Wielościan składający się z dwóch płaskich wielokątów. Wielościany i ich rodzaje

Wstęp

Powierzchnia składająca się z wielokątów i ograniczająca pewną bryłę geometryczną nazywana jest powierzchnią wielościenną lub wielościanem.

Wielościan jest ciałem ograniczonym, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby wielokątów. Wielokąty wiążące wielościan nazywane są ścianami, a linie przecięcia ścian nazywane są krawędziami.

Wielościany mogą mieć zróżnicowaną i bardzo złożoną strukturę. Przykładami wielościanów są różne konstrukcje, takie jak budowane domy murowane i betonowe. Inne przykłady można znaleźć wśród mebli, takich jak stół. W chemii kształt cząsteczek węglowodorów to czworościan, regularny 20-boczny sześcian. W fizyce kryształy są przykładem wielościanów.

Od czasów starożytnych pojęcie piękna kojarzone było z symetrią. Prawdopodobnie wyjaśnia to zainteresowanie człowieka wielościanami - niesamowitymi symbolami symetrii, które przyciągały uwagę wybitnych myślicieli, których uderzyło piękno, doskonałość, harmonia tych postaci.

Pierwsze wzmianki o wielościanach znane są już od trzech tysięcy lat pne w Egipcie i Babilonie. Wystarczy przypomnieć słynne egipskie piramidy i najsłynniejszą z nich – piramidę Cheopsa. Jest to regularna piramida, u podstawy której znajduje się kwadrat o boku 233 mi wysokości 146,5 m. Nie przypadkiem mówią, że piramida Cheopsa to niemy traktat o geometrii.

Historia wielościanów regularnych sięga czasów starożytnych. Począwszy od VII wieku pne w starożytnej Grecji powstawały szkoły filozoficzne, w których następowało stopniowe przechodzenie od geometrii praktycznej do filozoficznej. Duże znaczenie w tych szkołach ma rozumowanie, za pomocą którego można było uzyskać nowe właściwości geometryczne.

Jedną z pierwszych i najbardziej znanych szkół była szkoła pitagorejska, nazwana na cześć jej założyciela, Pitagorasa. Charakterystycznym znakiem pitagorejczyków był pentagram, w języku matematyki jest to regularny pięciokąt niewypukły lub w kształcie gwiazdy. Pentagramowi przypisano zdolność ochrony osoby przed złymi duchami.

Pitagorejczycy wierzyli, że materia składa się z czterech podstawowych elementów: ognia, ziemi, powietrza i wody. Przypisali istnienie pięciu wielościanów foremnych strukturze materii i Wszechświata. Według tej opinii atomy głównych pierwiastków powinny mieć postać różnych ciał:

§ Wszechświat jest dwunastościanem

§ Ziemia - kostka

§ Ogień jest czworościanem

§ Woda to dwudziestościan

§ Powietrze jest ośmiościanem

Później nauczanie pitagorejczyków o wielościanach regularnych zostało przedstawione w jego pismach przez innego starożytnego greckiego naukowca, filozofa - idealistę Platona. Od tego czasu wielościany regularne nazywane są bryłami platońskimi.

Bryły platońskie nazywane są regularnymi jednorodnymi wielościanami wypukłymi, to znaczy wielościanami wypukłymi, których wszystkie ściany i kąty są równe, a ściany są wielokątami foremnymi. Ta sama liczba krawędzi zbiega się do każdego wierzchołka regularnego polytope. Wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach i wszystkie kąty wielościenne na wierzchołkach wielokąta foremnego są sobie równe. Bryły platońskie są trójwymiarowym odpowiednikiem płaskich wielokątów foremnych.

Teoria wielościanów to nowoczesna gałąź matematyki. Jest ściśle związana z topologią, teorią grafów, ma duże znaczenie zarówno w badaniach teoretycznych w geometrii, jak i praktycznych zastosowaniach w innych gałęziach matematyki, np. w algebrze, teorii liczb, matematyce stosowanej - programowaniu liniowym, teorii sterowania optymalnego. Dlatego temat ten jest istotny, a wiedza na ten temat jest ważna dla współczesnego społeczeństwa.

Główną częścią

Wielościan jest ciałem ograniczonym, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby wielokątów.

Podajmy definicję wielościanu, która odpowiada pierwszej definicji wielościanu.

Wielościan – jest to liczba będąca sumą skończonej liczby czworościanów, dla której spełnione są następujące warunki:

1) co dwie czworościany nie mają punktów wspólnych lub mają wspólny wierzchołek lub tylko wspólną krawędź lub całą wspólną twarz;

2) z każdego czworościanu do drugiego można przejść wzdłuż łańcucha czworościanu, w którym każdy kolejny przylega do poprzedniego wzdłuż całej ściany.

Elementy wielościanu

Twarz wielościanu to pewien wielokąt (ograniczony obszar zamknięty nazywany jest wielokątem, którego granica składa się ze skończonej liczby segmentów).

Boki ścian nazywane są krawędziami wielościanu, a wierzchołki ścian nazywane są wierzchołkami wielościanu. Do elementów wielościanu, oprócz wierzchołków, krawędzi i ścian zaliczają się również kąty płaskie jego ścian oraz kąty dwuścienne na jego krawędziach. Kąt dwuścienny na krawędzi wielościanu jest określony przez jego ściany, które pasują do tej krawędzi.

Klasyfikacja wielościanów

Wielościan wypukły - jest to wielościan, którego dowolne dwa punkty są w nim połączone segmentem. Wielościany wypukłe mają wiele niezwykłych właściwości.

Twierdzenie Eulera. Dla każdego wypukłego politopu V-R + G = 2,

Gdzie W - liczba jego wierzchołków, r - ilość jego żeber, g - liczba jego twarzy.

Twierdzenie Cauchy'ego. Dwie zamknięte wielościany wypukłe, jednakowo złożone z odpowiednio równych ścian, są równe.

Wielościan wypukły jest uważany za regularny, jeśli wszystkie jego ściany są równymi wielokątami foremnymi, a na każdym z jego wierzchołków zbiega się taka sama liczba krawędzi.

Wielościan regularny

Wielościan nazywa się regularnym, jeśli po pierwsze jest wypukły, po drugie, wszystkie jego ściany są równe sobie regularnym wielokątom, po trzecie, w każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba ścian, a po czwarte, wszystkie jego kąty dwuścienne są równe.

Istnieje pięć wypukłych wielościanów foremnych – czworościan, ośmiościan i dwudziestościan o ścianach trójkątnych, sześcian (sześcian) o ścianach kwadratowych oraz dwunastościan o ścianach pięciokątnych. Dowód na to znany jest od ponad dwóch tysięcy lat; wraz z tym dowodem i badaniem pięciu ciał regularnych kończą się „Początki” Euklidesa (starożytnego greckiego matematyka, autora pierwszych traktatów teoretycznych o matematyce, które do nas dotarły). Dlaczego regularne wielościany otrzymały takie nazwy? Wynika to z liczby ich twarzy. Czworościan ma 4 twarze, w tłumaczeniu z greckiego „tetra” - cztery, „edron” - twarz. Sześcian (kostka) ma 6 twarzy, „hexa” - sześć; ośmiościan - ośmiościan, „okto” - osiem; dwunastościan - dwunastościan, „dodeka” - dwanaście; dwudziestościan ma 20 twarzy, ikosi ma dwadzieścia.

2.3. Rodzaje wielościanów regularnych:

1) Czworościan regularny(złożony z czterech trójkątów równobocznych. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech trójkątów. Dlatego suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 180 0);

2)Sześcian- równoległościan, którego wszystkie powierzchnie są kwadratami. Sześcian składa się z sześciu kwadratów. Każdy wierzchołek sześcianu jest wierzchołkiem trzech kwadratów. Dlatego suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 270 0.

3) Regularny ośmiościan lub po prostu oktaedr– wielościan z ośmioma regularnymi trójkątnymi ścianami i czterema ścianami zbiegającymi się w każdym wierzchołku. Oktaed składa się z ośmiu trójkątów równobocznych. Każdy wierzchołek ośmiościanu jest wierzchołkiem czterech trójkątów. Dlatego suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 240 0. Można go zbudować, dodając dwie piramidy u podstaw, u których podstawy znajdują się kwadraty, a ściany boczne są regularnymi trójkątami. Krawędzie ośmiościanu można uzyskać łącząc środki sąsiednich ścian sześcianu, ale jeśli połączymy środki sąsiednich ścian ośmiościanu foremnego, otrzymamy krawędzie sześcianu. Mówi się, że sześcian i ośmiościan są do siebie podwójne.

4)dwudziestościan- składa się z dwudziestu trójkątów równobocznych. Każdy wierzchołek dwudziestościanu jest wierzchołkiem pięciu trójkątów. Dlatego suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 300 0.

5) Dwunastościan- wielościan złożony z dwunastu pięciokątów foremnych. Każdy wierzchołek dwunastościanu jest wierzchołkiem trzech pięciokątów foremnych. Dlatego suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 324 0.

Dwunastościan i dwudziestościan są również dualne w tym sensie, że łącząc środki sąsiednich ścian dwudziestościanu segmentami, otrzymujemy dwunastościan i vice versa.

Czworościan foremny jest podwójny do siebie.

Co więcej, nie ma foremnego wielokąta, którego ścianki są foremnymi sześciokątami, siedmiokątami i ogólnie n-kątami dla n ≥ 6.

Wielościan foremny to wielościan, w którym wszystkie ściany są równymi wielokątami foremnymi, a wszystkie kąty dwuścienne są równe. Ale są też wielościany, w których wszystkie kąty wielościanów są równe, a ściany są regularne, ale przeciwległe do regularnych wielokątów. Wielościany tego typu nazywane są wielościanami równo-półregularnymi. Po raz pierwszy tego typu wielościany odkrył Archimedes. Opisał szczegółowo 13 wielościanów, które później nazwano ciałami Archimedesa na cześć wielkiego naukowca. Jest to ścięty czworościan, ścięty oksościan, ścięty dwudziestościan, ścięty sześcian, ścięty dwunastościan, prostopadłościan, dwudziestościan ścięty, ścięty prostopadłościan, ścięty dwudziestościan, ośmiościan ścięty, ośmiościan ośmiościan, ośmiościan ścięty

2.4. Wielościany półregularne lub bryły Archimedesa to wielościany wypukłe o dwóch właściwościach:

1. Wszystkie ściany są wielokątami foremnymi dwóch lub więcej typów (jeśli wszystkie ściany są wielokątami foremnymi tego samego typu, jest to wielościan foremny).

2. Dla każdej pary wierzchołków istnieje symetria wielościanu (to znaczy ruch, który przekształca wielościan w siebie), który przekształca jeden wierzchołek w drugi. W szczególności wszystkie wielościenne kąty wierzchołków są przystające.

Oprócz wielościanów półregularnych z wielościanów regularnych – brył platońskich, można otrzymać tzw. wielościany regularne gwiaździste. Jest ich tylko cztery, nazywane są też ciałami Keplera-Poinsota. Kepler odkrył mały dwunastościan, którego nazwał kolczastym lub jeżem, oraz duży dwunastościan. Poinsot odkrył dwie inne wielościany regularne gwiaździste, odpowiednio podwójne do pierwszego dwa: wielki dwunastościan gwiaździsty i wielki dwudziestościan.

Dwa czworościany przechodzące jeden przez drugi tworzą ośmiościan. Johannes Kepler nadał tej postaci nazwę „stella octagula” – „gwiazda ośmiokątna”. Występuje również w naturze: jest to tak zwany podwójny kryształ.

W definicji prawidłowego wielościanu celowo – na podstawie pozornej oczywistości – nie podkreślono słowa „wypukły”. A to oznacza dodatkowy wymóg: „i wszystkie twarze, które leżą po jednej stronie samolotu przechodzącego przez którąkolwiek z nich”. Jeśli odrzucimy takie ograniczenie, to do brył platońskich, oprócz „rozszerzonego ośmiościanu”, będziemy musieli dodać jeszcze cztery wielościany (nazywane są ciałami Keplera-Poinsota), z których każdy będzie „prawie regularny”. Wszystkie z nich uzyskuje się przez „wpatrywanie się” Płatonowa ciała, to znaczy przedłużenie jego krawędzi, aż przecinają się ze sobą, a zatem nazywane są gwiazdami. Sześcian i czworościan nie generują nowych figur – ich twarze, bez względu na to, jak bardzo się posuwasz, nie przecinają się.

Jeśli przedłużymy wszystkie ściany ośmiościanu, aż się przeciąją, otrzymamy figurę, która powstaje, gdy przenikają się dwa czworościany - „stela oktangula”, która nazywa się „ciągła ośmiościan ”.

Dwudziestościan i dwunastościan dają światu jednocześnie cztery „prawie regularne wielościany”. Jednym z nich jest mały dwunastościan gwiaździsty, po raz pierwszy uzyskany przez Johannesa Keplera.

Od wieków matematycy nie uznawali prawa do nazywania się wielokątem dla wszystkich rodzajów gwiazd ze względu na to, że ich boki się przecinają. Ludwig Schläfli nie wyrzucił geometrycznego ciała z rodziny wielościanów tylko dlatego, że jego twarze się przecinają, niemniej jednak pozostał nieugięty, jeśli chodzi o mały gwiaździsty dwunastościan. Jego argument był prosty i ważki: to zwierzę Keplera nie przestrzega formuły Eulera! Powstają ciernie dwanaście ścian, trzydzieści krawędzi i dwanaście wierzchołków, a zatem B + G-R wcale nie jest równe dwóm.

Schläfli miał zarówno rację, jak i błąd. Oczywiście geometryczny jeż nie jest tak kłujący, by zbuntować się przeciwko niezawodnej formule. Trzeba tylko nie zakładać, że składa się z dwunastu przecinających się twarzy w kształcie gwiazdy, ale patrzeć na nią jako na proste, uczciwe ciało geometryczne, złożone z 60 trójkątów, o 90 krawędziach i 32 wierzchołkach.

Wtedy В + Г-Р = 32 + 60-90 jest równe, tak jak powinno być, 2. Ale wtedy słowo "poprawny" nie ma zastosowania do tego wielościanu - w końcu jego twarze nie są teraz równoboczne, ale tylko trójkąty równoramienne. Kepler nie myślał, że postać, którą otrzymał, ma podwójne.

Wielościan, zwany „wielkim dwunastościanem”, został zbudowany przez francuskiego geometra Louisa Poinseau dwieście lat po keplerowskich figurach w kształcie gwiazdy.

Duży dwudziestościan został po raz pierwszy opisany przez Louisa Poinseau w 1809 roku. I znowu Kepler, widząc duży gwiaździsty dwunastościan, pozostawił Louisowi Poinseau zaszczyt otwarcia drugiej figury. Liczby te są również zgodne z połową wzoru Eulera.

Praktyczne użycie

Wielościany w przyrodzie

Najkorzystniejszymi kształtami są wielościany regularne, dlatego są one szeroko rozpowszechnione w przyrodzie. Potwierdza to kształt niektórych kryształów. Na przykład kryształy soli kuchennej mają kształt sześcianu. Do produkcji aluminium wykorzystywany jest kwarc aluminiowo-potasowy, którego monokryształ ma kształt regularnego ośmiościanu. Produkcja kwasu siarkowego, żelaza i specjalnych gatunków cementu nie jest kompletna bez pirytu. Kryształy tej substancji chemicznej mają kształt dwunastościanu. Siarczan sodu antymonu, substancja zsyntetyzowana przez naukowców, jest wykorzystywana w różnych reakcjach chemicznych. Kryształ siarczanu sodu antymonu ma kształt czworościanu. Ostatni wielościan foremny, dwudziestościan, nadaje kształt kryształom boru.

Wielościany gwiaździste są bardzo dekoracyjne, co pozwala na szerokie zastosowanie w branży jubilerskiej przy wytwarzaniu wszelkiego rodzaju biżuterii. Wykorzystywane są również w architekturze. Wiele form wielościanów gwiaździstych sugeruje sama natura. Płatki śniegu to wielościany gwiaździste. Od czasów starożytnych ludzie próbowali opisywać wszystkie możliwe rodzaje płatków śniegu, tworzyli specjalne atlasy. Obecnie znanych jest kilka tysięcy różnych rodzajów płatków śniegu.

Wielościany regularne występują również w przyrodzie. Na przykład szkielet jednokomórkowego organizmu Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) przypomina kształtem dwudziestościan. Większość feudariów żyje w głębinach morskich i służy jako łup dla ryb koralowych. Ale najprostsze zwierzę broni się dwunastoma igłami wystającymi z 12 wierzchołków szkieletu. Wygląda bardziej jak gwiaździsty wielościan.

Możemy również zaobserwować wielościany w postaci kwiatów. Kaktusy są najlepszym przykładem.

Podobne informacje.

„Rodzaje wielościanów” - Wielościany regularne. Dwunastościan. Mały dwunastościan gwiaździsty. Wielościany. Prostopadłościan. Ciała Platona. Pryzmatoidalny. Piramida. Dwudziestościan. Oktaedr. Ciało ograniczone skończoną liczbą płaszczyzn. Ośmiościan gwiaździsty. Dwie twarze. Prawo wzajemności. Matematyk. Czworościan.

„Wielościan geometryczny ciała” - Wielościan. Pryzmaty. Istnienie wielkości niewspółmiernych. Poincaré. Krawędź. Pomiar objętości. Twarze równoległościanu. Prostokątny równoległościan. Często widzimy piramidę na ulicy. Wielościan. Interesujące fakty. Latarnia morska aleksandryjska. Figury geometryczne. Odległość między samolotami. Memphis.

"Kaskady wielościanów" - Krawędź sześcianu. Krawędź ośmiościanu. Kostka i dwunastościan. Czworościan jednostkowy. Dwunastościan i dwudziestościan. Dwunastościan i czworościan. Ośmiościan i dwudziestościan. Wielościan. Wielościan regularny. Ośmiościan i dwunastościan. Dwudziestościan i ośmiościan. Pojedynczy dwudziestościan. Czworościan i dwudziestościan. Dwunastościan jednostkowy. Ośmiościan i czworościan. Sześcian i czworościan.

Stereometria „wielościanów” – Wielościany w architekturze. Sekcja wielościanów. Nadaj nazwę wielościanowi. Wielka Piramida w Gizie. Bryły platońskie. Popraw łańcuch logiczny. Wielościan. Odniesienie historyczne. Najlepsza godzina wielościanów. Rozwiązywanie problemów. Cele Lekcji. „Zabawa z publicznością”. Czy kształty geometryczne i ich nazwy pasują do siebie.

„Gwiaździste formy wielościanów” - Duży gwiaździsty dwunastościan. Wielościan pokazany na rysunku. Wielościany gwiaździste. Boczne żebra. Gwiaździsty sześcian sześcienny. Dwudziestościan ścięty z gwiazdami. Wielościan uzyskany przez ścięcie gwiaździstego dwudziestościanu ściętego. Wierzchołki wielkiego dwunastościanu gwiaździstego. Gwiaździste dwudziestościany. Wielki dwunastościan.

„Przekrój wielościanu przez samolot” – Przekrój wielościanu. Wielokąty. Nacięcia utworzyły pięciokąt. Wytnij ślad samolotu. Sekcja. Znajdźmy punkt przecięcia linii. Samolot. Zbuduj sekcję sześcianu. Skonstruuj fragment pryzmatu. Znajdujemy punkt. Pryzmat. Metody cięcia. Powstały sześciokąt. Sekcja sześcianu. Metoda aksjomatyczna.

Łącznie jest 29 prezentacji

Sześcian, kula, piramida, walec, stożek - bryły geometryczne. Wśród nich wyróżnia się wielościany. Wielościan nazywa się ciałem geometrycznym, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby wielokątów. Każdy z tych wielokątów nazywany jest ścianą wielościanu, boki i wierzchołki wielościanu nazywane są odpowiednio krawędziami i wierzchołkami wielościanu.

Kąty dwuścienne między sąsiednimi ścianami, tj. ściany, które mają wspólną stronę – krawędź wielościanu – również są dwuścienne umysły wielościanu. Narożniki wielokątów - ścian wielokąta wypukłego - są płaskie umysły wielościanu. Oprócz kątów płaskich i dwuściennych wielościan wypukły ma również wielościenne narożniki. Te rogi tworzą twarze, które mają wspólny wierzchołek.

Wśród wielościanów są pryzmaty oraz piramidy.

Pryzmat - jest to wielościan, którego powierzchnia składa się z dwóch równych wielokątów i równoległoboków, które mają wspólne boki z każdą z podstaw.

Nazywa się dwa równe wielokąty fusy yypryzm, a jego równoległoboki są jego boczny twarze. Tworzą się boczne twarze powierzchnia boczna pryzmaty. Żebra, które nie leżą w podstawach, nazywane są żebra boczne pryzmaty.

Pryzmat nazywa się n-węgiel, jeśli jego podstawami są i-gony. Na ryc. 24.6 przedstawia czworokątny pryzmat ABCDA „B” C „D”.

Pryzmat nazywa się proste, jeśli jego powierzchnie boczne są prostokątami (ryc. 24.7).

Pryzmat nazywa się prawidłowy , jeśli jest prosty, a jego podstawy są wielokątami foremnymi.

Nazywa się pryzmat czworokątny równoległościan jeśli jego podstawy są równoległobokami.

Nazywa się równoległościan prostokątny, jeśli wszystkie jego twarze są prostokątami.

Przekątna równoległościanu to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Równoległościan ma cztery przekątne.

Udowodniono, że przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i są o połowę mniejsze. Przekątne prostokątnego równoległościanu są równe.

Piramida- Jest to wielościan, którego powierzchnia składa się z wielokąta - podstawy piramidy i trójkątów, które mają wspólny wierzchołek, zwany bocznymi ścianami piramidy. Nazywa się wspólny wierzchołek tych trójkątów szczyt piramidy, krawędzie wystające z góry, - żebra boczne piramidy.

Nazywa się prostopadłą opadającą ze szczytu piramidy do podstawy, a także długość tego prostopadłego wzrost piramidy.

Najprostsza piramida - trójkątny lub czworościan (rysunek 24.8). Osobliwością trójkątnej piramidy jest to, że każdą twarz można uznać za podstawę.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli u podstawy leży wielokąt foremny, a wszystkie krawędzie boczne są sobie równe.

Zauważ, że należy rozróżnić czworościan foremny(tj. czworościan, w którym wszystkie krawędzie są równe) i regularna trójkątna piramida(trójkąt foremny leży u jego podstawy, a krawędzie boczne są sobie równe, ale ich długość może różnić się od długości boku trójkąta, który stanowi podstawę graniastosłupa).

Wyróżnić wymiociny oraz niewypukły wielościany. Możesz zdefiniować wielościan wypukły, jeśli użyjesz koncepcji wypukłego ciała geometrycznego: wielościan nazywa się wypukły. jeśli jest to figura wypukła, tj. wraz z dowolnymi dwoma jego punktami w całości zawiera łączący je segment.

Wielościan wypukły można zdefiniować inaczej: wielościan nazywa się wypukły, jeśli leży całkowicie po jednej stronie każdego z jego wielokątów ograniczających.

Te definicje są równoważne. Pomijamy dowód tego faktu.

Wszystkie rozważane do tej pory wielościany były wypukłe (sześcian, równoległościan, graniastosłup, piramida itp.). Wielościan pokazany na ryc. 24,9 nie jest wypukły.

Udowodniono, że w wieloboku wypukłym wszystkie ściany są wielokątami wypukłymi.

Rozważ kilka wypukłych wielościanów (tabela 24.1)

Z tej tabeli wynika, że ​​dla wszystkich rozważanych politopów wypukłych równość B - P + g= 2. Okazało się, że dotyczy to również dowolnego wielotopu wypukłego. Ta własność została po raz pierwszy udowodniona przez L. Eulera i nazywana jest twierdzeniem Eulera.

Nazywa się wielościan wypukły prawidłowy, jeśli jego ściany są równymi wielokątami foremnymi i ta sama liczba ścian zbiega się w każdym wierzchołku.

Korzystając z własności kąta wielościennego wypukłego można udowodnić, że istnieje nie więcej niż pięć różnych rodzajów wielościanów regularnych.

Rzeczywiście, jeśli wachlarz i wielościan są regularnymi trójkątami, to 3, 4 i 5 mogą zbiegać się w jednym wierzchołku, ponieważ 60 "3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Jeśli trzy regularne trójkąty zbiegają się w każdym wierzchołku polifanu, to otrzymujemy czworościan praworęczny, co w tłumaczeniu z fey oznacza „czworościan” (ryc. 24.10, ale).

Jeżeli cztery trójkąty regularne zbiegają się w każdym wierzchołku wielościanu, to otrzymujemy oktaedr(rys.24.10, w). Jego powierzchnia składa się z ośmiu regularnych trójkątów.

Jeśli pięć regularnych trójkątów zbiega się w każdym wierzchołku wielościanu, to otrzymujemy dwudziestościan(ryc. 24.10, d). Jej powierzchnia składa się z dwudziestu regularnych trójkątów.

Jeśli ściany polifanu są kwadratami, tylko trzy z nich mogą zbiegać się w jednym wierzchołku, ponieważ 90 ° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также Prostopadłościan(rys.24.10, b).

Jeśli ziarna polifanu są pięciokątami foremnymi, to tylko phi może zbiegać się w jednym wierzchołku, ponieważ 108 ° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dwunastościan(rys.24.10, mi). Jego powierzchnia składa się z dwunastu pięciokątów foremnych.

Ściany wielościanu nie mogą być sześciokątne ani więcej, ponieważ nawet dla sześciokąta 120 ° 3 = 360 °.

W geometrii udowodniono, że w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje dokładnie pięć różnych rodzajów wielościanów foremnych.

Aby zrobić model wielościanu, musisz go wykonać zamiatać(dokładniej skan jego powierzchni).

Rozwijany wielościan to figura na płaszczyźnie, która jest uzyskiwana, gdy powierzchnia wielościanu jest przecięta, ale niektóre krawędzie i rozwinięta tak, że wszystkie wielokąty zawarte na tej powierzchni leżą na tej samej płaszczyźnie.

Zwróć uwagę, że wielościan może mieć kilka różnych przeciągnięć, w zależności od tego, które krawędzie wycinamy. Rysunek 24.11 pokazuje figi „urs, które są różnymi przeciągnięciami regularnej czworokątnej piramidy, to znaczy piramidy, u podstawy której jest kwadrat, a wszystkie boczne krawędzie są sobie równe.

Aby figura na płaszczyźnie była rozwinięciem wielościanu wypukłego, musi spełniać szereg wymagań związanych z osobliwościami wielościanu. Na przykład liczby na ryc. 24.12 nie są przeciągnięciami regularnej czworokątnej piramidy: na rysunku pokazanym na ryc. 24.12, ale, na górze m zbiegają się cztery twarze, które nie mogą znajdować się w regularnej czworokątnej piramidzie; i na rysunku pokazanym na ryc. 24.12, b, boczne żeberka B oraz Słońce nie równe.

Ogólnie rzecz biorąc, rozłożenie wielościanu można uzyskać, przecinając jego powierzchnię nie tylko wzdłuż krawędzi. Przykład takiego rozkładania sześcianu pokazano na rys. 24.13. Dlatego dokładniej, rozwinięcie wielościanu można zdefiniować jako płaski wielokąt, z którego można wykonać powierzchnię tego wielościanu bez zachodzenia na siebie.

Organy rotacyjne

Ciało rotacji nazywa się ciałem powstałym w wyniku obrotu figury (zwykle płaskiej) wokół linii prostej. Ta linia nazywa się oś obrotu.

Cylinder- ciało ego, które uzyskuje się obracając prostokąt wokół jednego z jego boków. W tym przypadku określona strona to oś cylindra. Na ryc. 24.14 przedstawia cylinder z osią OO ”, obrócony prostokąt AA „O” O wokół prostej OO ”. Zwrotnica O oraz O"- środki podstaw cylindra.

Walec, który uzyskuje się przez obrócenie prostokąta wokół jednego z jego boków, nazywa się prosty okrągły cylinder, ponieważ jego podstawy są dwoma równymi okręgami umieszczonymi w równoległych płaszczyznach, tak że odcinek łączący środki okręgów jest prostopadły do ​​tych płaszczyzn. Boczną powierzchnię cylindra tworzą segmenty równe bokowi prostokąta równoległego do osi cylindra.

Zamiatać boczna powierzchnia prostego okrągłego cylindra, jeśli jest przecięta wzdłuż tworzącej, jest prostokątem, którego jeden bok jest równy długości tworzącej, a drugi obwodowi podstawy.

Stożek- jest to ciało, które uzyskuje się w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z nóg.

W tym przypadku określona noga jest nieruchoma i nazywa się oś stożka. Na ryc. 24.15 przedstawia stożek z osią SO, uzyskany w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego SOA o kącie prostym O wokół odnogi S0. Punkt S nazywa się wierzchołek stożka, OA- promień jego podstawy.

Stożek, który powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg, nazywa się prosty okrągły stożek, Ponieważ jego podstawą jest okrąg, a góra jest rzutowana na środek tego koła. Boczną powierzchnię stożka tworzą segmenty równe przeciwprostokątnej trójkąta, którego obrót tworzy stożek.

Jeśli boczna powierzchnia stożka zostanie przecięta wzdłuż tworzącej, można ją „obrócić” na płaszczyznę. Zamiatać boczna powierzchnia prostego okrągłego stożka jest kołowym sektorem o promieniu równym długości tworzącej.

Kiedy walec, stożek lub jakakolwiek inna bryła obrotowa przecina się z płaszczyzną zawierającą oś obrotu, otrzymujemy przekrój osiowy. Przekrój osiowy cylindra jest prostokątem, przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym.

Piłka jest ciałem, które uzyskuje się przez obrót półokręgu wokół jego średnicy. Na ryc. 24.16 przedstawia kulę uzyskaną przez obrót półokręgiem wokół średnicy AA ”. Punkt O są nazywane środek piłki, a promień okręgu to promień kuli.

Powierzchnia kuli nazywa się kula. Kula nie może być spłaszczona.

Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem. Promień kuli będzie największy, jeśli samolot przejdzie przez środek kuli. Dlatego sekcja piłki przez płaszczyznę przechodzącą przez środek piłki nazywa się duże koło piłki, i okrąg, który go ogranicza - duże koło.

OBRAZ CIAŁA GEOMETRYCZNE NA PŁASZCZYŃSTWIE

W przeciwieństwie do płaskich figur, ciał geometrycznych nie można dokładnie przedstawić, na przykład na kartce papieru. Jednak za pomocą rysunków na płaszczyźnie można uzyskać dość wizualną reprezentację figur przestrzennych. W tym celu stosuje się specjalne metody do przedstawiania takich postaci na płaszczyźnie. Jeden z nich jest projekt równoległy.

Niech będzie dana płaszczyzna i przecinająca ją prosta ale. Weźmy dowolny punkt A "w przestrzeni, który nie należy do prostej ale, i prowadzić przez x proste ale", linia równoległa ale(rys. 24.17). Prosty ale" przecina płaszczyznę w pewnym momencie X ", który jest nazywany rzut równoległy punktu X na płaszczyznę a.

Jeśli punkt A „leży na linii prostej ale, następnie z rzutem równoległym X " jest punktem, w którym linia ale przelatuje przez samolot ale.

Jeśli punkt x należy do płaszczyzny a, to punkt X " pokrywa się z punktem X.

Tak więc, jeśli podano płaszczyznę a i przecinającą ją linię ale. potem każdy punkt x przestrzeń może być skojarzona z pojedynczym punktem A” – równoległym rzutem punktu x na płaszczyźnie a (przy projektowaniu równoległym do linii prostej ale). Samolot ale zwany płaszczyzna rzutów. O prosto ale mówią, że będzie szczekać kierunek projektowania - przy wymianie linii prostej ale wszelkie inne bezpośrednie wyniki projektowe równoległe do niego nie ulegną zmianie. Wszystkie proste linie równoległe do linii prostej ale, jeden i ten sam kierunek projektowania i są nazywane razem z linią prostą ale rzutowanie linii prostych.

Występ figury F dużo dzwonić F ' rzut wszystkich punktów. Wyświetl mapowanie do każdego punktu x figury F„jego równoległa projekcja jest punktem X " figury F ", zwany konstrukcja równoległa figury F(rys.24.18).

Rzut równoległy rzeczywistego obiektu to jego cień pada na płaską powierzchnię w świetle słonecznym, ponieważ promienie słoneczne można uznać za równoległe.

Projekt równoległy ma szereg właściwości, których znajomość jest niezbędna przy przedstawianiu ciał geometrycznych na płaszczyźnie. Sformułujmy główne bez przedstawiania ich dowodów.

Twierdzenie 24.1. W projektowaniu równoległym, dla linii prostych, które nie są równoległe do kierunku projektowania oraz dla leżących na nich odcinków, spełnione są następujące właściwości:

1) rzut prostej jest linią prostą, a rzut odcinka jest odcinkiem;

2) rzuty linii równoległych są równoległe lub pokrywają się;

3) stosunek długości rzutów odcinków leżących na jednej prostej lub na liniach równoległych jest równy stosunkowi długości samych odcinków.

Twierdzenie to implikuje konsekwencja: w rzucie równoległym środek segmentu jest rzutowany na środek jego rzutu.

Podczas przedstawiania ciał geometrycznych na płaszczyźnie konieczne jest monitorowanie spełnienia określonych właściwości. W przeciwnym razie może to być dowolne. Tak więc kąty i stosunki długości segmentów nierównoległych mogą się zmieniać dowolnie, tj. na przykład trójkąt z rzutem równoległym jest reprezentowany przez dowolny trójkąt. Ale jeśli trójkąt jest równoboczny, rzut jego mediany powinien łączyć wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwnej strony.

I jeszcze jeden wymóg należy przestrzegać przy przedstawianiu ciał przestrzennych na płaszczyźnie - aby przyczynić się do stworzenia ich prawidłowej reprezentacji.

Wyobraźmy sobie na przykład pochylony pryzmat, którego podstawy są kwadratami.

Zbudujmy najpierw dolną podstawę pryzmatu (możesz zacząć od górnej). Zgodnie z zasadami projektowania równoległego, oggo będzie reprezentowane przez dowolny równoległobok ABCD (ryc. 24.19, a). Ponieważ krawędzie pryzmatu są równoległe, konstruujemy równoległe linie proste przechodzące przez wierzchołki zbudowanego równoległoboku i układamy na nich równe odcinki AA", BB", CC", DD", których długość jest dowolna. Łączenie kolejnych punktów A", B", C", D ", otrzymujemy czworokąt A" B "C" D ", reprezentujący górną podstawę pryzmatu. Łatwo to udowodnić A „B” C „D”- równoległobok równy równoległobokowi ABCD mamy więc obraz graniastosłupa, którego podstawy są równymi kwadratami, a pozostałe ścianki są równoległobokami.

Jeśli chcesz przedstawić prosty pryzmat, którego podstawy są kwadratami, możesz pokazać, że boczne krawędzie tego pryzmatu są prostopadłe do podstawy, jak pokazano na ryc. 24.19, b.

Ponadto rysunek na ryc. 24.19, b można uznać za obraz zwykłego pryzmatu, ponieważ jego podstawą jest kwadrat - regularny czworokąt, a także prostokątny równoległościan, ponieważ wszystkie jego powierzchnie są prostokątami.

Zastanówmy się teraz, jak przedstawić piramidę na płaszczyźnie.

Aby zobrazować regularną piramidę, najpierw narysuj regularny wielokąt leżący u podstawy, a jego środek to punkt O. Następnie pobierany jest segment pionowy system operacyjny, przedstawiający wysokość piramidy. Zwróć uwagę, że pionowość segmentu OS zapewnia większą przejrzystość rysunku. Wreszcie punkt S jest połączony ze wszystkimi wierzchołkami bazy.

Narysujmy na przykład regularną piramidę, której podstawą jest foremny sześciokąt.

Aby poprawnie przedstawić regularny sześciokąt w układzie równoległym, należy zwrócić uwagę na następujące kwestie. Niech ABCDEF będzie sześciokątem foremnym. Następnie BCEF jest prostokątem (ryc. 24.20), a zatem przy rzucie równoległym będzie reprezentowany przez dowolny równoległobok B „C” E „F”. Ponieważ przekątna AD przechodzi przez punkt O - środek wielokąta ABCDEF i jest równoległa do odcinków. BC i EF i AO = OD, to w projekcie równoległym będzie reprezentowany przez dowolny segment A „D” , przechodząc przez punkt O" równoległy W „C” oraz E „F” a poza tym, A „O” = O „D”.

Tak więc sekwencja budowy podstawy sześciokątnej piramidy jest następująca (ryc. 24.21):

§ przedstaw dowolny równoległobok B „C” E „F” i jego przekątne; zaznacz punkt ich przecięcia O ”;

§ przez punkt O" prowadzić prosto, równolegle B”(lub E „F”);

§ na skonstruowanej linii wybierany jest dowolny punkt ALE" i zaznacz punkt D " takie, że O "D" = „O” i połącz punkt ALE" z kropkami W" oraz F„i punkt D ”- z kropki Z" oraz E ”.

Aby zakończyć budowę piramidy, narysuj segment pionowy OS(jego długość dobieramy dowolnie) i łączymy punkt S ze wszystkimi wierzchołkami bazy.

W projekcie równoległym kula jest rysowana jako okrąg o tym samym promieniu. Aby obraz piłki był bardziej wizualny, rysowany jest rzut dużego koła, którego płaszczyzna nie jest prostopadła do płaszczyzny rzutu. Ta projekcja będzie elipsą. Środek kuli będzie reprezentowany przez środek tej elipsy (ryc. 24.22). Teraz można znaleźć odpowiednie słupy n i S pod warunkiem, że odcinek łączący je jest prostopadły do ​​płaszczyzny równikowej. Aby to zrobić, przez punkt O narysuj linię prostą prostopadłą AB i zaznacz punkt C - przecięcie tej linii z elipsą; następnie przez punkt C rysujemy styczną do elipsy reprezentującej równik. Udowodniono, że odległość CM jest równa odległości od środka piłki do każdego z biegunów. Dlatego odkładanie segmentów NA oraz system operacyjny, równy CM, zdobądź bieguny N i S.

Rozważ jedną z technik konstruowania elipsy (opiera się na transformacji płaskiej zwanej kompresją): zbuduj okrąg o średnicy i narysuj cięciwy prostopadłe do średnicy (ryc. 24.23). Połowa każdego z akordów jest podzielona na pół, a powstałe punkty są połączone gładką krzywą. Ta krzywa jest elipsą, której główną osią jest odcinek AB, a centrum jest punktem O.

Technikę tę można zastosować, przedstawiając na płaszczyźnie prosty okrągły cylinder (ryc. 24.24) i prosty okrągły stożek (ryc. 24.25).

Poniżej przedstawiono prosty okrągły stożek. Najpierw budowana jest elipsa - podstawa, następnie znajduje się środek podstawy - punkt O i prostopadle narysuj odcinek system operacyjny, co reprezentuje wysokość stożka. Od punktu S styczne są rysowane do elipsy (odbywa się to „na oko” za pomocą linijki) i wybierane są segmenty SC oraz SD te linie od punktu S do punktów styczności C i D. Zauważ, że segment płyta CD nie pasuje do średnicy podstawy stożka.

Bryły geometryczne

Wstęp

W stereometrii badane są figury w przestrzeni, które nazywane są ciała geometryczne.

Otaczające nas obiekty dają wyobrażenie o ciałach geometrycznych. W przeciwieństwie do obiektów rzeczywistych, ciała geometryczne są obiektami urojonymi. Wyraźnie geometryczne ciało musi być wyobrażona jako część przestrzeni zajętej przez materię (glina, drewno, metal,...) i ograniczonej powierzchnią.

Wszystkie ciała geometryczne są podzielone na wielościany oraz okrągłe ciała.

Wielościany

Wielościan Jest ciałem geometrycznym, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów.

Twarze wielościan, wielokąty tworzące jego powierzchnię są nazywane.

Żebra wielościan nazywane są bokami ścian wielościanu.

Szczyty wielościan nazywane są wierzchołkami ścian wielościanu.

Wielościany są podzielone na wypukły oraz niewypukły.

Wielościan nazywa się wypukły jeśli wszystko leży po jednej stronie którejkolwiek z jego krawędzi.

Zadanie... Proszę wskazać fasety, żebra oraz najfatalniejszy kostka pokazana na rysunku.

Wielościany wypukłe dzielą się na pryzmaty oraz piramidy.

Pryzmat

Pryzmat Czy wielościan o dwóch równych i równoległych ścianach?
n-gony i reszta n twarze - równoległoboki.

Dwa n-gony nazywają się podstawy pryzmatyczne, równoległoboki - twarze boczne... Boki bocznych ścian i podstaw nazywane są pryzmatyczne żebra, końce żeber nazywane są szczyty pryzmatu... Żebra boczne to żebra, które nie należą do podstaw.

Wielokąty А 1 А 2 ... А n i B 1 B 2 ... B n są podstawami pryzmatu.

Równolegle А 1 А 2 B 2 B 1,… - ściany boczne.

Właściwości pryzmatu:

· Podstawy pryzmatu są równe i równoległe.

· Boczne krawędzie pryzmatu są równe i równoległe.

Pryzmat ukośny wywoływany jest segment łączący dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Wysokość pryzmatu nazywa się prostopadłą opadającą od punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.

Pryzmat nazywa się 3-stronny, 4-stronny, ..., n-gonalny, jeśli jego podstawy
3-kąty, 4-kąty, ..., n-gonów.

Pryzmat prosty zwany pryzmatem, w którym boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw. Boczne powierzchnie pryzmatu prostego to prostokąty.

Ukośny pryzmat zwany pryzmatem, który nie jest prosty. Boczne powierzchnie nachylonego pryzmatu są równoległobokami.

Prawidłowy pryzmat zwany proste pryzmat z regularnymi wielokątami u podstawy.

Kwadrat pełna powierzchnia pryzmaty nazwany sumą obszarów wszystkich jego twarzy.

Kwadrat powierzchnia boczna pryzmaty nazwany sumą powierzchni jego bocznych ścian.

S pełny = S bok + 2 S Główny

Wielościan

• Wielościan jest ciałem, którego powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów.

Wielościan nazywa się wypukły

• Wielościan nazywa się wypukły jeśli znajduje się po jednej stronie każdego płaskiego wielokąta na jego powierzchni.

• Euklides (przypuszczalnie 330-277 pne) - matematyk szkoły aleksandryjskiej starożytnej Grecji, autor pierwszego zachowanego traktatu matematycznego „Początek” (w 15 książkach)

twarze boczne.

• Graniastosłup-wielościan, który składa się z dwóch płaskich wielokątów leżących w różnych płaszczyznach i nałożonych przez przesunięcie równoległe oraz wszystkich segmentów łączących odpowiednie punkty tych wielokątów. Wielokąty Ф i Ф1, leżące w równoległych płaszczyznach, nazywane są podstawami pryzmatu, a pozostałe ściany nazywane są twarze boczne.

• Powierzchnia pryzmatu składa się zatem z dwóch równych wielokątów (podstaw) i równoległoboków (powierzchnie boczne). Istnieją pryzmaty trójkątne, czworokątne, pięciokątne itp. w zależności od ilości wierzchołków podstawy.

• Jeśli boczna krawędź pryzmatu jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy, nazywa się taki pryzmat proste ; jeśli boczna krawędź pryzmatu nie jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się skośny ... Pryzmat prosty ma boki - prostokąty.

Podstawy pryzmatu są równe.

• Podstawy pryzmatu są równe.

• Na pryzmacie podstawy leżą w równoległych płaszczyznach.

• Boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.

• Wysokość pryzmatu to odległość między płaszczyznami jego podstaw.

• Okazuje się, że pryzmat może być nie tylko geometrycznym ciałem, ale także artystycznym arcydziełem.To właśnie pryzmat stał się podstawą obrazów Picassa, Braque'a, Grissa itp.

• Okazuje się, że płatek śniegu może przybrać kształt sześciokątnego pryzmatu, ale będzie to zależeć od temperatury powietrza.

• W III wieku p.n.e. NS. zbudowano latarnię morską, aby statki mogły bezpiecznie przepływać przez rafy w drodze do zatoki Aleksandryjskiej. W nocy pomagało im w tym odbicie płomieni, aw ciągu dnia słup dymu. Była to pierwsza na świecie latarnia morska i przetrwała 1500 lat.

• Latarnia została zbudowana na małej wyspie Faros na Morzu Śródziemnym, u wybrzeży Aleksandrii. Budowa trwała 20 lat i została ukończona około 280 rpne.

• W XIV wieku latarnia została zniszczona przez trzęsienie ziemi. Jego fragmenty zostały wykorzystane do budowy fortu wojskowego. Fort był wielokrotnie przebudowywany i nadal stoi w miejscu pierwszej na świecie latarni morskiej.

Mausol był władcą Kariy. Stolicą regionu był Halikarnas. Mavsol poślubił swoją siostrę Artemisię. Postanowił zbudować grobowiec dla siebie i swojej królowej. Mavsol marzył o majestatycznym pomniku, który przypominałby światu o jego bogactwie i władzy. Zmarł przed zakończeniem prac przy grobie. Artemisia nadal nadzorowała budowę. Grobowiec został zbudowany w 350 roku p.n.e. NS. Został nazwany Mauzoleum na cześć króla.

Prochy pary królewskiej przechowywano w złotych urnach w krypcie grobowej u podstawy budowli. Rząd kamiennych lwów strzegł tego pokoju. Sama konstrukcja przypominała grecką świątynię, otoczoną kolumnami i posągami. Na szczycie budynku znajdowała się piramida schodkowa. Na wysokości 43 m nad ziemią zwieńczono ją rzeźbiarskim wizerunkiem rydwanu ciągniętego przez konie. Prawdopodobnie znajdowały się na nim posągi króla i królowej.

• Osiemnaście wieków później mauzoleum zostało zniszczone przez trzęsienie ziemi. Minęło kolejne trzysta lat, zanim archeolodzy rozpoczęli wykopaliska. W 1857 r. wszystkie znaleziska przewieziono do British Museum w Londynie. Teraz w miejscu, gdzie kiedyś było Mauzoleum, pozostała tylko garstka kamieni.

kryształy.

Istnieją nie tylko kształty geometryczne tworzone ludzkimi rękami, jest ich wiele w samej naturze.Wpływ na wygląd powierzchni ziemi takich czynników naturalnych jak wiatr, woda, światło słoneczne jest bardzo spontaniczny i chaotyczny.Jednak wydmy, kamyki na brzegu morza, kratery wygasłego wulkanu mają z reguły kształty regularne geometrycznie, w ziemi zdarzają się kamienie o takim kształcie, jakby ktoś je starannie wyciął, oszlifował, wypolerował. kryształy.

równoległościan.

• Jeśli podstawą pryzmatu jest równoległobok, nazywa się to równoległościan.

• Modele prostokątnego równoległościanu to:

• fajny pokój

• Okazuje się, że kryształy kalcytu, niezależnie od tego, jak bardzo są ułamkami na mniejsze części, zawsze rozpadają się na fragmenty o kształcie równoległościanów.

• Budynki miejskie mają najczęściej kształt wielościanu, z reguły są to zwykłe równoległościany, a miasta zdobią tylko nieoczekiwane rozwiązania architektoniczne.

• 1. Czy pryzmat jest poprawny, jeśli jego krawędzie są równe?

• a) tak; c) nie. Uzasadnij swoją odpowiedź.

• 2. Wysokość zwykłego trójkątnego pryzmatu wynosi 6 cm, bok podstawy 4 cm Znajdź całkowitą powierzchnię tego pryzmatu.

• 3. Powierzchnie dwóch bocznych powierzchni nachylonego trójkątnego graniastosłupa wynoszą 40 i 30 cm2. Kąt między tymi ścianami jest prosty. Znajdź obszar bocznej powierzchni pryzmatu.

• 4. Odcinki A1BC i CB1D1 są narysowane w równoległościanie ABCDA1B1C1D1. W jakim stosunku te płaszczyzny dzielą przekątną AC1.

• 1) czworościan z 4 ścianami, 4 wierzchołkami, 6 krawędziami;

• 2) sześcian - 6 ścian, 8 wierzchołków, 12 krawędzi;

• 3) ośmiościan - 8 ścian, 6 wierzchołków, 12 krawędzi;

• 4) dwunastościan - 12 ścian, 20 wierzchołków, 30 krawędzi;

• 5) dwudziestościan - 20 ścian, 12 wierzchołków, 30 krawędzi.

Tales z Miletu, założyciel joński Pitagoras z Samosu

Naukowcy i filozofowie starożytnej Grecji przejęli i zrewidowali osiągnięcia kultury i nauki starożytnego Wschodu. Tales, Pitagoras, Demokryt, Eudoksos i inni podróżowali do Egiptu i Babilonu, aby studiować muzykę, matematykę i astronomię. To nie przypadek, że z nazwą wiążą się początki greckiej nauki geometrycznej Tales z Miletu, założyciel joński szkoły. Jonowie, zamieszkujący tereny graniczące z krajami wschodnimi, jako pierwsi zapożyczyli wiedzę o Wschodzie i zaczęli ją rozwijać. Naukowcy szkoły jońskiej po raz pierwszy poddali się logicznemu przetwarzaniu i usystematyzowaniu informacji matematycznej zapożyczonej od starożytnych ludów Wschodu, zwłaszcza od Babilończyków. Tales, szef tej szkoły, Proclus i inni historycy przypisują wiele odkryć geometrycznych. O postawie Pitagoras z Samosu Co do geometrii, Proclus pisze w swoim komentarzu do „Zasad” Euklidesa, co następuje: „Przestudiował tę naukę (tj. geometrię), wychodząc od jej pierwszych podstaw, i próbował uzyskać twierdzenia za pomocą czysto logicznego myślenia”. Proclus przypisuje Pitagorasowi, oprócz dobrze znanego twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej, budowę pięciu wielościanów foremnych:

Ciała Platona

Ciała Platona są wielościanami wypukłymi, których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi. Wszystkie kąty wielościanu foremnego wielościanu są przystające. Jak wynika z obliczenia sumy kątów płaskich na wierzchołku, istnieje nie więcej niż pięć wypukłych wielościanów foremnych. W sposób wskazany poniżej można udowodnić, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych (wykazał to Euklides). Są to czworościan foremny, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.

Oktaedr (rys. 3).

• Oktaedr -oktaedr; ciało ograniczone ośmioma trójkątami; ośmiościan foremny jest ograniczony ośmioma trójkątami równobocznymi; jeden z pięciu regularnych wielościanów. (rys. 3).

• Dwunastościan - ciało dwunastokątne, ciało ograniczone dwunastoma wielokątami; pięciokąt foremny; jeden z pięciu regularnych wielościanów ... (rys. 4).

• dwudziestościan -adtsatihedron, ciało ograniczone dwudziestoma wielokątami; dwudziestościan foremny ograniczony jest dwudziestoma trójkątami równobocznymi; jeden z pięciu regularnych wielościanów. (rys. 5).

Twarze dwunastościanu są pięciokątami foremnymi. Przekątne pięciokąta foremnego tworzą tzw. pięciokąt gwiaździsty - postać, która służyła jako godło, znak identyfikacyjny uczniów Pitagorasa. Wiadomo, że Związek Pitagorasa był jednocześnie szkołą filozoficzną, partią polityczną i bractwem religijnym. Według legendy jeden pitagorejczyk zachorował w obcym kraju i nie mógł spłacić właściciela domu, który opiekował się nim przed śmiercią. Ten ostatni namalował pięciokąt w kształcie gwiazdy na ścianie swojego domu. Widząc ten znak kilka lat później, inny wędrowny pitagorejczyk zapytał właściciela o to, co się stało i hojnie go nagrodził.

• Nie zachowały się wiarygodne informacje o życiu i działalności naukowej Pitagorasa. Przypisuje mu się stworzenie doktryny podobieństwa postaci. Był prawdopodobnie jednym z pierwszych naukowców, którzy rozważali geometrię nie jako dyscyplinę praktyczną i stosowaną, ale jako abstrakcyjną naukę logiczną.

W szkole Pitagorasa odkryto istnienie wielkości niewspółmiernych, to znaczy takich relacji, między którymi nie można wyrazić żadną liczbą całkowitą ani ułamkową. Przykładem jest stosunek długości przekątnej kwadratu do długości jego boku, równy Ts2. Ta liczba nie jest wymierna (tj. liczba całkowita lub stosunek dwóch liczb całkowitych) i nazywana jest irracjonalną, tj. irracjonalny (z łacińskiego stosunku - postawa).

Czworościan (rys. 1).

• Czworościan - czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami, tj. piramida trójkątna; czworościan foremny jest ograniczony czterema trójkątami równobocznymi; jeden z pięciu regularnych wielokątów. (rys. 1).

• Sześcian lub zwykły sześcian (rys. 2).

Czworościan - czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami, tj. piramida trójkątna; czworościan foremny jest ograniczony czterema trójkątami równobocznymi; jeden z pięciu regularnych wielokątów. (rys. 1).

• Czworościan - czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami, tj. piramida trójkątna; czworościan foremny jest ograniczony czterema trójkątami równobocznymi; jeden z pięciu regularnych wielokątów. (rys. 1).

• Sześcian lub zwykły sześcian - regularny pryzmat czworokątny o równych krawędziach, ograniczony sześcioma kwadratami. (rys. 2).

Piramida

• Piramida- wielościan, który składa się z wielokąta płaskiego - podstawa ostrosłupa, punkty nie leżą w płaszczyźnie podstawa-szczyt ostrosłupa oraz wszystkie odcinki łączące wierzchołek ostrosłupa z punktami podstawy

Rysunek przedstawia pięciokątną piramidę SABCDE i jego zasięg. Nazywa się trójkąty o wspólnym wierzchołku twarze boczne piramidy; wspólny wierzchołek ścian bocznych - szczyt piramidy; wielokąt, do którego ten wierzchołek nie należy - podstawa piramidy; krawędzie piramidy zbiegające się na jej szczycie, - żebra boczne piramidy. Wzrost ostrosłup to odcinek prostopadłej poprowadzonej przez jej wierzchołek do płaszczyzny podstawy, której końce znajdują się na wierzchołku i na płaszczyźnie podstawy ostrosłupa. Rysunek pokazuje segment WIĘC- wysokość piramidy.

• Definicja . Piramida, której podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek jest rzutowany na jej środek, nazywana jest regularną.

• Rysunek przedstawia regularną sześciokątną piramidę.

Objętości stodół zbożowych i innych konstrukcji w postaci sześcianów, graniastosłupów i walców obliczali Egipcjanie i Babilończycy, Chińczycy i Hindusi, mnożąc powierzchnię podstawy przez wysokość. Starożytny Wschód znał jednak przede wszystkim tylko pojedyncze reguły odnalezione empirycznie, które służyły do ​​znajdowania tomów dla obszarów figur. W późniejszym czasie, kiedy geometria została ukształtowana jako nauka, znaleziono ogólne podejście do obliczania objętości wielościanów.

• Wśród wybitnych greckich naukowców z V-IV wieku. BC, którzy rozwinęli teorię tomów, byli Demokryt z Abdery i Eudoksos z Knidos.

• Euclid nie używa terminu „objętość”. Dla niego termin „kostka” oznacza na przykład objętość sześcianu. W XI księdze „Początki” przedstawiono m.in. twierdzenia o następującej treści.

• 1. Równoległościany o tych samych wysokościach i równopowierzchniowych podstawach o tym samym rozmiarze.

• 2. Stosunek objętości dwóch równoległościanów o równych wysokościach jest równy stosunkowi powierzchni ich podstaw.

• 3. W równoległościanach o równej wielkości powierzchnie podstaw są odwrotnie proporcjonalne do wysokości.

• Twierdzenia Euklidesa odnoszą się tylko do porównania objętości, ponieważ bezpośrednie obliczenie objętości ciał było prawdopodobnie uważane przez Euklidesa za kwestię praktycznych podręczników geometrii. W pracach o charakterze użytkowym Czapla z Aleksandrii istnieją zasady obliczania objętości sześcianu, graniastosłupa, równoległościanu i innych figur przestrzennych.

• Pryzmat, którego podstawą jest równoległobok, nazywany jest równoległościanem.

• Zgodnie z definicją równoległościan to czworokątny graniastosłup, którego wszystkie ściany są równoległobokami... Równoległościany, podobnie jak pryzmaty, mogą być proste oraz skośny... Rysunek 1 pokazuje ukośny równoległościan, a Rysunek 2 przedstawia prosty równoległościan.

• Nazywa się prosty równoległościan, którego podstawą jest prostokąt prostokątny równoległościan... Wszystkie ściany prostokątnego równoległościanu są prostokątami. Modele prostokątnego równoległościanu to klasa, cegła, pudełko zapałek.

• Długości trzech krawędzi prostokątnego równoległościanu o wspólnym końcu nazywają go pomiary... Na przykład istnieją pudełka zapałek o wymiarach 15, 35, 50 mm. Sześcian to prostokątny równoległościan o równych wymiarach. Wszystkie sześć boków sześcianu to równe kwadraty.

• Rozważmy niektóre właściwości równoległościanu.

• Twierdzenie. Równoległościan jest symetryczny w połowie swojej przekątnej.

• Twierdzenie natychmiast implikuje: ważne właściwości równoległościanu:

• 1. Każdy segment z końcami należącymi do powierzchni równoległościanu i przechodzący przez środek jego przekątnej jest przez niego podzielony na pół; w szczególności wszystkie przekątne równoległościanu spotykają się w jednym punkcie i są przez niego przecięte. 2. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe