Elemente ale mecanicii continuumului. Elemente ale mecanicii continuumului Metode de distrugere a rocilor

LECTURA Nr. 5 Elemente ale mecanicii continuumului Model fizic: un mediu continuu este un model al materiei, în cadrul căruia structura internă a materiei este neglijată, presupunând că materia este distribuită continuu pe întregul volum pe care îl ocupă și umple complet acest volum. Un mediu este numit omogen dacă are aceleași proprietăți în fiecare punct. Izotropul este un mediu ale cărui proprietăți sunt aceleași în toate direcțiile. Stări agregate ale materiei Un solid este o stare a materiei caracterizată printr-un volum fix și invariabilitatea formei. Lichidul este o stare a unei substanțe caracterizată printr-un volum fix, dar care nu are o formă definită. Gazul este o stare a unei substanțe în care substanța umple întregul volum care i se furnizează.

Mecanica unui corp deformabil Deformarea este o schimbare a formei și dimensiunii unui corp. Elasticitatea este proprietatea corpurilor de a rezista schimbărilor de volum și formă ale acestora sub influența sarcinilor. Deformarea se numește elastică dacă dispare după îndepărtarea sarcinii și - plastic, dacă nu dispare după îndepărtarea sarcinii. În teoria elasticității, s-a dovedit că toate tipurile de deformări (tensiune - compresie, forfecare, îndoire, torsiune) pot fi reduse la deformări de compresie și forfecare care apar simultan.

Tensiunea - deformarea prin compresie Alungirea - compresia este o creștere (sau scădere) a lungimii unui corp cilindric sau prismatic cauzată de o forță îndreptată de-a lungul axei sale longitudinale. Deformarea absolută este o valoare egală cu modificarea dimensiunii corpului cauzată de influențe externe: (5. 1) unde l 0 și l sunt lungimea corpului inițială și finală. Legea lui Hooke (I) (Robert Hooke, 1660): forța elastică este proporțională cu magnitudinea deformării absolute și este îndreptată spre scăderea acesteia :, (5.2) unde k este coeficientul de elasticitate al corpului.

Deformare relativă :. (5. 3) Stresul mecanic este o valoare care caracterizează starea unui corp deformat = Pa :, (5. 4) unde F este forța care determină deformarea, S este aria secțiunii transversale a corpului. Legea lui Hooke (II): Stresul mecanic care apare în corp este proporțional cu valoarea deformării sale relative: [E] = Pa.

Deformările solidelor respectă legea lui Hooke până la o anumită limită. Relația dintre deformare și tensiune este reprezentată sub forma unei diagrame de solicitări, al cărei comportament calitativ este luat în considerare pentru o bară de metal.

Energia deformării elastice Sub tensiune - compresie, energia deformării elastice, (5.8) unde V este volumul corpului deformat. Densitatea în vrac a tensiunii - compresia energiei de deformare elastică la (5.9) Densitatea în vrac a energiei de forfecare de deformare elastică (5. 10) la

Elementele mecanicii lichidelor și gazelor (hidro- și aeromecanică) Fiind într-o stare solidă de agregare, un corp posedă simultan atât elasticitatea formei, cât și elasticitatea volumului (sau, care este același, în timpul deformărilor într-un solid, atât normal, cât și apar solicitări mecanice tangențiale). Lichidele și gazele au doar elasticitate volumică, dar nu au elasticitate de formă (iau forma unui vas în care se află). O consecință a acestei caracteristici comune a lichidelor și gazelor este asemănarea calitativă a majorității proprietăților mecanice ale lichidelor și gazelor, iar diferența lor este doar caracteristicile cantitative (de exemplu, de regulă, densitatea unui lichid este mai mare decât densitatea a unui gaz). Prin urmare, în cadrul mecanicii continuumului, se utilizează o abordare unificată a studiului lichidelor și gazelor.

Caracteristicile inițiale Densitatea unei substanțe este o mărime fizică scalară care caracterizează distribuția masei peste volumul unei substanțe și este determinată de raportul dintre masa unei substanțe conținută într-un anumit volum și valoarea acestui volum = m / kg 3. În cazul unui mediu omogen, densitatea unei substanțe este calculată prin formula (5. 11) În cazul general al unui mediu neomogen, masa și densitatea unei substanțe sunt legate de relația (5. 12) Presiunea este o mărime scalară care caracterizează starea unui lichid sau gaz și este egală cu forța care acționează pe o suprafață unitară în direcția normală a acesteia [p] = Pa: (5. 13)

Elemente de hidrostatice Caracteristici ale forțelor care acționează în interiorul unui lichid (gaz) în repaus 1) Dacă un volum mic este separat în interiorul unui lichid în repaus, atunci lichidul exercită aceeași presiune asupra acestui volum în toate direcțiile. 2) Un lichid în repaus acționează pe suprafața unui corp solid în contact cu acesta cu o forță îndreptată de-a lungul normalului către această suprafață.

Ecuația de continuitate Un tub de curent este o parte a unui lichid delimitat de linii de curent. Staționar (sau starea de echilibru) este un flux de fluid în care forma și locația curenților, precum și valorile vitezei în fiecare punct al fluidului în mișcare, nu se schimbă în timp. Debitul de masă al lichidului este masa lichidului care trece prin secțiunea transversală a tubului curentului pe unitate de timp = kg / s :, (5.15) unde și v sunt densitatea și viteza fluxului de lichid din secțiunea S.

Ecuația de continuitate este o relație matematică, conform căreia, pentru un flux constant de lichid, debitul său de masă în fiecare secțiune a tubului de curgere este același :, (5.16)

Incompresibil este un lichid a cărui densitate nu depinde de temperatură și presiune. Debitul volumetric al lichidului - volumul lichidului care trece prin secțiunea transversală a tubului curentului pe unitate de timp = m 3 / s: în fiecare secțiune a tubului curent este același :, (5.18)

Vâscozitatea este proprietatea gazelor și lichidelor de a rezista la mișcarea unei părți a acestora față de alta. Model fizic: un fluid ideal este un fluid imaginar incompresibil în care nu există vâscozitate și conductivitate termică. Ecuația lui Bernoulli (Daniel Bernoulli 1738) este o ecuație care este o consecință a legii conservării energiei mecanice pentru un flux staționar al unui fluid ideal incompresibil și este scrisă pentru o secțiune arbitrară a unui tub de curent într-un câmp gravitațional :. (5.19)

În ecuația Bernoulli (5.19): p este presiunea statică (presiunea fluidului de pe suprafața corpului zburată în jurul său; - presiunea dinamică; - presiunea hidrostatică.

Fricțiune internă (vâscozitate). Legea lui Newton (Isaac Newton, 1686): forța de frecare internă pe unitatea de suprafață a straturilor în mișcare de lichid sau gaz este direct proporțională cu gradientul vitezei straturilor: (5. 20) unde este coeficientul de frecare internă (vâscozitate dinamică), = m 2 / s.

Tipuri de curgere a fluidului vâscos Fluxul laminar este o formă de curgere în care un lichid sau un gaz se mișcă în straturi fără amestecare și pulsații (adică schimbări rapide aleatorii ale vitezei și presiunii). Fluxul turbulent este o formă de curgere a unui lichid sau a unui gaz, în care elementele lor efectuează mișcări dezordonate, instabile de-a lungul traiectoriilor complexe, ceea ce duce la amestecarea intensivă între straturile de lichid sau gaz în mișcare.

Numărul lui Reynolds Criteriul pentru tranziția unui regim de flux laminar la un regim turbulent se bazează pe utilizarea numărului Reynolds (Pe colecția lui Reynolds, 1876-1883). În cazul mișcării fluidului printr-o conductă, numărul Reynolds este determinat ca, (5. 21) unde v este viteza fluidului mediată pe secțiunea conductei; d - diametrul conductei; și - densitatea și coeficientul de frecare internă a fluidului. La valorile Re 4000 - modul turbulent. La valori de 2000

Fluxul laminar al unui fluid vâscos într-o conductă orizontală Să luăm în considerare fluxul unui fluid vâscos, referindu-ne direct la experiență. Folosind un furtun de cauciuc, conectați un tub subțire din sticlă orizontală cu tuburi manometrice verticale lipite în robinetul de apă (a se vedea figura). La un debit scăzut, o scădere a nivelului apei în tuburile manometrice în direcția fluxului (h 1> h 2> h 3) este clar vizibilă. Aceasta indică prezența unui gradient de presiune de-a lungul axei tubului - presiunea statică în fluid scade de-a lungul fluxului.

Fluxul laminar al unui fluid vâscos într-o conductă orizontală Într-un flux uniform de fluid rectiliniu, forțele de presiune sunt echilibrate de forțele de vâscozitate.

Distribuția vitezei în secțiunea transversală a unui flux de fluid vâscos poate fi observată atunci când acesta curge dintr-un tub vertical printr-o deschidere îngustă (vezi figura). Dacă, de exemplu, cu supapa K închisă, se toarnă mai întâi glicerină nevopsită și apoi se adaugă cu grijă glicerină colorată de sus, atunci în echilibru interfața D va fi orizontală. Dacă robinetul K este deschis, limita va lua o formă similară cu un paraboloid de revoluție. Aceasta indică existența unei distribuții a vitezei în secțiunea transversală a tubului cu un flux vâscos de glicerol.

Formula Poiseuille Distribuția vitezei în secțiunea transversală a unei țevi orizontale într-un flux laminar al unui fluid vâscos este determinată de formula, (5.23) unde R și l sunt raza și lungimea conductei, respectiv, p este diferența de presiune la capetele conductei, r este distanța față de axa conductei. Debitul volumetric al lichidului este determinat de formula Poiseuille (Jean Poiseuille, 1840): (5.24)

Mișcarea corpurilor într-un mediu vâscos Când corpurile se mișcă într-un lichid sau gaz, corpul este acționat de o forță de frecare internă, care depinde de viteza corpului. La viteze mici, se observă un flux laminar de lichid sau gaz în jurul corpului și forța de frecare internă se dovedește a fi proporțională cu viteza corpului și este determinată de formula Stokes (George Stokes, 1851) :, (5,25) unde b este o constantă în funcție de forma corpului și de orientarea acestuia în raport cu fluxul, l este dimensiunea caracteristică a corpului. Pentru o minge (b = 6, l = R), forța de frecare internă, (5,26) unde R este raza mingii.

Proprietățile generale ale lichidelor și gazelor. Ecuația de echilibru și mișcarea fluidului. Hidrostatice de lichide incompresibile. Mișcarea staționară a unui fluid ideal. Ecuația lui Bernoulli. În mod ideal corp elastic. Tensiuni și deformări elastice. Legea lui Hooke. Modulul lui Young.

Mecanica relativistă.

Principiul relativității și transformării lui Galileo. Fundamentarea experimentală a teoriei speciale a relativității (SRT). Postulatele teoriei speciale a relativității a lui Einstein. Transformări Lorentz. Conceptul de simultaneitate. Relativitatea lungimilor și a intervalelor de timp. Legea relativistă a adunării de viteze. Impuls relativist. Ecuația mișcării unei particule relativiste. Expresie relativistă pentru energia cinetică. Relația dintre masă și energie. Raportul dintre energia totală și impulsul unei particule. Limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice (newtoniene).

Bazele fizicii moleculare și termodinamicii

Sisteme termodinamice - gaz ideal.

Legi dinamice și statistice în fizică. Metode statistice și termodinamice pentru studierea fenomenelor macroscopice.

Mișcarea termică a moleculelor. Interacțiunea dintre molecule. Gaz perfect. Starea sistemului. Parametrii termodinamici de stare. Stări și procese de echilibru, reprezentarea lor pe diagrame termodinamice. Ecuația de stare a gazului ideal.

Bazele teoriei cinetice moleculare.

Ecuația de bază a teoriei moleculare-cinetice a gazelor ideale și comparația ei cu ecuația Clapeyron-Mendeleev. Energia cinetică medie a moleculelor. Interpretarea cinetică moleculară a temperaturii termodinamice. Numărul de grade de libertate a moleculei. Legea distribuției uniforme a energiei peste gradele de libertate a moleculelor. Energia internă și capacitatea termică a unui gaz ideal.

Legea lui Maxwell pentru distribuția moleculelor în termeni de viteze și energii ale mișcării termice. Gaz ideal într-un câmp de forță. Distribuția Boltzmann a moleculelor într-un câmp de forță. Formula barometrică.

Diametrul molecular efectiv. Numărul de coliziuni și calea liberă medie a moleculelor. Fenomene de transfer.

Bazele termodinamicii.

Gazul funcționează atunci când volumul său se schimbă. Cantitatea de căldură. Prima lege a termodinamicii. Aplicarea primei legi a termodinamicii la izoprocese și la procesul adiabatic al unui gaz ideal. Dependența capacității termice a unui gaz ideal de tipul procesului. A doua lege a termodinamicii. Motor termic. Procese circulare. Ciclul Carnot, eficiența ciclului Carnot.

3 .Electrostatică

Câmp electric în vid.

Legea conservării încărcăturii electrice. Câmp electric. Principalele caracteristici ale câmpului electric: putere și potențial. Tensiunea ca gradient de potențial. Calculul câmpurilor electrostatice prin metoda de suprapunere. Fluxul vectorului de tensiune. Teorema Ostrogradsky-Gauss pentru un câmp electrostatic în vid. Aplicarea teoremei Ostrogradsky-Gauss la calculul câmpului.

Câmp electric în dielectric.

Taxe gratuite și obligatorii. Tipuri de dielectrice. Polarizarea electronică și de orientare. Polarizare. Sensibilitatea dielectrică a unei substanțe. Deplasarea electrică. Constanta dielectrică a mediului. Calculul intensității câmpului într-un dielectric omogen.

Conductori într-un câmp electric.

Câmpul din interiorul conductorului și la suprafața acestuia. Distribuția tarifelor într-un conductor. Capacitatea electrică a unui conductor solitar. Capacitatea reciprocă a doi conductori. Condensatoare. Energia unui conductor încărcat, condensator și sistem conductor. Energia câmpului electrostatic. Densitatea de energie în vrac.

Curent electric constant

Puterea actuală. Densitatea curentă. Condiții pentru existența unui curent. Forțele exterioare. Forța electromotivă a sursei de curent. Legea lui Ohm pentru o secțiune neomogenă a unui circuit electric. Kirchhoff reguli. Munca și puterea curentului electric. Legea Joule-Lenz. Teoria clasică a conductivității electrice a metalelor. Dificultăți ale teoriei clasice.

Electromagnetismul

Câmp magnetic în vid.

Interacțiunea magnetică a curenților direcți. Un câmp magnetic. Vector de inducție magnetică. Legea lui Ampere. Câmpul magnetic al curentului. Legea lui Bio-Savart-Laplace și aplicarea acesteia la calculul câmpului magnetic al unui conductor drept cu curent. Câmp magnetic de curent circular. Legea curentului total (circulația vectorului de inducție magnetică) pentru un câmp magnetic în vid și aplicarea acestuia la calculul câmpului magnetic al unui toroid și a unui solenoid lung. Flux magnetic. Teorema Ostrogradsky-Gauss pentru un câmp magnetic. Natura vortex a câmpului magnetic Efectul unui câmp magnetic asupra unei sarcini în mișcare. Forța Lorentz. Mișcarea particulelor încărcate într-un câmp magnetic. Rotirea unui circuit cu curent într-un câmp magnetic. Lucrarea de a muta un conductor și un circuit cu un curent într-un câmp magnetic.

Inductie electromagnetica.

Fenomenul inducției electromagnetice (experimentele lui Faraday). Regula lui Lenz. Legea inducției electromagnetice și derivarea ei din legea conservării energiei. Fenomenul autoinducției. Inductanţă. Curenți în timpul închiderii și deschiderii unui circuit electric care conține inductanță. Energia bobinei cu curent. Densitatea volumetrică a energiei câmpului magnetic.

Câmpul magnetic în materie.

Momentul magnetic al atomilor. Tipuri de magneți. Magnetizare. Micro și macro curenți. Teoria elementară a dia- și paramagnetismului. Legea curentă totală pentru un câmp magnetic într-o substanță. Intensitatea câmpului magnetic. Permeabilitatea magnetică a mediului. Feromagneti. Histerezis magnetic. Punctul Curie. Natura spinului feromagnetismului.

Ecuațiile lui Maxwell.

Interpretări Faraday și Maxwellian ale fenomenului inducției electromagnetice. Curent de părtinire. Sistemul ecuațiilor lui Maxwell în formă integrală.

Mișcare oscilatorie

Conceptul de procese oscilatorii. O abordare unificată a vibrațiilor de natură fizică diferită.

Amplitudinea, frecvența, faza oscilațiilor armonice. Adăugarea vibrațiilor armonice. Diagramele vectoriale.

Pendul, greutatea arcului, circuit oscilant. Oscilații amortizate gratuite. Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate Coeficient de amortizare, descreștere logaritmică, factor de calitate.

Oscilații forțate cu acțiune sinusoidală. Amplitudine și fază în timpul vibrațiilor forțate. Curbele de rezonanță. Vibrații forțate în circuitele electrice.

Valuri

Mecanismul de formare a undelor într-un mediu elastic. Undele longitudinale și transversale. Unda sinusoidală plană. Alergări și valuri staționare. Viteza fazei, lungimea de undă, numărul de undă. Ecuația de undă unidimensională. Viteza grupului și dispersia undelor. Rapoarte energetice. Vectorul lui Umov. Undele electromagnetice plane. Polarizarea undelor. Rapoarte energetice. Vector Poynting. Radiația dipolică. Model directional

8 . Optica undelor

Interferență ușoară.

Coerența și monocromaticitatea undelor de lumină. Calculul modelului de interferență din două surse coerente. Experiența lui Jung. Interferență ușoară în pelicule subțiri. Interferometre.

Difracția luminii.

Principiul Huygens-Fresnel. Metoda zonei Fresnel. Propagarea luminii rectilinii. Difracția Fresnel la o gaură rotundă. Difracția Fraunhofer la o singură fântână. Rețeaua de difracție ca dispozitiv spectral. Conceptul unei metode holografice pentru obținerea și recuperarea unei imagini.

Polarizarea luminii.

Lumina naturală și polarizată. Polarizarea reflexiei. Legea lui Brewster. Analiza luminii polarizate liniar. Legea lui Malus. Refracție dublă. Anizotropie optică artificială. Efecte electro-optice și magneto-optice.

Dispersia luminii.

Regiuni de dispersie normală și anormală. Teoria electronică a dispersiei luminii.

Natura cuantică a radiațiilor

Radiații termice.

Caracteristicile radiației termice. Capacitatea de absorbție. Corp negru. Legea lui Kirchhoff pentru radiații termice. Legea Stefan-Boltzmann. Distribuția energiei în spectrul corpului negru. Legea deplasării lui Wien. Ipoteza cuantică și formula lui Planck.

Natura cuantică a luminii.

Efect fotoelectric extern și legile acestuia. Ecuația lui Einstein pentru efectul fotoelectric extern. Fotoni. Masa și impulsul unui foton. Presiune ușoară. Experimentele lui Lebedev. Explicația cuantică și de undă a presiunii luminii. Dualismul luminos al undelor corpusculare.

7.1. Proprietățile generale ale lichidelor și gazelor. Descrierea cinematică a mișcării fluidelor. Câmpuri vectoriale. Debitul și circulația unui câmp vector. Debitul staționar al unui fluid ideal. Linii și tuburi de curent. Ecuațiile de mișcare și echilibrul unui lichid. Ecuația de continuitate pentru fluidul incompresibil

Mecanica continuă este o ramură a mecanicii dedicată studiului mișcării și echilibrului gazelor, lichidelor, plasmei și solidelor deformabile. Principala presupunere a mecanicii continue este că materia poate fi considerată ca un mediu continuu continuu, neglijând structura sa moleculară (atomică) și, în același timp, distribuția în mediu a tuturor caracteristicilor sale (densitate, tensiuni, viteze ale particulelor) poate să fie considerat continuu.

Un lichid este o substanță în stare condensată, intermediară între solid și gazos. Regiunea de existență a unui lichid este limitată de partea de temperaturi scăzute printr-o tranziție de fază la o stare solidă (cristalizare) și de la partea de temperaturi ridicate - într-o stare gazoasă (evaporare). Când se studiază proprietățile unui mediu continuu, mediul în sine este reprezentat ca fiind format din particule, ale căror dimensiuni sunt mult mai mari decât dimensiunile moleculelor. Astfel, fiecare particulă conține un număr mare de molecule.

Pentru a descrie mișcarea unui fluid, puteți specifica poziția fiecărei particule de fluid în funcție de timp. Acest mod de a descrie a fost dezvoltat de Lagrange. Dar nu puteți urmări particulele unui lichid, ci puncte individuale din spațiu și observați viteza cu care particulele individuale ale lichidului trec prin fiecare punct. A doua cale se numește metoda lui Euler.

Starea mișcării fluidului poate fi determinată prin specificarea pentru fiecare punct din spațiu a vectorului viteză în funcție de timp.

Setul de vectori specificat pentru toate punctele din spațiu formează câmpul vectorului viteză, care poate fi descris după cum urmează. Să trasăm linii într-un fluid în mișcare, astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă în direcție cu vectorul (Figura 7.1). Aceste linii se numesc raționalizări. Să fim de acord să trasăm linii aeriene astfel încât densitatea lor (raportul dintre numărul de linii și mărimea zonei perpendiculare pe ele prin care trec) să fie proporțională cu magnitudinea vitezei într-un loc dat. Apoi, după modelul curenților, va fi posibil să se judece nu numai direcția, ci și magnitudinea vectorului în diferite puncte din spațiu: unde viteza este mai mare, curgerile vor fi mai dense.

Numărul de linii aerodinamice care trec prin site perpendicular pe linii aerodinamice este egal, dacă site-ul este orientat în mod arbitrar către linii aerodinamice, numărul liniei aerodinamice este, unde este unghiul dintre direcția vectorului și normalul față de loc. Notația este adesea folosită. Numărul de linii aeriene printr-o zonă de dimensiuni finite este determinat de integral:. O integrală de acest fel se numește fluxul vectorului prin platformă.

Mărimea și direcția vectorului se schimbă cu timpul, prin urmare, modelul liniilor nu rămâne constant. Dacă în fiecare punct al spațiului vectorul viteză rămâne constant în mărime și direcție, atunci fluxul se numește constant sau staționar. Într-un flux staționar, orice particulă lichidă trece un punct dat în spațiu cu aceeași viteză. Modelul raționalizării în acest caz nu se modifică, iar raționalizările coincid cu traiectoria particulelor.

Fluxul unui vector printr-o anumită suprafață și circulația vectorului de-a lungul unui contur dat fac posibilă judecarea naturii câmpului vectorial. Cu toate acestea, aceste valori dau o caracteristică medie a câmpului în cadrul volumului închis de suprafața prin care este determinat debitul sau în vecinătatea conturului de-a lungul căruia este efectuată circulația. Prin reducerea dimensiunii suprafeței sau a conturului (trăgându-le până la un punct), puteți veni cu valori care vor caracteriza câmpul vectorial la un punct dat.

Luați în considerare câmpul vectorului vitezei unui fluid continuu incompresibil. Fluxul vectorului de viteză prin o anumită suprafață este egal cu volumul de lichid care curge prin această suprafață pe unitate de timp. Să construim o suprafață închisă imaginară S în vecinătatea punctului P (Fig. 7.2). Dacă în volumul V, limitat de suprafață, lichidul nu apare și nu dispare, atunci debitul exterior prin suprafață va fi egal cu zero. O diferență de debit de la zero va indica faptul că există surse sau chiuvete de lichid în interiorul suprafeței, adică puncte în care lichidul intră în volum (surse) sau este eliminat din volum (chiuvete). Debitul determină puterea totală a surselor și chiuvete. Cu o predominanță a surselor peste efluenți, debitul este pozitiv, cu o predominanță a efluenților - negativ.

Coeficientul împărțirii debitului la volumul din care curge fluxul este puterea specifică medie a surselor cuprinse în volumul V. Cu cât volumul V este mai mic, care include punctul P, cu atât această valoare medie este mai apropiată de puterea specifică reală în acest moment. În limita la, adică atunci când contractăm volumul într-un punct, obținem adevărata putere specifică a surselor în punctul P, numită divergența (divergența) vectorului :. Expresia rezultată este valabilă pentru orice vector. Integrarea se realizează pe o suprafață închisă S, limitând volumul V. Divergența este determinată de comportamentul unei funcții vectoriale în apropierea punctului P. Divergența este o funcție scalară a coordonatelor care determină poziția punctului P în spațiu.

Să găsim o expresie a divergenței în sistemul de coordonate carteziene. Luați în considerare în vecinătatea punctului P (x, y, z) un volum mic sub forma unui paralelipiped cu margini paralele cu axele de coordonate (Figura 7.3). Având în vedere micimea volumului (vom tinde spre zero), valorile din fiecare dintre cele șase fețe ale paralelipipedului pot fi considerate neschimbate. Debitul pe întreaga suprafață închisă este format din fluxuri care curg separat prin fiecare dintre cele șase fețe.

Să găsim fluxul printr-o pereche de fețe perpendiculare pe opritorul X din Fig. 7.3 fețele 1 și 2). Normalul exterior pentru fața 2 coincide cu direcția axei X. Prin urmare, fluxul prin fața 2 este egal cu. Normalul are o direcție opusă axei X. Proiecțiile vectorului spre axa X și spre normal au semne opuse, iar fluxul prin fața 1 este egal cu. Debitul total în direcția X este. Diferența este creșterea atunci când este decalată de-a lungul axei X cu. Datorită micității sale, această creștere poate fi reprezentată în formă. Atunci ajungem. În mod similar, prin perechi de fețe perpendiculare pe axele Y și Z, fluxurile sunt egale cu și. Flux complet printr-o suprafață închisă. Împărțind această expresie la, găsim divergența vectorială la punctul P:

Cunoscând divergența vectorului în fiecare punct al spațiului, este posibil să se calculeze fluxul acestui vector prin orice suprafață de dimensiuni finite. Pentru a face acest lucru, împărțim volumul delimitat de suprafața S într-un număr infinit de mare de elemente infinitezimale (Figura 7.4).

Pentru orice element, fluxul unui vector prin suprafața acelui element este. Sumând peste toate elementele, obținem fluxul prin suprafața S, care limitează volumul V: integrarea se realizează la volumul V sau

Aceasta este teorema Ostrogradsky-Gauss. Aici, este vectorul normal al suprafeței dS într-un punct dat.

Să revenim la fluxul unui fluid incompresibil. Să construim un contur. Imaginați-vă că am înghețat cumva lichidul instantaneu pe întregul volum, cu excepția unui canal închis foarte subțire cu secțiune transversală constantă, care include un contur (Figura 7.5). În funcție de natura fluxului, lichidul din canalul format va fi fie staționar, fie se deplasează (circulă) de-a lungul conturului într-una din direcțiile posibile. Ca măsură a acestei mișcări, se alege o valoare egală cu produsul vitezei fluidului din canal și lungimea circuitului. Această valoare se numește circulația vectorului de-a lungul conturului (deoarece canalul are o secțiune transversală constantă și modulul de viteză nu se schimbă). În momentul solidificării pereților, pentru fiecare particulă lichidă din canal, componenta de viteză perpendiculară pe perete va fi stinsă și va rămâne doar componenta tangentă la contur. Această componentă este asociată cu un impuls, al cărui modul pentru o particulă lichidă închisă într-o secțiune de canal cu o lungime este egală cu, unde este densitatea lichidului, este secțiunea de canal. Fluidul este ideal - nu există frecare, astfel încât acțiunea pereților poate schimba doar direcția, valoarea acestuia va rămâne constantă. Interacțiunea dintre particulele lichidului va determina o astfel de redistribuire a impulsului între ele, care va egaliza viteza tuturor particulelor. În acest caz, suma algebrică a impulsurilor este păstrată, prin urmare, unde este rata de circulație, este componenta tangențială a vitezei fluidului în volum în momentul de timp care precede solidificarea pereților. Împărțind după, obținem.

Circulația caracterizează proprietățile câmpului, mediat pe o regiune cu dimensiuni în ordinea diametrului conturului. Pentru a obține o caracteristică a câmpului la punctul P, este necesar să se reducă dimensiunea conturului, contractându-l la punctul P. În acest caz, limita raportului circulației vectoriale de-a lungul unui contur plat care se contractă la punctul P la magnitudinea planului conturului S este luată ca o caracteristică a câmpului :. Valoarea acestei limite depinde nu numai de proprietățile câmpului din punctul P, ci și de orientarea conturului în spațiu, care poate fi specificată prin direcția normalului pozitiv la planul conturului (normalul asociat cu direcția de parcurgere a conturului prin regula șurubului drept este considerat pozitiv). Determinând această limită pentru direcții diferite, obținem valori diferite, iar pentru direcțiile normale opuse, aceste valori diferă în semn. Pentru o anumită direcție a normalului, valoarea limitei va fi maximă. Astfel, valoarea limitei se comportă ca o proiecție a unui vector pe direcția normalului către planul conturului de-a lungul căruia este efectuată circulația. Valoarea maximă a limitei determină modulul acestui vector, iar direcția normalului pozitiv la care se atinge maximul dă direcția vectorului. Acest vector se numește rotor sau vortex al vectorului :.

Pentru a găsi proiecția rotorului pe axa sistemului de coordonate carteziene, este necesar să se determine valorile limită pentru astfel de orientări ale amplasamentului S, la care normalul amplasamentului coincide cu una dintre axele X, Y, Z . Dacă, de exemplu, să direcționăm de-a lungul axei X, vom găsi. Conturul este situat în acest caz într-un plan paralel cu YZ, luăm un contur sub forma unui dreptunghi cu laturile și. La valori și pe fiecare dintre cele patru laturi, conturul poate fi considerat neschimbat. Secțiunea 1 a conturului (Figura 7.6) este opusă axei Z, prin urmare, în această secțiune coincide cu, în secțiunea 2, în secțiunea 3, în secțiunea 4. Pentru circulația de-a lungul acestui circuit, obținem valoarea :. Diferența este creșterea atunci când este compensată de-a lungul Y de. Datorită micității sale, această creștere poate fi reprezentată în formă. În mod similar, diferența. Apoi circulația de-a lungul conturului considerat,

unde este aria conturului. Împărțind circulația la, găsim proiecția rotorului pe axa X :. În mod similar ,,. Apoi rotorul vectorului este determinat de expresia: +,

Cunoscând rotorul vectorului în fiecare punct al unei suprafețe S, este posibil să se calculeze circulația acestui vector de-a lungul conturului care limitează suprafața S. Pentru aceasta, împărțim suprafața în elemente foarte mici (Figura 7.7). Circulația de-a lungul conturului de delimitare este, unde este normalul pozitiv al elementului. Rezumând aceste expresii pe întreaga suprafață S și înlocuind expresia cu circulația, obținem. Aceasta este teorema lui Stokes.

Partea fluidului mărginită de linii de curgere se numește tub de curgere. Vectorul, fiind în fiecare punct tangent la linia de curgere, va fi tangent la suprafața tubului de curent, iar particulele de fluid nu traversează pereții tubului de curent.

Luați în considerare secțiunea transversală a tubului curent S (Figura 7.8.), Perpendicular pe direcția vitezei. Vom presupune că viteza particulelor lichide este aceeași în toate punctele acestei secțiuni. În timp, toate particulele a căror distanță la momentul inițial nu depășește valoarea vor trece prin secțiunea transversală S. În consecință, un volum de lichid egal cu va trece prin secțiunea S în timp și un volum de lichid egal cu va trece prin secțiunea S într-o unitate de timp. Presupunem că tubul curentului este atât de subțire încât viteza particulelor din fiecare dintre secțiunile sale pot fi considerate constante. Dacă fluidul este incompresibil (adică densitatea acestuia este aceeași peste tot și nu se schimbă), atunci cantitatea de fluid dintre secțiuni și (Figura 7.9.) Va rămâne neschimbată. Apoi, volumele de lichid care curg pe unitate de timp prin secțiuni și trebuie să fie aceleași:

Astfel, pentru un fluid incompresibil, valoarea în orice secțiune a aceluiași tub de curgere trebuie să fie aceeași:

Această afirmație se numește teorema continuității jetului.

Mișcarea unui fluid ideal este descrisă prin ecuația Navier-Stokes:

unde t este timpul, x, y, z sunt coordonatele particulelor lichide, sunt proiecțiile forței volumului, p este presiunea și ρ este densitatea mediului. Această ecuație permite determinarea proiecțiilor vitezei unei particule a mediului în funcție de coordonate și timp. Pentru a închide sistemul, ecuația continuității este adăugată la ecuația Navier-Stokes, care este o consecință a teoremei continuității jetului:

Pentru a integra aceste ecuații, este necesar să setați condițiile inițiale (în cazul în care mișcarea nu este staționară) și limita.

7.2. Presiunea din fluidul care curge. Ecuația lui Bernoulli și consecințele ei

Având în vedere mișcarea fluidelor, în unele cazuri se poate presupune că mișcarea unor fluide în raport cu altele nu este asociată cu apariția forțelor de frecare. Un fluid fără frecare internă (vâscozitate) este numit ideal.

Să selectăm un tub de curgere de mică secțiune într-un fluid ideal care curge staționar (Fig. 7.10). Să luăm în considerare volumul lichidului delimitat de pereții tubului curentului și a secțiunilor și perpendicular pe linia curentului. În timpul acestui volum, se va deplasa de-a lungul tubului curentului, iar secțiunea se va deplasa în poziție după ce ați trecut calea, secțiunea se va deplasa în poziție după trecerea căii.Datorită continuității jetului, volumele umbrite vor avea aceeași valoare:

Energia fiecărei particule de lichid este egală cu suma energiei sale cinetice și a potențialului său în câmpul de greutate. Datorită staționarității fluxului, o particulă localizată după un timp în oricare dintre punctele părții neumbrite a volumului luat în considerare (de exemplu, punctul O din Fig. 7.10) are aceeași viteză (și aceeași energie cinetică) ca particula care se afla în același punct în momentul momentului inițial. Prin urmare, creșterea energiei întregului volum luat în considerare este egală cu diferența de energie a volumelor umbrite și.

Într-un fluid ideal, nu există forțe de frecare, astfel încât creșterea energiei (7.1) este egală cu munca efectuată asupra volumului alocat de forțele de presiune. Forțele de presiune pe suprafața laterală sunt perpendiculare în fiecare punct pe direcția de mișcare a particulelor și nu efectuează lucrări. Munca forțelor aplicate secțiunilor este egală cu

Echivalând (7.1) și (7.2), obținem

Deoarece secțiunile și au fost luate în mod arbitrar, se poate argumenta că expresia rămâne constantă în orice secțiune a tubului curent, adică într-un fluid ideal care curge staționar de-a lungul oricărei linii aeriene, starea

Aceasta este ecuația Bernoulli. Pentru o raționalizare orizontală, ecuația (7.3) ia forma:

7.3 LICHIDUL SE SCURGĂ DIN GUR

Să aplicăm ecuația Bernoulli în cazul unui flux de lichid dintr-o mică gaură dintr-un vas larg deschis. Să selectăm un tub de curgere într-un lichid, a cărui secțiune superioară se află pe suprafața lichidului, iar cea inferioară coincide cu gaura (Fig. 7.11). În fiecare dintre aceste secțiuni, viteza și înălțimea peste un anumit nivel inițial pot fi considerate la fel, presiunile din ambele secțiuni sunt egale cu atmosferice și, de asemenea, aceleași, viteza de mișcare a suprafeței deschise va fi considerată egală cu zero. Atunci ecuația (7.3) ia forma:

Puls

7.4 Lichid viscos. Forțe de frecare interne

Lichid ideal, adică fluidul fără frecare este o abstractizare. Toate lichidele și gazele reale au mai mult sau mai puțin vâscozitate sau frecare internă.

Vâscozitatea se manifestă prin faptul că mișcarea care a apărut într-un lichid sau gaz, după încetarea acțiunii forțelor care au provocat-o, se oprește treptat.

Luați în considerare două plăci paralele plasate într-un lichid (Figura 7.12). Dimensiunile liniare ale plăcilor sunt mult mai mari decât distanța dintre ele. d... Placa de jos este menținută în poziție, placa de sus este mutată în raport cu partea de jos cu unele

viteză. S-a demonstrat experimental că, pentru a deplasa placa superioară la o viteză constantă, este necesar să acționăm asupra acesteia cu o forță destul de definită de mărime constantă. Placa nu primește accelerație, prin urmare, acțiunea acestei forțe este echilibrată de o forță egală cu aceasta în mărime, care este forța de frecare care acționează asupra plăcii atunci când se deplasează într-un lichid. Să o denotăm și o parte a lichidului care se află sub plan acționează asupra unei părți a lichidului care se află deasupra avionului cu o forță. Mai mult, și sunt determinați prin formula (7.4). Astfel, această formulă exprimă forța dintre straturile de contact ale fluidului.

S-a demonstrat experimental că viteza particulelor lichide se schimbă în direcția z, perpendiculară pe plăci (Figura 7.6) conform legii liniare

Particulele lichide în contact direct cu plăcile par să se lipească de ele și au aceeași viteză ca plăcile în sine. Din formula (7.5) obținem

Semnul modulului din această formulă este setat din următorul motiv. Când se schimbă direcția de mișcare, derivata vitezei va schimba semnul, în timp ce raportul este întotdeauna pozitiv. Având în vedere cele de mai sus, expresia (7.4) ia forma

Unitatea de vâscozitate cu SI este vâscozitatea la care gradientul de viteză cu modulul conduce la apariția unei forțe de frecare interne de 1 N la 1m din suprafața de contact a straturilor. Această unitate se numește Pascal - second (Pa · s).

1 | | | |

Starea mișcării fluidului poate fi determinată prin specificarea pentru fiecare punct din spațiu a vectorului viteză în funcție de timp.

Colecție de vectori , dat pentru toate punctele din spațiu, formează câmpul vectorului viteză, care poate fi descris după cum urmează. Să trasăm linii într-un fluid în mișcare, astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă în direcție cu vectorul (Figura 7.1). Aceste linii se numesc raționalizări. Să fim de acord să trasăm linii aeriene astfel încât densitatea lor (raportul numărului de linii
la dimensiunea zonei perpendiculare pe ele
prin care trec) a fost proporțională cu magnitudinea vitezei la o anumită locație. Apoi, din modelul raționalizărilor, va fi posibil să se judece nu numai direcția, ci și magnitudinea vectorului în diferite puncte din spațiu: unde viteza este mai mare, curgerile vor fi mai dense.

Numărul de linii aeriene care trec prin site
perpendicular pe linii aeriene este
, dacă site-ul este orientat în mod arbitrar către linii aeriene, numărul de linii aeriene este, unde
- unghiul dintre direcția vectorului și normal pentru site ... Notația este adesea folosită
... Numărul de raționalizări prin intermediul site-ului mărimea finită este determinată de integral:
... O integrală de acest fel se numește fluxul vectorului pe site .

ÎN Mărimea și direcția vectorului se schimbă în timp, prin urmare, modelul de linie nu rămâne constant. Dacă în fiecare punct al spațiului vectorul viteză rămâne constant în mărime și direcție, atunci fluxul se numește constant sau staționar. Într-un flux staționar, orice particulă lichidă trece un punct dat în spațiu cu aceeași viteză. Modelul raționalizării în acest caz nu se modifică, iar raționalizările coincid cu traiectoria particulelor.

Luați în considerare câmpul vectorului vitezei unui fluid continuu incompresibil. Fluxul vectorului de viteză printr-o anumită suprafață este egal cu volumul de lichid care curge prin această suprafață pe unitate de timp. Construim în vecinătatea punctului R suprafață închisă imaginară S(Figura 7.2) . Dacă în volum V delimitat de suprafață, lichidul nu se ridică și nu dispare, apoi fluxul spre exterior prin suprafață va fi egal cu zero. O diferență de debit de la zero va indica faptul că există surse sau chiuvete de lichid în interiorul suprafeței, adică puncte în care lichidul intră în volum (surse) sau este eliminat din volum (chiuvete). Debitul determină puterea totală a surselor și chiuvete. Cu o predominanță a surselor asupra canalelor de scurgere, debitul este pozitiv, cu o predominanță a efluenților - negativ.

Coeficientul împărțirii fluxului la cantitatea de volum din care curge fluxul,
, este puterea specifică medie a surselor incluse în volum V. Cu cât volumul este mai mic V, inclusiv punct R, cu atât această medie este mai aproape de densitatea de putere reală în acel moment. În limita la
, adică atunci când contractăm volumul într-un punct, obținem adevărata putere specifică a surselor la punctul respectiv R, numită divergența (divergența) vectorului :
... Expresia rezultată este valabilă pentru orice vector. Integrarea se realizează pe o suprafață închisă S, limitarea domeniului de aplicare V... Divergența este determinată de comportamentul funcției vectoriale punctul apropiat R. Divergența este o funcție scalară a coordonatelor care definesc n poziția punctului R in spatiu.

Să găsim o expresie a divergenței în sistemul de coordonate carteziene. Luați în considerare în vecinătatea punctului P (x, y, z) un volum mic sub forma unui paralelipiped cu margini paralele cu axele de coordonate (Figura 7.3). Având în vedere micimea volumului (vom tinde spre zero), valorile
în cadrul fiecăreia dintre cele șase fețe ale paralelipipedului poate fi considerat neschimbat. Debitul pe întreaga suprafață închisă este format din fluxuri care curg prin fiecare dintre cele șase fețe separat.

Găsiți fluxul printr-o pereche de fețe perpendiculare pe oprire NSîn Figura 7.3 fețele 1 și 2) . Normal exterior a face față 2 coincide cu direcția axei NS... prin urmare
iar fluxul prin fața 2 este
.Normal are o direcție opusă axei NS. Proiecții vectoriale pe axă NSși la normal au semne opuse,
, iar fluxul prin fața 1 este
... Debitul total în direcție NS este egal cu
... Diferență
este un increment când este deplasat de-a lungul axei NS pe
... Datorită micimii

... Atunci ajungem
... În mod similar, prin perechi de fețe perpendiculare pe axe Dași Z, debitele sunt egale
și
... Flux complet printr-o suprafață închisă. Împărțirea acestei expresii în
, găsiți divergența vectorului la punct R:

Cunoașterea divergenței vectoriale în fiecare punct al spațiului, puteți calcula fluxul acestui vector prin orice suprafață de dimensiuni finite. Pentru a face acest lucru, împărțim volumul delimitat de suprafață S, într-un număr infinit de mare de elemente infinitezimale
(Figura 7.4).

Pentru orice element
vector de flux prin suprafața acestui element este
... Sumând peste toate elementele
, obținem fluxul prin suprafață S limitarea volumului V:
, integrarea se realizează pe volum V, sau

NS apoi Ostrogradskii - teorema Gauss. Aici
,este vectorul normal al suprafeței dSîn acest moment.

Să revenim la fluxul unui fluid incompresibil. Să construim un contur ... Imaginați-vă că am înghețat cumva lichidul instantaneu pe întregul volum, cu excepția unui canal închis foarte subțire cu secțiune transversală constantă, care include un contur (Figura 7.5). În funcție de natura fluxului, lichidul din canalul format va fi fie staționar, fie se mișcă (circulă) de-a lungul conturului într-una din direcțiile posibile. Ca măsură a acestei mișcări, se alege o valoare egală cu produsul vitezei fluidului din canal și lungimea circuitului,
... Această cantitate se numește circulația vectorului de-a lungul conturului (deoarece canalul are o secțiune transversală constantă și modulul de viteză nu se schimbă). În momentul solidificării pereților, pentru fiecare particulă lichidă din canal, componenta de viteză perpendiculară pe perete va fi stinsă și va rămâne doar componenta tangentă la contur. Un impuls este asociat cu această componentă
, modulul căruia pentru o particulă lichidă închisă într-o secțiune de canal cu lungime
, este egal
, Unde - densitatea lichidului, - secțiunea canalului. Fluidul este ideal - nu există frecare, astfel încât acțiunea pereților poate schimba doar direcția
, valoarea sa va rămâne constantă. Interacțiunea dintre particulele lichidului va determina o astfel de redistribuire a impulsului între ele, care va egaliza viteza tuturor particulelor. În acest caz, se conservă, prin urmare, suma algebrică a impulsurilor
, Unde - viteza de circulație, - componenta tangențială a vitezei fluidului în volum
în momentul de timp care precede solidificarea zidurilor. Împărțirea în
, obține
.

C Circulația caracterizează proprietățile câmpului, mediat pe o regiune cu dimensiuni de ordinul diametrului conturului ... Pentru a obține caracteristica câmpului la punct R, trebuie să reduceți dimensiunea conturului, trăgându-l la un punct R... În acest caz, limita raportului de circulație al vectorului este luată ca o caracteristică a câmpului pe un contur plat contractând la obiect R, la dimensiunea planului de contur S:
... Valoarea acestei limite depinde nu numai de proprietățile câmpului din punct R, dar și asupra orientării conturului în spațiu, care poate fi specificat prin direcția normalului pozitiv la planul conturului (normalul asociat cu direcția de parcurgere a conturului prin regula șurubului drept este considerat pozitiv). Determinarea acestei limite pentru direcții diferite , vom obține valorile sale diferite, iar pentru direcțiile normale opuse, aceste valori diferă în semn. Pentru o anumită direcție a normalului, valoarea limitei va fi maximă. Astfel, valoarea limitei se comportă ca o proiecție a unui anumit vector pe direcția normalului către planul conturului de-a lungul căruia este efectuată circulația. Valoarea maximă a limitei determină modulul acestui vector, iar direcția normalului pozitiv la care se atinge maximul dă direcția vectorului. Acest vector se numește rotor sau vortex al vectorului :
.

Pentru a găsi proiecția rotorului pe axa sistemului de coordonate carteziene, trebuie să determinați valorile limită pentru astfel de orientări ale sitului. S pentru care normalul site-ului coincide cu una dintre axe X, Y, Z. Dacă, de exemplu, trimiteți de-a lungul axei NS, găsi
... Circuit este situat în acest caz într-un plan paralel cu YZ, ia un contur sub forma unui dreptunghi cu laturile
și
... La
sens și pe fiecare dintre cele patru laturi ale conturului poate fi considerată neschimbată. Secțiunea 1 a conturului (Figura 7.6) este opusă axei Z, asa de pe acest site coincide cu
, în secțiunea 2
, în secțiunea 3
, pe site-ul 4
... Pentru circulația de-a lungul acestui circuit, obținem valoarea: . Diferență
este un increment când este deplasat de-a lungul Da pe
... Datorită micimii
această creștere poate fi reprezentată ca
.De asemenea, diferență
. Apoi circulația de-a lungul conturului considerat
,

Unde
- zona de contur. Împărțirea circulației în
, găsim proiecția rotorului pe axă NS:
. În mod similar,
,
... Apoi rotorul vectorului definit prin expresia:

+
,

sau
.

Z rotorul vectorului în fiecare punct al unei suprafețe S, putem calcula circulația acestui vector de-a lungul conturului limitând suprafața S... Pentru a face acest lucru, împărțim suprafața în elemente foarte mici
(Figura 7.7). Circulația de-a lungul limitei
este egal cu
, Unde - normal pozitiv pentru element
. Rezumând aceste expresii pe întreaga suprafață Sși înlocuind expresia cu circulația, obținem
... Aceasta este teorema lui Stokes.

Partea fluidului mărginită de linii de curgere se numește tub de curgere. Vector , fiind în fiecare punct tangent la linia de curgere, va fi tangentă la suprafața tubului curentului, iar particulele de fluid nu traversează pereții tubului curentului.

Să luăm în considerare secțiunea transversală a tubului curentului perpendicular pe direcția vitezei S(Figura 7.8.). Vom presupune că viteza particulelor lichide este aceeași în toate punctele acestei secțiuni. Pe parcursul
prin secțiune S vor trece toate particulele, a căror distanță este în momentul inițial nu depășește valoarea
... Prin urmare, în timp
prin secțiune S
, și pe unitate de timp prin secțiune S volumul de lichid va trece, egal cu
.. Să presupunem că tubul curentului este atât de subțire încât viteza particulelor din fiecare secțiune a acestuia poate fi considerată constantă. Dacă fluidul este incompresibil (adică densitatea acestuia este aceeași peste tot și nu se schimbă), atunci cantitatea de fluid dintre secțiuni și (Figura 7.9.) Va rămâne neschimbată. Apoi, volumele de lichid care curg pe unitate de timp prin secțiuni și trebuie să fie la fel:

Astfel, pentru un fluid incompresibil, cantitatea
în orice secțiune a aceluiași tub de curgere trebuie să fie aceeași:

.Această afirmație se numește teorema continuității jetului.

Mișcarea unui fluid ideal este descrisă prin ecuația Navier-Stokes:

Unde t- timpul, x, y, z- coordonatele unei particule lichide,

- proiecții ale forței corpului, R- presiunea, ρ - densitatea mediului. Această ecuație permite determinarea proiecțiilor vitezei unei particule a mediului în funcție de coordonate și timp. Pentru a închide sistemul, ecuația continuității este adăugată la ecuația Navier-Stokes, care este o consecință a teoremei continuității jetului:

... Pentru a integra aceste ecuații, este necesar să setați condițiile inițiale (în cazul în care mișcarea nu este staționară) și limita.

Lichide și gaze sunt în mare măsură similare prin proprietățile lor. Sunt fluide și iau forma vasului în care se află. Ei respectă legile lui Pascal și Arhimede.

Când se ia în considerare mișcarea fluidelor, se pot neglija forțele de frecare dintre straturi și le pot considera absolut incompresibile. Un astfel de fluid absolut inviscid și absolut incompresibil se numește ideal..

Mișcarea unui fluid poate fi descrisă arătând traiectoriile de mișcare ale particulelor sale în așa fel încât tangenta în orice punct al traiectoriei să coincidă cu vectorul viteză. Aceste linii se numesc eficientizează... Fluxurile sunt de obicei trase astfel încât densitatea lor să fie mai mare acolo unde debitul fluidului este mai mare (Figura 2.11).

Mărimea și direcția vectorului de viteză V într-un lichid se pot schimba cu timpul, apoi modelul liniei aerodinamice se poate schimba continuu. Dacă vectorii de viteză din fiecare punct al spațiului nu se schimbă, atunci se numește fluxul de fluid staționar.

Se numește partea de lichid mărginită de linii aerodinamice tub curent... Particulele de lichid, care se deplasează în interiorul tubului de curgere, nu traversează pereții acestuia.

Luați în considerare un tub de curent și indicați prin S 1 și S 2 zonele secțiunii transversale din acesta (Figura 2.12). Apoi, pe unitate de timp, aceleași volume de lichid curg prin S 1 și S 2:

S 1 V 1 = S 2 V 2 (2,47)

acest lucru se aplică oricărei secțiuni a tubului curent. Prin urmare, pentru un fluid ideal, valoarea SV = const în orice secțiune a tubului de curgere. Acest raport se numește continuitatea jetului... Rezultă din aceasta:

acestea. viteza V a curgerii constante a lichidului este invers proporțională cu aria secțiunii transversale S a tubului de curgere și acest lucru se poate datora gradientului de presiune din lichid de-a lungul tubului de curgere. Teorema continuității jetului (2.47) este, de asemenea, aplicabilă fluidelor reale (gazelor) atunci când acestea curg în țevi cu secțiuni diferite, dacă forțele de frecare sunt mici.

Ecuația Bernoulli... Să selectăm un tub curent cu secțiune transversală variabilă într-un fluid ideal (Fig. 2.12). Datorită continuității jetului, volume egale de lichid ΔV curg prin S 1 și S 2 în același timp.

Energia fiecărei particule lichide este suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale. Apoi, când treceți dintr-o secțiune a tubului, curenții în alta, creșterea energiei lichidului va fi:

Într-un fluid ideal, creșterea ΔW ar trebui să fie egală cu activitatea forțelor de presiune asupra modificării volumului ΔV, adică A = (P 1 -P 2) ΔV.

Echivalarea ΔW = A și anularea de către ΔV și ținând cont de faptul că ( ρ este densitatea lichidului), obținem:

de cand secțiunea transversală a tubului curentului este luată în mod arbitrar, apoi pentru un fluid ideal de-a lungul oricărei linii de curent se îndeplinesc următoarele:

. (2.48)

Unde R- presiunea statică într-o anumită secțiune S a tubului curent;

Presiunea dinamică pentru această secțiune; V este viteza de curgere a fluidului prin această secțiune;

ρgh-presiune hidrostatica.

Ecuația (2.48) se numește Ecuația Bernoulli.

Lichid vâscos... Într-un lichid real, când straturile sale se mișcă unul față de altul, forțe de frecare interne(viscozitate). Lăsați două straturi de lichid să fie distanțate unul de celălalt la o distanță Δх și deplasați-vă cu viteza V 1 și V 2 (Figura 2.13).

Apoi forța de frecare internă între straturi(Legea lui Newton):

, (2.49)

Unde η - coeficientul de viscozitate dinamică a lichidului:

Viteza medie aritmetică a moleculelor;

Calea liberă medie a moleculelor;

Gradientul vitezei stratului; ΔS- zona straturilor de contact.

Fluxul de lichid stratificat este numit laminar... Pe măsură ce viteza crește, natura stratificată a fluxului este încălcată și lichidul este amestecat. Acest flux se numește turbulent.

În flux laminar, flux fluid Îîntr-o conductă cu raza R este proporțională cu căderea de presiune pe unitatea de lungime a conductei ΔР / ℓ:

Formula lui Poiseuille. (2,51)

În lichide și gaze reale, corpurile în mișcare experimentează forțe de rezistență. De exemplu, forța de rezistență care acționează asupra unei bile care se mișcă uniform într-un mediu vâscos este proporțională cu viteza sa V:

Formula Stokes, (2.52)

Unde r este raza mingii.

Odată cu creșterea vitezei de mișcare, fluxul din jurul corpului este perturbat, în spatele corpului se formează vârtejuri, care consumă suplimentar energie. Acest lucru duce la o creștere a rezistenței.