역도함수와 무한 적분.

역도함수와 무한 적분

사실 1. 적분은 미분에 반대되는 동작, 즉 이 함수의 알려진 도함수에서 함수를 복원하는 것입니다. 이렇게 복원된 기능 NS(NS)라고 한다 반도함수기능을 위해 NS(NS).

정의 1. 기능 NS(NS NS(NS) 일정 간격으로 NS모든 값에 대해 NS이 간격에서 평등 NS "(NS)=NS(NS), 즉 이 함수는 NS(NS)는 역도함수의 도함수입니다. NS(NS). .

예를 들어, 함수 NS(NS) = 죄 NS 함수의 역도함수 NS(NS) = 코사인 NS x의 값에 대해 정수 라인에서 (죄 NS) "= (코사인 NS) .

정의 2. 함수의 무한 적분 NS(NS)는 모든 역도함수의 집합입니다.... 이 경우 레코드가 사용됩니다.

∫

NS(NS)DX

표시는 어디에 있습니까 ∫ 적분 기호라고 하는 함수 NS(NS) 는 피적분이고, NS(NS)DX - 피적분.

그래서 만약 NS(NS)에 대한 일종의 역도함수입니다. NS(NS) , 그 다음에

∫

NS(NS)DX = NS(NS) +씨

어디 씨 - 임의의 상수(상수).

무한 적분으로 함수의 역도함수 집합의 의미를 이해하려면 다음 비유가 적절합니다. 문이 있게 하십시오(전통적인 나무로 되는 문). 그 기능은 "문이 되는 것"입니다. 문은 무엇으로 만들어졌나요? 나무로 만들어진. 이것은 피적분 "to be the door"의 역도함수 집합, 즉 그것의 무한 적분은 함수 "to be a tree + C"라는 것을 의미합니다. 여기서 C는 상수이며, 이 문맥에서 다음을 의미할 수 있습니다. 예를 들어, 나무 종. 몇 가지 도구를 사용하여 문이 나무로 만들어지는 것처럼 함수의 도함수는 다음을 사용하여 역도함수에서 "만든" 도함수를 공부하여 배운 공식 .

그런 다음 공통 객체의 기능 테이블과 해당 역도함수("문이 되다"- "나무가 되다", "숟가락이 되다"- "금속이 되다" 등)는 기본 테이블과 유사합니다. 무한 적분, 아래에 주어집니다. 부정 적분 표는 이러한 기능이 "만들어진" 역도함수를 나타내는 공통 기능을 나열합니다. 부정 적분을 찾는 문제의 일부에서 그러한 피적분은 특별한 고려 없이 직접 적분할 수 있는 것으로 주어집니다. 즉, 부정 적분 표에 따라. 더 복잡한 문제에서는 표 적분을 사용할 수 있도록 먼저 피적분 함수를 변환해야 합니다.

Fact 2. 함수를 역도함수로 복원할 때 임의의 상수(상수)를 고려해야 합니다. 씨, 그리고 1부터 무한대까지 다양한 상수를 갖는 역도함수의 목록을 작성하지 않으려면 임의의 상수를 갖는 역도함수 세트를 작성해야 합니다. 씨예를 들면 다음과 같습니다. 5 NS³ + С. 따라서 역도함수는 함수가 될 수 있으므로 임의의 상수(상수)는 역도함수의 표현에 포함됩니다. 예를 들어 5 NS³ + 4 또는 5 NS³ + 3 및 미분 4 또는 3, 또는 다른 상수는 사라집니다.

통합 문제를 제기해 보겠습니다. 이 함수에 대해 NS(NS) 그런 기능을 찾아 NS(NS), 누구의 파생 상품와 동등하다 NS(NS).

예 1.함수의 역도함수 집합 찾기

해결책. 이 함수의 경우 역도함수는 함수입니다.

기능 NS(NS)를 함수에 대한 역도함수라고 합니다. NS(NS) 도함수의 경우 NS(NS) 와 동등하다 NS(NS) 또는 동일한 것인 미분 NS(NS) 와 동등하다 NS(NS) DX, 즉.

(2)

따라서 함수는 함수에 대한 역도함수입니다. 그러나 에 대한 유일한 반도함수는 아닙니다. 그들은 또한 기능을 수행합니다

어디 와 함께임의의 상수입니다. 이는 차별화를 통해 확인할 수 있습니다.

따라서 함수에 대해 하나의 역도함수가 있는 경우 해당 함수에 대해 상수 항만큼 다른 역도함수의 수는 무한합니다. 함수에 대한 모든 역도함수는 위의 형식으로 작성됩니다. 이것은 다음 정리에서 따릅니다.

정리(사실에 대한 공식 진술 2).만약에 NS(NS) 함수에 대한 역도함수입니다. NS(NS) 일정 간격으로 NS, 다음에 대한 기타 역도함수 NS(NS)는 같은 간격으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. NS(NS) + 씨, 어디 와 함께임의의 상수입니다.

다음 예에서 우리는 이미 무한 적분의 속성 다음에 섹션 3에서 제공될 적분 표를 참조하고 있습니다. 위의 내용을 명확하게 하기 위해 전체 표를 읽기 전에 이 작업을 수행합니다. 그리고 테이블과 속성 뒤에는 통합에서 전체적으로 사용할 것입니다.

예 2.역도함수 세트 찾기:

해결책. 우리는 이러한 함수가 "만들어진" 역도함수의 집합을 찾습니다. 적분표의 공식을 언급할 때 지금은 그런 공식이 있다는 사실을 받아들이고 전체 미한 적분표를 조금 더 공부하겠습니다.

1) 적분표의 식 (7) 적용 N= 3, 우리는

2) 적분표의 공식 (10)을 사용하여 N= 1/3, 우리는

3) 이후

그런 다음 식 (7)에 의해 N= -1/4 찾기

적분은 함수 그 자체가 아니다 NS, 및 미분에 의한 그 제품 DX... 이것은 주로 어떤 변수가 역도함수를 검색하는지 나타내기 위해 수행됩니다. 예를 들어,

, ;

여기 두 경우 모두 피적분은 동일하지만 고려된 경우의 무한 적분은 다른 것으로 판명되었습니다. 첫 번째 경우 이 함수는 변수의 함수로 간주됩니다. NS, 그리고 두 번째 -의 기능으로 지 .

함수의 무한 적분을 찾는 과정을 이 함수의 적분이라고 합니다.

무한 적분의 기하학적 의미

곡선을 찾는 데 필요합니다. y = F(x)그리고 우리는 이미 각 점에서 접선의 경사각의 접선이 주어진 함수라는 것을 알고 있습니다. f (x)이 점의 횡좌표.

미분의 기하학적 의미에 따르면, 곡선의 주어진 점에서 접선의 경사각의 접선 y = F(x)파생 상품의 가치와 같습니다 에프 "(x)... 따라서 우리는 그러한 기능을 찾아야합니다. 에프(x), 무엇을 위해 F "(x) = f(x)... 작업에 필요한 기능 에프(x)의 역도함수이다 f (x)... 문제의 조건은 하나의 곡선이 아니라 곡선의 집합에 의해 충족됩니다. y = F(x)이 곡선 중 하나이며 축을 따라 평행 이동하여 다른 곡선을 얻을 수 있습니다. 오이.

의 역도함수의 그래프를 호출하자. f (x)적분 곡선. 만약에 F "(x) = f(x), 함수의 그래프 y = F(x)적분 곡선이 있습니다.

사실 3. 무한 적분은 기하학적으로 모든 적분 곡선의 가족으로 표현됩니다. 아래 그림과 같이. 원점에서 각 곡선의 거리는 임의의 적분 상수(상수)에 의해 결정됩니다. 씨.

무한 적분 속성

사실 4. 정리 1. 무한 적분의 미분은 피적분과 같고 미분은 피적분과 같습니다.

사실 5. 정리 2. 함수 미분의 무한 적분 NS(NS)는 함수와 같습니다. NS(NS) 상수항까지 , 즉.

(3)

정리 1과 2는 미분과 적분이 상호 연산임을 보여줍니다.

사실 6. 정리 3. 피적분의 상수 인자는 부정 적분 부호에서 빼낼 수 있습니다. , 즉.

기능 NS (NS ) ~라고 불리는 반도함수 기능을 위해 NS (NS) 모든 경우에 주어진 간격으로 NS 이 간격에서 평등

NS "(NS ) = NS(NS ) .

예를 들어, 함수 F(x) = x 2 NS (NS ) = 2NS , 왜냐하면

F "(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

반도함수의 주요 속성

만약에 에프(x) - 함수에 대한 역도함수 f (x) 주어진 간격에서 함수 f (x) 무한히 많은 역도함수를 가지며 이 모든 역도함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. F(x) + C, 어디 와 함께 임의의 상수입니다.

예를 들어.

기능 F(x) = x 2 + 1 함수의 역도함수

NS (NS ) = 2NS , 왜냐하면 F "(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

기능 F(x) = x 2 - 1 함수의 역도함수

NS (NS ) = 2NS , 왜냐하면 F "(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

기능 F(x) = x 2 - 3 함수의 역도함수

NS (NS) = 2NS , 왜냐하면 F "(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

어떤 기능 F(x) = x 2 + 와 함께 , 어디 와 함께 임의의 상수이고 그러한 함수만이 함수에 대한 역도함수입니다. NS (NS) = 2NS . ◄

반도함수 계산 규칙

만약에 에프(x) - 에 대한 역도함수 f (x) , NS 지(x) - 에 대한 역도함수 지 (x) , 그 다음에 F(x) + G(x) - 에 대한 역도함수 f(x) + g(x) ... 다시 말해, 합계의 역도함수는 역도함수의 합과 같습니다. .
만약에 에프(x) - 에 대한 역도함수 f (x) , 그리고 케이 - 상수, 그럼 케이 · 에프(x) - 에 대한 역도함수 케이 · f (x) ... 다시 말해, 상수 인자는 도함수의 부호 밖으로 이동할 수 있습니다. .
만약에 에프(x) - 에 대한 역도함수 f (x) , 그리고 케이,NS- 영구적, 게다가 k ≠ 0 , 그 다음에 1 / 케이 NS (케이 x + NS ) - 에 대한 역도함수 NS(케이 x + NS) .

무한 적분

무한 적분 기능에서 f (x) 호출된 표현 F(x) + C, 즉, 주어진 함수의 모든 역도함수의 전체 f (x) ... 무한 적분은 다음과 같이 표시됩니다.

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f (x)- 라고 불리는 피적분 ;

f (x) dx- 전화 피적분 ;

NS - 전화 적분 변수 ;

에프(x) - 함수의 역도함수 중 하나 f (x) ;

와 함께 임의의 상수입니다.

예를 들어, ∫ 2 x dx =NS 2 + 와 함께 , ∫ 코사인x dx =죄 NS + 와 함께 등. ◄

"integral"이라는 단어는 라틴어 단어에서 유래했습니다. 정수 "회복"을 의미합니다. 의 무한 적분을 고려하면 2 NS, 우리는 일종의 기능을 복원합니다. NS 2 미분 값은 다음과 같습니다. 2 NS... 그것의 도함수로부터 함수의 재구성, 또는 동일한, 주어진 피적분에 대해 무한 적분을 찾는 것을 통합 이 기능. 적분은 미분의 역이며 적분이 맞는지 확인하기 위해서는 결과를 미분하여 피적분 함수를 구하면 됩니다.

무한 적분의 기본 속성

무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

(∫ f (x) dx )" = f(x) .

피적분의 상수 인수는 적분 기호 외부에서 취할 수 있습니다.

∫ 케이 · f (x) dx = 케이 · ∫ f (x) dx .

함수의 합(차)의 적분은 다음 함수의 적분의 합(차)과 같습니다.

∫ ( f(x) ± g(x ) ) DX = ∫ f (x) dx ± ∫ 지 (x ) DX .

만약에 케이,NS- 영구적, 게다가 k ≠ 0 , 그 다음에

∫ NS ( 케이 x + NS) DX = 1 / 케이 NS (케이 x + NS ) + C .

역도함수와 부정 적분 표

	f (x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
NS.	$$0$$	₩₩ C ₩₩	$$ \ int 0dx = C $$
Ⅱ.	$$ k $$	$$ kx + C $$	$$ \ int kdx = kx + C $$
III.	$$ x ^ n ~ (n \ neq-1) $$	$$ \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$	$$ \ int x ^ ndx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$
IV.	$$ \ frac (1) (x) $$	$$ \ ln \| x \| + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (x) = \ ln \| x \| + C $$
V.	$$ \ 죄 x $$	$$ - \ cos x + C $$	$$ \ int \ sin x ~ dx = - \ cos x + C $$
Vi.	$$ \ 코스 x $$	$$ \ 죄 x + C $$	$$ \ int \ cos x ~ dx = \ sin x + C $$
Ⅶ.	$$ \ frac (1) (\ cos ^ 2x) $$	$$ \ textrm (tg) ~ x + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) = \ textrm (tg) ~ x + C $$
Ⅷ.	$$ \ frac (1) (\ sin ^ 2x) $$	$$ - \ textrm (ctg) ~ x + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2x) = - \ textrm (ctg) ~ x + C $$
IX.	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + C $$	$$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$
NS.	$$ a ^ x $$	$$ \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$	$$ \ int a ^ xdx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$
XI.	$$ \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ \ arcsin x + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C $$
12.	$$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$	$$ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$
XIII.	$$ \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \ textrm (arctg) ~ x + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ textrm (arctg) ~ x + C $$
14.	$$ \ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) = \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$
15.	$$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ \ ln \| x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ ln \| x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + C $$
16.	$$ \ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \ neq0) $$	$$ \ frac (1) (2a) \ ln \ 시작(vmatrix) \ frac(x-a) (x + a) \ 끝(vmatrix) + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) = \ frac (1) (2a) \ ln \ begin (vmatrix) \ frac (xa) (x + a) \ end (vmatrix) + C $$
17.	$$ \ textrm (tg) ~ x $$	$$ - \ ln \| \ cos x \| + C $$	$$ \ int \ textrm (tg) ~ x ~ dx = - \ ln \| \ cos x \| + C $$
XVIII.	$$ \ textrm (ctg) ~ x $$	$$ \ ln \| \ sin x \| + C $$	$$ \ int \ textrm (ctg) ~ x ~ dx = \ ln \| \ sin x \| + C $$
XIX.	$$ \ frac (1) (\ 죄 x) $$	$$ \ ln \ 시작(vmatrix) \ textrm(tg) ~ \ frac(x) (2) \ 끝(vmatrix) + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ sin x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$
더블 엑스.	$$ \ frac (1) (\ cos x) $$	$$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ 왼쪽 (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ right) \ end (vmatrix) + C $$	$$ \ int \ frac (dx) (\ cos x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ 왼쪽 (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ 오른쪽 ) \ 끝(vmatrix) + C $$
이 표에 주어진 역도함수와 부정 적분은 일반적으로 표 형식의 역도함수 그리고 표 적분 .

한정적분

간격을 두다 [NS; NS] 연속 함수가 주어진다 y = f(x) , 그 다음에 a에서 b까지의 정적분 기능 f (x) 역도함수의 증분이라고 합니다. 에프(x) 이 기능, 즉

$$ \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | (_a ^ b) = ~~ F (a) -F (b).$$

숫자들 NS그리고 NS그에 따라 명명 낮추다 그리고 맨 위 통합의 한계.

정적분 계산을 위한 기본 규칙

1. \ (\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx = 0 \);

2. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = - \ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \);

3. \ (\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx = k \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \) 여기서 케이 - 일정한;

4. \ (\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \);

5. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = \ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \) ;

6. \ (\ int _ (-a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \), 여기서 f (x) - 짝수 기능;

7. \ (\ int _ (-a) ^ (a) f (x) dx = 0 \), 여기서 f (x) 이상한 기능입니다.

논평 ... 모든 경우에, 피적분은 적분의 한계인 경계가 있는 수치적 간격에서 적분할 수 있다고 가정합니다.

일정한 적분의 기하학적, 물리적 의미

기하학적 의미 한정적분	신체 감각 한정적분

정사각형 NS곡선 사다리꼴(구간에서 연속적인 양의 그래프로 경계를 이루는 그림 [NS; NS] 기능 f (x) , 축 황소 그리고 직접 x = 에이 , x = b )는 공식에 의해 계산됩니다. $$ S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx.$$	방법 NS누가 극복 재료 포인트법칙에 따라 달라지는 속도로 직선으로 움직이는 것 v (t) , 시간 간격 a ; NS], 그런 다음 이러한 기능과 직선의 그래프에 의해 제한되는 그림의 영역 x = 에이 , x = b , 공식에 의해 계산 $$ S = \ int_ (a) ^ (b) (f(x) -g(x)) dx.$$
	예를 들어. 선으로 둘러싸인 그림의 면적 계산 y = x 2 그리고 y = 2- NS . 이러한 기능의 그래프를 도식적으로 묘사하고 영역을 찾아야 하는 그림을 다른 색상으로 강조 표시해 보겠습니다. 적분의 한계를 찾기 위해 다음 방정식을 풉니다. NS 2 = 2- NS ; NS 2 + NS - 2 = 0 ; NS 1 = -2, NS 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ 왼쪽 (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ 오른쪽 ) \ bigm \| (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ frac (1) (2). $$ ◄

혁명체의 부피

축을 중심으로 회전한 결과 몸체를 얻은 경우 황소 곡선 사다리꼴, 구간에서 연속 및 음이 아닌 그래프로 제한됨 [NS; NS] 기능 y = f(x) 그리고 직접 x = 에이그리고 x = b 그런 다음 호출됩니다. 혁명의 몸 .

회전체의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.

$$ V = \ 파이 \ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx.$$

함수의 그래프에 의해 위아래로 경계를 이루는 도형의 회전의 결과로 회전체를 얻은 경우 y = f(x) 그리고 y = g(x) , 각각, 다음

$$ V = \ 파이 \ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx.$$

예를 들어. 반경이있는 원뿔의 부피를 계산합니다. NS 그리고 높이 시간 .

원뿔을 에 놓으십시오. 직사각형 시스템축이 축과 일치하도록 좌표 황소 , 그리고 베이스의 중심은 원점에 있었다. 발전기 회전 AB원뿔을 정의합니다. 방정식 이후 AB

$$ \ frac (x) (h) + \ frac (y) (r) = 1, $$

$$ y = r- \ frac (rx) (h) $$

그리고 우리가 가지고 있는 원뿔의 부피에 대해

$$ V = \ 파이 \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( x) (h)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2h \ 왼쪽 (0- \ frac (1) (3) \ 오른쪽) = \ frac (\ pi r ^ 2h) (3). $$

◄

직선을 따라 점의 움직임을 고려하십시오. 시간을 보자 NS움직임의 시작부터 포인트는 길을 지나갔어 성).그 다음에 순간 속도 v (t)함수의 도함수와 같습니다. 성),그건 v (t) = s "(t).

실제로는 역 문제가 있습니다. 주어진 점의 이동 속도에 대해 v (t)그녀가 여행한 길을 찾아 성), 즉, 그러한 기능을 찾으십시오 성),미분 값은 다음과 같습니다. v (t)... 기능 성),그런 s "(t) = v(t), 함수의 역도함수라고 함 v (t).

예를 들어 v (t) = аt, 어디 NS가 주어진 숫자이면 함수는
s (t) = (аt 2) / 2v (t),왜냐하면
s "(t) = ((аt 2) / 2)" = аt = v(t).

기능 에프(x)함수의 역도함수라고 함 f (x)모든 경우에 일정 간격으로 NS이 틈에서 F "(x) = f(x).

예를 들어, 함수 F(x) = 죄 x함수의 역도함수 f(x) = cos x,왜냐하면 (죄 x) "= cos x; 기능 F(x) = x 4/4함수의 역도함수 f(x) = x 3, 왜냐하면 (x 4/4) "= x 3.

문제를 생각해 봅시다.

일.

함수 x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4가 동일한 함수 f(x) = x 2의 역도함수임을 증명하십시오.

해결책.

1) 우리는 F 1 (x) = x 3/3, 그런 다음 F "1 (x) = 3 ∙ (x 2/3) = x 2 = f (x)라고 표시합니다.

2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F "2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3/3) "+ (1)" = x 2 = f ( NS).

3) F 3(x) = x 3/3 - 4, F "3(x) = (x 3/3 - 4)" = x 2 = f(x).

일반적으로 모든 함수 x 3/3 + C(여기서 C는 상수)는 함수 x 2의 역도함수입니다. 이것은 상수의 도함수가 0이라는 사실에서 비롯됩니다. 이 예는 주어진 함수에 대해 역도함수가 고유하게 결정되지 않음을 보여줍니다.

F 1 (x)와 F 2 (x)를 같은 함수 f(x)의 두 역도함수라고 하자.

그런 다음 F 1 "(x) = f(x) 및 F" 2(x) = f(x)입니다.

차이의 미분 g (x) = F 1 (x) - F 2 (x)는 g "(x) = F" 1 (x) - F "2 (x) = f (x ) - f(x) = 0.

어떤 간격에서 g "(x) = 0이면 이 간격의 각 지점에서 함수 y = g(x)의 그래프에 대한 접선은 Ox 축에 평행합니다. 따라서 함수 y = g의 그래프 (x)는 Ox 축에 평행한 직선입니다. 즉, g(x) = C, 여기서 C는 일부 상수입니다. 등식 g(x) = C, g(x) = F 1 ( x) - F 2 (x) 즉 F 1 (x) = F 2 (x) + C.

따라서 함수 F(x)가 특정 구간에서 함수 f(x)의 역도함수이면 모든 반유도체 f(x)는 F(x) + С로 작성되며, 여기서 С는 임의의 상수입니다.

주어진 함수 f(x)의 모든 역도함수의 그래프를 고려하십시오. F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 경우 이 함수의 모든 역도함수는 F(x)에 상수를 추가하여 얻습니다. F(x) + C. 함수 y =의 그래프 F(x) + C는 그래프 y = F(x)에서 Oy 축을 따라 이동하여 얻습니다. C를 선택하면 역도함수 그래프가 주어진 점을 통과하도록 할 수 있습니다.

반도함수를 찾기 위한 규칙에 주의를 기울이자.

주어진 함수에 대한 도함수를 찾는 작업이 호출됨을 상기하십시오. 분화... 주어진 함수에 대한 역도함수를 찾는 역연산을 호출합니다. 통합(라틴어 단어에서 "복원하다").

역도함수 표일부 함수의 경우 도함수 테이블을 사용하여 컴파일할 수 있습니다. 예를 들어, 그것을 알고 (cos x) "= -sin x,우리는 얻는다 (-cos x) "= 죄 x, 여기서 모든 반도함수는 죄 x로 쓰여진다 -cos x + C, 어디 와 함께- 일정한.

반도함수의 의미를 몇 가지 고려해 보겠습니다.

1) 기능: x p, p ≠ -1... 역도함수: (xp + 1) / (p + 1) + C.

2) 기능: 1 / x, x> 0.역도함수: ln x + C.

3) 기능: x p, p ≠ -1... 역도함수: (xp + 1) / (p + 1) + C.

4) 기능: 에프엑스... 역도함수: FX + C.

5) 기능: 죄 x... 역도함수: -cos x + C.

6) 기능: (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0.역도함수: (((kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C.

7) 기능: 1 / (kx + b), k ≠ 0... 역도함수: (1 / k) ln (kx + b) + C.

8) 기능: e kx + b, k ≠ 0... 역도함수: (1 / k) e kx + b + C.

9) 기능: 죄(kx + b), k ≠ 0... 역도함수: (-1 / k) cos (kx + b).

10) 기능: cos (kx + b), k ≠ 0.역도함수: (1 / k) 죄 (kx + b).

통합 규칙로 얻을 수 있다 차별화 규칙... 몇 가지 규칙을 살펴보겠습니다.

하자 에프(x)그리고 지(x)- 각각 함수의 역도함수 f (x)그리고 지 (x)일정한 간격으로. 그 다음에:

1) 기능 F(x) ± G(x)함수의 역도함수 f(x) ± g(x);

2) 기능 AF(x)함수의 역도함수 ㅇ (x).

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적분을 푸는 것은 쉬운 작업이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 문서는 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 전혀 또는 거의 알지 못하는 사람들을 위한 것입니다. 적분 ... 왜 필요한가요? 그것을 계산하는 방법? 정적분과 부정 적분이란 무엇입니까? 당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 뜨개질로 손이 닿기 어려운 곳에서 유용한 것을 크로셰 뜨개질하는 것이라면 환영합니다! 적분을 푸는 방법과 적분 없이는 할 수 없는 이유를 알아보십시오.

우리는 "통합"의 개념을 연구합니다

통합은 예전에 알려져 있었습니다. 고대 이집트... 물론 안에는 없다 현대적인 형태, 하지만 여전히. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 대해 많은 책을 저술했습니다. 특히 두각을 나타냈다 뉴턴 그리고 라이프니츠 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다. 적분을 처음부터 어떻게 이해합니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 수학적 분석의 기초에 대한 기본 지식이 필요합니다. 우리 블로그에서 찾을 수 있는 귀하에 대한 기본 정보입니다.

무한 적분

어떤 종류의 기능이 있다고 가정합니다. f (x) .

함수의 무한 적분 f (x) 그런 함수를 호출 에프(x) 그 도함수가 함수와 같음 f (x) .

즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽으십시오.

모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한 상수에 따라 다른 함수의 도함수가 일치하기 때문에 상수의 부호는 종종 역도함수에 추가됩니다. 적분을 찾는 과정을 적분이라고 합니다.

간단한 예:

기본 함수의 역도함수를 지속적으로 계산하지 않으려면 테이블로 가져와 미리 만들어진 값을 사용하는 것이 편리합니다.

한정적분

적분의 개념을 다룰 때 우리는 극소량을 다룹니다. 적분은 그림의 면적, 불균일한 몸체의 질량, 고르지 않은 움직임으로 이동한 경로 등을 계산하는 데 도움이 됩니다. 적분은 무한히 많은 수의 극소 항의 합이라는 것을 기억해야 합니다.

예를 들어 어떤 함수의 그래프를 상상해 봅시다. 함수의 그래프로 둘러싸인 모양의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까?

적분 사용! 우리는 좌표축과 함수의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴을 무한히 작은 세그먼트로 나눕니다. 따라서 그림은 얇은 기둥으로 나뉩니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 더 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 되는 정도로 그것들을 줄이면 세그먼트 면적의 합은 그림의 면적이 되는 경향이 있습니다. 이것은 다음과 같이 쓰여지는 확실한 적분입니다.

점과 b를 적분의 한계라고 합니다.

Bari Alibasov와 "통합"그룹

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인형을 위한 적분 계산 규칙

무한 적분 속성

무한 적분을 푸는 방법? 여기서 우리는 예제를 풀 때 유용할 무한 적분의 속성을 살펴볼 것입니다.

적분의 미분은 피적분과 같습니다.

정수는 적분 기호 아래에서 가져올 수 있습니다.

합계의 적분은 적분의 합과 같습니다. 차이에 대해서도 마찬가지입니다.

한정적분의 속성

선형성:

적분 한계가 반전되면 적분 기호가 변경됩니다.

~에 어느포인트들 NS, NS그리고 ~와 함께:

우리는 이미 한정적분이 합의 극한이라는 것을 알아냈습니다. 그러나 예제를 풀 때 특정 값을 얻는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.

통합 솔루션의 예

아래에서 우리는 무한 적분을 찾는 몇 가지 예를 고려할 것입니다. 솔루션의 복잡성을 독립적으로 파악하고 명확하지 않은 경우 의견에 질문하는 것이 좋습니다.

자료를 통합하려면 실제로 적분을 해결하는 방법에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 바로 주어지지 않는다고 낙심하지 마십시오. 물어보면 적분 계산에 대해 알고 있는 모든 것을 알려줄 것입니다. 우리의 도움으로 닫힌 표면에 대한 3중 또는 곡선 적분은 도달 범위 내에 있습니다.

미분 연산 중 하나는 미분(미분)을 찾아 함수 연구에 적용하는 것입니다.

역 문제도 그다지 중요하지 않습니다. 정의의 각 지점 근처에서 기능의 동작이 알려진 경우 기능을 전체적으로 복원하는 방법, 즉 정의의 전체 영역에서. 이 문제는 소위 적분 미적분학의 연구 주제입니다.

통합은 차별화의 반대입니다. 또는 주어진 도함수 f`(x)에서 함수 f(x)를 복구합니다. 라틴어 인테그로(integro)는 회복을 의미합니다.

예 # 1.

(f(x)) '= 3x2라고 하자. f(x)를 찾습니다.

해결책:

미분 규칙에 따라 f(x) = x 3이라고 쉽게 추측할 수 있습니다.

(x 3) '= 3x 2 그러나 f(x)가 모호하게 발견되었음을 쉽게 알 수 있습니다. f(x)로 f(x) = x 3 +1 f(x) = x 3 +2 f(x) = x 3 -3 등을 취할 수 있습니다.

때문에 각각의 미분은 3x2와 같습니다. (상수의 미분은 0입니다). 이러한 모든 기능은 일정한 기간에 서로 다릅니다. 그렇기 때문에 공통의 결정작업은 f(x) = x 3 + C 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 C는 상수 실수입니다.

발견된 함수 f(x) 중 하나가 호출됩니다. 반도함수함수 F`(x) = 3x2

정의.

함수 F(x)는 이 구간 F`(x) = f(x)의 모든 x에 대해 주어진 구간 J에서 함수 f(x)에 대한 역도함수라고 합니다. 따라서 함수 F(x) = x 3은 (- ∞; ∞)에서 f(x) = 3x 2에 대한 역도함수입니다. 모든 x ~ R에 대해 등식은 참이므로 F` (x) = (x 3) `= 3x 2

이미 언급했듯이 이 함수에는 무한한 수의 역도함수가 있습니다.

예 # 2.

이 함수는 구간(0; + ∞)의 모든 항목에 대한 역도함수입니다. 이 간격의 모든 h에 대해 평등이 유지됩니다.

적분 문제는 주어진 함수에 대한 모든 역도함수를 찾는 것입니다. 이 문제를 해결하는 데 있어 다음 진술이 중요한 역할을 합니다.

함수의 불변성의 표시. 어떤 구간 I에서 F "(x) = 0이면 함수 F는 이 구간에서 일정합니다.

증거.

우리는 구간 I에서 일부 x 0을 수정합니다. 그런 다음 그러한 구간에서 임의의 x에 대해 Lagrange 공식 덕분에 x와 x 0 사이의 수 c를 다음과 같이 지정할 수 있습니다.

F (x) - F (x 0) = F "(c) (x-x 0).

가설에 따르면 F '(c) = 0, c ∈1이므로,

F(x) - F(x 0) = 0.

따라서 구간 I의 모든 x에 대해

즉, 함수 F는 일정하게 유지됩니다.

f의 모든 역도함수는 다음과 같은 하나의 공식을 사용하여 작성할 수 있습니다. 함수에 대한 역도함수의 일반적인 형태 NS. 다음 정리는 참이다( 반파생제의 주요 속성):

정리. 구간 I의 함수 f에 대한 모든 역도함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

F(x) + C, (1) 여기서 F(x)는 구간 I의 함수 f(x)에 대한 역도함수 중 하나이고 C는 임의의 상수입니다.

역도함수의 두 가지 속성이 간략하게 공식화되는 이 진술을 설명하겠습니다.

С 대신 식 (1)에 어떤 숫자를 입력하든 구간 I에서 f에 대한 역도함수를 얻습니다.
f에 대한 역도함수 Φ가 무엇이든 상관없이 구간 I을 취하더라도 구간 I의 모든 x에 대해 같음을 나타내는 숫자 C를 선택할 수 있습니다.

증거.

가설에 따르면, 함수 F는 구간 I에서 f에 대한 역도함수입니다. 따라서 F "(x) = f (x) for any x∈1, 그러므로 (F (x) + C)" = F "(x) + C" = f(x) + 0 = f(x), 즉 F(x) + C는 함수 f에 대한 역도함수입니다.
Ф(х)를 동일한 구간 I에서 함수 f에 대한 역도함수 중 하나라고 합시다. 즉, 모든 x∈I에 대해 Ф "(x) = f(х)입니다.

그런 다음 (Ф(x) - F(x)) "= Ф"(x) -F '(x) = f(x) -f(x) = 0입니다.

따라서 에 이어집니다. 함수의 불변성 부호의 강도, 차이 Ф(х) - F(х)는 구간 I에서 일정한 값 С를 취하는 함수입니다.

따라서 구간 I의 모든 x에 대해 필요에 따라 Φ(x) - F(x) = C가 동일하게 유지됩니다. 역도함수의 주요 속성은 다음과 같이 주어질 수 있습니다. 기하학적 의미: 함수 f에 대한 임의의 두 역도함수의 그래프는 Oy 축을 따라 평행 이동하여 서로로부터 얻습니다.

메모에 대한 질문

함수 F(x)는 함수 f(x)에 대한 역도함수입니다. f(x) = 9x2 - 6x + 1이고 F(-1) = 2인 경우 F(1)을 구합니다.

함수에 대한 모든 역도함수 찾기

함수 (x) = cos2 * sin2x에 대해 F(0) = 0이면 역도함수 F(x)를 찾습니다.

함수의 경우 그래프가 점을 통과하는 역도함수를 찾습니다.