Jaka jest liczba „Pi” lub jak przeklinają matematycy? Kto odkrył liczbę Pi? Historia obliczeń Jaka jest liczba n?
***
Co mają wspólnego koło Łada Priora, obrączka i spodek Twojego kota? Oczywiście powiesz piękno i styl, ale ośmielam się z tobą kłócić. Liczba Pi! To liczba, która jednoczy wszystkie koła, koła i okrągłości, do których w szczególności należy pierścionek mojej mamy, koło od ulubionego samochodu mojego ojca, a nawet spodek mojego ulubionego kota Murzika. Mogę się założyć, że w rankingu najpopularniejszych stałych fizycznych i matematycznych Pi niewątpliwie zajmie pierwsze miejsce. Ale co się za tym kryje? Może jakieś straszne przekleństwa rzucone przez matematyków? Spróbujmy zrozumieć to zagadnienie.
Co to jest liczba „Pi” i skąd się wzięła?
Nowoczesne oznaczenie numeru π (Liczba Pi) pojawił się dzięki angielskiemu matematykowi Johnsonowi w 1706 roku. To jest pierwsza litera greckiego słowa περιφέρεια (obwód lub okrąg). Tym, którzy dawno temu zajmowali się matematyką, zresztą wcale nie przypominamy, że liczba Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Wartość jest stała, to znaczy stała dla każdego okręgu, niezależnie od jego promienia. Ludzie wiedzieli o tym już w starożytności. I tak w starożytnym Egipcie liczbę Pi przyjmowano jako równą stosunkowi 256/81, a w tekstach wedyjskich wartość tę podaje się jako 339/108, zaś Archimedes proponował stosunek 22/7. Ale ani te, ani wiele innych sposobów wyrażania liczby Pi nie dało dokładnego wyniku.
Okazało się, że liczba Pi jest transcendentalna i odpowiednio irracjonalna. Oznacza to, że nie można go przedstawić w postaci ułamka prostego. Jeśli wyrazimy to w postaci dziesiętnej, wówczas ciąg cyfr po przecinku będzie pędził do nieskończoności, a ponadto nie będzie się okresowo powtarzał. Co to wszystko znaczy? Bardzo prosta. Chcesz poznać numer telefonu dziewczyny, która Ci się podoba? Prawdopodobnie można go znaleźć w ciągu cyfr po przecinku liczby Pi.
Numer telefonu możesz zobaczyć tutaj ↓
Liczba Pi z dokładnością do 10 000 cyfr.
π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..
Nie znalazłeś? Potem spójrz.
Generalnie może to być nie tylko numer telefonu, ale dowolna informacja zakodowana za pomocą liczb. Na przykład, jeśli wyobrazisz sobie wszystkie dzieła Aleksandra Siergiejewicza Puszkina w formie cyfrowej, wówczas zostały one zapisane w liczbie Pi jeszcze zanim je napisał, jeszcze zanim się urodził. W zasadzie nadal są tam przechowywane. Nawiasem mówiąc, przekleństwa matematyków w π są także obecni, i to nie tylko matematycy. Jednym słowem liczba Pi zawiera wszystko, nawet myśli, które odwiedzą Twoją bystrą głowę jutro, pojutrze, za rok, a może za dwa. Bardzo trudno w to uwierzyć, ale nawet jeśli sobie wyobrazimy, że w to wierzymy, jeszcze trudniej będzie wydobyć z tego informacje i je rozszyfrować. Więc zamiast zagłębiać się w te liczby, może łatwiej będzie podejść do dziewczyny, którą lubisz i zapytać ją o numer?.. Ale dla tych, którzy nie szukają łatwych sposobów lub po prostu interesują się liczbą Pi, proponuję kilka sposobów obliczenia. Uznaj to za zdrowe.
Ile wynosi Pi? Metody jego obliczania:
1. Metoda eksperymentalna. Jeśli liczba Pi jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy, to pierwszym, być może najbardziej oczywistym sposobem znalezienia naszej tajemniczej stałej będzie ręczne wykonanie wszystkich pomiarów i obliczenie liczby Pi ze wzoru π=l /D. Gdzie l jest obwodem koła, a d jest jego średnicą. Wszystko jest bardzo proste, wystarczy uzbroić się w nić do określenia obwodu, linijkę do obliczenia średnicy, a właściwie długość samej nitki i kalkulator, jeśli masz problemy z długim dzieleniem. Rolą mierzonej próbki może być rondel lub słoik ogórków, nie ma to znaczenia, najważniejsze jest? tak aby u podstawy powstał okrąg.
Rozważana metoda obliczeń jest najprostsza, ale niestety ma dwie istotne wady, które wpływają na dokładność wynikowej liczby Pi. Po pierwsze, błąd przyrządów pomiarowych (w naszym przypadku linijki z gwintem), po drugie, nie ma gwarancji, że mierzone przez nas koło będzie miało prawidłowy kształt. Nic więc dziwnego, że matematyka udostępniła nam wiele innych metod obliczania π, gdzie nie ma potrzeby dokonywania precyzyjnych pomiarów.
2. Szereg Leibniza. Istnieje kilka nieskończonych szeregów, które pozwalają dokładnie obliczyć Pi z dużą liczbą miejsc po przecinku. Jednym z najprostszych szeregów jest szereg Leibniza. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
To proste: bierzemy ułamki zwykłe mające 4 w liczniku (to jest na górze) i jedną liczbę z ciągu liczb nieparzystych w mianowniku (to jest poniżej), kolejno je dodajemy i odejmujemy i otrzymujemy liczbę Pi . Im więcej iteracji lub powtórzeń naszych prostych działań, tym dokładniejszy wynik. Proste, ale nieskuteczne; nawiasem mówiąc, uzyskanie dokładnej wartości Pi z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku wymaga 500 000 iteracji. Oznacza to, że będziemy musieli podzielić nieszczęsną czwórkę aż 500 000 razy, a dodatkowo otrzymane wyniki będziemy musieli odjąć i dodać 500 000 razy. Chcieć spróbować?
3. Szereg Nilakanty. Nie masz czasu majstrować przy serii Leibniza? Istnieje alternatywa. Seria Nilakanta, choć jest nieco bardziej skomplikowana, pozwala nam szybko uzyskać pożądany efekt. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Myślę, że jeśli uważnie przyjrzeć się podanemu początkowemu fragmentowi serii, wszystko staje się jasne i niepotrzebne są komentarze. Przejdźmy z tym dalej.
4. Metoda Monte Carlo Dość interesującą metodą obliczania Pi jest metoda Monte Carlo. Otrzymał tak ekstrawagancką nazwę na cześć miasta o tej samej nazwie w królestwie Monako. A powodem tego jest zbieg okoliczności. Nie, nazwa nie została nadana przypadkowo, metoda opiera się po prostu na liczbach losowych, a co może być bardziej losowego niż liczby pojawiające się na stołach do ruletki w kasynie Monte Carlo? Obliczanie liczby Pi nie jest jedynym zastosowaniem tej metody, w latach pięćdziesiątych zaczęto ją stosować w obliczeniach bomby wodorowej. Ale nie dajmy się rozpraszać.
Weź kwadrat o boku równym 2r i wpisz okrąg o promieniu R. Teraz, jeśli losowo umieścisz kropki w kwadracie, to prawdopodobieństwo P To, że punkt wpada w okrąg, jest stosunkiem pól koła i kwadratu. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.
Teraz wyrażmy stąd liczbę Pi π=4P. Pozostaje tylko uzyskać dane eksperymentalne i znaleźć prawdopodobieństwo P jako stosunek trafień w okręgu N kr do uderzenia w kwadrat N kw.. Ogólnie wzór obliczeniowy będzie wyglądał następująco: π=4N cr / N kwadrat.
Pragnę zauważyć, że aby wdrożyć tę metodę, nie trzeba iść do kasyna, wystarczy posługiwać się jakimkolwiek mniej lub bardziej przyzwoitym językiem programowania. Cóż, dokładność uzyskanych wyników będzie zależeć od liczby umieszczonych punktów, odpowiednio im więcej, tym dokładniej. Życzę powodzenia 😉
Liczba Tau (Zamiast podsumowania).
Osoby dalekie od matematyki najprawdopodobniej nie wiedzą, ale tak się składa, że liczba Pi ma brata, który jest dwukrotnie większy. Jest to liczba Tau(τ), a jeśli Pi jest stosunkiem obwodu do średnicy, to Tau jest stosunkiem tej długości do promienia. A dziś niektórzy matematycy proponują porzucenie liczby Pi i zastąpienie jej liczbą Tau, ponieważ jest to pod wieloma względami wygodniejsze. Ale na razie to tylko propozycje i jak powiedział Lew Dawidowicz Landau: „Nowa teoria zaczyna dominować, gdy wymrą zwolennicy starej”.
Uczenie się Liczby Pi zaczyna się w klasach podstawowych, kiedy uczniowie poznają okrąg, obwód i wartość Pi. Ponieważ wartość Pi jest stałą, czyli stosunkiem długości samego okręgu do długości średnicy danego okręgu. Na przykład, jeśli weźmiemy okrąg, którego średnica jest równa jeden, wówczas jego długość będzie równa Liczba Pi. Ta wartość Pi jest nieskończona w matematycznej kontynuacji, ale istnieje również ogólnie przyjęte oznaczenie. Pochodzi z uproszczonej pisowni wartości Pi, wygląda na 3,14.
Historyczne narodziny Pi
Liczba Pi podobno ma swoje korzenie w starożytnym Egipcie. Już starożytni egipscy naukowcy obliczali pole koła za pomocą średnicy D, która przyjmowała wartość D - D/92. Co odpowiadało 16/92 lub 256/81, co oznacza, że Pi wynosi 3,160.
Indie w VI wieku p.n.e. również poruszały kwestię liczby Pi, w religii dżinizmu odnaleziono zapisy, które stwierdzały, że liczba Pi równa się 10 w pierwiastku kwadratowym, co oznacza 3,162.
Nauki Archimedesa na temat pomiaru koła w III wieku p.n.e. doprowadziły go do następujących wniosków:
Później swoje wnioski uzasadnił ciągiem obliczeń na przykładach prawidłowo wpisanych lub opisanych kształtów wielokątnych z podwojoną liczbą boków tych figur. W precyzyjnych obliczeniach Archimedes stwierdził stosunek średnicy do obwodu w liczbach od 3 * 10/71 do 3 * 1/7, dlatego wartość Pi wynosi 3,1419... Ponieważ rozmawialiśmy już o nieskończonej formie tej wartości, wygląda na 3, 1415927... I to nie jest granica, bo matematyk Kashi w XV wieku obliczył wartość Pi jako wartość szesnastocyfrową.
Angielski matematyk Johnson W. w 1706 roku zaczął używać symbolu pi jako symbolu? (z języka greckiego jest to pierwsza litera w słowie „koło”).
Tajemnicze znaczenie.
Wartość Pi jest irracjonalna i nie można jej wyrazić w formie ułamkowej, ponieważ ułamki wykorzystują wartości całkowite. Nie może być pierwiastkiem równania, dlatego też okazuje się transcendentalny, znajduje się go rozważając dowolne procesy, udoskonalając się ze względu na dużą liczbę uwzględnianych kroków danego procesu. Podejmowano wiele prób obliczenia największej liczby miejsc po przecinku w liczbie Pi, w wyniku czego otrzymano dziesiątki bilionów cyfr danej wartości dziesiętnej.
Ciekawostka: co dziwne, wartość Pi ma swoje własne święto. Nazywa się to Międzynarodowym Dniem Pi. Obchodzone jest 14 marca. Data pojawiła się dzięki samej wartości Pi 3,14 (mm.rr) i fizykowi Larry’emu Shawowi, który jako pierwszy obchodził to święto w 1987 roku.
Uwaga: Pomoc prawna w uzyskaniu zaświadczenia o niekaralności dla wszystkich obywateli Federacji Rosyjskiej. Kliknij link do zaświadczenia o niekaralności służby państwowej (http://convictioncertyfikat.rf/) legalnie, szybko i bez kolejek!
Ile wynosi Pi? znamy i pamiętamy ze szkoły. Jest równa 3,1415926 i tak dalej... Zwykłemu człowiekowi wystarczy wiedza, że liczbę tę otrzymuje się dzieląc obwód koła przez jego średnicę. Ale wiele osób wie, że liczba Pi pojawia się w nieoczekiwanych obszarach nie tylko matematyki i geometrii, ale także fizyki. Cóż, jeśli zagłębisz się w szczegóły natury tej liczby, zauważysz wiele zaskakujących rzeczy wśród nieskończonej serii liczb. Czy to możliwe, że Pi skrywa najgłębsze tajemnice wszechświata?
Nieskończona liczba
Sama liczba Pi pojawia się w naszym świecie jako długość koła, którego średnica jest równa jeden. Ale pomimo tego, że odcinek równy Pi jest dość skończony, liczba Pi zaczyna się od 3,1415926 i zmierza do nieskończoności w rzędach liczb, które nigdy się nie powtarzają. Pierwszym zaskakującym faktem jest to, że liczby tej, stosowanej w geometrii, nie można wyrazić jako ułamka liczb całkowitych. Innymi słowy, nie można tego zapisać jako stosunku dwóch liczb a/b. Ponadto liczba Pi jest przestępna. Oznacza to, że nie ma równania (wielomianu) o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba Pi.
Fakt, że liczba Pi jest przestępna, udowodnił w 1882 roku niemiecki matematyk von Lindemann. To właśnie ten dowód stał się odpowiedzią na pytanie, czy można za pomocą kompasu i linijki narysować kwadrat, którego pole jest równe polu danego koła. Problem ten, znany jako poszukiwanie kwadratury koła, nurtuje ludzkość od czasów starożytnych. Wydawało się, że ten problem ma proste rozwiązanie i wkrótce zostanie rozwiązany. Ale to właśnie niezrozumiała właściwość liczby Pi pokazała, że nie ma rozwiązania problemu kwadratury koła.
Od co najmniej czterech i pół tysiącleci ludzkość próbuje uzyskać coraz dokładniejszą wartość Pi. Na przykład w Biblii, w Trzeciej Księdze Królewskiej (7:23), za liczbę Pi przyjmuje się 3.
Wartość Pi z niezwykłą dokładnością można znaleźć w piramidach w Gizie: stosunek obwodu i wysokości piramid wynosi 22/7. Ułamek ten daje przybliżoną wartość Pi równą 3,142... O ile oczywiście Egipcjanie nie ustalili tego stosunku przez przypadek. Tę samą wartość uzyskał już w odniesieniu do obliczenia liczby Pi w III wieku p.n.e. przez wielkiego Archimedesa.
W Papirusie Ahmesa, starożytnym egipskim podręczniku matematyki datowanym na 1650 rok p.n.e., liczbę Pi oblicza się jako 3,160493827.
W starożytnych tekstach indyjskich około IX wieku p.n.e. najdokładniejszą wartość wyrażała liczba 339/108, która była równa 3,1388...
Przez prawie dwa tysiące lat po Archimedesie ludzie próbowali znaleźć sposoby obliczenia liczby Pi. Byli wśród nich zarówno znani, jak i nieznani matematycy. Na przykład rzymski architekt Marek Witruwiusz Pollio, egipski astronom Klaudiusz Ptolemeusz, chiński matematyk Liu Hui, indyjski mędrzec Aryabhata, średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, arabski naukowiec Al-Khwarizmi, od którego imienia pochodzi słowo pojawił się „algorytm”. Wszyscy oni i wiele innych osób poszukiwało najdokładniejszych metod obliczania Pi, ale aż do XV wieku nie udało im się uzyskać więcej niż 10 miejsc po przecinku ze względu na złożoność obliczeń.
Wreszcie w 1400 roku indyjski matematyk Madhava z Sangamagramu obliczył Pi z dokładnością do 13 cyfr (choć w dwóch ostatnich nadal się mylił).
Liczba znaków
W XVII wieku Leibniz i Newton odkryli analizę wielkości nieskończenie małych, która umożliwiła obliczanie liczby Pi w sposób bardziej progresywny – poprzez szeregi potęgowe i całki. Sam Newton obliczył 16 miejsc po przecinku, ale nie wspomniał o tym w swoich książkach - stało się to znane po jego śmierci. Newton twierdził, że obliczył Pi wyłącznie z nudów.
Mniej więcej w tym samym czasie wystąpili także inni, mniej znani matematycy, którzy zaproponowali nowe wzory na obliczanie liczby Pi za pomocą funkcji trygonometrycznych.
Na przykład jest to wzór zastosowany do obliczenia Pi przez nauczyciela astronomii Johna Machina w 1706 roku: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Korzystając z metod analitycznych, Machin wyprowadził z tego wzoru liczbę Pi z dokładnością do stu miejsc po przecinku.
Nawiasem mówiąc, w tym samym 1706 roku liczba Pi otrzymała oficjalne oznaczenie w postaci greckiej litery: William Jones użył jej w swojej pracy nad matematyką, przyjmując pierwszą literę greckiego słowa „peryferie”, co oznacza „okrąg” .” Wielki Leonhard Euler, urodzony w 1707 r., spopularyzował to oznaczenie, znane dziś każdemu uczniowi.
Przed erą komputerów matematycy skupiali się na obliczaniu jak największej liczby znaków. W związku z tym czasami pojawiały się zabawne rzeczy. Matematyk-amator W. Shanks obliczył w 1875 roku 707 cyfr liczby Pi. Te siedemset znaków zostało uwiecznionych na ścianie Palais des Discoverys w Paryżu w 1937 roku. Jednak dziewięć lat później uważni matematycy odkryli, że tylko pierwszych 527 znaków zostało poprawnie obliczonych. Aby naprawić błąd, muzeum musiało ponieść znaczne wydatki – teraz wszystkie dane są prawidłowe.
Kiedy pojawiły się komputery, liczbę cyfr Pi zaczęto obliczać w zupełnie niewyobrażalnej kolejności.
Jeden z pierwszych komputerów elektronicznych, ENIAC, stworzony w 1946 roku, był ogromnych rozmiarów i generował tyle ciepła, że w pomieszczeniu nagrzało się do 50 stopni Celsjusza, co obliczyło pierwsze 2037 cyfr Pi. Obliczenia te zajęły maszynie 70 godzin.
W miarę udoskonalania komputerów nasza wiedza na temat liczby Pi przesuwała się coraz dalej w nieskończoność. W 1958 r. obliczono 10 tysięcy cyfr tej liczby. W 1987 roku Japończycy obliczyli 10 013 395 znaków. W 2011 roku japoński badacz Shigeru Hondo przekroczył granicę 10 bilionów znaków.
Gdzie jeszcze można spotkać Pi?
Często więc nasza wiedza o liczbie Pi pozostaje na poziomie szkolnym i wiemy na pewno, że liczba ta jest niezastąpiona przede wszystkim w geometrii.
Oprócz wzorów na długość i pole koła liczbę Pi stosuje się we wzorach na elipsy, kule, stożki, cylindry, elipsoidy i tak dalej: w niektórych miejscach wzory są proste i łatwe do zapamiętania, ale w innych zawierają bardzo złożone całki.
Wtedy liczbę Pi możemy spotkać we wzorach matematycznych, gdzie na pierwszy rzut oka geometria nie jest widoczna. Na przykład całka nieoznaczona z 1/(1-x^2) jest równa Pi.
Liczba Pi jest często używana w analizie szeregowej. Oto na przykład prosty szereg zbieżny do Pi:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 –…. = PI/4
Spośród szeregów Pi pojawia się najbardziej nieoczekiwanie w słynnej funkcji zeta Riemanna. Nie da się o tym w skrócie porozmawiać, powiedzmy, że kiedyś liczba Pi pomoże znaleźć wzór na obliczanie liczb pierwszych.
I absolutnie zaskakujące: Pi pojawia się w dwóch najpiękniejszych „królewskich” wzorach matematyki – wzorze Stirlinga (pomagającym znaleźć przybliżoną wartość silni i funkcji gamma) oraz wzorze Eulera (który łączy aż pięć stałych matematycznych).
Jednak najbardziej nieoczekiwane odkrycie czekało matematyków zajmujących się teorią prawdopodobieństwa. Liczba Pi również tam jest.
Na przykład prawdopodobieństwo, że dwie liczby będą względnie pierwsze, wynosi 6/PI^2.
Pi pojawia się w sformułowanym w XVIII wieku przez Buffona problemie rzucania igłą: jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona na kartkę papieru w linie przekroczy jedną z linii. Jeśli długość igły wynosi L, a odległość między liniami wynosi L, a r > L, to możemy w przybliżeniu obliczyć wartość Pi, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo 2L/rPI. Wyobraź sobie - możemy uzyskać Pi ze zdarzeń losowych. A tak przy okazji, Pi występuje w normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa, pojawia się w równaniu słynnej krzywej Gaussa. Czy to oznacza, że liczba Pi jest jeszcze bardziej fundamentalna niż tylko stosunek obwodu do średnicy?
Pi możemy spotkać także w fizyce. Pi pojawia się w prawie Coulomba, które opisuje siłę oddziaływania dwóch ładunków, w trzecim prawie Keplera, które pokazuje okres obrotu planety wokół Słońca, a nawet pojawia się w układzie orbitali elektronowych atomu wodoru. I znowu najbardziej niewiarygodne jest to, że liczba Pi ukryta jest we wzorze zasady nieoznaczoności Heisenberga – podstawowego prawa fizyki kwantowej.
Sekrety Pi
W powieści Carla Sagana Kontakt, na której powstał film o tym samym tytule, kosmici mówią bohaterce, że wśród znaków Pi kryje się tajemne przesłanie od Boga. Od pewnego miejsca cyfry w liczbie przestają być przypadkowe i stanowią kod, w którym zapisane są wszystkie tajemnice Wszechświata.
W tej powieści odzwierciedlono tajemnicę, która zaprząta umysły matematyków na całym świecie: czy Pi jest normalną liczbą, w której cyfry są rozproszone z równą częstotliwością, czy też jest coś nie tak z tą liczbą? I chociaż naukowcy skłaniają się ku pierwszej opcji (ale nie mogą jej udowodnić), liczba Pi wygląda bardzo tajemniczo. Pewien Japończyk obliczył kiedyś, ile razy liczby od 0 do 9 występują w pierwszym bilionie cyfr Pi. I zobaczyłem, że liczby 2, 4 i 8 były częstsze niż pozostałe. Może to być jedna z wskazówek, że liczba Pi nie jest całkowicie normalna, a zawarte w niej liczby rzeczywiście nie są przypadkowe.
Zapamiętajmy wszystko, co przeczytaliśmy powyżej i zadajmy sobie pytanie, jaką inną liczbę irracjonalną i transcendentalną tak często można spotkać w prawdziwym świecie?
A w sklepie jest więcej dziwactw. Na przykład suma pierwszych dwudziestu cyfr Pi wynosi 20, a suma pierwszych 144 cyfr jest równa „liczbie bestii” 666.
Główny bohater amerykańskiego serialu „Podejrzany”, profesor Finch, powiedział uczniom, że ze względu na nieskończoność liczby Pi można w niej znaleźć dowolną kombinację liczb, począwszy od liczb z datą urodzenia po liczby bardziej zespolone . Na przykład na pozycji 762 znajduje się ciąg sześciu dziewiątek. Pozycję tę nazwano punktem Feynmana na cześć słynnego fizyka, który zauważył tę interesującą kombinację.
Wiemy również, że liczba Pi zawiera ciąg 0123456789, ale znajduje się na 17 387 594 880 cyfrze.
Wszystko to sprawia, że w nieskończoności liczby Pi można znaleźć nie tylko ciekawe kombinacje liczb, ale także zakodowany tekst „Wojny i pokoju”, Biblię, a nawet Główną Tajemnicę Wszechświata, jeśli taka istnieje.
Przy okazji, o Biblii. Słynny popularyzator matematyki Martin Gardner stwierdził w 1966 roku, że milionową cyfrą Pi (wówczas jeszcze nieznaną) będzie liczba 5. Swoje obliczenia tłumaczył tym, że w angielskiej wersji Biblii, w 3. księga, rozdział 14, 16 wersetów (3-14-16) siódme słowo zawiera pięć liter. Liczba milionowa została osiągnięta osiem lat później. To był numer pięć.
Czy warto po tym twierdzić, że liczba Pi jest losowa?
Doktor nauk geologicznych i mineralogicznych, kandydat nauk fizycznych i matematycznych B. GOROBETS.
Wykresy funkcji y = arcsin x, funkcja odwrotna y = sin x
Wykres funkcji y = arctan x, odwrotność funkcji y = tan x.
Funkcja rozkładu normalnego (rozkład Gaussa). Maksimum jej wykresu odpowiada najbardziej prawdopodobnej wartości zmiennej losowej (na przykład długości obiektu mierzonej linijką), a stopień „rozciągnięcia” krzywej zależy od parametrów a i sigma.
Kapłani starożytnego Babilonu obliczyli, że dysk słoneczny wpasowuje się w niebo od świtu do zachodu słońca 180 razy i wprowadzili nową jednostkę miary - stopień równy jego rozmiarowi kątowemu.
Rozmiar naturalnych formacji - wydm, wzgórz i gór - zwiększa się z każdym krokiem średnio 3,14 razy.
Nauka i życie // Ilustracje
Nauka i życie // Ilustracje
Wahadło, wahając się bez tarcia i oporu, utrzymuje stałą amplitudę oscylacji. Pojawienie się oporu prowadzi do wykładniczego tłumienia oscylacji.
W bardzo lepkim ośrodku odchylone wahadło porusza się wykładniczo w kierunku położenia równowagi.
Łuski szyszek i loki muszli wielu mięczaków układają się w spirale logarytmiczne.
Nauka i życie // Ilustracje
Nauka i życie // Ilustracje
Spirala logarytmiczna przecina wszystkie promienie wychodzące z punktu O pod tymi samymi kątami.
Prawdopodobnie każdy wnioskodawca lub student, zapytany, jakie są liczby i e, odpowie: - jest to liczba równa stosunkowi obwodu do jego średnicy, a e jest podstawą logarytmów naturalnych. Poproszeni o dokładniejsze zdefiniowanie tych liczb i ich obliczenie, uczniowie podają wzory:
mi = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…
(pamiętaj, że silnia n! =1 X 2X 3X… X N);
3(1+ 1/3X 2 3 + 1X 3/4X 5X 2 5 + .....) 3,14159…
(Szereg Newtona jest ostatnim, są też inne).
Wszystko to prawda, ale jak wiadomo, liczby i e są zawarte w wielu wzorach w matematyce, fizyce, chemii, biologii, a także w ekonomii. Oznacza to, że odzwierciedlają one pewne ogólne prawa natury. Które dokładnie? Definicje tych liczb poprzez szeregi, pomimo ich poprawności i rygorystyczności, wciąż pozostawiają poczucie niezadowolenia. Mają one charakter abstrakcyjny i nie przekazują związku danych liczb ze światem zewnętrznym poprzez codzienne doświadczenie. W literaturze pedagogicznej nie sposób znaleźć odpowiedzi na postawione pytanie.
Tymczasem można argumentować, że stała e jest bezpośrednio powiązana z jednorodnością przestrzeni i czasu oraz z izotropią przestrzeni. Odzwierciedlają zatem prawa zachowania: liczbę e - energię i pęd (pęd) oraz liczbę - moment obrotowy (pęd). Zwykle takie nieoczekiwane stwierdzenia budzą zdziwienie, choć w istocie z punktu widzenia fizyki teoretycznej nie ma w nich nic nowego. Głębokie znaczenie tych stałych światowych pozostaje terra incognita dla uczniów, studentów i, jak widać, nawet dla większości nauczycieli matematyki i fizyki ogólnej, nie mówiąc już o innych dziedzinach nauk przyrodniczych i ekonomii.
Na pierwszym roku studiów studentów może wprawić w zakłopotanie np. pytanie: dlaczego przy całkowaniu funkcji typu 1/(x 2 +1) i kołowych funkcji trygonometrycznych typu arcsinus pojawia się arcustangens, wyrażający wielkość łuku koła? Innymi słowy, skąd „pochodzą” okręgi podczas całkowania i gdzie następnie znikają podczas działania odwrotnego - różniczkując arcus tangens i arcsinus? Jest mało prawdopodobne, aby wyprowadzenie odpowiednich wzorów na różniczkowanie i całkowanie dało samo odpowiedź na postawione pytanie.
Ponadto na drugim roku studiów, studiując teorię prawdopodobieństwa, liczba pojawia się we wzorze na prawo rozkładu normalnego zmiennych losowych (patrz „Science and Life” nr 2, 1995); można z niego na przykład obliczyć prawdopodobieństwo, z jakim moneta spadnie na herb dowolną liczbę razy, powiedzmy 100 rzutami. Gdzie tu są kręgi? Czy kształt monety naprawdę ma znaczenie? Nie, wzór na prawdopodobieństwo jest taki sam dla kwadratowej monety. Rzeczywiście, nie są to łatwe pytania.
Ale natura liczby e jest przydatna dla studentów chemii i inżynierii materiałowej, biologów i ekonomistów, aby głębiej ją poznać. Pomoże im to zrozumieć kinetykę rozpadu pierwiastków promieniotwórczych, nasycanie roztworów, zużycie i niszczenie materiałów, rozprzestrzenianie się drobnoustrojów, wpływ sygnałów na zmysły, procesy akumulacji kapitału itp. - nieskończona liczba zjawisk w przyroda żywa i nieożywiona oraz działalność człowieka.
Liczba i symetria sferyczna przestrzeni
Najpierw formułujemy pierwszą tezę główną, a następnie wyjaśniamy jej znaczenie i konsekwencje.
1. Liczba odzwierciedla izotropię właściwości pustej przestrzeni naszego Wszechświata, ich identyczność w dowolnym kierunku. Prawo zachowania momentu obrotowego jest związane z izotropią przestrzeni.
Prowadzi to do dobrze znanych konsekwencji, o których uczy się w szkole średniej.
Wniosek 1. Długość łuku koła, wzdłuż którego mieści się jego promień, jest łukiem naturalnym i jednostką kątową radian.
Jednostka ta jest bezwymiarowa. Aby obliczyć liczbę radianów w łuku koła, należy zmierzyć jego długość i podzielić przez długość promienia tego okręgu. Jak wiemy, promień każdego pełnego koła jest w przybliżeniu 6,28 razy większy. Dokładniej, długość pełnego łuku koła wynosi 2 radiany i w dowolnej liczbie systemów i jednostek długości. Kiedy wynaleziono koło, okazało się, że jest takie samo wśród Indian w Ameryce, nomadów w Azji i Czarnych w Afryce. Jedynie jednostki miary łuku były inne i konwencjonalne. W ten sposób nasze stopnie kątowe i łukowe wprowadzili kapłani babilońscy, którzy uważali, że dysk Słońca, znajdujący się prawie w zenicie, mieści się na niebie 180 razy od świtu do zachodu słońca. 1 stopień to 0,0175 rad, a 1 rad to 57,3°. Można postawić tezę, że hipotetyczne obce cywilizacje z łatwością porozumiałyby się, wymieniając komunikat, w którym okrąg podzielony jest na sześć części „ogonkiem”; oznaczałoby to, że „partner negocjacji” ma już za sobą przynajmniej etap wymyślania koła na nowo i wie, jaka jest liczba.
Konsekwencja 2. Celem funkcji trygonometrycznych jest wyrażenie zależności pomiędzy łukiem a wymiarami liniowymi obiektów, a także pomiędzy parametrami przestrzennymi procesów zachodzących w przestrzeni sferycznie symetrycznej.
Z powyższego wynika, że argumenty funkcji trygonometrycznych są w zasadzie bezwymiarowe, podobnie jak argumenty innych typów funkcji, tj. są to liczby rzeczywiste – punkty na osi liczb, które nie wymagają oznaczenia stopni.
Doświadczenie pokazuje, że uczniom, studentom i studentom trudno jest przyzwyczaić się do bezwymiarowych argumentów na rzecz sinusa, tangensa itp. Nie każdy wnioskodawca będzie w stanie odpowiedzieć na pytanie bez kalkulatora, co cos1 (około 0,5) lub arctg / 3. Ostatni przykład jest szczególnie mylący. Często mówi się, że to nonsens: „łuk, którego arcus tangens wynosi 60 o”. Jeśli powiemy to dokładnie, to błąd będzie polegał na nieuprawnionym zastosowaniu miary stopnia do argumentu funkcji. Prawidłowa odpowiedź to: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Niestety, dość często kandydaci i studenci mówią, że = 180 0, po czym muszą je poprawiać: w systemie dziesiętnym = 3,14…. Ale oczywiście możemy powiedzieć, że radian jest równy 180 0.
Przyjrzyjmy się innej nietrywialnej sytuacji, z którą spotykamy się w teorii prawdopodobieństwa. Dotyczy ważnego wzoru na prawdopodobieństwo błędu losowego (lub normalnego prawa rozkładu prawdopodobieństwa), który zawiera liczbę. Korzystając z tego wzoru, możesz na przykład obliczyć prawdopodobieństwo, że moneta spadnie na herb 50 razy przy 100 rzutach. Skąd zatem wzięła się zawarta w nim liczba? W końcu nie widać tam żadnych kręgów ani kręgów. Rzecz jednak w tym, że moneta spada losowo w sferycznie symetryczną przestrzeń, we wszystkich kierunkach, których przypadkowe fluktuacje należy w równym stopniu uwzględnić. Matematycy robią to poprzez całkowanie po okręgu i obliczanie tzw. całki Poissona, która jest równa i zawarta w określonym wzorze na prawdopodobieństwo. Wyraźną ilustracją takich wahań jest przykład strzelania do celu w stałych warunkach. Dziury na celu są rozsiane po okręgu (!) o największym zagęszczeniu w pobliżu środka celu, a prawdopodobieństwo trafienia można obliczyć za pomocą tego samego wzoru zawierającego liczbę .
Czy liczby występują w strukturach naturalnych?
Spróbujmy zrozumieć zjawiska, których przyczyny są niejasne, ale być może nie było ich także wiele.
Krajowy geograf V.V. Piotrovsky porównał średnie charakterystyczne rozmiary naturalnych płaskorzeźb w następujących seriach: karabin piaskowy na płyciznach, wydmach, wzgórzach, systemach górskich Kaukazu, Himalajach itp. Okazało się, że średni wzrost wielkości wynosi 3,14. Wydaje się, że niedawno odkryto podobny wzór w topografii Księżyca i Marsa. Piotrovsky pisze: „Tektoniczne formy strukturalne, które tworzą się w skorupie ziemskiej i wyrażają się na jej powierzchni w postaci form reliefowych, powstają w wyniku pewnych ogólnych procesów zachodzących w ciele Ziemi; są proporcjonalne do wielkości Ziemi .” Wyjaśnijmy - są one proporcjonalne do stosunku wymiarów liniowych i łukowych.
Podstawą tych zjawisk może być tzw. prawo rozkładu maksimów szeregów losowych, czyli „prawo trójek”, sformułowane w 1927 roku przez E. E. Słuckiego.
Statystycznie, zgodnie z prawem trójek, powstają morskie fale przybrzeżne, o czym wiedzieli starożytni Grecy. Co trzecia fala jest średnio nieco wyższa od sąsiadów. A w szeregu tych trzecich maksimów co trzecie z kolei jest wyższe od swoich sąsiadów. Tak powstaje słynna dziewiąta fala. Jest szczytem „okresu drugiej rangi”. Niektórzy naukowcy sugerują, że zgodnie z prawem trójek zachodzą również wahania aktywności Słońca, komet i meteorytów. Odstępy między ich maksimami wynoszą od dziewięciu do dwunastu lat, czyli w przybliżeniu 3 2 . Według doktora nauk biologicznych G. Rosenberga możemy kontynuować konstruowanie ciągów czasowych w następujący sposób. Okres trzeciego stopnia 3 3 odpowiada okresowi między poważnymi suszami, który wynosi średnio 27–36 lat; okres 3 4 - cykl świeckiej aktywności słonecznej (81-108 lat); okres 3 5 - cykle zlodowacenia (243-324 lata). Zbiegi okoliczności staną się jeszcze lepsze, jeśli odejdziemy od prawa „czystych” trójek i przejdziemy do potęg liczbowych. Nawiasem mówiąc, są one bardzo łatwe do obliczenia, ponieważ 2 jest prawie równe 10 (kiedyś w Indiach liczbę zdefiniowano nawet jako pierwiastek z 10). Można w dalszym ciągu dostosowywać cykle epok geologicznych, okresów i er do pełnych potęg trójki (co robi zwłaszcza G. Rosenberg w zbiorze „Eureka-88”, 1988) lub liczb 3,14. Zawsze możesz przyjąć myślenie życzeniowe z różnym stopniem dokładności. (W związku z dostosowaniami przychodzi mi na myśl matematyczny żart. Udowodnijmy, że liczby nieparzyste są liczbami pierwszymi. Bierzemy: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 itd., a 9 jest tutaj eksperymentem błąd.) A jednak idea nieoczywistej roli liczby p w wielu zjawiskach geologicznych i biologicznych wydaje się nie do końca pusta i być może ujawni się w przyszłości.
Liczba e a jednorodność czasu i przestrzeni
Przejdźmy teraz do drugiej wielkiej stałej świata - liczby e. Matematycznie bezbłędne wyznaczenie liczby e za pomocą podanego powyżej szeregu w istocie w żaden sposób nie wyjaśnia jej związku z fizycznymi lub innymi zjawiskami naturalnymi. Jak podejść do tego problemu? Pytanie nie jest łatwe. Zacznijmy może od standardowego zjawiska propagacji fal elektromagnetycznych w próżni. (Co więcej, próżnię będziemy rozumieć jako klasyczną pustą przestrzeń, bez dotykania najbardziej złożonej natury próżni fizycznej.)
Wszyscy wiedzą, że falę ciągłą w czasie można opisać falą sinusoidalną lub sumą fal sinusoidalnych i cosinusowych. W matematyce, fizyce i elektrotechnice taką falę (o amplitudzie równej 1) opisuje funkcja wykładnicza e iβt = cos βt + isin βt, gdzie β jest częstotliwością oscylacji harmonicznych. Zapisano tu jeden z najsłynniejszych wzorów matematycznych - wzór Eulera. To na cześć wielkiego Leonharda Eulera (1707-1783) liczba e została nazwana od pierwszej litery jego nazwiska.
Wzór ten jest dobrze znany uczniom, trzeba go jednak wyjaśnić uczniom szkół niematematycznych, ponieważ w naszych czasach liczby zespolone są wyłączone z normalnych programów szkolnych. Liczba zespolona z = x+iy składa się z dwóch wyrazów – liczby rzeczywistej (x) i liczby urojonej, która jest liczbą rzeczywistą y pomnożoną przez jednostkę urojoną. Liczby rzeczywiste zliczane są wzdłuż osi rzeczywistej O x, a liczby urojone w tej samej skali wzdłuż osi urojonej O y, której jednostką jest i, a długość tego odcinka jednostkowego to moduł | ja | =1. Dlatego liczba zespolona odpowiada punktowi na płaszczyźnie o współrzędnych (x, y). Zatem niezwykła postać liczby e z wykładnikiem zawierającym tylko jednostki urojone i oznacza obecność tylko nietłumionych oscylacji opisywanych przez falę cosinus i sinus.
Jest oczywiste, że fala nietłumiona wykazuje zgodność z prawem zachowania energii dla fali elektromagnetycznej w próżni. Sytuacja taka ma miejsce podczas „sprężystego” oddziaływania fali z ośrodkiem bez utraty jego energii. Formalnie można to wyrazić w następujący sposób: jeśli przesuniesz punkt odniesienia wzdłuż osi czasu, energia fali zostanie zachowana, ponieważ fala harmoniczna zachowa tę samą amplitudę i częstotliwość, czyli jednostki energii, a tylko jej faza, czyli część okresu odległa od nowego punktu odniesienia, ulegnie zmianie. Ale faza nie wpływa na energię właśnie ze względu na jednorodność czasu, gdy punkt odniesienia jest przesuwany. Zatem równoległe przeniesienie układu współrzędnych (tzw. translacja) jest dopuszczalne ze względu na jednorodność czasu t. Teraz jest już chyba w zasadzie jasne, dlaczego jednorodność w czasie prowadzi do prawa zachowania energii.
Następnie wyobraźmy sobie falę nie w czasie, ale w przestrzeni. Dobrym tego przykładem jest fala stojąca (oscylacje struny nieruchomej w kilku węzłach) lub fale piasku przybrzeżnego. Matematycznie fala ta wzdłuż osi O x zostanie zapisana jako e ix = cos x + isin x. Oczywiste jest, że w tym przypadku przesunięcie wzdłuż x nie zmieni ani cosinusa, ani sinusoidy, jeśli przestrzeń jest jednorodna wzdłuż tej osi. Ponownie zmieni się tylko ich faza. Z fizyki teoretycznej wiadomo, że jednorodność przestrzeni prowadzi do prawa zachowania pędu (pędu), czyli masy pomnożonej przez prędkość. Niech teraz przestrzeń będzie jednorodna w czasie (i spełniona zostanie zasada zachowania energii), ale niejednorodna we współrzędnych. Wtedy w różnych punktach niejednorodnej przestrzeni prędkość również byłaby inna, gdyż na jednostkę jednorodnego czasu przypadałyby różne wartości długości odcinków pokonywanych w ciągu sekundy przez cząstkę o danej masie (lub falę o danej masie) dany pęd).
Możemy zatem sformułować drugą główną tezę:
2. Liczba e jako podstawa funkcji zmiennej zespolonej odzwierciedla dwie podstawowe zasady zachowania: energię - poprzez jednorodność czasu, pęd - poprzez jednorodność przestrzeni.
A jednak dlaczego właśnie liczba e, a nie inna, została uwzględniona we wzorze Eulera i okazała się być podstawą funkcji falowej? Pozostając w ramach szkolnych zajęć z matematyki i fizyki, nie jest łatwo odpowiedzieć na to pytanie. Autor omawiał ten problem z teoretykiem, doktorem nauk fizycznych i matematycznych V.D. Efrosem, a my staraliśmy się wyjaśnić sytuację w następujący sposób.
Najważniejsza klasa procesów – procesy liniowe i zlinearyzowane – zachowuje swoją liniowość właśnie dzięki jednorodności przestrzeni i czasu. Matematycznie proces liniowy opisuje się funkcją, która służy jako rozwiązanie równania różniczkowego o stałych współczynnikach (tego typu równania uczy się na pierwszym i drugim roku studiów wyższych). A jego rdzeniem jest powyższy wzór Eulera. Zatem rozwiązanie zawiera funkcję zespoloną o podstawie e, podobnie jak równanie falowe. Co więcej, jest to e, a nie inna liczba w podstawie stopnia! Bo tylko funkcja ex nie zmienia się dla dowolnej liczby różniczkowania i całkowania. I dlatego po podstawieniu do pierwotnego równania dopiero rozwiązanie o podstawie e da tożsamość, tak jak powinno być w przypadku prawidłowego rozwiązania.
Zapiszmy teraz rozwiązanie równania różniczkowego o stałych współczynnikach, które opisuje propagację fali harmonicznej w ośrodku, biorąc pod uwagę niesprężyste oddziaływanie z nim, prowadzące do rozproszenia energii lub pozyskania energii ze źródeł zewnętrznych:
f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).
Widzimy, że wzór Eulera jest mnożony przez zmienną rzeczywistą e αt, która jest amplitudą fali zmieniającą się w czasie. Powyżej dla uproszczenia założyliśmy, że jest ona stała i równa 1. Można to zrobić w przypadku nietłumionych oscylacji harmonicznych, przy α = 0. W ogólnym przypadku dowolnej fali zachowanie amplitudy zależy od znaku współczynnika a ze zmienną t (czas): jeśli α > 0, amplituda oscylacji wzrasta, jeśli α< 0, затухает по экспоненте.
Być może ostatni akapit jest trudny dla absolwentów wielu zwykłych szkół. Powinno to jednak być zrozumiałe dla studentów uniwersytetów i szkół wyższych, którzy dokładnie studiują równania różniczkowe o stałych współczynnikach.
Ustalmy teraz β = 0, czyli zniszczymy czynnik oscylacyjny o liczbie i w rozwiązaniu zawierającym wzór Eulera. Z poprzednich oscylacji pozostanie tylko „amplituda”, która maleje (lub rośnie) wykładniczo.
Aby zilustrować oba przypadki, wyobraźmy sobie wahadło. W pustej przestrzeni oscyluje bez tłumienia. W przestrzeni z ośrodkiem rezystancyjnym występują oscylacje z wykładniczym spadkiem amplitudy. Jeżeli wychylimy niezbyt masywne wahadło w dostatecznie lepkim ośrodku, wówczas będzie ono płynnie przesuwać się w stronę położenia równowagi, coraz bardziej zwalniając.
Zatem z tezy 2 możemy wywnioskować następujący wniosek:
Wniosek 1. W przypadku braku urojonej, czysto wibracyjnej części funkcji f(t), przy β = 0 (czyli przy częstotliwości zerowej) część rzeczywista funkcji wykładniczej opisuje wiele naturalnych procesów przebiegających zgodnie z podstawową zasadą : wzrost wartości jest proporcjonalny do samej wartości .
Sformułowana zasada matematycznie wygląda następująco: ∆I ~ I∆t, gdzie, powiedzmy, I jest sygnałem, a ∆t jest małym przedziałem czasu, w którym sygnał ∆I narasta. Dzieląc obie strony równości przez I i całkując, otrzymujemy lnI ~ kt. Lub: I ~ e kt - prawo wykładniczego wzrostu lub spadku sygnału (w zależności od znaku k). Zatem prawo proporcjonalności wzrostu wartości do samej wartości prowadzi do logarytmu naturalnego, a tym samym do liczby e. (I tutaj jest to pokazane w formie przystępnej dla licealistów znających elementy całkowania.)
Wiele procesów przebiega wykładniczo z ważnym argumentem, bez wahania, w fizyce, chemii, biologii, ekologii, ekonomii itp. Szczególnie zwracamy uwagę na uniwersalne prawo psychofizyczne Webera - Fechnera (z jakiegoś powodu ignorowane w programach edukacyjnych szkół i uniwersytetów) . Brzmi ono: „Siła wrażenia jest proporcjonalna do logarytmu siły pobudzenia”.
Wzrok, słuch, węch, dotyk, smak, emocje i pamięć podlegają temu prawu (naturalnie, dopóki procesy fizjologiczne nie zamienią się nagle w patologiczne, kiedy receptory ulegną modyfikacji lub zniszczeniu). Zgodnie z prawem: 1) niewielki wzrost sygnału podrażnienia w dowolnym przedziale odpowiada liniowemu wzrostowi (z plusem lub minusem) siły czucia; 2) w obszarze słabych sygnałów podrażnienia wzrost siły czucia jest znacznie większy niż w obszarze silnych sygnałów. Weźmy na przykład herbatę: szklanka herbaty z dwiema kostkami cukru jest odbierana jako dwa razy słodsza niż herbata z jedną kostką cukru; ale jest mało prawdopodobne, aby herbata z 20 kawałkami cukru wydawała się zauważalnie słodsza niż z 10 kawałkami. Zakres dynamiczny receptorów biologicznych jest kolosalny: sygnały odbierane przez oko mogą zmieniać siłę o ~ 10 10 , a przez ucho - o ~ 10 12 razy. Dzika przyroda przystosowała się do takich zakresów. Chroni się poprzez logarytm (przez biologiczne ograniczenie) przychodzących bodźców, w przeciwnym razie receptory umrą. Powszechnie stosowana logarytmiczna (decybelowa) skala natężenia dźwięku opiera się na prawie Webera-Fechnera, zgodnie z którym działają regulatory głośności sprzętu audio: ich przemieszczenie jest proporcjonalne do odczuwanej głośności, ale nie do natężenia dźwięku! (Wrażenie jest proporcjonalne do lg/ 0. Za próg słyszalności przyjmuje się p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Na progu mamy lg1 = 0. Wzrost siły (ciśnienia) dźwięku o 10 razy odpowiada w przybliżeniu odczuciu szeptu, który w skali logarytmicznej znajduje się 1 bel powyżej progu Wzmocnienie dźwięku milion razy od szeptu do krzyku (do 10 -5 J/m 2 s) w skali logarytmicznej oznacza wzrost o 6 rzędów wielkości lub 6 Bel.)
Prawdopodobnie taka zasada jest optymalnie ekonomiczna dla rozwoju wielu organizmów. Można to wyraźnie zaobserwować w tworzeniu się spiral logarytmicznych w muszlach mięczaków, rzędach nasion w koszu słonecznika i łuskach w szyszkach. Odległość od środka rośnie zgodnie z prawem r = ae kj. W każdym momencie tempo wzrostu jest liniowo proporcjonalne do samej odległości (co łatwo sprawdzić, biorąc pochodną zapisanej funkcji). Profile noży obrotowych i krajarek wykonane są w formie spirali logarytmicznej.
Konsekwencja 2. Obecność jedynie urojonej części funkcji przy α = 0, β 0 w rozwiązywaniu równań różniczkowych o stałych współczynnikach opisuje różnorodne procesy liniowe i zlinearyzowane, w których zachodzą nietłumione oscylacje harmoniczne.
Ten wniosek prowadzi nas z powrotem do modelu omówionego już powyżej.
Konsekwencja 3. Realizując Wniosek 2, następuje „zamknięcie” w pojedynczej formule liczbowej i e poprzez historyczną formułę Eulera w jej pierwotnej postaci e i = -1.
W tej formie Euler po raz pierwszy opublikował swój wykładnik z wykładnikiem urojonym. Nie jest trudno wyrazić to za pomocą cosinusa i sinusa po lewej stronie. Wówczas modelem geometrycznym tego wzoru będzie ruch po okręgu ze stałą prędkością w wartości bezwzględnej, będącą sumą dwóch drgań harmonicznych. Zgodnie z istotą fizyczną wzór i jego model odzwierciedlają wszystkie trzy podstawowe właściwości czasoprzestrzeni - ich jednorodność i izotropię, a tym samym wszystkie trzy prawa zachowania.
Wniosek
Teza o powiązaniu praw zachowania z jednorodnością czasu i przestrzeni jest niewątpliwie słuszna dla przestrzeni euklidesowej w fizyce klasycznej oraz dla pseudoeuklidesowej przestrzeni Minkowskiego w Ogólnej Teorii Względności (GR, gdzie czas jest czwartą współrzędną). Ale w ramach ogólnej teorii względności pojawia się naturalne pytanie: jaka jest sytuacja w obszarach ogromnych pól grawitacyjnych, w szczególności w pobliżu osobliwości, w pobliżu czarnych dziur? Fizycy mają tutaj różne opinie: większość uważa, że te podstawowe zasady pozostają prawdziwe w tak ekstremalnych warunkach. Istnieją jednak inne punkty widzenia autorytatywnych badaczy. Obaj pracują nad stworzeniem nowej teorii grawitacji kwantowej.
Aby krótko wyobrazić sobie, jakie problemy się tu pojawiają, zacytujmy słowa fizyka-teoretyka, akademika A. A. Logunowa: „To (przestrzeń Minkowskiego. - Automatyczny.) odzwierciedla właściwości wspólne wszystkim formom materii. Zapewnia to istnienie jednolitych cech fizycznych - energii, pędu, momentu pędu, praw zachowania energii, pędu. Ale Einstein argumentował, że jest to możliwe tylko pod jednym warunkiem – przy braku grawitacji<...>. Z tego stwierdzenia Einsteina wynikało, że czasoprzestrzeń nie staje się pseudoeuklidesowa, ale znacznie bardziej złożona w swojej geometrii - riemannowska. To drugie nie jest już jednorodne. Zmienia się z punktu na punkt. Pojawia się właściwość krzywizny przestrzeni. Znika w niej także dokładne sformułowanie praw zachowania, jakie przyjmowano w fizyce klasycznej.<...>Ściśle rzecz biorąc, w ogólnej teorii względności w zasadzie nie da się wprowadzić praw zachowania pędu energii, nie da się ich sformułować” (patrz „Science and Life” nr 2, 3, 1987).
Podstawowe stałe naszego świata, o których naturze mówiliśmy, są znane nie tylko fizykom, ale także autorom tekstów. Tym samym liczba niewymierna równa 3,14159265358979323846... zainspirowała wybitną polską poetkę XX wieku, laureatkę Nagrody Nobla z 1996 roku Wisławę Szymborską, do stworzenia wiersza „Pi”, którego cytatem zakończymy te notatki:
Liczba godna podziwu:
Trzy przecinek jeden cztery jeden.
Każda liczba daje uczucie
początek - pięć dziewięć dwa,
ponieważ nigdy nie dotrzesz do końca.
Nie da się ogarnąć wszystkich liczb na pierwszy rzut oka –
sześć pięć trzy pięć.
Działania arytmetyczne -
osiem dziewięć -
już nie wystarczy i trudno w to uwierzyć -
siedem dziewięć -
że nie ujdzie ci to na sucho - trzy dwa trzy
osiem -
ani równanie, które nie istnieje,
to nie jest żartujące porównanie -
nie możesz ich policzyć.
Przejdźmy dalej: cztery sześć...
(Tłumaczenie z języka polskiego - B. G.)
Miłośnicy matematyki na całym świecie co roku czternastego marca zjadają kawałek ciasta – w końcu jest to dzień Pi, najsłynniejszej liczby niewymiernej. Data ta jest bezpośrednio związana z liczbą, której pierwsze cyfry to 3,14. Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Ponieważ jest to irracjonalne, nie można zapisać go w postaci ułamka zwykłego. Jest to nieskończenie długa liczba. Została odkryta tysiące lat temu i od tego czasu jest nieustannie badana, ale czy Pi ma jeszcze jakieś tajemnice? Od starożytnych początków po niepewną przyszłość – oto niektóre z najciekawszych faktów na temat liczby Pi.
Zapamiętywanie Pi
Rekord w zapamiętywaniu liczb dziesiętnych należy do Rajvira Meeny z Indii, któremu udało się zapamiętać 70 000 cyfr – ustanowił go 21 marca 2015 roku. Wcześniej rekordzistą był Chao Lu z Chin, któremu udało się zapamiętać 67 890 cyfr – rekord ten został ustanowiony w 2005 roku. Nieoficjalnym rekordzistą jest Akira Haraguchi, który w 2005 roku nagrał siebie na wideo, powtarzając 100 000 cyfr, a niedawno opublikował wideo, na którym udaje mu się zapamiętać 117 000 cyfr. Rekord stałby się oficjalny dopiero wtedy, gdyby ten film został nagrany w obecności przedstawiciela Księgi Rekordów Guinnessa, a bez potwierdzenia pozostaje jedynie faktem imponującym, ale nie jest uważany za osiągnięcie. Miłośnicy matematyki uwielbiają zapamiętywać liczbę Pi. Wiele osób stosuje różne techniki mnemoniczne, na przykład poezję, gdzie liczba liter w każdym słowie odpowiada cyfrom Pi. Każdy język ma swoje własne wersje podobnych zwrotów, które pomagają zapamiętać zarówno kilka pierwszych liczb, jak i całą setkę.
Istnieje język Pi
Matematycy, pasjonaci literatury, wymyślili dialekt, w którym liczba liter we wszystkich słowach odpowiada cyfrom Pi w dokładnej kolejności. Pisarz Mike Keith napisał nawet książkę Not a Wake, która jest w całości napisana w języku Pi. Entuzjaści takiej twórczości piszą swoje dzieła w pełnej zgodzie z liczbą liter i znaczeniem cyfr. Nie ma to praktycznego zastosowania, ale jest zjawiskiem dość powszechnym i dobrze znanym w kręgach entuzjastycznych naukowców.
Wzrost wykładniczy
Pi to liczba nieskończona, więc z definicji ludzie nigdy nie będą w stanie ustalić dokładnych cyfr tej liczby. Jednakże liczba miejsc dziesiętnych znacznie wzrosła od czasu pierwszego użycia liczby Pi. Używali go także Babilończycy, ale wystarczył im ułamek trzech całych i jedna ósma. Chińczycy i twórcy Starego Testamentu byli całkowicie ograniczeni do trzech. Do 1665 roku Sir Izaak Newton obliczył 16 cyfr liczby Pi. Do 1719 roku francuski matematyk Tom Fante de Lagny obliczył 127 cyfr. Pojawienie się komputerów radykalnie poprawiło ludzką wiedzę na temat liczby Pi. W latach 1949–1967 liczba cyfr znanych człowiekowi gwałtownie wzrosła z 2 037 do 500 000. Nie tak dawno temu Peter Trueb, naukowiec ze Szwajcarii, był w stanie obliczyć 2,24 biliona cyfr Pi! Zajęło to 105 dni. Oczywiście nie jest to limit. Jest prawdopodobne, że wraz z rozwojem technologii możliwe będzie ustalenie jeszcze dokładniejszej liczby - ponieważ Pi jest nieskończone, dokładność po prostu nie ma ograniczeń i mogą ją ograniczać tylko cechy techniczne technologii komputerowej.
Ręczne obliczanie Pi
Jeśli chcesz sam znaleźć liczbę, możesz skorzystać ze starej techniki - będziesz potrzebować linijki, słoika i sznurka lub możesz skorzystać z kątomierza i ołówka. Wadą używania puszki jest to, że musi być ona okrągła, a dokładność zależy od tego, jak dobrze dana osoba jest w stanie owinąć wokół niej linę. Możesz narysować okrąg za pomocą kątomierza, ale wymaga to również umiejętności i precyzji, ponieważ nierówny okrąg może poważnie zniekształcić pomiary. Bardziej dokładna metoda polega na użyciu geometrii. Podziel okrąg na wiele segmentów, niczym pizzę na plasterki, a następnie oblicz długość linii prostej, która zamieniłaby każdy segment w trójkąt równoramienny. Suma boków da przybliżoną liczbę Pi. Im więcej segmentów użyjesz, tym dokładniejsza będzie liczba. Oczywiście w swoich obliczeniach nie będziesz w stanie zbliżyć się do wyników komputera, jednak te proste eksperymenty pozwalają bardziej szczegółowo zrozumieć, czym jest liczba Pi i jak jest ona wykorzystywana w matematyce. 
Odkrycie Pi
Starożytni Babilończycy wiedzieli o istnieniu liczby Pi już cztery tysiące lat temu. Babilońskie tabliczki obliczają liczbę Pi na 3,125, a egipski papirus matematyczny podaje liczbę 3,1605. W Biblii Pi jest podawane w przestarzałej długości łokci, a grecki matematyk Archimedes użył twierdzenia Pitagorasa, geometrycznej zależności między długością boków trójkąta a polem figur wewnątrz i na zewnątrz okręgów, opisać Pi. Możemy zatem śmiało powiedzieć, że Pi jest jednym z najstarszych pojęć matematycznych, chociaż dokładna nazwa tej liczby pojawiła się stosunkowo niedawno.
Nowe spojrzenie na Pi
Jeszcze zanim liczbę Pi zaczęto wiązać z okręgami, matematycy znali już wiele sposobów na nazwanie tej liczby. Na przykład w starożytnych podręcznikach matematyki można znaleźć wyrażenie po łacinie, które można z grubsza przetłumaczyć jako „wielkość, która pokazuje długość po pomnożeniu przez nią średnicy”. Liczba niewymierna stała się sławna, gdy szwajcarski naukowiec Leonhard Euler użył jej w swojej pracy z trygonometrii w 1737 roku. Jednak grecki symbol Pi nadal nie był używany – stało się to dopiero w książce mniej znanego matematyka Williama Jonesa. Używał go już w 1706 roku, jednak przez długi czas pozostawał niezauważony. Z biegiem czasu naukowcy przyjęli tę nazwę i obecnie jest to najsłynniejsza wersja nazwy, chociaż wcześniej nazywano ją także liczbą Ludolfa.
Czy Pi jest normalną liczbą?
Pi to zdecydowanie dziwna liczba, ale w jakim stopniu podlega normalnym prawom matematycznym? Naukowcy rozwiązali już wiele pytań związanych z tą niewymierną liczbą, ale pewne tajemnice pozostają. Nie wiadomo np. jak często używane są wszystkie liczby – cyfry od 0 do 9 należy stosować w równych proporcjach. Statystyki można jednak prześledzić już od pierwszych bilionów cyfr, jednak ze względu na to, że liczba jest nieskończona, nie da się niczego udowodnić z całą pewnością. Istnieją inne problemy, które wciąż umykają naukowcom. Możliwe, że dalszy rozwój nauki pomoże rzucić na nie światło, ale na razie pozostaje to poza zasięgiem ludzkiej inteligencji.
Pi brzmi bosko
Naukowcy nie potrafią odpowiedzieć na niektóre pytania dotyczące liczby Pi, jednak z roku na rok coraz lepiej rozumieją jej istotę. Już w XVIII wieku udowodniono irracjonalność tej liczby. Ponadto udowodniono, że liczba ta jest transcendentalna. Oznacza to, że nie ma konkretnego wzoru, który pozwalałby obliczyć Pi za pomocą liczb wymiernych. 
Niezadowolenie z liczby Pi
Wielu matematyków jest po prostu zakochanych w Pi, ale są też tacy, którzy uważają, że liczby te nie są szczególnie znaczące. Ponadto twierdzą, że Tau, które jest dwukrotnie większe od Pi, wygodniej jest używać jako liczby niewymiernej. Tau pokazuje związek między obwodem a promieniem, co według niektórych stanowi bardziej logiczną metodę obliczeń. Nie da się jednak niczego jednoznacznie ustalić w tej kwestii, a jedna i druga liczba zawsze będzie miała zwolenników, obie metody mają prawo do życia, więc jest to tylko ciekawostka, a nie powód, aby sądzić, że nie należy użyj liczby Pi.
