Udowodnij odwrotny twierdzenie Pitagora. Lekcja "Twierdzenie - Twierdzenie Pitagore"
Twierdzenie Pitagore mówi:
W prostokątnym trójkącie suma kwadratów cewek jest równa placu hipotenusu:
a 2 + B 2 \u003d C2,
- zA. i b. - korzenie, które tworzą prosty róg.
- z - trójkąt hipotenuse.
Formuły teoremu Pitagora
- a \u003d sqrrt (C ^ (2) - b ^ (2))
- b \u003d sqrt (C ^ (2) - A ^ (2))
- c \u003d sqrt (A ^ (2) + b ^ (2))
Dowód twierdzenia Pitagora
Obszar trójkąta prostokątnego oblicza się wzorem:
S \u003d frac (1) (2) ab
Aby obliczyć obszar dowolnej trójkątnej kwadratu:
- p. - pół metra. P \u003d frac (1) (2) (A + B + C),
- r. - Radius wpisany koło. Dla prostokątra \u003d frac (1) (2) (A + B-C).
Wtedy zrównujemy odpowiednie części obu formuł dla obszaru trójkąta:
Frac (1) (2) AB \u003d FRAC (1) (2) (A + B + C) FRAC (1) (2) (A + B-C)
2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)
2 ab \u003d lewy ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) prawy)
2 ab \u003d a ^ (2) + 2Ab + b ^ (2) -C ^ (2)
0 \u003d A ^ (2) + b ^ (2) -C ^ (2)
c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)
Twierdzenie odwrotne Pitagorów:
Jeśli kwadrat jednej strony trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch innych stron, trójkąt jest prostokątny. To znaczy dla wszystkich trzech dodatnich liczb a, B. i dO., taki
a 2 + B 2 \u003d C2,
jest prostokątny trójkąt z celnymi zA. i b. i hipotenuse. dO..
twierdzenie Pitagorasa - Jedna z podstawowych twierdzeń geometrii euklidowej, która ustanawia stosunek między bokami trójkąta prostokątnego. Sprawdzona przez naukowca matematyk i filozofa Pitagore.
Wartość twierdzenia W tym pomocy możesz udowodnić inne teorety i rozwiązywać problemy.
Dodatkowy materiał:
twierdzenie Pitagorasa - jedna z podstawowych twierdzeń geometrii euklidowej ustanawiającej stosunek
między bokami trójkąta prostokątnego.
Uważa się, że jest to udowodnione przez greckiej matematyk Pitagor, na cześć i nazwany.
Geometryczny preparat twierdzenia Pitagorów.
Początkowo twierdzenie zostało sformułowane w następujący sposób:
W prostokątnym trójkącie, kwadratowy placu zbudowany na hipoteczniku jest równy sumie kwadratów kwadratów,
zbudowany na Catetes.
Algebraic sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.
W prostokątnym trójkącie, kwadrat długości hipotenusu jest równy sumie kwadratów długości karetki.
To znaczy, oznaczając długość trójkąta hipotenus dO.i długość cewek zA. i b.:
Zarówno brzmienie twierdzenia Pitagoraodpowiednik, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie jest
wymaga koncepcji obszaru. Oznacza to, że drugie oświadczenie można sprawdzić, nic nie wie o okolicy i
pomiar tylko długości boków trójkąta prostokątnego.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
Jeśli kwadrat jednej strony trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch innych stron,
trójkąt jest prostokątny.
Lub innymi słowy:
Dla wszystkich trzech liczb dodatnich zA., b. i dO., taki
jest prostokątny trójkąt z celnymi zA. i b.i hipotenuse. dO..
Twierdzenie Pitagora dla whydny trójkąt.
Twierdzenie Pitagora dla trójkąta równobocznego.
Dowód twierdzenia Pitagorów.
W tej chwili w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów na ten twierdzenie. Prawdopodobnie twierdzenie
Pitagora jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność
można wyjaśnić tylko podstawową wartością twierdzenia geometrii.
Oczywiście jest to koncepcyjnie wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najbardziej znany z nich:
dowodem metoda przestrzeni, aksjomatyczny i egzotyczne dowody (na przykład,
przez równania różniczkowe).
1. Dowód twierdzenia Pitagore przez takie trójkąty.
Następujące dowody sformułowania algebraicznego są najprostszym z dowodów w budowie.
bezpośrednio z aksjomatu. W szczególności nie używa koncepcji figury figury.
Zostawiać ABC Istnieje prostokątny trójkąt z prostym kątem DO.. Wydajmy wysokość DO. I oznaczać
jego fundament H..
Trójkąt Ach. Jak trójkąt AbC dla dwóch rogów. Podobnie trójkąt CBH. Lubić ABC.
Wprowadzanie notacji:
dostajemy:
,
co odpowiada -
Pasujący zA. 2 I. b. 2, otrzymujemy:
lub, który był zobowiązany do udowodnienia.
2. Dowód twierdzenia Pitagore według obszaru obszaru.
Poniżej przedstawiono dowody, pomimo ich wydawanej prostoty, nie tak proste. Wszyscy
użyj właściwości obszaru, którego dowody są bardziej skomplikowane przez dowód twierdzenia samego Pitagora.
- Dowód przez równoważenie.
Umieść cztery równe prostokątne
trójkąt, jak pokazano na zdjęciu
po prawej.
Quadril z bokami dO. - Kwadrat,
od suma dwóch ostrych rogów 90 ° i
wdrożony kąt - 180 °.
Obszar całej liczby jest równa jednej ręce,
obszar kwadratowy z bokiem ( a + B.), a z drugiej strony suma obszaru czterech trójkątów i
co było do okazania
3. Dowód twierdzenia Pythagore przez metodę nieskończenie małej.
Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku i
obserwowanie zmiany stronyzA., możemy
zapisz następujący współczynnik do nieskończonego
mały przyrosty bokuz i zA. (Przy użyciu pozory
trójkąty):
Korzystając z metody separacji zmiennej, znajdziemy:
Bardziej ogólna ekspresja do zmiany hipotenusa w przypadku przyrostów obu cewek:
Integracja tego równania i przy użyciu warunków początkowego otrzymujemy:
W ten sposób przyjdziemy do żądanej odpowiedzi:
Ponieważ nie jest trudno zobaczyć, zależność kwadratowa w końcowej wzorze pojawia się z powodu liniowy
proporcjonalność między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy kwota jest związana z niezależnym
depozyty z przyrostu różnych cewetów.
Można uzyskać bardziej prosty dowód, jeśli zakładamy, że jedna z cewek nie ma przyrostu
(W tym przypadku Catat b.). Następnie dla stałej integracji otrzymujemy:
Według Van Der Varden jest bardzo prawdopodobne, że wskaźnik ogólnie był znany w Babilonie w pobliżu XVIII wieku BC. mi.
Około 400 pne. E. Według sondy Platon dał metodę znalezienia Pitagora Troka, łącząc algebrę i geometrię. Około 300 pne. mi. W "początku" Euclidea najstarszy dowód aksjomatyczny twierdzenia Pitagoreo.
Sformułowanie
Główny preparat zawiera działania algebraiczne - w prostokątnym trójkącie, którego katetty są równe A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b)i długość hipotenusów - C (DisplayStyle C)Stosunek jest zakończony:
.Ekrównoważna preparat geometryczny jest możliwy, uciekający się do koncepcji obszaru figury: w prostokątnym trójkącie, kwadrat kwadratu zbudowany na hipoteczniku jest równy sumie kwadratów budowanych na kategoriach. W tej formie twierdzenie jest formułowane na początku Euclidea.
Twierdzenie odwrotnego Pitagora - zatwierdzenie prostokątów dowolnego trójkąta, którego długość stron jest związana z relacją A 2 + B2 \u003d C2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)). W rezultacie dla wszystkich trzech liczb dodatnich A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) i C (DisplayStyle C), taki A 2 + B2 \u003d C2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), Istnieje prostokątny trójkąt z celnymi A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b) i hipotenuse. C (DisplayStyle C).
Dowodem
Literatura naukowa odnotowała co najmniej 400 dowodów twierdzenia Pitagora, która jest wyjaśniona jako podstawowa wartość geometrii i elementarności wyniku. Główne kierunki dowodów: algebraiczne stosowanie relacji elementów trójkąta (na przykład, popularnej metody podobieństwa), sposobu przestrzeni, istnieją również różne dowody egzotyczne (na przykład stosując równania różniczkowe).
Przez takie trójkąty.
Klasycznymi dowodami Euclidea ma na celu ustalenie równości obszaru między prostokątów utworzonych z migracji kwadratu powyżej wysokości hipotenurki z bezpośrednim kątem z kwadratami nad organami celnymi.
Projekt używany do dowodu jest następujący: dla trójkąta prostokątnego z bezpośrednim kątem C (DisplayStyle C), kwadraty nad zwyczajami i kwadratami nad hipotenuse A b i k (displaystyle abik) Zbudowana wysokość C h (DisplayStyle CH) i kontynuowanie promienia S (DisplayStyle S), łamanie kwadratu nad hipotenem z dwoma prostokątów i. Dowody mają na celu ustalenie równości obszaru prostokąta A H J K (DisplayStyle AHJK) Kwadratowy Citek A C (DisplaylStyle AC); Równość obszaru drugiego prostokąta stanowiącego kwadrat powyżej hipotenusa, a prostokąt nad drugą Cathe jest ustawiony w ten sam sposób.
Równość prostokątnych kwadratów A H J K (DisplayStyle AHJK) i A C e D (DisplayStyle ACED) Zainstalowany przez zgodność trójkątów △ A C K \u200b\u200b(DisplayStyle Trójkąt ACK) i △ A B D (DisplayStyle Trójkąt ABD), obszar każdego z nich jest równy pół kwadratowy kwadratowy A H J K (DisplayStyle AHJK) i A C e D (DisplayStyle ACED) W związku z tym, ze względu na następującą właściwość: obszar trójkąta jest równy połowy obszaru prostokąta, jeśli dane mają wspólną stronę, a wysokość trójkąta do strony ogólnej jest drugą stroną prostokąta. Topnice trójkątów wynika z równości obu stron (boków kwadratów) i rogu między nimi (składający się z prostego rogu i kąta w A (DisplayStyle A).
W ten sposób dowód ustanawia, że \u200b\u200bkwadrat kwadratu powyżej hipotenusa złożonego z prostokątów A H J K (DisplayStyle AHJK) i B h j i (displaystyle bhji)jest równy sumie kwadratów kwadratów nad zwyczajami.
Odporny leonardo da vinci
Dowód Leonardo da Vinci znaleziono obszar placu. Niech trójkąt prostokątny △ a b c (DisplayStyle Trójkąt ABC) Z bezpośrednim kątem C (DisplayStyle C) i kwadraty A C e D (DisplayStyle ACED), B C F G (DisplayStyle BCFG) i A B H J (DisplayStyle AbHJ) (Patrz rysunek). W tym dowodzie z boku H (DisplayStyle HJ) Ten ostatni na zewnątrz jest trójkąt, przystający △ a b c (DisplayStyle Trójkąt ABC)Ponadto odzwierciedlenie zarówno względem przeciwprastania, jak i stosunkowo wysokości (czyli J i \u003d b c (displaystyle ji \u003d bc) i H i \u003d a c (displaystyle hi \u003d ac)). Prosto C i (displayStyle ci) łamie kwadrat zbudowany na hipotenuse na dwie równe części, ponieważ trójkąty △ a b c (DisplayStyle Trójkąt ABC) i △ j h i (DisplayStyle Triangle JHI) równy budownictwie. Dowodem ustanawia zgodność czworobocznych C a j i (displaystyle caji) i D A B G (DisplayStyle DABG)Obszar każdej okazuje się być z jednej strony równą sumie połowy kwadratów na katechezach i obszarze oryginalnego trójkąta, z drugiej strony, połowa kwadratu Plac na prawostce plus obszar oryginalnego trójkąta. Całkowita, połowa suma kwadratów kwadratów nad kategoriami jest równa połowie kwadratu kwadratu nad hipotecznikiem, który jest równoważny geometrycznym preparatem twierdzenia Pitagorów.
Dowód przez metodę nieskończenie małej
Istnieje kilka dowodów na technika równań różniczkowych. W szczególności Hardy jest przypisany dowodowi, przy użyciu nieskończenie małych przyrostów cewek A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b) i hipoteny C (DisplayStyle C)i zachowując podobieństwo z oryginalnym prostokąta, czyli, zapewniając następujące relacje różnicowe:
D A D C \u003d C A (DisplayStyle (Frac (DA) (DC)) \u003d (Frac (C) (A))), d B D C \u003d C B (DisplayStyle (FRAC (DB) (DC)) \u003d (Frac (C) (B))).Równanie różnicowe pochodzi od rozdzielania zmiennych C D C \u003d D D A + B D B (DisplayStyle C DC \u003d A, DA + B, DB)którego integracja daje stosunek C2 \u003d A 2 + B2 + C O N S T (DisplayStyle C ^ (2) \u003d A ^ (2) + B ^ (2) + Mathrm (Const)). Zastosowanie warunków wstępnych A \u003d B \u003d C \u003d 0 (DisplayStyle A \u003d B \u003d C \u003d 0) Określa stałą jako 0, co powoduje oświadczenie twierdzenia.
Uzależnienie kwadratowe w końcowej wzorze pojawia się ze względu na liniową proporcjonalność między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy kwota jest związana z niezależnymi depozytami z przyrostu różnych cewek.
Wariacje i uogólnienia
Podobne kształty geometryczne po trzech stronach
Ważną geometryczną uogólnieniem twierdzenia Pitagorysa dało euklium w "Początku", przekraczając kwadraty kwadratów po bokach dowolnych podobnych figur geometrycznych: suma obszarów takich figur zbudowanych na catetach będzie równa obszarze Figura podobna do przeciwprosta.
Główną ideą tej uogólnienia jest to, że obszar takiego kształtu geometrycznego jest proporcjonalny do kwadratu dowolnej wielkości liniowej, aw szczególności kwadratowy długości dowolnej strony. W konsekwencji, dla podobnych kształtów z kwadratami A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) i C (DisplayStyle C)Zbudowany na dostosowywania z długościami A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b) i hipotenuse. C (DisplayStyle C) W związku z tym stosunek jest:
A A 2 \u003d B B 2 \u003d C C2 ⇒ A + B \u003d A 2 C2 C + B2 C2 C (DisplayStyle (FRAC (A) (A ^ (2)) \u003d (frac (b) (b) ^ (2)) \u003d (frac (c) (C ^ (2))), w ŚWIĘCIE, A + B \u003d (FRAC (A ^ (2)) (C ^ (2)) C + (Frac (b ^ (2)) (C ^ (2))) C).Od Twierdzenia Pitagora A 2 + B2 \u003d C2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2))następnie wykonany.
Ponadto, jeśli możliwe jest udowodnienie bez przyciągania twierdzenia Pitagora, że \u200b\u200bdla obszarów trzech podobnych figur geometrycznych po bokach trójkąta prostokątnego, stosunek przeprowadzono stosunek A + B \u003d C (DisplayStyle A + B \u003d C), Korzystając z odwrotnego udaru dowodu uogólnienia Euclidea, można wywodzić dowód twierdzenia Pitagora. Na przykład, jeśli na przeciwko przeciwstawianiu się budowania początkowego obszaru trójkąta prostokątnego C (DisplayStyle C)oraz na kategoriach - dwa podobne prostokątne trójkąty z kwadratami A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b)Okazuje się, że trójkąty na catetach są utworzone w wyniku dzielenia początkowego trójkąta jego wysokości, czyli sumę dwóch mniejszych obszarów trójkątów jest równa powierzchni trzeciej, tak A + B \u003d C (DisplayStyle A + B \u003d C) I zastosowanie stosunku takich danych wyświetlany jest twierdzenie Pitagora.
Twierdzenie Kosinus.
The Payagoreo Twierdzenie jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego cosinowego twierdzenia, co wiąże długości stron w dowolnym trójkącie:
A 2 + B 2 - 2 A B COS \u2061 θ \u003d C2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) -2Ab Cos (ETA) \u003d C ^ (2)),gdzie - kąt między stronami A (DisplayStyle A) i B (DisplayStyle b). Jeśli kąt wynosi 90 ° cos \u2061 θ \u003d 0 (DisplayStyle cos eta \u003d 0)A formuła jest uproszczona do zwykłego twierdzenia Pitagoreo.
Arbitralny trójkąt
Istnieje uogólnienie twierdzenia Pythagora na dowolnym trójkącie, działającym wyłącznie przez stosunek długości stron, uważa się, że został po raz pierwszy ustanowiony przez Sabi astronom Sabit Ibn Kury. W nim dla dowolnego trójkąta z bokami, kondycjonowany trójkąt pasuje do niej bazą z boku C (DisplayStyle C), wierzchołek, który pokrywa się z górną częścią oryginalnego trójkąta, po przeciwnej stronie C (DisplayStyle C) i kąty u podstawy równej rogu θ (displaystyle theta), Przeciwna strona C (DisplayStyle C). W rezultacie tworzy się dwa trójkąty, podobne do oryginału: Pierwszy - ze stronami A (DisplayStyle A), Długotrwała strona boków wpisana przez podwyższony trójkąt i R (DisplayStyle R) - części części C (DisplayStyle C); Drugi jest dla niego symetrycznie z boku B (DisplayStyle b) z boku S (DisplayStyle S) - odpowiednia część części C (DisplayStyle C). W rezultacie relacja: relacja:
A 2 + B2 \u003d C (R + S) (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C (R + S)),zdegenerować się do twierdzenia Pitagora θ \u003d π / 2 (DisplayStyle WHATA \u003d PI / 2). Stosunek jest konsekwencją podobieństwa utworzonych trójkątów:
Ca \u003d AR, CB \u003d BS ⇒ CR + CS \u003d A 2 + B2 (DisplayStyle (Frac (C) (A)) \u003d (Frac (A) (R)), (Frac (C) (b)) \u003d (frac (b) (s)), słupkowy, CR + CS \u003d A ^ (2) + B ^ (2)).Twierdzenie Pappa na kwadratach
Geometria Neevklidova.
Twierdzenie Pitagoreo pochodzi z aksjometrii Euclidean i jest nieprawidłowe dla geometrii nie-dziecko - wdrażanie twierdzenia Pitagorskiego jest równoważne postulatowi Euclidea równoległości.
W geometrii nie-dziecko stosunek między bokami trójkąta prostokątnego będzie koniecznie w postaci innej niż twierdzenie Pitagorów. Na przykład w geometrii sferycznej, wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, który ograniczył samolot pojedynczej kuli, mają długość π / 2 (DisplayStyle PI / 2)które sprzeczne z twierdzeniem Pitagorów.
W tym przypadku twierdzenie Pitagora jest ważne w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej, jeśli wymóg prostokąta trójkąta zastępuje warunkiem, że suma dwóch kątów trójkąta powinna być równa trzecim.
Sferyczna geometria
Dla każdego prostokątnego trójkąta na sferze promienia R (DisplayStyle R) (na przykład, jeśli kąt w trójkącie jest prosty) ze stronami A, B, C (DisplayStyle A, B, C) Stosunek między stronami ma formularz:
Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) (DisplayStyle cos pozostanie ((frac (c) (r)) prawy) \u003d cos lew ((frac (a) (R)) PRAWO) CDOT COSS Left ((Frac (b) (R)) Prawo)).Ta równość może być wyprowadzona jako specjalny przypadek sferycznego cosinowego twierdzenia, który jest ważny dla wszystkich sferycznych trójkątów:
Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) + sin \u2061 (a r) ⋅ grzech \u2061 (b r) ⋅ cos \u2061 γ (DisplayStyle Cos Left ((Frac (C) (R) ) Prawo) \u003d Cos lew ((Frac (A) (R)) Prawo) CDOT Frac (A) (R)) Prawo) Cdot Sin Left ((Frac (b) (R)) Prawda) CDOT COSS GAMMA). CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B (DisplayStyle OperatorName (CH) C \u003d OperatorName (CC) Cdot OperatorName (CH) B),gdzie CH (DisplayStyle OperatorName (CH)) - hiperboliczny cosinus. Formuła ta jest specjalnym przypadkiem hiperbolicznego twierdzenia cosinusu, który jest ważny dla wszystkich trójkątów:
CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B - sh \u2061 ⋅ ⋅ sh \u2061 b ⋅ cos \u2061 γ (DisplayStyle OperatorName (CH) C \u003d OperatorName (CC) CDOT OperatorName (CH) B- OperatorName (SH) CDOT OperatorName (Sh) B CDOT COS \\ gamma),gdzie γ (DisplayStyle \\ gamma) - Kąt, którego wierzchołek jest przeciwny do boku C (DisplayStyle C).
Korzystanie z serii Taylor do hiperbolicznego cosinusa ( CH \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (DisplayStyle DisplayName (CH) X Około 1 + x ^ (2) / 2)) Można pokazać, że jeśli trójkąt hiperboliczny zmniejsza się (to znaczy, kiedy A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) i C (DisplayStyle C) Dążą do zera), potem stosunki hiperboliczne w trójkącie prostokątnym zbliżają się do stosunku klasycznego twierdzenia Pitagora.
Podanie
Odległość w dwuwymiarowych układach prostokątnych
Najważniejszym stosowaniem twierdzenia Pitagora jest określenie odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych prostokątnych: odległość S (DisplayStyle S) między punktami z współrzędnymi (A, B) (DisplayStyle (A, B)) i (C, D) (DisplayStyle (C, D)) na równi:
S \u003d (A - C) 2 + (B - D) 2 (DisplayStyle S \u003d (SQRT ((A-C) ^ (2) + (B - D) ^ (2)))).W przypadku numerów złożonych Twierdzenie Pitagorea daje naturalną formułę znalezienia złożonego zintegrowanego modułu - dla z \u003d x + y i (displayltyle z \u003d x + yi) Jest równa długości
Przedmiot: Twierdzenie, odwrotna twierdzenie Pitagori.
Lekcja celów: 1) Rozważ rozważ twierdzenie odwrotnej twierdzenia Pitagora; jego zastosowanie w procesie rozwiązywania problemów; Napraw twierdzenie Pythagora i poprawić umiejętności, aby rozwiązać problemy z jego użyciem;
2) Opracowanie myślenia logicznego, kreatywne wyszukiwanie, odsetki poznawcze;
3) Wywołuje uczniów odpowiedzialnego stosunku do nauk, kultury mowy matematycznej.
Rodzaj lekcji. Asymilacja lekcji nowej wiedzy.
Podczas zajęć
І. Czas organizowania
ІІ. Aktualizacja Wiedza, umiejętności
Lekcja mniebyłobychciałemzacznij od Quatrain.
Tak, ścieżka wiedzy nie jest zadowolona
Ale wiemy z lat szkolnych,
Riddles bardziej niż imagers
I nie ma wyszukiwania limitu!
Więc w przeszłości lekcja nauczyła się twierdzenia Pitagore. Pytania:
Twierdzenie Pitagora jest ważne, dla którego postać?
Jaki trójkąt nazywa się prostokątny?
Formułuj twierdzenie Pitagore.
Jak napisano twierdzenie Pitagora dla każdego trójkąta?
Jakie trójkąty są nazywane równymi?
Słowo oznaki równości trójkątów?
A teraz spędzimy małą niezależną pracę:
Rozwiązywanie zadań zgodnie z rysunkami.
№1
(1 b.) Znajdź: av.
№2
(1 b.) Znajdź: Sun.
№3
( 2 b.)Znajdź: AC.
№4
(1 b.)Znajdź: AC.
№5 Dano: ABC.RE. romb
(2 b.) Av \u003d 13 cm
AC \u003d 10 cm
Znaleźć wRE.
Auto test numer 1. pięć
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Nauka Nowy materiał.
Starożytni Egipcjanie zbudowali proste narożniki na ziemi w ten sposób: dzielili się rożekami na 12 równych częściach, końce były związane, po czym lina została rozciągnięta tak na ziemi, aby trójkąt był utworzony z partiami 3, 4 i 5 działów . Kąt trójkąta, który leżał z boku z 5 działami, był prosty.
Czy możesz wyjaśnić poprawność tego wyroku?
W wyniku poszukiwania odpowiedzi na pytanie uczniowie powinni zrozumieć, że z matematycznego punktu widzenia pytanie jest ustawione: czy trójkąt jest prostokątny.
Umieściliśmy problem: jak, bez tworzenia pomiarów, określ, czy trójkąt z określonymi stronami jest prostokątny. Rozwiązaniem tego problemu jest cel lekcji.
Zapisz lekcję motywy.
Twierdzenie. Jeśli suma kwadratów obu stron trójkąta jest równa placu trzecim, wtedy taki trójkąt jest prostokątny.
Niezależnie udowodnić twierdzenie (skompiluj plan dowodu na podręcznik).
Z tego twierdzenia wynika, że \u200b\u200btrójkąt ze stronami 3, 4, 5 jest prostokątny (egipski).
Ogólnie rzecz biorąc, liczby, dla których przeprowadza się równość , Zadzwoń do Pitagora Troiki. A trójkąty, których długości boków wyraża się przez wojska Pythagora (6, 8, 10), - trójkątów Pitagora.
Zapięcie.
Dlatego , potem trójkąt ze stronami 12, 13, 5 nie jest prostokątny.
Dlatego , potem trójkąt ze stronami 1, 5, 6 jest prostokątny.
№ 430 (A, B, B)
( - nie jest)
Lekcja celów:
Edukacyjna: formułować i udowodnić twierdzenie Pitagora i twierdzenia, odwróconego twierdzenia Pitagoreo. Pokaż swoje historyczne i praktyczne znaczenie.
Rozwijanie: rozwijaj uwagę, pamięć, myślenie logiczne o studentach, możliwości rozumowania, porównania, wyciągnąć wnioski.
Rising: Aby edukować zainteresowanie i miłość do tematu, dokładności, zdolność do słuchania towarzyszy i nauczycieli.
Wyposażenie: Portret Pitagora, Plakaty z zadaniami do konsolidacji, podręcznika "Geometria" 7-9 klasy (I.f. Sharygin).
Plan lekcji:
I. Moment organizacyjny - 1 min.
II. Sprawdzanie pracy domowej - 7 min.
III. Słowo wstępne nauczyciela, historyczne odniesienie - 4-5 min.
IV. Sformułowanie i dowód twierdzenia Pitagore wynoszą 7 minut.
V. Sformułowanie i dowód twierdzenia, odwrotny twierdzenie Pitagora - 5 min.
Zapięcie nowego materiału:
a) ustny - 5-6 min.
b) Pisanie - 7-10 minut.
Vii. Praca domowa - 1 min.
Viii. Podsumowując lekcję - 3 minuty.
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny.
II. Sprawdź swoją pracę domową.
str.7.1, nr 3 (w tablicach na gotowym rysunku).
Stan: schorzenie: Wysokość trójkąta prostokątnego dzieli hipotenuse na segmentach długości 1 i 2. Znajdź cewki tego trójkąta.
Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; Bd \u003d a 1; Da \u003d b 1; CD \u003d H C
Dodatkowe pytanie: Napisz relacje w trójkącie prostokątnym.
p.7.1, No. 5. Wytnij trójkąt prostokątny do trzech podobnych trójkątów.
Wyjaśnić.
Asn ~ abc ~ sn
(zwróć uwagę uczniów do poprawności rejestracji odpowiednich wierzchołków takich trójkątów)
III. Wewnętrzne słowo nauczyciela, historyczne odniesienie.
Stała prawda będzie, jak tylko słaba osoba ją znała!
A teraz twierdzenie Pitagora jest prawdziwe, jak w dalekim wieku.
Nie był przypadkiem, że rozpocząłem lekcję ze słów niemieckiego pisarza powieściowego Shamisso. Nasza lekcja jest dzisiaj poświęcona twierdzeniu Pitagora. Piszemy temat lekcji.
Przed tobą portret Wielkiego Pitagorasa. Urodzony w 576 pne. Mieszkał 80 lat, zmarł w 496 do naszej epoki. Znany jako starożytny grecki filozof i nauczyciel. Był synem Menarch Merchant, który często go zabrał go na wycieczki, dzięki czemu chłopiec miał inkwizytów i pragnienie poznania nowego. Pitagoras jest pseudonimem nadanym mu dla elokwencji ("Pitagoras" oznacza "Jestem przekonujący mowę"). On sam nie napisał nic. Wszystkie jego myśli odnotowały swoje uczniów. W wyniku pierwszego wykładu, Pythagora nabył 2000 studentów, którzy wraz z ich żonami i dziećmi, utworzyli ogromną szkołę i stworzyli stan zwany "wielką Grecją", która opiera się na przepisach i zasadach Pitagora, czcionymi jako boską Przykazania. Był pierwszym, który zadzwonił do rozumowania na temat znaczenia życia filozofii (Lyubomatriy). Był skłonny do mistyfikacji i demonstracji w zachowaniu. Raz, Pythagoras ukrył pod ziemią i wszystko dzieje się z matki. Następnie, zwiędłe jak szkielet, stwierdził w zgromadzeniu ludowym, który był w AIDA i pokazał niesamowitą świadomość ziemskich wydarzeń. Dla tych dotkniętych mieszkańców uznali go przez Boga. Pitagoras nigdy nie płakał i był na ogół niedostępny przez namiętności i podniecenia. Wierzył, że pochodzi z nasion, najlepiej stosunkowo z człowiekiem. Całe życie Pythagora jest legendą, która przyszła do naszego czasu i powiedział nam o utalentowanym człowieku starożytnego świata.
IV. Sformułowanie i dowód twierdzenia Pitagoreo.
Sformułowanie twierdzenia Pythagore jest znane z przebiegu algebry. Pamiętajmy to.
W prostokątnym trójkącie, kwadrat hipotenusu jest równy sumie kwadratów cewetów.
Jednak ten teorem znał wiele lat przed Pitagorem. Przez 1500 lat przed Pyphagorem starożytni Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt z partiami 3, 4 i 5 jest prostokątny i używał tej nieruchomości do budowy bezpośrednich rogów podczas planowania działek i budynków budowlanych. W najbardziej starożytnych czasach, chiński esej matematyczny-astronomiczny "Zhiu-bi", napisany za 600 lat przed Pitagorą, między innymi propozycjami odnoszących się do trójkąta prostokątnego, zawiera twierdzenie pytagora. Wcześniej te teore był znany hindusem. W ten sposób Pitagoras nie otworzył tej właściwości trójkąta prostokątnego, prawdopodobnie najpierw udało mu się podsumować i udowodnić, tłumaczyć go z praktyki uprawiania nauki.
Z głęboką starożytnością matematyki stwierdzono coraz więcej dowodów na twierdzenie Pitagoreo. Wiadomo ponad półtorej setki. Pamiętajmy o algebraicznym dowodzie twierdzenia Pitagora, znanego nam z przebiegu algebry. ("Matematyka. Algebra. Funkcje. Analiza danych" G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000 g).
Zaproponuj uczniów, aby zapamiętali dowód na rysunek i napisać go na tablicy.
(A + B) 2 \u003d 4 · 1/2 A * B + C2 B A
a 2 + 2A * B + B2 \u003d 2A * B + C2
a 2 + B 2 \u003d C2 A A B
Starożytni Indianie, którzy posiadali to rozumowanie, zwykle nie były rejestrowane, i towarzyszył rysowaniu tylko jednym słowem: "Wygląd".
Rozważ w nowoczesnej prezentacji jeden z dowodów należących do Pitagora. Na początku lekcji pamiętaliśmy twierdzenie o wskaźnikach w trójkącie prostokątnym:
h 2 \u003d 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * z B 2 \u003d B 1 *
Przenoszenie ostatnich ostatnich dwóch równości:
b2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C1 \u003d C * C \u003d C2; A 2 + B 2 \u003d C2
Pomimo pozornej prostoty tego dowodu jest daleko od najprostszych. W końcu tego konieczne było wydawanie wysokości w prostokątnym trójkącie i rozważyć takie trójkąty. Zapisz, proszę, jest to dowód w notebooku.
V. Sformułowanie i dowód twierdzenia, twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
A co theorem nazywany jest do tego odwrotnie? (... jeśli stan i wnioski zmienią miejsca).
Spróbujmy teraz sformułować twierdzenie, odwróconego twierdzenia Pitagoreo.
Jeśli trójkąt z bokami A, B i C jest wykonywany z równością C2 \u003d A 2 + B2, to ten trójkąt jest prostokątny, a prosty kąt jest przeciwny boku.
(Dowód twierdzenia odwrotnego na plakatu)
Abc, sun \u003d a,
AC \u003d B, VA \u003d s.
a 2 + B 2 \u003d C2
Okazać się
Abc - prostokątny,
Dowód:
Rozważ prostokątny trójkąt 1 w 1 C 1,
gdzie od 1 \u003d 90 ° i 1 s 1 \u003d a i 1 s 1 \u003d b.
Następnie, zgodnie z twierdzeniem pytagora w 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C2.
To znaczy w 1 A 1 \u003d C 1 w 1 C 1 \u003d ABC dla trzech stron ABC - prostokątny
C \u003d 90 °, który był wymagany do udowodnienia.
Vi. Naprawianie badanego materiału (doustnie).
1. Na plakatu z gotowymi rysunkami.
|
|
|
Rys.1: Znajdź reklam, jeśli CD \u003d 8, VA \u003d 30 °.
Rys.2: Znajdź płytę CD, jeśli my \u003d 5, Way \u003d 45 °.
Rys.3: Znajdź VD, jeśli Sun \u003d 17, AD \u003d 16.
2. Czy trójkąt jest prostokątny, jeśli jego strony są wyrażone przez liczby:
5 2 + 6 2? 7 2 (Nie) |
9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (tak) |
15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (tak) |
Jakie są trzy najlepsze liczby w dwóch ostatnich przypadkach? (Pitagoras).
Vi. Rozwiązywanie zadań (pisanie).
№ 9. Strona trójkąta równoważnego jest równa. Znajdź wysokość tego trójkąta, promień opisanego okręgu, promień kółka wpisanego.
№ 14. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym, promień opisany obwód jest równy medianie przeprowadzonym przeciwko przeciwprądowym i jest równa połowie przeciwprosta.
Vii. Zadanie domowe.
Ustęp 7.1, PP. 175-177, demontaż twierdzenia 7.4 (uogólnione twierdzenie Pitagori), nr 1 (doustnie), nr 2, nr 4.
Viii. Wyniki lekcji.
Jaki nowy wiesz dzisiaj na lekcji? ............
Pitagoras był przede wszystkim filozofem. Teraz chcę przeczytać kilka swoich czeków, istotnych i w naszych czasach dla nas z tobą.
- Nie podnoszą kurzu na ścieżce życia.
- Zrób to, że później nie zdenerwuje cię i nie pasuje do żałoby.
- Nie rób tego, czego nie wiesz, ale dowiedz się, co powinieneś wiedzieć, a potem poprowadzisz ciche życie.
- Nie zamykaj oczu, gdy chcę spać, nie podnoś wszystkich swoich działań w ostatnim dniu.
- Weźmy na żywo tylko i bez luksusu.
