Zmienną losową podaje kolejny wiersz rozkładu. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

PRAWO DYSTRYBUCJI I CHARAKTERYSTYKA

ZMIENNE LOSOWE

Zmienne losowe, ich klasyfikacja i metody opisu.

Ilość losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć taką lub inną wartość, ale która nie jest z góry znana. Dla zmiennej losowej można zatem podać tylko wartości, z których jedną na pewno przyjmie w wyniku eksperymentu. W dalszej części będziemy nazywać te wartości możliwymi wartościami zmiennej losowej. Ponieważ zmienna losowa ilościowo charakteryzuje losowy wynik eksperymentu, można ją uznać za ilościową charakterystykę zdarzenia losowego.

Zmienne losowe są zwykle oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, na przykład X..Y..Z, a ich możliwe wartości odpowiednimi małymi literami.

Istnieją trzy typy zmiennych losowych:

Oddzielny; Ciągły; Mieszany.

Oddzielny jest zmienną losową, której liczba możliwych wartości tworzy przeliczalny zbiór. Z kolei zbiór, którego elementy można ponumerować, nazywamy przeliczalnym. Słowo „dyskretny” pochodzi od łacińskiego słowa discretus, co oznacza „nieciągły, składający się z oddzielnych części”.

Przykład 1. Dyskretna zmienna losowa to liczba wadliwych części X w partii nproduktów. Rzeczywiście możliwe wartości tej zmiennej losowej to szereg liczb całkowitych od 0 do n.

Przykład 2. Dyskretną zmienną losową jest liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w tarczę. Tutaj, podobnie jak w przykładzie 1, możliwe wartości można ponumerować, chociaż w granicznym przypadku możliwa wartość jest nieskończenie dużą liczbą.

Ciągły jest zmienną losową, której możliwe wartości w sposób ciągły wypełniają pewien przedział osi liczbowej, czasami nazywany przedziałem istnienia tej zmiennej losowej. Zatem w dowolnym skończonym przedziale istnienia liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończenie duża.

Przykład 3. Ciągłą zmienną losową jest miesięczne zużycie energii elektrycznej przez przedsiębiorstwo.

Przykład 4. Ciągłą zmienną losową jest błąd pomiaru wysokości za pomocą wysokościomierza. Z zasady działania wysokościomierza wiadomo, że błąd mieści się w przedziale od 0 do 2 m. Zatem przedziałem istnienia tej zmiennej losowej jest przedział od 0 do 2 m.

Prawo rozkładu zmiennych losowych.

Zmienną losową uważa się za w pełni określoną, jeśli jej możliwe wartości są wskazane na osi liczbowej i ustalone jest prawo rozkładu.

Prawo rozkładu zmiennej losowej to relacja ustanawiająca związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej a odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Mówi się, że zmienna losowa ma rozkład według danego prawa lub podlega danemu prawu rozkładu. Jako prawa dystrybucji stosuje się szereg prawdopodobieństw, funkcję rozkładu, gęstość prawdopodobieństwa i funkcję charakterystyczną.

Prawo dystrybucji daje pełny prawdopodobny opis zmiennej losowej. Zgodnie z prawem rozkładu przed eksperymentem można ocenić, które możliwe wartości zmiennej losowej będą pojawiać się częściej, a które rzadziej.

Dla dyskretnej zmiennej losowej prawo rozkładu można określić w formie tabelarycznej, analitycznej (w formie wzoru) i graficznej.

Najprostszą formą określenia prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej jest tabela (macierz), która wyszczególnia w porządku rosnącym wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej i odpowiadające im prawdopodobieństwa, tj.

Taka tabela nazywana jest szeregiem rozkładów dyskretnej zmiennej losowej. 1

Zdarzenia X 1, X 2,..., X n, polegające na tym, że w wyniku testu zmienna losowa X przyjmie odpowiednio wartości x 1, x 2,... x n, wynoszą niespójne i jedyne możliwe (ponieważ w tabeli wyszczególnione są wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej), tj. stworzyć kompletną grupę. Dlatego suma ich prawdopodobieństw jest równa 1. Zatem dla dowolnej dyskretnej zmiennej losowej

(Jednostka ta jest w jakiś sposób rozdzielona pomiędzy wartościami zmiennej losowej, stąd termin „rozkład”).

Szereg rozkładów można przedstawić graficznie, jeśli wartości zmiennej losowej zostaną wykreślone wzdłuż osi odciętych, a odpowiadające im prawdopodobieństwa zostaną wykreślone wzdłuż osi rzędnych. Połączenie uzyskanych punktów tworzy linię łamaną zwaną wielokątem lub wielokątem rozkładu prawdopodobieństwa (rys. 1).

Przykład W loterii udział bierze: samochód o wartości 5000 den. jednostki, 4 telewizory kosztujące 250 den. jednostek, 5 magnetowidów o wartości 200 den. jednostki Łącznie sprzedano 1000 biletów na 7 dni. jednostki Sporządź prawo podziału wygranej netto otrzymanej przez uczestnika loterii, który kupił jeden los.

Rozwiązanie. Możliwe wartości zmiennej losowej X – wygrana netto na los – są równe 0-7 = -7 pieniędzy. jednostki (jeśli bilet nie wygrał), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jednostki (jeśli bilet obejmuje wygraną odpowiednio w postaci magnetowidu, telewizora lub samochodu). Biorąc pod uwagę, że na 1000 losów liczba nie-zwycięzców wynosi 990, a wskazane wygrane to odpowiednio 5, 4 i 1, i korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, otrzymujemy.

Dyskretny losowy Zmienne to zmienne losowe, które przyjmują tylko wartości odległe od siebie i które można z góry wylistować.
Prawo dystrybucji
Prawo rozkładu zmiennej losowej to relacja ustanawiająca związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami.
Szereg rozkładów dyskretnej zmiennej losowej to lista jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw.
Dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej jest funkcja:
,
określenie dla każdej wartości argumentu x prawdopodobieństwa, że ​​zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od tego x.

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej
,
gdzie jest wartością dyskretnej zmiennej losowej; - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości X.
Jeżeli zmienna losowa przyjmuje przeliczalny zbiór możliwych wartości, to:
.
Matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w n niezależnych próbach:
,

Dyspersja i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej
Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej:
Lub .
Wariancja liczby wystąpień zdarzenia w n niezależnych próbach
,
gdzie p jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia.
Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej:
.

Przykład 1
Narysuj prawo rozkładu prawdopodobieństwa dla dyskretnej zmiennej losowej (DRV) X – liczba k wystąpień co najmniej jednej „szóstki” w n = 8 rzutach parą kostek. Skonstruuj wielokąt rozkładu. Znajdź charakterystykę liczbową rozkładu (sposób rozkładu, oczekiwanie matematyczne M(X), dyspersja D(X, odchylenie standardowe s(X)). Rozwiązanie: Wprowadźmy zapis: zdarzenie A – „przy rzucie parą kostek przynajmniej raz wypadła szóstka”. Aby znaleźć prawdopodobieństwo P(A) = p zdarzenia A, wygodniej jest najpierw znaleźć prawdopodobieństwo P(Ā) = q zdarzenia przeciwnego Ā – „podczas rzucania parą kostek nigdy nie wypadła szóstka”.
Ponieważ prawdopodobieństwo, że przy rzucie jedną kostką nie wypadnie „szóstka”, wynosi 5/6, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa
P(Ā) = q = = .
Odpowiednio,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy w zadaniu są zgodne ze schematem Bernoulliego, więc d.s.v. ogrom X- numer k wystąpienie co najmniej jednej szóstki przy rzucie dwiema kostkami jest zgodne z dwumianowym prawem rozkładu prawdopodobieństwa:

gdzie = to liczba kombinacji N Przez k.

Obliczenia przeprowadzone dla tego problemu można wygodnie przedstawić w formie tabeli:
Rozkład prawdopodobieństwa d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

k
Pn(k)

Wielokąt (wielokąt) rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X pokazane na rysunku:

Ryż. Wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa d.s.v. X=k.
Linia pionowa pokazuje matematyczne oczekiwanie rozkładu M(X).

Znajdźmy numeryczną charakterystykę rozkładu prawdopodobieństwa d.s.v. X. Tryb dystrybucji to 2 (tutaj P 8(2) = maksymalnie 0,2932). Oczekiwanie matematyczne z definicji jest równe:
M(X) = = 2,4444,
Gdzie xk = k– wartość przyjęta przez d.s.v. X. Zmienność D(X) rozkład wyznaczamy korzystając ze wzoru:
D(X) = = 4,8097.
Odchylenie standardowe (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Przykład2
Dyskretna zmienna losowa X nadane przez prawo dystrybucyjne

Znajdź dystrybuantę F(x) i wykreśl ją.

Rozwiązanie. Jeśli , to (trzecia własność).
Jeśli następnie. Naprawdę, X może przyjąć wartość 1 z prawdopodobieństwem 0,3.
Jeśli następnie. Rzeczywiście, jeśli spełnia nierówność
, to jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia, które może wystąpić, gdy X przyjmie wartość 1 (prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,3) lub wartość 4 (prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,1). Ponieważ te dwa zdarzenia są niezgodne, to zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw 0,3 + 0,1 = 0,4. Jeśli następnie. Rzeczywiście zdarzenie jest pewne, dlatego jego prawdopodobieństwo jest równe jedności. Zatem funkcję rozkładu można zapisać analitycznie w następujący sposób:

Wykres tej funkcji:
Znajdźmy prawdopodobieństwa odpowiadające tym wartościom. Pod warunkiem prawdopodobieństwa awarii urządzeń są równe: wówczas prawdopodobieństwa, że ​​urządzenia będą działać w okresie gwarancyjnym, są równe:




Prawo dystrybucji ma postać:

W zastosowaniach teorii prawdopodobieństwa najważniejsze są ilościowe cechy eksperymentu. Nazywa się wielkość, którą można określić ilościowo i która w wyniku eksperymentu może przyjmować różne wartości w zależności od przypadku zmienna losowa.

Przykłady zmiennych losowych:

1. Ile razy w dziesięciu rzutach kostką wypadnie parzysta liczba punktów.

2. Liczba trafień w tarczę przez strzelca oddającego serię strzałów.

3. Liczba fragmentów eksplodującego pocisku.

W każdym z podanych przykładów zmienna losowa może przyjmować jedynie wartości izolowane, czyli takie, które można ponumerować za pomocą naturalnego ciągu liczb.

Nazywa się taką zmienną losową, której możliwymi wartościami są pojedyncze izolowane liczby, które ta zmienna przyjmuje z pewnymi prawdopodobieństwami oddzielny.

Liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej może być skończona lub nieskończona (policzalna).

Prawo dystrybucji Dyskretna zmienna losowa to lista jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej można określić w formie tabelarycznej (szereg rozkładu prawdopodobieństwa), analitycznie i graficznie (wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa).

Przeprowadzając eksperyment, konieczne staje się oszacowanie badanej wartości „średnio”. Rolę wartości średniej zmiennej losowej pełni cecha numeryczna tzw oczekiwanie matematyczne, co jest określone przez wzór

Gdzie X 1 , X 2 ,.. , X N– wartości zmiennych losowych X, A P 1 ,P 2 , ... , P N– prawdopodobieństwa tych wartości (zwróć uwagę, że P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Przykład. Strzelanie odbywa się do celu (ryc. 11).

Trafienie w I daje trzy punkty, w II – dwa punkty, w III – jeden punkt. Liczba punktów zdobytych jednym strzałem przez jednego strzelca ma prawo podziału w postaci

Aby porównać umiejętności strzelców, wystarczy porównać średnie wartości zdobytych punktów, tj. oczekiwania matematyczne M(X) I M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strzelec daje średnio nieco większą liczbę punktów, tj. daje lepsze rezultaty przy wielokrotnym strzelaniu.

Zwróćmy uwagę na własności oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej:

M(C) =C.

2. Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:

M =(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi oczekiwań matematycznych czynników

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. Matematyczna negacja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednej próbie (zadanie 4.6).

M(X) = pr.

Aby ocenić, jak zmienna losowa „średnio” odbiega od swoich oczekiwań matematycznych, tj. Aby scharakteryzować rozrzut wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa, stosuje się pojęcie dyspersji.

Zmienność zmienna losowa X nazywa się matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dyspersja jest numeryczną charakterystyką rozproszenia zmiennej losowej. Z definicji jasno wynika, że ​​im mniejszy rozrzut zmiennej losowej, tym bardziej jej możliwe wartości znajdują się wokół oczekiwań matematycznych, to znaczy tym lepiej wartości zmiennej losowej charakteryzują się jej oczekiwaniem matematycznym .

Z definicji wynika, że ​​wariancję można obliczyć korzystając ze wzoru

.

Wygodnie jest obliczyć wariancję za pomocą innego wzoru:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dyspersja ma następujące właściwości:

1. Wariancja stałej wynosi zero:

D(C) = 0.

2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji wyrazów:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. Wariancja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

D(X) = np.

W teorii prawdopodobieństwa często stosuje się charakterystykę liczbową równą pierwiastkowi kwadratowemu wariancji zmiennej losowej. Ta charakterystyka liczbowa nazywana jest odchyleniem średniokwadratowym i jest oznaczona symbolem

.

Charakteryzuje przybliżoną wielkość odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej i ma ten sam wymiar co zmienna losowa.

4.1. Strzelec oddaje trzy strzały do ​​celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem wynosi 0,3.

Skonstruuj szereg rozkładów liczby trafień.

Rozwiązanie. Liczba trafień jest dyskretną zmienną losową X. Każda wartość X N zmienna losowa X odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu P N .

W tym przypadku można określić prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej blisko dystrybucji.

W tym problemie X przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3. Zgodnie ze wzorem Bernoulliego

,

Znajdźmy prawdopodobieństwa możliwych wartości zmiennej losowej:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Układając wartości zmiennej losowej X w kolejności rosnącej otrzymujemy szereg dystrybucyjny:

X N

Należy pamiętać, że kwota

oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie co najmniej jedną wartość spośród możliwych, a zatem zdarzenie to jest wiarygodne

.

4.2 .W urnie znajdują się cztery kule o liczbach od 1 do 4. Wyjmujemy dwie kule. Losowa wartość X– suma numerów kul. Skonstruuj szereg dystrybucyjny zmiennej losowej X.

Rozwiązanie. Losowe wartości zmiennych X to 3, 4, 5, 6, 7. Znajdźmy odpowiednie prawdopodobieństwa. Wartość zmiennej losowej 3 X można przyjąć tylko w przypadku, gdy jedna z wybranych kul ma numer 1, a druga 2. Liczba możliwych wyników testu jest równa liczbie kombinacji czterech (liczba możliwych par kul) dwóch.

Korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymujemy

Podobnie,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Suma 5 może wystąpić w dwóch przypadkach: 1 + 4 i 2 + 3, a więc

.

X ma postać:

Znajdź funkcję dystrybucji F(X) zmienna losowa X i nakreśl to. Oblicz dla X jego matematyczne oczekiwanie i wariancja.

Rozwiązanie. Prawo rozkładu zmiennej losowej można określić za pomocą funkcji rozkładu

F(X) = P(X X).

Funkcja dystrybucyjna F(X) jest niemalejącą funkcją ciągłą lewostronną zdefiniowaną na całej osi liczbowej, podczas gdy

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Dla dyskretnej zmiennej losowej funkcję tę wyraża się wzorem

.

Dlatego w tym przypadku

Wykres funkcji rozkładu F(X) jest linią schodkową (ryc. 12)

	F(X)

Wartość oczekiwanaM(X) jest ważoną średnią arytmetyczną wartości X 1 , X 2 ,……X N zmienna losowa X z wagami ρ 1, ρ 2, …… , ρ N i nazywana jest średnią wartością zmiennej losowej X. Według formuły

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dyspersja charakteryzuje stopień rozproszenia wartości zmiennej losowej od jej wartości średniej i jest oznaczony D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Dla dyskretnej zmiennej losowej wariancja ma postać

lub można to obliczyć za pomocą wzoru

Podstawiając dane liczbowe problemu do wzoru, otrzymujemy:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. W tym samym czasie rzucamy dwiema kostkami dwa razy. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X- liczba wystąpień parzystej sumy punktów na dwóch kostkach.

Rozwiązanie. Przedstawmy zdarzenie losowe

A= (dwie kości przy jednym rzucie dały w sumie parzystą liczbę punktów).

Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa znajdujemy

R(A)= ,

Gdzie N - liczbę możliwych wyników testu wyznacza się zgodnie z regułą

mnożenie:

N = 6∙6 =36,

M - liczba osób popierających wydarzenie A wyniki - równe

M= 3∙6=18.

Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi

ρ = P(A)= 1/2.

Problem rozwiązano za pomocą schematu testu Bernoulliego. Jednym z wyzwań będzie rzucenie dwiema kostkami raz. Liczba takich testów N = 2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0, 1, 2 z prawdopodobieństwem

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Wymagany rozkład dwumianowy zmiennej losowej X można przedstawić jako szereg dystrybucyjny:

X N
ρ N

4.5 . W partii sześciu części znajdują się cztery standardowe. Wybrano losowo trzy części. Skonstruuj rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X– liczbę części standardowych spośród wybranych i znaleźć jej matematyczne oczekiwanie.

Rozwiązanie. Losowe wartości zmiennych X to liczby 0,1,2,3. Jest oczywiste, że R(X=0)=0, ponieważ istnieją tylko dwie niestandardowe części.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Prawo rozkładu zmiennej losowej X Przedstawmy to w postaci szeregu dystrybucyjnego:

X N
ρ N

Wartość oczekiwana

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Udowodnić, że matematyczne oczekiwanie na dyskretną zmienną losową X- liczba wystąpień zdarzenia A V N niezależne próby, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest równe ρ – równy iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie, czyli w celu udowodnienia, że ​​matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego

M(X) =N . ρ ,

i dyspersja

D(X) =n.p. .

Rozwiązanie. Losowa wartość X może przyjmować wartości 0, 1, 2..., N. Prawdopodobieństwo R(X= k) oblicza się za pomocą wzoru Bernoulliego:

R(X=k)= R N(k)= ρ Do (1-ρ ) N- Do

Szereg rozkładowy zmiennej losowej X ma postać:

X N
ρ N	Q N	ρq N- 1	ρq N- 2		ρ N

Gdzie Q= 1- ρ .

Dla oczekiwań matematycznych mamy wyrażenie:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

W przypadku jednego testu, czyli z n= 1 dla zmiennej losowej X 1 – liczba wystąpień zdarzenia A- szereg rozkładu ma postać:

X N
ρ N

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = pk.

Jeśli X k – liczba wystąpień zdarzenia A w takim razie w którym teście R(X Do)= ρ I

X=X 1 +X 2 +….+X N .

Stąd dostajemy

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Dział kontroli jakości sprawdza produkty pod kątem standardowości. Prawdopodobieństwo, że produkt jest standardowy, wynosi 0,9. Każda partia zawiera 5 produktów. Znajdź matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej X- liczbę partii, z których każda będzie zawierać 4 produkty standardowe - jeżeli kontroli podlega 50 partii.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że w każdej losowo wybranej partii znajdą się 4 produkty standardowe, jest stałe; oznaczmy to przez ρ .Następnie matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X równa się M(X)= 50∙ρ.

Znajdźmy prawdopodobieństwo ρ zgodnie ze wzorem Bernoulliego:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Rzucamy trzema kostkami. Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy utraconych punktów.

Rozwiązanie. Można znaleźć rozkład zmiennej losowej X- suma utraconych punktów, a następnie jej matematyczne oczekiwanie. Jednak ta ścieżka jest zbyt uciążliwa. Łatwiej jest zastosować inną technikę, reprezentującą zmienną losową X, którego oczekiwanie matematyczne należy obliczyć w postaci sumy kilku prostszych zmiennych losowych, których oczekiwanie matematyczne jest łatwiejsze do obliczenia. Jeśli zmienna losowa X I to liczba zdobytych punktów I– te kości ( I= 1, 2, 3), to suma punktów X zostanie wyrażona w formie

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Aby obliczyć oczekiwanie matematyczne pierwotnej zmiennej losowej, wystarczy skorzystać z właściwości oczekiwań matematycznych

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

To oczywiste

R(X I = K)= 1/6, DO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, I= 1, 2, 3.

Dlatego matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X I wygląda jak

M(X I) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Określ matematyczne oczekiwanie liczby urządzeń, które uległy awarii podczas testowania, jeśli:

a) prawdopodobieństwo awarii wszystkich urządzeń jest takie samo R, a liczba testowanych urządzeń jest równa N;

b) prawdopodobieństwo niepowodzenia dla I – urządzenia jest równa P I , I= 1, 2, … , N.

Rozwiązanie. Niech zmienna losowa X oznacza zatem liczbę uszkodzonych urządzeń

X = X 1 + X 2 + … + X N ,

X I =

Jest oczywiste, że

R(X I = 1)= R I , R(X I = 0)= 1– R I ,ja= 1, 2, … ,N.

M(X I)= 1∙R I + 0∙(1-R I)=P I ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .

W przypadku „a” prawdopodobieństwo awarii urządzenia jest takie samo, tj

R I =str,ja= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Odpowiedź tę można uzyskać od razu, jeśli zauważymy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami ( N, P).

4.10. Rzucamy jednocześnie dwa razy dwiema kostkami. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X - liczba rzutów parzystą liczbą punktów na dwóch kostkach.

Rozwiązanie. Pozwalać

A=(rzuca parzystą liczbę na pierwszej kostce),

B =(rzuca parzystą liczbę na drugiej kostce).

Uzyskanie parzystej liczby na obu kostkach w jednym rzucie wyraża się iloczynem AB. Następnie

R (AB) = R(A)∙R(W) =
.

Wynik drugiego rzutu dwiema kostkami nie zależy od pierwszego, więc wzór Bernoulliego ma zastosowanie, gdy

N = 2,p = 1/4, Q = 1– p = 3/4.

Losowa wartość X może przyjmować wartości 0, 1, 2 , którego prawdopodobieństwo można obliczyć korzystając ze wzoru Bernoulliego:

R(X= 0)= P 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Szereg rozkładowy zmiennej losowej X:

4.11. Urządzenie składa się z dużej liczby niezależnie działających elementów o tym samym, bardzo małym prawdopodobieństwie awarii każdego elementu w czasie T. Znajdź średnią liczbę odmów w czasie T elementów, jeśli prawdopodobieństwo, że w tym czasie co najmniej jeden element ulegnie awarii, wynosi 0,98.

Rozwiązanie. Liczba osób, które odmówiły na przestrzeni czasu T elementy – zmienna losowa X, który rozkłada się zgodnie z prawem Poissona, ponieważ liczba elementów jest duża, elementy działają niezależnie, a prawdopodobieństwo awarii każdego elementu jest małe. Średnia liczba wystąpień zdarzenia w N testy są równe

M(X) = n.p..

Ponieważ prawdopodobieństwo awarii DO elementy z N wyrażone wzorem

R N (DO)
,

gdzie  = n.p., to prawdopodobieństwo, że w tym czasie żaden element nie ulegnie awarii T dochodzimy do K. = 0:

R N (0)= np -  .

Dlatego prawdopodobieństwo wystąpienia odwrotnego zdarzenia jest czasowe T co najmniej jeden element ulega awarii – równa 1 - e -  . Zgodnie z warunkami zadania prawdopodobieństwo to wynosi 0,98. Z równania

1 - mi -  = 0,98,

mi -  = 1 – 0,98 = 0,02,

stąd  = -ln 0,02  4.

A więc z czasem T pracy urządzenia średnio 4 elementy ulegają awarii.

4.12 . Rzucamy kostkami, aż wypadnie „dwa”. Znajdź średnią liczbę rzutów.

Rozwiązanie. Wprowadźmy zmienną losową X– ilość badań, które należy wykonać do momentu wystąpienia interesującego nas zdarzenia. Prawdopodobieństwo, że X= 1 równa się prawdopodobieństwu, że podczas jednego rzutu kostką wypadnie „dwójka”, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Wydarzenie X= 2 oznacza, że ​​w pierwszym teście „dwójka” nie wypadła, natomiast w drugim tak. Prawdopodobieństwo zdarzenia X= 2 znajdujemy z reguły mnożenia prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Podobnie,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itp. Otrzymujemy szereg rozkładów prawdopodobieństwa:

					(5/6) Do ∙1/6

Średnia liczba rzutów (prób) jest oczekiwaniem matematycznym

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + DO (5/6) DO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + DO (5/6) DO -1 + …)

Znajdźmy sumę szeregu:

DOG DO -1 = (G DO) G 
.

Stąd,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Zatem musisz wykonać średnio 6 rzutów kostką, aż wypadnie „dwa”.

4.13. Niezależne badania przeprowadzane są z takim samym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A w każdym teście. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, jeśli wariancja liczby wystąpień zdarzenia w trzech niezależnych próbach wynosi 0,63 .

Rozwiązanie. Liczba wystąpień zdarzenia w trzech próbach jest zmienną losową X, rozdzielone zgodnie z prawem dwumianu. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia w niezależnych próbach (przy takim samym prawdopodobieństwie wystąpienia zdarzenia w każdej próbie) jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwa wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia (zadanie 4.6)

D(X) = np.

Według warunku N = 3, D(X) = 0,63, więc możesz R znaleźć z równania

0,63 = 3∙R(1-R),

który ma dwa rozwiązania R 1 = 0,7 i R 2 = 0,3.

Podano szereg dystrybucyjny dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź brakujące prawdopodobieństwo i wykreśl funkcję rozkładu. Oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję tej wielkości.

Zmienna losowa X przyjmuje tylko cztery wartości: -4, -3, 1 i 2. Każdą z tych wartości przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem. Ponieważ suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1, brakujące prawdopodobieństwo wynosi:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Ułóżmy dystrybuantę zmiennej losowej X. Wiadomo, że dystrybuantka , to:

Stąd,

Narysujmy funkcję F(X) .

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest równe sumie iloczynów wartości zmiennej losowej i odpowiadającego jej prawdopodobieństwa, tj.

Wariancję dyskretnej zmiennej losowej wyznaczamy za pomocą wzoru:

APLIKACJA

Elementy kombinatoryki Tutaj: - silnia liczby

Działania na zdarzeniach Zdarzenie to dowolny fakt, który może, ale nie musi, nastąpić w wyniku doświadczenia. Łączenie wydarzeń A I W- wydarzenie Z który składa się z pojawienia się lub zdarzenia A lub wydarzenia W lub oba zdarzenia jednocześnie. Przeznaczenie: ; Wydarzenia krzyżowe A I W- wydarzenie Z, który polega na jednoczesnym wystąpieniu obu zdarzeń. Przeznaczenie: ;

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby eksperymentów sprzyjające zaistnieniu zdarzenia A do całkowitej liczby eksperymentów :

Wzór na mnożenie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzenia można znaleźć za pomocą wzoru: - prawdopodobieństwo zdarzenia A, - prawdopodobieństwo zdarzenia W, - prawdopodobieństwo zdarzenia W pod warunkiem, że wydarzenie A już się wydarzyło. Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne (wystąpienie jednego nie wpływa na wystąpienie drugiego), to prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe:

Wzór na dodawanie prawdopodobieństw Prawdopodobieństwo zdarzenia można obliczyć korzystając ze wzoru: Prawdopodobieństwo zdarzenia A, Prawdopodobieństwo zdarzenia W, - prawdopodobieństwo współwystąpienia zdarzeń A I W. Jeżeli zdarzenia A i B są niezgodne (nie mogą wystąpić jednocześnie), to prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe:

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo Niech wydarzenie A może nastąpić jednocześnie z jednym ze zdarzeń , , …, – nazwijmy je hipotezami. Znany także - prawdopodobieństwo wykonania I-ta hipoteza i - prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A podczas wykonywania I-ta hipoteza. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A można znaleźć według wzoru:

Schemat Bernoulliego Niech będzie n niezależnych testów. Prawdopodobieństwo wystąpienia (sukcesu) zdarzenia A w każdym z nich jest stała i równa P, prawdopodobieństwo niepowodzenia (tzn. zdarzenia, które nie nastąpi A) Q = 1 - P. Następnie prawdopodobieństwo wystąpienia k sukces N testy można znaleźć, korzystając ze wzoru Bernoulliego: Najprawdopodobniej liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego jest to liczba wystąpień danego zdarzenia, która ma największe prawdopodobieństwo. Można znaleźć za pomocą wzoru:

Zmienne losowe dyskretny ciągły (na przykład liczba dziewcząt w rodzinie z 5 dziećmi) (na przykład czas, w którym czajnik działa prawidłowo) Charakterystyki numeryczne dyskretnych zmiennych losowych Niech dyskretna ilość będzie podana poprzez szereg dystrybucyjny: X R , , …, - wartości zmiennej losowej X; , , …, są odpowiednimi wartościami prawdopodobieństwa. Funkcja dystrybucyjna Funkcja rozkładu zmiennej losowej X jest funkcją zdefiniowaną na całej osi liczbowej i równą prawdopodobieństwu, że X będzie mniej X:

Pytania na egzamin

Wydarzenie. Operacje na zdarzeniach losowych.

Pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Zasady dodawania i mnożenia prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwa warunkowe.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa.

Schemat Bernoulliego.

Zmienna losowa, jej dystrybuanta i szeregi dystrybucyjne.

Podstawowe własności funkcji rozkładu.

Wartość oczekiwana. Właściwości oczekiwań matematycznych.

Dyspersja. Właściwości dyspersji.

Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej.

Rodzaje rozkładów: jednorodny, wykładniczy, normalny, dwumianowy i rozkład Poissona.

Twierdzenia lokalne i całkowe Moivre'a-Laplace'a.

Prawo i funkcja rozkładu układu dwóch zmiennych losowych.

Gęstość rozkładu układu dwóch zmiennych losowych.

Warunkowe prawa dystrybucji, warunkowe oczekiwanie matematyczne.

Zależne i niezależne zmienne losowe. Współczynnik korelacji.

Próbka. Przetwarzanie próbek. Histogram wielokątny i częstotliwościowy. Dystrybucja empiryczna.

Koncepcja estymacji parametrów rozkładu. Wymagania dotyczące oceny. Przedział ufności. Konstrukcja przedziałów do szacowania oczekiwań matematycznych i odchylenia standardowego.

Hipotezy statystyczne. Kryteria zgody.