11.3. 전략 개발을 위한 매트릭스 방법 조직의 비전 개발 조직의 외부 및 내부 환경의 다양한 상태는 조직 자체의 다양성과 조직의 실제 상태를 설명합니다.

연습 1

다음과 같은 경우 행렬 kA+mB의 합을 계산합니다.

합 행렬의 요소는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

cij=kaij+mbij.

합 행렬의 첫 번째 행의 요소를 계산합니다.

C11=-4*2+5*3=7

C12=-4 * (-1)+5 * 7=39

C13=-4*4+5*(-2)=-26

C21=-4*6+5*9=21

C22=-4*3+5*1=-7

C23=-4*0+5*6=30

С31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8

C32=-4*5+5*8=20

C33=-4*9+5*5=-11

따라서 합계 행렬은 다음과 같은 형식을 취합니다.

작업 2

역행렬을 계산하고 확인합니다.

역행렬을 찾는 알고리즘을 사용합니다.

• 1. 행렬은 정사각형(행 수는 열 수와 동일)이므로 역행렬이 존재합니다.
• 2. 원래 행렬의 행렬식을 찾습니다.

• ?A=-3 * 3 * 3+1 * (-5) * 1+0 * (-4) * 3-1 * 3 * 3-(-4) * 1 * 3-0 * (-5) * (-3)=-29 ? 0
• 3. 원래 행렬 요소의 대수 보수로 구성된 행렬을 찾습니다.

A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9

A12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7

A13=(-1) 4 * -4 * 0-1 * 3=-3

A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3

A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12

A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1

A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14

A32=(-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3=-27

A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5

따라서 우리는 행렬을 얻습니다.

4. 결과 행렬을 전치합니다.

5. 마지막 행렬을 원래 행렬의 행렬식으로 나누고 역행렬을 얻습니다.

6. 결과를 확인합니다. 이를 위해 원래 행렬로 결과 행렬의 곱을 찾습니다.

A -1 .* A=A * A -1 =*= ==

따라서 결과적으로 단위 행렬을 얻었습니다. 따라서 역행렬이 발견되었습니다. 맞습니다.

작업 3

Cramer, Gauss 방법을 사용하여 선형 연립방정식을 풉니다.

해결책:

1) Cramer의 방법으로 시스템을 풉니다.

우리는 시스템의 행렬을 구성합니다.

이 행렬의 행렬식을 계산합니다.

0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0

결정 인자를 찾으십니까? 1 , ?2, ?3, 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 열을 각각 자유 멤버 열로 교체하여 원래 행렬식에서 얻습니다.

1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276

2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40

3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64

이제 Cramer의 공식을 사용하여

x1=, x2=, x3=,

시스템의 솔루션을 찾으십시오.

X1==,=0.79 x2==,=0.11 x3===0.18

2) 가우스 방법을 사용하여 시스템을 풉니다.

변수 및 자유 항에 대한 계수를 포함하는 시스템의 확장 행렬을 구성합니다.

두 번째 행에 (5)를 곱합니다. 세 번째 행에 (7)을 곱합니다. 세 번째 줄을 두 번째 줄에 추가해 보겠습니다.

첫 번째 행에 (26)을 곱합니다. 두 번째 행에 (3)을 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

첫 번째 줄에서 우리는 x 3을 표현합니다.

두 번째 줄에서 우리는 x 2를 표현합니다.

26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0.11

세 번째 줄에서 우리는 x 1을 표현합니다.

5x 1 \u003d -2 * 0.11- - 3 \u003d 0.79

작업 4

행렬 행렬식 선형 Cramer 가우스

4차 행렬식 계산

네 번째 줄에 행렬식의 확장을 씁니다.

A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44

여기서 Aij는 요소 ij a의 대수적 보수입니다.

공식 A ij =(-1) i+j 에 따라 대수 덧셈을 구해 봅시다. 여기서 m ij 는 요소 ij a 의 소수이며, 이 행렬의 교차점에서 행과 열을 삭제하여 원래 행렬식에서 얻은 것입니다. 요소 스탠드.

A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217

A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3 ) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9

우리는 얻은 값을 행렬식의 확장으로 대체합니다.

3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660

작업 5

역행렬 행렬 선형 Cramer 가우스

독립적으로 예와 유추하여 경제 내용으로 문제를 만들고 경제 과정의 수학적 모델을 구축하고 문제를 해결합니다.

일.

세 가지 유형의 제품 I, II, III 각각의 단위 생산에 대한 세 가지 유형의 원자재 A, B, C의 비용과 각 유형의 원자재 매장량이 표에 나와 있습니다(표 1). :

1 번 테이블

모든 원료의 사용을 보장하는 생산 계획을 결정하는 것이 필요합니다.

표에 주어진 데이터를 사용하여 선형 방정식 시스템을 작성해 보겠습니다.

어디서 - 각 유형의 출력량.

해결하기 위해 가우스 방법을 사용합니다. 시스템의 증강 행렬을 작성해 보겠습니다.

확장 행렬 형태로 시스템을 작성합니다.

두 번째 행에 (-2)를 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

두 번째 행에 (3)을 곱합니다. 세 번째 행에 (-1)을 곱합니다. 세 번째 줄을 두 번째 줄에 추가해 보겠습니다.

첫 번째 행에 (2)를 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

이제 원래 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x2 = /2

x 1 = /3

첫 번째 줄에서 우리는 x 3을 표현합니다.

두 번째 줄에서 우리는 x 2를 표현합니다.

세 번째 줄에서 우리는 x 1을 표현합니다.

규율에 관한 강의 과정

"매트릭스 분석"

2학년 학생들을 위해

수학 전문 학부

"경제적 사이버네틱스"

(강사 Dmitruk Maria Aleksandrovna)

1. 기능 정의.

Df.허락하다

이 문제에 대한 해는 f(x)가 다항식일 때 알려져 있습니다.

일반적인 경우 f(A)의 정의.

m(x)를 최소 다항식 A라고 하고 정준 분해를 가집니다.

g(A)=h(A) (1)이라고 하면 다항식 d(x)=g(x)-h(x)는 A에 대한 소멸 다항식입니다. d(A)=0이므로 d(x) )는 선형 다항식으로 나눌 수 있습니다. 즉 d(x)=m(x)*q(x) (2).

f(x)에 대한 m개의 수에 동의합시다.

집합 f(Sp A)가 f(x)에 대해 정의된 경우 함수는 행렬 A의 스펙트럼에서 정의됩니다.

(3)에서 다항식 h(x)와 g(x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖습니다.

우리의 추론은 되돌릴 수 있습니다. (3) → (3) → (1). 따라서 행렬 A가 주어지면 다항식 f(x)의 값은 행렬 A의 스펙트럼에서 이 다항식의 값에 의해 완전히 결정됩니다. 행렬의 스펙트럼에서 동일한 값을 취하는 모든 다항식 g i (x)는 동일한 행렬 값 g i (A)를 갖습니다. 우리는 일반적인 경우에 f(A) 값의 정의가 동일한 원칙을 따를 것을 요구합니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f(x)의 값은 f(A)를 완전히 결정해야 합니다. 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 함수는 동일한 행렬 값 f(A)를 가져야 합니다. 분명히, 일반적인 경우에 f(A)를 결정하려면 스펙트럼 A에서 함수 f(A)=g(A)와 동일한 값을 취하는 다항식 g(x)를 찾는 것으로 충분합니다.

Df. f(x)가 행렬 A의 스펙트럼에서 정의되면 f(A)=g(A)입니다. 여기서 g(A)는 스펙트럼에서 f(A)와 동일한 값을 취하는 다항식입니다.

Df.행렬 A의 함수 값 우리는 이 행렬에서 다항식의 값을 호출합니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 동일한 값을 취하는 С[x]의 다항식 중에서 f(x)와 같은 차수는 (m-1)보다 크지 않으며 스펙트럼 A, f(x)는 나눗셈의 나머지 부분이므로 행렬 A의 스펙트럼에서 f(x)와 동일한 값을 갖는 모든 다항식 g(x)를 최소 다항식 m(x)=g(x)로 )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

이 다항식 r(x)를 행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f(x)에 대한 라그랑주-실베스터 보간 다항식이라고 합니다.

논평. 행렬 A의 최소 다항식 m(x)에 다중 근이 없는 경우, 즉

예시:

행렬이 다음과 같은 경우 임의의 f(x)에 대해 r(x)를 찾습니다.

. f(H 1)를 구성합시다. 최소 다항식 H 1 찾기 - 마지막 불변 인자:

, d n-1 = x 2 ; d n-1 =1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – m(x)의 n-폴드 루트, 즉 H 1 의 n겹 고유값.

, r(0)=f(0), r'(0)=f'(0),...,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .

2. 행렬의 함수 속성.

속성 #1. 만약 매트릭스

증거:

행렬 A의 특성 다항식은 다음 형식을 갖습니다.

평등을 변경해 보겠습니다.

등식(*)은 모든 집합 f(x)에 대해 유효하므로 다항식 f(x)를 다음과 같이 바꿉니다.

왼쪽에서 행렬 f(A)에 대한 특성 다항식을 얻었고 오른쪽에서 선형 요인으로 분해되었습니다. 이는 다음을 의미합니다.

CHTD.

속성 #2. 매트릭스를 보자

증거:

왜냐하면 함수 f(x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 정의되며, 다음과 같은 행렬 r(x)의 보간 다항식이 존재합니다.

페트리 네트 분석에 대한 두 번째 접근 방식은 페트리 네트의 매트릭스 표현을 기반으로 합니다. (P, T, I, O) 형태의 페트리넷 정의에 대한 대안은 입력 및 출력 기능을 나타내는 두 행렬 D - 및 D + 의 정의입니다. 각 행렬에는 m개의 행(전환당 하나)과 n개의 열(위치당 하나)이 있습니다. D - = #(p i , I(t j)) 및 D + = #(pi i , O(t j))를 정의합니다. D - 전환 입력, D + - 출력을 정의합니다.

페트리넷 정의의 행렬 형식(P, T, D - , D +)은 우리가 사용하는 표준 형식과 동일하지만 벡터 및 행렬 측면에서 정의를 허용합니다. e[j]를 1과 동일한 j번째 성분을 제외하고 모든 곳에서 0을 포함하는 m-벡터라고 합시다. 천이 t j는 m 행 벡터 e[j]로 표시됩니다.

이제 µ > e[j] D - 이면 표시 µ의 전이 t j가 허용되고 표시 µ에서 전이 t j를 실행한 결과는 다음과 같이 작성됩니다.

δ(t j) = μ - e[j] D - + e[j] D + = μ + e[j] D

여기서 D = D + - D -는 복합 변화 행렬입니다.

그런 다음 전환 트리거 시퀀스 σ = t j ​​1 , t j 2 , … , t jk에 대해 다음을 갖습니다.

δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

벡터 f(σ) = e + e + ... + e는 시퀀스 σ = tj 1 , tj 2 , … , t jk , f(σ) jp 의 시작 개수로 구성된 벡터라고 합니다. 시퀀스 tj 1 , tj 2 , … , t jk 의 전환 tp . 따라서 트리거 벡터 f(σ)는 음이 아닌 정수 성분을 갖는 벡터입니다. (벡터 f(σ)는 시퀀스 σ = t j ​​1 , t j 2 , … , t jk의 Parikh 매핑입니다).

페트리 그물에 대한 그러한 매트릭스 접근 방식의 유용성을 보여주기 위해, 예를 들어 보존 문제를 고려하십시오. 보존을 나타내기 위해 도달 가능한 모든 표시에 대한 가중치 합이 일정한 (0이 아닌) 가중치 벡터를 찾는 것이 필요합니다.

w = (w 1 ,w 2 , … , w n) 을 열 벡터라고 합시다. 그런 다음 µ가 초기 표시이고 µ"가 임의의 도달 가능한 표시, 즉 µ"가 R(C,µ)에 속한다면 µ w = µ" w가 필요합니다. 이제 µ"가 도달 가능하므로 일련의 실행 전환 σ = tj 1 , tj 2 , … , t jk 는 네트워크를 µ에서 µ로 전환합니다. 따라서

μ" = μ + f(σ) D

따라서,

µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, 따라서 f(σ) D w = 0입니다.

이것은 모든 f(σ)에 대해 참이어야 하므로 D w = 0입니다.

따라서 페트리넷은 D w = 0과 같은 양의 벡터 w가 존재하는 경우에만 보존됩니다.

이것은 간단한 지속성 검사 알고리즘을 제공하고 가중 벡터 w를 얻을 수도 있습니다.

개발된 Petri nets의 행렬 이론은 도달 가능성 문제를 해결하기 위한 도구입니다. 표시 µ"가 표시 µ에서 도달할 수 있다고 가정합니다. 그런 다음 µ에서 µ"로 이어지는 전환 시작 σ의 시퀀스(비어 있을 수 있음)가 있습니다. 이는 f(σ)가 x에 대한 다음 행렬 방정식의 음이 아닌 정수 해임을 의미합니다.

μ" = μ + xD

따라서 µ"가 µ에서 도달할 수 있는 경우 주어진 방정식은 음이 아닌 정수의 솔루션을 가지며 주어진 방정식에 솔루션이 없으면 µ"는 µ에서 도달할 수 없습니다.

예를 들어 그림 1에 표시된 레이블이 지정된 Petri net을 고려하십시오.

쌀. 1. 행렬 방정식을 기반으로 한 분석 방법을 보여주는 페트리넷

행렬 D - 및 D +의 형식은 다음과 같습니다.

~ 1 ~ 2 ~ 3 ~ 1 ~ 2 ~ 3

1 1 0 0 1 1 0 0

D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0

3 1 0 1 3 0 1 0

페이지 4 0 1 0 페이지 4 0 0 1

및 매트릭스 D:

초기 표시 µ = (1, 0, 1, 0)에서 전환 t 3이 허용되고 표시 µ" = (1, 0, 0, 1)로 이어집니다.

μ" = μ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

시퀀스 σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 은 시작 벡터 f(σ) = (1, 2, 2)로 표시되며 µ"로 표시됩니다.

μ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

레이블(1, 8, 0, 1)이 레이블(1,0, 1, 0)에서 도달할 수 있는지 확인하기 위해 다음 방정식이 있습니다.

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1.0) + x D

솔루션이 있는 x =(0, 4, 5). 이것은 시퀀스 σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 에 해당합니다.

(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D

해결책이 없습니다.

페트리넷 분석에 대한 매트릭스 접근 방식은 매우 유망하지만 몇 가지 어려움도 있습니다. 우선, 우리는 매트릭스 디그 자체로는 페트리 네트의 구조를 완전히 반영하지 않습니다. 동일한 위치(루프)의 입력과 출력이 모두 있는 전환은 해당 행렬 요소로 표시됩니다. D+및 D - , 그러나 행렬에서 서로 상쇄 D = D + - D - .이것은 위치 p 4 에 의해 이전 예에서 반영되고 전환 t3.

또 다른 문제는 시작 벡터에 시퀀스 정보가 없다는 것입니다. 그림의 페트리 그물을 고려하십시오. 2. 마킹(0, 0, 0, 0, 1)이 (1, 0, 0, 0, 0)에서 도달할 수 있는지 확인하려고 한다고 가정합니다. 그런 다음 우리는 방정식을 가지고 있습니다

(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + xD

쌀. 2. 매트릭스 분석을 설명하는 또 다른 Petri net

이 방정식에는 고유한 솔루션이 없지만 솔루션 세트로 축소됩니다. (a\f(o) =(1, x 2, x 6 - 1, 2x 6, x 전자 - 1, x 6)).전환 트리거 간의 관계를 정의합니다. 우리가 넣으면 x 6= 1 및 x 2= 1, 다음 /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), 그러나 이 트리거 벡터는 시퀀스 44444. 및 n0 시퀀스 44444 둘 다에 해당합니다. 시작은 알 수 없습니다.

또 다른 어려움은 방정식을 푸는 것이 달성 가능성에 필요하지만 충분하지 않다는 것입니다. 그림 1에 표시된 간단한 페트리 그물을 고려하십시오. 3. (0, 0, 0, 1)이 (1, 0, 0, 0)에서 도달 가능한지 확인하려면 방정식을 풀어야 합니다.

쌀. 3. 행렬방정식의 해가 도달가능성 문제를 해결하기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아님을 보여주는 페트리넷

이 방정식에는 두 시퀀스에 해당하는 해 f(a) = (1, 1)이 있습니다. 가슴 2그리고 /3/t. 그러나 (1,0, 0, 0) 둘 다 그둘 다 허용되지 않습니다. 따라서 방정식을 푸는 것만으로는 도달 가능성을 증명하기에 충분하지 않습니다.

질문 및 작업 제어

1. 다음 페트리넷에 대한 페트리넷 그래프를 작성하십시오.

P=(p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 ), T=(t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ,t 5 ),

나(t1)=(), O(t1)=(p1),

I(t2)=(p1), O(t2)=(p2),

I(t3)=(p2,p2,p4), O(t3)=(p1,p3),

I(t4)=(), O(t4)=(p3),

나(t5)=(p3), O(t5)=(p4,p4).

2. 다음 페트리넷에 대한 페트리넷 그래프를 작성하십시오.

P=(p1,p2,p3,p4), T=(t1,t2,t3,t4),

나(t1)=(), O(t1)=(p1,p1,p1,p1,p2),

I(t2)=(p2), O(t2)=(p1,p1p1,p1,p1,p1,p3),

I(t3)=(p1,p1,p1,p1,p1,p1), O(t3)=(p2,p2p2,p2p4,p4),

나(t4)=(p2,p3p4,p4), O(t4)=(p3).

3. m=(5,4,0,0) 표시를 위한 연습 1의 페트리 네트의 경우 허용된 전환을 표시합니다.

4. 연습 2의 페트리 네트의 경우 m=(7,12,2,1)을 표시하기 위해 허용된 전환을 표시합니다.

5. ÈR(C,m)=N n 임을 나타내십시오. 여기서 mнN n 입니다.

6. m'н R(C,m)이면 R(C,m')н R(C,m)임을 증명하십시오.

7. R(C,m')н R(C,m)인 경우에만 m'н R(C,m)임을 증명하십시오.

8. 연습 1에서 페트리 네트에 대한 도달 가능성 세트를 구축합니다.

9. 연습 2에서 페트리 네트에 대한 도달 가능한 집합을 구성합니다.

10. 칩과 실행 규칙이 있는 페트리 네트는 여러 면에서 경기장이 있는 게임을 연상시킵니다. 체커, 주사위 놀이, 그, 바둑 등 필드(페트리 네트는 필드로 사용됨) 및 칩 세트. 토큰은 페트리 넷의 위치에 배포되고 플레이어는 교대로 허용된 전환을 선택하고 시작합니다. 다음을 제공하여 게임의 규칙을 정의합니다.

타일의 초기 위치는 어떻게 결정됩니까? (예를 들어, 각 플레이어는 집에 있는 하나의 칩으로 게임을 시작하거나 각 플레이어는 전체 필드에서 n개의 타일을 마음대로 받습니다.)

b 게임의 목적은 무엇입니까? (상대의 칩을 캡처하고, 가장 많은 칩을 획득하고, 가능한 한 빨리 칩을 제거하십시오.)

c 다른 플레이어를 위해 조각을 색칠해야 합니까? (따라서 전환을 트리거하는 규칙을 결정합니다.)

d 다른 전환에 포인트를 할당해야 하지 않습니까? (그런 다음 플레이어의 점수는 그가 발사한 전환의 합으로 결정됩니다.)

이를 바탕으로 게임을 설명하고 게임의 예를 제시하십시오.

11. 상대가 주어진 Petri net의 컴퓨터인 연습 10의 게임을 구현하는 프로그램을 개발하십시오.

12. 페트리넷을 수행하기 위한 시뮬레이션 시스템을 구축합니다. 허용되는 전환의 시작은 시뮬레이션 시스템 사용자가 설정합니다.

13. 동방박사들은 중화요리가 많은 큰 원탁에 앉는다. 이웃 사이에는 하나의 젓가락이 놓여 있습니다. 그러나 중화요리를 먹기 위해서는 젓가락이 두 개 필요하므로 모든 성인은 좌우에서 젓가락을 가져와야 한다. 문제는 모든 성인이 왼편의 막대기를 들고 오른쪽의 스틱이 풀릴 때까지 기다리면 영원히 기다리다가 굶어 죽는다(막다른 상태). 만찬을 위한 전략을 세우고 막다른 골목이 없는 그런 페트리넷을 구축하는 것이 필요하다.

14. 이진수의 2의 보수를 계산하는 유한 자동자를 나타내는 페트리 네트를 만드십시오.

15.입력 이진수의 패리티를 결정하기 위한 유한 상태 기계를 나타내는 페트리 네트를 만듭니다.

16. 카운팅 입력으로 트리거를 정의하는 유한 상태 기계를 나타내는 페트리 네트를 만듭니다.

17. 별도의 입력으로 트리거를 정의하는 상태 머신을 나타내는 페트리 넷을 만듭니다.

18. 페트리넷으로 흐름도를 모델링하기 위한 알고리즘을 개발하십시오.

19.PERT 다이어그램은 프로젝트를 구성하는 다양한 단계 간의 관계를 그래픽으로 나타낸 것입니다. 프로젝트는 많은 활동의 모음이며 다른 활동이 시작되기 전에 활동이 완료되어야 합니다. 또한 각 작업을 완료하는 데 일정 시간이 걸립니다. 작품은 정점으로 그래픽으로 표현되며 호는 작품 사이의 인과 관계를 나타내는 데 사용됩니다. PETR 다이어그램은 가중 간선이 있는 방향 그래프입니다. 과제는 프로젝트를 완료하는 데 필요한 최소 시간을 결정하는 것입니다. 페트리넷을 사용하여 PERT 다이어그램을 모델링하는 알고리즘을 개발합니다.

20. 화학 반응을 시뮬레이션하기 위해 페트리 그물에 기반한 모델을 개발합니다.

21. 트리가 아닌 도달 가능성 그래프를 작성하는 것을 고려하십시오. 정점 x가 경계가 아닌 일부 정점 y에 대해 m[z]=m[y]인 후속 정점 z를 생성하면 x에서 y까지 적절하게 레이블이 지정된 호가 도입됩니다. 도달 가능성 그래프를 구성하는 알고리즘을 설명합니다.

22. 도달 가능성 그래프 구성 알고리즘이 도달 가능성 트리 구성 알고리즘과 비교하여 수렴함을 보여주고 그 속성을 조사합니다.

23. 도달 가능성 트리는 도달 가능성 문제를 해결하는 데 사용할 수 없습니다. 기호 w의 개념 도입과 관련하여 정보가 손실됩니다. 마킹 m'에 도달했을 때 도입되었으며 루트에서 m'까지의 경로에 m'>m과 같은 마킹 m이 있습니다. 이 경우 m+n(m'-m) 형식의 모든 표시를 얻을 수 있습니다. 구성 요소 값을 나타내기 위해 w 대신에 +bn i 표현식을 사용할 가능성을 탐색합니다. 모든 레이블 벡터가 표현식인 도달 가능성 트리를 정의할 수 있다면 도달 가능성 문제에 대한 솔루션은 방정식 시스템을 푸는 것으로 간단히 결정됩니다.

24. 음의 가중치를 허용하여 보존의 정의를 일반화하십시오. 음의 가중치에 대한 합리적인 해석은 무엇입니까? 음의 가중치가 허용되면 Petri net의 지속성을 결정하는 문제를 해결할 수 있습니까?

25. 분석에 대한 매트릭스 접근 방식을 사용하여 페트리 네트의 경계를 결정하기 위한 알고리즘을 개발합니다.

26.두 개의 페트리 네트의 평등 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발하십시오. 페트리넷 C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) m 1 로 표시된 페트리넷 C 2 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) R(C 1 인 경우) m 2로 레이블링됨 ,m1)= R(C2,m2).

27. 두 개의 Petri net의 부분집합 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발하십시오. 페트리넷 C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) m 2 로 표시된 페트리넷 C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) 만약 R( C 1,m1)Н R(C2,m2).

28. 도달 가능성 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발하십시오. m 표시가 있는 페트리 네트 C=(P,T,I,O)에서 m' 표시는 m' ОR(C,m)인 경우 m에서 도달할 수 있습니다.

29. 하위 태깅 도달 가능성 문제에 대한 알고리즘을 개발합니다. 부분집합 P' Н P와 표시 m'이 주어지면 모든 p i ОP'에 대해 m''(pi)=m'(pi)가 되는 m'' ОR(C,m)이 있습니까?

30.제로 도달 가능성 문제에 대한 알고리즘을 개발하십시오. m'(p i)=0인 m'нR(C,m)은 모든 p i нP에 대해 성립합니까?

31. 한 위치에서 0에 도달하는 작업을 위한 알고리즘을 개발하십시오. 주어진 위치 p i ОP에 대해 m'(p i)=0인 m'ОR(C,m)이 존재합니까?

32. 페트리넷 활동 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발합니다. 모든 전환 t j ОT가 활성화되어 있습니까?

33. 한 전환 활동의 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발하십시오. 이 전환이 활성화되어 있습니까?

34. 페트리넷은 각 전이 t j ОT에 대해 다음과 같은 전이 t k ОT가 있는 경우 가역적이라고 합니다.

#(피 i ,I(t j))=#(피 i ,O(t k)), #(피 i ,O(t j))=#(피 i ,I(t k)),

저것들. 각 전환에 대해 역 입력 및 출력이 있는 또 다른 전환이 있습니다. 가역 페트리 네트에 대한 도달 가능성 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발합니다.

35. 가역 페트리넷의 평등 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발합니다.

36. 흡연자의 임무. 세 명의 흡연자는 각각 계속해서 담배를 만들어 피우고 있습니다. 담배를 만들려면 담배, 종이, 성냥이 필요합니다. 흡연자 중 한 명은 항상 종이를 가지고 있고, 다른 한 명은 항상 성냥을 가지고 있고, 세 번째는 항상 담배를 가지고 있습니다. 에이전트는 종이, 성냥 및 담배를 끝없이 공급합니다. 에이전트는 두 구성 요소를 테이블에 놓습니다. 세 번째 누락된 성분이 있는 흡연자는 담배를 만들고 피울 수 있으며 이를 에이전트에게 알릴 수 있습니다. 그런 다음 에이전트는 세 가지 재료 중 나머지 두 개를 배치하고 주기를 반복합니다. 흡연자의 문제를 모델링하는 활성 페트리 네트를 제안하십시오.

37. 자동 페트리넷은 각 전환이 정확히 하나의 출력과 하나의 입력을 가질 수 있는 페트리넷입니다. 모든 t j에 대해 ОT ½I(t j)1=1 및 ½O(t j)1=1입니다. 주어진 오토마톤 페트리넷과 동일한 유한 오토마톤을 구성하기 위한 알고리즘을 개발합니다.

38. 레이블이 지정된 그래프는 각 위치가 정확히 하나의 전환에 대한 입력이고 정확히 하나의 전환에 대한 출력인 페트리넷입니다. 각 전환에 대해 p i ОP ½I(pi i)1=1 및 ½O(pi i)1=1. 레이블이 지정된 그래프에 대한 도달 가능성 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 개발합니다.

39. 레이블이 지정된 그래프와 자동 페트리 네트인 페트리 네트의 클래스를 고려하십시오.

40. 부록 8에 설명된 시스템을 시뮬레이션하는 페트리 네트를 구축하십시오. 시스템에서 발생하는 이벤트와 시스템을 설명하는 조건을 설명하십시오. 건설된 페트리 그물을 위한 도달 가능한 나무를 건설하십시오. 시스템이 있을 수 있는 상태를 설명합니다.