로그는 1일 때입니다. 로그

1.1. 정수 지수의 차수 결정하기

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N 번

1.2. 영도.

정의에 따라 모든 숫자의 0의 거듭제곱은 1과 같다고 가정하는 것이 일반적입니다.

1.3. 음의 정도.

X-N = 1/XN

1.4. 분수 지수, 루트.

X 1/N = X의 N번째 루트.

예: X 1/2 = √X.

1.5. 힘을 더하는 공식.

X(N+M) = X N * X M

1.6 도를 빼는 공식

X(N-M) = X N / X M

1.7. 거듭제곱 공식.

XN*M = (XN)M

1.8. 분수를 거듭제곱하는 공식.

(X/Y)N = XN /YN

2. 번호 마.

숫자 e의 값은 다음 극한과 같습니다.

E = lim(1+1/N), N → ∞.

17자리의 정밀도로 숫자 e는 2.71828182845904512입니다.

3. 오일러의 평등.

이 평등은 수학에서 특별한 역할을 하는 다섯 개의 숫자, 즉 0, 1, 숫자 e, 숫자 파이, 허수 단위를 연결합니다.

E(i*pi) + 1 = 0

4. 지수 함수 exp(x)

exp(x) = e x

5. 지수 함수의 도함수

지수 함수에는 놀라운 속성이 있습니다. 함수의 도함수는 지수 함수 자체와 같습니다.

(exp(x))" = exp(x)

6. 로그.

6.1. 로그 함수의 정의

x = b y 인 경우 로그는 다음과 같은 함수입니다.

Y = Logb(x).

로그는 주어진 숫자(X)를 얻기 위해 로그(b)의 밑으로 숫자를 올려야 하는 정도를 보여줍니다. 로그 함수는 0보다 큰 X에 대해 정의됩니다.

예: 로그 10(100) = 2.

6.2. 십진 로그

이것은 밑이 10인 로그입니다.

Y = 로그 10(x) .

표기된 로그(x): 로그(x) = 로그 10(x).

십진 로그를 사용하는 예는 데시벨입니다.

6.3. 데시벨

항목이 별도 페이지에서 강조 표시됨 데시벨

6.4. 이진 로그

이것은 밑이 2인 로그입니다.

Y = Log2(x).

Lg(x)로 표시: Lg(x) = 로그 2(X)

6.5. 자연 로그

이것은 밑이 e에 대한 로그입니다.

Y = log(x) .

Ln(x)로 표시: Ln(x) = Log e(X)
자연 로그 - 역함수지수 함수 exp(X).

6.6. 특징점

로그(1) = 0
로그 a(a) = 1

6.7. 제품의 로그 공식

로그 a(x*y) = 로그 a(x)+로그 a(y)

6.8. 몫의 로그 공식

로그 a(x/y) = 로그 a(x) - 로그 a(y)

6.9. 거듭제곱 로그 공식

로그 a(x y) = y*로그 a(x)

6.10. 밑이 다른 로그로 변환하는 공식

로그 b(x) = (로그 a(x)) / 로그 a(b)

예시:

로그 2(8) = 로그 10(8) / 로그 10(2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. 생활에 유용한 공식

부피를 면적이나 길이로 환산하는 문제가 종종 있고, 역 문제는 면적을 부피로 환산하는 문제입니다. 예를 들어, 보드는 큐브(입방 미터)로 판매되며 특정 볼륨에 포함된 보드로 얼마나 많은 벽을 덮을 수 있는지 계산해야 합니다. 보드 계산, 큐브에 몇 개의 보드가 있는지 참조하십시오. 또는 벽의 치수를 알고 있으므로 벽돌 수를 계산해야 합니다(벽돌 계산 참조).

소스에 대한 활성 링크가 설정되어 있는 경우 사이트 자료를 사용할 수 있습니다.

로그란 무엇입니까?

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

로그란 무엇입니까? 로그를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주됩니다. 특히 - 로그가 있는 방정식.

이것은 절대 사실이 아닙니다. 전적으로! 안 믿어? 괜찮아. 이제 약 10~20분 동안 다음을 수행합니다.

1. 이해하다 로그란 무엇인가.

2. 전체 수업을 해결하는 방법을 배웁니다. 지수 방정식. 당신이 그들에 대해 들어 본 적이 없더라도.

3. 단순 로그를 계산하는 방법을 배웁니다.

또한 이를 위해서는 곱셈표와 숫자가 거듭제곱되는 방법만 알면 됩니다.

나는 당신이 의심하는 것을 느낍니다 ... 글쎄, 시간을 지키십시오! 가다!

먼저 마음속으로 다음 방정식을 풉니다.

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예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 검증으로 테스트합니다. 학습 - 관심을 가지고!)

함수와 파생어를 알 수 있습니다.

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

좀 더 쉽게 설명해보자. 예를 들어, \(\log_(2)(8)\)는 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 거듭제곱해야 하는 것과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)임을 알 수 있습니다.

예:		\(\로그_(5)(25)=2\)		왜냐하면 \(5^(2)=25\)
		\(\로그_(3)(81)=4\)		왜냐하면 \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		왜냐하면 \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준에서 작성되고 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽습니다. "25의 밑수에 대한 5의 로그."

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻으려면 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그 계산: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻으려면 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그래서:

\(\로그_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻으려면 \(\sqrt(5)\)를 몇 제곱해야 합니까? 그리고 숫자를 단위로 만드는 정도는 무엇입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)를 얻으려면 \(\sqrt(7)\)를 몇 제곱해야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 학위의 모든 숫자는 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻으려면 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 그것이 분수의 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 제곱근차수 \(\frac(1)(2)\) 입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예시 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		로그 값을 찾아야 합니다. x로 표시하겠습니다. 이제 로그의 정의를 사용하겠습니다. \(\log_(a)(c)=b\) \(\왼쪽 화살표\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) 및 \(8\)을 연결하는 것은 무엇입니까? 2, 두 숫자를 모두 2로 나타낼 수 있기 때문입니다. \(4=2^(2)\) \(\제곱(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		왼쪽에서 차수 속성을 사용합니다. \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) 및 \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		베이스가 동일하고 지표의 평등으로 진행합니다.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		방정식의 양변에 \(\frac(2)(5)\)를 곱합니다.
		결과 루트는 로그 값입니다.

대답 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었습니까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 하려면 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\) x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 약간 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 작성해야 합니까? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기서 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

나는 \(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 비정상적으로 보이지만 짧습니다. 왜냐하면 우리가 그것을 형식으로 쓰고 싶다면 소수, 그러면 다음과 같이 보일 것입니다: \(1.892789260714.....\)

예시 : 방정식 \(4^(5x-4)=10\) 풀기

해결책 :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) 및 \(10\)은 같은 밑수로 줄일 수 없습니다. 따라서 여기서 로그 없이는 할 수 없습니다. 로그의 정의를 사용합시다. \(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		x가 왼쪽에 오도록 방정식을 뒤집습니다.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		우리 앞에. \(4\)를 오른쪽으로 이동합니다. 로그를 두려워하지 말고 일반 숫자처럼 취급하십시오.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		방정식을 5로 나눕니다.
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		여기에 우리의 뿌리가 있습니다. 예, 이상해 보이지만 답은 선택되지 않았습니다.

대답 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

소수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이, 그 밑은 1을 제외한 모든 양수일 수 있습니다. \((a>0, a\neq1)\). 그리고 가능한 모든 밑수 중에서 두 가지가 너무 자주 발생하여 로그에 대한 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다.

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(약 \(2.7182818…\)와 같음)이고 로그는 \(\ln(a)\)로 작성되는 로그입니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 동일합니다.

십진 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 작성됩니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 동일합니다., 여기서 \(a\)는 일부 숫자입니다.

기본 로그 항등

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 로그 항등"이라고 하며 다음과 같습니다.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 생겼는지 봅시다.

로그의 짧은 정의를 기억하십시오.

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉, \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그러면 \(a^(b)=c\) 공식에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 로그 항등으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 그들의 도움으로 직접 계산하기 어려운 대수를 사용하여 표현식의 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예시 : 표현식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값 찾기

해결책 :

대답 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법은 무엇입니까?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자에 불과합니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 어떤 숫자도 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, \(\log_(2)(4)\)는 2와 같습니다. 그런 다음 두 개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 도 쓸 수 있습니다. \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등과 유사합니다. 즉, 밝혀진다.

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 둘을 밑수가 있는 로그로 쓸 수 있습니다(방정식에서도, 표현식에서도, 부등식에서도) - 밑수 제곱을 인수로 쓰면 됩니다.

트리플과 동일합니다. \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\), 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기에서 큐브의 밑수를 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 네 가지:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 3분의 1:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다. \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예시 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

대답 : \(1\)

이 글의 초점은 로그. 여기서 우리는 로그의 정의를 제공하고, 허용되는 표기법을 보여주고, 로그의 예를 제공하고, 자연 및 십진 로그에 대해 이야기할 것입니다. 그런 다음 기본 로그 항등을 고려하십시오.

페이지 탐색.

로그의 정의

로그의 개념은 어떤 의미에서 역으로 문제를 풀 때, 알려진 차수 값과 알려진 밑에서 지수를 찾아야 할 때 발생합니다.

그러나 서문으로 충분합니다. 이제 "로그란 무엇입니까?"라는 질문에 답할 시간입니다. 적절한 정의를 내리자.

정의.

a를 밑으로 하는 b의 로그, 여기서 a>0 , a≠1 및 b>0은 결과적으로 b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 지수입니다.

이 단계에서 "대수"라는 말은 즉시 "몇 수"와 "어떤 근거로"라는 두 가지 질문을 제기해야 합니다. 즉, 단순히 로그가 없고 어떤 밑수에는 로그만 있습니다.

바로 소개해드립니다 로그 표기법: 밑수 a 에 대한 숫자 b 의 로그는 일반적으로 log a b 로 표시됩니다. 밑수 e에 대한 숫자 b의 로그 및 밑수 10에 대한 로그는 각각 고유한 특수 지정 lnb 및 lgb를 갖습니다.

이제 다음을 가져올 수 있습니다.
그리고 기록들 첫 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있고 두 번째에는 밑수에 음수가 있고 세 번째에는 로그 부호 아래에 음수가 있기 때문에 의미가 없습니다. 베이스의 유닛.

이제 에 대해 이야기해 봅시다. 로그 읽기 규칙. 항목 log b는 "베이스 a에 대한 b의 로그"로 읽습니다. 예를 들어, log 2 3은 밑이 2에 3의 로그이고 5의 제곱근의 두 정수 2 밑의 3분의 1의 로그입니다. 밑 e에 대한 로그를 호출합니다. 자연 로그, 그리고 표기법 lnb는 "b의 자연 로그"로 읽습니다. 예를 들어, ln7은 7의 자연 로그이고 우리는 이것을 파이의 자연 로그로 읽을 것입니다. 밑이 10인 로그에도 특별한 이름이 있습니다. 십진 로그, 그리고 표기법 lgb는 "십진 로그 b"로 읽습니다. 예를 들어, lg1은 1의 십진 로그이고 lg2.75는 2.75/100의 십진 로그입니다.

로그의 정의가 제공되는 >0, a≠1 및 b>0 조건에 대해 별도로 고려할 가치가 있습니다. 이러한 제한이 어디에서 오는지 설명하겠습니다. 이렇게 하려면 위에 주어진 로그의 정의에서 직접 따라오는 라는 형식의 등식을 통해 도움을 받을 것입니다.

a≠1 부터 시작하겠습니다. 1은 1의 거듭제곱과 같기 때문에 평등은 b=1에 대해서만 참일 수 있지만 log 1 1은 임의의 실수가 될 수 있습니다. 이 모호성을 피하기 위해 ≠1이 허용됩니다.

a>0 조건의 편의를 입증합시다. a=0일 때, 대수의 정의에 의해 우리는 평등을 갖게 될 것이고, 이것은 b=0일 때만 가능합니다. 그러나 log 0 0은 0이 아닌 모든 실수가 될 수 있습니다. 0에서 0이 아닌 거듭제곱은 0이기 때문입니다. 이 모호성은 a≠0 조건으로 피할 수 있습니다. 그리고<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

마지막으로 조건 b>0은 a>0 이후 부등식에서 따르며 양수 밑이 a인 차수의 값은 항상 양수입니다.

이 단락의 결론에서 우리는 로그의 유성 정의를 사용하면 로그 기호 아래의 숫자가 어느 정도 밑수일 때 로그 값을 즉시 나타낼 수 있다고 말합니다. 실제로, 로그의 정의는 b=a p 이면 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그가 p와 같다고 주장할 수 있습니다. 즉, 동등 로그 p = p가 참입니다. 예를 들어, 2 3 =8 이고 log 2 8=3 이라는 것을 알고 있습니다. 우리는 기사에서 이것에 대해 더 이야기 할 것입니다.

(그리스어 λόγος - "단어", "관계" 및 ἀριθμός - "숫자") 숫자 비이유에 의해 ㅏ(로그 α 비)는 그러한 숫자라고 불린다. 씨, 그리고 비= 시, 즉, 로그 α 비=씨그리고 나=아씨동등합니다. 로그는 a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 의미가 있습니다.

다시 말해 로그번호 비이유에 의해 ㅏ숫자를 올려야 하는 지수로 공식화 ㅏ번호를 얻기 위해 비(로그는 양수에 대해서만 존재합니다).

이 공식으로부터 계산 x= log α 비, 방정식 a x = b를 푸는 것과 같습니다.

예를 들어:

log 2 8 = 3 왜냐하면 8=2 3 .

표시된 로그 공식을 사용하면 즉시 다음을 결정할 수 있습니다. 로그 값로그 기호 아래의 숫자가 밑수의 특정 거듭제곱일 때. 실제로, 로그의 공식화는 다음을 정당화하는 것을 가능하게 합니다. b=a c, 다음 숫자의 로그 비이유에 의해 ㅏ같음 와 함께. 또한 로그의 주제가 주제와 밀접하게 관련되어 있음이 분명합니다. 수의 정도.

로그 계산은 다음을 참조하십시오. 로그. 로그는 로그를 취하는 수학적 연산입니다. 로그를 취하면 요인의 곱이 항의 합으로 변환됩니다.

강화로그의 역수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 기수는 강화가 수행되는 표현식의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

종종 밑이 2인 실수 로그(2진법), e 오일러 수 e ≈ 2.718(자연 로그) 및 10(십진수)이 사용됩니다.

이 단계에서 고려할 가치가 있습니다. 로그 샘플로그 7 2 , 인 √ 5, lg0.0001.

그리고 항목 lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3은 의미가 없습니다. 첫 번째 항목에서는 음수가 로그 기호 아래에 배치되고 두 번째 항목에는 음수가 표시되기 때문입니다. 밑, 세 번째 - 밑의 로그 및 단위 기호 아래 음수.

로그를 결정하기 위한 조건.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 조건을 별도로 고려할 가치가 있습니다. 로그의 정의.이러한 제한이 적용되는 이유를 살펴보겠습니다. 이것은 x = log α 형식의 평등에 도움이 될 것입니다. 비, 기본 로그 항등이라고 하며, 이는 위에 주어진 로그의 정의에서 직접 따옵니다.

조건을 가져라 ≠1. 1은 1의 거듭제곱과 같으므로 등식 x=log α 비때만 존재할 수 있습니다. b=1, 그러나 log 1 1 은 임의의 실수가 될 것입니다. 이 모호성을 없애기 위해 우리는 ≠1.

조건의 필요성을 증명하자 >0. ~에 a=0로그 공식에 따르면, 다음 경우에만 존재할 수 있습니다. b=0. 그리고 그에 따라 로그 0 0 0에서 0이 아닌 거듭제곱은 0이므로 0이 아닌 실수일 수 있습니다. 이 모호성을 제거하기 위해 조건 ≠0. 그리고 언제 ㅏ<0 합리적이고 비합리적인 지수가 있는 지수는 음수가 아닌 기저에 대해서만 정의되기 때문에 로그의 합리적 및 비합리적인 값 분석을 거부해야 합니다. 이러한 이유로 조건이 >0.

그리고 마지막 조건 b>0부등식에 따른다 >0, x=log α이기 때문에 비, 그리고 양수 기준의 학위 값 ㅏ항상 긍정적입니다.

로그의 특징.

로그특징적인 특징, 이로 인해 힘든 계산을 크게 용이하게 하기 위해 널리 사용되었습니다. "로그의 세계"로의 전환에서 곱셈은 훨씬 더 쉬운 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 제곱근과 제곱근은 지수에 의한 곱셈과 나눗셈으로 각각 변환됩니다.

로그의 공식화와 그 값의 표(삼각 함수용)는 스코틀랜드 수학자 John Napier에 의해 1614년에 처음 출판되었습니다. 다른 과학자들이 확대하고 자세히 설명한 대수표는 과학 및 과학 분야에서 널리 사용되었습니다. 엔지니어링 컴퓨팅, 전자 계산기와 컴퓨터가 사용되기 시작할 때까지 관련성을 유지했습니다.