Ecuații diferențiale cu întârziere. Modelarea sistemelor dinamice prin ecuații diferențiale obișnuite cu întârziere

Sistemele cu întârziere diferă de sistemele considerate mai devreme prin aceea că în una sau mai multe dintre legăturile lor au o întârziere în momentul începerii modificării valorii de ieșire (după începerea modificării intrării) cu o valoare t , numit timp de întârziere, iar acest timp de întârziere rămâne constant pe tot parcursul procesului.

De exemplu, dacă legătura este descrisă de ecuație

(legatura aperiodica de ordinul intai), atunci ecuatia legaturii corespunzatoare cu intarziere va avea forma

(legatura aperiodica de prim ordin cu intarziere). Acest tip de ecuație se numește ecuație cu un argument retardat,

Atunci ecuația (6.31) va fi scrisă în mod obișnuit

se schimbă brusc de la zero la unu (Fig. 6.20,

stând în partea dreaptă a ecuației legăturii,

). În cazul general, ca și pentru (6.31), ecuația dinamicii oricărei legături cu întârziere poate fi împărțită în două:

care corespunde defalcării condiționate a unei legături cu întârziere (Fig. 6.21, a) în două: o legătură obișnuită de același ordin și cu aceiași coeficienți și elementul de întârziere care o precedă (Fig. 6.21.6).

înseamnă timpul de mișcare a metalului de la role la calibrul de grosime. În ultimele două exemple, valoarea lui m se numește întârziere de transport.

În prima aproximare, conductele sau liniile electrice lungi incluse în legăturile sistemului pot fi caracterizate printr-o anumită valoare de întârziere t.

prezentată în fig. 6.22, b, atunci această legătură poate fi descrisă aproximativ ca o legătură aperiodică de ordinul întâi cu o întârziere (6.31), luând valorile lui m, r și k din curba experimentală (Fig. 6.22, b).

Rețineți, de asemenea, că aceeași curbă experimentală conform graficului din Fig. 6.22, c poate fi interpretat și ca o caracteristică de timp a unei legături aperiodice obișnuite de ordinul doi cu ecuația

iar k poate fi calculat din relațiile scrise în § 4.5 pentru o legătură dată, din unele măsurători pe curba experimentală sau prin alte mijloace.

funcția (6.36) diferă puțin de funcția de transfer a unei legături cu întârziere (6.35).

Ecuația oricărei legături liniare cu întârziere (6.33) va fi acum scrisă sub forma

Funcția de transfer a unei legături liniare cu întârziere va fi

este indicată fără întârziere funcția de transfer a legăturii obișnuite corespunzătoare.

- modulul și faza funcției de transfer de frecvență a legăturii fără întârziere.

Prin urmare, obținem următoarea regulă.

Pentru a construi caracteristica amplitudine-fază a oricărei legături cu întârziere, trebuie să luați caracteristica legăturii obișnuite corespunzătoare și să mutați fiecare dintre punctele sale de-a lungul cercului în sensul acelor de ceasornic cu un unghi care, unde w este valoarea frecvenței de oscilație la un punct dat al caracteristicii (Fig. 6.23, a).

punctul de plecare rămâne neschimbat, iar sfârșitul caracteristicii se învârtește asimptotic în jurul originii (dacă gradul polinomului operator B este mai mic decât cel al polinomului C).

S-a spus mai sus că procesele tranzitorii reale (caracteristicile temporale) ale formei din Fig. 6.22b poate fi adesea descris cu același grad de aproximare atât prin ecuația (6.31) cât și prin (6.34). Caracteristicile amplitudine-fază pentru ecuațiile (6.31) și (6.34) sunt prezentate în fig. 6.23, a și, respectiv, b. Diferența fundamentală între primul este că are un punct D de intersecție cu axa (/. Când se compară ambele caracteristici între ele și cu caracteristica amplitudine-fază experimentală a unei legături reale, trebuie să se țină seama nu numai de forma curbei, dar și natura distribuției semnelor de frecvență ω de-a lungul ei.

Funcția de transfer a unui sistem deschis fără întârziere.

Ecuația caracteristică a unui sistem închis, așa cum se arată în cap. 5 are forma

O ecuație poate avea un număr infinit de rădăcini.

Forma caracteristicii amplitudine-fază a circuitului deschis, construită dar funcția de transfer de frecvență, se modifică semnificativ

în plus, deschiderea sistemului se realizează după o anumită regulă, care este dată mai jos.

În consecință, pentru stabilitatea sistemelor liniare de ordinul I și II cu întârziere, rezultă că numai pozitivitatea coeficienților nu mai este suficientă, iar pentru sistemele de ordinul III și superior cu întârziere, criteriile de stabilitate ale Vyshnegradsky, Routh și Hurwitz sunt inaplicabile.

Mai jos vom lua în considerare definiția stabilității numai după criteriul Nyquist, deoarece utilizarea sa pentru acest cântec se dovedește a fi cea mai simplă.

1 Construcția caracteristicii amplitudine-fază și studiul stabilității conform criteriului Nyquist se realizează cel mai bine dacă funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă este prezentată în forma (6.38). Pentru a obține acest lucru, este necesar să deschideți corect sistemul.

Pentru cazul prezentat în fig. 6.24, a, deschiderea se poate face oriunde în circuitul principal, de exemplu, așa cum se arată. Atunci funcția de transfer a sistemului deschis va fi cea care coincide în formă cu (6.41).

Pentru cazul prezentat în fig. 6.24, b, deschiderea circuitului principal dă expresia

Funcții în buclă deschisă, care nu sunt convenabile pentru cercetări ulterioare:

În sfârșit, în cazul prezentat în fig. 6.24, c, când sistemul este deschis în locul indicat, obținem o expresie care coincide și cu (6.41):

Funcția de transfer de frecvență (6.41) poate fi reprezentată ca

Prin urmare, prezentând expresia (6.41) sub forma

Sistemele liniare cu întârziere sunt astfel de sisteme automate care, având în general aceeași structură ca și sistemele liniare obișnuite (Secțiunea II), diferă de acestea din urmă prin aceea că în una sau mai multe dintre legăturile lor au o întârziere în momentul începerii modificarea cantității de ieșire (după începutul modificării intrării) cu o valoare numită timp de întârziere, iar acest timp de întârziere rămâne constant pe parcursul următor al procesului.

De exemplu, dacă o legătură liniară obișnuită este descrisă de ecuație

(legătură aperiodică de ordinul întâi), atunci ecuația legăturii liniare corespunzătoare cu întârziere va avea forma

(legatura aperiodica de prim ordin cu intarziere). Ecuațiile de acest tip se numesc ecuații cu argument retardat sau ecuații cu diferență diferențială.

Notă Atunci ecuația (14.2) se va scrie în forma obișnuită:

Deci, dacă valoarea de intrare se schimbă brusc de la zero la unu (Fig. 14.1, a), atunci modificarea valorii care se află în partea dreaptă a ecuației de legătură va fi reprezentată de graficul din Fig. 14.1b (săriți o secundă mai târziu). Folosind acum răspunsul tranzitoriu al unei legături aperiodice obișnuite aplicat ecuației (14.3), obținem o modificare a valorii de ieșire sub forma unui grafic din Fig. 14.1, c. Acesta va fi răspunsul tranzitoriu al legăturii aperiodice de ordinul întâi cu o întârziere (proprietatea sa „inerțială” aperiodică este determinată de constanta de timp T, iar întârzierea este determinată de valoarea

Legătură liniară cu întârziere. În cazul general, ca și pentru (14.2), ecuația de dinamică a oricărei legături liniare cu întârziere poate fi

împărțit în două:

care corespunde defalcării condiționate a unei legături liniare cu întârziere (Fig. 14.2, a) în două: o legătură liniară obișnuită de același ordin și cu aceiași coeficienți și elementul de întârziere care o precedă (Fig. 14.2, b).

Caracteristica temporală a oricărei legături cu întârziere va fi, prin urmare, aceeași cu cea a legăturii obișnuite corespunzătoare, dar numai deplasată de-a lungul axei timpului spre dreapta cu .

Un exemplu de legătură de întârziere „pură” este o linie de comunicare acustică - timpul de tranzit al sunetului). Alte exemple sunt un sistem de dozare automată a unei substanțe care se deplasează cu un transportor cu bandă - timpul în care banda se deplasează într-o anumită zonă), precum și un sistem de reglare a grosimii metalului laminat, unde înseamnă timpul în care metalul se deplasează. de la role la calibrul de grosime

În ultimele două exemple, cantitatea se numește întârziere de transport.

În prima aproximare, conductele sau liniile electrice lungi incluse în legăturile sistemului pot fi caracterizate printr-o anumită întârziere (pentru mai multe detalii despre ele, vezi § 14.2).

Valoarea întârzierii în legătură poate fi determinată experimental prin eliminarea caracteristicii timp. De exemplu, dacă, atunci când o anumită valoare, luată ca unitate, este aplicată la intrarea unei legături, la ieșire se obține curba experimentală prezentată în Fig. 14.3, b, atunci această legătură poate fi descrisă aproximativ ca o legătură aperiodică de ordinul întâi cu întârziere (14.2), luând valorile din curba experimentală (Fig. 14.3, b).

Rețineți, de asemenea, că aceeași curbă experimentală conform graficului din Fig. 14.3, c poate fi interpretat și ca o caracteristică de timp a unei legături aperiodice obișnuite de ordinul doi cu ecuația

mai mult, și k poate fi calculat din relațiile scrise în § 4.5 pentru o legătură dată, conform unor măsurători pe curba experimentală, sau în alte moduri.

Deci, din punctul de vedere al caracteristicii timp, o legătură reală, descrisă aproximativ de o ecuație de ordinul întâi cu un argument retardat (14.2), poate fi adesea descrisă cu același grad de aproximare printr-o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. (14,5). Pentru a decide care dintre aceste ecuații se potrivește cel mai bine unui dat

legătura reală, se pot compara și caracteristicile amplitudine-fază ale acestora cu caracteristica amplitudine-fază luată experimental a legăturii, care își exprimă proprietățile dinamice în timpul vibrațiilor forțate. Construcția caracteristicilor amplitudine-fază ale legăturilor cu întârziere va fi luată în considerare mai jos.

De dragul unității în scrierea ecuațiilor, reprezentăm a doua dintre relațiile (14.4) pentru elementul de întârziere sub formă de operator. Extindendu-și partea dreaptă într-o serie Taylor, obținem

sau, în notația operatorului simbolic acceptată anterior,

Această expresie coincide cu formula teoremei de întârziere pentru imaginile cu funcții (Tabelul 7.2). Astfel, pentru legătura cu întârziere pură, obținem funcția de transfer sub forma

Rețineți că în unele cazuri prezența unui număr mare de constante de timp mici în sistemul de control poate fi luată în considerare sub forma unei întârzieri constante egale cu suma acestor constante de timp. Într-adevăr, să fie sistemul să conțină legături aperiodice conectate în serie de ordinul întâi cu un coeficient de transfer egal cu unitatea și valoarea fiecărei constante de timp.Atunci funcția de transfer rezultată va fi

Dacă atunci în limită ajungem . Deja la funcția de transfer (14.8) diferă puțin de funcția de transfer a legăturii cu întârziere (14.6).

Ecuația oricărei legături liniare cu întârziere (14.4) va fi acum scrisă sub forma

Funcția de transfer a unei legături liniare cu întârziere va fi

unde denotă funcția de transfer a legăturii liniare ordinare corespunzătoare fără întârziere.

Funcția de transfer de frecvență se obține din (14.10) prin substituire

unde sunt modulul și faza funcției de transfer de frecvență a legăturii fără întârziere. Prin urmare, obținem următoarea regulă.

Pentru a construi caracteristica amplitudine-fază a oricărei legături liniare cu întârziere, trebuie să luați caracteristica legăturii liniare obișnuite corespunzătoare și să mutați fiecare dintre punctele sale de-a lungul cercului în sensul acelor de ceasornic cu un unghi, unde este valoarea frecvenței de oscilație la un punct dat al caracteristicii (Fig. 14.4, a).

Deoarece la începutul caracteristicii amplitudine-fază și la sfârșit, atunci punctul inițial rămâne neschimbat, iar sfârșitul caracteristicii vânturile asimptotic față de origine (dacă gradul polinomului operator este mai mic decât polinomul

S-a spus mai sus că procesele tranzitorii reale (caracteristicile temporale) ale formei din Fig. 14.3, b poate fi adesea descris cu același grad de aproximare atât prin ecuația (14.2) cât și prin (14.5). Caracteristicile amplitudine-fază pentru ecuațiile (14.2) și (14.5) sunt prezentate în fig. 14.4, a și, respectiv. Diferența fundamentală a primului este că are un punct D de intersecție cu axa

Când se compară ambele caracteristici între ele și cu caracteristica experimentală amplitudine-fază a unei legături reale, este necesar să se țină seama nu numai de forma curbei, ci și de natura distribuției semnelor de frecvență de-a lungul acesteia.

Sistem liniar cu întârziere.

Lăsați un sistem automat cu un singur circuit sau cu mai multe circuite să aibă o legătură cu o întârziere între legăturile sale. Atunci ecuația acestei legături are forma (14.9). Dacă există mai multe astfel de legături, atunci ele pot avea valori diferite de întârziere.Toate formulele generale pentru ecuații și funcții de transfer ale sistemelor de control automat derivate în Capitolul 5 rămân valabile pentru orice sisteme liniare cu întârziere, dacă numai valorile funcțiilor de transfer sunt substituite în aceste formule sub forma ( 14.10).

De exemplu, pentru un circuit deschis de legături conectate în serie, printre care există două legături cu întârziere, respectiv, funcția de transfer a unui sistem deschis va avea forma

unde este funcția de transfer a unui circuit deschis fără a lua în considerare întârzierea, egală cu produsul funcțiilor de transfer ale legăturilor conectate în serie.

Astfel, atunci când se studiază dinamica unui circuit deschis de legături conectate în serie, este indiferent dacă întreaga întârziere va fi concentrată într-o singură legătură sau răspândită pe diferite legături. Pentru circuitele cu mai multe bucle, se vor obține relații mai complexe.

Dacă există o legătură cu feedback negativ, care are o întârziere, atunci aceasta va fi descrisă de ecuații;

INTRODUCERE

Ministerul Educației al Federației Ruse

Consorțiul Educațional Internațional „Educație Deschisă”

Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova

ANO „Institutul Deschis Eurasiatic”

E.A. Gevorkyan

Ecuații diferențiale de întârziere

Ghid manual pentru studiul disciplinei

Culegere de sarcini pentru disciplina Curriculum pentru disciplina

Moscova 2004

Gevorkyan E.A. ECUATII DIFERENTIALE CU ARGUMENT INTARZIAT: Un manual, un ghid pentru studiul disciplinei, o colecție de sarcini pentru disciplină, un curriculum pentru disciplină / Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova - M .: 2004. - 79 p.

Gevorkyan E.A., 2004

Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova, 2004

Tutorial
Introducere ................................................ . ................................................ .. .............................
1.1 Clasificarea ecuațiilor diferențiale cu
argument deviant. Enunțul problemei inițiale .................................................. ................. .
1.2 Ecuații diferențiale cu argument retardat. Metoda pasului. ........
1.3 Ecuații diferențiale cu separabil
variabile și cu un argument întârziat ............................................. ..............................................
1.4 Ecuații diferențiale liniare cu argument întârziat...............................
1.5 Ecuații diferențiale Bernoulli cu argument retardat. ...............
1.6 Ecuații diferențiale în diferențiale totale
cu argumentare întârziată ................................................. ................................................... .............. .
CAPITOLUL II. Soluții periodice ale ecuațiilor diferențiale liniare
cu argumentare întârziată ................................................. ................................................... .............. .
2.1. Soluții periodice ale ecuațiilor diferențiale liniare omogene
cu coeficienți constanți și cu un argument întârziat .......................................... ....
2.2. Soluții periodice ale diferenţialelor neomogene liniare
..................
2.3. Forma complexă a seriei Fourier .................................................. ................................................... ...
2.4. Găsirea unei anumite soluții periodice de neomogen liniar
ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi şi retardate
argument prin extinderea părții drepte a ecuației într-o serie Fourier ................................. ............................. .
CAPITOLUL III. Metode aproximative de rezolvare a ecuațiilor diferențiale
cu argumentare întârziată ................................................. ................................................... .............. .
3.1. Metoda de extindere aproximativă pentru o funcție necunoscută
cu argumentare întârziată cu grade de întârziere............................................. ....................... ........
3.2. Metoda Poincaré aproximativă. ................................................. . ...............................
CAPITOLUL IV. Ecuații diferențiale de întârziere,
apărând în rezolvarea unor probleme economice
luând în considerare decalajul de timp ................................................. ................. ................................ .............................

4.1. Ciclul economic al lui Koletsky. Ecuație diferențială

cu argument final care descrie schimbarea

stoc de capital în numerar ................................................. .................................................. ............... .......
4.2. Ecuație caracteristică. Cazul real
rădăcinile ecuației caracteristice ................................................ ................. ................................ ....
4.3. Cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice.................................................. .........
4.4. Ecuație diferențială de întârziere,
(consum proporțional cu venitul național) ................................................ .... ..........
4.5. Ecuație diferențială de întârziere,
descrierea dinamicii venitului national in modele cu decalaje
(consumul crește exponențial odată cu rata de creștere) ................................................ ........................ .........
Literatură................................................. ................................................. . .....................

Ghid pentru studiul disciplinei
2. Lista subiectelor principale ............................................. ................................................... .. ......
2.1. Tema 1. Concepte de bază și definiții. Clasificare
ecuații diferențiale cu argument deviant.
Ecuații diferențiale de întârziere. .............................................
2.2. Tema 2. Enunțarea problemei inițiale. Metoda pasului de rezolvare
ecuații diferențiale cu argument retardat. Exemple..........................
2.3. Tema 3. Ecuații diferențiale cu separabil
variabile şi cu argumente întârziate. Exemple. ................................................. . .
2.4. Tema 4. Ecuații diferențiale liniare
2.5. Tema 5. Ecuații diferențiale Bernoulli
cu o ceartă întârziată. Exemple. ................................................. . .............................
2.6. Tema 6. Ecuații diferențiale în diferențiale totale
cu o ceartă întârziată. Condiții necesare și suficiente. Exemple..........
2.7. Tema 7. Soluții periodice ale diferenţialului liniar omogen
ecuaţii cu coeficienţi constanţi şi cu argument retardat.
2.8. Tema 8. Soluții periodice ale diferenţialului liniar neomogen
ecuaţii cu coeficienţi constanţi şi cu argument retardat.
Exemple. ................................................. . ................................................ .. ...............................
2.9. Tema 9. Forma complexă a seriei Fourier. Găsirea unui periodic privat
soluţii de ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi şi cu
argument retardat prin extinderea părții drepte a ecuației într-o serie Fourier.
Exemple. ................................................. . ................................................ .. ...............................
2.10. Tema 10. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor diferențiale cu
metoda argumentului întârziat de descompunere a unei funcții din întârziere
prin grade de întârziere. Exemple ................................................................. ......................................
2.11. Subiectul 11. Metoda aproximativă Poincare pentru găsirea unui periodic
soluţii de ecuaţii diferenţiale cvasiliniare cu un parametru mic şi
cu o ceartă întârziată. Exemple. ................................................. . .............................

2.12. Tema 12. Ciclul economic al lui Koletsky. Ecuație diferențială

cu argument întârziat pentru funcția K(t), care arată stocul de numerar

capital fix la momentul t ................................................. . ................................................. ...
2.13. Tema 13. Analiza ecuaţiei caracteristice corespunzătoare
ecuație diferențială pentru funcția K(t). ................................................. . ............
2.14. Tema 14. Cazul soluţiilor complexe ale ecuaţiei caracteristice
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Subiectul 15. Ecuația diferențială pentru funcția y(t), arătând
funcția de consum are forma c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ), unde α este o rată constantă
acumularea producției ................................................................. .............................................................. ............
2.16. Subiectul 16. Ecuația diferențială pentru funcția y(t), arătând
venitul naţional în modelele cu întârzieri de investiţii de capital, cu condiţia ca
funcția consumator are forma c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ........................... ... .................................
Colectarea sarcinilor pentru disciplina .................................................. .. ................................................
Curriculum pe disciplină ............................................................. ................................................... ....

Tutorial

INTRODUCERE

Introducere

Acest tutorial este dedicat prezentării metodelor de integrare a ecuațiilor diferențiale cu argument retardat întâlnite în unele probleme tehnice și economice.

Ecuațiile de mai sus descriu de obicei orice procese cu efect secundar (procese cu întârziere, cu întârziere). De exemplu, atunci când în procesul studiat, valoarea cantității de interes pentru noi la momentul t depinde de valoarea x la momentul t-τ, unde τ este decalajul de timp (y(t)=f). Sau, când valoarea mărimii y la momentul t depinde de valoarea aceleiași mărimi la momentul respectiv

mai puțin t-τ (y(t)=f).

Procesele descrise prin ecuații diferențiale retardate se găsesc atât în ​​științe naturale, cât și în științe economice. În aceasta din urmă, acest lucru se datorează atât existenței unui decalaj de timp în majoritatea verigilor ciclului de producție social, cât și prezenței decalajelor investiționale (perioada de la începerea proiectării obiectelor până la punerea în funcțiune la capacitate maximă), decalajelor demografice ( perioada de la naștere până la intrarea în vârstă de muncă și începerea angajării după absolvire).

Luarea în considerare a decalajului în rezolvarea problemelor tehnice și economice este importantă, deoarece prezența unui decalaj poate afecta semnificativ natura soluțiilor obținute (de exemplu, în anumite condiții poate duce la instabilitatea soluțiilor).

Cu ARGUMENT ÎNTÂRZIAT

CAPITOLUL I. Metoda etapelor de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale

cu argument final

1.1. Clasificarea ecuațiilor diferențiale cu argument deviant. Enunțul problemei inițiale

Definiția 1 . Ecuațiile diferențiale cu un argument deviant sunt numite ecuații diferențiale în care funcția necunoscută X(t) intră pentru diferite valori ale argumentului.

X(t) = f ( t, x (t), x ) ,

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = f t, x (t ), x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(t)]

Definiția 2. O ecuație diferențială cu un argument retardat este o ecuație diferențială cu un argument deviant, în care derivata de ordinul cel mai înalt al funcției necunoscute apare la aceleași valori ale argumentului și acest argument nu este mai mic decât toate argumentele lui funcția necunoscută și derivatele ei incluse în ecuație.

Rețineți că conform Definiției 2, ecuațiile (1) și (3) în condițiile τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 vor fi ecuații cu argument retardat, ecuația (2) va fi ecuația

cu un argument întârziat, dacă τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, ecuația (4) este o ecuație cu un argument întârziat, deoarece t ≥ 0.

Definiția 3. O ecuație diferențială cu un argument principal este o ecuație diferențială cu un argument deviant, în care derivata de ordinul cel mai înalt al funcției necunoscute apare la aceleași valori ale argumentului și acest argument nu este mai mare decât restul argumentele funcției necunoscute și derivatele acesteia incluse în ecuație.

Exemple de ecuații diferențiale cu argument principal:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [ t , x (t ), x ( t + τ 1 ), x ( t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ

(t)] .

eu. METODA ETAPA DE REZOLVAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

Cu ARGUMENT ÎNTÂRZIAT

Definiție 4. Ecuațiile diferențiale cu argument deviant care nu sunt ecuații cu argument retardat sau conducător se numesc ecuații diferențiale de tip neutru.

Exemple de ecuații diferențiale cu argument deviant de tip neutru:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Rețineți că o clasificare similară este folosită și pentru sistemele de ecuații diferențiale cu un argument deviant prin înlocuirea cuvântului „funcție” cu cuvântul „funcție vectorială”.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială cu un argument deviant:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

unde τ ≥ 0 și t − τ ≥ 0 (de fapt, considerăm o ecuație diferențială cu un argument retardat). Sarcina inițială principală în rezolvarea ecuației (10) este următoarea: să se determine o soluție continuă X (t) a ecuației (10) pentru t > t 0 (t 0 -

timp fix) cu condiția ca X (t ) = ϕ 0 (t ) când t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , unde ϕ 0 (t ) este o funcție inițială continuă dată. Segmentul [ t 0 − τ , t 0 ] se numește mulțime inițială, t 0 se numește punctul inițial. Se presupune că X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (Fig. 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t0 + τ		0 + τ
Dacă întârzierea τ		în ecuația (10) depinde de timpul t		(τ = τ (t )) , apoi inițiala

Problema se formulează astfel: să se găsească o soluție a ecuației (10) pentru t > t 0 dacă funcția inițială X (t ) = ϕ 0 t este cunoscută pentru t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuație.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
pentru t > t 0 = 0 dacă funcția inițială X (t ) = ϕ 0 (t ) pentru (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

eu. METODA ETAPA DE REZOLVAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

Cu ARGUMENT ÎNTÂRZIAT

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuație

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			la (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1 dacă funcția inițială X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t=1			t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Rețineți că funcția inițială este de obicei specificată sau găsită experimental (în principal în probleme tehnice).

1.2. Ecuații diferențiale de întârziere. Metoda pasului

Luați în considerare o ecuație diferențială cu un argument retardat.

Este necesar să se găsească o soluție la ecuația (13) pentru t ≥ t 0 .

Pentru a găsi o soluție a ecuației (13) pentru t ≥ t 0, vom folosi metoda pasului (metoda integrării succesive).

Esența metodei pasului este că mai întâi găsim o soluție a ecuației (13) pentru t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , apoi pentru t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ etc. În același timp, observăm, de exemplu, că întrucât în ​​regiunea t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ argumentul t − τ se modifică în cadrul t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , atunci în ecuație

(13) în această regiune, în loc de x (t − τ ), putem lua funcția inițială ϕ 0 (t − τ ) . Apoi

obținem că pentru a găsi o soluție la ecuația (13) în regiunea t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ trebuie re-
coaseți o ecuație diferențială obișnuită fără întârziere sub forma:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f
pentru t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	cu condiția inițială X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (vezi Fig. 1).
	găsirea unei soluții la această problemă inițială în forma X (t) = ϕ 1 (t) ,	putem posta-

rezolvați problema găsirii unei soluții pe segmentul t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ etc.

Deci avem:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ
la t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
pentru t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
pentru t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
pentru t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ),
	ϕ i (t ) este	solutia initiala considerata		sarcini pe segment
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

eu. METODA ETAPA DE REZOLVAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

Cu ARGUMENT ÎNTÂRZIAT

Această metodă de pași pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale cu un argument retardat (13) ne permite să determinăm soluția X (t) pe un anumit interval finit de modificare în t.

Exemplul 1. Folosind metoda pașilor, găsiți o soluție la o ecuație diferențială de ordinul întâi cu un argument retardat

	(t) = 6 X (t − 1 )
în regiunea 1 ≤ t ≤ 3 dacă funcţia iniţială pentru 0 ≤ t ≤ 1 are forma X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Decizie. Mai întâi, să găsim o soluție pentru ecuația (19) în regiunea 1 ≤ t ≤ 2 . Pentru aceasta in
(19) înlocuim X (t − 1) cu ϕ 0 (t − 1) , adică,
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
și se ține cont de X (1) = ϕ 0 (1) = t |
Deci, în regiunea 1 ≤ t ≤ 2, obținem o ecuație diferențială obișnuită de forma
	(t )= 6 (t − 1 )
sau dx(t)	6 (t -1 ) .
Rezolvând-o ținând cont de (20), obținem soluția ecuației (19) pentru 1 ≤ t ≤ 2 sub forma
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Pentru a găsi o soluție în regiunea 2 ≤ t ≤ 3 în ecuația (19), înlocuim X (t − 1) cu
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Atunci obținem obișnuit		diferenţial
ecuația:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
a cărui soluție are forma (fig. 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Ecuația logistică cu întârziere poate fi aplicată în studiul interacțiunilor prădător-pradă - Cicluri limită stabile în conformitate cu ecuația logistică.
Existența întârzierii în timp face posibilă aplicarea unei alte modalități de modelare a unui sistem simplu de relații prădător-pradă.

Această metodă se bazează pe ecuația logistică (secțiunea 6.9):

Tabelul 10.1. Asemănarea fundamentală a dinamicii populației obținute în modelul Lotka-Volterra (și în general pe modele de tip prădător-pradă), pe de o parte, și în modelul logistic cu întârziere, pe de altă parte. În ambele cazuri, există un ciclu în patru faze cu maxime (și minime) ale abundenței prădătorilor urmând maximele (și minimele) abundenței de pradă.

Rata de creștere a populației de prădători în această ecuație depinde de abundența inițială (C) și de rata de creștere specifică, r-(K-C) I Kf unde K este densitatea de saturație a populației de prădători. Viteza relativă, la rândul ei, depinde de gradul de subutilizare a mediului (C-C), care în cazul unei populații de prădători poate fi considerat ca fiind gradul în care nevoile prădătorului depășesc disponibilitatea prăzii. Cu toate acestea, disponibilitatea prădei și, prin urmare, rata de creștere relativă a populației de prădători, reflectă adesea densitatea populației de prădători într-o anumită perioadă de timp anterioară (Secțiunea 6.8.4). Cu alte cuvinte, poate exista un decalaj de timp în răspunsul unei populații de prădători la propria sa densitate:
dC`l (Know-Iag\
- - G. Gnow j.
Dacă această întârziere este mică sau prădătorul se reproduce prea lent (adică, valoarea lui r este mică), atunci dinamica unei astfel de populații nu va diferi semnificativ de cea descrisă de o ecuație logistică simplă (vezi May, 1981a). La valori moderate sau ridicate ale timpului de întârziere și ale ratei de reproducere, populația oscilează cu cicluri limită stabile. În plus, dacă aceste cicluri limită stabile apar conform ecuației logistice cu decalaj de timp, atunci durata lor (sau „perioada”) este de aproximativ patru ori mai mare decât durata.

victime pentru a înțelege mecanismul fluctuațiilor numărului lor.
Există o serie de exemple obținute de la populații naturale în care pot fi găsite fluctuații regulate ale numărului de prădători și pradă. Ele sunt discutate în sect. 15,4; doar un exemplu va fi util aici (vezi Keith, 1983). Fluctuațiile populației de iepuri au fost discutate de ecologisti încă din anii douăzeci ai secolului nostru, iar vânătorii le-au descoperit cu 100 de ani mai devreme. De exemplu, iepurele american (Lepus americanus) din pădurile boreale din America de Nord are un „ciclu de populație de 10 ani” (deși de fapt durata acestuia variază de la 8 la 11 ani; Fig. B). Iepurele alb predomină printre animalele erbivore din această regiune; se hrănește cu vârfurile lăstarilor a numeroși arbuști și copaci mici. Fluctuațiile abundenței sale corespund fluctuațiilor abundenței unui număr de prădători, inclusiv râsul (Lynx canadensis). Ciclurile de abundență de 10 ani sunt, de asemenea, caracteristice altor animale erbivore, și anume cocoșul de guler și cocoșul sălbatic american. La populațiile de iepuri de câmp apar adesea modificări de 10-30 de ori ale abundenței și, în condiții favorabile, pot fi observate modificări de 100 de ori. Aceste fluctuații sunt deosebit de impresionante atunci când apar aproape simultan pe o zonă vastă de la Alaska până la Newfoundland.
Scăderea iepurelui alb este însoțită de fertilitate scăzută, supraviețuire scăzută a puilor, scădere în greutate și rată scăzută de creștere; toate aceste fenomene pot fi reproduse în experiment, înrăutățind condițiile de nutriție. În plus, observațiile directe confirmă o scădere a disponibilității hranei în perioadele de abundență maximă a iepurilor. Deși, poate mai important, plantele răspund la alimentația puternică prin formarea de lăstari cu un conținut ridicat de substanțe toxice, ceea ce îi face necomestibile pentru iepuri. Și este deosebit de important ca plantele să rămână protejate în acest fel timp de 2-3 ani după ciugulirea severă. Aceasta duce la o întârziere între începerea scăderii numărului de iepuri și refacerea rezervelor de hrană a acestuia, egală cu aproximativ 2,5 ani. Doi ani și jumătate - și există aceeași întârziere în timp, care este un sfert din durata unui ciclu, care corespunde exact predicțiilor pe modele simple. Deci, aparent, există o interacțiune între populația de iepuri și populațiile de plante care reduce numărul de iepuri și are loc cu o întârziere în timp, ceea ce determină fluctuații ciclice.
Prădătorii, pe de altă parte, urmăresc cel mai probabil fluctuațiile numărului de iepuri și nu le provoacă. Cu toate acestea, fluctuațiile sunt probabil mai pronunțate datorită raportului ridicat dintre numărul de prădători și numărul de pradă în perioada de scădere a numărului de iepuri de câmp, precum și din cauza raportului scăzut al acestora în perioada următoare numărului minim. de iepuri de câmp, când aceștia, înaintea prădătorului, își refac numărul (fig. 10.5). În plus, cu un raport mare dintre numărul de râși și numărul de iepuri de câmp, prădătorul mănâncă o cantitate mare de vânat de munte, iar cu un raport scăzut - o cantitate mică. Acest lucru, aparent, provoacă fluctuații în numărul acestor animale erbivore minore (Fig. 10.5). Astfel, interacțiunea iepure-plantă provoacă fluctuații ale abundenței iepurilor, prădătorii repetă fluctuații ale abundenței lor, iar ciclurile populației la păsările erbivore sunt cauzate de modificările presiunii prădătorilor. Evident, modelele simple sunt utile pentru înțelegerea mecanismelor fluctuațiilor populației în condiții naturale, dar aceste modele explică în nici un caz complet apariția acestor fluctuații.

Probleme pentru ecuații cu întârziere. Să considerăm o problemă variațională în care controlul determină traiectoria de fază a sistemului prin problema Cauchy pentru ecuația cu întârziere

În literatură, astfel de sisteme sunt adesea numite sisteme de ecuații simultane, ceea ce înseamnă că aici variabila dependentă a unei ecuații poate apărea simultan ca o variabilă (dar deja ca una independentă) într-una sau mai multe alte ecuații. În acest caz, distincția tradițională dintre variabilele dependente și cele independente își pierde sensul. În schimb, se face o distincție între două tipuri de variabile. Acestea sunt, în primul rând, variabile dependente în comun (endogene), a căror influență una asupra celeilalte trebuie investigată (matricea A în termenul Ay t) a sistemului de ecuații de mai sus). În al doilea rând, variabilele predefinite care se presupune că le influențează pe primele, dar nu sunt afectate de acestea, sunt variabile de întârziere, adică. lag (termen al doilea) și variabile exogene definite în afara sistemului dat de ecuații.

Cu toate acestea, pentru ecuațiile cu tipuri generale de întârzieri și o specificare mai mult sau mai puțin amplă a restului, nu există încă rezultate suficient de fiabile cu privire la proprietățile estimărilor. Astfel, estimările pentru o ecuație de regresie cu o formă polinomială generală a decalajului au doar proprietatea de consistență, iar estimările pentru ecuații cu variabile exogene și endogene întârziate obținute prin metoda celor mai mici pătrate în trei etape (în prezența unei prime- autocorelația reziduală de ordin Markov) nici măcar nu au această proprietate (vezi Fig. analiza notelor în ).

Astfel, la sintetizarea sistemelor de mare viteză cu un grad maxim de stabilitate, este necesar mai întâi să se determine valorile optime ale lui bj care asigură îndeplinirea condiției (4), ng și ω, (1=1, n), apoi găsiți с/, la care (10) și, în final, din condiția (12) pentru o valoare dată a lui C, alegeți dj. Cometariu. Din cazurile luate în considerare, rezultă că structurile soluțiilor optime, adică numărul de perechi conjugate reale și complexe de rădăcini de extremă dreaptă, combinația acestora, multiplicitățile și, în consecință, tipurile de hodografe ale soluțiilor optime din X. plan, depind de dimensiunea controlului m (1.2) și, pentru ordine suficient de superioare n (1.1) nu depind de valoarea lui n în sine. Cu alte cuvinte, fiecare m dat corespunde propriului său număr bine definit de structuri de soluţii optime noi soluţii optime. Prin urmare, pentru n - > QO, rămâne posibilitatea sintetizării sistemelor de gradul maxim de stabilitate, structurile soluțiilor optime sunt determinate doar de m, ceea ce înseamnă că pentru orice m se cunosc și structurile soluțiilor optime pentru obiectele cu întârziere.

Se pune întrebarea cum se determină valoarea decalajului de timp pentru fiecare indicator.Pentru a determina decalajele de timp adecvate, folosim analiza corelației seriilor temporale de date. Principalul criteriu de determinare a decalajului este cea mai mare valoare a coeficientului de corelație încrucișată pentru seriile temporale de indicatori cu diferite perioade de decalaj a impactului acestora asupra ratei inflației. Ca rezultat, ecuația va lua următoarea formă

În plus, metoda S. d. vă permite să conectați, în cadrul unui model, numeroase fluxuri (fizice. control și informare) și nivelurile de investiții de capital și de dispunere a fondurilor care acumulează aceste fluxuri cu nivelul de bază. capitalul, rata natalității și mortalității în diferite grupe de vârstă cu structura de vârstă a populației etc. -rykh se pretează la un studiu experimental destul de simplu al stabilității, în funcție de parametrii și structura modelului în sine.

Regulile pot fi grupate și în funcție de alte criterii. De exemplu, în funcție de instrumentul de politică monetară (rata de schimb, rata dobânzii sau agregatul monetar) în funcție de prezența relațiilor economice externe (economia deschisă sau închisă) conform includerii prognozei variabilelor economice în ecuația regulii ( reguli prospective și adaptative) în funcție de cantitatea de întârziere (cu sau fără întârzieri) etc.

Modelul, ținând cont de timpul de zbor al proiectilului și de întârzierea transferului focului, face posibilă luarea în considerare a întârzierilor în sistemul de avertizare timpurie a unui atac cu rachete inamice și a sistemului de supraveghere spațială a rachetelor sale nucleare. forte. Acest model este definit de ecuații

Blocul de întârziere constantă BPZ-2M este conceput pentru a reproduce funcții cu argument de întârziere în dispozitivele de calcul analogice și poate fi utilizat în modelarea electrică a proceselor asociate cu transportul materiei sau cu transferul de energie, atunci când se aproximează ecuațiile obiectelor complexe cu capacitate multiplă. prin ecuaţii de ordinul întâi şi al doilea cu întârziere.

Funcțiile de decizie sunt o formulare a unei linii de conduită care determină modul în care informațiile disponibile despre niveluri conduc la alegerea deciziilor legate de valorile debitelor curente. Funcția de soluție poate lua forma unei ecuații simple care determină cea mai simplă reacție a fluxului de material la stările de unul sau două niveluri (de exemplu, performanța unui sistem de transport poate fi adesea exprimată adecvat prin numărul de mărfuri în tranzit , care este un nivel și o constantă - întârzierea medie pentru timpul de transport) . Pe de altă parte, funcția de decizie poate fi un lanț lung și elaborat de calcule efectuate ținând cont de modificările unui număr de condiții suplimentare.

În prezent, nu este complet clar care este factorul principal al absenței diatomeelor ​​în Baikal în perioadele reci. În [Grachev et al., 1997], turbiditatea crescută a apei cauzată de munca ghețarilor de munte este considerată a fi decisivă; în [Gavshin et al., 1998], principala este scăderea concentrației de siliciu datorată la estomparea eroziunii în bazinul hidrografic Baikal. Modificarea modelului (2.6.7), unde prima ecuație descrie dinamica concentrației de siliciu, iar a doua - dinamica sedimentării materiei în suspensie, ne permite să propunem o abordare pentru a identifica care dintre acești doi factori este principalul. . Este clar că din cauza masei uriașe de apă, biota Baikalului va răspunde la schimbările climatice cu o oarecare întârziere în comparație cu răspunsul comunităților de plante din bazinul de drenaj al lacului. Prin urmare, semnalul de diatomee trebuie să rămână în urma semnalului palinologic. Dacă principalul motiv pentru dispariția diatomeelor ​​în perioadele reci este o scădere a concentrației de siliciu, atunci astfel de întârzieri în răspunsurile la încălzire ar trebui să fie mai mari decât întârzierile pentru răcire. Dacă principalul factor de suprimare a diatomeei este turbiditatea datorată ghețarilor, atunci întârzierea răspunsurilor la răcire ar trebui să fie aproximativ aceeași sau chiar mai mare decât la încălzire.

Ultima ecuație, după cum ar putea observa cititorul, descrie comportamentul celui mai simplu mecanism de auto-reglare cu o întârziere proporțională. Anexa A oferă o diagramă bloc care arată

Procedura PERRON97 în acest caz determină data de întrerupere ca 1999 07, dacă alegerea datei de întrerupere se efectuează conform statisticilor minime ale criteriului rădăcinii unității ta=i, preluate toate punctele de întrerupere posibile. În același timp, ta= = - 3,341, care este peste 5% din nivelul critic - 5,59, iar ipoteza rădăcinii unității nu este respinsă. Cea mai mare întârziere a diferențelor incluse în partea dreaptă a ecuațiilor este aleasă să fie 12 în cadrul aplicării procedurii GS pentru a reduce modelul cu un nivel de semnificație de 10%.