이진 역학 시스템의 정성 분석에서 부울 제약 조건 방법. 동적 시스템의 정성적 분석

생물학적 과정의 동역학

생물학적 시스템의 역학을 어떻게 설명할 수 있습니까? 매 순간에 생물학적 시스템은 일련의 특정 특성을 가지고 있습니다. 예를 들어, 종의 개체군을 관찰함으로써 그 크기, 점유된 영토의 면적, 이용 가능한 식량의 양, 주변 온도 등을 기록할 수 있습니다. 화학 반응의 과정은 농도에 의해 특징지어질 수 있습니다 관련된 물질의 압력, 온도 및 환경의 산도 수준. 연구자가 시스템을 설명하기 위해 선택한 모든 특성의 값 집합은 각 순간의 시스템 상태입니다. 모델을 생성할 때 지정된 집합에서 변수와 매개변수가 선택됩니다. 변수는 변경 사항이 주로 연구자에게 관심이 있는 양이고 매개변수는 "외부 환경"의 조건입니다. 시간 경과에 따른 시스템의 변화 패턴을 반영하는 방정식이 컴파일되는 것은 선택된 변수에 대한 것입니다. 예를 들어, 미생물 배양의 성장에 대한 모델을 만들 때 일반적으로 그 수를 변수로 사용하고 번식률을 매개 변수로 사용합니다. 성장이 발생하는 온도가 중요한 것으로 판명 될 수 있으며이 지표도 모델에 매개 변수로 포함됩니다. 예를 들어 통기 수준이 항상 충분하고 성장 과정에 영향을 미치지 않으면 모델에 전혀 포함되지 않습니다. 일반적으로 매개 변수는 실험 중에 변경되지 않은 상태로 유지되지만 항상 그런 것은 아닙니다.

이산 모델과 연속 모델을 모두 사용하여 생물학적 시스템의 역학(즉, 시간에 따른 상태의 변화)을 설명하는 것이 가능합니다. 이산 모델은 시간이 이산 수량이라고 가정합니다. 이는 특정 고정 간격(예: 1시간에 한 번 또는 1년에 한 번)으로 변수 값을 기록하는 데 해당합니다. 연속 모델에서 생물학적 변수는 다음과 같이 표시되는 시간의 연속 함수입니다. 엑스(티).

종종 매우 중요함 초기 조건모델 - 초기 시간에 연구 중인 특성의 상태, 즉. ~에 티 = 0.

어떤 특성의 지속적인 변화를 연구할 때 엑스(티) 우리는 그 변화율에 대한 정보를 알 수 있습니다. 이 정보는 일반적으로 미분 방정식으로 작성할 수 있습니다.

이러한 형식적 표기법은 연구 중인 일부 특성의 변화율이 시간과 이 특성의 크기의 함수라는 것을 의미합니다.

형식의 미분방정식의 우변이 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 즉 공정한:

이 방정식은 자발적인(이러한 방정식으로 설명되는 시스템을 자발적인). 각 순간의 자율 시스템 상태는 하나의 단일 값으로 특성화됩니다. 엑스순간에 티.

스스로에게 질문을 해보자. 미분 방정식이 주어졌다고 하자. 엑스(티), 모든 기능을 찾을 수 있습니까? 엑스(티) 이 방정식을 만족합니까? 또는: 특정 변수의 초기 값이 알려져 있고(예: 모집단의 초기 크기, 물질의 농도, 매체의 전기 전도도 등) 변화의 특성에 대한 정보가 있는 경우 이 변수는 이후의 모든 시점에서 그 값이 어떻게 될지 예측할 수 있습니까? 제기된 질문에 대한 답은 다음과 같습니다. 에 대한 초기 조건이 주어지고 방정식에 대해 코시 정리의 조건이 충족되면(특정 영역에서 주어진 함수와 그 편도함수가 이 영역에서 연속적임), 주어진 초기 조건을 만족하는 방정식의 고유 솔루션입니다. (미분 방정식을 만족하는 모든 연속 함수를 그 방정식의 해라고 합니다.) 이것은 초기 상태의 특성이 알려져 있고 모델 방정식이 코시의 정리.

정지 상태. 지속 가능성

우리는 자율 미분 방정식을 고려할 것입니다

정지 상태에서 시스템의 변수 값은 시간에 따라 변하지 않습니다. 즉, 변수 값의 변화율은 0: 입니다. 방정식 (1.2)의 왼쪽이 0과 같으면 오른쪽도 0과 같습니다. 이 대수 방정식의 근은 정지 상태미분 방정식 (1.2).

예 1.1:방정식의 정지 상태를 찾으십시오.

해결책: 도함수를 포함하지 않는 항을 항등식의 우변으로 이동시키자: . 정의에 따르면 정지 상태에서는 다음과 같은 동등성이 유지됩니다. . 따라서 평등이 유지되어야 합니다. . 방정식을 풉니다.

,

따라서 방정식에는 3개의 고정 상태가 있습니다. , .

생물학적 시스템은 다양한 외부 영향과 수많은 변동을 끊임없이 경험합니다. 동시에 그들은 (생물학적 시스템) 항상성을 가지고 있습니다. 저항하는. 수학적 언어에서 이는 편차가 작은 변수가 정상 값으로 돌아간다는 것을 의미합니다. 생물학적 시스템의 이러한 행동이 수학적 모델에 반영됩니까? 모델의 정지 상태는 안정적인가?

정상 상태는 지속 가능한, 평형 위치에서 충분히 작은 편차에 대해 시스템이 특이점에서 결코 멀리 가지 않을 경우. 안정 상태는 시스템 작동의 안정 모드에 해당합니다.

방정식의 평형 상태는 Lyapunov가 안정한 상태입니다.

정지 상태의 안정성을 연구하는 분석 방법인 Lyapunov 방법이 있습니다. 그것을 입증하기 위해 우리는 회상합니다. 테일러 공식.

느슨하게 말하면 Taylor 공식은 특정 지점 근처에서 함수의 동작을 보여줍니다. 까지의 모든 차수의 점에서 함수가 도함수를 가지도록 하십시오. N-일 포함. 그러면 Taylor 공식은 다음에 대해 유효합니다.

보다 높은 차수의 무한소를 나타내는 나머지 항을 버리면 대략적인 Taylor 공식을 얻습니다.

근사 공식의 오른쪽을 호출합니다. 테일러 다항식함수로 표시됩니다.

예 1.2: 4차까지 점 근처에서 Taylor 급수의 함수를 확장합니다.

해결책: 4차까지 Taylor 급수를 일반 형식으로 씁니다.

점에서 주어진 함수의 도함수를 찾습니다.

,

얻은 값을 원래 수식으로 대체하십시오.

정지 상태의 안정성을 연구하기 위한 분석 방법( 랴푸노프 방법) 다음과 같다. 방정식의 정지 상태를 이라고 합니다. 변수의 작은 편차를 설정하자 엑스고정 값에서: , 여기서 . 점을 표현으로 대체 엑스원래 방정식으로: . 방정식의 왼쪽은 다음 형식을 취합니다. , 정지 상태에서 변수 값의 변화율은 0과 같기 때문에: . 고정 상태 부근에서 우변을 Taylor 급수로 확장하고 , 를 고려하여 방정식의 우변에 선형 항만 남깁니다.

받았다 선형화된 방정식또는 첫 번째 근사 방정식. 값은 일정한 값입니다. ㅏ: . 선형화된 방정식의 일반 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 이 표현은 우리가 주어진 정지 상태로부터의 편차가 시간에 따라 변하는 법칙을 설명합니다. 편차는 시간이 지남에 따라 감소합니다. 에서 지수의 지수가 음수이면, 즉 . 정의에 따르면 정상 상태는 지속 가능한. 인 경우 시간이 증가함에 따라 편차만 증가하고 정지 상태는 다음과 같습니다. 불안정한. 첫 번째 근사의 방정식이 정지 상태의 안정성 문제에 대한 답을 줄 수 없는 경우. Taylor 급수 전개에서 고차 항을 고려할 필요가 있습니다.

정지 상태의 안정성을 연구하는 분석 방법 외에도 그래픽 방법도 있습니다.

예 1.3.허락하다 . 방정식의 정상 상태를 찾고 함수의 그래프를 사용하여 안정성 유형을 결정합니다. .

해결책:특별한 점을 찾아보자:

,

,

함수의 그래프를 작성합니다(그림 1.1).

쌀. 1.1. 함수 그래프(예제 1.3).

그래프에서 발견된 각 정지 상태가 안정적인지 여부를 결정해 보겠습니다. 특이점에서 왼쪽으로 대표점의 작은 편차를 설정해 보겠습니다. 좌표가 있는 점에서 함수는 양수 값 또는 를 취합니다. 마지막 부등식은 시간이 지남에 따라 좌표가 증가해야 한다는 것, 즉 대표점이 점으로 돌아가야 함을 의미합니다. 이제 특이점에서 오른쪽으로 대표점의 작은 편차를 설정해 보겠습니다. 이 영역에서 함수는 양수 값을 유지하므로 시간이 지남에 따라 좌표 엑스도 증가합니다. 즉, 대표점이 점에서 멀어집니다. 따라서 작은 편차는 시스템을 정지 상태에서 벗어나게 하므로 정의에 따라 특이점이 불안정합니다. 유사한 추론은 특이점으로부터의 편차가 시간이 지남에 따라 감쇠하고 정지 상태가 안정적이라는 사실로 이어집니다. 정지 상태에서 임의의 방향으로 대표점이 벗어나면 해당 점에서 제거됩니다. 이것은 불안정한 정지 상태입니다.

선형 미분 방정식 시스템 풀기

먼저 선형 방정식 시스템에 대한 연구로 넘어가 보겠습니다. 일반적으로 선형 미분 방정식 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

연립방정식의 분석은 정지 상태를 찾는 것으로 시작됩니다. (1.3) 형식의 시스템에는 단일 특이점이 있으며 좌표는 (0,0)입니다. 방정식이 다음과 같이 표현될 수 있는 퇴화 경우는 예외입니다.

(1.3*)

이 경우 관계를 만족하는 모든 쌍은 시스템의 정지점입니다(1.3*). 특히 점(0,0)은 시스템(1.3*)에 대해서도 고정되어 있습니다. 이 경우 위상 평면에서 기울기 계수가 원점을 통과하는 직선이 있으며 각 점은 시스템의 특이점(1.3 *)입니다(표 1.1, 항목 6 참조).

연립방정식을 연구한 결과로 답해야 하는 주요 질문은 시스템의 정지 상태가 안정적인지 여부와 이 솔루션이 갖는 특성(단조 또는 비단조)입니다.

공통 결정두 선형 방정식의 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

특징적인 숫자선형 방정식의 계수로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

특성 숫자는 1) 다른 부호의 실수, 2) 동일한 부호의 실수, 3) 복소수 켤레, 그리고 퇴화의 경우 4) 순전히 허수, 5) 일치하는 실수, 6) 실수, 다음 중 하나(또는 둘 다) 0과 같습니다. 이러한 경우는 상미분 방정식 시스템에 대한 솔루션의 동작 유형을 결정합니다. 해당 위상 초상화는 표 1.1에 나와 있습니다.

표 1.1. 두 선형 미분 방정식 시스템의 정지 상태 유형 및 해당 위상 초상화. 화살표는 대표점의 이동 방향을 나타냅니다.

2개의 선형 미분 방정식 시스템의 위상 및 운동 초상화 구성

위상 평면변수 값이 그려진 좌표축이있는 평면이라고 함 엑스그리고 와이, 평면의 각 점은 시스템의 특정 상태에 해당합니다. 연구중인 시스템의 주어진 방정식에 따라 시간에 따라 변수를 변경하는 과정에서 시스템의 상태에 해당하는 위상 평면의 점 세트를 호출합니다 위상 궤적. 변수의 다양한 초기 값에 대한 위상 궤적 세트는 시스템의 초상을 제공합니다. 건물 위상 초상화변수의 변화 특성에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 엑스그리고 와이원래 방정식 시스템의 분석 솔루션을 모른 채.

선형 미분 방정식 시스템을 고려하십시오.

위상 초상화의 구성은 구성으로 시작됩니다. 주요 등각선(등각선은 방정식에 의해 결정된 위상 곡선(궤적)의 기울기가 일정하게 유지되는 선입니다.) 두 개의 선형 미분 방정식 시스템의 경우 이들은 항상 원점을 통과하는 직선입니다. 방정식 수평 접선의 등각선: . 수직 접선의 등각선 방정식: . 위상 초상화의 추가 구성을 위해 비스듬히 통과하는 접선의 등각선을 구성하는 것이 유용합니다. 해당 등사선 방정식을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. . 각도의 접선의 대략적인 값을 사용하여 다른 각도의 접선의 등각선을 찾을 수도 있습니다. 위상 궤적이 어떤 각도에서 좌표 축과 교차해야 하는지에 대한 질문에 대한 대답은 위상 초상화를 구성하는 데 도움이 될 수도 있습니다. 이를 위해 등각선 방정식에서 해당 등식(OY 축과의 교차 각도 결정) 및 (OX 축과의 교차 각도 결정)를 대체합니다.

예 1.4.선형 방정식 시스템의 특이점 유형을 결정합니다.

시스템의 위상 및 운동 초상화를 구성합니다.

해결책:특이점 좌표는 (0,0)입니다. 선형 방정식의 계수는 , , , . 정지 상태의 유형을 정의합시다(특성 번호에 대한 섹션 참조).

따라서 특성 근은 허수이므로 고려되는 선형 시스템의 특이점은 중심 유형을 갖습니다(그림 1.2a).

수평 접선의 등각선 방정식: , 수직 접선의 등각선 방정식: . 45°의 각도에서 시스템의 궤적은 직선과 교차합니다. .

위상 초상화를 구성한 후에는 발견된 궤적을 따라 이동 방향을 결정해야 합니다. 이것은 다음과 같은 방법으로 할 수 있습니다. 임의의 궤적에서 임의의 점을 취하십시오. 예를 들어, 수평 접선(1,1)의 등각선에서. 이 점의 좌표를 연립방정식에 대입합시다. 우리는 변수의 변화율에 대한 표현을 얻습니다. 엑스,와이이 지점에서:

얻은 값은 변수의 변화율을 보여줍니다 엑스- 음수, 즉 값이 감소해야 하며 변수 와이변하지 않는다. 받은 방향을 화살표로 표시합니다. 따라서 고려 중인 예에서 위상 궤적을 따른 운동은 시계 반대 방향으로 향합니다. 다른 점의 좌표를 시스템에 대입하면 속도 방향의 "지도"를 얻을 수 있습니다. 벡터 필드.

그림 1.2. 시스템의 위상(a) 및 동역학(b) 초상화, 예 1.4

수평 접선의 등각선에서 변수에 유의하십시오. 와이주어진 궤적에서 최대 또는 최소값에 도달합니다. 반대로 수직 접선의 등각선에서 변수는 엑스.

시스템의 운동 초상화를 구축한다는 것은 변수 값의 의존성을 플로팅하는 것을 의미합니다 엑스,와이시간부터. 위상 초상화를 사용하여 동역학을 구축할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 하나의 위상 궤적은 한 쌍의 운동 곡선에 해당합니다. 임의의 위상 궤적에서 위상 초상화의 임의의 지점을 선택하겠습니다. 이것은 시간에 해당하는 시작점입니다. 고려중인 시스템의 이동 방향에 따라 변수 값 엑스,와이감소하거나 증가합니다. 시작점의 좌표를 (1,1)이라고 합니다. 구성된 위상 초상화에 따르면 이 지점에서 시작하여 시계 반대 방향으로 좌표를 이동해야 합니다. 엑스그리고 와이그들이 감소하는 동안. 시간이 지남에 따라 좌표 엑스 0, 값을 통과합니다. 와이긍정적인 상태를 유지하면서. 추가 좌표 엑스그리고 와이계속 감소, 좌표 와이 0(값 엑스음수인 동안). 값 엑스수직 접선의 등각선에서 최소값에 도달한 다음 증가하기 시작합니다. 값 와이수평 접선의 등각선에서 최소값에 도달합니다(값 엑스이 시점에서 음수). 다음으로 값 엑스, 그리고 값 와이증가하여 초기 값으로 돌아갑니다(그림 1.2b).

2차 비선형 시스템의 정지 상태 안정성 조사

생물학적 시스템을 일반 형식의 두 자율 2차 미분 방정식 시스템으로 설명한다고 가정합니다.

시스템 변수의 고정 값은 대수 방정식에서 결정됩니다.

각 정지 상태의 이웃에서 다음을 고려할 수 있습니다. 첫 번째 근사 시스템(선형화된 시스템), 이 연구를 통해 특이점의 안정성과 작은 이웃에서 위상 궤적의 특성에 대한 질문에 답할 수 있습니다.

밖의

우리는 , , 특이점이 거칠다. 첫 번째 근사값 시스템의 특성 근은 와 같으며 둘 다 실수이고 음수이므로 제로 특이점 근처에서 시스템의 위상 궤적 동작은 안정적인 매듭 유형에 해당합니다.

자동화 및 원격 역학, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. 팝코프, 닥터테크. 과학 (모스크바 RAS 시스템 분석 연구소)

Vd-엔트로피 연산자를 사용한 동적 시스템의 정성적 분석

고려되는 DSEE 클래스의 특이점의 존재, 고유성 및 위치를 연구하기 위한 방법이 제안됩니다. "작은 것"과 "큰 것"의 안정성 조건을 얻습니다. 얻은 조건의 적용 예가 제공됩니다.

1. 소개

동적 프로세스의 수학적 모델링의 많은 문제는 엔트로피 연산자(DEOS)가 있는 동적 시스템의 개념을 기반으로 해결할 수 있습니다. DSEE는 비선형성이 엔트로피 최대화의 매개변수 문제로 설명되는 동적 시스템입니다. Feio-moyologically, DSEO는 "느린" 자가 재생산 및 "빠른" 자원 할당을 가진 거시 시스템의 모델입니다. DSEO의 일부 속성은 에서 연구되었습니다. 이 작업은 DSEO의 질적 특성에 대한 연구 주기를 계속합니다.

Vd-엔트로피 연산자가 있는 동적 시스템을 고려합니다.

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

다음 표현식에서:

C(x, y), u(x)는 연속적으로 미분 가능한 벡터 함수입니다.

엔트로피

(1.2) Hv(y) = uz 1n > 0, s = T~m;

T - (r x w)-요소가 있는 행렬 ^ 0은 총 순위가 r과 같습니다.

벡터 함수 u(x)는 연속적으로 미분 가능한 것으로 가정하고, 집합

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

여기서 - 및 a +는 E+의 벡터이고, 여기서 a-는 작은 구성요소를 가진 벡터입니다.

라그랑주 승수 측면에서 잘 알려진 엔트로피 연산자 표현 사용. 시스템(1.1)을 다음 형식으로 변환합니다.

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

여기서 rk = exp(-Ak) > 0은 지수 라그랑주 승수입니다.

일반 형식(1.1)의 DSEE와 함께 에 제공된 분류에 따라 고려할 것입니다.

분리 가능한 흐름이 있는 DSEE:

(1-5) ^ = I(x) + Vy(z),

여기서 B(n x m)-행렬;

승법 흐름이 있는 DSEO:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

여기서 W는 음이 아닌 요소가 있는 (n x m)-행렬이고, a는 양의 구성요소가 있는 벡터이고, ®은 좌표 곱셈의 부호입니다.

이 논문의 목적은 DSEE의 특이점의 존재, 고유성 및 위치와 안정성을 연구하는 것입니다.

2. 특이점

2.1. 존재

시스템(1.4)을 고려하십시오. 이 역학 시스템의 특이점은 다음 방정식에 의해 결정됩니다.

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

먼저 보조 방정식 시스템을 고려하십시오.

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

여기서 집합 R은 등식(1.3)으로 정의되고 C(q, r)은 구성 요소가 있는 벡터 함수입니다.

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

방정식(2.4)은 Vg-엔트로피 연산자의 속성에서 뒤따르는 각 고정 벡터 q에 대해 고유한 솔루션 r*을 갖습니다(참조).

벡터 함수 С(g, z)의 구성 요소 정의에서 명백한 추정이 발생합니다.

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

첫 번째 방정식의 해를 r+로 표시하고 두 번째 방정식의 해를 r-로 표시합니다. 정의하자

(2.7) C(a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = 최대 z+, zmin = mm zk

및 r차원 벡터

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin, zmin).

보조정리 2.1. 모든 q G Q (1 . 3) 솔루션에 대해 방정식 (2.4)의 z*(q)는 벡터 1에 속합니다.

지민< z*(q) < zmax,

여기서 벡터 zmin 및 zmax는 식 (2.7)-(2.9)로 정의됩니다.

정리의 증명은 부록에 나와 있습니다. Qq

x G Rn에 대해 qk(x) (1.3)

결론 2.1. 보조 정리 2.1의 조건이 충족되고 함수 qk(x)가 모든 ex x G Rn에 대한 조건 (1.3)을 충족한다고 가정합니다. 그런 다음 모든 x G Rm에 대해 Eq.(2.3)의 솔루션 z*는 벡터 세그먼트에 속합니다.

지민< z* < zmax

이제 방정식(2.2)으로 돌아가자. 벡터 함수 y(z)의 구성 요소를 결정합니다. 야코비 행렬의 요소는 다음 형식을 갖습니다.

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

0과 g를 제외한 모든 z G R+에 대해. 따라서 벡터 함수 y(z)는 엄격하게 단조 증가합니다. 보조 정리 2.1에 따르면 아래에서 위로 경계가 지정됩니다. 즉, 모든 z G Rr에 대해(따라서 모든 x G Rn에 대해) 해당 값은 집합에 속합니다.

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

여기서 벡터 yk, y+의 구성요소는 다음 식에 의해 결정됩니다.

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

(2.1)의 첫 번째 방정식을 고려하고 다음과 같이 다시 작성하십시오.

(2.14) 모든 y e Y ⊂ E^에 대해 L(x, y) = 0입니다.

이 방정식은 Y에 속하는 변수 y에 대한 변수 x의 종속성을 결정합니다.

우리(1.4)는 방정식(2.14)에 의해 정의된 암시적 함수 x(y)의 존재로 축소합니다.

보조정리 2.2. 다음 조건이 충족되도록 하십시오.

a) 벡터 함수 L(x, y)는 변수 세트에서 연속적입니다.

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) 모든 ex x e En에 대해 det J(x, y) = 0 모든 고정 y e Y에 대해

그런 다음 Y에 정의된 고유한 암시적 함수 x*(y)가 있습니다. 이 보조 정리에서 J(x, y)는 요소가 있는 야코비 행렬입니다.

(2.15) Ji,i(x,y) = --i, i,l = l,n.

증거는 부록에 나와 있습니다. 위의 보조 정리에서 다음과 같습니다.

정리 2.1. 보조 정리 2.1과 2.2의 조건을 만족시키자. 그런 다음 DSEE(1.4)의 고유한 특이점이 존재하고 이에 따라 (1.1)이 존재합니다.

2.2. 현지화

특이점의 국소화에 대한 연구는 그것이 위치한 간격을 설정할 가능성으로 이해됩니다. 이 작업은 그리 간단하지 않지만 일부 DSEE 클래스의 경우 이러한 간격을 설정할 수 있습니다.

(2.1)의 첫 번째 방정식 그룹으로 돌아가 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

여기서 y- 및 y+는 등식(2.12), (2.13)으로 정의됩니다.

정리 2.2. 벡터 함수 L(x,y)가 두 변수에서 연속적으로 미분 가능하고 단조 증가한다고 가정합니다.

--> 0, --> 0; 나, 나 = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

그런 다음 변수 x에 대한 시스템 (2.16)의 해는 구간 (2.17) xmin x x x xmax에 속합니다.

a) 벡터 xmin, xmax는 다음 형식을 갖습니다.

최소 \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- 및 x+ - 다음 방정식의 솔루션 구성 요소

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

물론 oom과 함께.

정리의 증명은 부록에 나와 있습니다.

3. "작은" DSEA의 지속 가능성

3.1. 분리 가능한 흐름이 있는 DSEE 분리 가능한 흐름이 있는 DSEE 방정식을 다음 형식으로 표시합니다.

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

여기서 벡터 함수 q(x)의 구성 요소 값은 집합 Q(1.3)에 속하고 (n × w)-행렬 B는 n(n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

고려 중인 시스템에 특이점 x가 있다고 가정합니다. "작게" 이 특이점의 안정성을 연구하기 위해 선형 시스템을 구성합니다.

여기서 A는 (n x n)-행렬이며 요소는 점 x에서 계산되고 벡터 t = x - x입니다. (3.1)의 첫 번째 방정식에 따르면 선형 시스템의 행렬은

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

나는 k \u003d 1, g, I \u003d 1, p

(3.1)에서 행렬 Yr:dy의 요소가 결정됩니다.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

행렬 Zx의 요소를 결정하기 위해 (3.1)의 마지막 방정식 그룹으로 전환합니다. B는 이러한 방정식이 벡터 함수 g(x)가 연속적으로 미분 가능한 경우 연속적으로 미분 가능한 묵시적 벡터 함수 r(x)를 정의한다는 것을 보여줍니다. 벡터 함수 z(x)의 야코비 행렬 Zx는 다음 방정식으로 정의됩니다.

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

이 방정식에서 우리는 (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x)를 얻습니다.

이 결과를 평등으로 대체합니다(3.3). 우리는 얻는다:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

따라서 선형화된 시스템의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(c.i) | = (j+p)e

여기서 행렬 J, P의 요소는 특이점에서 계산됩니다. "작은" DSEE(3.1)의 충분한 안정성 조건은 다음에 의해 결정됩니다.

정리 3.1. DSEE(3.1)에는 다음 조건이 충족되는 경우 "작은 부분에서" 안정적인 특이점 x가 있습니다.

a) 선형화 시스템(3.11)의 행렬 J, P(3.10)는 실수 및 다른 고유값을 가지며 행렬 J는 최대 고유값을 갖습니다.

Pmax = 최대 Pg > 0,

Wmax = 최대 UI< 0;

유맥스 + 프타<

이 정리와 등식(3.10)에서 모든 ex k,j에 대해 Qx(x) = 0 및 (또는) X에 대해 = 0 및 tkj ^ 1인 특이점에 대해 정리의 충분 조건은 다음과 같습니다. 만족하는.

3.2. 승법 흐름이 있는 DSEE 방정식(1.6)을 고려하십시오. 다음과 같은 형식으로 제시합니다.

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

시스템. 가질거야:

(3.13)

이 식에서 diag C]는 양수 요소 a1,..., Yr, Zx가 있는 대각 행렬이며 등식(3.4)-(3.7)으로 정의된 행렬입니다.

우리는 행렬 A를 다음 형식으로 나타냅니다.

(3.14) A = diag + P(x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

참고: maxi ai = nmax이고 wmax는 행렬 P(x)(3.15)의 최대 고유값입니다. 그런 다음 Theorem 3.1은 DSEE(1.6)에도 유효합니다. (3.12).

4. DSEA의 지속 가능성 "대규모"

벡터 함수 q(x)의 구성 요소 값이 집합 Q(1.3)에 속하는 DESO 방정식(1.4)으로 돌아가 보겠습니다. 고려 중인 시스템에는 벡터 z(x) = z ^ z-> 0이고 다음과 같은 특이점 Z가 있습니다.

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

특이점에서 편차 벡터 £, C, П를 도입하겠습니다. (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009년

소개

비선형 역학 시스템의 개념은 시스템의 미래 동작이 과거에 의해 결정되는 매우 광범위한 프로세스를 포괄할 만큼 충분히 풍부하기 때문에 이 분야에서 개발된 분석 방법은 매우 다양한 맥락에서 유용합니다.

비선형 역학은 적어도 세 가지 방식으로 문헌에 등장합니다. 첫째, 데이터를 생성하는 프로세스를 제어하는 ​​기본 방정식에 대한 최소한의 가정으로 비선형 동적 이론에 기반한 기술을 사용하여 하나 이상의 양의 시간 경과에 따른 변화에 대한 실험 데이터를 수집하고 분석하는 경우가 있습니다. 즉, 먼저 모델을 추측하고 데이터와 비교하기 보다는, 데이터에서 수학적 모델의 발전에 지침이 될 수 있는 상관관계를 찾고자 하는 경우이다.

둘째, 비선형 역학 이론을 사용하여 일부 단순화된 모델이 주어진 시스템의 중요한 기능을 보여야 한다고 명시하는 경우가 있습니다. 이는 설명하는 모델이 광범위한 매개변수에 대해 구축되고 연구될 수 있음을 의미합니다. 이는 종종 모델이 다른 매개변수에서 질적으로 다르게 동작하고 한 영역이 실제 시스템에서 관찰된 동작과 매우 유사한 동작을 나타냄을 보여줍니다. 많은 경우 모델의 거동은 매개변수의 변화에 ​​매우 민감하므로 실제 시스템에서 모델의 매개변수를 측정할 수 있다면 모델은 이러한 값에서 현실적인 거동을 나타내며 모델이 다음을 포착한다고 확신할 수 있습니다. 시스템의 필수 기능.

셋째, 알려진 물리학에 대한 상세한 설명을 바탕으로 모델방정식을 구축하는 경우가 있다. 그런 다음 수치적 실험은 물리적 실험에 사용할 수 없는 변수에 대한 정보를 제공할 수 있습니다.

두 번째 경로를 기반으로 이 작업은 이전 작업인 "상호의존 산업의 비선형 동적 모델"과 다른 작업(Dmitriev, 2015)의 확장입니다.

작업에 필요한 모든 필요한 정의와 기타 이론적 정보는 필요에 따라 첫 번째 장에 나타납니다. 연구 주제 자체의 공개에 필요한 두 가지 정의가 여기에서 제공됩니다.

먼저 시스템 역학을 정의합시다. 정의 중 하나에 따르면 시스템 역학은 방법과 도구 덕분에 복잡한 시스템의 구조와 역학을 평가하는 데 도움이 되는 시뮬레이션 모델링 접근 방식입니다(Shterman). 시스템 역학은 보다 효율적인 회사/조직을 만들고 방법을 개선하기 위해 향후 사용을 위해 복잡한 시스템에 대한 정확한(정확성 측면에서) 컴퓨터 모델을 재생성하는 데 사용되는 모델링 기술이기도 합니다. 이 시스템과의 상호 작용. 시스템 역학에 대한 필요성의 대부분은 장기적이고 전략적인 모델에 직면할 때 발생하며 이것이 다소 추상적이라는 점도 주목할 가치가 있습니다.

비선형 미분 역학에 대해 말하자면, 정의상 결과의 변화가 입력 매개변수의 변화에 ​​비례하지 않고 함수가 설명하는 시스템인 비선형 시스템을 고려할 것입니다. 시간 변화의 의존성과 공간상의 한 점의 위치(Boeing, 2016).

위의 정의에 따라 이 작업은 회사의 상호 작용을 설명하는 다양한 비선형 미분 시스템과 이를 기반으로 구축된 시뮬레이션 모델을 고려할 것입니다. 이를 바탕으로 작업의 목적이 결정됩니다.

따라서 이 작업의 목적은 1차 근사에서 기업의 상호 작용을 설명하는 동적 시스템의 질적 분석을 수행하고 이를 기반으로 시뮬레이션 모델을 구축하는 것입니다.

이 목표를 달성하기 위해 다음과 같은 작업이 식별되었습니다.

시스템의 안정성을 결정합니다.

위상 초상화의 건설.

시스템의 통합 궤적 찾기.

시뮬레이션 모델의 구성.

이러한 각 작업은 작업의 각 장의 섹션 중 하나에 할당됩니다.

실습을 바탕으로 다양한 물리적 시스템 및 프로세스의 역학을 효과적으로 모델링하는 기본 수학적 구조의 구성은 해당 수학적 모델이 특성 및 특성 및 시스템의 역학을 형성하는 모션 유형의 구조. 현재까지 경제 과학은 발전 단계에 있으며 많은 경우 경제 과정의 물리적 및 수학적 모델링에 대한 새롭고 비표준적인 방법과 방법이 특히 효과적으로 사용됩니다. 여기에서 경제 상황을 어떻게든 설명할 수 있는 모델을 만들고, 연구하고, 구축해야 할 필요성에 대한 결론이 나옵니다.

정량적 분석보다 정성적 분석을 선택하는 이유는 대부분의 경우 동적 시스템에 대한 정성적 분석의 결과와 결론이 정량적 분석의 결과보다 더 중요하다는 점입니다. 그러한 상황에서 V.P.의 진술을 지적하는 것이 적절합니다. Milovanov는 전통적으로 실제 물체의 분석에 수학적 방법을 적용할 때 예상되는 결과가 수치적 결과로 축소되어야 한다고 믿습니다. 이러한 의미에서 질적 방법은 다소 다른 작업을 수행합니다. 그것은 시스템의 품질을 설명하는 결과를 달성하는 데 중점을두고 모든 현상의 특징적인 특징을 전체적으로 검색하고 예측에 중점을 둡니다. 물론 특정 유형의 재화에 대한 가격이 변할 때 수요가 어떻게 변하는지 이해하는 것이 중요하지만 그러한 조건에서 이러한 재화의 부족 또는 과잉이 있는지 이해하는 것이 훨씬 더 중요하다는 것을 잊지 마십시오(Dmitriev , 2016).

이 연구의 목적은 비선형 미분 및 시스템 역학입니다.

이 경우 연구 주제는 비선형 미분 및 시스템 역학을 통한 기업 간의 상호 작용 과정에 대한 설명입니다.

연구의 실제 적용에 대해 말하면 즉시 두 부분으로 나눌 가치가 있습니다. 즉, 이론적인 시스템의 질적 분석과 시뮬레이션 모델의 구성을 고려하는 실습이다.

본 연구의 이론적인 부분은 기본 개념과 현상을 제공한다. 다른 많은 저자의 작업(Teschl, 2012; Nolte, 2015)에서와 같이 단순 차동 시스템을 고려하지만 동시에 회사 간의 상호 작용을 설명할 수 있습니다. 이를 바탕으로 앞으로 더 심도 있는 연구를 수행하거나 시스템의 질적 분석을 구성하는 요소에 대해 알게 될 것입니다.

작업의 실용적인 부분은 의사 결정 지원 시스템을 만드는 데 사용할 수 있습니다. 의사결정 지원 시스템 - 비즈니스 또는 조직의 의사 결정을 지원하는 것을 목표로 하는 자동화된 정보 시스템으로, 다양한 대안 중에서 선택할 수 있습니다(Keen, 1980). 모델이 당장은 정확하지 않더라도 특정 회사에 맞게 변경하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 시장에서 발생할 수있는 다양한 매개 변수와 조건을 변경할 때 미래에 대한 예측을 얻고 사전에보다 수익성있는 결정을 내릴 수 있습니다.

1. 상호주의 조건에서 회사의 상호 작용

이 논문은 상위 시스템에 비해 매우 단순하지만 동시에 우리가 필요로 하는 조직 간의 관계를 보여줄 수 있는 2차원 시스템을 제시할 것입니다.

각 유형에 대해 설명하는 시스템이 약간 다르기 때문에 향후 설명될 상호 작용 유형을 선택하는 작업을 시작하는 것이 좋습니다. 그림 1.1은 경제적 상호작용을 위해 수정된 인구 상호작용에 대한 Yujim Odum의 분류(Odum, 1968)를 보여주며, 이를 기반으로 기업의 상호작용을 더 고려할 것입니다.

그림 1.1. 기업 간의 상호 작용 유형

그림 1.1에 기초하여 우리는 4가지 유형의 상호작용을 선택하고 각각에 대해 Malthus 모델(Malthus, 1798)을 기반으로 설명하는 방정식 시스템을 제시합니다. 그것에 따르면 성장률은 현재 종의 풍부함에 비례합니다. 즉, 다음 미분 방정식으로 설명할 수 있습니다.

여기서 는 인구의 자연적 성장에 따라 달라지는 매개변수입니다. 또한 아래에서 고려되는 시스템에서 모든 매개변수와 변수가 음수가 아닌 값을 취한다는 점을 추가할 가치가 있습니다.

원료 생산은 포식자-피식자 모델과 유사한 제품 생산입니다. Lotka-Volterra 모델이라고도 알려진 포식자-피식자 모델은 두 종(하나는 포식자이고 다른 하나는 먹이)으로 이루어진 생물학적 시스템의 역학을 설명하는 한 쌍의 비선형 1차 미분 방정식입니다(Llibre , 2007). 이러한 종의 풍부함의 변화는 다음 방정식 시스템으로 설명됩니다.

(1.2)

여기서 - 두 번째 기업의 영향없이 첫 번째 기업의 생산 성장을 특징으로합니다 (포식자 - 먹이 모델의 경우 포식자가없는 먹이 인구의 성장).

그것은 첫 번째 기업의 영향 없이 두 번째 기업의 생산 성장(먹이가 없는 포식자의 인구 증가)을 특징으로 합니다.

그것은 두 번째 기업의 영향을 고려하여 첫 번째 기업의 생산 성장을 특징으로합니다 (포식자와 상호 작용할 때 먹이의 수 증가),

그것은 첫 번째 기업의 영향을 고려하여 두 번째 기업의 생산 성장을 특징으로 합니다(피해자와 상호 작용하는 동안 포식자의 수 증가).

하나의 경우, 시스템에서 볼 수 있는 포식자와 Odum의 분류에서 이들의 상호 작용은 유리한 효과를 부과합니다. 다른 한편으로는 불리합니다. 경제 현실을 고려하면 그림에서 볼 수 있듯이 가장 단순한 유사체는 각각 포식자와 먹이에 해당하는 자원의 제조업체와 공급자입니다. 따라서 원자재가 없으면 생산량이 기하급수적으로 감소합니다.

경쟁은 2종 이상(우리의 경우 2차원 시스템을 고려하므로 정확히 2종 경쟁으로 간주) 종, 영토에 대한 경제 집단, 제한된 자원 또는 기타 가치 간의 경쟁입니다(Elton, 1968). 종의 수 또는 우리의 경우 제품 수의 변경은 아래 시스템에 의해 설명됩니다.

(1.3)

이 경우 하나의 제품을 생산하는 종이나 회사가 서로 부정적인 영향을 미칩니다. 즉, 경쟁자가 없으면 제품 성장이 기하급수적으로 증가할 것입니다.

이제 두 기업이 서로에게 긍정적인 영향을 미치는 공생적 상호작용으로 넘어갑시다. 상호주의부터 시작합시다. 상호주의는 서로 다른 종 간의 관계 유형으로 각 종은 서로의 행동으로부터 이익을 얻으며 파트너의 존재가 존재의 필수 조건이라는 점은 주목할 가치가 있습니다(Thompson, 2005). 이러한 유형의 관계는 시스템에 의해 설명됩니다.

(1.4)

기업 간의 상호 작용은 존재를 위해 필요하기 때문에 한 기업의 제품이 없으면 다른 기업의 제품 생산량이 기하급수적으로 감소합니다. 이는 기업이 조달을 위한 다른 대안이 없을 때 가능합니다.

또 다른 유형의 공생 상호 작용인 프로토코퍼레이션을 고려하십시오. 프로토 협동은 예를 들어 다른 대안이 있기 때문에 파트너가 존재할 필요가 없다는 유일한 예외를 제외하고는 상호주의와 유사합니다. 비슷하기 때문에 시스템은 서로 거의 동일하게 보입니다.

(1.5)

따라서 한 회사 제품의 부재가 다른 회사 제품의 성장을 방해하지 않습니다.

물론, 3항과 4항에 나열된 것 외에도 공생주의와 무공생주의와 같은 다른 유형의 공생 관계가 주목될 수 있습니다(Hanski, 1999). 그러나 공생주의에서 파트너 중 하나가 다른 파트너와의 상호 작용에 무관심하기 때문에 더 이상 언급되지 않지만 우리는 여전히 영향을 미치는 경우를 고려합니다. 그리고 경제적 관점에서 볼 때 그러한 관계는 상호 작용이 하나를 해치고 다른 하나는 무관심할 때 단순히 존재할 수 없기 때문에 아멘살리즘은 고려되지 않습니다.

기업이 서로에게 미치는 영향, 즉 공생 관계가 기업의 지속 가능한 공존으로 이어진다는 사실을 기반으로, 이 문서에서는 상호 작용이 모두에게 유익하기 때문에 상호주의와 프로토-협력의 경우만 고려할 것입니다.

이 장은 상호주의의 조건에서 기업의 상호 작용에 전념합니다. 맬서스 모델에 기반한 시스템의 추가 개발인 두 가지 시스템, 즉 생산량 증가에 대한 제한이 부과된 시스템을 고려할 것입니다.

위에서 언급한 바와 같이 상호 관계로 연결된 쌍의 역학은 시스템의 첫 번째 근사값으로 설명할 수 있습니다.

(1.6)

초기 생산량이 많으면 시스템이 무한정 성장하고 생산량이 적으면 생산량이 감소하는 것을 알 수 있습니다. 이것은 상호주의에서 발생하는 효과에 대한 쌍선형 설명의 부정확성이 있는 곳입니다. 그림을 바로 잡기 위해 포식자의 포화와 유사한 요소, 즉 과도하면 생산 성장률을 낮추는 요소를 도입합니다. 이 경우 다음 시스템에 도달합니다.

(1.7)

포화를 고려하여 두 번째 회사와의 상호 작용에서 첫 번째 회사의 제품 생산 증가는 어디에 있습니까?

포화를 고려하여 첫 번째 회사와의 상호 작용에서 두 번째 회사의 제품 생산 증가,

포화 계수.

따라서 우리는 포화가 있거나 없는 맬서스식 성장 모델의 두 가지 시스템을 얻었습니다.

1.1 첫 번째 근사에서 시스템의 안정성

첫 번째 근사에서 시스템의 안정성은 많은 외국(Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 및 기타) 및 러시아어 작품(Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967)에서 고려됩니다. Krasovsky, 1959 및 기타), 그 정의는 시스템에서 발생하는 프로세스를 분석하기 위한 기본 단계입니다. 이렇게 하려면 다음 필요한 단계를 수행하십시오.

평형점을 찾아보자.

시스템의 야코비 행렬을 구해 봅시다.

야코비 행렬의 고유값을 찾습니다.

우리는 Lyapunov 정리에 따라 평형점을 분류합니다.

단계를 고려한 후에는 해당 설명에 대해 더 자세히 설명할 가치가 있으므로 정의를 제공하고 이러한 각 단계에서 사용할 방법을 설명하겠습니다.

첫 번째 단계는 평형점을 찾는 것입니다. 그것들을 찾기 위해 우리는 각 함수를 0과 동일시합니다. 즉, 시스템을 해결합니다.

여기서 및 b는 방정식의 모든 매개변수를 의미합니다.

다음 단계는 Jacobian 행렬을 찾는 것입니다. 우리의 경우 아래와 같이 1차 도함수가 있는 2x2 행렬이 됩니다.

처음 두 단계를 완료한 후 다음 특성 방정식의 근을 찾습니다.

여기서 점이 첫 번째 단계에서 찾은 평형점에 해당합니다.

및 를 찾은 후 네 번째 단계로 넘어가 다음 Lyapunov 정리를 사용합니다(Parks, 1992).

정리 1: 특성 방정식의 모든 근에 음의 실수부가 있으면 원래 시스템과 선형화된 시스템에 해당하는 평형점은 점근적으로 안정합니다.

정리 2: 특성 방정식의 근 중 적어도 하나에 양의 실수부가 있으면 원래 시스템과 선형화된 시스템에 해당하는 평형점이 점근적으로 불안정합니다.

또한 그림 1.2(Lamar University)와 같은 구분을 기준으로 보면 안정성의 종류를 보다 정확하게 결정할 수 있다.

그림 1.2. 평형점의 안정성 유형

필요한 이론적 정보를 고려한 후 시스템 분석으로 전환합니다.

포화가 없는 시스템을 고려하십시오.

매우 간단하고 제한이 없으므로 실용에 적합하지 않습니다. 그러나 시스템 분석의 첫 번째 예로서 고려하기에 적합합니다.

먼저 방정식의 우변을 0으로 하여 평형점을 구합니다. 따라서 우리는 두 개의 평형점을 찾았습니다. A와 B라고 부르겠습니다. .

이 단계를 야코비 행렬 검색, 특성 방정식의 근 및 안정성 유형 결정과 결합해 보겠습니다. 그것들은 기초적이기 때문에 우리는 즉시 답을 얻습니다.

1. , 지점에 안정적인 매듭이 있습니다.

시점: ... 안장.

이미 썼듯이 이 시스템은 너무 하찮아 설명이 필요 없었다.

이제 포화 상태에서 시스템을 분석해 보겠습니다.

(1.9)

기업의 제품 상호 포화에 대한 제한이 나타나면 현재 상황에 대한 실제 그림에 더 가까워지고 시스템이 약간 복잡해집니다.

이전과 마찬가지로 시스템의 오른쪽 부분을 0으로 동일시하고 결과 시스템을 풉니다. 점은 변경되지 않은 상태로 유지되었지만 이 경우 다른 점에는 이전보다 더 많은 매개변수가 포함됩니다. .

이 경우 Jacobi 행렬은 다음 형식을 취합니다.

를 곱한 단위 행렬을 빼고 점 A와 B에서 결과 행렬의 행렬식을 0과 동일시합니다.

비슷한 초기 그림의 시점에서:

안정적인 노드.

하지만 시점에서 모든 것이 다소 더 복잡하고 수학은 여전히 ​​매우 간단하지만 복잡성으로 인해 긴 리터럴 표현식으로 작업하는 데 불편을 겪습니다. 값이 상당히 길고 불편하게 작성되어 있기 때문에 제공되지 않으므로이 경우 이전 시스템과 마찬가지로 얻은 안정성 유형이 안장이라고 말하면 충분합니다.

시스템의 2단계 초상화

대부분의 비선형 동적 모델은 풀 수 없는 복잡한 미분 방정식이거나 일종의 복잡성입니다. 예는 이전 섹션의 시스템입니다. 명백한 단순성에도 불구하고 두 번째 평형점에서 안정성 유형을 찾는 것은 쉬운 작업이 아니었으며(수학적 관점은 아니지만) 매개변수, 제한 및 방정식이 증가하여 상호 작용하는 기업의 수를 증가시켰습니다. 복잡성만 증가할 것입니다. 물론 매개 변수가 수치 표현이면 모든 것이 엄청나게 간단해질 것이지만 분석은 어떻게 든 모든 의미를 잃게됩니다. 결국에는 평형점을 찾고 특정에 대해서만 안정성 유형을 찾을 수 있기 때문입니다. 일반적인 케이스가 아닌 케이스.

이러한 경우 위상 평면과 위상 초상화를 기억하는 것이 좋습니다. 응용 수학, 특히 비선형 시스템 분석의 맥락에서 위상 평면은 특정 유형의 미분 방정식의 특정 특성을 시각적으로 표현한 것입니다(Nolte, 2015). 시스템 상태를 특징 짓는 변수 쌍의 값 축이있는 좌표 평면은 공통 n 차원 위상 공간의 2 차원 경우입니다.

위상 평면 덕분에 미분 방정식의 솔루션에서 한계 사이클의 존재를 그래픽으로 결정할 수 있습니다.

미분 방정식의 해는 일련의 함수입니다. 그래픽으로 이것은 위상 평면에 2차원 벡터 필드로 표시될 수 있습니다. 벡터는 평면에 그려지며 우리의 경우 시간과 관련하여 일부 매개 변수, 즉 ()에 대한 특성 지점의 도함수를 나타냅니다. 한 영역에 이러한 화살표가 충분하면 시스템의 동작을 시각화할 수 있고 한계 사이클을 쉽게 식별할 수 있습니다(Boeing, 2016).

벡터 필드는 위상 초상화이고, 흐름 라인을 따른 특정 경로(즉, 항상 벡터에 접하는 경로)는 위상 경로입니다. 벡터 필드의 흐름은 시간 경과에 따른 시스템의 변화를 나타내며 미분 방정식으로 설명됩니다(Jordan, 2007).

미분 방정식을 풀지 않고도 위상 초상화를 만들 수 있음과 동시에 좋은 시각화는 많은 유용한 정보를 제공할 수 있다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 또한 현재 위상 다이어그램의 구성에 도움이 될 수 있는 많은 프로그램이 있습니다.

따라서 위상 평면은 물리적 시스템의 동작을 시각화하는 데 유용합니다. 특히, 이미 위에서 언급한 포식자-피식자 모델과 같은 진동 시스템. 이 모델에서 위상 궤적은 0으로 "비틀어지거나" 무한대로 "나선에서 벗어나거나" 중심이라고 하는 중립적인 안정적인 상황에 도달할 수 있습니다. 이것은 역학이 안정적인지 여부를 결정하는 데 유용합니다(Jordan, 2007).

이 섹션에 제시된 위상 초상화는 WolframAlpha 도구를 사용하여 작성되거나 다른 소스에서 제공됩니다. 포화가 없는 맬서스 성장 모델.

동작을 비교하기 위해 세 가지 매개변수 세트를 사용하여 첫 번째 시스템의 위상 초상화를 작성해 보겠습니다. 단일 세트라고 하는 세트 A((1,1), (1,1)), 세트 B((10,0.1), (2,2))를 선택하면 시스템에서 날카로운 생산 감소 , 그리고 반대로 예리하고 무한한 성장이 발생하는 집합 C ((1,10), (1,10)). 위상 다이어그램을 서로 비교하기 쉽도록 모든 경우에 축을 따른 값은 -10에서 10 사이의 동일한 간격에 있다는 점에 유의해야 합니다. 물론 이것은 축이 차원이 없는 시스템의 질적 초상화에는 적용되지 않습니다.

그림 1.3 매개변수 A가 있는 위상 초상화

상리주의 미분 극한 방정식

위의 그림 1.3은 세 가지 지정된 매개변수 세트에 대한 시스템의 위상 초상화와 시스템의 정성적 동작을 설명하는 위상 초상화를 보여줍니다. 음수가 아닐 수 있는 생산량이 우리의 축이기 때문에 실용적인 관점에서 가장 중요한 것은 1분기라는 것을 잊지 마십시오.

각 그림에서 평형점(0,0)에서의 안정성이 명확하게 보입니다. 그리고 첫 번째 그림에서 "안장점"은 점 (1,1)에서도 눈에 띕니다. 즉, 매개 변수 집합의 값을 시스템에 대입하면 평형점 B에서 나타납니다. 모델 건물의 경계가 변경되면 안장점은 다른 위상 초상화에서도 발견됩니다.

포화에서 성장의 맬서스 모델.

세 개의 새로운 매개변수 값 세트를 사용하여 포화가 있는 두 번째 시스템에 대한 위상 다이어그램을 구성해 보겠습니다. 세트 A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), 세트 B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) 및 세트 C ((20,1,100), (20,1,100) )).

그림 1.4. 매개변수 A가 있는 위상 초상화

보시다시피, 모든 매개변수 세트에 대해 점 (0,0)은 평형이며 또한 안정적입니다. 또한 일부 그림에서는 안장점을 볼 수 있습니다.

이 경우 시스템에 채도 요소를 추가해도 질적 그림이 변하지 않음, 즉 채도만으로는 충분하지 않음을 보다 명확하게 보여주기 위해 다른 척도를 고려했습니다. 실제로 회사는 안정성이 필요하다는 점을 고려해야 합니다. 즉, 비선형 미분 방정식을 고려하면 안정적인 평형점에 가장 관심이 있으며 이러한 시스템에서는 0점만 그러한 점입니다. 즉, 그러한 수학적 모델은 분명히 기업에 적합하지 않습니다. 결국 이는 생산이 0일 때만 기업이 안정될 수 있다는 것을 의미하며, 이는 실제 세계의 모습과 분명히 다릅니다.

수학에서 적분 곡선은 상미분 방정식 또는 방정식 시스템에 대한 특정 솔루션인 매개변수 곡선입니다(Lang, 1972). 미분 방정식이 벡터 필드로 표시되면 해당하는 적분 곡선은 모든 점에서 필드에 접합니다.

적분 곡선은 미분 방정식 또는 벡터장의 특성과 해석에 따라 다른 이름으로도 알려져 있습니다. 물리학에서 전기장 또는 자기장에 대한 적분 곡선은 필드 라인으로 알려져 있고, 유체 속도 필드에 대한 적분 곡선은 유선으로 알려져 있습니다. 동적 시스템에서 미분 방정식에 대한 적분 곡선을 궤적이라고 합니다.

그림 1.5. 적분 곡선

모든 시스템의 솔루션은 적분 곡선의 방정식으로 간주될 수도 있습니다. 분명히, 각 위상 궤적은 x, y, t 공간의 일부 적분 곡선을 위상 평면에 투영한 것입니다.

적분 곡선을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

그 중 하나가 등각선법입니다. 등각선은 초기 조건에 관계없이 고려 중인 함수의 기울기가 항상 동일한 점을 통과하는 곡선입니다(Hanski, 1999).

상미분 방정식을 풀기 위한 그래픽 방법으로 자주 사용됩니다. 예를 들어, y "= f(x, y) 형식의 방정식에서 등각선은 f(x, y)를 상수와 동일시하여 얻은 (x, y) 평면의 선입니다. 이는 일련의 선( 다른 상수에 대해) 곡선 솔루션은 동일한 기울기를 갖습니다. 각 등사선에 대해 이 기울기를 계산하면 기울기 필드를 시각화할 수 있으므로 대략적인 솔루션 곡선을 비교적 쉽게 그릴 수 있습니다. 아래 그림은 등사선 방법을 사용하는 예를 보여줍니다. .

그림 1.6. 등각선법

이 방법은 컴퓨터 계산이 필요하지 않으며 과거에 매우 인기가 있었습니다. 이제 컴퓨터에서 매우 정확하고 빠르게 적분 곡선을 작성하는 소프트웨어 솔루션이 있습니다. 그러나 그럼에도 불구하고 등사선 방법은 적분 곡선의 일반적인 거동 영역을 표시할 수 있기 때문에 해의 거동을 연구하는 도구로 잘 나타납니다.

포화가 없는 맬서스 성장 모델.

다양한 구성 방법이 있음에도 불구하고 연립방정식의 적분 곡선을 표시하는 것이 쉽지 않다는 사실부터 시작하겠습니다. 앞에서 언급한 등사선법은 1계 미분방정식에 적용되기 때문에 적합하지 않습니다. 그리고 그러한 곡선을 그릴 수 있는 소프트웨어 도구는 공개 도메인이 아닙니다. 예를 들어, 이를 가능하게 하는 Wolfram Mathematica는 유료입니다. 따라서 다양한 글과 저작(Orca, 2009)에 설명되어 있는 작업인 Wolfram Alpha의 기능을 최대한 활용하도록 노력하겠습니다. 그림이 완전히 신뢰할 수 없다는 사실에도 불구하고 적어도 평면 (x, t), (y, t)의 종속성을 보여줄 수 있습니다. 먼저 t에 대한 각 방정식을 풀어 보겠습니다. 즉, 시간에 대한 각 변수의 종속성을 도출합니다. 이 시스템의 경우 다음을 얻습니다.

(1.10)

(1.11)

방정식은 대칭이므로 그 중 하나인 x(t)만 고려합니다. 상수를 1로 둡니다. 이 경우 플로팅 기능을 사용합니다.

그림 1.7. 방정식(1.10)에 대한 3차원 모델

포화에서 성장의 맬서스 모델.

다른 모델에 대해서도 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 궁극적으로 우리는 시간에 대한 변수의 의존성을 보여주는 두 개의 방정식을 얻습니다.

(1.12)

(1.13)

다시 3차원 모델과 수평 라인을 만들어 봅시다.

그림 1.8. 방정식(1.12)에 대한 3차원 모델

변수의 값은 음수가 아니므로 지수가있는 분수에서 음수를 얻습니다. 따라서 적분 곡선은 시간이 지남에 따라 감소합니다.

앞에서는 작업의 본질을 이해하기 위해 시스템 다이내믹스에 대한 정의를 내렸지만, 이제 이에 대해 좀 더 구체적으로 살펴보기로 한다.

시스템 역학은 원래 Jay Forrester가 1950년대에 개발하고 그의 작업(Forrester, 1961)에 설명된 복잡한 문제의 형성, 이해 및 토론을 위한 수학적 모델링 방법론 및 방법입니다.

시스템 역학은 복잡한 시스템의 동적 동작을 이해하기 위한 방법으로서 시스템 이론의 한 측면입니다. 이 방법의 기초는 시스템의 구조가 구성 요소 간의 수많은 관계로 구성되어 있다는 인식이며, 이는 개별 구성 요소 자체만큼 동작을 결정하는 데 중요합니다. 예를 들면 다양한 저자의 작품에 기술된 혼돈 이론과 사회적 역학이 있습니다(Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). 또한 전체 속성은 요소 속성에서 찾을 수 없는 경우가 많기 때문에 일부 경우 전체의 동작을 부분의 동작으로 설명할 수 없다는 주장도 있습니다.

시뮬레이션은 동적 시스템의 완전한 실질적인 중요성을 진정으로 보여줄 수 있습니다. 스프레드시트에서 가능하지만 이 목적을 위해 특별히 최적화된 많은 소프트웨어 패키지가 있습니다.

모델링 자체는 실제 모델의 성능을 예측하기 위해 실제 모델의 프로토타입을 만들고 분석하는 프로세스입니다. 시뮬레이션 모델링은 설계자와 엔지니어가 어떤 조건에서 어떤 경우에 프로세스가 실패하고 어떤 부하를 견딜 수 있는지 이해하는 데 사용됩니다(Khemdy, 2007). 모델링은 또한 유체 흐름 및 기타 물리적 현상의 동작을 예측하는 데 도움이 될 수 있습니다. 모델은 적용된 시뮬레이션 소프트웨어로 인한 대략적인 작업 조건을 분석합니다(Strogalev, 2008).

시뮬레이션 모델링의 가능성에 대한 제한에는 공통된 원인이 있습니다. 정확한 모델의 구성 및 수치 계산은 정확한 양적 이론이 있는 영역, 즉 특정 현상을 설명하는 방정식이 알려져 있는 영역에서만 성공을 보장하고 과제는 이러한 방정식을 필요한 정확도로 푸는 것뿐입니다. 정량적 이론이 없는 영역에서 정확한 모델을 구축하는 것은 가치가 제한적입니다(Bazykin, 2003).

그러나 모델링 가능성은 무제한이 아닙니다. 첫째, 시뮬레이션 모델의 적용 범위, 특히 요구되는 정확도로 예측을 구축할 수 있는 기간에 대한 평가가 어렵기 때문이다(Law, 2006). 또한 시뮬레이션 모델은 특성상 특정 개체에 연결되어 있으며 유사한 개체라도 다른 개체에 적용하려면 근본적인 조정이나 최소한 상당한 수정이 필요합니다.

시뮬레이션에 한계가 존재하는 일반적인 이유가 있습니다. "정확한" 모델의 구성 및 수치 계산은 양적 이론이 존재하는 경우, 즉 모든 방정식이 알려진 경우에만 성공하고 문제는 이러한 방정식을 특정 정확도로 푸는 것으로만 축소됩니다(Bazykin, 2003).

그러나 이것에도 불구하고 시뮬레이션 모델링은 동적 프로세스를 시각화하기 위한 훌륭한 도구로서 어느 정도 정확한 모델을 사용하여 결과를 기반으로 결정을 내릴 수 있습니다.

이 작업에서 시스템 모델은 AnyLogic 프로그램에서 제공하는 시스템 역학 도구를 사용하여 구축됩니다.

포화가 없는 맬서스 성장 모델/

모델을 구축하기 전에 우리가 사용할 시스템 역학 요소를 고려하고 이를 시스템과 연관시켜야 합니다. 다음 정의는 AnyLogic 프로그램의 도움말 정보에서 가져왔습니다.

드라이브는 시스템 역학 다이어그램의 주요 요소입니다. 그들은 돈, 물질, 사람들의 그룹 수, 일부 물질적 개체 등과 같은 특정 자원이 축적되는 현실 세계의 개체를 나타내는 데 사용됩니다. 어큐뮬레이터는 시뮬레이션된 시스템의 정적 상태를 반영하며 그 값은 시스템에 존재하는 흐름에 따라 시간이 지남에 따라 변경됩니다. 따라서 시스템의 역학은 흐름에 의해 결정됩니다. 어큐뮬레이터에 들어오고 나가는 흐름은 어큐뮬레이터 값을 높이거나 낮춥니다.

앞서 언급한 드라이브와 마찬가지로 흐름은 시스템 다이내믹 다이어그램의 주요 요소입니다.

저장소가 시스템의 정적 부분을 정의하는 동안 흐름은 저장소의 변화율, 즉 시간이 지남에 따라 재고가 어떻게 변하는지를 결정하여 시스템의 역학을 결정합니다.

에이전트에는 변수가 포함될 수 있습니다. 변수는 일반적으로 에이전트의 변화하는 특성을 모델링하거나 모델의 결과를 저장하는 데 사용됩니다. 일반적으로 동적 변수는 누산기 함수로 구성됩니다.

에이전트에는 매개변수가 있을 수 있습니다. 매개변수는 종종 모델링된 객체의 일부 특성을 나타내는 데 사용됩니다. 객체 인스턴스가 클래스에 설명된 것과 동일한 동작을 갖지만 일부 매개변수 값이 다른 경우에 유용합니다. 변수와 매개변수 사이에는 분명한 차이가 있습니다. 변수는 모델의 상태를 나타내며 시뮬레이션 중에 변경될 수 있습니다. 매개변수는 일반적으로 객체를 정적으로 설명하는 데 사용됩니다. 모델이 한 번 "실행"되는 동안 매개변수는 일반적으로 일정하며 모델의 동작을 재구성해야 할 때만 변경됩니다.

링크는 흐름도의 요소와 누산기 간의 관계를 결정하는 데 사용되는 시스템 역학의 요소입니다. 링크를 자동으로 생성하지는 않지만 사용자가 그래픽 편집기에서 링크를 명시적으로 그리도록 강제합니다(그러나 주목할 가치가 있습니다. AnyLogic은 누락된 링크를 빠르게 설정하는 메커니즘도 지원합니다. 예를 들어, 방정식에서 A의 요소가 언급되거나 요소 B의 초기 값이 언급되면 먼저 이러한 요소를 A에서 B로 가는 링크로 연결한 다음 B의 속성에 표현식을 입력해야 합니다. .

시스템 역학의 다른 요소가 있지만 작업 과정에 관여하지 않으므로 생략합니다.

먼저 시스템(1.4)의 모델이 무엇으로 구성될지 고려합시다.

먼저 각 기업의 생산량 값을 포함하는 두 개의 드라이브를 즉시 표시합니다.

둘째, 각 방정식에 두 개의 항이 있으므로 각 드라이브에 두 개의 흐름이 있습니다. 하나는 들어오고 다른 하나는 나가는 것입니다.

셋째, 변수와 매개변수를 전달합니다. 변수는 두 개뿐입니다. 생산 성장을 담당하는 X와 Y. 또한 4가지 옵션이 있습니다.

넷째, 연결과 관련하여 각 흐름은 흐름 방정식에 포함된 변수 및 매개변수와 연관되어야 하며 두 변수 모두 시간 경과에 따라 값을 변경하기 위해 누산기와 연관되어야 합니다.

AnyLogic 모델링 환경에서 작업하는 예시로 다음 시스템을 위해 모델을 구축하는 방법에 대한 자세한 설명은 좀 더 복잡하고 더 많은 매개변수를 사용하기 때문에 남겨두고 바로 완성된 버전에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 체계.

아래 그림 1.9는 구성된 모델을 보여줍니다.

그림 1.9. 시스템에 대한 시스템 역학 모델(1.4)

시스템 역학의 모든 요소는 위에서 설명한 요소에 해당합니다. 2개의 드라이브, 4개의 스트림(2개의 수신, 2개의 발신), 4개의 매개변수, 2개의 동적 변수 및 필요한 연결.

이 그림은 제품이 많을수록 성장이 강해져서 우리 시스템에 해당하는 제품 수가 급격히 증가한다는 것을 보여줍니다. 그러나 앞서 언급했듯이 이러한 성장에 대한 제한이 없기 때문에 이 모델을 실제로 적용할 수 없습니다.

포화/에서 맬서스 성장 모델

이 시스템을 고려하여 모델 구성에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

첫 번째 단계는 두 개의 드라이브를 추가하는 것입니다. 이를 X_stock 및 Y_stock이라고 합니다. 각각에 1과 같은 초기 값을 할당합시다. 흐름이 ​​없으면 고전적으로 주어진 저장 방정식에는 아무 것도 없습니다.

그림 1.10. 시스템 모델 구축(1.9)

다음 단계는 스레드를 추가하는 것입니다. 그래픽 편집기를 사용하여 각 드라이브에 대한 수신 및 발신 스트림을 구축해 보겠습니다. 흐름의 가장자리 중 하나가 드라이브에 있어야 한다는 사실을 잊어서는 안 됩니다. 그렇지 않으면 연결되지 않습니다.

드라이브에 대한 방정식이 자동으로 설정되었음을 알 수 있습니다. 물론 사용자가 "임의" 방정식 모드를 선택하여 직접 작성할 수도 있지만 가장 쉬운 방법은 이 작업을 프로그램에 맡기는 것입니다.

세 번째 단계는 6개의 매개변수와 2개의 동적 변수를 추가하는 것입니다. 시스템의 리터럴 표현에 따라 각 요소에 이름을 지정하고 매개 변수의 초기 값을 e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2와 같이 설정합니다.

방정식의 모든 요소가 존재하며 흐름에 대한 방정식을 작성하는 것만 남아 있지만 이를 위해서는 먼저 요소 간의 연결을 추가해야 합니다. 예를 들어, 용어를 담당하는 나가는 스트림은 e1 및 x와 연결되어야 합니다. 그리고 각 동적 변수는 해당 주식(X_stock x, Y_stock y)과 연결되어야 합니다. 링크를 만드는 것은 스레드를 추가하는 것과 비슷합니다.

필요한 연결을 만든 후 오른쪽 그림과 같이 흐름에 대한 방정식을 작성할 수 있습니다. 물론 역순으로 진행해도 되지만 연결이 있는 경우 방정식을 작성할 때 필요한 매개변수/변수를 대체하기 위한 힌트가 나타나 복잡한 모델에서 작업이 더 쉬워집니다.

모든 단계를 완료한 후 시뮬레이션 모델을 실행하고 결과를 볼 수 있습니다.

상호주의 조건에서 회사의 상호 작용에 대한 비선형 미분 방정식 시스템을 고려한 결과 몇 가지 결론을 도출할 수 있습니다.

시스템에는 두 가지 상태가 있습니다. 급격한 무제한 성장 또는 생산량이 0이 되는 경향입니다. 시스템이 가정할 두 가지 상태는 매개변수에 따라 다릅니다.

포화를 고려한 모델을 포함하여 제안된 모델 중 어느 것도 0이 아닌 안정적인 위치의 부족과 단락 1에 설명된 이유 때문에 실제 사용에 적합하지 않습니다.

기업이 실제로 적용할 수 있는 모델을 만들기 위해 이러한 유형의 공생 상호작용을 더 연구하려는 경우 시스템을 더욱 복잡하게 만들고 새로운 매개변수를 도입할 필요가 있습니다. 예를 들어, 그의 책에서 Bazykin은 종내 경쟁의 추가 요소를 도입하여 두 상호주의 인구의 역학에 대한 예를 제공합니다. 이로 인해 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(1.15)

그리고 이 경우 시스템의 0이 아닌 안정적인 위치가 나타나고 "안장"으로 0과 분리되어 발생하는 실제 상황에 더 가깝습니다.

2. 프로토-협력 조건에서 기업의 상호 작용

기본적인 이론적 정보는 모두 앞 장에서 제시하였으므로 이 장에서 고려하는 모델의 분석에서는 앞 장에서 만나지 못한 몇 가지 점을 제외하고는 대부분의 이론을 생략할 것이다. 장 및 계산의 감소가 있을 수도 있습니다. 맬서스 모델을 기반으로 하는 두 방정식의 시스템으로 구성된 프로토코퍼레이션 조건에서 이 장에서 고려하는 조직 간의 상호 작용 모델은 시스템(1.5)과 같습니다. 이전 장에서 분석한 시스템은 기존 모델에 최대한 근접하려면 시스템을 복잡하게 만들 필요가 있음을 보여주었습니다. 이러한 결과를 기반으로 모델에 성장 제약 조건을 즉시 추가합니다. 이전의 상호작용과 달리 다른 회사에 의존하지 않는 성장이 음수일 때 이 경우 모든 징후가 양수이므로 지속적인 성장이 있음을 의미합니다. 앞에서 설명한 결점을 피하면서 다음과 같은 형식을 갖는 Verhulst 방정식(Gershenfeld, 1999)이라고도 하는 로지스틱 방정식으로 제한하려고 합니다.

, (2.1)

여기서 P는 인구 규모, r은 성장률을 나타내는 매개변수, K는 가능한 최대 인구 규모를 나타내는 매개변수입니다. 즉, 시간이 지남에 따라 인구 규모(우리의 경우 생산량)는 특정 매개변수 K가 되는 경향이 있습니다.

이 방정식은 우리가 지금까지 보아온 만연한 생산량 증가를 억제하는 데 도움이 될 것입니다. 따라서 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(2.2)

회사마다 창고에 보관하는 상품의 양이 다르기 때문에 성장을 제한하는 매개 변수가 다르다는 것을 잊지 마십시오. 이 시스템을 ""이라고 부르고 앞으로 고려할 때 이 이름을 사용할 것입니다.

우리가 고려할 두 번째 시스템은 Verhulst 제약 조건이 있는 모델의 추가 개발입니다. 이전 장에서와 같이 포화 제약 조건을 도입하면 시스템은 다음 형식을 취합니다.

(2.3)

이제 각 항에는 고유 한 한계가 있으므로 추가 분석 없이는 이전 장의 모델에서와 같이 무한한 성장이 없음을 알 수 있습니다. 그리고 각 항이 양의 성장을 나타내므로 생산량이 0으로 떨어지지 않습니다. 이 모델을 "2-제약된 프로토-작업 모델"이라고 부르겠습니다.

이 두 모델은 생물학적 개체군에 대한 다양한 출처에서 논의됩니다. 이제 우리는 시스템을 다소 확장하려고 노력할 것입니다. 이렇게 하려면 다음 그림을 고려하십시오.

그림은 철강 및 석탄 산업의 두 회사 프로세스의 예를 보여줍니다. 두 기업 모두 서로 독립적인 생산 증가가 있으며 상호 작용으로 인해 생산이 증가합니다. 우리는 이미 이전 모델에서 이것을 고려했습니다. 이제 회사가 제품을 생산할 뿐만 아니라 예를 들어 시장이나 제품과 상호 작용하는 회사에 제품을 판매한다는 사실에 주목할 가치가 있습니다. 저것들. 논리적 인 결론에 따르면 제품 판매 (그림에서 매개 변수 β1 및 β2가이를 담당 함)와 제품의 일부를 다른 기업으로 이전하기 때문에 회사의 마이너스 성장이 필요합니다. . 기존에는 타업체에 대한 긍정적인 신호로만 고려했지만, 제품 이전 시 1차 업체의 경우 제품 수가 감소한다는 사실은 고려하지 않았다. 이 경우 다음과 같은 시스템을 얻습니다.

(2.4)

그리고 이전 모델에서 , 자연 증가를 특성화하고 매개 변수가 음수 일 수 있다고 표시되면 실제로 차이가 없으며 용어에 대해 이것은 말할 수 없습니다. 또한 앞으로 이러한 제한이 있는 시스템을 고려할 때 양수 및 음수라는 용어를 사용하는 것이 더 정확합니다. 이 경우 자연적으로 불가능한 다른 제한이 부과될 수 있기 때문입니다. 성장. 그것을 "확장된 프로토-협력 모델"이라고 부르자.

마지막으로, 고려 중인 네 번째 모델은 앞서 언급한 물류 성장 제약이 있는 확장된 프로토-협력 모델입니다. 그리고 이 모델의 시스템은 다음과 같습니다.

, (2.5)

물류 제약을 고려하여 두 번째 기업과 독립적으로 첫 번째 기업의 생산 증가는 어디에 있습니까? - 물류 제약을 고려하여 두 번째 기업에 따른 첫 번째 기업의 생산량 증가 - 물류 제약을 고려하여 첫 번째 기업과 무관한 두 번째 기업의 생산량 증가, - 물류 제약을 고려하여 첫 번째 회사에 따라 두 번째 회사의 생산량 증가 - 다른 회사와 관련이 없는 첫 번째 회사의 상품 소비 - 다른 회사와 관련이 없는 두 번째 회사의 상품 소비 , - 2차 산업의 1차 산업 상품 소비, - 2차 산업 1차 산업의 상품 소비.

미래에 이 모델은 "물류 제약이 있는 확장된 프로토-작업 모델"이라고 부를 것입니다.

1 첫 번째 근사에서 시스템의 안정성

Verhust 제약 조건이 있는 프로토타입 작업 모델

시스템의 안정성을 분석하는 방법은 이전 장의 유사한 섹션에 나와 있습니다. 먼저 평형점을 찾습니다. 그 중 하나는 항상 그렇듯이 0입니다. 다른 하나는 좌표가 있는 점입니다.

영점 λ1 = , λ2 = 의 경우 두 매개변수가 모두 음수가 아니므로 불안정한 노드를 얻습니다.

두 번째 점으로 작업하는 것이 매우 편리하지 않기 때문에 표현식을 단축하는 기능이 없기 때문에 평형점이 안정적인지 여부를 명확하게 보여주기 때문에 안정성 유형의 정의를 위상 다이어그램에 남겨 둡니다. 아니면.

이 시스템의 해석은 포화계수가 추가되어 새로운 매개변수가 나타나며, 평형점을 찾을 때 선형이 아닌 쌍선형 방정식을 풀어야 하기 때문에 기존의 해석보다 복잡하다. 분모의 변수. 따라서 앞의 경우와 마찬가지로 안정성 유형의 정의를 위상 다이어그램에 남겨둡니다.

새로운 매개변수의 출현에도 불구하고 영점에서의 야코비 행렬과 특성 방정식의 근은 이전 모델과 유사하게 보입니다. 따라서 영점에서 불안정한 노드입니다.

고급 모델로 넘어 갑시다. 그 중 첫 번째는 제한 사항이 없으며 시스템(2.4) 형식을 취합니다.

변수를 변경해 보겠습니다. , 그리고 . 새로운 시스템:

(2.6)

이 경우 두 개의 평형점 A(0,0), B()를 얻습니다. 변수에 음수가 아닌 값이 있기 때문에 점 B는 첫 번째 분기에 있습니다.

평형점 A에 대해 다음을 얻습니다.

. - 불안정한 매듭

. - 안장,

. - 안장,

. - 안정적인 매듭

점 B에서 특성 방정식의 근은 복소수입니다. λ1 = , λ2 = . 우리는 Lyapunov의 정리에 의존하여 안정성 유형을 결정할 수 없으므로 가능한 모든 상태를 표시하지는 않지만 적어도 일부 상태를 찾을 수 있도록 수치 시뮬레이션을 수행합니다.

그림 2.2. 안정성 유형 검색의 수치 시뮬레이션

이 모델을 고려할 때 다양한 매개변수가 많고 두 가지 제한 사항이 있기 때문에 계산상의 어려움에 직면해야 합니다.

계산의 세부 사항에 들어가지 않고 다음과 같은 평형점에 도달합니다. 다음 좌표가 있는 점 A(0,0) 및 점 B:

(), 여기서 a =

점 A의 경우 안정성 유형을 결정하는 것은 간단한 작업입니다. 특성 방정식의 근은 λ1 = , λ2 = 입니다. 따라서 우리는 네 가지 옵션을 얻습니다.

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - 불안정한 노드.

2.λ1< 0, λ2 >0 - 안장.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

점 B에 대해 말하면서 약어를 표현으로 대체하면 Jacobian 작업을 복잡하게 만들고 특성 방정식의 근을 찾는 데 동의할 가치가 있습니다. 예를 들어, WolframAlpha 컴퓨팅 도구를 사용하여 루트를 찾으려고 시도한 후 루트의 출력은 리터럴 용어로 작업할 수 없는 약 5줄이 소요되었습니다. 물론 이미 존재하는 매개변수가 있는 경우 평형점을 빠르게 찾는 것이 가능할 것 같지만, 결정에 적합하지 않은 이러한 매개변수에 대해서만 평형 상태가 있는 경우 평형 상태를 찾기 때문에 이것은 특별한 경우입니다. 모델이 생성될 예정인 지원 시스템. .

특성 방정식의 근을 다루는 작업의 복잡성으로 인해 Bazykin의 작업(Bazykin, 2003)에서 분석된 시스템과 유추하여 영등각선의 상호 배열을 구성합니다. 이를 통해 시스템의 가능한 상태를 고려하고 향후 위상 초상화를 구성할 때 평형점과 안정성 유형을 찾을 수 있습니다.

몇 가지 계산 후에 영등사선 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(2.7)

따라서 등각선은 포물선의 형태를 갖습니다.

그림 2.3. 가능한 null-isoclinic 위치

포물선 사이의 공통점 수에 따라 서로 배열되는 경우는 총 4가지가 있습니다. 각각에는 고유한 매개변수 세트가 있으므로 시스템의 위상 초상화가 있습니다.

시스템의 2단계 초상화

다음이 제공되는 경우 시스템의 위상 초상화를 구성해 보겠습니다. 나머지 매개변수는 1과 같습니다. 이 경우 품질이 변경되지 않으므로 한 세트의 변수로 충분합니다.

아래 그림에서 알 수 있듯이 영점은 불안정한 노드이고 두 번째 점은 매개 변수의 수치를 대입하면 (-1.5, -1.5)-안장을 얻습니다.

그림 2.4. 시스템의 위상 초상화(2.2)

따라서 변경 사항이 없어야하므로이 시스템의 경우 불안정한 상태 만 있으며 이는 무제한 성장 가능성으로 인해 가장 가능성이 높습니다.

두 가지 제한 사항이 있는 프로토타입 작업 모델입니다.

이 시스템에는 추가적인 제한 요소가 있으므로 그림에서 볼 수 있듯이 위상 다이어그램은 이전 경우와 달라야 합니다. 영점도 불안정한 노드이지만 이 시스템에서 안정적인 위치, 즉 안정적인 노드가 나타납니다. 이러한 매개변수와 좌표(5.5,5.5)를 사용하면 그림에 표시됩니다.

그림 2.5. 시스템의 위상 초상화(2.3)

따라서 각 항에 대한 제한은 시스템의 안정적인 위치를 얻을 수있게했습니다.

확장된 프로토타입 작업 모델.

확장된 모델에 대한 단계 초상화를 빌드하지만 즉시 수정된 형식을 사용합니다.

평형점이 0인 모든 경우를 고려하고 0이 아닌 평형점에 사용되는 수치 시뮬레이션의 위상 다이어그램을 보여주기 위해 네 가지 매개변수 세트를 고려해 보겠습니다. 세트 A(1,0.5,0.5) 상태에 해당 , 세트 B(1,0.5,-0.5)에 해당 C(-1.0.5,0.5) 설정 및 D(-1.0.5,-0.5) 설정 , 즉 영점에서 안정적인 노드입니다. 처음 두 세트는 수치 시뮬레이션에서 고려한 매개변수에 대한 위상 초상화를 보여줍니다.

그림 2.6. 매개변수 А-D가 있는 시스템(2.4)의 위상 초상화.

그림에서 점 (-1,2) 및 (1,-2)에 각각 "안장"이 나타납니다. 더 자세한 표현을 위해 그림은 안장점(1,-2)이 있는 그림의 다른 축척을 보여줍니다. 그림에서 점 (1,2)와 (-1,-2)에서 안정적인 중심이 보입니다. 영점은 위상 다이어그램의 그림에서 시작하여 불안정한 노드, 안장, 안장 및 안정 노드를 명확하게 구분할 수 있습니다.

물류 제약이 있는 확장된 프로토-협력 모델.

이전 모델에서와 같이 0점의 4가지 경우에 대한 위상 초상화를 시연하고 이 다이어그램에서 0이 아닌 솔루션을 기록하려고 노력할 것입니다. 이렇게 하려면 A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2) 순서로 지정된 매개변수와 함께 다음 매개변수 세트를 사용합니다. ,1) 및 D(1,2,1,2). 모든 세트의 나머지 매개변수는 다음과 같습니다. .

아래 제시된 그림에서 이 역학 시스템에 대한 이전 섹션에서 설명한 영점의 4가지 평형 상태를 관찰할 수 있습니다. 또한 그림에서 0이 아닌 좌표 하나를 가진 점의 안정적인 위치.

그림 2.7. 매개변수 A-B가 있는 시스템(2.5)의 위상 초상화

3 시스템의 적분 궤적

Verhust 제약 조건이 있는 프로토타입 작업 모델

이전 장에서와 같이 각 미분방정식을 개별적으로 풀고 시간 매개변수에 대한 변수의 종속성을 명시적으로 표현합니다.

(2.8)

(2.9)

얻어진 방정식으로부터 각 변수의 값이 증가함을 알 수 있으며, 이는 아래의 3차원 모델에서 입증된다.

그림 2.8. 방정식 (2.8)에 대한 3차원 모델

이러한 유형의 그래프는 초기에 1장에서 논의한 불포화 3D 맬서스 모델과 유사하게 빠르게 성장하지만 나중에 출력 한계에 도달함에 따라 성장률이 감소하는 것을 볼 수 있습니다. 따라서 적분 곡선의 최종 모양은 항 중 하나를 제한하는 데 사용된 로지스틱 방정식의 플롯과 유사합니다.

두 가지 제한 사항이 있는 프로토타입 작업 모델입니다.

Wolfram Alpha 도구를 사용하여 각 방정식을 풉니다. 따라서 함수 x(t)의 종속성은 다음 형식으로 축소됩니다.

(2.10)

두 번째 함수의 경우 상황이 비슷하므로 해를 생략합니다. 적분 곡선의 질적 동작에 영향을 미치지 않는 특정 적절한 값으로 매개 변수를 대체하여 수치 값이 나타납니다. 아래 차트는 지수 성장이 시간이 지남에 따라 대수적으로 변할 때 성장에 대한 제한의 사용을 보여줍니다.

그림 2.9. 방정식(2.10)에 대한 3차원 모델

확장된 프로토타입 운영 모델

상호주의가 있는 모델과 거의 유사합니다. 유일한 차이점은 해당 모델에 비해 더 빠르게 성장한다는 점이며, 이는 아래 방정식(지수의 정도를 보면)과 그래프에서 볼 수 있습니다. 적분 곡선은 지수 형태를 취해야 합니다.

(2.11)

(2.12)

물류 제약이 있는 확장된 프로토-협력 모델

종속성 x(t)는 다음과 같습니다.

그래프가 없으면 함수의 동작을 평가하기 어렵기 때문에 이미 알려진 도구를 사용하여 함수를 빌드합니다.

그림 2.10 방정식의 3D 모델

함수의 값은 음의 쌍선형 항에 대한 제한이 없기 때문에 다른 변수의 작지 않은 값에 대해 감소하며 명백한 결과입니다.

4 상호작용하는 기업의 시스템 역학

Verhulst 제약 조건이 있는 Proto-Operation 모델.

시스템(2.2)을 구성해 보겠습니다. 우리에게 이미 알려진 도구를 사용하여 시뮬레이션 모델을 구축합니다. 이번에는 상호주의적 모델과 달리 이 모델에는 물류적 제약이 따릅니다.

그림 2.11. 시스템에 대한 시스템 역학 모델(2.2)

모델을 실행해 보겠습니다. 이 모델에서 관계로부터의 성장은 그 어떤 것에도 제한을 받지 않으며, 다른 사람의 영향을 받지 않는 산출물의 성장에는 특정한 제한이 있다는 사실에 주목할 가치가 있습니다. 로지스틱 함수 자체의 표현을 보면 변수(상품수)가 가능한 최대 저장용량을 초과하는 경우 항이 음수가 되는 것을 알 수 있다. 로지스틱 함수만 있는 경우에는 불가능하지만 항상 양의 성장 인자가 추가되면 가능합니다. 그리고 이제 물류 기능이 선형과 같이 제품 수가 너무 빠르게 증가하지 않는 상황에 대처할 것이라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 아래 사진들을 살펴보자.

그림 2.12. 시스템(2.2)에 대한 시스템 역학 모델의 작동 예

왼쪽 그림은 제안된 모델에 해당하는 프로그램의 5단계를 보여준다. 그러나 현재로서는 올바른 그림에주의를 기울일 가치가 있습니다.

먼저 Y_stock에 대한 수신 스트림 중 하나에 대해 로 표현되는 x에 대한 링크가 제거되었습니다. 이것은 선형 항상 양의 흐름과 X_stock에 대해 제시된 쌍선형 성장을 가진 모델의 성능 차이를 보여주기 위해 수행됩니다. 선형 무제한 흐름의 경우 매개변수 K를 초과한 후 시스템은 어느 시점에서 평형에 도달합니다(이 모델에서 평형 상태는 200,000개의 상품 단위). 그러나 훨씬 더 일찍, 이중 선형 성장은 무한대로 전달되는 상품의 양의 급격한 증가로 이어집니다. 오른쪽과 왼쪽 모두 양의 흐름을 쌍선형으로 계속 유지하면 이미 약 20-30 단계에서 누산기의 값이 두 무한대의 차이에 도달합니다.

위의 내용을 바탕으로 이러한 모델의 추가 사용의 경우 긍정적인 성장을 제한할 필요가 있다고 말하는 것이 안전합니다.

두 가지 제한 사항이 있는 프로토타입 작업 모델입니다.

이전 모델의 단점을 찾아내고 포화 요인에 의한 두 번째 항에 대한 제한을 도입하여 새로운 모델을 구축하고 실행합니다.

그림 2.13. 시스템 역학 모델 및 시스템 작동 예(2.3)

이 모델은 결국 오랫동안 기다려온 결과를 가져옵니다. 누산기 값의 증가를 제한하는 것으로 나타났습니다. 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 두 기업 모두 스토리지 볼륨이 약간 초과되어 균형에 도달합니다.

확장된 프로토타입 작업 모델.

이 모델의 시스템 역학을 고려할 때 모델의 다채로운 시각화를 위한 AnyLogic 소프트웨어 환경의 기능이 시연됩니다. 모든 이전 모델은 시스템 역학 요소만을 사용하여 구축되었습니다. 따라서 모델 자체는 눈에 띄지 않게 보였고 시간 경과에 따른 생산량 변화의 역학을 추적하고 프로그램이 실행되는 동안 매개 변수를 변경할 수 없었습니다. 이 모델과 다음 모델로 작업할 때 더 넓은 범위의 프로그램 기능을 사용하여 위의 세 가지 단점을 변경하려고 합니다.

첫째, "시스템 역학" 섹션 외에도 프로그램에는 "그림", "3D-객체" 섹션도 포함되어 있어 모델을 다양화할 수 있습니다. "더 즐겁게" 보세요.

둘째, 모델 값의 변화 역학을 추적하기 위해 차트 및 다양한 데이터 수집 도구를 모델에 연결하여 추가할 수 있는 "통계" 섹션이 있습니다.

셋째, 모델 실행 중에 매개변수 및 기타 개체를 변경하기 위해 "제어" 섹션이 있습니다. 이 섹션의 개체를 사용하면 모델이 실행되는 동안 매개변수를 변경하고(예: "slider") 개체의 다른 상태를 선택하고(예: "switch") 작업 중에 처음에 지정된 데이터를 변경하는 기타 작업을 수행할 수 있습니다. .

이 모델은 기업 생산 변화의 역학을 가르치는 데 적합하지만 성장에 대한 제한이 없기 때문에 실제로 사용할 수 없습니다.

물류 제약이 있는 확장된 프로토-협력 모델.

이미 준비된 이전 모델을 사용하여 물류 방정식의 매개변수를 추가하여 성장을 제한합니다.

작업에 제시된 이전 5개 모델은 이미 작업에 필요한 모든 도구와 원칙을 보여주었으므로 모델 구성을 생략합니다. 그 동작이 Verhulst 제약 조건이 있는 프로토-협력 모델과 유사하다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 저것들. 채도의 부족은 실제 적용을 방해합니다.

프로토-협력 측면에서 모델을 분석한 후 몇 가지 주요 사항을 정의합니다.

실제로 이 장에서 고려하는 모델은 두 항이 있어도 0이 아닌 안정적인 평형 위치를 갖기 때문에 상호주의적 모델보다 더 적합합니다. 상호주의 모델에서 우리는 세 번째 항을 추가함으로써만 이것을 달성할 수 있었다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.

적합한 모델에는 각 항에 대한 제한이 있어야 합니다. 그렇지 않으면 쌍선형 요인의 급격한 증가가 전체 시뮬레이션 모델을 "파괴"하기 때문입니다.

점 2를 기반으로 하여 확장된 모델에 포화계수의 Verhulst 한계가 있는 프로토 오퍼레이션을 추가하고 더 낮은 임계 생산량을 추가할 때 모델은 가능한 한 실제 상황에 가까워야 합니다. 그러나 그러한 시스템 조작은 분석을 복잡하게 만들 것임을 잊지 마십시오.

결론

연구의 결과, 상호 영향을 미치는 기업의 생산 역학을 설명하는 6가지 시스템에 대한 분석이 이루어졌습니다. 결과적으로 평형점과 안정성 유형은 분석적으로 또는 어떤 이유로 분석 솔루션이 불가능한 경우 구성된 위상 초상화 덕분에 다음 중 한 가지 방법으로 결정되었습니다. 각 시스템에 대해 위상 다이어그램이 작성되고 3차원 모델이 작성되었으며 투영할 때 평면 (x, t), (y, t)에서 적분 곡선을 얻을 수 있습니다. 그 후 AnyLogic 모델링 환경을 사용하여 모든 모델을 구축하고 특정 매개변수에서 해당 모델의 동작 옵션을 고려했습니다.

시스템을 분석하고 시뮬레이션 모델을 구축한 후 이러한 모델은 훈련 또는 거시적 시스템 설명용으로만 간주될 수 있지만 정확도가 낮고 일부 장소에서 개별 회사의 의사 결정 지원 시스템으로 간주될 수 없다는 것이 분명해집니다. 진행 중인 프로세스에 대한 신뢰할 수 있는 표현이 아닙니다. 그러나 또한 모델을 설명하는 동적 시스템이 아무리 사실이라고 해도 회사/조직/산업마다 고유한 프로세스와 한계가 있으므로 일반적인 모델을 만들고 설명하는 것이 불가능하다는 점을 잊지 마십시오. 각각의 특정 경우에 수정됩니다. 더 복잡해지거나 반대로 추가 작업을 위해 단순화됩니다.

각 장의 결론에서 결론을 내리면 방정식의 각 항에 제한을 도입하면 시스템이 복잡해 지지만 시스템의 안정적인 위치를 감지 할 수 있다는 밝혀진 사실에 집중할 가치가 있습니다. 뿐만 아니라 현실에서 일어나는 일에 더 가깝게 만듭니다. 그리고 프로토-협력 모델은 우리가 고려한 두 가지 상호주의 모델과 달리 안정적인 위치가 0이 아니기 때문에 연구에 더 적합하다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

이로써 본 연구의 목적이 달성되었고 과제가 완료되었다. 앞으로 이 작업의 연속으로 3가지 제한이 도입된 프로토타입 유형의 상호 작용에 대한 확장 모델이 고려될 것입니다. 의사결정 지원 시스템의 모델이자 3개 회사의 모델입니다. 작업의 연장선으로 작업에서 언급한 공생 외에 두 가지 다른 유형의 상호 작용을 고려할 수 있습니다.

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소개 4

역학 시스템의 선험적 분석 5

선형 시스템을 통한 임의 신호 전달 5

시스템의 위상 벡터의 진화 7

시스템의 위상 벡터의 공분산 행렬의 진화 8

통계적 선형화 8

첫 번째 방법 9

두 번째 방법 10

선형화 계수 계산 10

비선형 링크의 모호성 14

피드백이 적용되는 비선형 링크 15

랜덤 프로세스의 시뮬레이션 16

성형 필터 16

백색잡음 모델링 17

Monte Carlo 방법에 의한 동적 시스템의 통계적 특성 추정 18

등급 정확도 18

비정상 동적 시스템 20

고정 동적 시스템 21

역학 시스템의 사후 분석 22

칼만 필터 22

움직임 패턴 22

측정 모델 23

수정 23

예측 23

23학년

비선형 문제에서 칼만 필터링 사용 25

최소제곱 27

건물 등급 27

예측 29

비선형 문제에서 최소제곱법 사용 29

코시 행렬의 구성 30

측정 모델링 30

수치적 방법 31

특수 기능 31

확률변수 시뮬레이션 31

균일하게 분포된 확률 변수 31

가우스 확률 변수 32

랜덤 벡터 33

확률의 적분 34

체비쇼프 다항식 36

상미분 방정식의 적분 36

Runge-Kutta 방법 36

수치 적분 결과의 정확도 37

중첩된 Dorman-Prince 5(4) 주문 37

다단계 방법 39

아담스 메소드 39

지연 방정식의 적분 40

방법의 계산 품질 비교 40

아렌스토프 문제 40

야코비 타원 함수 41

이체 문제 41

반 데르 폴 방정식 42

브뤼셀레이터 42

매달린 끈 라그랑주 방정식 42

플레이아데스 42

설명하기 43

제목 페이지 43

섹션 "소개" 44

섹션 "이론" 44

섹션 "알고리즘" 44

섹션 "프로그램" 45

섹션 "결과" 45

섹션 "결론" 45

섹션 "사용된 소스 목록" 45

애플리케이션 45

문학 47

소개

이 매뉴얼에는 코스 프로젝트에 대한 과제를 완료하고 "통계 역학의 기초" 코스에서 실습을 수행하기 위한 지침이 포함되어 있습니다.

코스 설계 및 실습의 목적은 무작위 교란의 영향을 받는 비선형 동적 시스템의 선험적 및 사후 분석 기술을 습득하는 것입니다.

동적 시스템의 선험적 분석

통계적 선형화

통계적 선형화를 사용하면 분석을 위해 선형 시스템에 유효한 방법, 알고리즘 및 관계를 사용할 수 있는 방식으로 원래의 비선형 동적 시스템을 변환할 수 있습니다.

이 섹션에서는 교수가 제안한 가장 간단한 근사 접근 방식을 기반으로 한 통계적 선형화 방법을 설명합니다. 즉. 그럼에도 불구하고 Kazakov는 불연속적인 특성을 가진 상당한 비선형성을 포함하는 시스템의 정확도 추정치를 구성하는 것을 가능하게 합니다.

통계적 선형화는 입력 프로세스와 출력 프로세스 사이의 원래 관성 비선형 의존성을 중심 입력 랜덤 프로세스에 대한 선형 근사 의존성으로 대체하는 것으로 구성되며, 이는 원래 프로세스에 대해 통계적으로 동일합니다.

입력 신호와 출력 신호 사이에 이와 같은 대략적인 관계를 갖는 링크를 고려되는 비선형 링크와 동등하다고 합니다.

값은 비선형 및 선형화된 신호의 수학적 기대치의 동일 조건에 따라 선택되며 등가 링크의 통계적 평균 특성이라고 합니다.

,

여기서 는 입력 신호의 분포 밀도입니다.

이상한 특성을 가진 비선형 링크의 경우, 즉 ~에 , 통계적 특성을 다음과 같은 형식으로 표현하는 것이 편리합니다.

입력 신호의 수학적 기대치입니다.
평균 구성 요소 측면에서 등가 링크의 통계적 이득입니다.

저것. 이 경우 등가 종속성은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 특성을 랜덤 성분(변동)에 대한 등가 링크의 통계적 이득이라고 하며 두 가지 방식으로 결정됩니다.

첫 번째 방법

통계적 선형화의 첫 번째 방법에 따라 계수는 원래 신호와 등가 신호의 분산이 동일한 조건에 따라 선택됩니다. 저것. 계산을 위해 다음 관계를 얻습니다.

,

여기서 는 입력 무작위 동작의 분산입니다.

for 식의 부호는 인수 값 부근의 종속성의 특성에 따라 결정됩니다. 증가하면 , 감소하면 .

두 번째 방법

두 번째 방법에 따른 값은 평균 제곱 선형화 오차를 최소화하는 조건에서 선택됩니다.

두 번째 방법으로 계수를 계산하기 위한 최종 비율은 다음과 같습니다.

.

결론적으로, 위에서 고려한 두 선형화 방법 중 어느 것도 비선형 및 등가 링크의 출력 신호의 상관 함수의 동등성을 보장하지 않습니다. 계산에 따르면 비선형 신호의 상관 함수에 대해 첫 번째 선택 방법은 상위 추정치를 제공하고 두 번째 방법은 하위 추정치를 제공합니다. 비선형 출력 신호의 상관 함수를 결정할 때 오류는 다른 부호를 갖습니다. 교수 즉. 여기에 설명된 방법의 저자인 Kazakov는 결과 선형화 계수로 첫 번째 및 두 번째 방법으로 얻은 계수의 절반을 선택할 것을 권장합니다.

성형 필터

일반적으로 매개변수는 방정식에서 분자 및 분모 다항식의 계수를 동일하게 하여 결정됩니다.

같은 학위로.

셰이핑 필터의 전달 함수를 결정한 후 무작위 프로세스를 모델링하기 위한 결과 방식은 그림과 같습니다.

예를 들어, 모델링할 프로세스의 스펙트럼 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

,

수학적 기대치 및 강도가 있는 백색 잡음이 모델링에 사용되므로 단위 스펙트럼 밀도를 갖습니다.

분명히 원하는 전달 함수의 분자와 분모는 1과 2의 차수를 가져야 합니다(사실, 모듈로 제곱이므로 전달 함수는 2차 및 4차 다항식의 몫을 형성합니다)

저것. 가장 일반적인 형태의 성형 필터의 전달 함수는 다음과 같습니다.

,

모듈러스의 제곱:

얻어진 비율을 동일시하자.

대괄호와 평등의 오른쪽을 제거하여 계수를 0도에서 동일시합시다.

,

따라서 다음 평등이 명확하게 따릅니다.

; ; ; .

저것. 단위 스펙트럼 밀도를 가진 백색 잡음에서 주어진 통계적 특성을 가진 무작위 프로세스 형성의 블록 다이어그램은 성형 필터 매개 변수의 계산 된 값을 고려하여 그림과 같이 보입니다.

백색 잡음 모델링

주어진 통계적 특성을 가진 랜덤 프로세스를 시뮬레이션하기 위해 백색 잡음이 셰이핑 필터에 대한 입력 랜덤 프로세스로 사용됩니다. 그러나 이러한 무작위 과정의 무한한 분산으로 인해 백색 잡음의 정확한 모델링은 불가능합니다.

이러한 이유로 동적 시스템에 작용하는 백색 잡음을 대체하기 위해 무작위 단계 프로세스가 사용됩니다. 임의 프로세스의 구현이 값을 변경하지 않고 유지하는 간격(단계 폭, 상관 간격)은 상수 값입니다. 구현 값 자체(계단 높이)는 수학적 기대가 0이고 분산이 제한된 정규 법칙에 따라 분포된 랜덤 변수입니다. 프로세스 매개변수의 값(상관 구간 및 분산)은 백색 잡음의 영향을 받는 동적 시스템의 특성에 의해 결정됩니다.

이 방법의 아이디어는 실제 동적 시스템의 제한된 대역폭을 기반으로 합니다. 저것들. 실제 동적 시스템의 이득은 입력 신호의 주파수가 증가함에 따라 감소하므로 시스템의 이득이 너무 작아 0으로 설정할 수 있는 주파수(무한 미만)가 있습니다. 그리고 이것은 차례로 입력 신호가 일정하지만 이 주파수에 의해 제한됨을 의미합니다. 이러한 시스템의 경우 스펙트럼 밀도는 백색 잡음(일정하고 무한한 스펙트럼 밀도 포함)과 동일합니다.

등가 랜덤 프로세스의 매개변수 - 상관 구간 및 분산은 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 는 동적 시스템의 경험적으로 결정된 대역폭 경계입니다.

추정 정확도

예상 예상

및 분산

구현의 제한된 샘플을 처리하는 것을 기반으로 구성된 랜덤 변수 , , 자체가 랜덤 변수입니다.

분명히 구현의 샘플 크기가 클수록 편향되지 않은 추정이 더 정확할수록 추정된 매개변수의 실제 값에 더 가깝습니다. 다음은 정규 분포를 가정한 대략적인 공식입니다. 신뢰 확률에 해당하는 추정치의 대칭 상대 신뢰 구간은 관계가 참인 값에 의해 결정됩니다.

,

어디
는 확률 변수의 수학적 기대치의 실제 값입니다.
는 확률 변수의 표준 편차이며,
확률 적분이다.

위의 관계에 기초하여 수량은 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

,

여기서 는 확률 적분에 대해 역함수입니다.

추정값의 산포 특성을 정확히 알지 못하기 때문에 추정값을 사용하여 계산된 근사값을 사용합니다.

저것. 수학적 기대치 추정치의 정확도와 추정치가 이루어진 표본 크기를 연결하는 최종 관계는 다음과 같습니다.

.

이것은 표준편차 추정치의 분수로 표현되는 대칭적으로 위치한 신뢰구간의 값(신뢰확률의 일정한 값에서)이 표본 크기의 제곱근에 반비례한다는 것을 의미합니다.

분산 추정을 위한 신뢰 구간은 유사한 방식으로 정의됩니다.

보다 정확한 정보가 없는 경우 다음 관계에서 대략적으로 결정할 수 있는 값까지

저것. 에 대해 대칭적으로 위치한 신뢰 구간의 값(일정한 신뢰 확률 값에서)은 몫으로 표현되며 값의 제곱근에 반비례합니다. 여기서 는 표본 크기입니다.

추정의 신뢰 구간을 구성하기 위한 보다 정확한 공식은 확률 변수의 분포 법칙에 대한 정확한 정보를 사용하여 얻을 수 있습니다.

예를 들어, 가우스 분포 법칙의 경우 확률 변수

자유도가 있는 스튜던트 분포 법칙을 따르고 확률 변수

법에 따라 또한 어느 정도 자유로이 배포됩니다.

칼만 필터

무브먼트 모델

알려진 바와 같이 칼만 필터는 선형 동적 시스템의 상태 벡터를 추정하도록 설계되었으며, 그 진화 모델은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

어디
시간의 순간부터 시간의 순간까지 자체 모션(제어 및 노이즈 동작 없이)에서 시스템의 상태 벡터의 변화를 결정하는 코시 행렬입니다.
시간의 순간에 시스템에 대한 비무작위 강제 조치(예: 제어 조치)의 벡터입니다.
시간의 순간에 시스템의 상태 벡터에 대한 시간의 순간에 행동을 강제하는 영향의 행렬입니다.
시간의 순간에 시스템에 대한 임의의 독립 중심 동작의 벡터입니다.
시간의 순간에 시스템의 상태 벡터에 대한 순간의 무작위 영향의 영향 행렬입니다.

측정 모델

추정은 측정 결과의 통계 처리를 기반으로 수행되고 상태 벡터와 선형으로 관련되며 가산 편향되지 않은 오류에 의해 왜곡됩니다.

여기서 는 상태 벡터와 측정 벡터를 동시에 연결하는 행렬입니다.

보정

칼만 필터의 기본은 시스템 상태 벡터의 선형(측정 벡터를 따라) 추정값의 사후 분포 밀도의 공분산 행렬의 자취를 최소화한 결과인 보정 비율입니다.

예측

시스템 진화 모델의 선형 속성을 기반으로 한 예측 관계로 수정 관계를 보완:

여기서 벡터의 공분산 행렬은 측정 결과의 통계 처리를 기반으로 시스템 상태 벡터와 해당 공분산 행렬을 추정하기 위한 순환 베이지안 알고리즘에 대한 공식을 얻습니다.

평가

분명히 위의 관계를 구현하려면 진화 모델에서 행렬, 측정 모델에서 행렬, 공분산 행렬을 구축할 수 있어야 하며 시간의 매 순간에 대해 필요합니다.

또한, 계산 프로세스를 초기화하려면 상태 벡터와 해당 공분산 행렬의 사후 또는 사전 추정을 어떻게든 결정해야 합니다. 이 경우 "선험적" 또는 "사후적"이라는 용어는 상태 벡터와 해당 공분산 행렬이 계산 알고리즘에서 사용되는 품질만을 의미하며 이들이 어떻게 획득되었는지에 대해서는 언급하지 않습니다.

따라서 계산을 시작해야 하는 비율의 선택은 초기 필터링 조건과 첫 번째 원시 측정 벡터가 할당된 시점에 따라 결정됩니다. 시점이 일치하면 보정 비율을 먼저 적용하여 초기 조건을 수정해야 하며, 일치하지 않으면 첫 번째 원시 측정 벡터를 바인딩할 때까지 초기 조건을 먼저 예측해야 합니다.

칼만 필터링 알고리즘을 그림으로 설명하겠습니다.

그림에서 좌표축(모션 채널에서)에는 위상 벡터의 여러 가능한 궤적이 표시됩니다.

위상 벡터의 진정한 진화 궤적입니다.
는 모션 모델의 사용과 시간에 대한 위상 벡터의 선험적 추정치를 기반으로 예측된 ​​위상 벡터의 진화입니다.
는 모션 모델의 사용과 시간 참조 위상 벡터의 사후(보다 정확한) 추정치를 기반으로 예측된 ​​위상 벡터의 진화입니다.

좌표축(측정 채널에서)은 시간의 순간에 측정 결과를 보여주고 다음과 같이 표시됩니다.

,

어디
시간에 측정 벡터의 실제 값입니다.
는 순간에 실현된 측정 오류의 벡터입니다.

시스템의 선험적 위상 벡터에 대한 보정을 구성하기 위해 실제로 위상 벡터가 . 선험적 추정에 보정 관계를 적용한 결과 시스템의 위상 벡터 추정이 다소 더 정확해지고 다음 값을 취합니다.

그 순간에 예측의 결과는 선험적 추정으로 사용됩니다. 위상 벡터를 통과하는 궤적에서 측정 차이가 다시 구성되고 이에 따라 사후적으로 훨씬 더 정확한 값이 계산됩니다. 처리할 측정 벡터가 있거나 위상 벡터의 동작을 예측할 필요가 있는 한.

최소제곱법

이 섹션에서는 동적 시스템의 사후 분석에 적합한 최소 자승법을 제시합니다.

건물 점수

동일한 측정의 선형 모델의 경우:

다음과 같은 위상 벡터 추정 알고리즘이 있습니다.

.

측정값이 같지 않은 경우 대각선에 가중치 계수를 포함하는 행렬을 도입합니다. 가중치 계수를 고려하면 이전 비율은 다음과 같은 형식을 취합니다.

.

측정 오류의 공분산 행렬에 역행렬을 가중치 행렬로 사용하면 다음과 같은 사실을 고려합니다.

.

위의 관계에서 다음과 같이 방법의 기본은 특정 시점을 참조하는 추정된 위상 벡터와 측정 벡터를 연관시키는 행렬입니다. 벡터는 일반적으로 와 일치하지 않는 특정 시점에 각 블록이 할당되는 블록 구조를 갖는 것이 일반적입니다.

그림은 측정값이 참조되는 시점과 추정된 매개변수의 벡터가 참조되는 시점의 몇 가지 가능한 상호 배열을 보여줍니다.

각 벡터에 대해 다음 관계가 유효합니다.

, 에 .

따라서 결과로 나온 최소 제곱 관계에서 벡터와 행렬은 다음과 같은 구조를 갖습니다.

; .

어디
- 시스템에 대한 비무작위 강제 효과를 결정합니다.
– 시스템에 대한 무작위 영향을 결정합니다.

칼만 필터링 알고리즘에 대한 설명에서 위에서 만난 예측 관계를 사용할 수 있습니다.

여기서 은 벡터의 공분산 행렬입니다.

코시 행렬의 구성

측정의 통계 처리 방법으로 추정치를 구성하는 문제에서 코시 행렬을 구성하는 문제가 종종 발생합니다. 이 행렬은 서로 다른 시간에 참조되는 시스템의 위상 벡터를 자체 동작으로 연결합니다.

이 섹션에서는 상미분 방정식(선형 또는 비선형) 시스템으로 작성된 진화 모델에 대한 코시 행렬 구성과 관련된 문제를 고려하는 것으로 제한합니다.

여기서 참조 궤적 부근에 구성된 비례 행렬에 대해 다음 표기법이 사용됩니다.

; .

차원 모델링

문제는 예를 들어 어떤 문제에서 방법의 잠재적으로 달성 가능한 정확도를 추정할 때 측정 결과가 없을 때 발생합니다. 이 경우 측정 결과를 시뮬레이션해야 합니다. 측정 결과 모델링의 특징은 이 목적에 사용되는 모션 및 측정 모델이 하나 또는 다른 필터링 방법을 사용하여 추정치를 구성하는 과정에서 사용할 모델과 일치하지 않을 수 있다는 것입니다.

역학 시스템의 위상 벡터의 진화를 모델링하기 위한 초기 조건으로 이 벡터 좌표의 실제 값을 사용해야 합니다. 이 장소 외에도 시스템의 위상 벡터 좌표의 실제 값은 다른 곳에서 사용되어서는 안됩니다.

수치적 방법

특수 기능

랜덤 벡터

이 하위 섹션에 솔루션이 설명되어 있는 문제는 상관관계가 있는 가우스 확률 변수의 벡터를 모델링하는 것입니다.

모델링할 확률 벡터는 다음과 같이 해당 차원의 표준 비상관 확률 변수 벡터의 변환을 기반으로 형성됩니다. 인수의 거듭제곱으로 급수 확장에 기반한 4자리 정확도로 그것의 세 간격 동안.

에서 점근 급수의 합은 거의 1이 됩니다.