수식 중 어느 것이 산술 진행입니다. 대수 진행

예를 들어, 시퀀스 \ (2 \); \(5\); \(여덟\); \(열하나\); \ (14 \) ... 각 다음 요소는 이전 요소와 3씩 다르기 때문에 산술 진행입니다(트리플렛을 추가하여 이전 요소에서 얻을 수 있음).

이 진행에서 차이 \(d \)는 양수(\(3 \)와 같음)이므로 각 다음 항은 이전 항보다 큽니다. 이러한 진행을 증가.

그러나 \(d \)도 음수일 수 있습니다. 예를 들어, V 산술 진행\(16\); \(십\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... 진행의 차이 \ (d \)는 마이너스 6과 같습니다.

그리고 이 경우 각 다음 요소는 이전 요소보다 작아집니다. 이러한 진행을 감소.

산술 진행 표기법

진행은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자는 그것을 호출합니다 의 구성원(또는 요소).

그것들은 산술 진행과 같은 문자로 표시되지만 순서대로 요소의 번호와 동일한 숫자 인덱스가 있습니다.

예를 들어, 산술 진행 \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)은 요소 \ (a_1 = 2 \)로 구성됩니다. \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) 등등.

즉, 진행에 대해 \ (a_n = \ 왼쪽 \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ 오른쪽 \) \)

산술 진행을 위한 문제 해결

원칙적으로 위의 정보는 산술 진행에 대한 거의 모든 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 해결하기에 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \ (b_1 = 7; d = 4 \)에 의해 지정됩니다. \ (b_5 \)를 찾으십시오.
해결책:

답변: \ (b_5 = 23 \)

예(OGE). 산술 진행의 처음 세 항은 다음과 같습니다. \ (62; 49; 36 ... \) 이 진행의 첫 번째 음수 항의 값을 찾으십시오.
해결책:

	시퀀스의 첫 번째 요소가 주어지고 그것이 산술적 진행이라는 것을 압니다. 즉, 각 요소는 인접한 요소와 동일한 수만큼 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 것을 찾으십시오: \ (d = 49-62 = -13 \).
	이제 필요한 (첫 번째 부정적인) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다.
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

답변: \(-3\)

예(OGE). 산술 진행의 여러 연속 요소가 제공됩니다. \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) 문자 \ (x \)로 표시된 요소의 값을 찾으십시오.
해결책:

	\(x \)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행의 차이를 알아야 합니다. 알려진 두 개의 인접 요소인 \(d = 12.5-10 = 2.5 \)에서 찾아보겠습니다.
	이제 우리는 문제 없이 원하는 것을 찾습니다: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다.

답변: \(7,5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다. \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) 이 진행의 처음 6개 항의 합을 구하십시오.
해결책:

진행의 처음 6개 항의 합을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 먼저 주어진 값을 사용하여 값을 차례로 계산합니다.

\ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \)
\ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \)
\ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \)
그리고 필요한 6가지 요소를 계산한 후 그 합을 찾습니다.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

찾으시는 금액이 발견되었습니다.

답변: \ (S_6 = 9 \).

예(OGE). 산술 진행에서 \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). 이 진행의 차이점을 찾으십시오.
해결책:

답변: \ (d = 7 \).

중요한 산술 진행 공식

보시다시피, 많은 산술 진행 문제는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자의 사슬이며 이 사슬의 각 다음 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 더하여 얻습니다(차이 진행).

그러나 때때로 "정면"을 결정하는 것이 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \ (b_5 \)가 아니라 삼백팔십육 번째 \ (b_ (386) \)를 찾아야 한다고 상상해보십시오. 무엇입니까, 우리는 \ (385 \) 곱하기 4를 더합니까? 또는 끝에서 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 당신은 계산하는 데 고문을 당할 것입니다 ...

따라서 이러한 경우 "정면"을 풀지 않고 산술 진행을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요 것들은 진행의 n 번째 항에 대한 공식과 첫 번째 항의 합계 \ (n \)에 대한 공식입니다.

\ (n \) - 번째 멤버에 대한 공식: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), 여기서 \ (a_1 \)는 진행의 첫 번째 항입니다.
\ (n \) - 검색되는 요소의 번호.
\ (a_n \)는 숫자 \ (n \)를 가진 진행의 구성원입니다.

이 공식을 사용하면 첫 번째 요소와 진행 차이만 알고 최소 300분의 1, 심지어 100만 번째 요소를 빠르게 찾을 수 있습니다.

예시. 산술 진행은 조건에 의해 지정됩니다. \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (b_ (246) \)를 찾으십시오.
해결책:

답변: \ (b_ (246) = 1850 \).

처음 n개 항의 합에 대한 공식: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), 여기서

\ (a_n \) - 마지막 합계 기간;

예(OGE). 산술 진행은 조건 \ (a_n = 3,4n-0,6 \)에 의해 지정됩니다. 이 진행의 첫 번째 \ (25 \) 구성원의 합계를 찾으십시오.
해결책:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		처음 25개 요소의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. 우리의 진행은 숫자에 따라 n번째 항의 공식에 의해 주어집니다(자세한 내용 참조). \(n \)를 1로 대체하여 첫 번째 요소를 계산해 보겠습니다.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		이제 \(n \) 대신 25를 대체하여 25번째 항을 찾습니다.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		자, 이제 문제 없이 필요한 양을 계산할 수 있습니다.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		답변이 준비되었습니다.

답변: \ (S_ (25) = 1090 \).

첫 번째 항의 합계 \ (n \)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) 대신 \ (a_n \) 공식을 \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)로 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다.

처음 n개 항의 합에 대한 공식: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), 여기서

\ (S_n \) - 첫 번째 요소의 필요한 합계 \ (n \);
\ (a_1 \) - 첫 번째 합산 기간;
\ (d \) - 진행 차이;
\ (n \) - 합계의 항목 수.

예시. 첫 번째 \ (33 \)의 합계를 찾으십시오 - 산술 진행의 전 구성원 : \ (17 \); \ (15.5 \); \(십사\)…
해결책:

답변: \ (S_ (33) = - 231 \).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 진행 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다. 수식을 적용할 뿐만 아니라 조금 생각해야 하는 문제를 고려하여 주제를 마무리합니다(수학에서는 유용할 수 있습니다 ☺)

예(OGE). 진행의 모든 음수 항의 합계를 찾으십시오. \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18.7 \) ...
해결책:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 우리는 또한 해결하기 시작합니다. 먼저 \ (d \)를 찾습니다.
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		이제 합계에 대한 공식에서 \ (d \)를 대체합니다 ... 여기에 작은 뉘앙스가 나타납니다. \ (n \)를 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아야 합니다. 어떻게? 산술 진행의 모든 요소를 계산하는 공식을 적어 보겠습니다. 우리의 경우 \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)입니다.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n-1) 0.3 \)		0보다 크려면 \(a_n \)가 필요합니다. 어떤 \ (n \) 일이 발생하는지 알아 봅시다.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (\|: 0.3 \)		우리는 부등식의 양쪽을 \(0,3 \)로 나눕니다.
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		기호 변경을 기억하면서 마이너스 1로 이동
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		우리는 계산 ...
\ (n> 65,333 ... \)		... 첫 번째 양수 요소는 숫자 \ (66 \)를 갖습니다. 따라서 마지막 음수는 \ (n = 65 \)입니다. 만일의 경우를 대비하여 확인해 봅시다.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		따라서 첫 번째 \ (65 \) 요소를 추가해야 합니다.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		답변이 준비되었습니다.

답변: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건으로 지정됩니다. \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) 번째에서 \ (42 \) 요소까지의 합을 찾습니다.
해결책:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	이 문제에서는 요소의 합도 찾아야 하지만 첫 번째부터 시작하는 것이 아니라 \ (26 \) - th부터 시작해야 합니다. 그러한 경우에는 공식이 없습니다. 결정하는 방법? 쉬움 - \ (26 \) - 일에서 \ (42 \) - 오, 먼저 \ (1 \) - 일에서 \ (42 \) - 오에서 합계를 찾은 다음 빼야 합니다. 처음부터 \ (25 \) - 일까지 합계하십시오 (그림 참조).
	우리의 진행 \ (a_1 = -33 \) 및 차이 \ (d = 4 \) (결국 우리가 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 추가하는 것은 4입니다). 이것을 알면 첫 번째 \ (42 \) - yh 요소의 합을 찾습니다.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	이제 첫 번째 \ (25 \) - ty 요소의 합입니다.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	마지막으로 답을 계산합니다.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

답변: \ (S = 1683 \).

산술 진행에 대한 몇 가지 공식이 더 있습니다. 이 공식은 실용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않았습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

I.V. 야코블레프 | 수학 자료 | MathUs.ru

산술 진행

산술 진행은 특별한 종류의 수열입니다. 따라서 산술(그리고 기하학적) 진행을 정의하기 전에 수열의 중요한 개념에 대해 간략하게 논의할 필요가 있습니다.

하위 시퀀스

일부 숫자가 차례로 표시되는 화면의 장치를 상상해보십시오. 2라고 합시다. 7; 13; 1; 6; 0; 삼; ::: 이 숫자 집합은 시퀀스의 예일 뿐입니다.

정의. 숫자 시퀀스는 각 숫자에 고유한 숫자를 할당할 수 있는 숫자 집합입니다(즉, 단일 자연수를 연결하기 위해). 숫자 n이 호출됩니다. n번째 멤버순서.

따라서 위의 예에서 첫 번째 숫자는 숫자 2를 가지며 이것은 a1로 표시될 수 있는 시퀀스의 첫 번째 구성원입니다. 숫자 5에는 숫자 6이 있습니다. 이것은 시퀀스의 다섯 번째 항이며 a5로 표시할 수 있습니다. 일반적으로, n번째 용어시퀀스는 a(또는 bn, cn 등)로 표시됩니다.

어떤 공식으로 수열의 n번째 항을 지정할 수 있는 상황은 매우 편리합니다. 예를 들어, 공식 a = 2n 3은 시퀀스를 정의합니다. 1; 1; 삼; 5; 7; ::: 공식 an = (1) n은 시퀀스를 정의합니다. 1; 1; 1; 1; :::

모든 숫자 집합이 시퀀스인 것은 아닙니다. 따라서 세그먼트는 시퀀스가 아닙니다. 번호를 다시 매기기에 "너무 많은" 숫자가 포함되어 있습니다. 모든 실수의 집합 R도 수열이 아닙니다. 이러한 사실은 수학적 분석 과정에서 증명됩니다.

산술 진행: 기본 정의

이제 산술 진행을 정의할 준비가 되었습니다.

정의. 산술 진행은 시퀀스이며, 각 항(두 번째부터 시작)은 이전 항과 고정된 숫자(산술 진행의 차라고 함)의 합과 같습니다.

예를 들어, 시퀀스 2; 5; 여덟; 열하나; :::는 첫 번째 항이 2이고 차이가 3인 산술 진행입니다. 시퀀스 7; 2; 삼; 여덟; :::는 첫 번째 항이 7이고 차이가 5인 산술 진행입니다. 시퀀스 3; 삼; 삼; :::는 차이가 없는 산술 진행입니다.

등가 정의: a + 1 an 차이가 상수 값(n과 무관)인 경우 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다.

산술 진행은 그 차이가 양수이면 증가하고, 그 차이가 음수이면 감소라고 합니다.

1 그리고 여기에 좀 더 간결한 정의가 있습니다. 시퀀스는 집합에 정의된 함수입니다. 자연수... 예를 들어, 실수 시퀀스는 함수 f: N! NS.

기본적으로 시퀀스는 무한한 수, 즉 무한한 수를 포함하는 것으로 간주됩니다. 그러나 아무도 유한 수열도 고려하려고 하지 않습니다. 사실, 모든 유한한 숫자 집합을 유한 수열이라고 부를 수 있습니다. 예를 들어, 최종 시퀀스는 1입니다. 2; 삼; 4; 5는 5개의 숫자로 구성됩니다.

산술 진행의 n번째 항의 공식

산술 진행이 완전히 두 숫자, 즉 첫 번째 항과 차에 의해 결정된다는 것을 이해하기 쉽습니다. 따라서 문제가 발생합니다. 첫 번째 항과 차이를 알고 산술 진행의 임의의 구성원을 찾는 방법은 무엇입니까?

산술 진행의 n번째 항에 필요한 공식을 얻는 것은 어렵지 않습니다. 하자

차이가 있는 산술 진행 d. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
+ 1 = an + d (n = 1; 2;:: :):
특히 다음과 같이 씁니다.
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
이제 에 대한 공식은 다음과 같습니다.
a = a1 + (n 1) d:

문제 1. 산술 진행 2에서; 5; 여덟; 열하나; ::: n번째 항에 대한 공식을 찾아 100번째 항을 계산합니다.

해결책. 공식 (1)에 따르면 다음과 같습니다.

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

산술 진행의 속성과 기호

산술 진행 속성. 모든 산술 진행에서

즉, 산술 진행의 각 요소(두 번째부터 시작)는 이웃 요소의 산술 평균입니다.

	증거. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
	엔 1 + 엔 + 1		(그리고 d) + (안 + d)

필요에 따라.

더 일반적인 방법으로, 산술 진행은 평등을 만족합니다.

엔 = 엔 k + 엔 + k

임의의 n> 2 및 임의의 자연 k에 대해< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

식 (2)는 수열이 산술수열이 되기 위한 필요조건일 뿐만 아니라 충분조건임이 밝혀졌다.

산술 진행의 표시입니다. 모든 n> 2에 대해 등식(2)이 유지되면 시퀀스 a는 산술 진행입니다.

증거. 식 (2)를 다음과 같이 다시 작성해 봅시다.

아나 1 = 엔 + 1 엔:

이것은 차이 + 1이 n에 의존하지 않는다는 것을 보여주며, 이것은 단지 시퀀스 a가 산술적 수열임을 의미합니다.

산술 진행의 속성과 특징은 단일 문장으로 공식화될 수 있습니다. 편의상 3개의 숫자에 대해 이 작업을 수행합니다(이는 문제에서 자주 발생하는 상황입니다).

산술 진행의 특성화. 3개의 숫자 a, b, c는 2b = a + c인 경우에만 산술 수열을 형성합니다.

문제 2. (Moscow State University, Economics Faculty, 2007) 표시된 순서대로 세 개의 숫자 8x, 3 x2 및 4는 감소하는 산술 진행을 형성합니다. x를 찾아 이 진행의 차이를 표시하십시오.

해결책. 산술 진행의 속성으로 우리는 다음을 얻습니다.

2 (3 x 2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

x = 1이면 8, 2, 4에서 차이가 6인 감소하는 진행을 얻습니다. x = 5이면 40, 22, 4가 증가하는 진행을 얻습니다. 이 경우는 좋지 않습니다.

답: x = 1, 차이는 6입니다.

산술 진행의 처음 n항의 합

옛날에 선생님이 아이들에게 1부터 100까지의 합을 구하라고 하고 조용히 앉아서 신문을 읽었다는 전설이 있습니다. 그러나 몇 분이 채 지나지 않아 한 소년이 문제를 해결했다고 말했습니다. 훗날 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 9살의 칼 프리드리히 가우스였습니다.

리틀 가우스의 아이디어는 이러했습니다. 하자

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

이 금액을 역순으로 작성해 보겠습니다.

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

다음 두 공식을 추가하십시오.

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

괄호 안의 각 항은 101과 같으며 총 100개의 항이 있습니다.

2S = 101 100 = 10100;

이 아이디어를 사용하여 합계 공식을 유도합니다.

S = a1 + a2 +::: + an + an n n: (3)

공식 (3)의 유용한 수정은 n번째 항 a = a1 + (n 1) d에 대한 공식을 다음과 같이 대입하여 얻을 수 있습니다.

		2a1 + (n 1) d

문제 3. 13으로 나누어 떨어지는 모든 양의 세 자리 숫자의 합을 구하십시오.

해결책. 13의 배수인 세 자리 숫자는 첫 번째 항 104와 차이 13과 함께 산술 수열을 형성합니다. 이 진행의 n번째 항은 다음과 같습니다.

a = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

진행 상황에 포함된 구성원이 몇 명인지 알아보겠습니다. 이를 위해 다음과 같이 부등식을 해결합니다.

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; 669:

따라서 진행 중인 회원은 69명입니다. 공식 (4)를 사용하여 필요한 합계를 찾습니다.

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

자, 이제 앉아서 몇 가지 숫자를 쓰기 시작하겠습니다. 예를 들어:
아무 숫자나 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자). 우리가 얼마나 많은 숫자를 쓰든, 우리는 항상 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지, 마지막까지 계속 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스
예를 들어 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 시퀀스의 한 번호에만 해당됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(-th 숫자와 같은)는 항상 1입니다.
숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 th 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예를 들어,)라고 부르며 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

우리가 있다고 가정 해 봅시다 숫자 시퀀스, 인접한 숫자의 차이는 동일하고 동일합니다.
예를 들어:

등.
이 수열을 산술 진행이라고 합니다.
"진행"이라는 용어는 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 넓은 의미에서 끝없는 수열로 이해되었습니다. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인이 차지한 연속 비율 이론에서 이월되었습니다.

이것은 각 구성원이 이전 구성원과 동일하고 동일한 숫자에 추가된 숫자 시퀀스입니다. 이 숫자를 산술 진행의 차라고 하며 로 표시됩니다.

어떤 숫자 시퀀스가 산술 진행이고 어떤 것이 아닌지 확인하십시오.

NS)
NS)
씨)
NS)

이해했다? 답변을 비교해 보겠습니다.
이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 진행()으로 돌아가서 그것의 th 멤버의 값을 찾아보자. 존재 둘찾는 방법.

1. 방법

진행 기간에 도달할 때까지 진행 수의 이전 값에 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않아 좋습니다. 값은 세 개뿐입니다.

따라서 설명된 산술 진행의 th 멤버는 다음과 같습니다.

2. 방법

진행에서 th 항의 값을 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합산하면 1시간 이상이 걸리며, 숫자를 더할 때 실수하지 않는 것은 사실이 아닙니다.
물론 수학자들은 산술 진행의 차이를 이전 값에 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오 ... 분명히 다음과 같은 특정 패턴을 이미 발견했습니다.

예를 들어, 이 산술 진행의 th 멤버의 값이 어떻게 추가되는지 봅시다.

다시 말해:

이런 식으로 주어진 산술 진행의 구성원의 값을 독립적으로 찾으려고 시도하십시오.

계획된? 메모를 답변과 비교하십시오.

이전 값에 산술 진행의 구성원을 연속적으로 추가할 때 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
이 공식을 "비인격화"하려고 합니다. 일반적인 형태그리고 얻다:

산술 진행 방정식.

산술 진행은 오름차순이며 때로는 감소합니다.

오름차순- 멤버의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

감소- 멤버의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생 공식은 산술 진행의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실전에서 확인해보자.
다음 숫자로 구성된 산술 진행이 주어집니다. 공식을 사용하여 계산할 경우 이 산술 진행의 th 숫자가 무엇인지 확인해 보겠습니다.

그때부터:

따라서 우리는 공식이 산술 진행의 감소 및 증가 모두에서 작동하는지 확인했습니다.
이 산술 진행의 th와 th 항을 스스로 찾아보십시오.

얻은 결과를 비교해 보겠습니다.

산술 진행 속성

작업을 복잡하게 합시다. 산술 진행의 속성을 도출해 보겠습니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
쉽게, 당신은 이미 알고 있는 공식에 따라 말하고 계산하기 시작합니다.

하자, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻습니다. 진행이 작은 값으로 표시되면 복잡한 것은 없지만 조건에 숫자가 주어진다면? 계산에 실수를 할 가능성이 있음을 인정하십시오.
이제 어떤 공식을 사용하여 이 문제를 한 번에 해결할 수 있습니까? 물론 그렇습니다. 우리가 지금 철수하려고 할 것은 바로 그녀입니다.

산술 진행의 필수 항을 다음과 같이 표시해 보겠습니다. 구하는 공식을 알고 있습니다. 이는 처음에 도출한 공식과 동일합니다.
, 그 다음에:

진행의 이전 구성원은 다음과 같습니다.
진행의 다음 구성원은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 이후 구성원을 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 멤버와 이후 멤버의 합은 그들 사이에 위치한 진행 멤버의 2배 값임이 밝혀졌습니다. 즉, 알려진 이전 값과 연속 값을 가진 진행의 구성원의 값을 찾으려면 더하고 나누어야 합니다.

맞습니다. 같은 번호를 받았습니다. 재료를 수정합시다. 전혀 어렵지 않기 때문에 진행 값을 직접 계산하십시오.

잘 했어요! 당신은 진행에 대한 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자의 왕"인 칼 가우스(Karl Gauss)가 쉽게 추론한 공식은 단 하나뿐입니다.

Karl Gauss가 9살이었을 때 다른 학년의 학생들의 작업을 확인하는 데 종사하는 교사는 수업에서 다음 작업을 요청했습니다. 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 1분 만에 문제에 대한 정답을 제시한 반면, 대부분의 무모한 반 친구들은 오랜 계산 끝에 잘못된 결과를 받았을 때 선생님의 놀라움을 상상해 보십시오 ...

젊은 칼 가우스는 당신이 쉽게 알아차릴 수 있는 특정한 패턴을 알아차렸습니다.
-th 멤버로 구성된 산술 진행이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 산술 진행 멤버의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만 작업에서 Gauss가 찾고 있는 것처럼 구성원의 합을 찾아야 하는 경우에는 어떻게 될까요?

주어진 진행을 그려봅시다. 강조 표시된 숫자를 자세히보고 다양한 수학 연산을 수행하십시오.

당신은 그것을 시도 했습니까? 무엇을 눈치채셨나요? 오른쪽! 그들의 합은 같다

이제 말해 주세요. 주어진 진행에 그런 쌍이 몇 개나 있습니까? 물론 모든 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 진행의 두 요소의 합이 동일하고 유사한 동일한 쌍이라는 사실에 기초하여 총 합은 다음과 같습니다.
.
따라서 모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

어떤 문제에서는 용어를 모르지만 진행의 차이는 알고 있습니다. th 항의 공식인 합계를 공식으로 대체해 보십시오.
뭐 했어?

잘 했어요! 이제 Karl Gauss에게 주어진 문제로 돌아가 봅시다. -th에서 시작하는 숫자의 합과 -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산하십시오.

얼마 받았어요?
가우스는 구성원의 합이 같고 구성원의 합이 같다는 것을 발견했습니다. 그렇게 결정하셨나요?

사실 등수수열의 합에 대한 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판토스에 의해 증명되었고, 이 기간 동안 재치 있는 사람들은 산술진행의 성질을 최대한 활용하고 있었다.
예를 들어, 상상 고대 이집트그리고 그 당시 가장 야심찬 건설 현장 - 피라미드 건설 ... 그림은 그 한면을 보여줍니다.

여기서 말하는 진행은 어디입니까? 피라미드 벽의 각 행에 있는 모래 블록의 수를 자세히 살펴보고 패턴을 찾으십시오.

산술적 진행이 아닌 것은? 블록 벽돌이 바닥에 놓이면 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록의 수를 계산하십시오. 모니터에 손가락을 대고 계산하지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 대해 말한 모든 것을 기억하십니까?

V 이 경우진행 상황은 다음과 같습니다.
산술 진행의 차이.
산술 진행의 구성원 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체합시다(블록 수를 2가지 방식으로 계산합니다).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수 있습니다. 얻은 값을 피라미드에있는 블록 수와 비교하십시오. 모였나? 잘 했습니다. 산술 진행의 항의 합을 마스터했습니다.
물론 바닥에 있는 블록으로 피라미드를 지을 수는 없지만? 이 조건으로 벽을 만드는 데 필요한 모래 벽돌의 수를 계산해 보세요.
관리하셨나요?
정답은 블록입니다.

운동하다

작업:

Masha는 여름까지 모양을 갖추고 있습니다. 그녀는 매일 스쿼트 횟수를 늘립니다. Masha는 첫 번째 운동에서 스쿼트를 한 경우 몇 주 동안 스쿼트를 할 것입니다.
에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
통나무를 저장할 때 벌목꾼은 각 최상위 계층이 이전 계층보다 하나 적은 로그를 포함하는 방식으로 통나무를 쌓습니다. 통나무가 벽돌의 기초 역할을 하는 경우 한 벽돌에 있는 통나무 수.

답변:

산술 진행의 매개변수를 정의합시다. 이 경우
(주 = 일).
답변: 2주가 지나면 Masha는 하루에 한 번 쪼그리고 앉는다.
첫 번째 홀수, 마지막 숫자.
산술 진행의 차이.
홀수의 개수는 절반이지만 산술 진행의 -번째 항을 찾는 공식을 사용하여 이 사실을 확인할 것입니다.
숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
사용 가능한 데이터를 공식에 대입합니다.
답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 다음과 같습니다.
피라미드 문제를 기억합시다. 우리의 경우 각 최상위 레이어가 하나의 로그만큼 줄어들기 때문에 레이어 묶음에서만 가능합니다.
데이터를 공식에 대입해 보겠습니다.
답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

요약하자면

- 인접한 수의 차이가 같거나 같은 수열. 오름차순과 내림차순이 될 수 있습니다.
공식 찾기-산술 진행의 멤버는 공식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행의 숫자 수입니다.
산술 진행의 구성원의 속성- - 진행 중인 숫자의 수입니다.
산술 진행의 구성원의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.

, 여기서 값의 수입니다.

산술 진행. 평균 수준

숫자 시퀀스

앉아서 숫자를 쓰기 시작합시다. 예를 들어:

아무 숫자나 쓸 수 있고 원하는 만큼 많이 쓸 수 있습니다. 그러나 항상 어느 것이 첫 번째이고 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스각각 고유한 번호를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다.

즉, 각 숫자는 특정 자연수와 연결될 수 있으며 유일한 자연수입니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 th 멤버라고 합니다.

어떤 수식으로 수열의 th 항을 지정할 수 있으면 매우 편리합니다. 예를 들어, 공식

시퀀스를 지정합니다.

그리고 공식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 산술 진행은 시퀀스입니다(여기서 첫 번째 항은 같음, 차이). 또는 (, 차이).

N번째 항 공식

우리는 th 구성원을 찾기 위해 이전 또는 여러 이전 구성원을 알아야 하는 공식을 순환이라고 부릅니다.

예를 들어, 이러한 공식을 사용하여 진행의 th 항을 찾으려면 이전 9를 계산해야 합니다. 예를 들어, 하자. 그 다음에:

자, 이제 공식은 무엇입니까?

각 줄에 추가하고 몇 가지 숫자를 곱합니다. 무엇을 위해? 매우 간단합니다. 이것은 현재 구성원의 수에서 다음을 뺀 것입니다.

이제 훨씬 편리해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 진행에서 n번째 항에 대한 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

해결책:

첫 번째 항은 동일합니다. 차이점은 무엇입니까? 다음은 다음과 같습니다.

(차이라고 부르기 때문이며, 이는 진행의 연속적인 구성원들의 차와 같다).

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 백 번째 항은 다음과 같습니다.

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면 9세 소년인 위대한 수학자 칼 가우스는 몇 분 만에 이 양을 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 마지막 숫자의 합은 같지만 하나는 같으며, 끝에서 세 번째 숫자와 세 번째 숫자의 합은 같은 식이라는 것을 알아차렸습니다. 그런 쌍이 몇 개나 될까요? 맞습니다. 정확히 모든 숫자의 절반입니다. 그래서,

모든 산술 진행의 첫 번째 구성원의 합계에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예시:
모든 두 자리 배수의 합을 구합니다.

해결책:

그러한 첫 번째 숫자는 입니다. 각 다음은 이전 숫자에 추가하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심을 가질 수 있는 숫자는 첫 번째 항과 그 차와 함께 산술적 진행을 형성합니다.

이 진행에 대한 th 항 공식은 다음과 같습니다.

모두 두 자릿수여야 하는 경우 진행 중인 구성원은 몇 명입니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계:

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

매일 선수는 전날보다 더 많은 m를 달립니다. 첫날에 km m를 달렸다면 몇 주 후에 몇 킬로미터를 달릴까요?
자전거 운전자는 이전보다 매일 더 많은 킬로미터를 운전합니다. 첫날 그는 킬로미터를 운전했습니다. 킬로미터를 여행하려면 며칠이 필요합니까? 그는 여행의 마지막 날에 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
상점의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 하락합니다. 냉장고 가격이 매년 얼마나 떨어졌는지 확인하십시오. 루블에 판매하기 위해 6 년 후에 루블로 판매 된 경우.

답변:

여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 그 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우 (주 = 일). 이 진행의 첫 번째 구성원의 합계를 결정해야 합니다.
.
답변:
그것은 여기에 주어집니다 : 찾을 필요가 있습니다.
분명히 이전 문제에서와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
.
값을 대체합니다.
루트는 분명히 맞지 않으므로 대답은 입니다.
다음 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 거리를 계산해 보겠습니다.
(km).
답변:
주어진:. 찾다: .
이보다 더 쉬울 수는 없습니다:
(장애).
답변:

산술 진행. 메인에 대해 간략히

이것은 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술 진행은 오름차순()과 내림차순()일 수 있습니다.

예를 들어:

산술 진행의 n번째 항을 찾는 공식

수식으로 작성되며, 여기서 는 진행에 있는 숫자의 수입니다.

산술 진행의 구성원의 속성

인접한 구성원이 알려진 경우 진행의 구성원을 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기서 는 진행의 숫자입니다.

산술 진행의 구성원의 합

금액을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다.

값의 수는 어디에 있습니까?

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