순서가 결정되는 방법. 숫자 시퀀스

순서

순서- 그것 전부일부 세트의 요소:

각 자연수에 대해 이 집합의 요소를 지정할 수 있습니다.
이 숫자는 요소 번호이며 시퀀스에서 이 요소의 위치를 나타냅니다.
시퀀스의 모든 요소(구성원)에 대해 다음 시퀀스의 요소를 지정할 수 있습니다.

따라서 시퀀스는 결과입니다. 일관된주어진 집합의 요소 선택. 그리고 요소 집합이 유한하고 유한 체적의 샘플에 대해 말하면 시퀀스는 무한 체적의 샘플로 판명됩니다.

시퀀스는 본질적으로 매핑이므로 시퀀스를 "통과하는" 집합과 혼동해서는 안 됩니다.

수학에서는 다음과 같은 다양한 시퀀스가 고려됩니다.

수치적 및 비수치적 성격의 시계열;
미터법 공간의 요소 시퀀스
기능 공간 요소의 시퀀스
제어 시스템 및 자동 장치의 상태 시퀀스.

가능한 모든 시퀀스를 연구하는 목적은 패턴을 검색하고, 미래 상태를 예측하고, 시퀀스를 생성하는 것입니다.

정의

임의적 성격의 요소 집합이 주어집니다. | 자연수 집합을 주어진 집합으로 매핑하는 것을 순서(세트의 요소).

자연수, 즉 요소의 이미지를 - 일 회원또는 시퀀스 요소, 시퀀스 멤버의 서수는 인덱스입니다.

표기법

형식의 순서

괄호를 사용하여 간결하게 작성하는 것이 일반적입니다.

또는

중괄호는 때때로 사용됩니다:

약간의 표현의 자유를 허용하면 다음 형식의 유한 시퀀스도 고려할 수 있습니다.

자연수 시퀀스의 초기 세그먼트의 이미지를 나타냅니다.

또한보십시오

위키미디어 재단. 2010년 .

동의어:

다른 사전에 "시퀀스"가 무엇인지 확인하십시오.

순서. IV Kireevsky는 "19세기"(1830) 기사에서 다음과 같이 말합니다. . ... ... 말의 역사

SEQUENCE, 시퀀스, pl. 아니, 여성 (책). 혼란 명사 직렬로. 일련의 이벤트입니다. 밀물과 썰물의 변화의 순서. 추론의 일관성. 사전우샤코바.... Ushakov의 설명 사전

불변성, 연속성, 일관성; 행, 진행, 결론, 시리즈, 문자열, 승계, 체인, 체인, 캐스케이드, 릴레이 경주; 인내, 타당성, 모집, 체계성, 배열, 조화, 인내, 하위 순서, 연결, 대기열, ... ... 동의어 사전

SEQUENCE, 조직화된 방식으로 배열된 숫자 또는 요소. 수열은 자연수 1, 2, 3, 4의 완전한 수열처럼 유한하거나(요소 수가 제한됨) 무한할 수 있습니다. 과학 및 기술 백과사전

SEQUENCE, 자연수로 열거되는 일련의 숫자(수학적 표현 등, 모든 자연의 요소라고 함). 시퀀스는 x1, x2,..., xn,... 또는 짧게(xi) ...로 작성됩니다. 현대 백과사전

수학의 기본 개념 중 하나. 시퀀스는 자연수 1, 2, ..., n, ...으로 번호가 매겨진 모든 자연의 요소로 구성되며 x1, x2, ..., xn, ... 또는 짧게(xn) ... 큰 백과사전

순서- SEQUENCE, 자연수로 열거된 일련의 숫자(수학적 표현 등, 모든 자연의 요소라고 함). 시퀀스는 x1, x2, ..., xn, ... 또는 짧게(xi)로 작성됩니다. … 일러스트 백과사전

SEQUENCE, 그리고, fem. 1. 시리얼 참조. 2. 수학에서: 무한히 정렬된 숫자 집합. Ozhegov의 설명 사전. 시. Ozhegov, N.Yu. 슈베도바. 1949년 1992년 ... Ozhegov의 설명 사전

영어 연속/순서; 독일 사람 콘시퀀츠. 1. 차례로 따라가는 순서. 2. 수학의 기본 개념 중 하나. 3. 품질 권리 논리적 사고, 추론은 하나의 동일한 내부 모순에서 자유롭습니다 ... ... 사회학 백과사전

순서- "숫자, 점, 함수, 벡터, 집합, 랜덤 변수 등 자연수로 번호가 매겨진 모든 자연의 요소로 구성될 수 있는 값 집합에 대해 정의된 함수 .. . 경제 및 수학 사전

서적

우리는 시퀀스를 구축합니다. 새끼 고양이. 2~3년, . 게임 "고양이". 우리는 시퀀스를 구축합니다. 1레벨. 시리즈" 취학 전 교육". 재미있는 새끼 고양이는 해변에서 일광욕을하기로 결정했습니다! 그러나 그들은 장소를 공유 할 수 없습니다. 그들이 그것을 알아낼 수 있도록 도와주세요! ...

비다 와이= 에프(엑스), 엑스영형 N, 어디 N는 자연수의 집합(또는 자연 인수의 함수)이며 다음과 같이 표시됩니다. 와이=에프(N) 또는 와이 1 ,와이 2 ,…, 니 엔, .... 가치 와이 1 ,와이 2 ,와이 3 ,… 각각 시퀀스의 첫 번째, 두 번째, 세 번째, ... 멤버라고 합니다.

예를 들어 함수의 경우 와이= N 2는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

와이 1 = 1 2 = 1;

와이 2 = 2 2 = 4;

와이 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

시퀀스 설정 방법.시퀀스는 다양한 방법으로 지정할 수 있으며 그 중 분석, 설명 및 반복의 세 가지가 특히 중요합니다.

1. 수식이 주어진다면 수열은 분석적으로 주어진다 N-번째 멤버:

니 엔=에프(N).

예시. 니 엔= 2N- 1 – 홀수 시퀀스: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. 서술 숫자 시퀀스를 지정하는 방법은 시퀀스가 만들어지는 요소를 설명하는 것입니다.

예 1. "시퀀스의 모든 구성원은 1과 같습니다." 이것은 의미합니다, 우리는 대화 중이 야고정 수열 1, 1, 1, …, 1, …

예 2. "열은 오름차순의 모든 소수로 구성됩니다." 따라서 수열 2, 3, 5, 7, 11, …이 주어집니다. 순서를 지정하는 이 방법으로 이 예예를 들어 시퀀스의 1000번째 요소가 무엇과 같은지 대답하기 어렵습니다.

3. 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법은 다음을 계산할 수 있는 규칙이 표시된다는 것입니다. N- 이전 멤버가 알려진 경우 시퀀스의 번째 멤버. 순환 방법이라는 이름은 라틴어 단어에서 유래했습니다. 되풀이하다- 돌아와. 대부분의 경우 이러한 경우 다음을 표현할 수 있는 공식이 표시됩니다. N시퀀스의 th 멤버부터 이전 멤버까지, 시퀀스의 초기 멤버 1-2개를 지정합니다.

실시예 1 와이 1 = 3; y n = y n-1 + 4인 경우 N = 2, 3, 4,….

여기 와이 1 = 3; 와이 2 = 3 + 4 = 7;와이 3 = 7 + 4 = 11; ….

이 예에서 얻은 시퀀스를 분석적으로 지정할 수도 있음을 알 수 있습니다. 니 엔= 4N- 1.

실시예 2 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 니 엔 = 니 엔 –2 + 니 엔-1 경우 N = 3, 4,….

여기: 와이 1 = 1; 와이 2 = 1; 와이 3 = 1 + 1 = 2; 와이 4 = 1 + 2 = 3; 와이 5 = 2 + 3 = 5; 와이 6 = 3 + 5 = 8;

이 예제에서 구성된 시퀀스는 많은 흥미로운 속성과 응용 프로그램을 가지고 있기 때문에 수학에서 특별히 연구됩니다. 13세기 이탈리아 수학자의 이름을 따서 피보나치 수열이라고 합니다. 피보나치 수열을 재귀적으로 정의하는 것은 매우 쉽지만 분석적으로는 매우 어렵습니다. N th 피보나치 수는 다음 공식에 의해 서수로 표현됩니다.

언뜻 보면 공식 N th 피보나치 수는 자연수 시퀀스만 지정하는 공식이 제곱근, 그러나 처음 몇 개에 대해서는 이 공식의 유효성을 "수동으로" 확인할 수 있습니다. N.

숫자 시퀀스의 속성.

숫자 시퀀스는 숫자 함수의 특수한 경우이므로 함수의 여러 속성도 시퀀스에 대해 고려됩니다.

정의 . 순서 ( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 크면 증가라고 합니다.

와이 1 y 2 y 3 y ny n +1

정의.순서( 니 엔} 각 항(첫 번째 항 제외)이 이전 항보다 작으면 감소라고 합니다.

와이 1 > 와이 2 > 와이 3 > … > 니 엔> 니 엔 +1 > … .

증가 및 감소 시퀀스는 공통 용어인 단조 시퀀스로 통합됩니다.

실시예 1 와이 1 = 1; 니 엔= N 2는 증가하는 순서입니다.

따라서 다음 정리는 참입니다(산술 진행의 특성). 숫자 시퀀스는 첫 번째(유한 시퀀스의 경우 마지막)를 제외한 각 멤버가 이전 및 후속 멤버의 산술 평균과 같은 경우에만 산술 연산입니다.

예시. 어떤 가치로 엑스 3번 엑스 + 2, 5엑스– 4 및 11 엑스+ 12는 유한 산술 진행을 형성합니까?

특성 속성에 따라 주어진 표현식은 다음 관계를 만족해야 합니다.

5엑스 – 4 = ((3엑스 + 2) + (11엑스 + 12))/2.

이 방정식을 풀면 엑스= –5,5. 이 값으로 엑스주어진 표현 3 엑스 + 2, 5엑스– 4 및 11 엑스+ 12는 각각 값 -14.5를 취하고, –31,5, –48,5. 이것 - 산술 진행, 그 차이는 -17입니다.

기하학적 진행.

모든 구성원이 0이 아니고 두 번째부터 시작하여 이전 구성원에서 동일한 숫자를 곱하여 각 구성원을 얻는 숫자 시퀀스 큐, 를 기하 진행이라고 하며 그 수는 큐- 기하학적 진행의 분모.

이런 식으로, 기하학적 진행숫자 시퀀스입니다 비앤) 관계에 의해 재귀적으로 주어짐

비 1 = 비, 비앤 = 비앤 –1 큐 (N = 2, 3, 4…).

(비그리고 큐-주어진 숫자, 비 ≠ 0, 큐 ≠ 0).

예제 1. 2, 6, 18, 54, ... - 기하학적 진행 증가 비 = 2, 큐 = 3.

예 2. 2, -2, 2, -2, ... – 기하학적 진행 비= 2,큐= –1.

예 3. 8, 8, 8, 8, … – 기하학적 진행 비= 8, 큐= 1.

기하학적 진행은 다음과 같은 경우 증가하는 수열입니다. 비 1 > 0, 큐> 1, 다음 경우 감소 비 1 > 0, 0q

기하학적 진행의 명백한 속성 중 하나는 시퀀스가 기하학적 진행이면 정사각형의 시퀀스, 즉

비 1 2 , 비 2 2 , 비 3 2 , …, 비앤 2,...는 첫 번째 항이 다음과 같은 기하학적 진행입니다. 비 1 2 , 분모는 큐 2 .

공식 N-기하학적 진행의 th 항은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

비앤= 비 1 q n– 1 .

유한 기하 진행의 항의 합에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

유한한 기하학적 진행이 있게 하십시오

비 1 ,비 2 ,비 3 , …, 비앤

허락하다 에스앤-구성원의 합계, 즉

에스앤= 비 1 + 비 2 + 비 3 + … +비앤.

라고 받아들여진다. 큐 1. 결정하기 위해 에스앤인위적인 트릭이 적용됨: 표현식의 일부 기하학적 변환이 수행됨 에스앤큐.

에스앤큐 = (비 1 + 비 2 + 비 3 + … + 비앤 –1 + 비앤)큐 = 비 2 + 비 3 + 비 4 + …+ 비앤+ 비앤큐 = 에스앤+ 비앤큐– 비 1 .

이런 식으로, 에스앤큐= 에스앤 +b n q – b 1 따라서

이것은 다음과 같은 공식입니다. 기하학적 진행의 umma n 멤버경우에 대해 큐≠ 1.

~에 큐= 1 공식은 별도로 도출할 수 없으며, 이 경우 에스앤= ㅏ 1 N.

기하학적 진행은 첫 번째를 제외한 각 항이 이전 및 후속 항의 기하 평균과 같기 때문에 명명됩니다. 실제로, 이후

b n = b n- 1 큐;

십억 = 십억+ 1 /큐,

그 후, 비앤 2= b n– 1 억 이상 1 및 다음 정리가 참입니다(기하학적 진행의 특성 속성).

숫자 시퀀스는 첫 번째(및 유한 시퀀스의 경우 마지막)를 제외한 각 항의 제곱이 이전 및 후속 항의 곱과 같은 경우에만 기하학적 진행입니다.

시퀀스 제한.

시퀀스( c n} = {1/N}. 이 시퀀스는 두 번째부터 시작하는 각 멤버가 이전 멤버와 후속 멤버 사이의 조화 평균이기 때문에 고조파라고 합니다. 숫자의 기하 평균 ㅏ그리고 비숫자가 있다

그렇지 않으면 시퀀스를 분기라고 합니다.

이 정의에 따라 예를 들어 극한의 존재를 증명할 수 있습니다. A=0고조파 시퀀스( c n} = {1/N). ε을 임의의 작은 양수라고 하자. 우리는 차이점을 고려합니다

그런게 있나요 N모두를 위해 n≥ N불평등 1 /N? 로 취하면 N어느 자연수, 초과 1/ε , 그럼 모두를 위해 n ≥ N불평등 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

특정 시퀀스에 대한 극한의 존재를 증명하는 것은 때때로 매우 어렵습니다. 가장 일반적인 시퀀스는 잘 연구되고 참고 도서에 나열됩니다. 이미 연구된 시퀀스를 기반으로 주어진 시퀀스에 한계가 있다는 결론(심지어 계산까지)을 가능하게 하는 중요한 정리가 있습니다.

정리 1. 시퀀스에 제한이 있으면 제한됩니다.

정리 2. 시퀀스가 단조롭고 경계가 있으면 제한이 있습니다.

정리 3. 수열( 엔} 한계가 있다 ㅏ, 다음 시퀀스( 할 수있다}, {엔+ 다) 그리고 (| 엔|} 한계가 있다 캘리포니아, ㅏ +씨, |ㅏ| 각각 (여기 씨임의의 숫자임).

정리 4. If 시퀀스( 엔} 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비 판 + 큐비엔) 한계가 있다 아빠+ 큐비.

정리 5. If 시퀀스( 엔) 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비각각 다음 시퀀스( 엔비엔) 한계가 있다 에이.

정리 6. If 시퀀스( 엔} 그리고 ( 비앤) 다음과 같은 한계가 있습니다. ㅏ그리고 비각각, 그리고 추가적으로 ㄴ ≠ 0과 나≠ 0, 다음 시퀀스( 엔/비엔) 한계가 있다 A/B.

안나 츄가이노바

숫자 시퀀스 자연수 집합에 대해 정의된 수치 함수라고 합니다. .

함수가 자연수 집합에 주어지면
, 함수의 값 세트는 셀 수 있고 각 숫자는
번호가 일치합니다
. 이 경우 우리는 다음과 같이 말합니다. 숫자 시퀀스. 번호가 호출됩니다 집단또는 시퀀스의 구성원 및 번호 - 일반 또는 - 시퀀스의 멤버. 각 요소 추종자가 있다
. 이것은 "시퀀스"라는 용어의 사용을 설명합니다.

순서는 일반적으로 요소를 나열하거나 숫자가 있는 요소가 계산되는 법칙을 표시하여 지정됩니다. , 즉. 공식을 나타내는 멤버 .

예시.순서
공식으로 주어질 수 있습니다:
.

일반적으로 시퀀스는 다음과 같이 표시됩니다. 멤버.

예시.순서
‑이것은 순서입니다

시퀀스의 모든 요소 집합
표시된
.

허락하다
그리고
- 두 개의 시퀀스.

와 함께 음시퀀스
그리고
시퀀스를 호출
, 어디
, 즉..

아르 자형 아즈노스티이 시퀀스의 시퀀스라고합니다
, 어디
, 즉..

만약에 그리고 ‑ 상수, 그 다음 시퀀스
,
~라고 불리는 선형 조합 시퀀스
그리고
, 즉.

일하다시퀀스
그리고
시퀀스를 호출 -번째 멤버
, 즉.
.

만약에
, 그러면 다음을 결정할 수 있습니다. 사적인
.

시퀀스의 합, 차, 곱 및 몫
그리고
그들 불리는 대수적작곡.

예시.시퀀스 고려
그리고
, 어디. 그 다음에
, 즉. 순서
모든 요소가 0입니다.

,
, 즉. 곱의 모든 요소와 몫이 같다
.

시퀀스의 일부 요소를 지우면
무한한 수의 요소가 남도록 하면 다음과 같은 또 다른 시퀀스를 얻습니다. 하위 시퀀스시퀀스
. 시퀀스의 처음 몇 요소를 지우면
, 새 시퀀스가 호출됩니다. 나머지.

순서
제한된~ 위에(밑에서부터) 세트인 경우
위에서(아래에서) 제한됩니다. 시퀀스라고 하는 제한된위아래로 묶인 경우. 시퀀스는 나머지 중 하나라도 바인딩된 경우에만 바인딩됩니다.

수렴 시퀀스

그들은 말한다 순서
숫자가 있는 경우 수렴 그렇게
그런게 있다
, 어떤
, 다음 부등식이 성립합니다.
.

숫자 ~라고 불리는 시퀀스 제한
. 동시에 그들은 기록한다.
또는
.

예시.
.

그것을 보여줍시다
. 아무 숫자나 설정
. 불평등
수행
, 그렇게
수에 대한 수렴의 정의가 적용됩니다.
. 수단,
.

다시 말해
시퀀스의 모든 구성원을 의미
충분히 큰 숫자는 숫자와 거의 차이가 없습니다. , 즉. 어떤 숫자에서 시작하여
(때) 시퀀스의 요소가 간격에 있음
, 라고 하는 - 포인트의 이웃 .

순서
, 한계가 0(
, 또는
~에
)라고 한다 극소.

극소수에 적용하면 다음 진술이 참입니다.

두 극소수의 합은 극소수입니다.

유한 값에 의한 극소수의 곱은 극소수입니다.

정리 .순서를 위해서는
한계가 있었고, 그것이 필요하고 충분하다.
, 어디 - 일정한; - 무한히 작은 .

수렴 시퀀스의 주요 속성:

속성 3. 및 4.는 수렴 시퀀스의 경우에 일반화됩니다.

분자와 분모가 거듭제곱의 선형 조합인 분수의 극한을 계산할 때 , 분수의 극한은 가장 높은 항의 비율의 극한과 같습니다(즉, 가장 큰 거듭제곱을 포함하는 항 분자와 분모).

순서
라고 불리는:

이러한 모든 시퀀스는 단조로운.

정리 . 만약 순서가
단조 증가하고 위에서부터 경계를 이룬 다음 수렴하고 그 한계는 최대 상한과 같습니다. 시퀀스가 감소하고 아래로 경계가 지정되면 최대 하한으로 수렴됩니다.

서론 ...........................................................................................................................3

1.이론적 부분 ...........................................................................................................4

기본 개념 및 용어 ...........................................................................................4

1.1 시퀀스의 종류 ...........................................................................................6

1.1.1.제한 및 무제한 시퀀스… ..6

1.1.2.서열의 단조성 ...........................................................................6

1.1.3.무한과 극소수열.....7

1.1.4 극소수열의 성질 …………………………8

1.1.5 수렴 및 발산 시퀀스와 그 속성....9

1.2 시퀀스 제한 ...........................................................................................11

1.2.1.수열의 극한에 대한 정리

1.3.산술 진행 ...........................................................................................................17

1.3.1. 산술 진행의 속성 ...........................................................................17

1.4기하학적 진행 ...........................................................................................................19

1.4.1. 기하학적 진행의 속성 ...........................................................................................19

1.5. 피보나치 수 ...........................................................................................................21

1.5.1 다른 지식 영역과 피보나치 수의 연결 ...........................................22

1.5.2. 생물과 무생물을 설명하기 위해 일련의 피보나치 수를 사용하기

2. 자체 연구 ...........................................................................................................28

결론...........................................................................................................................30

중고 문헌 목록 ...........................................................................31

소개.

숫자 시퀀스는 매우 흥미롭고 유익한 주제입니다. 이 주제는 과제에서 찾을 수 있습니다. 복잡성 증가저자가 학생들에게 제공 교훈적인 자료, 수학 올림피아드 문제에서 고등 입학 시험 학교그리고 시험에. 나는 다른 지식 분야와 수학적 수열의 연결을 아는 데 관심이 있습니다.

표적 연구 작업: 수열에 대한 지식을 확장합니다.

1. 순서를 고려하십시오.

2. 속성을 고려하십시오.

3. 시퀀스의 분석 작업을 고려합니다.

4. 다른 지식 영역의 발전에 있어서의 역할을 보여줍니다.

5. 생물과 무생물을 설명하기 위해 일련의 피보나치 수를 사용하는 방법을 보여줍니다.

1. 이론적인 부분.

기본 개념 및 용어.

정의. 숫자 시퀀스는 y = f(x), x О N 형식의 함수입니다. 여기서 N은 y = f(n) 또는 y1, y2로 표시되는 자연수의 집합(또는 자연 인수의 함수)입니다. …, 인,… y1, y2, y3,… 값은 각각 시퀀스의 첫 번째, 두 번째, 세 번째, … 멤버라고 합니다.

임의의 사전 할당된 임의의 작은 양수 ε에 대해 모든 n>N에 대해 부등식 |x n - a|< ε.

숫자 a가 시퀀스 x \u003d (x n)의 극한이면 x n이 a 경향이 있다고 말하고 씁니다.

시퀀스(yn)는 각 멤버(첫 번째 제외)가 이전 멤버보다 크면 증가라고 합니다.

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

시퀀스(yn)는 각 멤버(첫 번째 제외)가 이전 멤버보다 작으면 감소라고 합니다.

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

증가 및 감소 시퀀스는 공통 용어인 단조 시퀀스로 통합됩니다.

어떤 n에서 시작하여 yn = yn+T가 성립하는 자연수 T가 존재하는 경우 시퀀스를 주기적이라고 합니다. 숫자 T를 주기 길이라고 합니다.

산술 수열은 수열(an)이며, 두 번째부터 시작하는 각 요소는 이전 요소와 동일한 숫자 d의 합과 같으며 산술 진행이라고 하고 숫자 d는 의 차라고 합니다. 산술 진행.

따라서 산술 진행은 관계식에 의해 재귀적으로 주어진 숫자 시퀀스(an)입니다.

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

기하학적 진행은 모든 구성원이 0이 아닌 시퀀스이며 두 번째부터 시작하여 이전 구성원에서 동일한 숫자 q를 곱하여 각 구성원을 가져옵니다.

따라서 기하학적 진행은 관계식에 의해 재귀적으로 주어진 숫자 시퀀스(bn)입니다.

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 시퀀스 유형.

1.1.1 경계가 있는 시퀀스와 제한되지 않은 시퀀스.

임의의 수 n에 대해 부등식 bn≤ M이 충족되는 수 M이 존재하는 경우 시퀀스(bn)는 위에서부터 경계가 지정된다고 합니다.

임의의 수 n에 대해 부등식 bn≥ M이 충족되는 수 M이 존재하는 경우 시퀀스(bn)는 아래에서 경계를 이룬다고 합니다.

예를 들어:

1.1.2 시퀀스의 단조성.

임의의 숫자 n에 대해 부등식 bn≥ bn+1(bn ≤bn+1)이 참이면 시퀀스(bn)를 비증가(비감소)라고 합니다.

어떤 숫자 n에 대해 부등식 bn > bn+1(bn)인 경우 시퀀스(bn)를 감소(증가)라고 합니다.

감소 및 증가 시퀀스는 엄격한 단조, 비증가 - 넓은 의미의 단조라고합니다.

위와 아래에 경계가 있는 시퀀스를 경계라고 합니다.

이러한 모든 유형의 시퀀스를 단조라고 합니다.

1.1.3 무한히 크고 작은 시퀀스.

극소수열은 0으로 가는 경향이 있는 수치 함수 또는 수열입니다.

다음과 같은 경우 시퀀스를 극소수라고 합니다.

ℓimx→x0 f(x)=0인 경우 x0 점 부근에서 함수를 무한소라고 합니다.

ℓimx→.+∞ f(x)=0 또는 ℓimx→-∞ f(x)=0인 경우 함수를 무한대에서 무한대라고 합니다.

또한 극한은 함수와 그 극한 간의 차이인 함수입니다. 즉, ℓimx→.+∞ f(x)=а이면 f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞입니다. f((x)-a)=0.

무한히 큰 수열은 무한대 경향이 있는 숫자 함수 또는 수열입니다.

다음과 같은 경우 시퀀스를 무한대라고 합니다.

ℓimn→0 an=∞.

ℓimx→x0 f(x)= ∞인 경우 함수는 점 x0 부근에서 무한대라고 합니다.

다음과 같은 경우 함수는 무한대에서 무한대라고 합니다.

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ 또는 ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 극소수열의 속성

두 극소수열의 합은 그 자체로도 극소수열이다.

두 극소수열의 차이는 그 자체로도 극소수열이다.

임의의 대수적 합 유한수극소수열은 그 자체로도 극소수열이다.

유계 수열과 극소 수열의 곱은 극소 수열입니다.

유한한 수의 무한 수열의 곱은 극소 수열입니다.

모든 극소수열은 경계가 있습니다.

고정 시퀀스가 무한히 작으면 일부에서 시작하여 모든 요소가 0과 같습니다.

전체 극소수열이 동일한 요소로 구성된 경우 이러한 요소는 0입니다.

(xn)이 영항을 포함하지 않는 무한히 큰 수열이면 극소 수열(1/xn)이 있습니다. 그러나 (xn)에 0개의 요소가 포함된 경우 시퀀스(1/xn)는 여전히 일부 숫자 n에서 시작하여 정의될 수 있으며 여전히 극소입니다.

(an)이 영항을 포함하지 않는 극소수열이면 무한히 큰 수열 (1/an)이 있습니다. 그러나 (an)이 0개의 요소를 포함하는 경우 시퀀스(1/an)는 여전히 일부 숫자 n에서 시작하여 정의될 수 있으며 여전히 무한히 커질 것입니다.

1.1.5 수렴 및 발산 시퀀스 및 속성.

수렴 시퀀스는 이 집합에 극한이 있는 집합 X의 요소 시퀀스입니다.

발산 수열은 수렴하지 않는 수열입니다.

모든 극소수열은 수렴합니다. 그 한계는 0입니다.

무한 시퀀스에서 유한 개수의 요소를 제거해도 해당 시퀀스의 수렴이나 극한에 영향을 주지 않습니다.

모든 수렴 시퀀스는 제한됩니다. 그러나 모든 경계 시퀀스가 수렴되는 것은 아닙니다.

수열(xn)이 수렴하지만 무한히 작지 않으면 어떤 수에서 시작하여 수열(1/xn)이 정의되어 경계가 지정됩니다.

수렴 시퀀스의 합은 또한 수렴 시퀀스입니다.

수렴 시퀀스의 차이는 또한 수렴 시퀀스입니다.

수렴 수열의 곱도 수렴 수열입니다.

두 수렴 시퀀스의 몫은 두 번째 시퀀스가 극소수인 경우가 아니면 일부 요소에서 시작하여 정의됩니다. 두 수렴 시퀀스의 몫이 정의되면 수렴 시퀀스입니다.

수렴 시퀀스가 아래로 경계가 지정되면 하한 중 어느 것도 한계를 초과하지 않습니다.

수렴 시퀀스가 위에서 경계가 지정되면 해당 제한은 상한을 초과하지 않습니다.

임의의 수에 대해 한 수렴 수열의 항이 다른 수렴 수열의 항을 초과하지 않으면 첫 번째 수열의 극한도 두 번째 수열의 극한을 초과하지 않습니다.

강의 8. 숫자 시퀀스.

정의8.1. 각 값이 특정 법칙에 따라 특정 실수와 연관되는 경우엑스 N , 번호가 매겨진 실수 집합

– 약어 표기
, (8.1)

우리는 부를 것이다숫자 시퀀스 또는 시퀀스.

별도의 번호 엑스 N  시퀀스의 요소 또는 멤버 (8.1).

시퀀스는 다음과 같은 일반 용어 공식으로 지정할 수 있습니다.
또는
. 시퀀스는 모호하게 지정할 수 있습니다. 예를 들어 시퀀스 -1, 1, -1, 1, ...은 다음 공식으로 지정할 수 있습니다.
또는
. 때때로 시퀀스를 지정하는 반복적인 방법이 사용됩니다. 시퀀스의 처음 몇 개 구성원과 다음 요소를 계산하기 위한 공식이 제공됩니다. 예를 들어, 첫 번째 요소로 정의된 시퀀스와 반복 관계
(산술 진행). 라는 시퀀스를 고려하십시오. 피보나치 근처: 처음 두 요소를 설정 엑스 1 =1, 엑스 2 =1 및 반복 관계
어떠한 것도
. 일련의 숫자 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...를 얻습니다. 이러한 계열의 경우 공통 용어에 대한 공식을 찾는 것이 다소 어렵습니다.

8.1. 시퀀스를 사용한 산술 연산.

두 가지 시퀀스를 고려하십시오.

(8.1)

정의 8.2. 전화하자수열의 곱
번호당 중순서
. 다음과 같이 작성해 봅시다.
.

시퀀스를 호출하자 시퀀스의 합 (8.1) 및 (8.2), 우리는 다음과 같이 작성합니다: ; 비슷하게
전화하자 시퀀스 차이 (8.1) 및 (8.2);
 시퀀스의 곱 (8.1) 및 (8.2);  개인 시퀀스 (8.1) 및 (8.2) (모든 요소
).

8.2. 경계가 있는 시퀀스와 경계가 없는 시퀀스.

임의 시퀀스의 모든 요소 집합
위에서(아래에서) 경계가 지정될 수 있고 실수에 대해 도입된 것과 유사한 정의가 유효한 특정 숫자 집합을 형성합니다.

정의 8.3. 순서
~라고 불리는위에서 경계 , 만약 ; 중  상단 가장자리.

정의 8.4. 순서
~라고 불리는아래에서 경계 , 만약 ;중  하단 가장자리.

정의 8.5.순서
~라고 불리는제한된 , 위와 아래에 경계가 있는 경우, 즉 두 개의 실수 M과중 시퀀스의 각 요소가
부등식을 충족합니다.

, (8.3)

중그리고중- 상단 및 하단 가장자리
.

부등식(8.3)이라고 합니다. 시퀀스 경계 조건
.

예를 들어, 시퀀스
제한적이고
제한 없는.

♦ 진술 8.1.
제한적이다 .

증거.선택하자
. 정의 8.5에 따르면 시퀀스
제한됩니다. ■

정의 8.6. 순서
~라고 불리는제한 없는 , 임의의 양수(임의로 큰) 실수 A에 대해 시퀀스의 요소가 하나 이상 있는 경우엑스 N , 부등식 충족:
.

예를 들어, 시퀀스 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 N, … 무제한, 왜냐하면 아래에서만 제한됩니다.

8.3. 무한히 크고 무한히 작은 시퀀스.

정의 8.7. 순서
~라고 불리는무한히 큰 , 임의의 (임의로 큰) 실수 A에 대해 숫자가 있는 경우
모두를 위해
집단엑스 N
.

☼ 비고 8.1.시퀀스가 무한히 크면 무한합니다. 그러나 무한 수열이 무한히 크다고 생각해서는 안 됩니다. 예를 들어, 시퀀스
제한되지는 않지만 무한히 크지 않기 때문에 질환
모두에게 만족하지 않아도 N. ☼

 예 8.1.
무한히 큽니다. 아무 번호나 받아 ㅏ>0. 불평등에서
우리는 얻는다 N>ㅏ. 취하면
, 그럼 모두를 위해 N>N불평등은 유지될 것이다
, 즉, 정의 8.7에 따르면 시퀀스
무한히 크다. 

정의 8.8. 순서
~라고 불리는극소 , 만약을 위해
(하지만 작은 ) 숫자가 있다
모두를 위해
집단 이 수열은 부등식을 만족합니다
.

 예 8.2.순서를 증명하자 무한히 작습니다.

아무 번호나 받아
. 불평등에서
우리는 얻는다 . 취하면
, 그럼 모두를 위해 N>N불평등은 유지될 것이다
. 

♦ 진술 8.2. 순서
에서 무한히 큽니다.
그리고 무한히 작은
.

증거.

1) 먼저 하자
:
, 어디
. Bernoulli 공식에 따르면(예제 6.3, 섹션 6.1.)
. 임의의 양수를 수정합니다. ㅏ숫자를 선택하고 N부등식이 참이 되도록:

,
,
,
.

왜냐하면
, 다음 모두에 대한 실수의 곱의 속성에 의해

.

그래서
숫자가 있다
, 모두를 위한 것

- 무한히 크다
.

2) 경우를 고려
,
(에 큐=0 우리는 사소한 경우가 있습니다).

허락하다
, 어디
, 베르누이 공식에 따르면
또는
.

고정
,
그리고 선택
그런

,
,
.

을위한

. 이 번호를 지정하십시오 N, 모두를 위한 것

, 즉, 언제
순서
무한히 작습니다. ■

8.4. 극소수열의 기본 속성.

♦ 정리 8.1.합집합

그리고

증거.고정 ;
- 무한히 작은

,

- 무한히 작은

. 선택하자
. 그런 다음

,
,
. ■

♦ 정리 8.2. 차이점
두 개의 극소수열
그리고
극소수열이다.

을위한 증거정리, 부등식을 사용하는 것으로 충분합니다. ■

결과.유한한 수의 무한 수열의 대수적 합은 극소 수열입니다.

♦ 정리 8.3.유계 수열과 극소 수열의 곱은 극소 수열입니다.

증거.
- 제한된
극소수열이다. 고정 ;
,
;
: 에
공정한
. 그 다음에
. ■

♦ 정리 8.4.모든 극소수열은 경계가 있습니다.

증거.고정 어떤 숫자를 보자. 그 다음에
모든 객실에 대해 N, 이는 시퀀스가 제한되어 있음을 의미합니다. ■

결과. 2개(및 임의의 유한 수)의 극소 수열의 곱은 극소 수열입니다.

♦ 정리 8.5.

극소수열의 모든 원소가
같은 수와 같다씨, 다음 c= 0.

증거정리는 모순에 의해 수행됩니다.
. ■

♦ 정리 8.6. 1) 만약에
어떤 숫자에서 시작하는 무한히 큰 수열입니다.N, 몫이 정의됨 두 개의 시퀀스
그리고
, 이는 극소수열입니다.

2) 극소수열의 모든 원소가
0과 다르면 몫 두 개의 시퀀스
그리고
무한 수열이다.