산술 진행의 차이를 찾는 방법. 산술 진행의 차이를 찾는 방법: 공식 및 솔루션의 예
예, 예: 산술 진행은 당신을 위한 장난감이 아닙니다. :) 글쎄, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 cap-evidence는 당신이 아직 산술 진행이 무엇인지 알지 못하지만 당신은 정말로(아니요, 이와 같이: SOOOOO!) 알고 싶어 한다고 말합니다. 따라서 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업에 착수 할 것입니다.
몇 가지 예부터 시작하겠습니다. 몇 가지 숫자 집합을 고려하십시오.
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에는 아무것도 없습니다. 그러나 실제로는 뭔가가 있습니다. 즉: 각 다음 요소는 이전 요소와 동일한 번호로 다릅니다..
스스로 판단하십시오. 첫 번째 집합은 단순히 연속 숫자로, 다음 집합은 이전 집합보다 더 많습니다. 두 번째 경우 인접한 숫자의 차이는 이미 5와 같지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리입니다. 그러나 $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, 즉. 이 경우 각 다음 요소는 $ \ sqrt (2) $만큼 증가합니다(이 숫자가 비합리적이라는 것을 두려워하지 마십시오).
따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:
정의. 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 진행이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행의 차이라고 하며 문자 $ d $로 가장 자주 표시됩니다.
지정: $ \ 왼쪽 (((a) _ (n)) \ 오른쪽) $ - 진행 자체, $ d $ - 그 차이.
그리고 중요한 몇 가지만 말씀드리겠습니다. 첫째, 만 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 것은 허용되지 않습니다. 번호를 재배열하거나 교환할 수 없습니다.
둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어, 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한 산술 진행입니다. 그러나 영으로 무엇인가를 쓴다면(1; 2; 3; 4; ...) - 이것은 이미 끝없는 진행입니다. 4 뒤의 줄임표는 말하자면 여전히 많은 숫자가 진행되고 있음을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)
나는 또한 진행이 증가하고 감소한다는 점에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 증가하는 것을 보았습니다 - 동일한 세트 (1; 2; 3; 4; ...). 다음은 진행 감소의 예입니다.
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5), \ \ sqrt (5) -1, \ \ sqrt (5) -2, \ \ sqrt (5) -3, ... $
그래 그래: 마지막 예너무 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 분명하다고 생각합니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.
정의. 산술 진행라고 불리는:
- 각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.
- 반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작으면 감소합니다.
또한 동일한 반복 번호로 구성된 소위 "고정" 시퀀스가 있습니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).
증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히도 그것은 모두 숫자 $ d $의 부호에 달려 있습니다. 차이 진행:
- $ d \ gt 0 $이면 진행이 증가하고 있습니다.
- $ d \ lt 0 $이면 진행이 분명히 감소하고 있습니다.
- 마지막으로 $ d = 0 $인 경우가 있습니다. 이 경우 전체 진행은 (1; 1; 1; 1; ...) 등의 동일한 숫자의 고정 시퀀스로 축소됩니다.
위에 주어진 세 가지 감소하는 진행에 대한 차이 $ d $를 계산해 봅시다. 이렇게 하려면 두 개의 인접한 요소(예: 첫 번째 요소와 두 번째 요소)를 취하고 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
보시다시피, 세 가지 경우 모두에서 그 차이는 실제로 음수로 나타났습니다. 그리고 이제 우리는 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 그 속성이 무엇인지 알아낼 때입니다.
승급 멤버 및 반복 수식
시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.
\ [\ 왼쪽 (((a) _ (n)) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ 오른쪽 \) \]
이 집합의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 첫 번째 용어, 두 번째 용어 등의 숫자로 표시됩니다.
또한 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 연결됩니다.
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ 오른쪽 화살표 ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
간단히 말해서, 진행에서 $n $번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 $d $차이를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움이되면 이전 숫자 (그리고 실제로는 모든 이전 숫자) 만 알면 모든 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 번째 항과 그 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) d \]
확실히 당신은 이미 이 공식을 충족했습니다. 그들은 모든 종류의 참고서와 reshebniks에서 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 수학에 관한 합리적인 교과서에서 그녀는 첫 번째 교과서 중 하나를 사용합니다.
그럼에도 불구하고, 나는 우리가 조금 연습하는 것이 좋습니다.
문제 번호 1. 산술 진행의 처음 세 항을 작성하십시오.
해결책. 따라서 첫 번째 항 $ ((a) _ (1)) = 8 $와 진행의 차이 $ d = -5 $를 알고 있습니다. 방금 주어진 공식을 사용하고 $ n = 1 $, $ n = 2 $ 및 $ n = 3 $를 대입해 보겠습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (1-1 \ 오른쪽) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (2-1 \ 오른쪽) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 삼; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (3-1 \ 오른쪽) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ 끝(정렬) \]
답: (8, 3, −2)
그게 다야! 참고: 진행 상황이 감소하고 있습니다.
물론 $ n = 1 $는 대체될 수 없습니다. 첫 번째 항은 이미 우리에게 알려져 있습니다. 그러나 1을 대체하여 첫 번째 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 사소한 산술로 요약됩니다.
문제 번호 2. 7번째 항이 -40이고 17번째 항이 -50이면 산술 진행의 처음 세 항을 쓰십시오.
해결책. 일반적인 용어로 문제의 조건을 적어 보겠습니다.
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ 쿼드 ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ 왼쪽 \ (\ 시작(정렬) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ 끝(정렬) \ 오른쪽. \]
\ [\ 왼쪽 \ (\ 시작(정렬) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ 끝(정렬) \ 오른쪽. \]
이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 이제 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(시스템이 있으므로 이를 수행할 권리가 있음) 다음을 얻습니다.
\ [\ 시작 (정렬) & ((a) _ (1)) + 16d- \ 왼쪽 (((a) _ (1)) + 6d \ 오른쪽) = - 50- \ 왼쪽 (-40 \ 오른쪽); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ 끝(정렬) \]
그것이 우리가 진행의 차이를 얼마나 쉽게 발견했는지입니다! 찾은 숫자를 시스템의 방정식 중 하나로 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어 첫 번째에서:
\ [\ 시작 (행렬) ((a) _ (1)) + 6d = -40, \ quad d = -1 \\ \ 아래쪽 화살표 \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ 끝(행렬) \]
이제 첫 번째 항과 차이점을 알면 두 번째와 세 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ 끝(정렬) \]
준비가 된! 문제가 해결되었습니다.
답: (-34, -35, -36)
우리가 발견한 진행의 흥미로운 속성에 주목하십시오. $ n $ th 및 $ m $ th 항을 취하고 서로를 빼면 진행의 차이에 $ n-m $를 곱한 값을 얻습니다.
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ 왼쪽 (n-m \ 오른쪽) \]
간단하지만 매우 유용한 재산, 반드시 알아야 할 사항입니다. 도움을 받으면 진행 중인 많은 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 대표적인 예입니다.
문제 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고, 열 번째 항은 14.4입니다. 이 진행의 열다섯 번째 항을 찾으십시오.
해결책. $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $이고 $ ((a) _ (15)) $를 찾아야 하므로 다음을 참고하십시오. :
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ 끝(정렬) \]
그러나 조건 $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, 따라서 $ 5d = $ 6, 여기서 우리는:
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ 끝(정렬) \]
답: 20.4
그게 다야! 우리는 몇 가지 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 몇 줄 만에 해결되었습니다.
이제 진행의 부정적이고 긍정적인 구성원을 찾는 또 다른 유형의 작업을 고려해 보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 음수이지만 조만간 긍정적 인 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 그리고 반대로 : 감소하는 진행의 구성원은 조만간 음수가 될 것입니다.
동시에 요소를 순차적으로 거치면서 이 순간을 "정면"으로 더듬는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모른 채 계산에 여러 장이 소요되는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾는 동안 잠이 들 것입니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하기 위해 노력할 것입니다.
문제 번호 4. 산술 진행에 얼마나 많은 음수 항이 있습니까? -38.5; -35.8; ...?
해결책. 따라서 $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, 여기서 우리는 즉시 차이를 찾습니다.
차이가 양수이므로 진행이 증가합니다. 첫 번째 항은 음수이므로 어느 시점에서 우리는 실제로 양수를 우연히 보게 될 것입니다. 유일한 질문은 그것이 언제 일어날 것인가입니다.
다음을 알아보도록 합시다. 얼마나 오래(즉, 언제까지 자연수$ n $) 구성원의 부정성은 유지됩니다.
\ [\ 시작 (정렬) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ 오른쪽 화살표 ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ 쿼드 \ 왼쪽 | \ cdot 10 \ 맞습니다. \\ & -385 + 27 \ cdot \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ 오른쪽 화살표 ((n) _ (\ 최대)) = 15. \\ \ 끝(정렬) \]
마지막 줄은 설명이 필요합니다. 따라서 우리는 $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $임을 압니다. 반면에 우리는 숫자의 정수 값(더욱: $ n \ in \ mathbb (N) $)만으로 만족할 것이므로 허용되는 가장 큰 숫자는 정확히 $ n = 15 $이며 결코 16.
문제 번호 5. 산술 진행에서 $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 번호를 찾으십시오.
그것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $ ((a) _ (1)) $를 모릅니다. 그러나 이웃 항은 $ ((a) _ (5)) $와 $ ((a) _ (6)) $로 알려져 있으므로 진행의 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
또한 표준 공식에 따라 다섯 번째 항을 첫 번째 항과 차이로 표현하려고 합니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ 끝(정렬) \]
이제 이전 작업과 유사하게 진행합니다. 우리는 시퀀스의 어느 지점에 양수가 있는지 알아냅니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ 왼쪽 (n-1 \ 오른쪽) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ 오른쪽 화살표 ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ 끝(정렬) \]
이 부등식에 대한 가장 작은 정수 해는 56입니다.
참고: 마지막 작업에서는 모든 것이 엄격한 불평등으로 축소되었으므로 $ n = 55 $ 옵션은 적합하지 않습니다.
간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어가 보겠습니다. 하지만 먼저 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 연구해 보겠습니다. 이 속성은 미래에 많은 시간과 불평등한 셀을 절약할 것입니다. :)
산술 평균 및 등가 들여쓰기
증가하는 산술 진행 $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $의 여러 연속 구성원을 고려하십시오. 숫자 줄에 표시해 보겠습니다.
숫자 라인의 산술 진행의 구성원나는 특히 임의의 멤버 $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ 등 지금 이야기할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.
그리고 규칙은 매우 간단합니다. 반복 공식을 기억하고 표시된 모든 구성원에 대해 기록해 보겠습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ 끝(정렬) \]
그러나 이러한 평등은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ 끝(정렬) \]
글쎄, 그래서 무엇? 그리고 $ ((a) _ (n-1)) $와 $ ((a) _ (n + 1)) $ 항이 $ ((a) _ (n)) $에서 같은 거리에 있다는 사실 . 그리고 이 거리는 $ d $와 같습니다. $ ((a) _ (n-2)) $ 및 $ ((a) _ (n + 2)) $ 멤버에 대해서도 마찬가지입니다. $ ((a) _ (n)에서도 제거됩니다. ) $ $ 2d $와 동일한 거리. 무한정 계속할 수 있지만 그 의미는 그림으로 잘 설명되어 있습니다.
진행의 구성원은 중심에서 같은 거리에 있습니다. 이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 이것은 이웃 숫자가 알려진 경우 $ ((a) _ (n)) $를 찾을 수 있음을 의미합니다.
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
우리는 훌륭한 진술을 생각해 냈습니다. 산술 진행의 모든 구성원은 이웃 항의 산술 평균과 같습니다! 더욱이: 우리는 $ ((a) _ (n)) $ 왼쪽과 오른쪽에서 한 단계가 아니라 $ k $ 단계에서 벗어날 수 있지만 여전히 공식은 정확합니다.
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
저것들. $ ((a) _ (150)) $ $ ((a) _ (100)) $ 및 $ ((a) _ (200)) $를 알면 $ ((a) _ (150)) $를 쉽게 찾을 수 있습니다. $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. 언뜻보기에는이 사실이 우리에게 유용한 것을 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 많은 문제가 산술 평균을 사용하기 위해 특별히 "날카롭게"됩니다. 구경하다:
문제 번호 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ 및 $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ 숫자가 연속 멤버인 $ x $의 모든 값 찾기 산술 진행의 (순서대로).
해결책. 표시된 숫자는 진행의 구성원이므로 산술 평균의 조건이 충족됩니다. 중심 요소 $ x + 1 $는 인접 요소로 표현될 수 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ 끝(정렬) \]
클래식으로 바뀌었습니다 이차 방정식... 그 뿌리: $ x = 2 $ 및 $ x = -3 $ - 이것이 답입니다.
답: -3; 2.
문제 번호 7. 숫자 $ -1, 4-3, (() ^ (2)) + 1 $가 (순서대로) 산술 진행되는 $$ 값을 찾으십시오.
해결책. 다시, 우리는 이웃 항의 산술 평균의 관점에서 중간 항을 표현합니다:
\ [\ 시작(정렬) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ 쿼드 \ 왼쪽 | \ cdot 2 \ 맞음 .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ 끝(정렬) \]
다시 이차 방정식. 그리고 다시 $ x = 6 $ 및 $ x = 1 $의 두 가지 루트가 있습니다.
답: 1; 6.
문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자가 나오거나 찾은 답의 정확성이 완전히 확실하지 않은 경우 확인할 수 있는 멋진 기술이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?
예를 들어, 6번 문제에서 -3과 2의 답변을 받았습니다. 이 답변이 올바른지 확인하는 방법은 무엇입니까? 그것들을 초기 조건에 연결하고 어떤 일이 일어나는지 봅시다. 세 개의 숫자($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ 및 $ 14 + 4 (() ^ (2)) $)가 있다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 이 숫자는 산술 진행을 형성해야 합니다. 대체 $ x = -3 $:
\ [\ 시작(정렬) & x = -3 \ 오른쪽 화살표 \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ 끝(정렬) \]
수신 번호 -54; -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 진행입니다. $ x = 2 $에서도 같은 일이 발생합니다.
\ [\ 시작(정렬) & x = 2 \ 오른쪽 화살표 \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ 끝(정렬) \]
다시 진행하지만 27의 차이가 있습니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 관심 있는 사람들은 두 번째 문제를 스스로 확인할 수 있지만, 나는 즉시 말할 것입니다. 거기에서도 모든 것이 옳습니다.
일반적으로 마지막 문제를 해결하는 동안 우리는 또 하나의 문제를 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 합니다.
세 개의 숫자가 두 번째가 첫 번째와 마지막의 산술 평균인 경우 이 숫자는 산술 진행을 형성합니다.
앞으로 이 진술을 이해하면 문제의 조건에 따라 필요한 진행 상황을 문자 그대로 "구성"할 수 있습니다. 그러나 그러한 "구성"에 이르기 전에 이미 고려한 것에서 직접 이어지는 한 가지 사실에주의를 기울여야합니다.
요소의 그룹화 및 합계
다시 숫자 축으로 돌아가 보겠습니다. 진행 과정의 여러 구성원에 주목합시다. 그 사이에 있을 수 있습니다. 다른 많은 회원이 있습니다:
숫자 줄에는 6개의 요소가 표시되어 있습니다.$ ((a) _ (n)) $와 $ d $로 "왼쪽 꼬리"를 표현하고 $ ((a) _ (k)) $와 $ d $로 "오른쪽 꼬리"를 표현해 봅시다. . 매우 간단합니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ 끝(정렬) \]
이제 다음 합계가 같습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = 에스. \ 끝(정렬) \]
간단히 말해서, 진행의 두 가지 요소를 시작으로 간주하고 총계는 $ S $ 수와 같으며 이러한 요소에서 반대 방향(서로를 향해 또는 반대 방향으로 이동하여 이동)으로 걷기 시작합니다. 그 다음에 우리가 우연히 마주하게 될 요소의 합도 동일할 것입니다.$ S $. 이것은 그래픽으로 가장 명확하게 나타낼 수 있습니다.
동일한 들여쓰기는 동일한 양을 제공합니다. 이해 이 사실위에서 고려한 것보다 근본적으로 더 복잡한 수준의 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
문제 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 진행의 차이를 결정하십시오.
해결책. 우리가 알고 있는 모든 것을 적어봅시다:
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ 끝(정렬) \]
따라서 진행 $d $의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ 제품은 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이를 중심으로 구축됩니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ 왼쪽 (66 + d \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (66 + 11d \ 오른쪽) = \\ & = 11 \ cdot \ 왼쪽 (d + 66 \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (d + 6 \ 오른쪽). \ 끝(정렬) \]
탱크에 있는 사람들을 위해: 나는 두 번째 괄호에서 11의 공약수를 제거했습니다. 따라서 구하는 곱은 변수 $ d $에 대한 이차 함수입니다. 따라서 $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ 함수를 고려하십시오. 그래프는 분기가 위로 올라간 포물선이 될 것입니다. 대괄호를 확장하면 다음을 얻습니다.
\ [\ 시작 (정렬) & f \ 왼쪽 (d \ 오른쪽) = 11 \ 왼쪽 (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ 오른쪽) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ 끝(정렬) \]
보시다시피 선행 항의 계수는 11입니다. 이것은 양수이므로 실제로 분기가 있는 포물선을 다루고 있습니다.
일정 이차 함수- 포물선
참고: 이 포물선은 횡좌표 $ ((d) _ (0)) $를 사용하여 꼭짓점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계에 따라 이 가로좌표를 계산할 수 있지만(공식 $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $도 있지만 훨씬 더 합리적입니다. 원하는 꼭짓점이 포물선의 축 대칭에 있으므로 점 $ ((d) _ (0)) $는 방정식 $ f \ left (d \ right) = 0 $의 근에서 등거리에 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & f \ 왼쪽(d \ 오른쪽) = 0; \\ & 11 \ cdot \ 왼쪽 (d + 66 \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (d + 6 \ 오른쪽) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ 쿼드 ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ 끝(정렬) \]
그래서 나는 서두르지 않고 괄호를 열었습니다. 원래 형태의 뿌리는 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 평균과 같습니다. 산술 숫자-66 및 -6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
발견된 숫자는 우리에게 무엇을 제공합니까? 그것으로, 필요한 제품은 가장 작은 값을 취합니다. 동시에 이 숫자는 초기 진행 간의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)
답: -36
문제 번호 9. $ - \ frac (1) (2) $와 $ - \ frac (1) (6) $ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 진행을 형성합니다.
해결책. 기본적으로 첫 번째와 마지막 숫자가 이미 알려진 다섯 개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. $ x $, $ y $ 및 $ z $ 변수로 누락된 숫자를 표시해 보겠습니다.
\ [\ 왼쪽 (((a) _ (n)) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ 오른쪽 \ ) \]
숫자 $ y $는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $ x $ 및 $ z $와 숫자 $ - \ frac (1) (2) $ 및 $ - \에서 등거리입니다. frac (1) ( 6) $. 그리고 숫자 $ x $와 $ z $에서 우리는 이 순간$ y $를 얻을 수 없으면 진행이 끝나면 상황이 다릅니다. 산술 평균을 기억:
이제 $ y $를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $ x $는 $ - \ frac (1) (2) $와 방금 찾은 $ y = - \ frac (1) (3) $ 사이에 있습니다. 그렇기 때문에
유사하게 추론하여 나머지 숫자를 찾습니다.
준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답에 적어 봅시다.
답: $ - \ frac (5) (12), \ - \ frac (1) (3), \ - \ frac (1) (4) $
문제 번호 10. 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째, 마지막의 합이 56이라는 것을 안다면 숫자 2와 42 사이에 여러 숫자를 삽입하십시오.
해결책. 그러나 산술 평균을 통해 이전 것과 동일한 계획에 따라 해결되는 훨씬 더 어려운 작업입니다. 문제는 삽입할 숫자의 개수를 정확히 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 모든 것을 삽입한 후 정확히 $ n $ 숫자가 있고 그 중 첫 번째는 2이고 마지막은 42라고 가정해 보겠습니다. 이 경우 원하는 산술 진행은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\ [\ 왼쪽 (((a) _ (n)) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)), 42 \ 오른쪽 \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
그러나 숫자 $ ((a) _ (2)) $ 및 $ ((a) _ (n-1)) $는 서로를 향해 한 단계씩 가장자리에 있는 숫자 2와 42에서 얻습니다. 즉 ... 순서의 중심으로. 이것은 의미합니다
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
그러나 위에서 작성한 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ 왼쪽 (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ 오른쪽) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ 끝(정렬) \]
$ ((a) _ (3)) $와 $ ((a) _ (1)) $를 알면 진행의 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ 왼쪽 (3-1 \ 오른쪽) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ 오른쪽 화살표 d = 5. \\ \ 끝(정렬) \]
나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ 끝(정렬) \]
따라서 이미 9 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝 - 숫자 42에 올 것입니다. 총 7 개의 숫자 만 삽입해야했습니다. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
답: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
진행과 관련된 단어 문제
결론적으로, 나는 상대적으로 몇 가지를 고려하고 싶습니다. 간단한 작업... 글쎄요, 얼마나 간단합니다. 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 내용을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 과제는 주석처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에서 OGE와 USE에서 접하는 문제는 바로 그런 문제이므로 숙지하는 것이 좋습니다.
문제 번호 11. 여단은 1월에 62개의 부품을 생산했으며 다음 달에는 이전보다 14개의 부품을 더 생산했습니다. 11월에 팀은 몇 개의 부품을 만들었습니까?
해결책. 분명히, 월별로 예정된 부품 수는 증가하는 산술 진행을 나타낼 것입니다. 게다가:
\ [\ 시작(정렬) & ((a) _ (1)) = 62, \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ 왼쪽(n-1 \ 오른쪽) \ cdot 14. \\ \ 끝(정렬) \]
11월은 그 해의 11번째 달이므로 $ ((a) _ (11)) $를 찾아야 합니다.
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
이에 따라 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정이다.
문제 번호 12. 제본 워크숍은 1월에 216권을 제본했고, 다음 달에는 이전보다 4권을 더 제본했습니다. 워크샵은 12월에 몇 권의 책을 제본했습니까?
해결책. 모두 같은:
$ \ 시작(정렬) & ((a) _ (1)) = 216, \ 쿼드 d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ 왼쪽(n-1 \ 오른쪽) \ cdot 4. \\ \ 끝(정렬) $
12월은 그 해의 마지막 12번째 달이므로 $ ((a) _ (12)) $를 찾고 있습니다.
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
이것이 정답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.
자, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 전투기 코스"를 성공적으로 통과하셨습니다. 다음 수업으로 안전하게 진행할 수 있습니다. 여기에서 진행 합계에 대한 공식과 중요하고 매우 유용한 결과를 연구합니다.
주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
매우 "별로 ..."
그리고 "매우 ..."인 사람들을 위해)
산술 진행은 각 숫자가 이전 숫자보다 같은 양만큼 큰(또는 작은) 일련의 숫자입니다.
이 주제는 종종 어렵고 이해할 수 없습니다. 문자 색인, n번째 용어진행, 진행의 차이 - 이 모든 것이 어쩐지 혼란스럽습니다. 예... 산술 진행의 의미를 알아내자. 그러면 모든 것이 즉시 해결될 것입니다.)
산술 진행 개념입니다.
산술 진행은 매우 간단하고 명확한 개념입니다. 의심? 헛된 것입니다.) 직접보십시오.
나는 끝나지 않은 일련의 숫자를 쓸 것입니다.
1, 2, 3, 4, 5, ...
이 행을 확장할 수 있습니까? 5 다음에는 어떤 숫자가 나올까요? 모두 ... uh-uh ... 간단히 말해서 모두가 6, 7, 8, 9 등의 숫자가 더 나아갈 것임을 깨닫게 될 것입니다.
작업을 복잡하게 합시다. 나는 미완성 일련의 숫자를 제공합니다.
2, 5, 8, 11, 14, ...
패턴을 파악하고 시리즈를 확장하고 이름을 지정할 수 있습니다. 제칠행 번호?
이 숫자가 20이라는 것을 알았다면 축하합니다! 느꼈을 뿐만 아니라 산술 진행의 핵심 포인트,비즈니스에서도 성공적으로 사용했습니다! 아직 이해하지 못했다면 계속 읽으십시오.
이제 감각에서 수학으로 요점을 번역합시다.)
첫 번째 핵심 포인트.
산술 진행은 일련의 숫자를 처리합니다.이것은 처음에는 혼란스럽습니다. 우리는 방정식을 풀고 그래프를 그리는 데 익숙합니다. 그런 다음 시리즈를 확장하고 시리즈의 수를 찾으십시오 ...
괜찮아. 그냥 진행은 수학의 새로운 분야에 대한 첫 번째 지인입니다. 이 섹션은 "행"이라고 하며 일련의 숫자 및 표현식과 함께 작동합니다. 그것에 익숙해.)
두 번째 핵심 포인트.
산술 진행에서 임의의 숫자는 이전 숫자와 다릅니다. 같은 금액으로.
첫 번째 예에서 이 차이는 1입니다. 당신이 어떤 숫자를 취하든, 그것은 이전 숫자보다 하나 더 많습니다. 두 번째 - 세. 이전 숫자보다 3배 큰 숫자. 실제로 패턴을 포착하고 후속 숫자를 계산할 수 있는 기회를 제공하는 것은 바로 이 순간입니다.
세 번째 핵심 포인트.
이 순간은 눈에 띄지 않습니다. 그렇습니다 ... 그러나 그것은 매우, 매우 중요합니다. 여기있어: 진행 상황의 각 숫자가 제자리에 있습니다.첫 번째 숫자가 있고, 일곱 번째 숫자가 있고, 마흔다섯 번째 숫자가 있습니다. 무작위로 혼동되면 패턴이 사라집니다. 산술 진행도 사라집니다. 일련의 숫자만 남게 됩니다.
그게 요점입니다.
물론 에서 새로운 주제새로운 용어와 명칭이 나타납니다. 당신은 그들을 알아야합니다. 그렇지 않으면 작업을 이해하지 못할 것입니다. 예를 들어 다음과 같이 결정해야 합니다.
a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 진행(an)의 처음 6개 항을 쓰십시오.
영감을 주는가?) 편지, 일부 색인 ... 그런데 작업은 이보다 더 쉬울 수 없습니다. 용어와 명칭의 의미만 이해하면 됩니다. 이제 우리는이 사업을 마스터하고 작업으로 돌아갈 것입니다.
용어 및 명칭.
산술 진행각 숫자가 이전 숫자와 다른 일련의 숫자입니다. 같은 금액으로.
이 양을 ... 이 개념을 더 자세히 다루겠습니다.
산술 진행의 차이.
산술 진행의 차이는 진행률에 관계없이 더이전 것.
한 가지 중요한 점. 말씀에 주목해주세요 "더".수학적으로 이것은 진행의 각 숫자가 얻어짐을 의미합니다. 첨가이전 숫자에 대한 산술 진행의 차이.
계산을 위해 말하자면 두번째시리즈의 수, 그것은 필요합니다 첫번째수 추가하다산술 진행의 바로 이 차이. 계산을 위해 다섯- 차이가 필요하다 추가하다 NS 네번째,글쎄, 등등.
산술 진행의 차이아마도 긍정적 인,그러면 행의 각 번호가 실제로 나타납니다. 이전 것보다 더.이 진행을 증가.예를 들어:
8; 13; 18; 23; 28; .....
여기서 모든 숫자를 얻습니다. 첨가양수, 이전 값에 +5.
차이점은 다음과 같습니다. 부정적인,시리즈의 각 숫자는 이전 것보다 적습니다.이러한 진행을 (당신은 그것을 믿지 않을 것입니다!) 감소.
예를 들어:
8; 3; -2; -7; -12; .....
여기에서도 모든 숫자를 얻습니다. 첨가이전이지만 이미 음수, -5.
그건 그렇고, 진행으로 작업 할 때 증가 또는 감소 여부를 즉시 결정하는 것이 매우 유용합니다. 솔루션을 탐색하고 실수를 감지하고 너무 늦기 전에 수정하는 데 많은 도움이 됩니다.
산술 진행의 차이일반적으로 문자로 표시 NS.
찾는 방법 NS? 매우 간단합니다. 시리즈의 임의의 수에서 빼야 합니다. 이전숫자. 덜다. 덧붙여서 뺄셈의 결과를 "차이"라고합니다.)
예를 들어 다음과 같이 정의합니다. NS산술 진행을 증가시키기 위해:
2, 5, 8, 11, 14, ...
원하는 수의 행(예: 11)을 취합니다. 이전 번호,저것들. 여덟:
이것이 정답입니다. 이 산술 진행의 경우 차이는 3입니다.
당신은 정확하게 걸릴 수 있습니다 어떤 수의 진행,~부터 특정 진행을 위해 NS -항상 동일합니다.적어도 행의 시작 부분에서, 적어도 중간에서, 적어도 어디에서든. 맨 처음 숫자만 가져갈 수는 없습니다. 단지 첫 번째 숫자에서 이전 것은 없습니다.)
그건 그렇고, 알면서 d = 3, 이 진행의 일곱 번째 숫자를 찾는 것은 매우 쉽습니다. 다섯 번째 숫자에 3을 더하면 여섯 번째가 되고 17이 됩니다. 여섯 번째 숫자에 3을 더하면 일곱 번째 숫자인 20을 얻습니다.
우리는 정의 NS감소하는 산술 진행:
8; 3; -2; -7; -12; .....
징후에 관계없이 NS그것은 어떤 숫자에서 필요합니다 이전 것을 제거하십시오.예를 들어 -7과 같이 진행 수를 선택합니다. 이전 것은 -2입니다. 그 다음에:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
산술 진행의 차이는 정수, 분수, 무리수 등 임의의 숫자가 될 수 있습니다.
기타 용어 및 명칭.
시리즈의 각 숫자는 산술 진행의 구성원입니다.
진행의 각 구성원 고유 번호가 있습니다.숫자는 트릭 없이 엄격하게 순서대로 정렬되어 있습니다. 첫째, 둘째, 셋째, 넷째 등 예를 들어, 2, 5, 8, 11, 14, ... 진행에서 2는 첫 번째 용어, 5는 두 번째, 11은 네 번째 용어, 음, 알겠습니다...) 명확하게 이해하십시오- 숫자 자체절대적으로 모든 것, 전체, 분수, 음수, 무엇이든 될 수 있지만 숫자의 번호 매기기- 엄격하게 순서대로!
일반적인 진행 상황을 기록하는 방법은 무엇입니까? 괜찮아요! 행의 각 숫자는 문자로 작성됩니다. 일반적으로 문자는 산술 진행을 나타내는 데 사용됩니다. NS... 회원 번호는 오른쪽 하단에 색인으로 표시됩니다. 다음과 같이 쉼표(또는 세미콜론)로 구분된 멤버를 작성합니다.
1, 2, 3, 4, 5, .....
1첫 번째 숫자이고, 3- 세 번째 등 까다롭지 않습니다. 이 시리즈를 다음과 같이 간단히 작성할 수 있습니다. (NS).
진행 상황은 유한하고 끝이 없습니다.
궁극의진행에는 제한된 수의 구성원이 있습니다. 다섯, 서른여덟, 뭐든지. 그러나 - 유한한 수.
끝없는진행 - 짐작할 수 있듯이 무한한 수의 구성원이 있습니다.)
다음과 같이 시리즈를 통해 최종 진행 상황을 작성할 수 있습니다.
1, 2, 3, 4, 5.
또는 구성원이 많은 경우:
1, 2, ... 14, 15.
짧은 항목에서 추가로 회원 수를 표시해야 합니다. 예를 들어(20명의 구성원의 경우) 다음과 같이 하십시오.
(n), n = 20
끝없는 진행은 이 단원의 예에서와 같이 행 끝에 있는 줄임표로 인식할 수 있습니다.
이제 작업을 해결할 수 있습니다. 작업은 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 단순합니다.
산술 진행에 대한 작업의 예.
위에 주어진 작업을 자세히 분석해 보겠습니다.
1. a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 진행(an)의 처음 6개 항을 기록합니다.
우리는 작업을 이해할 수 있는 언어로 번역합니다. 무한 산술 진행이 주어집니다. 이 진행의 두 번째 숫자는 다음과 같이 알려져 있습니다. 2 = 5.진행의 차이는 다음과 같이 알려져 있습니다. d = -2.5.이 진행의 첫 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 및 여섯 번째 구성원을 찾아야 합니다.
명확성을 위해 문제의 조건에 따라 시리즈를 작성하겠습니다. 두 번째 항이 5인 처음 6개 항:
1, 5, 3, 4, 5, 6, ....
3 = 2 + NS
표현으로 대체 2 = 5그리고 d = -2.5... 마이너스를 잊지 마세요!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
세 번째 항은 두 번째 항보다 작습니다. 모든 것이 논리적입니다. 숫자가 이전 숫자보다 큰 경우 부정적인값을 입력하면 숫자 자체가 이전 값보다 작아집니다. 진행이 감소하고 있습니다. 좋습니다. 고려해 보겠습니다.) 우리는 시리즈의 네 번째 멤버를 고려합니다.
4 = 3 + NS
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + NS
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + NS
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
따라서 세 번째에서 여섯 번째까지의 항이 계산됩니다. 결과는 다음과 같은 시리즈입니다.
1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
첫 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다. 1~에 유명한 두 번째... 이것은 왼쪽으로 다른 방향으로의 단계입니다.) 따라서 산술 진행의 차이 NS에 추가할 필요가 없습니다 2, NS 빼앗다:
1 = 2 - NS
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
그게 전부입니다. 작업 답변:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
그 과정에서 이 작업을 해결했음을 알려드립니다. 재발방법. 이 무서운 단어는 진행의 구성원을 찾는 것을 의미합니다. 이전 (인접한) 번호로.우리는 나중에 진행과 함께 작업하는 다른 방법을 고려할 것입니다.
이 간단한 작업에서 한 가지 중요한 결론을 얻을 수 있습니다.
기억하다:
만약 우리가 최소한 하나의 항과 산술 진행의 차이를 안다면, 우리는 이 진행의 어떤 구성원도 찾을 수 있습니다.
기억하다? 이 간단한 결론을 통해 대부분의 문제를 해결할 수 있습니다. 학교 과정이 주제에. 모든 작업은 세 가지 주요 매개변수를 중심으로 이루어집니다. 산술 진행의 구성원, 진행의 차이, 진행의 구성원 수.모든 것.
물론 앞의 대수학이 다 소진되지는 않습니다.) 진행에 부등식, 방정식 등이 붙습니다. 하지만 바로 진행에 의해- 모든 것은 세 가지 매개변수를 중심으로 이루어집니다.
이 주제에 대한 몇 가지 인기 있는 과제를 예로 살펴보겠습니다.
2. n = 5, d = 0.4, a 1 = 3.6인 경우 최종 산술 수열을 급수로 기록합니다.
여기에서는 모든 것이 간단합니다. 모든 것이 이미 주어졌습니다. 산술 진행의 구성원이 어떻게 계산되고, 계산되고, 기록되는지 기억해야 합니다. 작업 조건에서 "최종"및 "이라는 단어를 놓치지 않는 것이 좋습니다. n = 5". 얼굴이 완전히 파랗게 질 때까지 계산하지 마십시오.) 이 진행에는 5(5) 명의 멤버만 있습니다.
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
답을 적어야 합니다.
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
또 다른 작업:
3. 다음과 같은 경우 숫자 7이 산술 진행(an)의 구성원인지 확인합니다. 1 = 4.1; d = 1.2.
흠 ... 누가 압니까? 무언가를 결정하는 방법?
어떻게, 어떻게 ... 예, 진행 상황을 시리즈 형식으로 기록하고 거기에 7이 있는지 여부를 확인하십시오! 우리는 다음을 고려합니다:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
이제 우리가 단지 일곱이라는 것이 분명해졌습니다. 미끄러지다 6.5와 7.7 사이! 7은 일련의 숫자에 포함되지 않았으므로 7은 주어진 진행의 구성원이 아닙니다.
대답은 '아니오.
그리고 여기에 기반한 작업이 있습니다. 리얼 옵션지아:
4. 산술 진행의 여러 연속 구성원이 작성됩니다.
...; 15; NS; 아홉; 6; ...
여기에 끝과 시작이 없는 행이 기록됩니다. 회원 번호 없음, 차이 없음 NS... 괜찮아. 문제를 풀기 위해서는 산술 진행의 의미를 이해하는 것으로 충분합니다. 우리는 가능한 것을보고 생각합니다 알고이 시리즈에서? 세 가지 주요 매개변수는 무엇입니까?
회원번호? 여기에는 숫자가 하나도 없습니다.
그러나 세 개의 숫자와 -주의가 있습니다! - 단어 "연이은"상태에서. 이것은 숫자가 간격 없이 엄격하게 순서가 있음을 의미합니다. 이 줄에 두 개가 있습니까? 이웃알려진 숫자? 네 있습니다! 이것은 9와 6입니다. 그래서 우리는 산술 진행의 차이를 계산할 수 있습니다! 우리는 6에서 뺍니다 이전번호, 즉 아홉:
사소한 일만 남았습니다. X의 이전 숫자는 무엇입니까? 열 다섯. 이것은 x가 간단한 덧셈으로 쉽게 찾을 수 있음을 의미합니다. 산술 진행의 차이를 15에 더합니다.
그게 다야. 답변: x = 12
우리는 다음 문제를 스스로 해결합니다. 참고: 이러한 문제는 공식에 관한 것이 아닙니다. 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 것입니다.) 우리는 일련의 숫자-문자를 쓰고 보고 생각합니다.
5. a 5 = -3인 경우 산술 진행의 첫 번째 양수 항을 찾으십시오. d = 1.1.
6. 숫자 5.5는 산술 진행(an)의 구성원으로 알려져 있으며, 여기서 a 1 = 1.6; d = 1.3. 이 멤버의 수 n을 결정합니다.
7. 산술 진행에서 a 2 = 4; 5 = 15.1. 3을 찾으십시오.
8. 산술 진행의 여러 연속 구성원을 작성하십시오.
...; 15.6; NS; 3.4; ...
문자 x로 표시된 진행에서 용어를 찾으십시오.
9. 기차는 역에서 출발하여 속도를 분당 30미터씩 꾸준히 증가시켰습니다. 5분 후 기차의 속도는 얼마가 될까요? km / h로 답하십시오.
10. 산술 진행에서 a 2 = 5; 6 = -5. 1 찾기.
답변(무질서한 상태): 7.7; 7.5; 9.5; 아홉; 0.3; 4.
모든 것이 잘 되었습니까? 훌륭한! 당신은 더 많은 산술 진행을 마스터 할 수 있습니다 높은 레벨, 다음 강의에서.
모든 것이 해결되지 않았습니까? 괜찮아요. 특별 섹션 555에서는 이러한 모든 작업이 조각으로 분류됩니다.) 그리고 물론 손바닥에 있는 것처럼 이러한 작업의 솔루션을 명확하고 명확하게 즉시 강조하는 간단한 실용적인 기술이 설명되어 있습니다!
그건 그렇고, 기차에 대한 퍼즐에는 사람들이 종종 걸려 넘어지는 두 가지 문제가 있습니다. 하나는 순전히 진행 중이고 두 번째는 수학 및 물리학의 모든 문제에 공통적입니다. 이것은 차원을 다른 차원으로 변환하는 것입니다. 이 문제를 어떻게 해결해야 하는지 보여줍니다.
이 단원에서는 산술 진행의 기본 의미와 주요 매개변수를 살펴보았습니다. 이것은이 주제에 대한 거의 모든 문제를 해결하기에 충분합니다. 추가하다 NS숫자에 시리즈를 쓰면 모든 것이 결정됩니다.
손가락 솔루션은 이 단원의 예에서와 같이 행의 매우 짧은 부분에 대해 잘 작동합니다. 행이 길면 계산이 더 복잡해집니다. 예를 들어, 질문의 문제 9에서 다음을 대체하십시오. "5분"~에 "삼십오분"문제는 훨씬 더 화를 낼 것입니다.)
그리고 본질적으로 단순하지만 계산 측면에서 놀라운 작업도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
산술 진행(a n)이 주어집니다. a 1 = 3이고 d = 1/6이면 121을 찾으십시오.
그리고 무엇을, 우리는 1/6만큼 여러 번 추가 할 것입니까?! 당신은 자신을 죽일 수 있습니다!?
할 수 있습니다.) 간단한 공식을 모르는 경우 이러한 작업을 1분 안에 해결할 수 있습니다. 이 공식은 다음 강의에서 다룰 것입니다. 그리고이 문제는 거기에서 해결됩니다. 1분 안에.)
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)
예제를 푸는 연습을 하고 레벨을 알 수 있습니다. 즉각적인 검증 테스트. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 파생어에 대해 알 수 있습니다.
지침
산술 진행은 a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d 형식의 시퀀스입니다. D 단계적으로 진행산술의 임의의 n 번째 항의 합계가 진행형식: An = A1 + (n-1) d. 그런 다음 멤버 중 한 명을 알고 진행, 회원 진행그리고 단계 진행, 당신은 할 수 있습니다, 즉, 진행의 구성원의 수입니다. 분명히, 공식 n = (An-A1 + d) / d에 의해 결정됩니다.
이제 m번째 항을 알려주세요. 진행그리고 또 다른 멤버 진행- n번째, 하지만 n은 앞의 경우와 같지만 n과 m이 일치하지 않는 것으로 알려져 있다. 진행 d = (An-Am) / (n-m) 공식으로 계산할 수 있습니다. 그런 다음 n = (An-Am + md) / d.
산술의 여러 요소의 합을 알고 있는 경우 진행, 첫 번째와 마지막뿐만 아니라 이러한 요소의 수도 결정될 수 있습니다. 진행 S = ((A1 + An) / 2) n과 같습니다. 그런 다음 n = 2S / (A1 + An) - chdenov 진행... An = A1 + (n-1) d라는 사실을 사용하여 이 공식은 n = 2S / (2A1 + (n-1) d)와 같이 다시 쓸 수 있습니다. 이로부터 2차 방정식을 풀면 n을 표현할 수 있습니다.
산술 수열은 순서가 지정된 숫자 집합으로, 첫 번째를 제외하고 각 구성원이 이전 숫자와 동일한 양만큼 다릅니다. 이 상수는 진행의 차이 또는 그 단계라고 하며 알려진 산술 진행의 구성원으로부터 계산할 수 있습니다.
지침
문제의 조건에서 첫 번째와 두 번째 또는 다른 인접 항 쌍의 값을 알고 있는 경우 차이(d)를 계산하려면 다음 항에서 이전 항을 빼면 됩니다. 결과 값은 진행이 증가하는지 여부에 따라 양수 또는 음수일 수 있습니다. 일반적인 형태로 진행의 인접 구성원의 임의 쌍(aᵢ 및 aᵢ₊₁)에 대한 솔루션을 다음과 같이 기록합니다. d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
이러한 진행의 한 쌍의 구성원 중 하나는 첫 번째(a₁)이고 다른 하나는 임의로 선택된 다른 구성원의 경우 차이(d)를 찾는 공식을 작성하는 것도 가능합니다. 다만, 이 경우 서열 중 임의의 선택된 구성원의 순번(i)을 알아야 한다. 차이를 계산하려면 두 숫자를 모두 더하고 결과를 임의의 항의 서수로 나누어 1을 줄입니다. 일반적으로 이 공식을 다음과 같이 작성합니다. d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).
서수 i를 사용하는 산술 진행의 임의의 구성원 외에 서수가 u인 다른 구성원이 알려진 경우 이전 단계의 공식을 그에 따라 변경합니다. 이 경우 진행의 차이(d)는 두 항의 합을 서수의 차이로 나눈 것입니다. d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).
차이(d)를 계산하는 공식은 첫 번째 항(a₁)의 값과 산술 시퀀스의 첫 번째 구성원의 주어진 숫자(i)의 합(Sᵢ)이 문제에 주어질 경우 다소 복잡해집니다. 정황. 원하는 값을 얻으려면 금액을 구성하는 구성원 수로 나누고 시퀀스의 첫 번째 숫자 값을 뺀 결과를 두 배로 늘립니다. 결과 값을 합계를 구성하는 구성원 수로 나누고 1을 줄입니다. 일반적으로 판별식을 계산하는 공식은 다음과 같습니다. d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).
예를 들어, 시퀀스 \ (2 \); \(5\); \(여덟\); \(열하나\); \ (14 \) ... 각 다음 요소는 이전 요소와 3씩 다르기 때문에 산술 진행입니다(3중항을 추가하여 이전 요소에서 얻을 수 있음).
이 진행에서 차이 \(d \)는 양수(\(3 \)와 같음)이므로 각 다음 항은 이전 항보다 큽니다. 이러한 진행을 증가.
그러나 \(d \)도 음수일 수 있습니다. 예를 들어, 산술 진행에서 \ (16 \); \(십\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... 진행의 차이 \ (d \)는 마이너스 6과 같습니다.
그리고 이 경우 각 다음 요소는 이전 요소보다 작습니다. 이러한 진행을 감소.
산술 진행 표기법
진행은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.
진행을 구성하는 숫자를 호출합니다. 의 구성원(또는 요소).
그것들은 산술 진행과 같은 문자로 표시되지만 순서대로 요소의 번호와 동일한 숫자 인덱스가 있습니다.
예를 들어, 산술 진행 \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)은 요소 \ (a_1 = 2 \)로 구성됩니다. \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) 등등.
즉, 진행에 대해 \ (a_n = \ 왼쪽 \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ 오른쪽 \) \)
산술 진행을 위한 문제 해결
원칙적으로 위의 정보는 이미 산술 진행에 대한 거의 모든 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 풀기에 충분합니다.
예(OGE).
산술 진행은 조건 \ (b_1 = 7; d = 4 \)에 의해 지정됩니다. \ (b_5 \)를 찾으십시오.
해결책:
답변: \ (b_5 = 23 \)
예(OGE).
산술 진행의 처음 세 항은 다음과 같습니다. \ (62; 49; 36 ... \) 이 진행의 첫 번째 음수 항의 값을 찾으십시오.
해결책:
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우리는 시퀀스의 첫 번째 요소를 받았고 그것이 산술적 진행이라는 것을 압니다. 즉, 각 요소는 인접한 요소와 동일한 수만큼 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 것을 찾으십시오: \ (d = 49-62 = -13 \). |
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이제 필요한 (첫 번째 부정적인) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다. |
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준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다. |
답변: \(-3\)
예(OGE).
산술 진행의 여러 연속 요소가 제공됩니다. \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) 문자 \ (x \)로 표시된 요소의 값을 찾으십시오.
해결책:
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\(x \)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행의 차이를 알아야 합니다. 알려진 두 개의 인접 요소인 \(d = 12.5-10 = 2.5 \)에서 찾아보겠습니다. |
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이제 우리는 문제 없이 원하는 것을 찾습니다: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \). |
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준비가 된. 답변을 작성할 수 있습니다. |
답변: \(7,5\).
예(OGE).
산술 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다. \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) 이 진행의 처음 6개 항의 합을 구하십시오.
해결책:
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진행의 처음 6개 항의 합을 찾아야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 먼저 주어진 값을 사용하여 값을 차례로 계산합니다. \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
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\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
찾으시는 금액이 발견되었습니다. |
답변: \ (S_6 = 9 \).
예(OGE).
산술 진행에서 \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). 이 진행의 차이점을 찾으십시오.
해결책:
답변: \ (d = 7 \).
중요한 산술 진행 공식
보시다시피, 많은 산술 진행 문제는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자의 사슬이며 이 사슬의 각 다음 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 더하여 얻습니다(차이 진행).
그러나 때때로 "정면"을 결정하는 것이 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \ (b_5 \)가 아니라 삼백팔십육 번째 \ (b_ (386) \)를 찾아야 한다고 상상해보십시오. 무엇입니까, 우리는 \ (385 \) 곱하기 4를 더합니까? 또는 끝에서 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 당신은 계산하는 데 고문을 당할 것입니다 ...
따라서 이러한 경우 "정면"을 풀지 않고 산술 진행을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요 것들은 진행의 n 번째 항에 대한 공식과 첫 번째 항의 합계 \ (n \)에 대한 공식입니다.
\ (n \) - 번째 멤버에 대한 공식: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), 여기서 \ (a_1 \)는 진행의 첫 번째 항입니다.
\ (n \) - 검색되는 요소의 번호.
\ (a_n \)는 숫자 \ (n \)를 가진 진행의 구성원입니다.
이 공식을 사용하면 첫 번째 요소와 진행 차이만 알고 최소 300분의 1, 심지어 100만 번째 요소를 빠르게 찾을 수 있습니다.
예시.
산술 진행은 조건에 의해 지정됩니다. \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (b_ (246) \)를 찾으십시오.
해결책:
답변: \ (b_ (246) = 1850 \).
처음 n개 항의 합에 대한 공식: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), 여기서
\ (a_n \) - 마지막 합계 기간;
예(OGE).
산술 진행은 조건 \ (a_n = 3,4n-0,6 \)에 의해 지정됩니다. 이 진행의 첫 번째 \ (25 \) 구성원의 합계를 찾으십시오.
해결책:
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\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
처음 25개 요소의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. |
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\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \) |
이제 \(n \) 대신 25를 대체하여 25번째 항을 찾습니다. |
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\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \) |
자, 이제 문제 없이 필요한 양을 계산할 수 있습니다. |
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|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
답변이 준비되었습니다. |
답변: \ (S_ (25) = 1090 \).
첫 번째 항의 합계 \ (n \)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) 대신 \ (a_n \) 공식을 \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)로 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다.
처음 n개 항의 합에 대한 공식: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), 여기서
\ (S_n \) - 첫 번째 요소의 필요한 합계 \ (n \);
\ (a_1 \) - 첫 번째 합산 기간;
\ (d \) - 진행 차이;
\ (n \) - 합계의 요소 수.
예시.
첫 번째 \ (33 \)의 합계를 찾으십시오 - 산술 진행의 전 구성원 : \ (17 \); \ (15.5 \); \(십사\)…
해결책:
답변: \ (S_ (33) = - 231 \).
더 복잡한 산술 진행 문제
이제 거의 모든 산술 진행 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다. 수식을 적용할 뿐만 아니라 조금 생각해야 하는 문제를 고려하여 주제를 마무리합니다(수학에서는 유용할 수 있습니다 ☺)
예(OGE).
진행의 모든 음수 항의 합계를 찾으십시오. \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18.7 \) ...
해결책:
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\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 우리는 또한 해결하기 시작합니다. 먼저 \ (d \)를 찾습니다. |
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\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \) |
이제 합계에 대한 공식에서 \ (d \)를 대체합니다 ... 여기에 작은 뉘앙스가 나타납니다. \ (n \)를 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아야 합니다. 어떻게? 산술 진행의 모든 요소를 계산하는 공식을 적어 보겠습니다. 우리의 경우 \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)입니다. |
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\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
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\ (a_n = -19.3 + (n-1) 0.3 \) |
0보다 크려면 \(a_n \)가 필요합니다. 어떤 \ (n \) 일이 발생하는지 알아 봅시다. |
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\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \) |
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\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \) |
우리는 부등식의 양쪽을 \(0,3 \)로 나눕니다. |
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\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
기호 변경을 기억하면서 마이너스 1로 이동 |
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\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
우리는 계산 ... |
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\ (n> 65,333 ... \) |
... 첫 번째 양수 요소는 숫자 \ (66 \)를 갖습니다. 따라서 마지막 음수는 \ (n = 65 \)입니다. 만일의 경우를 대비하여 확인해 봅시다. |
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\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) |
따라서 첫 번째 \ (65 \) 요소를 추가해야 합니다. |
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\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
답변이 준비되었습니다. |
답변: \ (S_ (65) = - 630.5 \).
예(OGE).
산술 진행은 조건에 의해 지정됩니다. \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) 번째에서 \ (42 \) 요소까지의 합을 찾습니다.
해결책:
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\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
이 문제에서는 요소의 합도 찾아야 하지만 첫 번째부터 시작하는 것이 아니라 \ (26 \) - th부터 시작해야 합니다. 그러한 경우에는 공식이 없습니다. 결정하는 방법? |
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우리의 진행 \ (a_1 = -33 \) 및 차이 \ (d = 4 \) (결국 우리가 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 추가하는 것은 4입니다). 이것을 알면 첫 번째 \ (42 \) - yh 요소의 합을 찾습니다. |
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\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
이제 첫 번째 \ (25 \) - ty 요소의 합입니다. |
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\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
마지막으로 답을 계산합니다. |
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\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
답변: \ (S = 1683 \).
산술 진행의 경우 실용적인 유용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 공식이 몇 가지 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.
대수학을 공부할 때 종합 학교(9학년) 중요한 주제 중 하나는 연구입니다. 숫자 시퀀스, 진행을 포함합니다 - 기하 및 산술. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션을 사용한 예제를 고려할 것입니다.
산술 진행이란 무엇입니까?
이것을 이해하기 위해서는 고려된 진행에 대한 정의를 제공하고 문제 해결에 추가로 사용될 기본 공식을 제공할 필요가 있습니다.
산술 or는 순서가 지정된 유리수의 집합으로, 각 항은 이전 항과 일정한 값이 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 정렬된 일련의 숫자와 그 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.
예를 들어 보겠습니다. 이 경우 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이므로 4, 8, 12, 16, ...의 숫자 시퀀스는 산술 진행이 됩니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 더 이상 고려된 진행 유형에 기인할 수 없습니다. 그 차이는 상수 값이 아니기 때문입니다(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
중요한 공식
이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공하겠습니다. 수열의 n번째 항을 n으로 나타내자. 여기서 n은 정수입니다. 차이는 라틴 문자 d로 표시됩니다. 그러면 다음 표현식이 유효합니다.
- n번째 항의 값을 결정하려면 다음 공식이 적합합니다. a n = (n-1) * d + a 1.
- 처음 n개의 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1) * n / 2.
9학년의 해를 사용한 산술 진행의 예를 이해하려면 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 고려 중인 유형의 모든 문제는 사용을 기반으로 하기 때문입니다. 진행의 차이는 d = a n - a n-1 공식에 의해 결정된다는 점도 기억해야 합니다.
예제 # 1: 알 수 없는 멤버 찾기
풀기 위해 사용해야 하는 산술 진행 및 공식의 간단한 예를 들어 보겠습니다.
시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 그 안에 다섯 개의 항을 찾아야합니다.
문제 진술에서 처음 4개의 항이 알려져 있다는 사실이 이미 뒤따릅니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.
- 먼저 차이를 계산해 보겠습니다. d = 8 - 10 = -2입니다. 마찬가지로, 서로 옆에 서 있는 다른 두 멤버를 취할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d = a n - a n-1인 것으로 알려져 있기 때문에 d = a 5 - a 4, 여기서 우리는 a 5 = a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값으로 대체하십시오: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- 두 번째 방법도 고려된 진행의 차이를 알아야 하므로 먼저 위와 같이 결정해야 합니다(d = -2). 첫 번째 항 a 1 = 10을 알면 시퀀스의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n이 있습니다. 마지막 식에서 n = 5를 대입하면 다음을 얻습니다. a 5 = 12-2 * 5 = 2.
보시다시피 두 가지 해결 방법 모두 동일한 결과를 가져왔습니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 각 다음 항이 이전 항보다 작기 때문에 이러한 수열을 감소라고 합니다.
예제 # 2: 진행 차이
이제 작업을 조금 복잡하게 해보겠습니다. 산술 진행의 차이를 찾는 방법에 대한 예를 들어보겠습니다.
어떤 대수적 진행에서 1번째 항은 6과 같고, 7번째 항은 18과 같다는 것이 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 수열을 7번째 항으로 복원하는 것이 필요합니다.
미지의 항을 결정하기 위해 공식을 사용합시다: a n = (n - 1) * d + a 1. 우리는 조건에서 알려진 데이터, 즉 숫자 a 1과 a 7을 대체합니다. 18 = 6 + 6 * d. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다. d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분에 답했습니다.
시퀀스를 7개 용어로 복원하려면 다음 정의를 사용해야 합니다. 대수적 진행즉, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등입니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
예제 # 3: 진행하기
문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예를 들 수 있습니다. 두 개의 숫자, 예를 들어 - 4와 5가 주어집니다. 이들 사이에 세 개의 항이 더 들어가도록 대수적 진행을 할 필요가 있습니다.
이 문제를 해결하기 시작하기 전에 주어진 숫자가 미래 진행에서 어떤 위치를 차지할 것인지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에 3개의 항이 더 있을 것이므로 a 1 = -4 및 a 5 = 5입니다. 이를 설정한 후 이전 문제와 유사한 문제로 진행합니다. 다시 n번째 항에 대해 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. a 5 = a 1 + 4 * d. 어디에서: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. 여기서 우리는 차이의 정수 값을 받지 않았지만 유리수이므로 대수 진행에 대한 공식은 동일하게 유지됩니다.
이제 발견된 차이를 1에 추가하고 진행에서 누락된 구성원을 복원합니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, 이는 일치했습니다. 문제의 조건과 함께.
예제 # 4: 진행의 첫 번째 용어
해를 사용하여 산술 진행의 예를 계속 제공하겠습니다. 앞의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자는 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. a 15 = 50 및 a 43 = 37인 두 개의 숫자가 주어집니다. 이 수열이 시작되는 숫자를 찾아야 합니다.
지금까지 사용된 공식은 1과 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제 설명에서 이 숫자에 대해 알려진 것은 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 정보가 있는 각 구성원에 대한 표현식을 작성합니다: a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d. 2개의 미지의 양(a 1 및 d)이 있는 두 개의 방정식을 받았습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.
이 시스템을 푸는 가장 쉬운 방법은 각 방정식에 1을 표현한 다음 결과 표현을 비교하는 것입니다. 첫 번째 방정식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. 이러한 식을 동일시하면 50 - 14 * d = 37 - 42 * d가 됩니다. 여기서 차이 d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464(소수점 3자리만 제공됨).
d를 알면 1에 대해 위의 2가지 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.
결과에 대해 의심이 가는 경우 조건에 지정된 진행의 43항을 결정하는 등의 결과를 확인할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. 작은 오류는 계산에서 천분의 일 반올림을 사용했기 때문입니다.
예 # 5: 금액
이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1, 2, 3, 4, ...,. 이 100개의 숫자의 합을 어떻게 계산합니까?
컴퓨터 기술의 발전 덕분에 사람이 Enter 키를 누르 자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더하는이 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수적 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의를 기울이면 마음 속에서 문제를 해결할 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다. S n = n * (a 1 + a) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
이 문제를 "가우시안"이라고 부른다는 점은 흥미롭습니다. 왜냐하면 18세기 초에 그 유명한 독일인이 아직 10살 밖에 되지 않았지만 몇 초 만에 머리로 풀 수 있었기 때문입니다. 소년은 대수적 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자를 쌍으로 더하면 항상 하나의 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., 그리고 이 금액 중 정확히 50(100/2)이 되므로 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.
예제 # 6: n에서 m까지의 멤버 합
또 다른 전형적인 예산술 진행의 합은 다음과 같습니다. 3, 7, 11, 15, ...의 숫자가 주어지면 8에서 14까지의 구성원 합이 무엇인지 찾아야 합니다.
문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8부터 14까지 알려지지 않은 용어를 찾은 다음 순차적으로 추가하는 것입니다. 항이 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결할 것을 제안한다.
아이디어는 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n> m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 식을 작성해 보겠습니다.
- Sm = m * (m + a 1) / 2.
- S n = n * (n + a 1) / 2.
n>m이므로 2의 합이 1을 포함하는 것은 자명하다. 마지막 결론은 이러한 합계의 차이에 a m이라는 용어를 추가하면(차이를 취하는 경우 합계 S n에서 빼면) 문제에 대한 필요한 답을 얻을 수 있다는 의미입니다. S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + 오전 * (1- m / 2). 이 식에서 n과 m에 대한 공식을 대체해야 합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
결과 공식은 다소 번거롭지만 Smn의 합은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대입하면 S mn = 301이 됩니다.
주어진 해에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항의 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제의 해결을 진행하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 발견해야 할 사항을 명확하게 이해한 다음 해결을 진행하는 것이 좋습니다.
또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 실수할 확률이 적기 때문에 그렇게 해야 합니다. 예를 들어, 솔루션 # 6을 사용한 산술 진행의 예에서 공식 S mn = n * (a 1 + an n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m에서 멈추고 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 일반적인 작업별도의 하위 작업( 이 경우먼저 항 a n 및 a m을 찾습니다.
얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 제공된 일부 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 우리는 산술 진행을 찾는 방법을 알아냈습니다. 알아내면 그리 어렵지 않습니다.
