평방 방정식의 솔루션을 찾을 수 있습니다. (또는 타입 2 계수 · n, 예를 들면, 2 · 3 또는 14 · ln5 \u003d 2 · 7 · ln). 이 수식이 어떻게 표시되는지 보여줍니다.

정사각형 방정식 A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0의 솔루션을 찾는 작업이되도록합시다. 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · n2-4 · a · c \u003d 4 · 루트 공식 :

x \u003d - 2 · n ± d 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

표현식 N 2-A · C를 D1 (때로는 D ")로 표시하도록하십시오. 그런 다음 두 번째 계수 2 · n을 사용하여 정사각형 방정식의 뿌리의 공식은 다음을 취합니다.

x \u003d - n ± d 1 a, 여기서 d1 \u003d n 2 - a co.

d \u003d 4 · d 1, 또는 d 1 \u003d d 4를 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 차별의 1/4입니다. 부호 D1은 부호 D와 동일하다. 이는 부호 D1은 또한 사각 방정식의 뿌리의 존재 또는 부재의 지표로서 작용할 수 있음을 의미한다.

정의 11.

따라서 두 번째 계수 2 · n과 정사각형 방정식의 용액을 찾으려면 다음이 필요합니다.

• 찾기 D 1 \u003d N 2 - A · C;
• d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0의 경우, 식 X \u003d -n a에 따라 방정식의 유일한 근본을 결정한다.
• d 1\u003e 0의 경우, 화학식 X \u003d -N ± D 1 a에 따라 두 개의 유효한 뿌리를 결정하십시오.

예 9.

정사각형 방정식 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0을 해결할 필요가 있습니다.

결정

지정된 방정식의 두 번째 계수는 2 · (- 3)로 표시 될 수 있습니다. 그런 다음 지정된 정사각형 방정식을 5 × x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0으로 다시 작성하십시오. 여기서 a \u003d 5, n \u003d - 3 및 c \u003d - 32.

우리는 차별의 네 번째 부분을 계산합니다. D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. 긍정적으로 얻은 값은 방정식이 두 가지 유효한 뿌리를 갖는다는 것을 의미합니다. 우리는 해당 루트 공식에 따라 정의합니다.

x \u003d - n ± d 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 또는 x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 또는 x \u003d 2

평방 방정식의 뿌리의 계산 및 일반적인 공식에 의해 계산을 할 수 있지만이 경우 해결책은 더 번거롭게 될 것입니다.

대답: x \u003d 3 1 5 또는 x \u003d - 2.

사각형 방정식 종의 단순화

때로는 소스 방정식의 유형을 최적화 할 수있어 뿌리를 계산하는 프로세스를 단순화 할 수 있습니다.

예를 들어, 정사각형 방정식 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0은 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0보다 해결할 때 더 편리합니다.

더 자주 정사각형 방정식의 종의 단순화는 두 부분의 곱셈 또는 분할에 의해 일종의 숫자로 수행됩니다. 예를 들어, 우리는 방정식 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0의 간소화 된 레코드를 보여 주며, 두 부분을 100으로 나눔으로써 얻어졌습니다.

이러한 전환은 정사각형 방정식의 계수가 상호 간단한 숫자가 아니면 가능합니다. 그런 다음 방정식 두 부분을 계수의 절대 값의 가장 큰 일반적인 제수로 나누는 것입니다.

예를 들어, 정사각형 방정식 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0을 사용하십시오. 우리는 노드 (12, 42, 48) \u003d 노드 (노드 (12, 42), 48) \u003d 노드 (6, 48) \u003d 6의 절대 값의 절대 값의 노드를 정의합니다. 우리는 원래 사각형 방정식의 두 부분을 6으로 나누어줍니다. 우리는 동등한 정사각형 방정식 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0을 얻을 것입니다.

정사각형 방정식의 두 부분의 곱셈은 대개 분수 계수를 제거합니다. 동시에 계수의 가장 작은 일반적인 다중 분모를 곱한다. 예를 들어, 정사각형 방정식의 각 부분이 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0은 NOC (6, 3, 1) \u003d 6에서 곱하고, 단순한 형태의 x 2에 기록됩니다 + 4 · x - 18 \u003d 0.

마지막으로, 우리는 거의 항상 정사각형 방정식의 첫 번째 계수에서 빼기를 제거하고 방정식의 각 구성원의 징후를 변경하여 1 부분 모두의 곱하기 (또는 부서)로 달성됩니다. 예를 들어, 정사각형 방정식에서 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0에서 단순화 된 버전 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0으로 이동할 수 있습니다.

뿌리와 계수 간의 통신

정사각형 방정식 X \u003d B ± D 2 · 이미 알려진 뿌리의 공식은 이미 알려진 수치 계수를 통해 방정식의 뿌리를 표현합니다. 이 공식에 의존하여 뿌리와 계수간에 다른 종속성을 설정할 수있는 기회가 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 것은 Vieta 정리의 수식입니다.

x 1 + x 2 \u003d - b a 및 x 2 \u003d c a.

특히, 정사각형 방정식을 감소시키기 위해, 뿌리의 양은 반대쪽 부호의 제 2 계수이고, 뿌리의 생성물은 무료이다. 예를 들어, 정사각형 방정식 3 · x 2-7 · x + 22 \u003d 0의 종에 따르면, 뿌리의 합이 7 3이고, 뿌리의 생성물은 223 인 것을 즉시 결정할 수있다.

뿌리와 정사각형 방정식의 계수 간의 여러 가지 다른 링크를 찾을 수도 있습니다. 예를 들어, 정사각형 방정식의 뿌리의 뿌리의 제곱의 합은 계수를 통해 표현 될 수 있습니다.

x 1 2 + x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a / ca 2.

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첫 번째 레벨

2 차 방정식. 철저한 가이드 (2019)

"정사각형 방정식"의 관점에서 키는 "사각형"이라는 단어입니다. 즉, 변수는 정사각형의 방정식 (동일한 IX)에 있어야하며 세 번째 (및 그 이상) 정도의 IC가 없어야합니다.

많은 방정식의 해결책이 정확하게 정사각형 방정식을 해결하기 위해 줄어 듭니다.

우리가 사각형 방정식을 가지고 있고 다른 어떤 것도 아닌지 확인하는 방법을 배우자.

예제 1.

분모와 지성의 방정식의 각 구성원은 분모를 제거합니다.

우리는 모든 것을 왼쪽으로 옮기고 ICA의 정도의 내림차순으로 회원을 옮깁니다.

이제이 방정식이 정사각형이라는 자신감을 가지고 말할 수 있습니다!

예 2.

국내 좌우측 :

이 방정식은 원래 그것 안에 있지만 정사각형이 아닙니다!

예 3.

돔을 모두 켜짐 :

무서운? 네 번째와 두 번째도 ... 그러나 우리가 대체하면 우리는 간단한 사각형 방정식을 가지고 있음을 알게 될 것입니다.

예 4.

그것은 존재하는 것처럼 보입니다. 그러나주의 깊게 보자. 우리는 모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.

참조, 감소 - 그리고 지금은 간단한 선형 방정식입니다!

이제 다음 방정식 중 어느 것이 사각형인지 확인하려고 노력하십시오.

예 :

대답:

1. 광장;
2. 광장;
3. 정사각형이 아니다;
4. 정사각형이 아니다;
5. 정사각형이 아니다;
6. 광장;
7. 정사각형이 아니다;
8. 광장.

수학은 일반적으로 모든 사각형 방정식을 유형에 나눕니다.

• 전체 사각형 방정식 - 계수 및 자유 멤버뿐만 아니라 자유 멤버가 0과 같지 않은 방정식입니다. 또한 전체 사각형 방정식 중에는 할당됩니다 제시 - 이들은 계수가있는 방정식 (예의 예에서는 방정식이 완료 될뿐만 아니라 주어졌습니다).

• 불완전한 사각형 방정식 - 계수와 자유 멤버가 0 인 방정식 :

  불완전하게, 어떤 종류의 항목이 없기 때문에. 그러나 방정식은 항상 광장에있을 것입니다 !!! 그렇지 않으면 정사각형이 아니라 다른 방정식이 아닙니다.

왜 그런 부서를 왔는가? 사각형에 x가있는 것처럼 보일 것입니다. 이러한 부서는 해결책의 방법 때문입니다. 각각을 더 자세하게 생각해보십시오.

불완전한 사각형 방정식의 결정

시작하기 위해, 우리는 불완전한 사각형 방정식을 해결하는 데 멈출 것입니다 - 그들은 훨씬 간단합니다!

불완전한 사각형 방정식은 유형입니다.

1. 이 방정식에서는 계수가 동일합니다.
2. 이 방정식에서는 자유 부재가 동일합니다.
3. 이 방정식에서는 계수 및 자유 부재가 동일하다.

1. 그리고. 우리가 제곱근을 추출하는 방법을 알고 있듯이이 방정식에서 표현하자.

발현은 음성이고 긍정적 일 수 있습니다. 2 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면서 사각형으로 세워진 수는 부정적 일 수 없기 때문에 결과는 항상 양수이므로 방정식에 해결책이없는 경우.

그리고 당신이 두 개의 뿌리를 얻는다면. 이 수식은 암기 할 필요가 없습니다. 당신이 알고 있어야하고 항상 기억해야 할 것입니다.

몇 가지 예를 해결하려고 노력해 봅시다.

예 5 :

방정식을 결정하십시오

이제 왼쪽과 오른쪽에서 제거해야합니다. 결국, 뿌리를 추출하는 방법을 기억합니까?

대답:

부정적인 기호로 뿌리를 잊지 마십시오 !!!

예 6 :

방정식을 결정하십시오

대답:

예 7 :

방정식을 결정하십시오

오! 숫자의 정사각형은 음수 일 수 없으며 이는 방정식을 의미합니다.

뿌리가 없어!

뿌리가없는 방정식의 경우 수학은 특별한 아이콘으로 일어났습니다 - (빈 세트). 그리고 대답은 다음과 같이 작성 될 수 있습니다.

대답:

따라서이 사각형 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 루트를 제거하지 않기 때문에 여기에 제한이 없습니다.
예 8 :

방정식을 결정하십시오

나는 괄호를 요약 할 것이다 :

이런 식으로,

이 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

대답:

가장 쉬운 유형의 불완전한 정사각형 방정식 (모두 간단하지만, 오른쪽?). 분명히이 방정식은 항상 하나의 루트 만 있습니다.

여기서 우리는 예제없이 할 것입니다.

전체 정사각형 방정식 해결

우리는 전체 정사각형 방정식이 방정식의 방정식이라는 것을 상기시켜줍니다.

완전한 사각형 방정식의 해결책은 위의 것보다 조금 더 복잡합니다 (매우 약간).

생각해 내다, 어떤 사각형 방정식은 차별의 도움으로 해결할 수 있습니다! 심지어 불완전하다.

나머지 방식은 더 빨리 만들 수 있지만 사각형 방정식에 문제가있는 경우 해결책이 차별의 도움으로 호출됩니다.

1. 판별의 도움으로 정사각형 방정식의 솔루션.

이 방식으로 사각형 방정식의 솔루션은 매우 간단합니다. 주된 것은 일련의 행동과 수식을 기억하는 것입니다.

방정식이 단계를 지불하는 데 특히주의를 기울이면됩니다. 차별적 인 ()은 방정식의 뿌리 수를 나타냅니다.

• 그런 다음 공식이 축소됩니다. 따라서 방정식은 전체 루트를 가질 것입니다.
• 우리는 단계적으로 차별적 인 뿌리를 추출 할 수 없을 것입니다. 이것은 방정식에 뿌리가 없음을 나타냅니다.

방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.

예제 9 :

방정식을 결정하십시오

1 단계 우리는 건너 뜁니다.

2 단계.

우리는 판별을 찾는다 :

그래서 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

3 단계.

대답:

예 10 :

방정식을 결정하십시오

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계 우리는 건너 뜁니다.

2 단계.

우리는 판별을 찾는다 :

그래서 방정식에는 루트가 하나 있습니다.

대답:

예 11 :

방정식을 결정하십시오

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계 우리는 건너 뜁니다.

2 단계.

우리는 판별을 찾는다 :

차별에서 뿌리를 추출 할 수 없습니다. 방정식의 뿌리가 존재하지 않습니다.

이제 우리는 그러한 답을 올바르게 쓰는 방법을 알고 있습니다.

대답:뿌리가 없어

2. Vieta 정리를 이용한 사각형 방정식의 솔루션.

기억한다면, 즉, 제시된 방정식 (계수 A가 동일한 경우)이라고 불리는 유형의 방정식입니다.

이러한 방정식은 Vieta 정리를 사용하여 매우 쉽게 해결할 수 있습니다.

뿌리의 합계 지정된 정사각형 방정식은 동일하며 뿌리의 생성물은 동일합니다.

예제 12 :

방정식을 결정하십시오

이 방정식은 Vieta 정리를 사용하여 해결하기에 적합합니다. 왜냐하면 ...에

방정식의 뿌리의 양은 I.E. 우리는 첫 방정식을 얻습니다.

그리고이 작업은 다음과 같습니다.

우리는 또한 시스템을 결정할 것입니다 :

• 과. 금액은 동일합니다.
• 과. 금액은 동일합니다.
• 과. 금액은 동일합니다.

시스템의 솔루션입니다.

대답: ; .

예 13 :

방정식을 결정하십시오

대답:

예 14 :

방정식을 결정하십시오

방정식이 주어 지므로 다음과 같습니다.

대답:

2 차 방정식. 평균 수준

사각형 방정식이란 무엇입니까?

즉, 정사각형 방정식은 알려지지 않은 수의 방정식이고,

숫자는 장로 또는 첫 번째 계수 정사각형 방정식 - 두 번째 계수,하지만 - 무료 회원.

왜? 방정식이 즉시 선형이되기 때문에 사라지다.

동시에, 0 일 수 있습니다. 이 의자에서 방정식을 불완전하게합니다. 모든 구성 요소가 제자리에 있으면 방정식이 완료됩니다.

다양한 유형의 사각형 방정식의 솔루션

불완전한 사각형 방정식을 해결하는 방법 :

시작하기 위해, 우리는 불완전한 정사각형 방정식의 해결 방법을 분석 할 것입니다 - 더 쉽습니다.

이러한 방정식 유형을 선택할 수 있습니다.

I.,이 방정식에서는 계수 및 자유 부재가 동일하다.

ii. 이 방정식에서는 계수가 동일합니다.

iii. 이 방정식에서는 자유 부재가 동일합니다.

이제 각각의 하위 유형의 해결책을 고려하십시오.

분명히이 방정식은 항상 하나의 루트 만 있습니다.

2 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과가 항상 양수가되므로 사각형으로 세워진 수는 음수 일 수 없습니다. 따라서:

방정식에 해결책이없는 경우;

우리가 두 개의 뿌리를 배웠다면

이 수식은 암기 할 필요가 없습니다. 그것이 덜 될 수 없다는 것을 기억하는 것이 중요합니다.

예 :

솔루션 :

대답:

부정적인 표지판으로 뿌리를 잊지 마십시오!

숫자의 정사각형은 음수 일 수 없으며 이는 방정식을 의미합니다.

뿌리가 없어.

작업에 솔루션이 없음을 간단히 녹음하려면 빈 세트 아이콘을 사용하십시오.

대답:

따라서이 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

대답:

나는 괄호를위한 공장을 요약 할 것입니다 :

적어도 하나가 0 인 경우 제품은 0입니다. 즉, 방정식에는 다음과 같은 경우 해결책이 있습니다.

그래서,이 정사각형 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

예:

방정식을 결정하십시오.

결정:

공장 방정식의 왼쪽 부분을 확산시키고 뿌리를 찾으십시오.

대답:

전체 정사각형 방정식을 해결하는 방법 :

1. 판별

이 방식으로 사각형 방정식을 쉽게 해결하기 쉽고, 주요한 것은 일련의 행동과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 어떤 사각형 방정식은 차별의 도움으로 해결 될 수 있습니다! 심지어 불완전하다.

뿌리 수식의 차별에서 뿌리를 발견 했습니까? 그러나 판별은 부정적 일 수 있습니다. 무엇을해야합니까? 우리는 2 단계에 특별한주의를 기울여야합니다. 판별자는 방정식의 뿌리 수를 알려줍니다.

• 방정식에 루트가있는 경우 :
• 방정식이 동일한 루트와 실제로 하나의 루트 :

  이러한 뿌리를 더블이라고합니다.

• 판별의 뿌리가 제거되지 않습니다. 이것은 방정식에 뿌리가 없음을 나타냅니다.

왜 다른 뿌리 수가 가능합니까? K. 기하학적 의미 정사각형 방정식. 함수 그래프는 parabola입니다.

특정 경우에는 정사각형 방정식입니다. 그리고 이것은 사각 방정식의 뿌리가 횡축 (축)의 축과 교차점의 점입니다. 파라 보라는 축을 전혀 건너거나 (파라 보 폴의 상단이 축에 놓이는 경우) 또는 두 점에서 교차 할 수 있습니다.

또한, 계수는 포물선의 가지의 방향을 담당합니다. 포물선 분기가 위쪽으로 향하고 내려 가면됩니다.

예 :

솔루션 :

대답:

대답:.

대답:

따라서 해결책은 없습니다.

대답:.

2. Vieta 정리

Vieta의 정리는 매우 사용하기가 매우 쉽습니다 : 당신은 그런 두 가지 숫자를 집어 들고 방정식의 자유 멤버와 동일한 제품과 같아야하며, 그 양은 반대쪽 부호로 두 번째 계수입니다.

Vieta의 정리는에만 사용할 수 있음을 기억하는 것이 중요합니다. 정사각형 방정식 감소 ().

몇 가지 예를 고려하십시오.

예 1 :

방정식을 결정하십시오.

결정:

이 방정식은 Vieta 정리를 사용하여 해결하기에 적합합니다. 왜냐하면 ...에 나머지 계수 :; ...에

방정식의 뿌리의 양은 다음과 같습니다.

그리고이 작업은 다음과 같습니다.

우리는 그러한 숫자 쌍을 선택하고, 그 제품이 동일한 제품을 선택하고 합계가 동일한 지 여부를 확인합니다.

• 과. 금액은 동일합니다.
• 과. 금액은 동일합니다.
• 과. 금액은 동일합니다.

시스템의 솔루션입니다.

따라서, 우리 방정식의 뿌리.

대답:; ...에

예 2 :

결정:

우리는 작업에 주어진 쌍 쌍을 선택한 다음 합계가 동일한 지 확인합니다.

그리고 그들이주는 금액.

그리고 그들이주는 금액. 주장 된 뿌리의 징후를 바꾸기 만하면됩니다.

대답:

예 3 :

결정:

방정식의 자유 멤버는 음수이며, 이는 뿌리의 생성물을 의미합니다. 이것은 뿌리 중 하나가 음수이고 다른 하나는 긍정적 인 경우에만 가능합니다. 따라서 뿌리의 양은 동일합니다 그들의 모듈의 차이점.

우리는 이러한 쌍을 작품에 주어지는 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.

그리고 : 그들의 차이는 동일합니다 - 적합하지 않습니다.

그리고 : - 적합하지 않습니다.

그리고 : - 적합하지 않습니다.

그리고 : - 적합합니다. 그것은 뿌리 중 하나가 부정적이라는 것을 기억해야합니다. 그들의 양은 동일해야하므로 부정적인 루트 모듈이어야합니다. 검사:

대답:

예 4 :

방정식을 결정하십시오.

결정:

방정식이 주어 지므로 다음과 같습니다.

자유 부재는 음수이므로 뿌리의 생성물이 음수입니다. 이는 방정식의 한 뿌리가 부정적이고 다른 하나는 긍정적 인 경우에만 가능합니다.

우리는 그러한 숫자 쌍을 선택할 것입니다.이 제품은 동일한 제품을 선택하고 뿌리가 부정적인 신호를 가져야하는지 정의합니다.

분명히 뿌리 만 첫 번째 상태에 적합하고 :

대답:

예 5 :

방정식을 결정하십시오.

결정:

방정식이 주어 지므로 다음과 같습니다.

뿌리의 양은 음수이며, 이는 적어도 하나의 뿌리 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 일은 긍정적이기 때문에 핵심이 끼어있는 뿌리를 의미합니다.

우리는 그러한 숫자 쌍을 선택할 것입니다.이 제품은 다음과 같습니다.

분명히 뿌리는 숫자이고.

대답:

이 불쾌한 차별을 고려하는 대신에 뿌리를 발명하는 것은 매우 편리합니다. 가능한 한 Vieta의 정리를 사용해보십시오.

그러나 뿌리의 발견을 촉진하고 속도를 높이기 위해 Vieta 정리가 필요합니다. 이를 사용하는 데 도움이되도록, 당신은 자동화에 대한 조치를 취해야합니다. 그리고 이것을 위해, 예제의 발 뒤꿈치를 더 비행합니다. 그러나 스케일링이 아닙니다 : 차별을 사용할 수 없습니다! 오직 Vieta 정리 :

독립적 인 작업을위한 작업 솔루션 :

작업 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vieta 정리에 :

평소와 같이 우리는 작업 선택을 시작합니다.

금액이므로 적합하지 않습니다.

: 금액 - 필요한 것.

대답:; ...에

작업 2.

그리고 다시, 우리가 가장 좋아하는 Vieta 정리 : 금액이 밝혀야하며, 작업은 동등합니다.

그러나 그것이 없어서는 안되기 때문에, 뿌리의 징후를 변경하십시오. 그리고 (금액).

대답:; ...에

작업 3.

흠 ... 그리고 무엇이 뭐야?

한 부분으로 모든 용어를 전송해야합니다.

뿌리의 양은 동일합니다.

그래서, 그만해! 방정식은 주어지지 않습니다. 그러나 Vieta 정리는 위의 방정식에서만 적용됩니다. 그래서 먼저 방정식을 가져와야합니다. 당신이 일하지 않고이 아이디어를 던지고 다른 방식으로 결정하십시오 (예 : 차별을 통해). 정사각형 방정식을 가져 오는 것을 상기시켜 주겠다.

우수한. 그런 다음 뿌리의 양은 동일하고 작업이 동일합니다.

여기서 간단하게 픽업하기가 더 쉽습니다. 결국 간단한 숫자 (죄송합니다).

대답:; ...에

작업 4.

자유 회원은 부정적입니다. 이것에 특별한 것은 무엇입니까? 그리고 뿌리가 다른 징후가 될 것입니다. 그리고 이제 선택하는 동안 우리는 뿌리의 양을 확인하지 않지만 모듈의 차이점 :이 차이는 동일하고 작업이 동일합니다.

그래서 뿌리는 같지만 빼기로 그 중 하나입니다. Vieta 정리는 뿌리의 양이 반대쪽 부호로 두 번째 계수와 동일하다는 것을 알려줍니다. 그래서 마이너스는 더 작은 뿌리에있을 것입니다.

대답:; ...에

작업 5.

먼저 무엇을해야합니까? 오른쪽으로, 방정식을 가져 오십시오.

다시 : 우리는 숫자의 승수를 선택하며, 그 차이는 동일해야합니다.

뿌리는 동등하고 있지만, 그 중 하나는 마이너스입니다. 뭐? 그들의 금액은 동일해야하며, 마이너스가 더 큰 루트가 될 것이라는 것을 의미합니다.

대답:; ...에

나는 요약 할 것이다 :

1. Vieta 정리는 주어진 사각형 방정식에서만 사용됩니다.
2. Vieta 정리를 사용하면 뿌리가 선택적으로 찾을 수 있습니다.
3. 방정식이 주어지지 않거나 자유 부재의 승수 쌍이 없으면 전체 뿌리가 없으며 다른 방법을 해결할 필요가 있습니다 (예를 들어, 차별을 통해).

3. 전체 광장 할당 방법

알 수없는 모든 용어가 합계 또는 차이의 합계의 구성 요소의 형태로 존재하는 경우, 변수를 교체 한 후, 불완전한 정사각형 방정식의 형태의 방정식을 표현할 수 있습니다 ...에

예 :

예제 1 :

방정식을 결정하십시오 :.

결정:

대답:

예제 2 :

방정식을 결정하십시오 :.

결정:

대답:

일반적으로 변형은 다음과 같습니다.

이는 다음과 같이 의미합니다.

아무 것도 생각하지 않습니까? 이것은 차별적입니다! 그게 그 뿐이야, 차별적 인 공식.

2 차 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게

이차 방정식- 이것은 종의 방정식이며, 알 수없는 정사각형 방정식의 계수는 자유 회원입니다.

전체 정사각형 방정식 - 계수가 0과 같지 않은 방정식.

감소 된 정사각형 방정식 - 계수가있는 방정식 :

불완전한 사각형 방정식 - 계수와 자유 멤버가 0 인 방정식

• 계수가있는 경우 방정식은 다음과 같습니다.
• 자유 회원 인 경우 방정식은 다음과 같습니다.
• 방정식의 형식이있는 경우 :.

1. 불완전한 사각형 방정식을 해결하는 알고리즘

1.1. 종의 불완전한 정사각형 방정식,

1) 알 수없는 것을 표현하십시오 :

2) 표현의 표시 확인 :

• 방정식에 해결책이없는 경우,
• 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

1.2. 종의 불완전한 정사각형 방정식,

1) 나는 괄호에 대한 공장을 요약 할 것입니다 :

2) 곱셈기 중 적어도 하나가 0 인 경우 제품이 0입니다. 따라서 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

1.3. 종의 불완전한 정사각형 방정식, 여기서,

이 방정식은 항상 하나의 루트 만 있습니다.

2. 종의 전체 정사각형 방정식을 해결하기위한 알고리즘

2.1. 차별의 도움으로 솔루션

1) 우리는 표준 형식에 방정식을 제공합니다.

2) 공식에 따라 차별을 계산하십시오 : 방정식의 뿌리 수를 나타내는 다음과 같은 경우 :

3) 방정식의 뿌리를 찾으십시오 :

• 식이 수식에있는 루트가있는 경우 :
• 방정식에는 수식에 의한 루트가 있습니다.
• 방정식에 뿌리가 없으면.

2.2. Vieta 정리를 이용한 솔루션

감소 된 정사각형 방정식의 뿌리 (형태의 방정식)의 뿌리의 합이 동일하며 뿌리의 생성물은 동일합니다. ,하지만.

2.3. 전체 정사각형 할당 방법을 해결합니다