F x 3x 2 역도함수. 기능의 역도함수 및 일반 보기

주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "미분 함수. 함수 그래프"

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"10학년과 11학년을 위한 공간에서의 대화형 건축 과제"

역도함수. 소개

여러분, 다양한 공식과 규칙을 사용하여 함수의 도함수를 찾을 수 있습니다. 오늘은 도함수 계산의 역함수에 대해 알아보겠습니다. 파생 개념은 종종 다음에서 사용됩니다. 현실... 도함수는 특정 지점에서 함수의 변화율이라는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 모션 및 속도와 관련된 프로세스는 이러한 용어로 잘 설명되어 있습니다.

다음 문제를 생각해 봅시다. "직선을 따라 움직이는 물체의 속도는 공식 $ V = gt $로 설명됩니다. 운동 법칙을 복원하는 데 필요합니다.
해결책.
우리는 공식을 잘 알고 있습니다. $ S "= v (t) $, 여기서 S는 운동 법칙입니다.
우리의 작업은 함수 $ S = S (t) $를 찾는 것으로 축소되며, 그 파생물은 $ gt $와 같습니다. 자세히 보면 $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) $라고 추측할 수 있습니다.
이 문제에 대한 솔루션의 정확성을 확인합시다. $ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" = \ frac (g) (2) * 2t = g * t $.
함수의 미분을 알면 함수 자체를 찾았습니다. 즉, 역연산을 수행했습니다.
그러나이 순간에주의를 기울일 가치가 있습니다. 우리 문제에 대한 솔루션은 설명이 필요합니다. 발견된 함수에 숫자(상수)를 추가하면 미분 값은 변경되지 않습니다. $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) + c, c = 상수 $.
$ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "= g * t + 0 = g * t $.

여러분, 주목하십시오. 우리 작업에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다!
문제가 초기 또는 다른 조건을 지정하지 않으면 솔루션에 상수를 추가하는 것을 잊지 마십시오. 예를 들어, 우리의 작업에서 움직임의 맨 처음에 우리 몸의 위치를 ​​설정할 수 있습니다. 그런 다음 결과 방정식에 0을 대입하여 상수를 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 우리는 상수 값을 얻습니다.

그러한 작업의 이름은 무엇입니까?
미분의 역연산을 적분이라고 합니다.
주어진 도함수에서 함수 찾기 - 적분.
함수 자체는 함수의 도함수를 얻은 이미지인 역도함수라고 합니다.
대문자 $ y = F "(x) = f (x) $로 역도함수를 작성하는 것이 일반적입니다.

정의. $ y = F (x) $ 함수는 $ xϵX $에 대해 $ F '(x) = f (x) $가 같으면 구간 X에서 함수 $ y = f (x) $의 역도함수라고 합니다. 만족하는.

에 대한 역도함수 테이블을 만들어 봅시다. 다른 기능... 메모로 출력해서 익혀두셔야 합니다.

우리 테이블에는 없다. 초기 조건묻지 않았습니다. 즉, 테이블의 오른쪽에 있는 각 표현식에 상수를 추가해야 합니다. 이 규칙은 나중에 명확히 하겠습니다.

반도함수를 찾기 위한 규칙

반도함수를 찾는 데 도움이 되는 몇 가지 규칙을 적어 보겠습니다. 그것들은 모두 차별화 규칙과 유사합니다.

규칙 1. 합계의 역도함수는 역도함수의 합과 같습니다. $ F(x + y) = F(x) + F(y) $.

예.
함수 $ y = 4x ^ 3 + cos (x) $에 대한 역도함수를 구합니다.
해결책.
합의 역도함수는 역도함수의 합과 같으므로 제시된 각 함수에 대한 역도함수를 찾아야 합니다.
$ f (x) = 4x ^ 3 $ => $ F (x) = x ^ 4 $.
$ f (x) = cos (x) $ => $ F (x) = sin (x) $.
그러면 원래 함수의 역도함수는 $ y = x ^ 4 + sin (x) $ 또는 $ y = x ^ 4 + sin (x) + C $ 형식의 함수가 됩니다.

규칙 2. $ F (x) $가 $ f (x) $에 대한 역도함수이면 $ k * F (x) $는 함수 $ k * f (x) $에 대한 역도함수입니다.(우리는 쉽게 계수를 함수로 취할 수 있습니다).

예.
함수의 역도함수 찾기:
a) $ y = 8sin (x) $.
b) $ y = - \ frac (2) (3) cos (x) $.
c) $ y = (3x) ^ 2 + 4x + 5 $.
해결책.
a) $ sin(x) $에 대한 역도함수는 마이너스 $cos(x) $입니다. 그러면 원래 함수의 역도함수는 $ y = -8cos (x) $ 형식을 취합니다.

B) $cos(x)$의 역도함수는 $sin(x)$입니다. 그러면 원래 함수의 역도함수는 $ y = - \ frac (2) (3) sin (x) $의 형식을 취합니다.

C) $ x ^ 2 $에 대한 역도함수는 $ \ frac (x ^ 3) (3) $입니다. x의 역도함수는 $ \ frac (x ^ 2) (2) $입니다. 1에 대한 역도함수는 x입니다. 그러면 원래 함수의 역도함수는 다음과 같은 형식을 취합니다. $ y = 3 * \ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $ ...

규칙 3. $ y = F (x) $가 $ y = f (x) $ 함수에 대한 역도함수이면 $ y = f (kx + m) $ 함수에 대한 역도함수는 $ y = \ frac (1 ) (k) * F (kx + m) $.

예.
다음 함수의 역도함수를 찾으십시오.
a) $ y = cos (7x) $.
b) $ y = 죄 (\ frac (x) (2)) $.
c) $ y = (- 2x + 3) ^ 3 $.
d) $ y = e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.
해결책.
a) $cos(x)$의 역도함수는 $sin(x)$입니다. 그러면 $ y = cos (7x) $ 함수에 대한 역도함수는 $ y = \ frac (1) (7) * sin (7x) = \ frac (sin (7x)) (7) $가 됩니다.

B) $ sin(x) $에 대한 역도함수는 마이너스 $cos(x) $입니다. 그러면 함수 $ y = sin (\ frac (x) (2)) $에 대한 역도함수는 $ y = - \ frac (1) (\ frac (1) (2)) cos (\ frac (x) (2) ) = - 2cos (\ frac (x) (2)) $.

C) $ x ^ 3 $에 대한 역도함수는 $ \ frac (x ^ 4) (4) $이고, 원래 함수 $ y = - \ frac (1) (2) * \ frac (((- 2x + 3) ) ^ 4) (4) = - \ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $.

D) 식을 $ \ frac (2x + 1) (5) = \ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5) $의 거듭제곱으로 약간 단순화합니다.
지수 함수의 역도함수는 그 자체입니다. 지수 함수... 원래 함수의 역도함수는 $ y = \ frac (1) (\ frac (2) (5)) e ^ (\ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5)) = \ frac (5) ( 2) * e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.

정리. $ y = F (x) $가 구간 X에서 함수 $ y = f (x) $에 대한 역도함수이면 함수 $ y = f (x) $는 무한히 많은 역도함수를 가지며 모두 다음과 같은 형식을 갖습니다. $ y = F ( x) + C $.

위에서 고려한 모든 예에서 모든 역도함수의 집합을 찾아야 했다면 상수 C를 모든 곳에 추가해야 합니다.
$ y = cos (7x) $ 함수의 경우 모든 역도함수는 $ y = \ frac (sin (7x)) (7) + C $입니다.
$ y = (- 2x + 3) ^ 3 $ 함수의 경우 모든 역도함수는 $ y = - \ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $입니다.

예.
운동 법칙을 찾으십시오 $ S = S (t) $ 시간에 따른 물체의 속도 변화의 주어진 법칙에 따라 $ v = -3sin (4t) $, 시간의 초기 순간에 물체가 좌표를 가지고 있다면 1.75와 같습니다.
해결책.
$ v = S '(t) $이므로 주어진 속도에 대한 역도함수를 찾아야 합니다.
$ S = -3 * \ frac (1) (4) (- cos (4t)) + C = \ frac (3) (4) cos (4t) + C $.
이 문제에서는 초기 시간이라는 추가 조건이 제공됩니다. 이것은 $ t = 0 $를 의미합니다.
$ S (0) = \ frac (3) (4) cos (4 * 0) + C = \ frac (7) (4) $.
$ \ frac (3) (4) cos (0) + C = \ frac (7) (4) $.
$ \ frac (3) (4) * 1 + C = \ frac (7) (4) $.
$ C = 1 $.
그런 다음 운동 법칙은 공식으로 설명됩니다. $ S = \ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $.

독립 솔루션을 위한 작업

1. 함수의 역도함수 찾기:
a) $ y = -10sin (x) $.
b) $ y = \ frac (5) (6) cos (x) $.
c) $ y = (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. 다음 함수의 역도함수를 구합니다.
a) $ y = cos (\ frac (3) (4) x) $.
b) $ y = 죄(8x) $.
c) $ y = ((7x + 4)) ^ 4 $.
d) $ y = e ^ (\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. 주어진 시간에서 몸의 속도 변화의 법칙에 따라 $ v = 4cos (6t) $, 운동의 법칙 $ S = S (t) $를 찾으십시오. 좌표는 2와 같았습니다.

적분을 푸는 것은 쉬운 작업이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 문서는 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 전혀 또는 거의 알지 못하는 사람들을 위한 것입니다. 적분 ... 왜 필요한가요? 그것을 계산하는 방법? 정적분과 부정 적분이란 무엇입니까? 당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 뜨개질로 손이 닿기 어려운 곳에서 유용한 것을 크로셰 뜨개질하는 것이라면 환영합니다! 적분을 푸는 방법과 적분 없이는 할 수 없는 이유를 알아보십시오.

우리는 "통합"의 개념을 연구합니다

통합은 예전에 알려져 있었습니다. 고대 이집트... 물론 안에는 없다 현대적인 형태, 하지만 여전히. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 대해 많은 책을 저술했습니다. 특히 두각을 나타냈다 뉴턴 그리고 라이프니츠 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다. 적분을 처음부터 어떻게 이해합니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 수학적 분석의 기초에 대한 기본 지식이 필요합니다. 블로그에 적분을 이해하는 데 필요한 정보가 이미 있습니다.

무한 적분

어떤 종류의 기능이 있다고 가정합니다. f (x) .

함수의 무한 적분 f (x) 그런 함수를 호출 에프(x) 그 도함수가 함수와 같음 f (x) .

즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽으십시오.

모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한 상수에 따라 다른 함수의 도함수가 일치하기 때문에 상수의 부호는 종종 역도함수에 추가됩니다. 적분을 찾는 과정을 적분이라고 합니다.

간단한 예:

기본 함수의 역도함수를 지속적으로 계산하지 않으려면 테이블로 가져와 미리 만들어진 값을 사용하는 것이 편리합니다.

학생을 위한 완전한 적분표

한정적분

적분의 개념을 다룰 때 우리는 극소량을 다룹니다. 적분은 그림의 면적, 불균일 한 몸체의 질량을 계산하는 데 도움이됩니다. 고르지 못한 움직임경로 및 기타. 적분은 무한히 많은 수의 무한히 작은 항의 합이라는 것을 기억해야 합니다.

예를 들어 어떤 함수의 그래프를 상상해 봅시다. 함수의 그래프로 둘러싸인 모양의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까?

적분 사용! 우리는 좌표축과 함수의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴을 무한히 작은 세그먼트로 나눕니다. 따라서 그림은 얇은 기둥으로 나뉩니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 되는 정도로 그것들을 줄이면 세그먼트 면적의 합은 그림의 면적이 되는 경향이 있습니다. 이것은 다음과 같이 쓰여지는 확실한 적분입니다.

점과 b를 적분한계라고 합니다.

Bari Alibasov와 "통합"그룹

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인형을 위한 적분 계산 규칙

무한 적분 속성

무한 적분을 푸는 방법? 여기서 우리는 예제를 풀 때 유용할 무한 적분의 속성을 살펴볼 것입니다.

• 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

• 정수는 적분 기호 아래에서 가져올 수 있습니다.

• 합계의 적분은 적분의 합과 같습니다. 차이에 대해서도 마찬가지입니다.

한정적분의 속성

• 선형성:

• 적분 한계가 반전되면 적분 기호가 변경됩니다.

• ~에 어느포인트들 NS, NS그리고 ~와 함께:

우리는 이미 한정적분이 합의 극한이라는 것을 알아냈습니다. 하지만 예제를 풀 때 특정 값을 얻는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.

통합 솔루션의 예

아래에서 우리는 무한 적분을 찾는 몇 가지 예를 고려할 것입니다. 우리는 솔루션의 복잡성을 독립적으로 파악하도록 제안하고, 명확하지 않은 경우 의견에 질문하십시오.

자료를 통합하려면 실제로 적분을 해결하는 방법에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 바로 주어지지 않는다고 낙심하지 마십시오. 전문 학생 서비스에 연락하면 닫힌 표면에서 3중 또는 곡선 적분을 처리할 수 있습니다.

역도함수의 정의.

구간 (a; b)에 대한 함수 f(x)의 역도함수는 주어진 구간에서 임의의 x에 대해 평등이 유지되는 함수 F(x)입니다.

상수 С의 도함수가 0과 같다는 사실을 고려하면 평등 ... 따라서 함수 f(x)는 임의의 상수 C에 대해 역도함수 F(x) + C의 집합을 가지며 이러한 역도함수는 임의의 상수 값만큼 서로 다릅니다.

무한 적분의 정의.

함수 f(x)의 전체 역도함수 집합이 호출됩니다. 무한 적분이 기능과 표시 .

표현이라고 합니다 피적분, 및 f(x) - 피적분... 피적분 함수는 f(x) 함수의 미분입니다.

주어진 미분에 대해 알려지지 않은 함수를 찾는 작업을 불확실한적분의 결과가 하나의 함수 F(x)가 아니라 역도함수 F(x) + C의 집합이기 때문입니다.

파생물의 성질을 바탕으로 공식화 및 증명 가능 무한 적분 속성(반도함수의 속성).

부정 적분의 첫 번째 및 두 번째 속성의 중간 평등은 설명을 위해 제공됩니다.

세 번째와 네 번째 속성을 증명하려면 등식의 우변의 도함수를 찾는 것으로 충분합니다.

이 도함수는 첫 번째 속성에 의한 증명인 피적분과 같습니다. 마지막 전환에서도 사용됩니다.

따라서 통합 문제는 미분 문제의 역이며 이러한 문제 사이에는 매우 밀접한 관계가 있습니다.

• 첫 번째 속성을 사용하면 통합을 확인할 수 있습니다. 수행된 적분의 정확성을 확인하려면 얻은 결과의 미분을 계산하는 것으로 충분합니다. 미분의 결과로 얻은 함수가 피적분과 같으면 적분이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.
• 무한 적분의 두 번째 속성을 사용하면 알려진 함수의 미분에서 역도함수를 찾을 수 있습니다. 무한 적분의 직접 계산은 이 속성을 기반으로 합니다.

예를 들어 보겠습니다.

예.

x = 1에서 값이 1인 함수의 역도함수를 찾습니다.

해결책.

우리는 미분학을 통해 다음을 알고 있습니다. (기본 기본 기능의 도함수 표를 보십시오). 따라서, ... 두 번째 속성으로 ... 즉, 우리는 많은 반도함수를 가지고 있습니다. x = 1의 경우 값을 얻습니다. 조건에 따라 이 값은 1과 같아야 하므로 C = 1입니다. 원하는 역도함수는 형태를 취할 것입니다.

예.

무한 적분 찾기 미분하여 결과를 확인합니다.

해결책.

삼각법의 이중각 사인 공식 , 그래서

미분 연산 중 하나는 미분(미분)을 찾아 함수 연구에 적용하는 것입니다.

역 문제도 그다지 중요하지 않습니다. 정의의 각 지점 근처에서 기능의 동작이 알려진 경우 전체 기능을 복원하는 방법, 즉 정의의 전체 영역에서. 이 문제는 소위 적분 미적분학의 연구 주제입니다.

통합은 차별화의 반대입니다. 또는 주어진 도함수 f`(x)에서 함수 f(x)를 복구합니다. 라틴어 인테그로(integro)는 회복을 의미합니다.

예 # 1.

(f(x)) '= 3x2라고 하자. f(x)를 찾습니다.

해결책:

미분 규칙에 따라 f(x) = x 3이라고 쉽게 추측할 수 있습니다.

(x 3) '= 3x 2 그러나 f(x)가 모호하게 발견되었음을 쉽게 알 수 있습니다. f(x)로 f(x) = x 3 +1 f(x) = x 3 +2 f(x) = x 3 -3 등을 취할 수 있습니다.

왜냐하면 각각의 도함수는 3x2와 같습니다. (상수의 미분은 0입니다). 이 모든 기능은 일정한 기간에 서로 다릅니다. 그러므로 공통의 결정문제는 f(x) = x 3 + C 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 C는 상수 실수입니다.

발견된 함수 f(x) 중 하나가 호출됩니다. 반도함수함수 F`(x) = 3x2

정의.

함수 F(x)는 이 구간 F`(x) = f(x)의 모든 x에 대해 주어진 구간 J에서 함수 f(x)에 대한 역도함수라고 합니다. 따라서 함수 F(x) = x 3은 (- ∞; ∞)에서 f(x) = 3x 2에 대한 역도함수입니다. 모든 x ~ R에 대해 등식은 참이므로 F` (x) = (x 3) `= 3x 2

이미 언급했듯이 이 함수에는 무한한 수의 역도함수가 있습니다.

예 # 2.

이 함수는 구간(0; + ∞)의 모든 것에 대한 역도함수입니다. 이 간격의 모든 h에 대해 평등이 유지됩니다.

적분 문제는 주어진 함수에 대한 모든 역도함수를 찾는 것입니다. 이 문제를 해결하는 데 있어 다음 진술이 중요한 역할을 합니다.

함수의 불변성의 표시. 일부 구간 I에서 F "(x) = 0이면 함수 F는 이 구간에서 일정합니다.

증거.

우리는 구간 I에서 일부 x 0을 수정합니다. 그런 다음 이러한 구간에서 임의의 숫자 x에 대해 Lagrange 공식 덕분에 x와 x ​​0 사이의 숫자 c를 다음과 같이 지정할 수 있습니다.

F (x) - F (x 0) = F "(c) (x-x 0).

가설에 의해 F '(c) = 0, c ∈1, 따라서

F(x) - F(x 0) = 0.

따라서 구간 I의 모든 x에 대해

즉, 함수 F는 일정하게 유지됩니다.

f의 모든 역도함수는 다음과 같은 하나의 공식을 사용하여 작성할 수 있습니다. 함수에 대한 역도함수의 일반적인 형태 NS. 다음 정리는 참이다( 반파생제의 주요 속성):

정리. 구간 I의 함수 f에 대한 모든 역도함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

F(x) + C, (1) 여기서 F(x)는 구간 I의 함수 f(x)에 대한 역도함수 중 하나이고 C는 임의의 상수입니다.

역도함수의 두 가지 속성이 간략하게 공식화되는 이 진술을 설명하겠습니다.

1. С 대신 식 (1)에 어떤 숫자를 넣든 구간 I에서 f에 대한 역도함수를 얻습니다.
2. f에 대한 역도함수 Φ가 무엇이든 상관없이 구간 I을 취하더라도 구간 I의 모든 x에 대해 같음을 나타내는 숫자 C를 선택할 수 있습니다.

증거.

1. 가설에 따르면, 함수 F는 구간 I에서 f에 대한 역도함수입니다. 따라서 F "(x) = f (x) for any x∈1, 그러므로 (F (x) + C)" = F "(x) + C" = f(x) + 0 = f(x), 즉 F(x) + C는 함수 f에 대한 역도함수입니다.
2. Ф(х)를 동일한 구간 I에서 함수 f에 대한 역도함수 중 하나라고 합시다. 즉, 모든 x∈I에 대해 Ф "(x) = f(х)입니다.

그런 다음 (Ф(x) - F(x)) "= Ф"(x) -F '(x) = f(x) -f(x) = 0입니다.

따라서 에 이어집니다. 함수의 불변성 특징의 강도, 차이 Ф(х) - F(х)는 구간 I에서 일정한 값 С를 취하는 함수입니다.

따라서 구간 I의 모든 x에 대해 필요에 따라 Φ(x) - F(x) = C가 참입니다. 역도함수의 주요 속성은 다음과 같이 주어질 수 있습니다. 기하학적 의미: 함수 f에 대한 두 역도함수의 그래프는 Oy 축을 따라 평행이동하여 서로로부터 얻습니다.

메모에 대한 질문

함수 F(x)는 함수 f(x)에 대한 역도함수입니다. f(x) = 9x2 - 6x + 1이고 F(-1) = 2인 경우 F(1)을 구합니다.

함수에 대한 모든 역도함수 찾기

함수 (x) = cos2 * sin2x에 대해 F(0) = 0이면 역도함수 F(x)를 찾습니다.

함수의 경우 그래프가 점을 통과하는 역도함수를 찾습니다.

모든 수학적 동작에는 반대 동작이 있습니다. 미분(함수의 도함수 찾기)의 작용에 대해서도 존재합니다. 역동작- 통합. 적분을 통해 함수는 주어진 도함수 또는 미분에서 발견(복원)됩니다. 찾은 함수가 호출됩니다. 반도함수.

정의.차별화된 기능 에프(x)함수에 대한 역도함수라고 합니다. f (x)모든 경우에 주어진 간격으로 NS이 간격에서 평등은 참입니다. F ′(x) = f(x).

예. 함수에 대한 역도함수 찾기: 1) f (x) = 2x; 2) f(x) = 3cos3x.

1) (x²) ′ = 2x이므로 정의에 따라 함수 F(x) = x²는 함수 f(x) = 2x에 대한 역도함수가 됩니다.

2) (sin3x) ′ = 3cos3x. f(x) = 3cos3x 및 F(x) = sin3x를 표시하면 역도함수의 정의에 따라 F ′(x) = f(x), 따라서 F(x) = sin3x가 됩니다. f( x) = 3cos3x에 대한 역도함수입니다.

그리고 (sin3x +5 )′= 3cos3x, 그리고 (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... 일반 형식으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. (sin3x + C)′= 3cos3x, 어디 와 함께- 일정한 값. 이러한 예는 미분 가능한 함수가 단일 도함수를 가질 때 미분 작용과 대조적으로 적분 작용의 모호성을 나타냅니다.

정의.기능의 경우 에프(x)함수의 역도함수입니다. f (x)일정 간격에서 이 함수의 모든 역도함수 집합은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

F(x) + C, 여기서 C는 임의의 실수입니다.

고려 중인 구간에 대한 함수 f(x)의 모든 역도함수 F(x) + C의 집합을 무한 적분이라고 하며 기호로 표시됩니다. ∫ (적분 기호). 그들은 다음과 같이 적습니다. ∫f(x) dx = F(x) + C.

표현 ∫f (x) dx읽기: "x에서 de x까지의 적분 ff".

f (x) dx- 적분 표현,

f (x)- 적분 함수,

NS- 통합 변수.

에프(x)- 기능에 대한 역도함수 f (x),

와 함께- 일정한 값.

이제 고려된 예는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

1) ∫ 2хdx = x² + C. 2) ∫ 3cos3xdx = sin3x + C.

d 기호는 무엇을 의미합니까?

NS -미분의 부호는 이중 목적을 가지고 있습니다. 첫째, 이 부호는 적분 변수와 피적분 변수를 분리합니다. 둘째, 이 기호 뒤의 모든 것은 기본적으로 미분되고 피적분에 의해 곱해집니다.

예. 적분 찾기: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) 차동 아이콘 뒤에 NS소송 비용 NSNS, 하지만 NS

∫ 2хрdx = рх² + С. 예와 비교 1).

점검 해보자. F ′(x) = (px² + C) ′ = p · (x²) ′ + C ′ = p · 2x = 2px = f(x).

4) 차동 아이콘 뒤에 NS소송 비용 NS... 따라서 통합 변수 NS, 그리고 요인 NS일정한 상수로 간주되어야 합니다.

∫ 2хрdр = р²х + С. 예와 비교 1) 그리고 3).

점검 해보자. F ′(p) = (p²x + C) ′ = x · (p²) ′ + C ′ = x · 2p = 2px = f(p).