Jak mnożyć Matrix 2x2. Maplication Matrix.

Pierwszy kurs, wyższa matematyka, studiujemy matryjscy. i podstawowe działania na nich. Tutaj systematyzujemy podstawowe operacje, które można prowadzić z matrycami. Jak rozpocząć znajomość matrycami? Oczywiście, z najprostszymi definicjami, podstawowymi koncepcjami i najprostszymi działaniami. Zapewniamy, że matryce zrozumieją wszystko, kto da im przynajmniej trochę czasu!

Definicja matrycy

Macierz - Jest to prostokątny stół elementów. Cóż, jeśli prosty język jest tabelą liczb.

Zwykle macierze są wyznaczane przez kapitałowe litery łacińskie. Na przykład matryca ZA. , macierz B. itp. Matryce mogą być o różnych rozmiarach: prostokątne, kwadratowe, istnieją również struny matrycowe i matryce kolumnowe, zwane wektory. Rozmiar matrycy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład napisz matrycę o rozmiarze prostokątnym m. na n. gdzie m. - liczba linii i n. - Liczba kolumn.

Elementy, dla których i \u003d jot. (a11, A22, .. ) Tworząc główną przekątną matrycy i nazywa się przekątną.

Co można zrobić z matrycami? Fałd / odliczenie, pomnóż przez numer, pomnóż wśród siebie., transponować. Teraz o wszystkich tych podstawowych operacjach na matryce w porządku.

Operacje dodawania i odejmowania matryc

Natychmiast ostrzegł, że możesz dodać tylko matryce tego samego rozmiaru. W rezultacie będzie matryca tego samego rozmiaru. Do składania (lub odliczenia) matryca jest prosta - Wystarczy złożyć odpowiednie elementy . Daj nam przykład. Wykonaj dodawanie dwóch macierzy a w dwóch dwóch.

Odejmowanie jest wykonywane przez analogię, tylko z przeciwnym znakiem.

Możesz pomnożyć dowolną matrycę na dowolnej liczbie. Aby to zrobić, musisz pomnożyć przez ten numer każdego elementu. Na przykład pomnożyć matrycę A od pierwszego przykładu numer 5:

Matrix operacja mnożenia

Nie wszystkie matryce będą możliwe do pomnożenia. Na przykład mamy dwie macierzy - A i b. Można je pomnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn matrycy jest równa liczbie linii macierzy B. w tym samym czasie każdy element powstałej matrycy, stojących w wierszu I-TH i kolumnie J-M, będzie równe ilości produktów odpowiednich elementów w pierwszym wierszu pierwszego czynnika i kolumny J-M drugiego. Aby zrozumieć ten algorytm, zapisz, ponieważ dwa kwadratowe macierze są mnożone:

I przykład z liczbami rzeczywistymi. Multiply Matrix:

Transponing Matrix Operation.

Transpozycja matrycy jest operacja, gdy odpowiednie linie i kolumny są zmieniane w miejscach. Na przykład przepraszamy matrycę A od pierwszego przykładu:

Determinant matrycy

Determinant o wyznaczniku - jedna z podstawowych koncepcji liniowej algebry. Gdy ludzie wymyślili równania liniowe, a determinant musiał ich wymyślić. W rezultacie musisz sobie poradzić z tym wszystkim, więc ostatni szarpnięcie!

Determinant jest charakterystyką liczbową matrycy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu zadań.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej matrycy kwadratowej, konieczne jest obliczenie różnicy w pracach elementów przekątnych głównych i bocznych.

Determinant macierzy pierwszej kolejności, która składająca się z jednego elementu jest równa temu elemencie.

A jeśli matryca ma trzy do trzech? Jest już bardziej skomplikowany tutaj, ale możesz poradzić sobie.

W przypadku takiej matrycy wartość wyznacznika jest równa ilości produktów elementów głównej przekątnej i dzieł elementów trójkątów z linią równoległej przekątnej głównej, na której produkt elementów Boczna przekątna i produkt elementów leżących na trójkątach z aspektem równoległym do diagonału są odjęte.

Na szczęście, aby obliczyć determinanty o dużych rozmiarach matryc w praktyce, są rzadkie.

Tutaj spojrzeliśmy na podstawowe operacje na macierzy. Oczywiście, w prawdziwym życiu, nigdy nie jest możliwe spełnienie nawet normy systemu matrycowego równań lub odwrotnie - spotkać znacznie bardziej złożone przypadki, gdy musisz naprawdę złamać głowę. Jest to takie przypadki, że istnieje profesjonalna usługa studentów. Pomoc kontaktowa, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się uczenia się i wolny czas.

Jest to jedna z najczęstszych operacji z matrycami. Matryca, która otrzymuje się po mnożenia, nazywana jest produktem matryc.

Praca macierzy JESTEM. × N. na matrycy. B n. × K. Będzie matryca CM. × K. takie, że element macierzy DO.usytuowany jA.Linia I. jOT.- Która kolumna, tj. Przedmiot c ij. równa ilości prac elementów jA.Matrix LIAD LINE. ZA. na odpowiednich elementach jOT.Obie kolumny matrycy B..

Proces mnożenie matryc Jest to możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej matrycy jest równa liczbie ciąży drugiej matrycy.

Przykład:
Czy można pomnożyć matrycę na matrycy?

m \u003d.n.Tak więc można pomnożyć dane o macierzy.

Jeśli matryce zmieniają miejsca, a następnie, z takimi macierzami, mnożenie nie będzie możliwe.

m.≠ n.W ten sposób nie można wykonać mnożenia:

Dość często możesz spełnić zadania z sztuczką, gdy oferowany jest ucznia multiply Matrix.którego mnożenie jest oczywiście niemożliwe.

Należy pamiętać, że czasami możesz pomnożyć matrycę i tak. Na przykład dla matryc i ewentualnie jak mnożenie Mn.i mnożenie Nm.

To nie jest bardzo trudny efekt. Mnożenie matryc jest lepiej zrozumiałe na konkretnych przykładach, ponieważ Tylko definicja może być silnie zdezorienta.

Zacznijmy od najprostszego przykładu:

Należy pomnożyć przez. Przede wszystkim podajemy formułę do tego przypadku:

- Wzór jest dobrze śledzony tutaj.

Pomnożyć na.

Formuła do tego przypadku :.

Mnożenie matryc i wynik:

W rezultacie uzyskuje się tzw. macierz zerowy.

Bardzo ważne jest, aby pamiętać, że nie działa "zasadniczo przestrzegania miejsc" jak prawie zawsze Mn.≠ Nm.. Dlatego produkując działanie mnożenia matryc W żadnym przypadku nie można zmienić w miejscach.

Teraz rozważ przykłady mnożenia matryc trzecich:

Zwielokrotniać na .

Formuła jest bardzo podobna do przeszłości:

Rozwiązanie matrycowe: .

Jest to również najbardziej mnożenie matryc, tylko zamiast drugiej matrycy zajmuje prostą liczbę. Jak można odgadnąć, takie mnożenie jest znacznie łatwiejsze.

Przykład mnożenia matrycy według numeru:

Wszystko jest tutaj jasne - w celu pomnóż matrycę do numeru, Każdy element matrycy jest kolejno pomnożony do określonej liczby. W tym przypadku - przez 3.

Kolejny przydatny przykład:

- Mnożenie matrycy na numer ułamkowy.

Przede wszystkim pokażemy, co nie trzeba zrobić:

Podczas mnożenia matrycy na numerze ułamkowym nie musisz przenieść się do matrycy, ponieważ najpierw utrudnia tylko dalsze działanie z matrycą, po drugie, utrudnia sprawdzenie decyzji przez nauczyciela.

Ponadto nie jest konieczne udostępnianie każdego elementu matrycy na -7:

Co należy zrobić w tym przypadku - to minus w matrycy:

Gdybyś miał przykład, gdy wszystkie elementy matrycy zostaną podzielone na 7 bez pozostałości, możesz (i potrzebujesz!) Można podzielić.

W tym przykładzie można również pomnożyć wszystkie elementy matrycy na ½, ponieważ Każdy element matrycy jest podzielony na 2 bez pozostałości.

Uwaga: W teorii wyższej matematyki, koncepcja szkoły "Division" nie jest. Zamiast wyrażenia "jest to podzielone na to", zawsze można powiedzieć "pomnożyć przez frakcję". Oznacza to, że podział jest szczególnym przypadkiem mnożenia.

Tak więc, w poprzedniej lekcji zdemontowaliśmy zasady dodawania i odejmowania matryc. Są to takie proste operacje, które większość uczniów rozumie ich dosłownie z Go.

Jednak radujesz się wcześnie. Freebie się skończył - idź do mnożenia. Natychmiast cię ostrzegam: pomnóż dwie macierzy, nie pomnożą liczb w komórkach o tych samych współrzędnych, jakbyś mógł pomyśleć. Wszystko jest tutaj znacznie więcej zabawy. I zacząć od wstępnych definicji.

Konsekwentne matryce

Jedną z najważniejszych cech macierzy jest jego rozmiar. Rozmawialiśmy już o tym sto razy: rekord $ A \u003d Left [M \\ tmkwate Prawo] $ oznacza, że \u200b\u200bw macierzy dokładnie $ m $ rzędu i $ N $ kolumny. Jak nie mylić wierszy z kolumnami, już omówiliśmy. Teraz jest ważne.

Definicja. Matryce formy $ a \u003d lewej] $ i $ b \u003d lewe] $ i $ b \u003d Left [n razy k Prawy] $, w której liczba kolumn w pierwszej matrycy zbiega się z liczbą Wiersz w drugim, nazywa się koordynowany.

Po raz kolejny: liczba kolumn w pierwszej matrycy jest równa liczbie wierszy w drugiej! Stąd otrzymujemy dwa wyjścia naraz:

Jesteśmy ważni do kolejności matryc. Na przykład, matryce $ a \u003d lewe [3 razy 2 Prawo] $ i $ B \u003d Left [2 razy 5 Prawe] $ są uzgodnione (2 kolumny w pierwszej matrycy i 2 liniach w drugim) , ale wręcz przeciwnie - matryce $ b \u003d left [2 razy 5 Prawo] $ i $ A \u003d Left [3 razy 2 Prawo] $ - nie uzgodniono (już nie uzgodniono (5 kolumn w pierwszej matrycy - to nie 3 linie w drugim).
Spójność jest łatwa do sprawdzenia, czy zapisujesz wszystkie rozmiary po sobie. Na przykładzie poprzedniego akapitu: "3 2 2 5" - w środku te same liczby, więc uzgodniono matryce. Ale "2 5 3 2" - nie uzgodnione, ponieważ na środku są różne liczby.

Ponadto kapitan jest oczywiście oczywisty, że hines, że macierze kwadratowe o tej samej ilości $ pozostawione [N razy n Prawo] $ są zawsze spójne.

W matematyce, gdy procedura przenoszenia obiektów jest ważna (na przykład w powyższej definicji procedura macierzy jest ważna), często mówić o zamówionych parach. Spotkaliśmy się z nimi w szkole: myślę, że jest również jasne, że współrzędne $ pozostawione (1; 0 prawy) $ i $ Left (0; 1 prawy) $ Ustaw różne punkty w samolocie.

Tak więc: Współrzędne są również zamówione pary, które są kompilowane z liczb. Ale nic nie uniemożliwia takiej pary matryc. Następnie można powiedzieć: "Zamówona para $ left Matrices (A; B Prawa) $ jest spójna, jeśli liczba kolumn w pierwszej matrycy pokrywa się z liczbą wierszy w drugiej."

Cóż, więc co?

Definicja mnożenia

Rozważmy dwie spójne matryce: $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $ i $ B \u003d Left [n CZAS K Prawy] $. I definiujemy dla nich operacja mnożenia.

Definicja. Produkt dwóch spójnych macierzy $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $ i $ B \u003d Left [N razy k Prawy] $ to nowa matryca $ c \u003d left [m razy k Prawo] $, którego elementy są uważane za wzoru:

[Rozpocznij (wyrównuj) i ((c) _ (i; j)) \u003d ((a) _ (i; 1)) CDOT ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (I; 2)) CDOT ((b) _ (2; j)) + ldoty + ((a) _ (i; n)) CDOT ((b) _ (n; j)) \u003d & \u003d suma limitów_ (t \u003d 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) CDOT ((b) _ (t; j)))

Standard jest standardowy: $ C \u003d a Cdot B $.

Dla tych, którzy po raz pierwszy widzi tę definicję, natychmiast pojawiają się dwa pytania:

Co to jest tylko gra?
Dlaczego tak trudno jest?

Cóż, wszystko w porządku. Zacznijmy od pierwszego pytania. Co oznaczają wszystkie te indeksy? I jak nie popełniać błędu podczas pracy z prawdziwymi matrycami?

Przede wszystkim zauważamy, że długa linia do obliczania $ ((c) _ (I; J)) $ (szczególnie umieścić punkt z przecinkiem między indeksami, aby nie zostać zdezorientowany, ale w ogóle nie jest konieczne, aby je umieścić - sam zraniłem formułę w definicji) faktycznie sprowadza się do prostej reguły:

W pierwszej matrycy bierzemy linię $ I $ -un;
Wykonujemy kolumnę $ J $ -a w drugiej matrycy;
Dostajemy dwie sekwencje liczb. Alternuj elementy tych sekwencji o tych samych ilościach, a następnie złożyć otrzymane prace.

Ten proces jest łatwy do zrozumienia zdjęć:

Diagram mnożenia dwóch macierzy

Po raz kolejny: Naprawię linię $ I $ w pierwszej matrycy, kolumnę $ J $ w drugiej matrycy, obrócić elementy o tych samych liczbach, a następnie otrzymane prace są złożone - dostajemy $ ((c) _ ( IJ)) $. I tak za wszystkie 1 $ Le I (1 $ Le J ... Le K $. Te. Będzie suma $ k o takich "perwersji".

W rzeczywistości spotkaliśmy się już z mnożenie matryc w programie szkolnym, tylko w silnie przytulonej formie. Niech Let Let Your:

[Rozpocznij (wyrównuj) VEC (A) \u003d Left (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) prawo); \\\\ Prightarrow (b) \u003d lewy (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) prawo). Koniec (wyrównuj)]

Następnie ich praca skalarna będzie kwotą prac parami:

[Wyrośnie (a) Time Prightarrow (b) \u003d ((x) _ (a)) CDOT ((X) _ (b)) + ((y) _ (a)) CDOT ((Y) ) _ (b)) + ((z) _ (a)) CDOT ((Z) _ (b))

W rzeczywistości, w tych odległych latach, kiedy drzewa były zielone, a niebo jest jaśniejsze, jesteśmy po prostu mnożone przez Ciąg Vector $ Prightarrow na wektorze $ Prightarrow (b) $ kolumny.

Dzisiaj nic się nie zmieniło. Właśnie teraz te wiersze i kolumny stały się więcej.

Ale wystarczająca teoria! Spójrzmy na prawdziwe przykłady. I zacznij od najprostszego przypadku - matryc kwadratowych.

Mnożenie matryc kwadratowych.

Zadanie 1. Wykonaj mnożenie:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 & 2 -3 i 4 End (Array) Prawy] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -2 i 4 3 i 1 koniec (tablica) Prawo]

Decyzja. Mamy więc dwie macierzy: $ a \u003d left [2 razy 2 w prawo] $ i $ b \u003d left [2 razy 2 w prawo] $. Oczywiste jest, że są uzgodnione (matryce kwadratowe tego samego rozmiaru są zawsze spójne). Dlatego wykonujemy mnożenie:

[Rozpocznij (wyrównuj) i w lewo [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 2 -3 i 4 End (Array) Prawy] Cdot Left [Rozpocząć (Tablica) (* (35) (R)) -2 i 4 3 i 1 końcówka (tablica) Prawo] \u003d Lewa [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 \\ CDOT Left (-2 PRAWO) +2 CDOT 3 & 1 CDOT 4 + 2 CDOT 1 -3 CDOT LEWE (-2 PRAWO) +4 CDOT 3 & -3 CDOT 4 + 4 CDOT 1 END (Array) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 4 i 6 ~ End ( Tablica) Prawo]. Koniec (wyrównuj)]

To wszystko!

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 4 i 6 ~ End (Array) Prawo] $.

Zadanie 2. Wykonaj mnożenie:

[Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 3 ™ END (Matrix) Prawy] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 9 i 6 -3 & -2 end (tablica) prawy]

Decyzja. Ponownie uzgodnione matryce, więc wykonać działania: [

[Rozpocznij (Wyrównaj) Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 3 2 i 6 End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R) ) 9 i 6 -3 & -2 \\\\ ~ końcowa (tablica) Prawo] \u003d Lewa [BELL (tablica) (* (35) (R)) 1 CDOT 9 + 3 CDOT Left ( -3 PRAWO) & 1 CDOT 6 + 3 CDOT Left (-2 Po prawej) 2 CDOT 9 + 6 CDOT Left (-3 Po prawej) i 2 CDOT 6 + 6 CDOT Lewo (-2 Prawo) End (Array) Prawo] \u003d & \u003d Left [Begin (Matrix) 0 i 0 0 & 0 End (Matrix) Prawo]. Koniec (wyrównuj)]

Jak widzimy, okazało się, że macierz wypełniony zerami

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (Matrix) 0 & 0 0 & 0 End (Matrix) Prawo] $.

Z powyższych przykładów oczywiste jest, że mnożenie matryc nie jest tak trudną obsługą. Przynajmniej dla matryc kwadratowych o rozmiarze 2 przez 2.

W procesie obliczeń stanowiliśmy matrycę pośrednią, gdzie bezpośrednio malowane, jakie liczby zawarte w jednej lub innej komórce. W ten sposób powinno być wykonane podczas rozwiązywania tych zadań.

Główne właściwości pracy matrycy

W skrócie. Multiplication Matrix:

Nieprzyjemne: $ a cdot b ne b pcot A $ w ogólnym przypadku. Istnieją oczywiście specjalne macierze, dla których równość wynosi $ a cdot b \u003d b Cdot A $ (na przykład, jeśli $ B \u003d e $ to pojedyncza matryca), ale w większości przypadków nie działa;
Associatation: $ Left (a Cdot B PRAWO) CDOT C \u003d a Cdot Left (b Cdot C Prawy) $. Tutaj bez opcji: Stojąc obok macierzy można zwielokrotnić, nie przetrwać dla następnego i prawa tych dwóch matryc.
Dystrybucja: $ a CDOT Left (B + C Prawo) \u003d a Cdot B + A CDOT C $ i $ Left (A + B Prawy) CDOT C \u003d a CDOT C + B CDOT C $ (Ze względu na niezwiązany, praca musi oddzielnie przepisać dystrybucję po prawej i lewej stronie.

A teraz - to samo, ale bardziej szczegółowo.

Mnożenie matryc jest w dużej mierze przypominając klasyczny mnożenie liczb. Ale istnieją różnice, z których najważniejsze jest to mnożenie matryc, ogólnie mówiących, niekomutacyjne.

Zastanów się raz po raz kolejny macierze z zadania 1. Znamy już ich bezpośrednie prace:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 & 2 -3 i 4 End (Array) Prawy] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -2 i 4 ™ END (tablica) Prawo] \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 4 i 6 18 i -8 end (tablica) prawy]

Ale jeśli zmienisz macierze w niektórych miejscach, otrzymamy zupełnie inny wynik:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -2 i 4 3 i 1 End (Array) Prawy] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (* ( 35) (R)) 1 i 2 -3 i 4 end (tablica) Prawo] \u003d Left [Rozpocznij (Matrix) -14 i 4 0 i 10 End (Matrix) DOBRZE] \\]

Okazuje się, że $ a cdot b note b Ponadto operacja mnożenia jest zdefiniowana tylko dla skoordynowanych macierzy $ A \u003d Left [M razy n Prawo] $ i $ b \u003d Left [n CHTAK K Prawy] $, ale nikt nie gwarantuje, że pozostaną uzgodnione, jeśli zmieniają je w miejscach. Na przykład, $ left macierzy [2 razy 3 w prawo] $ i $ Left [3 razy 5 Prawo] $ są dość zgodne w określonej kolejności, ale te same macierze $ Left [3 razy 5 \\ t Prawo] $ i $ Left [2 razy 3 Prawo] $ nagrane w odwrotnej kolejności nie są już uzgodnione. Smutek. :(

Wśród matryc kwadratowych o określonej rozmiarze $ N $ zawsze znajdą takie, które dają ten sam wynik zarówno przy pomnożenie w bezpośrednim, jak iw odwrotnej kolejności. Jak opisać wszystkie podobne matryce (i ile ogólnie) jest tematem dla oddzielnej lekcji. Dzisiaj nie będziemy o tym porozmawiać. :)

Jednakże mnożenie matryc jest stowarzyszone:

[Left) CDOT C \u003d a Cdot Left (B Cdot C Prawnie)

Dlatego, kiedy trzeba pomnożyć kilka macierzy z rzędu jednocześnie, jest to konieczne, aby zrobić to zeskikiem: jest całkiem możliwe, że niektóre pobliskie stałe matryce dają interesujący wynik. Na przykład macierz zerowy, jak w zadaniu 2, omówiono powyżej.

W prawdziwych zadaniach najczęściej musi pomnożyć kwadratowe macierze o rozmiarze o wartości $ [n razy n prawej] $. Zestaw wszystkich takich matryc jest oznaczony przez $ ((m) ^ (n)) $ (tj. Records $ A \u003d Left [N razy n Prawo] $ i oznaczają to samo), a będzie to konieczne W IT Matrix $ E $, która nazywa się singlem.

Definicja. Pojedyncza macierz kwoty $ N $ jest taką matrycą $ E, która dla dowolnej matrycy kwadratowej $ A \u003d Left [N razy n Prawo] odbywa się przez równość:

Taka matryca zawsze wygląda równie: na głównej przekątnej znajdują się jednostki i we wszystkich innych komórkach - zer.

[Rozpocznij (wyrównuj) i a A - Left (B + C Prawy) \u003d A & Left (A + B PRAWO) CDOT C \u003d a CDOT C + B CDOT C. End (Aglug)

Innymi słowy, jeśli musisz pomnożyć jedną matrycę do sumy pozostałych dwóch, możesz pomnożyć go do każdego z tych "dwóch innych", a następnie złożyć wyniki. W praktyce zazwyczaj konieczne jest wykonanie odwrotnej pracy: zauważamy tę samą matrycę, prowadzimy go na wspornik, wykonujemy dodawanie, a tym samym uprościć swoje życie. :)

Uwaga: Aby opisać dystrybucję, musieliśmy zarejestrować dwa wzory: gdzie ilość znajduje się w drugim mnożniku i gdzie kwota jest w pierwszej kolejności. Dzieje się tak ze względu na fakt, że mnożenie matryc jest niekomutacyjne (i ogólnie, w nieinmustowej algebrze wiele żartów, które podczas pracy ze zwykłymi numerami, nawet nie przychodzą na myśl). A jeśli powiedzmy, musisz napisać tę nieruchomość na egzaminie, na pewno piszę zarówno formuły, w przeciwnym razie nauczyciel może się trochę zabrać.

Dobra, wszystkie były to bajki o placowych macierzy. Co z prostokątnym?

Przypadek matryc prostokątnych

I nic nie jest takie samo jak z kwadratem.

Zadanie 3. Wykonaj mnożenie:

[Left [Rozpocznij (Matrix) Rozpocznij (Matrix) 5 2 ™ End (Matrix) & Begin (Matrix) 4 End (Matrix) \\ \\ Koniec (matryca) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -2 i 5 End (Array) Prawy]

Decyzja. Mamy dwie macierzy: $ a \u003d left [3 razy 2 w prawo] $ i $ b \u003d left [2 razy 2 w prawo] $. Pilimy liczby oznaczające wymiary z rzędu:

Jak widać, centralne dwie liczby pokrywają się. Więc są uzgodnione macierze i mogą pomnożyć. A na wyjściu otrzymujemy matrycę $ C \u003d Left [3 razy 2 Prawo] $:

[Rozpocznij (Aglus) Left [Rozpocznij (Matrix) Rozpocznij (Matrix) 5 \\\\ 2 3 end (Matrix) & Begin (Matrix) 4 \\\\ (Matrix) End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -2 i 5 End (Array) Prawo] \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 5 Cdot Left (-2 Po prawej) +4 CDOT 3 i 5 CDOT 5 + 4 CDOT 4 2 CDOT LEFT (-2 PRAWO) +5 CDOT 3 i 2 CDOT 5 + 5 CDOT 4 3 CDOT Left (-2 Prawa) +1 CDOT 3 i 3 CDOT 5 + 1 CDOT 4 (End (Array) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i 41 11 i 30 -3 i 19 (Tablica) prawy]. Koniec (wyrównuj)]

Wszystko jest jasne: w końcowej matrycy 3 linii i 2 kolumn. Jest dość $ \u003d left [3 razy 2 prawy] $.

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 11 - 3 koniec (array) & Rozpocznij (matryca) 41 30 19 end (Matrix) End (Array) Prawo] $.

Teraz rozważ jeden z najlepszych zadań szkoleniowych dla tych, którzy po prostu zaczynają pracę z matrycami. W nim konieczne jest po prostu pomnożyć niektórych dwóch znaków, ale najpierw ustalić, czy takie mnożenie jest dopuszczalne?

Zadanie 4. Znajdź wszystkie możliwe pary matryc:

]; $ B \u003d left [Begin (Matrix) Rozpocznij (Matrix) 0 \\\\ 2 0 one (Matrix) Rozpocząć (Matrix) 1 0 \\\\ 3 0 \\\\ Koniec (macierz) koniec (matryca) prawy] $; $ C \u003d Left [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 1 & 0 End (Matrix) Prawo] $.

Decyzja. Aby rozpocząć, napisz wymiary matryc:

; B \u003d left [4 razy 2 w prawo]; c \u003d left [2 razy 2 Prawo]

Uzyskamy, że Matryca $ A $ A może być skoordynowana tylko z Matrix $ B $, ponieważ liczba kolumn w $ A $ A $ a 4 $, a taka liczba wierszy jest tylko $ B $. Dlatego możemy znaleźć pracę:

Cdot Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 0 i 1 2 ° C 0 & 3 4 & 0 End (Array) W prawo] \u003d \\\\ Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) - 10 i 7 10 ° C kończy się (array) Prawo]

Proponuję kroki pośrednie do wykonania czytelnika samodzielnie. Zauważam tylko, że wielkość wynikowej matrycy jest lepsza do ustalenia z góry, nawet przed każdym obliczeniami:

Cdot Left [4 razy 2 Prawo] \u003d Lewa [2 razy 2 Prawo]

Innymi słowy, po prostu usuwamy współczynniki "tranzytowe", które zapewniły spójność matryc.

Jakie inne opcje są możliwe? Oczywiście można znaleźć $ B Cdot A $, ponieważ $ B \u003d Left [4 razy 2 Prawo] $, $ A \u003d Left [2 razy 4 w prawo] $, tak zamówić Vapor $ Left (b; prawy) $ jest spójny, a wymiar pracy będzie:

CDOT Left [2 razy 4 Prawo] \u003d Left [4 razy 4 Prawo]

Krótko mówiąc, na wyjściu pojawi się macierek $ Left [4 razy 4 Prawo] $, których współczynniki są łatwo rozważyć:

CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i -1 i 2 & -2 1 i 1 & 2 & 2 end (tablica) Prawo] \u003d [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 1 i 2 i 2 2 i 3 i 6 i 6 44,6 i 6 i -4 i 8 & 8 & 8 & -8 end (tablica) prawy]

Oczywiście możesz zgodzić się na kolejną $ C CDOT A $ i $ B - CDOT C $ - I to jest. Dlatego po prostu piszemy uzyskane prace:

To było proste.:)

Odpowiedź: $ AB \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -10 i 7 10 i 7 End (tablica) W prawo] $; $ Ba \u003d left [rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 1 i 2 & 2 2 i 3 i 4 i 6 i 3 i 6 i 6 4 4 i -4 i 8 & -8 End (tablica) prawy] $; $ CA \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 1 & 2 & 2 1 & -1 & 2 & -2 End (Array) Prawo] $; $ BC \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 & 0 0 & 2 3 & 0 0 & 4 End (array) W prawo] $.

Ogólnie rzecz biorąc, bardzo zalecam wykonanie tego zadania. I jeszcze jeden podobny zadanie, które jest od pracy domowej. Te proste myślenie pomogą Ci wypracować wszystkie kluczowe etapy mnożenia matryc.

Ale na tej historii się nie kończy. Idź do specjalnych przypadków mnożenia :)

Wektorowe sznurki i kolumny wektorowe

Jedną z najczęstszych operacji matrycowych jest mnożenie na matrycy, w której jedna linia lub jedna kolumna.

Definicja. Kolumna wektorowa jest matrycą wielkości $ lewej [M razy 1 prawy] $, tj. składający się z kilku linii i tylko jednej kolumny.

Sznurka wektorowa to macier w lewicy $ [1 razy n prawej] $, tj. składający się z jednego rzędu i kilku kolumn.

W rzeczywistości spotkaliśmy się już z tymi obiektami. Na przykład zwykły trójwymiarowy wektor stereometrii $ wyrośnie (a) \u003d lewy (x; y; z prawy) $ to nic innego jak sznurkiem wektorowym. Z punktu widzenia teorii różnicy między rzędami i kolumnami, jest prawie nie. Konieczne jest, aby być uważnym za uzgodnione z otaczającymi czynnikami matrycowymi.

Zadanie 5. Wykonaj mnożenie:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i -1 i 3 4 i 2 & 0 \\\\ -1 i 1 & 1 End (Array) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 2 ™ End (Array) Prawo]

Decyzja. Przed nami praca uzgodnionych macierzy: $ Left [3 razy 3 Prawo] Cdot Left [3 razy 1 Prawo] \u003d Lewa [3 razy 1 Prawo] $. Znajdź tę pracę:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i -1 i 3 4 i 2 & 0 \\\\ -1 i 1 & 1 End (Array) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 2 -1 End (Array) W prawo] \u003d Lewa [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 CDOK 1+ Left (-1 Po prawej) CDOT 2 + 3 CDOT Left (-1 Po prawej stronie) 4 CDOT 1 + 2 CDOT 2 + 0 CDOT 2 -1 CDOT 1 + 1 CDOT 2 + 1 CDOT Left (-1 Po prawej) End (Array) Prawo] \u003d Lewa [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) -3 8 end (array) prawy]

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) - 3 8 ™ END (Array) Prawo] $.

Zadanie 6. Wykonaj mnożenie:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 2 ™ End (Array) Prawy] Cdot Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) ( R)) 3 i 1 & -1 4 i 6 & 0 (array) Prawo]

Decyzja. Ponownie, wszystko jest spójne: $ Left [1 razy 3 Prawo] Cdot Left [3 razy 3 Prawo] \u003d Left [1 razy 3 Prawo] $. Rozważamy pracę:

[Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 2 ™ End (Array) Prawy] Cdot Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) ( R)) 3 i 1 i -1 4 i -1 i 3 2 i 6 & 0 End (tablica) Prawo] \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R) ) 5 & -19 i 5 end (array) Prawo]

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (Matrix) 5 & -19 & 5 End (Matrix) Prawo] $.

Jak widać, gdy pomnożysz sznurka wektorowe i kolumnę wektorową na matrycy kwadratowej na wyjściu, zawsze otrzymujemy ciąg lub kolumnę o tym samym rozmiarze. Fakt ten ma wiele zastosowań - od rozwiązywania równania liniowe do wszelkiego rodzaju przemian współrzędnych (co w wyniku, zmniejszają również systemy równań, ale nie bądźmy o smutni).

Myślę, że wszystko było oczywiste tutaj. Idź do ostatniej części dzisiejszej lekcji.

Budowa macierzy do stopnia

Wśród wszystkich operacji mnożącej pewną uwagę, jest podniesiony do stopnia - to wtedy mnożymy ten sam obiekt na kilka razy. Matryce nie są wyjątkiem, mogą być również wzniesione do różnych stopni.

Takie prace są zawsze uzgodnione:

Cdot Left [N razy n Prawo] \u003d Left [N razy n Prawo]

I wskazuj dokładnie tak samo jak zwykle stopnie:

[Rozpocznij (wyrównuj) i a A \u003d ((a) ^ (2); & a cdot cdot a \u003d (a) ^ (3)); Underbrace (CDOT A: LDots Cdot A) _ (N) \u003d (a) ^ (n)). Koniec (wyrównuj)]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste. Zobaczmy, jak wygląda w praktyce:

Zadanie 7. Eduge The Matrix do określonego stopnia:

$ ((Pozostawiony [rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (3)) $

Decyzja. Cóż, wyprostujmy się. Po pierwsze, rzuć się na placu:

[Rozpocznij (Wyrównaj) i (Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (2)) \u003d Left [Rozpocznij (Matrix ) 1 & 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) W prawo] \u003d & \u003d Lewa [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 CDOT 1 + 1 CDOT 0 & 1 CDOT 1 + 1 CDOT 1 0 CDOT 1 + 1 CDOT 0 & 0 CDOT 1 + 1 CDOT 1 END (Array) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 2 0 & 1 Koniec (tablica) Prawo] Koniec (wyrównanie)

[Rozpocznij (wyrównaj) i ((Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (3)) \u003d ((Left [Rozpocznij) (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (3)) CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix ) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 2 0 ~ End (Array) Prawy] CDOT Left [ Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 1 i 3 0 & 1 end (tablica) prawy] end (wyrównuj)

To wszystko.:)

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (Matrix) 1 & 3 0 & 1 End (Matrix) Prawo] $.

Zadanie 8. Eduge macierz do określonego stopnia:

[(Pozostało [rozpocząć (Matrix) 1 i 1 0 i 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (10))

Decyzja. Ale nie jest konieczne płakać w fakcie, że "stopień jest zbyt duży", "Świat nie jest sprawiedliwy" i "uczyny całkowicie zagubione". W rzeczywistości wszystko jest łatwe:

[Rozpocznij (Wyrównaj) i ((Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (10)) \u003d ((Left [Rozpocząć (Matrix) 1 & 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo]) ^ (3)) CDOT ((Left [Begin (Matrix) 1 i 1 0 & 1 Koniec (matryca) Prawo]) ^ (3)) CDOT ((Left [Deger (Matrix) 1 i 1 0 ° C (Matrix) Prawo]) ^ (3)) CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 1 & 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo] \u003d & \u003d Left (Left [BELL (MATRIX) 1 & 3 0 & 1 End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 1 & 3 0 & 1 End (Matrix) Prawy] Prawa) CDOT Left (Left [Rozpocznij ( Matrix) 1 i 3 0 & 1 End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 1 0 & 1 End (Matrix) Prawo] Prawo) \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 6 0 & 1 End (Matrix) Prawo] CDOT Left [Begin (Matrix) 1 i 4 0 & 1 End (Matrix) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (Matrix) 1 i 10 0 i 1 End (Matrix) Prawy] Koniec (wyrównanie)

Uwaga: W drugim wierszu użyliśmy kojarzenia mnożenia. Właściwie wykorzystaliśmy go w poprzednim zadaniu, ale było niejawnie.

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (Matrix) 1 & 10 0 & 1 End (Matrix) Prawo] $.

Jak widać, nic skomplikowanego w budowie macierzy do stopnia. Ostatni przykład może być uogólniony:

[(Pozostały [Rozpocznij (Matrix) End (Matrix) Prawy]) ^ (N)) \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) ( R)) 1 & N 0 & 1 End (Array) Prawo]

Fakt ten jest łatwy do udowodnienia za pomocą indukcji matematycznej lub bezpośredniego mnożenia. Jednak nie zawsze, gdy stopień może zostać złapany przez takie wzory. Dlatego uważa się: często mnożą kilka macierzy "Stroy" okazuje się być łatwiejsze i szybsze niż szukać niektórych regularnych wzorców.

Ogólnie rzecz biorąc, nie szukaj najwyższego znaczenia, w którym nie jest. Podsumowując, rozważ budowę większej matrycy - Alternatywnie $ pozostawiony [3 razy 3 prawy] $.

Zadanie 9. Eduge macierz do określonego stopnia:

[(Left [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 i 1 1 i 0 & 1 1 i 1 & 0 (matryca) Prawo]) ^ (3))

Decyzja. Nie będzie szukał prawidłowości. Pracujemy "Stroy":

[(Pozostało [rozpocząć (Matrix) 0 i 1 i 1 1 i 0 & 1 1 & 1 & 0 (Matrix) Prawo]) ^ (3)) \u003d ( Pozostawiono [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 i 0 & 1 1 & 1 & 0 (matryca) Prawo]) ^ (2)) CDOT Left [Rozpocznij (Matrix ) 0 i 1 & 1 1 & 0 & 1 1 i 1 & 0 (Matrix) Prawo]

Aby rozpocząć, wyprostuj tę matrycę na placu:

[Rozpocznij (wyrównuj) i (lewe [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 i 0 & 1 1 i 1 & 0 End (Matrix) Prawo]) ^ ( 2)) \u003d Left [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 i 0 & 1 1 i 1 & 0 (Matrix) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 & 0 & 1 ™ End (Matrix) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R) ) 2 i 1 i 1 & 2 ™ END (Array) Prawo] Koniec (wyrównuj)

Teraz wzniesiony do kostki:

[Rozpocznij (wyrównuj) i (lewe [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 i 0 & 1 1 i 1 & 0 End (Matrix) Prawo]) ^ ( 3)) \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i 1 & 1 ™ END (Array) Prawo] CDOT Left [Rozpocznij (Matrix) 0 i 1 & 1 1 i 0 & 1 1 & 1 & 0 (Matrix) Prawo] \u003d & \u003d Left [Rozpocznij (tablica) (* (35) (R)) 2 i 3 ~ 3 i 2 & 3 3 i 3 & 2 (Array) Prawo] Koniec (wyrównanie)]

To wszystko. Zadanie zostało rozwiązane.

Odpowiedź: $ Left [Rozpocznij (Matrix) 2 i 3 i 3 3 i 2 & 3 3 i 3 i 2 \\\\

Jak widać, wolumen obliczeń stał się bardziej, ale znaczenie tego nie zmieniło od tego. :)

Na tej lekcji można zakończyć. Następnym razem spojrzymy na odwrotną obsługę: Według istniejącej pracy będziemy szukać oryginalnych czynników.

Jak już jesteś, prawdopodobnie domyślasz, będzie chodzi o matrycę powrotną i metodami jego lokalizacji.