Jak określić największą wartość pochodnej z wykresu. W którym momencie wartość pochodnej jest największa? Obliczanie wartości pochodnej

W międzyczasie ( ale,b), ale NS- jest losowo wybranym punktem z danego przedziału. Dajmy argument NS przyrostΔx (dodatnia lub ujemna).

Funkcja y = f (x) otrzyma przyrost Δy równy:

Δy = f (x + Δx) -f (x).

Na nieskończenie małym Δх przyrostΔy jest również nieskończenie mały.

Na przykład:

Rozważmy rozwiązanie pochodnej funkcji na przykładzie swobodnego spadku ciała.

Ponieważ t 2 = t l + Δt, to

.

Po obliczeniu limitu znajdujemy:

Oznaczenie t 1 wprowadza się w celu podkreślenia stałości t przy obliczaniu granicy funkcji. Ponieważ t1 jest dowolną wartością czasu, indeks 1 może zostać usunięty; wtedy otrzymujemy:

Widać, że prędkość w, lubię tę drogę s, jest funkcjonować czas. Typ funkcji v zależy całkowicie od rodzaju funkcji s więc funkcja s jakby "produkował" funkcję v... Stąd nazwa „ funkcja pochodna».

Rozważ inny przykład.

Znajdź wartość pochodnej funkcji:

y = x 2 w x = 7.

Rozwiązanie. Na x = 7 mamy y = 7 2 = 49... Dajmy argument NS przyrost Δ NS... Argument staje się równy 7 + Δ NS, a funkcja otrzyma wartość (7 + Δ x) 2.

Pochodna funkcji jest jednym z trudnych tematów w szkolnym programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.

Ten artykuł wyjaśnia w prosty i jasny sposób, czym jest pochodna i do czego służy.... Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.

Zapamiętajmy definicję:

Pochodna to szybkość zmiany funkcji.

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który z nich rośnie szybciej?

Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmiany, czyli największą pochodną.

Oto kolejny przykład.

Kostia, Grisha i Matvey dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:

Na wykresie widać wszystko od razu, prawda? Dochody Kostyi wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko nieznacznie. A dochód Matveya spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale tempo zmiany funkcji, czyli pochodna, - inny. Co do Matveya, pochodna jego dochodu jest na ogół ujemna.

Intuicyjnie możemy łatwo oszacować tempo zmian funkcji. Ale jak to robimy?

W rzeczywistości patrzymy na to, jak stromo rośnie (lub spada) wykres funkcji. Innymi słowy, jak szybko zmienia się y wraz ze zmianą x. Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różną wartość pochodnej - to znaczy może zmieniać się szybciej lub wolniej.

Oznaczono pochodną funkcji.

Pokażmy, jak go znaleźć za pomocą wykresu.

Narysowany jest wykres jakiejś funkcji. Weźmy punkt z odciętą na nim. Narysujmy w tym miejscu styczną do wykresu funkcji. Chcemy oszacować, jak stromo znajduje się wykres funkcji. Wygodną wartością tego jest tangens kąta nachylenia stycznej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta nachylenia stycznej narysowanej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Uwaga - jako kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi.

Czasami uczniowie pytają, czym jest funkcja styczna. Jest to linia prosta, która ma jeden wspólny punkt z wykresem w tej sekcji i jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.

Znajdziemy to. Pamiętamy, że styczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równa stosunkowi odnogi przeciwległej do sąsiedniej. Z trójkąta:

Znaleźliśmy pochodną za pomocą wykresu, nawet nie znając wzoru funkcji. Takie problemy często znajdują się na egzaminie z matematyki pod numerem.

Jest jeszcze jeden ważny związek. Przypomnijmy, że linię prostą daje równanie

Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej... Jest równy tangensowi kąta nachylenia linii prostej do osi.

.

Rozumiemy to

Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym punkcie.

Innymi słowy, pochodna jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej.

Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja może mieć różne pochodne w różnych punktach. Zobaczmy, jak pochodna jest związana z zachowaniem funkcji.

Narysujmy wykres jakiejś funkcji. Niech ta funkcja wzrasta w niektórych obszarach, a maleje w innych w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.

W pewnym momencie funkcja się zwiększa. Styczna do wykresu narysowanego w punkcie tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi. Oznacza to, że pochodna jest w tym punkcie dodatnia.

W tym momencie nasza funkcja maleje. Styczna w tym punkcie tworzy kąt rozwarty z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w tym punkcie jest ujemna.

Oto, co się dzieje:

Jeśli funkcja rośnie, jej pochodna jest dodatnia.

Jeśli maleje, to jego pochodna jest ujemna.

A co się stanie na maksymalnym i minimalnym punkcie? Widzimy, że w punktach (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. W konsekwencji tangens kąta nachylenia stycznej w tych punktach wynosi zero, a pochodna również wynosi zero.

Punkt jest punktem maksymalnym. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.

W punkcie - punkcie minimalnym - pochodna również wynosi zero, ale jej znak zmienia się z "minus" na "plus".

Wniosek: używając pochodnej możesz dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje o zachowaniu funkcji.

Jeśli pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie.

Jeśli pochodna jest ujemna, funkcja maleje.

W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z „plus” na „minus”.

W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z „minus” na „plus”.

Zapiszmy te wnioski w formie tabeli:

	wzrasta	maksymalny punkt	maleje	punkt minimalny	wzrasta
+	0	-	0	+

Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Jedna z nich będzie Ci potrzebna przy rozwiązywaniu zadań egzaminacyjnych. Kolejny - w pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.

Przypadek jest możliwy, gdy pochodna funkcji w dowolnym punkcie jest równa zero, ale funkcja nie ma w tym punkcie maksimum ani minimum. To jest tak zwany :

W pewnym momencie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna wynosi zero. Jednak do tego momentu funkcja rosła - a po tym punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej nie zmienia się – ponieważ był dodatni, pozostaje.

Zdarza się również, że pochodna nie istnieje w punkcie maksimum lub minimum. Na wykresie odpowiada to ostremu załamaniu, gdy nie można narysować stycznej w danym punkcie.

A jak znaleźć pochodną, ​​jeśli funkcja jest podana nie przez wykres, ale przez formułę? W tym przypadku

Pojawiły się nowe zadania. Przyjrzyjmy się ich rozwiązaniu.

Prototyp misji B8 (nr 317543)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f (x) i zaznaczono punkty -2, -1, 1, 2. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest największa? Wskaż ten punkt w swojej odpowiedzi.

Jak wiemy, nazywa się to

granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera:

Pochodna w punkcie pokazuje szybkość zmiany funkcji w tym momencie. Im szybciej funkcja się zmienia, to znaczy im większy przyrost funkcji, tym większy kąt nachylenia stycznej. Ponieważ w zadaniu należy wyznaczyć punkt, w którym wartość pochodnej jest największa, wyłączamy z rozważań punkty z odciętymi -1 i 1 - w tych punktach funkcja maleje, a pochodna w nich jest ujemna.

Funkcja rośnie w punktach -2 i 2. Jednak wzrasta w nich na różne sposoby - w punkcie -2 wykres funkcji rośnie bardziej stromo niż w punkcie 2, a zatem przyrost funkcji w tym punkcie, a co za tym idzie pochodna jest większa.

Odpowiedź: -2

I podobne zadanie:

Prototypowa misja B8 (nr 317544)

Rysunek przedstawia wykres funkcji i zaznaczono punkty -2, -1, 1, 4. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest najmniejsza? Wskaż ten punkt w swojej odpowiedzi.

Rozwiązanie tego problemu jest podobne do rozwiązania poprzedniego „dokładnie odwrotnie”

Interesuje nas punkt, w którym pochodna przyjmuje najmniejszą wartość, czyli szukamy punktu, w którym funkcja maleje najszybciej - na wykresie jest to punkt, w którym najbardziej strome „zejście”. To jest punkt z odciętą 4.

Ta sekcja zawiera problemy egzaminu z matematyki na tematy związane z badaniem funkcji i ich pochodnych.

Wersje demonstracyjne Ujednolicony egzamin państwowy 2020 rok mogą się spotkać pod numerem 14 na poziomie podstawowym i pod numerem 7 dla poziomu profilu.

Przyjrzyj się bliżej tym trzem wykresom funkcji.
Czy zauważyłeś, że te funkcje są w pewnym sensie „powiązane”?
Na przykład w tych obszarach, w których wykres zielonej funkcji znajduje się powyżej zera, czerwona funkcja wzrasta. W tych obszarach, w których wykres zielonej funkcji jest poniżej zera, czerwona funkcja maleje.
Podobne uwagi można poczynić dla wykresu czerwonego i niebieskiego.
Możesz również zauważyć, że zera zielonej funkcji (kropki x = -1 i x = 3) pokrywają się z skrajnymi punktami czerwonego wykresu: at x = −1 na czerwonym wykresie widzimy lokalne maksimum przy NS = 3 na czerwonym wykresie, lokalne minimum.
Łatwo zauważyć, że lokalne maksima i minima niebieskiego wykresu są osiągane w tych samych punktach, w których czerwony wykres przechodzi przez wartość tak = 0.
Można wyciągnąć jeszcze kilka wniosków na temat osobliwości zachowania tych wykresów, ponieważ są one naprawdę ze sobą powiązane. Spójrz na wzory funkcji znajdujących się pod każdym z wykresów i za pomocą obliczeń upewnij się, że każdy poprzedni jest pochodną dla następnego i odpowiednio, każdy następny jest jedną z preform poprzedniej funkcji .

φ 1 (x ) = φ" 2 (x ) φ 2 (x ) = Φ 1 (x )
φ 2 (x ) = φ" 3 (x ) φ 3 (x ) = Φ 2 (x )

Pamiętajmy, co wiemy o pochodnej:

Pochodna funkcji tak = F(x) w punkcie NS wyraża tempo zmian funkcji w punkcie x.

Fizyczne znaczenie pochodnej polega na tym, że pochodna wyraża szybkość procesu opisanego zależnością y = f (x).

Geometryczne znaczenie pochodnej polega na tym, że jego wartość w rozpatrywanym punkcie jest równa nachyleniu stycznej narysowanej na wykresie funkcji różniczkowalnej w tym punkcie.

Teraz niech na obrazku nie będzie czerwonego wykresu. Załóżmy, że nie znamy również formuł funkcji.

Czy mogę zapytać o coś związanego z zachowaniem funkcji φ 2 (x ) jeśli wiadomo, że jest pochodną funkcji φ 3 (x ) i funkcja pierwotna φ 1 (x )?
Mogą. I na wiele pytań można dokładnie odpowiedzieć, ponieważ wiemy, że pochodna jest charakterystyką szybkości zmian funkcji, więc możemy ocenić niektóre zachowania jednej z tych funkcji, patrząc na wykres drugiej.

Przed udzieleniem odpowiedzi na poniższe pytania przewiń stronę w górę, aby ukryć górną liczbę zawierającą czerwony wykres. Po udzieleniu odpowiedzi włóż je z powrotem, aby sprawdzić wynik. I dopiero po tym zobacz moją decyzję.

Uwaga: Aby wzmocnić efekt nauczania odpowiedzi i rozwiązania są ładowane oddzielnie dla każdego zadania poprzez sekwencyjne naciskanie przycisków na żółtym tle. (Gdy jest dużo zadań, przyciski mogą pojawić się z opóźnieniem. Jeśli przyciski w ogóle nie są widoczne, sprawdź, czy Twoja przeglądarka jest dozwolona JavaScript.)

1) Korzystanie z wykresu pochodnej φ" 2 (x ) (w naszym przypadku jest to wykres zielony), określ, która z 2 wartości funkcji jest większa φ 2 (−3) lub φ 2 (−2)?

Z wykresu pochodnej wynika, że ​​na odcinku [−3;−2] jej wartości są ściśle dodatnie, co oznacza, że ​​funkcja na tym odcinku tylko się zwiększa, a więc wartość funkcji na lewym końcu x = -3 jest mniejsze niż jego wartość na prawym końcu x = −2.

Odpowiadać: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Korzystanie z grafu pierwotnego Φ 2 (x ) (w naszym przypadku jest to wykres niebieski), określ, która z 2 wartości funkcji jest większa φ 2 (−1) lub φ 2 (4)?

Wykres pierwotny pokazuje, że punkt x = -1 znajduje się w obszarze rosnącym, stąd wartość odpowiedniej pochodnej jest dodatnia. Kropka x = 4 znajduje się w obszarze malejącym, a wartość odpowiedniej pochodnej jest ujemna. Ponieważ wartość dodatnia jest większa niż ujemna, wnioskujemy, że wartość nieznanej funkcji, która jest właśnie pochodną, ​​jest mniejsza w punkcie 4 niż w punkcie −1.

Odpowiadać: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Istnieje wiele podobnych pytań, które można zadać na temat brakującego harmonogramu, co prowadzi do dużej różnorodności problemów z krótką odpowiedzią, zbudowanych według tego samego schematu. Spróbuj rozwiązać niektóre z nich.

Zadania wyznaczania charakterystyk pochodnej grafu funkcji.

Obrazek 1.

Rysunek 2.

Problem 1

tak = F (x ) zdefiniowany w przedziale (-10,5; 19). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest dodatnia.

Pochodna funkcji jest dodatnia w tych obszarach, w których funkcja wzrasta. Rysunek pokazuje, że są to przedziały (-10,5; -7,6), (-1; 8,2) i (15,7; 19). Wymieńmy wszystkie punkty wewnątrz tych przedziałów: „−10”, „- 9”, „−8”, „0”, „1”, „2”, „3”, „4”, „5”, „6 ", "7", "8", "16", "17", "18". W sumie jest 15 punktów.

Odpowiadać: 15

Uwagi.
1. Gdy w problemach dotyczących wykresów funkcji wymagane jest nazwanie „punktów”, z reguły mają one na myśli tylko wartości argumentu x , które są odciętymi odpowiadającymi punktami znajdującymi się na wykresie. Rzędne tych punktów są wartościami funkcji, są zależne i w razie potrzeby można je łatwo obliczyć.
2. Wymieniając punkty, nie braliśmy pod uwagę krawędzi przedziałów, ponieważ funkcja w tych punktach nie zwiększa się ani nie zmniejsza, ale „rozwija się”. Pochodna w takich punktach nie jest ani dodatnia, ani ujemna, jest równa zeru, dlatego nazywa się je punktami stacjonarnymi. Ponadto nie uwzględniamy tutaj granic dziedziny definicji, ponieważ warunek mówi, że jest to przedział.

Zadanie 2

Rysunek 1 przedstawia wykres funkcji tak = F (x ) zdefiniowany w przedziale (-10,5; 19). Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji F " (x ) ma wartość ujemną.

Pochodna funkcji jest ujemna w tych obszarach, w których funkcja maleje. Rysunek pokazuje, że są to przedziały (−7,6; −1) i (8,2; 15,7). Punkty całkowite w tych przedziałach: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "-2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Łącznie jest 13 punktów.

Odpowiadać: 13

Zobacz uwagi do poprzedniego zadania.

Aby rozwiązać poniższe problemy, musisz zapamiętać jeszcze jedną definicję.

Maksymalne i minimalne punkty funkcji łączy wspólna nazwa - punkty ekstremalne .

W tych punktach pochodna funkcji wynosi zero lub nie istnieje ( konieczny warunek ekstremalny).
Warunkiem koniecznym jest jednak znak, a nie gwarancja istnienia ekstremum funkcji. Wystarczający warunek dla ekstremum jest zmianą znaku pochodnej: jeśli pochodna w punkcie zmienia znak z „+” na „-”, to jest to maksymalny punkt funkcji; jeśli pochodna w punkcie zmienia znak z „-” na „+”, to jest to punkt minimalny funkcji; jeśli pochodna funkcji jest równa zero w punkcie lub nie istnieje, ale znak pochodnej nie zmienia się na przeciwny podczas przechodzenia przez ten punkt, to określony punkt nie jest punktem ekstremum funkcji. Może to być punkt przegięcia, punkt przerwania lub punkt przerwania na wykresie funkcji.

Problem 3

Rysunek 1 przedstawia wykres funkcji tak = F (x ) zdefiniowany w przedziale (-10,5; 19). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej tak = 6 lub pasuje do niego.

Przypomnijmy, że równanie prostej ma postać tak = kx + b , gdzie k- współczynnik nachylenia tej prostej do osi Wół... W naszym przypadku k= 0, tj. proste tak = 6 nie pochylone, ale równoległe do osi Wół... Oznacza to, że wymagane styczne muszą być również równoległe do osi Wół i musi również mieć współczynnik nachylenia równy 0. Styczne mają tę właściwość w skrajnych punktach funkcji. Dlatego, aby odpowiedzieć na pytanie, wystarczy obliczyć wszystkie skrajne punkty na wykresie. Jest ich 4 - dwa punkty maksymalne i dwa punkty minimalne.

Odpowiadać: 4

Problem 4

Funkcje tak = F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). Znajdź sumę ekstremów funkcji na odcinku.

Na wskazanym segmencie widzimy 2 punkty ekstremum. Maksimum funkcji zostaje osiągnięte w punkcie x 1 = 4, minimum w punkcie x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

Odpowiadać: 12

Problem 5

Rysunek 1 przedstawia wykres funkcji tak = F (x ) zdefiniowany w przedziale (-10,5; 19). Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji F " (x ) jest równe 0.

Pochodna funkcji jest równa zeru w punktach ekstremów, z których 4 są widoczne na wykresie:
2 punkty maksimum i 2 punkty minimum.

Odpowiadać: 4

Zadania wyznaczania charakterystyk funkcji z wykresu jej pochodnej.

Obrazek 1.

Rysunek 2.

Problem 6

Rysunek 2 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). W którym punkcie odcinka [−6; 2] funkcja F (x ) przyjmuje największą wartość.

We wskazanym przedziale pochodna nigdzie nie była dodatnia, dlatego funkcja nie wzrosła. Zmniejszał się lub przechodził przez punkty stacjonarne. W ten sposób funkcja osiągnęła największą wartość na lewej krawędzi segmentu: x = −6.

Odpowiadać: −6

Komentarz: Z wykresu pochodnej wynika, że ​​na odcinku [−6; 2] jest ona równa zero trzy razy: w punktach x = −6, x = −2, x = 2. Ale w punkcie x = −2, nie zmienił znaku, co oznacza, że ​​w tym miejscu nie mogło być ekstremum funkcji. Najprawdopodobniej na oryginalnym wykresie funkcji znajdował się punkt przegięcia.

Problem 7

Rysunek 2 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). W którym punkcie segmentu funkcja przyjmuje najmniejszą wartość.

Na segmencie pochodna jest ściśle dodatnia, dlatego funkcja na tym segmencie tylko wzrosła. W ten sposób funkcja osiągnęła najmniejszą wartość na lewej krawędzi segmentu: x = 3.

Odpowiadać: 3

Problem 8

Rysunek 2 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F (x ) należące do segmentu [-5;10].

Zgodnie z warunkiem koniecznym dla ekstremum, maksimum funkcji może w punktach, w których jego pochodna wynosi zero. Na danym odcinku są to punkty: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Ale zgodnie z warunkiem wystarczającym, it na pewno będzie tylko w tych z nich, w których znak pochodnej zmienia się z „+” na „-”. Na wykresie pochodnej widzimy, że z wymienionych punktów jest taki tylko punkt x = 6.

Odpowiadać: 1

Problem 9

Rysunek 2 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F (x ) należące do segmentu.

Ekstrema funkcji mogą znajdować się w tych punktach, w których jej pochodna wynosi 0. Na danym odcinku wykresu pochodnej widzimy 5 takich punktów: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Ale w punkcie x = 14 pochodna nie zmieniła swojego znaku, dlatego należy ją wyłączyć z rozważań. To pozostawia 4 punkty.

Odpowiadać: 4

Problem 10

Rysunek 1 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowany w przedziale (-10,5; 19). Znajdź przedziały funkcji narastania F (x ). W odpowiedzi podaj długość najdłuższego z nich.

Przedziały wzrostu funkcji pokrywają się z przedziałami dodatniości pochodnej. Na wykresie widzimy trzy z nich - (−9; −7), (4; 12), (18; 19). Najdłuższy z nich to drugi. Jego długość ja = 12 − 4 = 8.

Odpowiadać: 8

Zadanie 11

Rysunek 2 przedstawia wykres F " (x ) - pochodna funkcji F (x ) zdefiniowane w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F (x ) jest równoległa do linii prostej tak = −2x − 11 lub pasuje do niego.

Nachylenie (inaczej tangens nachylenia) danej linii prostej k = −2. Interesują nas styczne równoległe lub zbieżne, tj. linie proste o tym samym nachyleniu. Na podstawie geometrycznego znaczenia pochodnej - nachylenia stycznej w rozważanym punkcie wykresu funkcji, ponownie obliczamy punkty, w których pochodna jest równa -2. Na rysunku 2 pokazano 9 takich punktów, wygodnie jest je policzyć według przecięć wykresu i linii siatki przechodzącej przez wartość -2 na osi Oy.

Odpowiadać: 9

Jak widać, korzystając z tego samego wykresu, możesz zadawać różne pytania dotyczące zachowania funkcji i jej pochodnej. To samo pytanie można również przypisać wykresom różnych funkcji. Bądź ostrożny podczas rozwiązywania tego problemu na egzaminie, a wyda ci się to bardzo łatwe. Inne rodzaje problemów w tym zadaniu - dotyczące geometrycznego znaczenia funkcji pierwotnej - zostaną omówione w innej sekcji.

Cześć! Uderzmy w nadchodzące USE wysokiej jakości systematycznym preparatem i wytrwałością w kruszeniu granitu nauki !!! Wna końcu posta jest problem z konkurencją, bądź pierwszy! W jednym z artykułów tego nagłówka jesteśmy z wami, w którym podano wykres funkcji i postawiono różne pytania dotyczące ekstremów, przedziałów wzrostu (spadku) i innych.

W tym artykule rozważymy zadania zawarte w egzaminie z matematyki, w którym podany jest wykres pochodnej funkcji, i postawione zostaną następujące pytania:

1. W którym punkcie danego segmentu funkcja przyjmuje największą (lub najmniejszą) wartość.

2. Znajdź liczbę maksymalnych (lub minimalnych) punktów funkcji należących do danego segmentu.

3. Znajdź liczbę ekstremów funkcji należących do danego segmentu.

4. Znajdź ekstremum funkcji należącej do danego segmentu.

5. Znajdź przedziały narastania (lub malejącego) funkcji iw odpowiedzi wskaż sumę punktów całkowitych zawartych w tych przedziałach.

6. Znajdź przedziały wzrostu (lub spadku) funkcji. W odpowiedzi podaj długość największego z tych przedziałów.

7. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej postaci y = kx + b lub się z nią pokrywa.

8. Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętej lub się z nią pokrywa.

Mogą pojawić się inne pytania, ale nie spowodują one żadnych trudności, jeśli zrozumiesz i (linki do artykułów, które dostarczają informacji niezbędnych do rozwiązania, polecam powtórzyć).

Podstawowe informacje (krótko):

1. Pochodna na narastających przedziałach ma znak dodatni.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie z pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to na tym przedziale rośnie wykres funkcji.

2. Na przedziałach spadków pochodna ma znak ujemny.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie z pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.

3. Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym samym punkcie.

4. W punktach ekstremum (maksimum-minimum) funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi wół.

Należy to jasno zrozumieć i zapamiętać !!!

Wielu jest zdezorientowanych wykresem pochodnych. Niektórzy nieumyślnie mylą go z wykresem samej funkcji. Dlatego w takich budynkach, w których widzisz, że dany jest wykres, natychmiast skup swoją uwagę w warunku na tym, co jest dane: wykres funkcji czy wykres pochodnej funkcji?

Jeśli jest to wykres pochodnej funkcji, potraktuj go jako „odbicie” samej funkcji, co po prostu daje informacje o tej funkcji.

Rozważ zadanie:

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany w przedziale (–2; 21).

Odpowiemy na następujące pytania:

1. W którym punkcie segmentu jest funkcja? F(NS) ma największą wartość.

Na danym odcinku pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że ​​funkcja maleje na tym odcinku (zmniejsza się od lewej granicy przedziału do prawej). W ten sposób największą wartość funkcji uzyskuje się na lewej krawędzi odcinka, czyli w punkcie 7.

Odpowiedź: 7

2. W którym punkcie segmentu jest funkcja? F(NS)

Na podstawie tego wykresu pochodnego możemy powiedzieć, co następuje. Na danym odcinku pochodna funkcji jest dodatnia, co oznacza, że ​​funkcja rośnie na tym odcinku (wzrasta od lewej granicy przedziału do prawej). Tym samym najmniejsza wartość funkcji zostaje osiągnięta na lewej krawędzi odcinka, czyli w punkcie x = 3.

Odpowiedź: 3

3. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(NS)

Punkty maksymalne odpowiadają punktom zmiany znaku pochodnej z dodatniej na ujemną. Zastanówmy się, gdzie znak zmienia się w ten sposób.

Na odcinku (3; 6) pochodna jest dodatnia, na odcinku (6; 16) jest ujemna.

Na odcinku (16; 18) pochodna jest dodatnia, na odcinku (18; 20) ujemna.

Zatem na danym odcinku funkcja ma dwa punkty maksymalne x = 6 i x = 18.

Odpowiedź: 2

4. Znajdź liczbę minimalnych punktów funkcji F(NS) należące do segmentu.

Punkty minimalne odpowiadają punktom zmiany znaku pochodnej z ujemnej na dodatnią. Nasza pochodna na przedziale (0; 3) jest ujemna, na przedziale (3; 4) jest dodatnia.

Zatem funkcja ma tylko jeden punkt minimum x = 3 na odcinku.

* Zachowaj ostrożność przy zapisywaniu odpowiedzi - zapisywana jest liczba punktów, a nie wartość x, taki błąd można popełnić z powodu nieuwagi.

Odpowiedź 1

5. Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(NS) należące do segmentu.

Pamiętaj, że musisz znaleźć ilość punkty ekstremum (są to zarówno punkty maksymalne, jak i minimalne).

Punkty ekstremum odpowiadają punktom zmiany znaku pochodnej (z dodatniej na ujemną lub odwrotnie). Na danym wykresie w warunku są to zera funkcji. Pochodna znika w punktach 3, 6, 16, 18.

Zatem funkcja ma 4 ekstrema na segmencie.

Odpowiedź: 4

6. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(NS)

Rosnące interwały tej funkcji F(NS) odpowiadają przedziałom, na których jego pochodna jest dodatnia, czyli przedziałom (3; 6) i (16; 18). Należy pamiętać, że granice przedziału nie są w nim zawarte (nawiasy - granice nie są wliczane do przedziału, kwadratowe - są uwzględniane). Przedziały te zawierają punkty całkowite 4, 5, 17. Ich suma wynosi: 4 + 5 + 17 = 26

Odpowiedź: 26

7. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(NS) w określonym przedziale czasu. W swojej odpowiedzi podaj sumę pełnych punktów zawartych w tych przedziałach.

Zmniejsz interwały funkcji F(NS) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. W tym problemie są to interwały (–2; 3), (6; 16), (18; 21).

Przedziały te zawierają następujące punkty całkowite: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich suma wynosi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpowiedź: 140

* Zwróć uwagę na warunek: czy granice są zawarte w przedziale, czy nie. Jeśli granice są uwzględnione, to w przedziałach branych pod uwagę w procesie rozwiązania granice te muszą być również brane pod uwagę.

8. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(NS)

Rosnące interwały funkcji F(NS) odpowiadają przedziałom, na których pochodna funkcji jest dodatnia. Wskazaliśmy już je: (3; 6) i (16; 18). Największym z nich jest przedział (3; 6), jego długość wynosi 3.

Odpowiedź: 3

9. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(NS)... W odpowiedzi podaj długość najdłuższego z nich.

Zmniejsz interwały funkcji F(NS) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. Wskazaliśmy już je, są to przedziały (–2; 3), (6; 16), (18; 21), ich długości są odpowiednio równe 5, 10, 3.

Długość największego to 10.

Odpowiedź: 10

10. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F(NS) równoległa do prostej y = 2x + 3 lub zbiega się z nią.

Wartość pochodnej w punkcie stycznej jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do prostej y = 2x + 3 lub zbiega się z nią, ich nachylenia wynoszą 2. Dlatego konieczne jest znalezienie liczby punktów, w których y ′ (x 0) = 2. Geometrycznie odpowiada to do liczby punktów przecięcia wykresu pochodnej z prostą y = 2. Na tym przedziale znajdują się 4 takie punkty.

Odpowiedź: 4

11. Znajdź ekstremum funkcji F(NS) należące do segmentu.

Ekstremum funkcji to punkt, w którym jej pochodna wynosi zero, aw pobliżu tego punktu pochodna zmienia znak (z dodatniej na ujemną lub odwrotnie). Na odcinku wykres pochodnej przecina oś odciętych, pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Dlatego punkt x = 3 jest punktem ekstremum.

Odpowiedź: 3

12. Znajdź odcięte punkty, w których styczne do wykresu y = f (x) są równoległe do osi odciętej lub z nią pokrywają się. Wskaż największe z nich w swojej odpowiedzi.

Styczna do wykresu y = f (x) może być równoległa do osi odciętej lub pokrywać się z nią tylko w punktach, w których pochodna wynosi zero (mogą to być punkty ekstremum lub punkty stacjonarne, w pobliżu których pochodna nie zmienić jego znak). Ten wykres pokazuje, że pochodna jest równa zero w punktach 3, 6, 16, 18. Największy ma 18 lat.

Możesz zbudować rozumowanie w ten sposób:

Wartość pochodnej w punkcie stycznej jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do odciętej lub pokrywa się z nią, jej nachylenie wynosi 0 (w rzeczywistości styczna zero stopni wynosi zero). Dlatego szukamy punktu, w którym nachylenie jest równe zeru, co oznacza, że ​​pochodna jest równa zeru. Pochodna jest równa zeru w punkcie, w którym jej wykres przecina oś odciętych, a są to punkty 3, 6, 16, 18.

Odpowiedź: 18

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (–8; 4). W którym punkcie odcinka [–7;–3] funkcja F(NS) przyjmuje najmniejszą wartość.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (–7; 14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(NS) należące do segmentu [–6;9].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (-18; 6). Znajdź liczbę minimalnych punktów funkcji F(NS) należące do segmentu [–13; 1].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany w przedziale (–11; –11). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(NS) należący do segmentu [–10; -10].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (–7; 4). Znajdź przedziały funkcji narastania F(NS)... W swojej odpowiedzi podaj sumę pełnych punktów zawartych w tych przedziałach.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (–5; 7). Znajdź przedziały funkcji malejącej F(NS)... W swojej odpowiedzi podaj sumę pełnych punktów zawartych w tych przedziałach.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(N)- pochodna funkcji F(NS) zdefiniowany na przedziale (–11; 3). Znajdź przedziały funkcji narastania F(NS)... W odpowiedzi podaj długość najdłuższego z nich.

F Rysunek przedstawia wykres

Stan problemu jest taki sam (co rozważaliśmy). Znajdź sumę trzech liczb:

1. Suma kwadratów ekstremów funkcji f (x).

2. Różnica między kwadratami sumy punktów maksymalnych i sumy punktów minimalnych funkcji f(x).

3. Liczba stycznych do f (x) równoległych do prostej y = –3x + 5.

Pierwsza osoba, która udzieli prawidłowej odpowiedzi, otrzyma nagrodę motywacyjną - 150 rubli. Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach. Jeśli jest to Twój pierwszy komentarz na blogu, to nie pojawi się on od razu, trochę później (nie martw się, czas napisania komentarza jest rejestrowany).

Sukces dla Ciebie!

Pozdrawiam, Aleksander Krutitsikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś mógł nam opowiedzieć o stronie w sieciach społecznościowych.