Jak znaleźć obwód trójkąta, jeśli nie wszystkie boki są znane. Jak obliczyć obwód trójkąta, jeśli nie wszystkie boki są znane Jak obliczyć obwód trójkąta prostokątnego

Obwód trójkąta, podobnie jak w innych rzeczach i każdej figurze, nazywa się sumą długości wszystkich boków. Dość często wartość ta pomaga znaleźć powierzchnię lub służy do obliczenia innych parametrów figury.
Wzór na obwód trójkąta wygląda tak:

Przykład obliczenia obwodu trójkąta. Niech będzie podany trójkąt o bokach a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Zastąp dane we wzorze: cm

Wzór do obliczania obwodu Trójkąt równoramienny będzie wyglądać tak:

Wzór do obliczania obwodu trójkąt równoboczny:

Przykład obliczenia obwodu trójkąta równobocznego. Gdy wszystkie boki figury są równe, można je po prostu pomnożyć przez trzy. Załóżmy, że w tym przypadku podany jest trójkąt regularny o boku 5 cm: cm

Ogólnie rzecz biorąc, gdy podane są wszystkie strony, znalezienie obwodu jest dość łatwe. W innych sytuacjach wymagane jest znalezienie rozmiaru brakującego boku. W trójkącie prostokątnym możesz znaleźć trzecią stronę twierdzenie Pitagorasa. Na przykład, jeśli znane są długości nóg, możesz znaleźć przeciwprostokątną za pomocą wzoru:

Rozważ przykład obliczenia obwodu trójkąta równoramiennego, pod warunkiem, że znamy długość nóg w trójkącie równoramiennym prostokątnym.
Biorąc pod uwagę trójkąt z nogami a \u003d b \u003d 5 cm Znajdź obwód. Najpierw znajdźmy brakującą stronę za pomocą . cm
Teraz obliczmy obwód: cm
Obwód prawego trójkąta równoramiennego będzie wynosił 17 cm.

W przypadku, gdy znana jest przeciwprostokątna i długość jednej nogi, brakującą można znaleźć za pomocą wzoru:
Jeśli przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych są znane w trójkącie prostokątnym, brakującą stronę można znaleźć we wzorze.

Trójkąt prostokątny to prosta, ale niezwykle ważna figura dla matematyki. Znajomość jego właściwości i umiejętność operowania podstawowymi parametrami trójkąta prostokątnego pozwoli Ci poradzić sobie zarówno z zadaniami szkolnymi, jak i realnymi.

Geometria trójkąta prostokątnego

Geometrycznie trójkąt to trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej, które są połączone segmentami. Trójkąt prostokątny to figura, której dwa boki tworzą kąt prosty. Te boki nazywane są odnogami trójkąta, a trzeci, najdłuższy bok nazywa się przeciwprostokątną. Stosunek kwadratów nóg i przeciwprostokątnej ustala twierdzenie Pitagorasa - jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej.

Stosunki przeciwprostokątnej i nóg położyły również podwaliny pod całą sekcję matematyki - trygonometrię. Początkowo sinusy i cosinusy definiowano jako funkcje kątów trójkąta prostokątnego, ale we współczesnym sensie funkcje trygonometryczne są rozszerzane na całą oś liczbową. Dziś trygonometria znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach ludzkiej działalności: od astronomii i oceanografii po analizę rynków finansowych i rozwój gier komputerowych.

Prawy trójkąt w rzeczywistości

Sam trójkąt prostokątny znajduje się w rzeczywistości na każdym rogu, dosłownie iw przenośni. Lica czworościanów i graniastosłupów mają kształt trójkąta prostokątnego, które w rzeczywistości zamieniają się w części maszyn, dachówki ceramiczne czy połacie dachowe. Kwadrat to narzędzie do rysowania, które osoba po raz pierwszy spotyka na lekcji geometrii, ma kształt trójkąta prostokątnego i jest używane w projektowaniu, budownictwie i stolarstwie.

Obwód trójkąta

Obwód to liczbowe oszacowanie długości wszystkich boków płaskiej figury geometrycznej. Obwód n-kąta określa się jako sumę długości n boków. Aby określić obwód trójkąta prostokątnego, stosuje się prosty wzór:

a i b to nogi, c to przeciwprostokątna.

Ręczne obliczanie obwodu trójkąta wymagałoby zmierzenia wszystkich trzech boków, wykonania dodatkowych operacji trygonometrycznych lub wykonania obliczeń przy użyciu twierdzenia Pitagorasa. Korzystając z kalkulatora online, wystarczy znaleźć następujące pary zmiennych:

dwie nogi;
noga i róg;
przeciwprostokątna i kąt.

W zadaniach szkolnych lub w praktyce otrzymasz dane początkowe, więc kalkulator pozwala znaleźć obwód, znając różne pary parametrów. Ponadto narzędzie automatycznie oblicza wszystkie inne atrybuty trójkąta prostokątnego, czyli długości wszystkich boków i wartości wszystkich kątów. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia

zadanie szkolne

Niech w szkolnym problemie otrzymasz trójkąt prostokątny o długości 5 cm i kącie rozwarcia 60 stopni. Wymagane jest znalezienie obwodu figury geometrycznej. Kalkulatorowi online towarzyszy rysunek przedstawiający boki i kąty trójkąta prostokątnego. Widzimy, że jeśli noga a \u003d 5 cm, to jej zawarty kąt to kąt beta. To ważna uwaga, ponieważ jeśli użyjesz kąta alfa do obliczeń, wynik będzie niepoprawny. Wpisujemy te dane do formularza i otrzymujemy odpowiedź w postaci:

Oprócz samego obwodu nasz program określił również wartość kąta przeciwnego, a także długość drugiej nogi i przeciwprostokątnej.

Układ kwietnika

Załóżmy, że chcesz zrobić ogrodzenie kwietnika w kształcie trójkąta prostokątnego. Aby to zrobić, musisz znać obwód figury. Oczywiście w rzeczywistości możesz po prostu zmierzyć wszystkie trzy boki, ale łatwo jest uprościć zadanie i zmierzyć tylko dwie nogi. Niech mają długość 8 i 15 metrów. Wprowadzamy te dane do formularza kalkulatora i otrzymujemy odpowiedź:

Będziesz więc musiał kupić materiały do zorganizowania 40-metrowego ogrodzenia. Nasz kalkulator obliczył również długość przeciwprostokątnej - 17 metrów. Liczby 8, 15 i 17 tworzą trójkę pitagorejską - liczby naturalne spełniające warunki twierdzenia Pitagorasa.

Wniosek

Trójkąty prostokątne znajdują szerokie zastosowanie w życiu codziennym, dlatego wyznaczenie pola lub obwodu figury geometrycznej z pewnością przyda się przy rozwiązywaniu problemów szkolnych czy codziennych.

Obwód to wielkość określająca długość wszystkich boków płaskiej (dwuwymiarowej) figury geometrycznej. W przypadku różnych kształtów geometrycznych istnieją różne sposoby znajdowania obwodu.

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obwód kształtu na różne sposoby, w zależności od jego znanych ścian.

Możliwe metody:

znane są wszystkie trzy boki równoramiennego lub dowolnego innego trójkąta;
jak znaleźć obwód trójkąta prostokątnego o dwóch znanych ścianach;
dwie ściany i kąt, który znajduje się między nimi (wzór cosinusa) są znane bez linii środkowej i wysokości.

Pierwsza metoda: wszystkie boki figury są znane

Jak znaleźć obwód trójkąta, gdy wszystkie trzy twarze są znane?, musisz użyć następującego wzoru: P = a + b + c, gdzie a, b, c to znane długości wszystkich boków trójkąta, P to obwód figury.

Na przykład znane są trzy boki figury: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Jest to regularna figura równoramienna, do obliczenia obwodu używamy wzoru: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Ta formuła działa dla dowolnego trójkąta, wystarczy znać długości wszystkich jego boków. Jeśli choć jeden z nich jest nieznany, musisz skorzystać z innych metod, które omówimy poniżej.

Inny przykład: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Oblicz obwód: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

Bardzo ważne jest, aby w otrzymanej odpowiedzi zaznaczyć jednostkę miary. W naszych przykładach długości boków są podane w centymetrach (cm), jednak są różne zadania, w których występują inne jednostki miary.

Druga metoda: trójkąt prostokątny i jego dwa znane boki

W przypadku, gdy w zadaniu do rozwiązania jest podana figura prostokątna, której długość dwóch ścian jest znana, a trzeciej nie, należy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

Opisuje związek między ścianami trójkąta prostokątnego. Formuła opisana tym twierdzeniem jest jednym z najbardziej znanych i najczęściej używanych twierdzeń w geometrii. Oto samo twierdzenie:

Boki dowolnego trójkąta prostokątnego są opisane następującym równaniem: a^2 + b^2 = c^2, gdzie aib to ramiona figury, a c to przeciwprostokątna.

Przeciwprostokątna. Znajduje się zawsze naprzeciwko kąta prostego (90 stopni) i jest jednocześnie najdłuższą ścianą trójkąta. W matematyce zwyczajowo oznacza się przeciwprostokątną literą c.
Nogi- są to ściany trójkąta prostokątnego, które należą do kąta prostego i są oznaczone literami a i b. Jedna z nóg to jednocześnie wysokość sylwetki.

Jeśli więc warunki zadania określają długości dwóch z trzech ścian takiej figury geometrycznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, należy znaleźć wymiar trzeciej ściany, a następnie zastosować wzór z pierwszej metody.

Na przykład znamy długość 2 nóg: a = 3 cm, b = 5 cm Podstawiamy wartości do twierdzenia: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Więc przeciwprostokątna takiego trójkąta ma 5 cm Swoją drogą, ten przykład jest najczęstszy i nazywa się. Innymi słowy, jeśli obie nogi figury mają 3 cm i 4 cm, to przeciwprostokątna będzie miała odpowiednio 5 cm.

Jeżeli długość jednej z nóg jest nieznana, należy przekształcić wzór w następujący sposób: c^2 - a^2 = b^2. I odwrotnie dla drugiej nogi.

Kontynuujmy przykład. Teraz musisz przejść do standardowego wzoru na znalezienie obwodu figury: P = a + b + c. W naszym przypadku: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Trzecia metoda: dwiema ścianami i kątem między nimi

W szkole średniej, a także na uniwersytecie, najczęściej trzeba sięgnąć do tej konkretnej metody znajdowania obwodu. Jeżeli warunki zadania określają długości dwóch boków, a także wymiar kąta między nimi, to użyj prawa cosinusów.

Twierdzenie to dotyczy absolutnie każdego trójkąta, co czyni go jednym z najbardziej użytecznych w geometrii. Samo twierdzenie wygląda tak: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), gdzie a, b, c to standardowe długości ścian, a A, B i C to kąty leżące naprzeciw odpowiednich ścian trójkąta. Oznacza to, że A jest kątem po przeciwnej stronie a i tak dalej.

Wyobraź sobie, że opisany jest trójkąt, którego boki a i b mają odpowiednio 100 cm i 120 cm, a kąt między nimi wynosi 97 stopni. To znaczy a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 stopni.

Wszystko, co trzeba zrobić w tym przypadku, to podstawić wszystkie znane wartości do twierdzenia cosinusów. Długości znanych ścian są podnoszone do kwadratu, po czym znane boki są mnożone między sobą i przez dwa oraz mnożone przez cosinus kąta między nimi. Następnie musisz dodać kwadraty twarzy i odjąć drugą uzyskaną z nich wartość. Pierwiastek kwadratowy jest wyciągany z wartości końcowej - będzie to trzecia, wcześniej nieznana strona.

Po poznaniu wszystkich trzech twarzy postaci, pozostaje użyć standardowego wzoru na znalezienie obwodu opisywanej postaci z pierwszej metody, w której już się zakochaliśmy.