Równanie oscylacji harmonicznych ma postać. Drgania harmoniczne (równanie, charakterystyka, wykres)

Podstawy teorii Maxwella dla pola elektromagnetycznego

Wirowe pole elektryczne

Z prawa Faradaya ξ=dФ/dt wynika z tego każdy zmiana strumienia indukcji magnetycznej związanej z obwodem prowadzi do pojawienia się elektromotorycznej siły indukcji, w wyniku czego pojawia się prąd indukcyjny. W związku z tym wystąpienie emf. Indukcja elektromagnetyczna jest możliwa także w obwodzie stacjonarnym znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym. Jednak e.m.f. w dowolnym obwodzie występuje tylko wtedy, gdy na znajdujące się w nim nośniki prądu działają siły zewnętrzne - siły pochodzenia nieelektrostatycznego (patrz § 97). Powstaje zatem pytanie o charakter sił zewnętrznych w tym przypadku.

Doświadczenie pokazuje, że te zewnętrzne siły nie są związane ani z procesami termicznymi, ani chemicznymi zachodzącymi w obwodzie; ich wystąpienia również nie można wytłumaczyć siłami Lorentza, ponieważ nie działają one na ładunki stacjonarne. Maxwell postawił hipotezę, że każde zmienne pole magnetyczne wzbudza pole elektryczne w otaczającej przestrzeni, co

i jest przyczyną występowania prądu indukowanego w obwodzie. Według pomysłów Maxwella obwód, w którym pojawia się SEM, pełni rolę drugorzędną, będąc swego rodzaju jedynie „urządzeniem” wykrywającym to pole.

pierwsze równanie Maxwell twierdzi, że zmiany pola elektrycznego generują wirowe pole magnetyczne.

Drugie równanie Maxwell wyraża prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya: Siła emf w dowolnej zamkniętej pętli jest równa szybkości zmian (tj. pochodnej czasu) strumienia magnetycznego. Ale pole elektromagnetyczne jest równe składowej stycznej wektora natężenia pola elektrycznego E, pomnożonej przez długość obwodu. Aby przejść do wirnika, jak w pierwszym równaniu Maxwella, wystarczy podzielić emf przez pole konturu i skierować ten ostatni do zera, czyli wziąć mały kontur pokrywający rozpatrywany punkt w przestrzeni (ryc. 9, c). Następnie po prawej stronie równania nie będzie już strumienia, ale indukcja magnetyczna, ponieważ strumień jest równy indukcji pomnożonej przez powierzchnię obwodu.
Otrzymujemy więc: rotE = - dB/dt.
Zatem wirowe pole elektryczne generowane jest przez zmiany pola magnetycznego, co pokazano na ryc. 9, c i jest reprezentowane przez podany właśnie wzór.
Równanie trzecie i czwarte Maxwell zajmuje się ładunkami i generowanymi przez nie polami. Opierają się one na twierdzeniu Gaussa, które stwierdza, że ​​strumień wektora indukcji elektrycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi znajdującemu się wewnątrz tej powierzchni.

Cała nauka opiera się na równaniach Maxwella - elektrodynamice, która umożliwia rozwiązanie wielu przydatnych problemów praktycznych przy użyciu rygorystycznych metod matematycznych. Można na przykład obliczyć pole promieniowania różnych anten zarówno w wolnej przestrzeni, jak i w pobliżu powierzchni Ziemi lub w pobliżu korpusu statku powietrznego, na przykład samolotu lub rakiety. Elektrodynamika umożliwia obliczenia konstrukcji falowodów i rezonatorów wnękowych – urządzeń stosowanych przy bardzo wysokich częstotliwościach w zakresie fal centymetrowych i milimetrowych, gdzie nie sprawdzają się już konwencjonalne linie przesyłowe i obwody oscylacyjne. Bez elektrodynamiki rozwój radarów, kosmicznej radiokomunikacji, technologii antenowej i wielu innych dziedzin współczesnej radiotechniki byłby niemożliwy.

Prąd polaryzacji

PRĄD PRZESUNIĘCIA, wartość proporcjonalna do szybkości zmian przemiennego pola elektrycznego w dielektryku lub próżni. Nazwa „prąd” wynika z faktu, że prąd przemieszczenia, podobnie jak prąd przewodzenia, generuje pole magnetyczne.

Konstruując teorię pola elektromagnetycznego, J. C. Maxwell postawił hipotezę (potwierdzoną później eksperymentalnie), że pole magnetyczne powstaje nie tylko w wyniku ruchu ładunków (prądu przewodzenia, czyli po prostu prądu), ale także każdej zmiany czasu pole elektryczne.

Pojęcie prądu przemieszczenia zostało wprowadzone przez Maxwella w celu ustalenia ilościowych zależności pomiędzy zmieniającym się polem elektrycznym a polem magnetycznym, które ono powoduje.

Zgodnie z teorią Maxwella, w obwodzie prądu przemiennego zawierającym kondensator zmienne pole elektryczne w kondensatorze w każdej chwili wytwarza to samo pole magnetyczne, które wytwarzałoby prąd (zwany prądem przemieszczenia), gdyby płynął pomiędzy płytkami kondensator. Z tej definicji wynika, że Jcm = J(tj. wartości liczbowe gęstości prądu przewodzenia i gęstości prądu przemieszczenia są równe), w związku z czym linie gęstości prądu przewodzenia wewnątrz przewodnika w sposób ciągły przekształcają się w linie gęstości prądu przemieszczenia pomiędzy płytami kondensatora. Gęstość prądu polaryzacji jcm charakteryzuje szybkość zmian indukcji elektrycznej D w samą porę:

J cm = + ?D/?t.

Prąd przemieszczenia nie emituje ciepła Joule'a, jego główną właściwością fizyczną jest zdolność do wytwarzania pola magnetycznego w otaczającej przestrzeni.

Wirowe pole magnetyczne jest wytwarzane przez całkowity prąd, którego gęstość wynosi J, jest równa sumie gęstości prądu przewodzenia i prądu przemieszczenia?D/?t. Dlatego też dla wielkości ?D/?t wprowadzono nazwę prąd.

Oscylator harmoniczny jest układem drgającym, opisanym wyrażeniem postaci d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 lub

gdzie dwie kropki powyżej oznaczają podwójne różniczkowanie w czasie. Oscylacje oscylatora harmonicznego są ważnym przykładem ruchu okresowego i służą jako dokładny lub przybliżony model w wielu zagadnieniach fizyki klasycznej i kwantowej. Przykładami oscylatorów harmonicznych są wahadła sprężynowe, wahadła fizyczne i matematyczne oraz obwód oscylacyjny (dla prądów i napięć tak małych, że elementy obwodu można uznać za liniowe).

Wibracje harmoniczne

Oprócz ruchów translacyjnych i obrotowych ciał w mechanice, duże zainteresowanie budzą także ruchy oscylacyjne. Wibracje mechaniczne nazywane są ruchy ciał, które powtarzają się dokładnie (lub w przybliżeniu) w równych odstępach czasu. Prawo ruchu ciała wibrującego określa się za pomocą pewnej okresowej funkcji czasu X = F (T). Graficzna reprezentacja tej funkcji daje wizualną reprezentację przebiegu procesu oscylacyjnego w czasie.

Przykładami prostych układów oscylacyjnych są obciążenie sprężyny lub wahadło matematyczne (rys. 2.1.1).

Mogą to być wibracje mechaniczne, podobnie jak procesy oscylacyjne o dowolnym innym charakterze fizycznym bezpłatny I wymuszony. Wibracje swobodne popełniane są pod wpływem siły wewnętrzne układu po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi. Drgania ciężarka na sprężynie lub wahadła są drganiami swobodnymi. Wibracje występujące pod wpływem zewnętrzny nazywane są okresowo zmieniające się siły wymuszony Najprostszy rodzaj procesów oscylacyjnych jest prosty drgania harmoniczne , które są opisane równaniem

Częstotliwość oscylacji F pokazuje, ile oscylacji występuje w ciągu 1 s. Jednostka częstotliwości – herc(Hz). Częstotliwość oscylacji F związane z częstotliwością cykliczną ω i okresem oscylacji T proporcje:

podaje zależność zmiennej wielkości S od czasu T; jest to równanie swobodnych oscylacji harmonicznych w postaci jawnej. Zwykle jednak równanie drgań jest rozumiane jako inna reprezentacja tego równania, w postaci różniczkowej. Dla pewności przyjmiemy równanie (1) w postaci

Zróżniczkujmy to dwukrotnie ze względu na czas:

Można zauważyć, że zachodzi następująca zależność:

co nazywa się równaniem swobodnych oscylacji harmonicznych (w postaci różniczkowej). Równanie (1) jest rozwiązaniem równania różniczkowego (2). Ponieważ równanie (2) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, do uzyskania pełnego rozwiązania (czyli wyznaczenia stałych zawartych w równaniu (1) potrzebne są dwa warunki początkowe A i j0); na przykład położenie i prędkość układu oscylacyjnego w T = 0.

Dodanie drgań harmonicznych o tym samym kierunku i tej samej częstotliwości. Bije

Niech będą dwie oscylacje harmoniczne o tym samym kierunku i tej samej częstotliwości

Równanie wynikowych oscylacji będzie miało postać

Sprawdźmy to dodając równania układu (4.1)

Zastosowanie twierdzenia o sumie cosinusów i wykonanie przekształceń algebraicznych:

Można znaleźć wartości A i φ0 takie, że równania są spełnione

Rozważając (4.3) jako dwa równania z dwiema niewiadomymi A i φ0, podnosząc je do kwadratu i dodając, a następnie dzieląc drugie przez pierwsze:

Podstawiając (4.3) do (4.2) otrzymujemy:

Lub wreszcie, korzystając z twierdzenia o sumie cosinus, mamy:

Ciało uczestniczące w dwóch oscylacjach harmonicznych o tym samym kierunku i tej samej częstotliwości wykonuje również oscylację harmoniczną w tym samym kierunku i z tą samą częstotliwością, co oscylacje dodane. Amplituda powstałych oscylacji zależy od różnicy faz (φ2-φ1) wygładzonych oscylacji.

W zależności od różnicy faz (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), wówczas A= A1+A2, czyli amplituda powstałego drgania A jest równa sumie amplitud drgań dodanych;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), wówczas A= |A1-A2|, czyli amplituda powstałych oscylacji jest równa różnicy w amplitudach dodanych oscylacji

Okresowe zmiany amplitudy drgań, które występują po dodaniu dwóch drgań harmonicznych o podobnych częstotliwościach, nazywane są dudnieniami.

Niech te dwie oscylacje różnią się nieznacznie częstotliwością. Wtedy amplitudy dodanych oscylacji są równe A, a częstotliwości są równe ω i ω+Δω, a Δω jest znacznie mniejsze niż ω. Punkt początkowy wybieramy tak, aby początkowe fazy obu oscylacji były równe zeru:

Rozwiążmy system

Rozwiązanie systemowe:

Powstałe oscylacje można uznać za harmoniczne z częstotliwością ω i amplitudą A, która zmienia się zgodnie z następującym prawem okresowości:

Częstotliwość zmian A jest dwukrotnie większa od częstotliwości zmian cosinusa. Częstotliwość dudnień jest równa różnicy częstotliwości dodanych oscylacji: ωb = Δω

Okres uderzeń:

Wyznaczanie częstotliwości tonu (dźwięku o określonej wysokości taktu poprzez odniesienie i zmierzone drgania) jest najpowszechniej stosowaną metodą porównywania wartości zmierzonej z wartością odniesienia. Metoda dudnienia stosowana jest do strojenia instrumentów muzycznych, analizy słuchu itp. .

Powiązana informacja.

Oscylacje powstające pod wpływem zewnętrznych, okresowo zmieniających się sił (przy okresowym dostarczaniu energii z zewnątrz do układu oscylacyjnego)

Konwersja energii

Wahadło sprężynowe

Częstotliwość cykliczna i okres oscylacji są równe odpowiednio:

Punkt materialny przymocowany do doskonale sprężystej sprężyny

Ø wykres zależności energii potencjalnej i kinetycznej wahadła sprężystego od współrzędnej x.

Ø jakościowe wykresy energii kinetycznej i potencjalnej w funkcji czasu.

Ø Wymuszony

Ø Częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości zmian siły zewnętrznej

Ø Jeśli Fbc zmieni się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, wówczas wymuszone oscylacje będą harmoniczne

Ø W przypadku samooscylacji konieczne jest okresowe dostarczanie energii z własnego źródła w układzie oscylacyjnym

Oscylacje harmoniczne to oscylacje, w których wielkość oscylacyjna zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa

równania oscylacji harmonicznych (prawa ruchu punktów) mają postać

Wibracje harmoniczne nazywane są takimi oscylacjami, w których wielkość oscylacyjna zmienia się w czasie zgodnie z prawemsinus Lubcosinus .
Równanie harmoniczne ma postać:

,
gdzie - amplituda drgań (wielkość największego odchylenia układu od położenia równowagi); -częstotliwość kołowa (cykliczna). Nazywa się okresowo zmieniający się argument cosinusa faza oscylacji . Faza oscylacji określa przemieszczenie wielkości oscylacyjnej z położenia równowagi w zadanym czasie t. Stała φ reprezentuje wartość fazy w chwili t = 0 i jest nazywana początkowa faza oscylacji . Wartość fazy początkowej zależy od wyboru punktu odniesienia. Wartość x może przyjmować wartości z zakresu od -A do +A.
Przedział czasu T, w którym powtarzają się określone stany układu oscylacyjnego, zwany okresem oscylacji . Cosinus jest funkcją okresową o okresie 2π, zatem w okresie czasu T, po którym faza drgań otrzyma przyrost równy 2π, stan układu wykonującego oscylacje harmoniczne powtórzy się. Ten okres czasu T nazywany jest okresem oscylacji harmonicznych.
Okres oscylacji harmonicznych jest równy : T = 2π/.
Nazywa się liczbą oscylacji w jednostce czasu częstotliwość wibracji ν.
Częstotliwość harmoniczna jest równa: ν = 1/T. Jednostka częstotliwości herc(Hz) - jedna oscylacja na sekundę.
Częstotliwość kołowa = 2π/T = 2πν podaje liczbę oscylacji w ciągu 2π sekund.

Uogólnione oscylacje harmoniczne w postaci różniczkowej

Graficznie oscylacje harmoniczne można przedstawić jako zależność x od t (rys. 1.1.A), oraz metoda amplitudy obrotowej (metoda diagramów wektorowych)(Rys.1.1.B) .

Metoda amplitudy obrotowej pozwala na wizualizację wszystkich parametrów wchodzących w skład równania drgań harmonicznych. Rzeczywiście, jeśli wektor amplitudy A położony pod kątem φ do osi x (patrz rysunek 1.1. B), to jego rzut na oś x będzie równy: x = Acos(φ). Kąt φ jest fazą początkową. Jeśli wektor A wprowadzić w obrót z prędkością kątową równą kołowej częstotliwości oscylacji, wówczas rzut końca wektora będzie przemieszczał się wzdłuż osi x i przyjmował wartości z zakresu od -A do +A, a współrzędna tego rzutu będzie zmieniać się w czasie zgodnie z prawem:
.
Zatem długość wektora jest równa amplitudzie oscylacji harmonicznej, kierunek wektora w momencie początkowym tworzy kąt z osią x równy początkowej fazie oscylacji φ, a zmiana kąta kierunku z czasem jest równy fazie oscylacji harmonicznych. Czas, w którym wektor amplitudy wykonuje jeden pełny obrót, jest równy okresowi T drgań harmonicznych. Liczba obrotów wektora na sekundę jest równa częstotliwości oscylacji ν.

Równanie drgań harmonicznych

Równanie oscylacji harmonicznych ustala zależność współrzędnych ciała od czasu

Wykres cosinus w chwili początkowej ma wartość maksymalną, a wykres sinus ma w chwili początkowej wartość zerową. Jeśli zaczniemy badać oscylację od położenia równowagi, wówczas oscylacja będzie powtarzać sinusoidę. Jeżeli zaczniemy rozważać oscylację od położenia maksymalnego odchylenia, to oscylację opiszemy cosinusem. Lub takie oscylacje można opisać wzorem sinusoidalnym z fazą początkową.

Zmiana prędkości i przyspieszenia podczas oscylacji harmonicznych

Nie tylko współrzędna ciała zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa. Ale wielkości takie jak siła, prędkość i przyspieszenie również zmieniają się w podobny sposób. Siła i przyspieszenie są maksymalne, gdy ciało oscylacyjne znajduje się w skrajnych położeniach, w których przemieszczenie jest maksymalne, i wynoszą zero, gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi. Natomiast prędkość w skrajnych położeniach wynosi zero, a gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi, osiąga wartość maksymalną.

Jeśli oscylację opisuje prawo cosinusa

Jeżeli oscylację opisujemy zgodnie z prawem sinusoidalnym

Maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia

Analizując równania zależności v(t) i a(t) możemy się domyślić, że prędkość i przyspieszenie przyjmują wartości maksymalne w przypadku, gdy współczynnik trygonometryczny jest równy 1 lub -1. Określone przez formułę

Oscylacje harmoniczne to zjawisko okresowej zmiany dowolnej wielkości, w którym zależność od argumentu ma charakter funkcji sinus lub cosinus. Na przykład wielkość oscyluje harmonijnie i zmienia się w czasie w następujący sposób:

gdzie x jest wartością zmieniającej się wielkości, t jest czasem, pozostałe parametry są stałe: A jest amplitudą oscylacji, ω jest częstotliwością cykliczną oscylacji, jest pełną fazą oscylacji, jest początkową fazą oscylacji.

Uogólnione oscylacje harmoniczne w postaci różniczkowej

(Każde nietrywialne rozwiązanie tego równania różniczkowego jest oscylacją harmoniczną z częstotliwością cykliczną)

Rodzaje wibracji

Drgania swobodne powstają pod wpływem sił wewnętrznych układu po wyjęciu układu z położenia równowagi. Aby drgania swobodne były harmoniczne, konieczne jest, aby układ oscylacyjny był liniowy (opisany liniowymi równaniami ruchu) i nie następowała w nim strata energii (to by spowodowałoby tłumienie).

Drgania wymuszone powstają pod wpływem zewnętrznej siły okresowej. Aby były harmoniczne wystarczy, że układ oscylacyjny jest liniowy (opisany liniowymi równaniami ruchu), a sama siła zewnętrzna zmienia się w czasie jako oscylacja harmoniczna (czyli zależność czasowa tej siły jest sinusoidalna) .

Równanie harmoniczne

Równanie (1)

podaje zależność wartości zmiennej S od czasu t; jest to równanie swobodnych oscylacji harmonicznych w postaci jawnej. Zwykle jednak równanie drgań jest rozumiane jako inna reprezentacja tego równania, w postaci różniczkowej. Dla pewności przyjmiemy równanie (1) w postaci

Zróżniczkujmy to dwukrotnie ze względu na czas:

Można zauważyć, że zachodzi następująca zależność:

co nazywa się równaniem swobodnych oscylacji harmonicznych (w postaci różniczkowej). Równanie (1) jest rozwiązaniem równania różniczkowego (2). Ponieważ równanie (2) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, do uzyskania pełnego rozwiązania potrzebne są dwa warunki początkowe (czyli określenie stałych A i   zawartych w równaniu (1); na przykład położenie i prędkość układu oscylacyjnego w chwili t = 0.

Wahadło matematyczne to oscylator, który jest układem mechanicznym składającym się z punktu materialnego umieszczonego na nieważkiej, nierozciągliwej nitce lub na nieważkim pręcie w jednolitym polu sił grawitacyjnych. Okres małych drgań własnych wahadła matematycznego o długości l, nieruchomo zawieszonego w jednorodnym polu grawitacyjnym z przyspieszeniem swobodnego spadania g, wynosi

i nie zależy od amplitudy i masy wahadła.

Wahadło fizyczne to oscylator, czyli ciało stałe, które drga w polu dowolnych sił względem punktu niebędącego środkiem masy tego ciała lub stałą osią prostopadłą do kierunku działania sił, a nie przechodzi przez środek masy tego ciała.

Najprostszym rodzajem oscylacji są drgania harmoniczne- oscylacje, w których przemieszczenie punktu drgającego z położenia równowagi zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa.

Zatem przy równomiernym obrocie kuli po okręgu, jej rzut (cień w równoległych promieniach światła) wykonuje harmoniczny ruch oscylacyjny na pionowym ekranie (ryc. 1).

Przemieszczenie z położenia równowagi podczas drgań harmonicznych opisuje równanie (nazywane prawem kinematycznym ruchu harmonicznego) postaci:

gdzie x jest przemieszczeniem – wielkością charakteryzującą położenie punktu drgającego w chwili t względem położenia równowagi i mierzoną odległością od położenia równowagi do położenia punktu w danym momencie; A - amplituda drgań - maksymalne przemieszczenie ciała z położenia równowagi; T - okres oscylacji - czas jednego pełnego oscylacji; te. najkrótszy okres czasu, po którym powtarzają się wartości wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje; - faza początkowa;

Faza oscylacji w chwili t. Faza drgań jest argumentem funkcji okresowej, która dla zadanej amplitudy drgań określa stan układu oscylacyjnego (przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie) ciała w dowolnym momencie.

Jeżeli w początkowej chwili punkt drgający zostanie maksymalnie przesunięty z położenia równowagi, to , a przemieszczenie punktu z położenia równowagi zmienia się zgodnie z zasadą

Jeżeli punkt drgań w znajduje się w położeniu równowagi stabilnej, to przemieszczenie punktu z położenia równowagi zmienia się zgodnie z prawem

Wartość V, będąca odwrotnością okresu i równa liczbie pełnych oscylacji wykonanych w ciągu 1 s, nazywana jest częstotliwością oscylacji:

Jeżeli w czasie t ciało wykona N pełnych drgań, to

Rozmiar pokazujące, ile drgań wykonuje ciało w s, nazywa się częstotliwość cykliczna (okrągła)..

Kinematyczne prawo ruchu harmonicznego można zapisać jako:

Graficznie zależność przemieszczenia punktu oscylacyjnego od czasu jest reprezentowana przez falę cosinus (lub falę sinusoidalną).

Rysunek 2 a przedstawia wykres zależności czasowej przemieszczenia punktu oscylacyjnego od położenia równowagi dla tego przypadku.

Przekonajmy się, jak prędkość punktu oscylującego zmienia się w czasie. Aby to zrobić, znajdujemy pochodną czasową tego wyrażenia:

gdzie jest amplitudą rzutu prędkości na oś x.

Ze wzoru tego wynika, że ​​podczas oscylacji harmonicznych rzut prędkości ciała na oś x również zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym z tą samą częstotliwością, z różną amplitudą i wyprzedza przesunięcie fazowe o (rys. 2, b ).

Aby wyjaśnić zależność przyspieszenia, znajdujemy pochodną po czasie rzutu prędkości:

gdzie jest amplitudą rzutu przyspieszenia na oś x.

W przypadku oscylacji harmonicznych rzut przyspieszenia wyprzedza przesunięcie fazowe o k (ryc. 2, c).

W podobny sposób można tworzyć wykresy zależności