Ecuația oscilațiilor armonice are forma. Vibrații armonice (ecuație, caracteristică, grafic)

Fundamentele teoriei lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic

Câmp electric vortex

Din legea lui Faraday ξ=dФ/dt urmează că orice o modificare a fluxului de inducție magnetică asociată cu circuitul duce la apariția unei forțe electromotoare de inducție și, ca urmare, apare un curent de inducție. În consecință, apariția emf. inducția electromagnetică este posibilă și într-un circuit staționar situat într-un câmp magnetic alternativ. Cu toate acestea, e.m.f. în orice circuit apare numai atunci când forțe externe acționează asupra purtătorilor de curent din acesta - forțe de origine neelectrostatică (vezi § 97). Prin urmare, se pune întrebarea cu privire la natura forțelor externe în acest caz.

Experiența arată că aceste forțe străine nu sunt asociate nici cu procesele termice, nici cu procesele chimice din circuit; apariția lor nu poate fi explicată nici de forțele Lorentz, deoarece nu acționează pe sarcini staționare. Maxwell a emis ipoteza că orice câmp magnetic alternativ excită un câmp electric în spațiul înconjurător, care

și este cauza apariției curentului indus în circuit. Conform ideilor lui Maxwell, circuitul în care apare emf joacă un rol secundar, fiind un fel de doar un „dispozitiv” care detectează acest câmp.

prima ecuație Maxwell afirmă că modificările câmpului electric generează un câmp magnetic vortex.

A doua ecuație Maxwell exprimă legea lui Faraday a inducției electromagnetice: FEM în orice buclă închisă este egală cu rata de schimbare (adică, derivată în timp) a fluxului magnetic. Dar EMF este egal cu componenta tangențială a vectorului intensității câmpului electric E, înmulțită cu lungimea circuitului. Pentru a merge la rotor, ca în prima ecuație a lui Maxwell, este suficient să împărțiți fem-ul la aria conturului și să îl direcționați pe acesta din urmă la zero, adică să luați un contur mic care acoperă punctul din spațiul luat în considerare (Fig. 9, c). Apoi, în partea dreaptă a ecuației nu va mai exista un flux, ci o inducție magnetică, deoarece fluxul este egal cu inducția înmulțită cu aria circuitului.
Deci, obținem: rotE = - dB/dt.
Astfel, câmpul electric vortex este generat de modificările câmpului magnetic, care este prezentat în Fig. 9,c și este reprezentată prin formula tocmai dată.
A treia și a patra ecuație Maxwell se ocupă de taxe și de câmpurile generate de acestea. Ele se bazează pe teorema lui Gauss, care afirmă că fluxul vectorului de inducție electrică prin orice suprafață închisă este egal cu sarcina din interiorul acelei suprafețe.

O întreagă știință se bazează pe ecuațiile lui Maxwell - electrodinamica, ceea ce face posibilă rezolvarea multor probleme practice utile folosind metode matematice riguroase. Este posibil să se calculeze, de exemplu, câmpul de radiație al diferitelor antene atât în ​​spațiul liber, cât și în apropierea suprafeței Pământului sau în apropierea corpului unei aeronave, de exemplu, un avion sau o rachetă. Electrodinamica face posibilă calcularea proiectării ghidurilor de undă și rezonatoarelor cu cavitate - dispozitive utilizate la frecvențe foarte înalte în domeniul undelor centimetrice și milimetrice, unde liniile de transmisie convenționale și circuitele oscilatoare nu mai sunt potrivite. Fără electrodinamică, dezvoltarea radarului, a comunicațiilor radio spațiale, a tehnologiei antenei și a multor alte domenii ale ingineriei radio moderne ar fi imposibilă.

Curent de polarizare

CURENTUL DE DEPLAȘARE, o valoare proporțională cu viteza de schimbare a unui câmp electric alternativ într-un dielectric sau vid. Denumirea „curent” se datorează faptului că curentul de deplasare, ca și curentul de conducție, generează un câmp magnetic.

La construirea teoriei câmpului electromagnetic, J. C. Maxwell a înaintat o ipoteză (confirmată ulterior experimental) că câmpul magnetic este creat nu numai de mișcarea sarcinilor (curent de conducție sau pur și simplu curent), ci și de orice modificare a timpului de câmpul electric.

Conceptul de curent de deplasare a fost introdus de Maxwell pentru a stabili relații cantitative între un câmp electric în schimbare și câmpul magnetic pe care îl provoacă.

Conform teoriei lui Maxwell, într-un circuit de curent alternativ care conține un condensator, câmpul electric alternativ din condensator în fiecare moment de timp creează același câmp magnetic care ar fi creat de curent (numit curent de deplasare) dacă ar curge între plăcile de condensatorul. Din această definiţie rezultă că J cm = J(adică, valorile numerice ale densității curentului de conducere și ale densității curentului de deplasare sunt egale) și, prin urmare, liniile de densitate a curentului de conducție din interiorul conductorului se transformă continuu în liniile de densitate a curentului de deplasare dintre plăcile condensatorului. densitatea curentului de polarizare j cm caracterizează viteza de schimbare a inducției electrice D la timp:

J cm = + ?D/?t.

Curentul de deplasare nu emite căldură Joule; principala sa proprietate fizică este capacitatea de a crea un câmp magnetic în spațiul înconjurător.

Un câmp magnetic turbionar este creat de un curent total a cărui densitate este j, este egală cu suma densităţii curentului de conducţie şi a curentului de deplasare?D/?t. De aceea s-a introdus denumirea de curent pentru cantitatea ?D/?t.

Oscilator armonic este un sistem care oscilează, descris printr-o expresie de forma d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 sau

unde cele două puncte de mai sus înseamnă o dublă diferențiere în timp. Oscilațiile unui oscilator armonic sunt un exemplu important de mișcare periodică și servesc ca model exact sau aproximativ în multe probleme de fizică clasică și cuantică. Exemplele de oscilator armonic includ pendulele cu arc, pendulele fizice și matematice și un circuit oscilator (pentru curenți și tensiuni atât de mici încât elementele circuitului ar putea fi considerate liniare).

Vibrații armonice

Împreună cu mișcările de translație și rotație ale corpurilor în mecanică, mișcările oscilatorii prezintă, de asemenea, un interes semnificativ. Se numesc vibrații mecanice mișcări ale corpurilor care se repetă exact (sau aproximativ) la intervale de timp egale. Legea mișcării unui corp care oscilează este specificată folosind o anumită funcție periodică a timpului X = f (t). O reprezentare grafică a acestei funcții oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp.

Exemple de sisteme oscilatorii simple sunt o sarcină pe un arc sau un pendul matematic (Fig. 2.1.1).

Vibrațiile mecanice, ca și procesele oscilatorii de orice altă natură fizică, pot fi gratuitȘi forţat. Vibrații libere sunt comise sub influență forțe interne după ce sistemul a fost scos din echilibru. Oscilațiile unei greutăți pe un arc sau oscilațiile unui pendul sunt oscilații libere. Vibrații care apar sub influență extern se numesc forţe în schimbare periodică forţat Cel mai simplu tip de proces oscilator sunt simple vibratii armonice , care sunt descrise de ecuație

Frecvența de oscilație f arată câte oscilații au loc în 1 s. unitate de frecventa - hertz(Hz). Frecvența de oscilație f raportat la frecvenţa ciclică ω şi perioada de oscilaţie T rapoarte:

dă dependenţa mărimii fluctuante S din timp t; aceasta este ecuația oscilațiilor armonice libere în formă explicită. Cu toate acestea, de obicei, ecuația vibrației este înțeleasă ca o reprezentare diferită a acestei ecuații, sub formă diferenţială. Pentru certitudine, să luăm ecuația (1) sub forma

Să o diferențiem de două ori în funcție de timp:

Se poate observa că este valabilă următoarea relație:

care se numește ecuația oscilațiilor armonice libere (în formă diferențială). Ecuația (1) este o soluție a ecuației diferențiale (2). Deoarece ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, sunt necesare două condiții inițiale pentru a obține o soluție completă (adică, determinați constantele incluse în ecuația (1) Aşi j 0); de exemplu, poziția și viteza sistemului oscilator la t = 0.

Adăugarea vibrațiilor armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență. Beats

Să fie două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență

Ecuația pentru oscilația rezultată va avea forma

Să verificăm acest lucru prin adăugarea ecuațiilor sistemului (4.1)

Aplicând teorema sumei cosinusului și efectuând transformări algebrice:

Este posibil să găsiți valori ale lui A și φ0 astfel încât ecuațiile să fie satisfăcute

Considerând (4.3) ca două ecuații cu două necunoscute A și φ0, găsim prin pătratul și adunarea lor, apoi împărțind a doua la prima:

Înlocuind (4.3) în (4.2), obținem:

Sau, în sfârșit, folosind teorema sumei cosinusului, avem:

Un corp, care participă la două oscilații armonice de aceeași direcție și aceeași frecvență, efectuează de asemenea o oscilație armonică în aceeași direcție și cu aceeași frecvență ca și oscilațiile adăugate. Amplitudinea oscilației rezultate depinde de diferența de fază (φ2-φ1) a oscilațiilor netezite.

În funcție de diferența de fază (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), atunci A= A1+A2, adică amplitudinea oscilației rezultate A este egală cu suma amplitudinilor oscilațiilor adăugate;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), atunci A= |A1-A2|, adică amplitudinea oscilației rezultate este egală cu diferența în amplitudinile oscilaţiilor adăugate

Modificările periodice ale amplitudinii vibrațiilor care apar atunci când se adaugă două vibrații armonice cu frecvențe similare se numesc bătăi.

Fie că cele două oscilații diferă puțin ca frecvență. Atunci amplitudinile oscilațiilor adăugate sunt egale cu A, iar frecvențele sunt egale cu ω și ω+Δω, iar Δω este mult mai mică decât ω. Alegem punctul de plecare astfel încât fazele inițiale ale ambelor oscilații să fie egale cu zero:

Să rezolvăm sistemul

Soluție de sistem:

Oscilația rezultată poate fi considerată armonică cu frecvența ω, amplitudinea A, care variază după următoarea lege periodică:

Frecvența schimbării lui A este de două ori mai mare decât frecvența schimbării cosinusului. Frecvența bătăilor este egală cu diferența de frecvențe ale oscilațiilor adăugate: ωb = Δω

Perioada de bataie:

Determinarea frecvenței unui ton (un sunet de o anumită înălțime de bătaie printr-o referință și vibrații măsurate este metoda cea mai utilizată pentru compararea unei valori măsurate cu o valoare de referință. Metoda bătăii este utilizată pentru acordarea instrumentelor muzicale, analiza auzului etc. .

Informații conexe.

Oscilații care apar sub influența forțelor externe, care se schimbă periodic (cu furnizare periodică de energie din exterior către sistemul oscilator)

Conversia energiei

Pendul de primăvară

Frecvența ciclică și perioada de oscilație sunt egale, respectiv:

Un punct material atașat de un arc perfect elastic

Ø grafic al dependenței energiei potențiale și cinetice a unui pendul elastic de coordonatele x.

Ø grafice calitative ale energiei cinetice și potențiale în funcție de timp.

Ø Forţat

Ø Frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența modificării forței externe

Ø Dacă Fbc se modifică conform legii sinusului sau cosinusului, atunci oscilațiile forțate vor fi armonice

Ø Cu autooscilatii este necesara furnizarea periodica a energiei din sursa proprie in interiorul sistemului oscilator

Oscilațiile armonice sunt oscilații în care mărimea oscilantă se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului

ecuațiile oscilațiilor armonice (legile mișcării punctelor) au forma

Vibrații armonice se numesc astfel de oscilaţii în care mărimea oscilantă se modifică în timp conform legiisinus saucosinus .
Ecuația armonică are forma:

,
unde un - amplitudinea vibrației (magnitudinea celei mai mari abateri a sistemului de la poziția de echilibru); -frecvență circulară (ciclică). Argumentul care se schimbă periodic al cosinusului este numit faza de oscilatie . Faza de oscilaţie determină deplasarea mărimii oscilante din poziţia de echilibru la un moment dat t. Constanta φ reprezintă valoarea fazei la momentul t = 0 și se numește faza inițială a oscilației . Valoarea fazei inițiale este determinată de alegerea punctului de referință. Valoarea x poate lua valori cuprinse între -A și +A.
Intervalul de timp T prin care se repetă anumite stări ale sistemului oscilator, numită perioadă de oscilație . Cosinusul este o funcție periodică cu o perioadă de 2π, prin urmare, în perioada de timp T, după care faza de oscilație va primi un increment egal cu 2π, starea sistemului care efectuează oscilații armonice se va repeta. Această perioadă de timp T se numește perioada oscilațiilor armonice.
Perioada oscilațiilor armonice este egală cu : T = 2π/.
Se numește numărul de oscilații pe unitatea de timp frecvența vibrațiilor ν.
Frecvența armonică este egal cu: ν = 1/T. Unitate de frecvență hertz(Hz) - o oscilație pe secundă.
Frecvența circulară = 2π/T = 2πν oferă numărul de oscilații în 2π secunde.

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

Grafic, oscilațiile armonice pot fi descrise ca o dependență a lui x de t (Fig. 1.1.A) și metoda amplitudinii rotative (metoda diagramei vectoriale)(Fig.1.1.B) .

Metoda amplitudinii rotative vă permite să vizualizați toți parametrii incluși în ecuația vibrației armonice. Într-adevăr, dacă vectorul amplitudine A situată la un unghi φ față de axa x (vezi Figura 1.1. B), atunci proiecția sa pe axa x va fi egală cu: x = Acos(φ). Unghiul φ este faza inițială. Dacă vectorul A aduceți în rotație cu o viteză unghiulară egală cu frecvența circulară a oscilațiilor, atunci proiecția capătului vectorului se va deplasa de-a lungul axei x și va lua valori cuprinse între -A și +A, iar coordonatele acestei proiecții se vor deplasa modificarea in timp conform legii:
.
Astfel, lungimea vectorului este egală cu amplitudinea oscilației armonice, direcția vectorului în momentul inițial formează un unghi cu axa x egal cu faza inițială a oscilațiilor φ, iar modificarea unghiului de direcție. cu timpul este egală cu faza oscilaţiilor armonice. Timpul în care vectorul amplitudine face o rotație completă este egal cu perioada T a oscilațiilor armonice. Numărul de rotații vectoriale pe secundă este egal cu frecvența de oscilație ν.

Ecuația vibrației armonice

Ecuația oscilației armonice stabilește dependența coordonatelor corpului de timp

Graficul cosinus în momentul inițial are o valoare maximă, iar graficul sinus are valoare zero în momentul inițial. Dacă începem să examinăm oscilația din poziția de echilibru, atunci oscilația va repeta o sinusoidă. Dacă începem să luăm în considerare oscilația din poziția de abatere maximă, atunci oscilația va fi descrisă printr-un cosinus. Sau o astfel de oscilație poate fi descrisă prin formula sinusului cu o fază inițială.

Modificarea vitezei și a accelerației în timpul oscilației armonice

Nu numai coordonatele corpului se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului. Dar și cantități precum forța, viteza și accelerația se schimbă în mod similar. Forța și accelerația sunt maxime când corpul oscilant se află în pozițiile extreme în care deplasarea este maximă și sunt zero când corpul trece prin poziția de echilibru. Viteza, dimpotriva, in pozitii extreme este zero, iar atunci cand corpul trece prin pozitia de echilibru, atinge valoarea sa maxima.

Dacă oscilația este descrisă de legea cosinusului

Dacă oscilația este descrisă conform legii sinusului

Valori maxime de viteză și accelerație

După ce am analizat ecuațiile dependenței v(t) și a(t), putem ghici că viteza și accelerația iau valori maxime în cazul în care factorul trigonometric este egal cu 1 sau -1. Determinat prin formula

Oscilația armonică este un fenomen de modificare periodică a oricărei mărimi, în care dependența de argument are caracterul unei funcții sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate oscilează armonios și se modifică în timp după cum urmează:

unde x este valoarea mărimii în schimbare, t este timpul, parametrii rămași sunt constanți: A este amplitudinea oscilațiilor, ω este frecvența ciclică a oscilațiilor, este faza completă a oscilațiilor, este faza inițială a oscilațiilor.

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

(Orice soluție netrivială a acestei ecuații diferențiale este o oscilație armonică cu o frecvență ciclică)

Tipuri de vibrații

Vibrațiile libere apar sub influența forțelor interne ale sistemului după ce sistemul a fost scos din poziția sa de echilibru. Pentru ca oscilațiile libere să fie armonice, este necesar ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării) și să nu existe disipare a energiei în el (acesta din urmă ar provoca atenuare).

Vibrațiile forțate apar sub influența unei forțe periodice externe. Pentru ca acestea să fie armonice, este suficient ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării), iar forța externă însăși se schimbă în timp ca oscilație armonică (adică dependența de timp a acestei forțe să fie sinusoidală) .

Ecuația armonică

Ecuația (1)

dă dependența valorii fluctuante S de timpul t; aceasta este ecuația oscilațiilor armonice libere în formă explicită. Cu toate acestea, de obicei, ecuația vibrației este înțeleasă ca o reprezentare diferită a acestei ecuații, sub formă diferenţială. Pentru certitudine, să luăm ecuația (1) sub forma

Să o diferențiem de două ori în funcție de timp:

Se poate observa că este valabilă următoarea relație:

care se numește ecuația oscilațiilor armonice libere (în formă diferențială). Ecuația (1) este o soluție a ecuației diferențiale (2). Deoarece ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, sunt necesare două condiții inițiale pentru a obține o soluție completă (adică determinarea constantelor A și   incluse în ecuația (1); de exemplu, poziția și viteza sistemului oscilator la t = 0.

Un pendul matematic este un oscilator, care este un sistem mecanic format dintr-un punct material situat pe un fir imponderabil inextensibil sau pe o tijă fără greutate într-un câmp uniform de forțe gravitaționale. Perioada micilor oscilații naturale ale unui pendul matematic de lungime l, suspendat nemișcat într-un câmp gravitațional uniform cu accelerația de cădere liberă g, este egală cu

si nu depinde de amplitudinea si masa pendulului.

Un pendul fizic este un oscilator, care este un corp solid care oscilează într-un câmp de forțe în raport cu un punct care nu este centrul de masă al acestui corp sau o axă fixă ​​perpendiculară pe direcția de acțiune a forțelor și nu. trecând prin centrul de masă al acestui corp.

Cel mai simplu tip de oscilații sunt vibratii armonice- oscilaţii în care deplasarea punctului oscilant din poziţia de echilibru se modifică în timp după legea sinusului sau cosinusului.

Astfel, cu o rotire uniformă a mingii în cerc, proiecția acesteia (umbra în raze paralele de lumină) realizează o mișcare oscilatorie armonică pe un ecran vertical (Fig. 1).

Deplasarea de la poziția de echilibru în timpul vibrațiilor armonice este descrisă de o ecuație (se numește legea cinematică a mișcării armonice) de forma:

unde x este deplasarea - o mărime care caracterizează poziția punctului oscilant la momentul t față de poziția de echilibru și măsurată prin distanța de la poziția de echilibru la poziția punctului la un moment dat; A - amplitudinea oscilaţiilor - deplasarea maximă a corpului din poziţia de echilibru; T - perioada de oscilație - timpul unei oscilații complete; acestea. cea mai scurtă perioadă de timp după care se repetă valorile mărimilor fizice care caracterizează oscilația; - faza initiala;

Faza de oscilație la momentul t. Faza de oscilație este un argument al unei funcții periodice, care, pentru o amplitudine de oscilație dată, determină în orice moment starea sistemului oscilator (deplasare, viteză, accelerație) a corpului.

Dacă în momentul inițial de timp punctul oscilant este deplasat maxim de la poziția de echilibru, atunci , iar deplasarea punctului din poziția de echilibru se modifică conform legii

Dacă punctul de oscilație la este într-o poziție de echilibru stabil, atunci deplasarea punctului față de poziția de echilibru se modifică conform legii

Valoarea V, inversa perioadei și egală cu numărul de oscilații complete finalizate în 1 s, se numește frecvența de oscilație:

Dacă în timpul t corpul face N oscilații complete, atunci

mărimea care arată câte oscilații face un corp în s se numește frecvență ciclică (circulară)..

Legea cinematică a mișcării armonice poate fi scrisă astfel:

Grafic, dependența deplasării unui punct oscilant în timp este reprezentată de o undă cosinus (sau undă sinusoidală).

Figura 2, a prezintă un grafic al dependenței de timp a deplasării punctului oscilant de la poziția de echilibru pentru caz.

Să aflăm cum se modifică viteza unui punct oscilant în timp. Pentru a face acest lucru, găsim derivata în timp a acestei expresii:

unde este amplitudinea proiecției vitezei pe axa x.

Această formulă arată că, în timpul oscilațiilor armonice, proiecția vitezei corpului pe axa x se modifică, de asemenea, conform unei legi armonice cu aceeași frecvență, cu o amplitudine diferită și este înaintea deplasării în fază cu (Fig. 2, b). ).

Pentru a clarifica dependența de accelerație, găsim derivata în timp a proiecției vitezei:

unde este amplitudinea proiecției accelerației pe axa x.

Cu oscilații armonice, proiecția accelerației este înaintea deplasării de fază cu k (Fig. 2, c).

În mod similar, puteți construi grafice de dependență