Proprietățile sistemelor cuantice. Sisteme cuantice și proprietățile lor

Niveluri de energie (atomic, molecular, nuclear)

1. Caracteristicile stării unui sistem cuantic
2. Nivelurile energetice ale atomilor
3. Nivelurile energetice ale moleculelor
4. Nivelurile energetice ale nucleelor

Caracteristicile stării unui sistem cuantic

Baza pentru explicarea proprietăților atomilor, moleculelor și nucleelor ​​atomice, i.e. fenomenele care apar în elementele de volum cu scale liniare de 10 -6 -10 -13 cm se află sub mecanica cuantică. Potrivit mecanicii cuantice, fiecare sistem cuantic (adică un sistem de microparticule care se supune legilor cuantice) este caracterizat de un anumit set de stări. În general, acest set de stări poate fi fie discret (spectru discret de stări), fie continuu (spectru continuu de stări). Caracteristicile stării unui sistem izolat de fenomene. energia internă a sistemului (denumită în continuare pur și simplu energie), momentul unghiular total (MCM) și paritatea.

Energia sistemului.
Un sistem cuantic, aflat în stări diferite, are, în general, energii diferite. Energia unui sistem conectat poate lua orice valoare. Acest set de valori posibile de energie se numește. spectru de energie discret și se spune că energia este cuantificată. Un exemplu ar fi energia. spectrul atomului (vezi mai jos). Un sistem nelegat de particule care interacționează are un spectru energetic continuu, iar energia poate lua valori arbitrare. Un exemplu de astfel de sistem este electronul liber (E) în câmpul coulombian al nucleului atomic. Un spectru de energie continuu poate fi reprezentat ca un set de un număr infinit de stări discrete, între care energie. golurile sunt infinitezimale.

Se numește starea căreia îi corespunde cea mai mică energie posibilă pentru un sistem dat. principal: toate celelalte state sunt numite. excitat. Este adesea convenabil să folosiți o scară convențională de energie, în care energia este în principal starea este considerată punctul de plecare, adică. se presupune că este egal cu zero (în această scară convențională, energia este notă cu litera E). Dacă sistemul, fiind într-o stare n(și indexul n=1 este atribuit principalului. stare), are energie E n, apoi se spune că sistemul este la nivel energetic E n. Număr n, numerotare U.E., numit. număr cuantic. În general, fiecare U.e. poate fi caracterizat nu printr-un număr cuantic, ci printr-o combinație a acestora; apoi indexați nînseamnă totalitatea acestor numere cuantice.

Dacă condiţiile n 1, n 2, n 3,..., n k corespunde aceleiași energie, adică un U.E., atunci acest nivel se numește degenerat, iar numărul k- multiplicitatea degenerescentei.

În timpul oricăror transformări ale unui sistem închis (precum și unui sistem într-un câmp extern constant), energia sa totală rămâne neschimbată. Prin urmare, energia se referă la așa-numitul. valori conservate. Legea conservării energiei decurge din omogenitatea timpului.

Momentul unghiular total.
Această cantitate este vector și se obține prin adăugarea MCD-ului tuturor particulelor incluse în sistem. Fiecare particulă are propria sa MKD - spin și impuls orbital, cauzate de mișcarea particulei în raport cu centrul general de masă al sistemului. Cuantizarea MCD duce la faptul că abs. magnitudinea J ia valori strict definite: , unde j- un număr cuantic, care poate lua valori întregi nenegative și jumătate întregi (numărul cuantic al unui MKD orbital este întotdeauna un număr întreg). Proiecția MCD pe kl. axa numelui mag. număr cuantic și poate lua 2j+1 valori: m j =j, j-1,...,-j. Dacă k.-l. moment J yavl. suma altor două momente, apoi, conform regulilor de adunare a momentelor din mecanica cuantică, numărul cuantic j poate lua următoarele valori: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, a. Însumarea unui număr mai mare de momente se realizează în mod similar. Pentru concizie, se obișnuiește să se vorbească despre sistemele MCD j, implicând momentul, abs. a cărui valoare este ; o mag. Numărul cuantic este pur și simplu vorbit ca o proiecție a impulsului.

În timpul diferitelor transformări ale unui sistem situat într-un câmp central simetric, MCD total este conservat, adică, ca și energia, se referă la cantități conservate. Legea conservării MCD rezultă din izotropia spațiului. Într-un câmp axial simetric, doar proiecția MCD-ului complet pe axa de simetrie este păstrată.

Paritatea de stat.
În mecanica cuantică, stările unui sistem sunt descrise de așa-numitele. funcții de undă. Paritatea caracterizează modificarea funcției de undă a sistemului în timpul operațiunii de inversare spațială, i.e. modificarea semnelor coordonatelor tuturor particulelor. Cu o astfel de operație, energia nu se modifică, în timp ce funcția de undă poate fie să rămână neschimbată (stare pară), fie să își schimbe semnul în sens opus (stare impară). Paritate P ia, respectiv, două valori. Dacă sistemul funcţionează nuclear sau electromagnetic. forțelor, paritatea este păstrată în transformările atomice, moleculare și nucleare, adică. această cantitate se referă și la cantități conservate. Legea conservarii paritatii o consecință a simetriei spațiului față de reflexiile oglinzii și este încălcată în acele procese în care sunt implicate interacțiuni slabe.

Tranziții cuantice
- tranzițiile sistemului de la o stare cuantică la alta. Astfel de tranziții pot duce la ambele schimbări de energie. starea sistemului și calitățile acestuia. schimbări. Acestea sunt tranziții legate, libere, libere (vezi Interacțiunea radiației cu materia), de exemplu, excitare, dezactivare, ionizare, disociere, recombinare. Aceasta este, de asemenea, o substanță chimică. și reacții nucleare. Tranzițiile pot apărea sub influența radiației - tranziții radiative (sau radiative) sau atunci când un anumit sistem se ciocnește cu o particulă. alt sistem sau particule - tranziții non-radiative. O caracteristică importantă a fenomenelor de tranziție cuantică. probabilitatea sa în unități. timp, arătând cât de des va avea loc această tranziție. Această valoare este măsurată în s -1. Probabilități de radiație tranziții între niveluri mȘi n (m>n) cu emisia sau absorbția unui foton, a cărui energie este egală cu , se determină coeficientul. Einstein A mn, B mnȘi Bnm. Tranziție de nivel m pe nivel n poate apărea spontan. Probabilitatea de emisie de fotoni Bmnîn acest caz egal Un mn. Tranzițiile de tipul sub influența radiației (tranziții induse) sunt caracterizate de probabilitățile de emisie a unui foton și de absorbție a unui foton, unde este densitatea de energie a radiației cu frecvența.

Posibilitatea de a efectua o tranziție cuantică de la un anumit e.e. pe k.-l. un alt U.e. înseamnă că caracteristica cf. timp în care sistemul poate fi la această U.E., desigur. Este definit ca reciproca probabilității totale de decădere a unui nivel dat, adică suma probabilităților tuturor tranzițiilor posibile de la nivelul luat în considerare la toate celelalte. Pentru radiații tranziții, probabilitatea totală este , și . Finitudinea timpului, conform relației de incertitudine, înseamnă că energia de nivel nu poate fi determinată absolut exact, adică. U.e. are o anumită lățime. Prin urmare, emisia sau absorbția fotonilor în timpul unei tranziții cuantice nu are loc la o frecvență strict definită, ci într-un anumit interval de frecvență situat în vecinătatea valorii. Distribuția intensității în acest interval este dată de profilul liniei spectrale, care determină probabilitatea ca frecvența unui foton emis sau absorbit în timpul unei anumite tranziții să fie egală cu:
(1)
unde este jumătatea lățimii profilului liniei. Dacă lărgirea U.e. iar liniile spectrale sunt cauzate numai de tranziții spontane, atunci se numește o astfel de lărgire. natural. Dacă ciocnirile sistemului cu alte particule joacă un anumit rol în lărgire, atunci lărgirea are un caracter combinat și valoarea trebuie înlocuită cu suma, unde se calculează în mod similar, dar radiația. probabilitățile de tranziție trebuie înlocuite cu probabilitățile de coliziune.

Tranzițiile în sistemele cuantice sunt supuse anumitor reguli de selecție, de ex. reguli care stabilesc modul în care numerele cuantice care caracterizează starea sistemului (MCD, paritate etc.) se pot schimba în timpul unei tranziții. Regulile de selecție sunt formulate cel mai simplu pentru radiații. tranziții. În acest caz, ele sunt determinate de proprietățile stărilor inițiale și finale, precum și de caracteristicile cuantice ale fotonului emis sau absorbit, în special MCD și paritatea acestuia. Cel mai probabil sunt așa-zișii tranziții electrice de dipol. Aceste tranziții sunt efectuate între niveluri de paritate opuse, ale căror MCD-uri complete diferă printr-o sumă (tranziția este imposibilă). În cadrul terminologiei stabilite, aceste tranziții sunt numite. permis. Toate celelalte tipuri de tranziții (dipol magnetic, cvadrupol electric etc.) sunt numite. interzisă. Sensul acestui termen este doar că probabilitățile lor se dovedesc a fi mult mai mici decât probabilitățile tranzițiilor electrice dipol. Cu toate acestea, nu sunt absolut interzis.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale Întregul complex de fenomene înțeles de obicei prin cuvintele „proprietățile electronice ale sistemelor electronice de dimensiuni joase” se bazează pe un fapt fizic fundamental: o modificare a spectrului energetic al electronilor și găuri în structuri cu dimensiuni foarte mici. Să demonstrăm ideea de bază a cuantizării mărimii folosind exemplul electronilor aflați într-un metal foarte subțire sau un film semiconductor de grosimea a.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale Electronii din peliculă se află într-un puț de potențial cu adâncimea egală cu funcția de lucru. Adâncimea puțului de potențial poate fi considerată infinit de mare, deoarece funcția de lucru depășește energia termică a purtătorilor cu câteva ordine de mărime. Valorile tipice ale funcției de lucru în majoritatea solidelor sunt W = 4 -5 Oe. B, cu câteva ordine de mărime mai mare decât energia termică caracteristică a purtătorilor, având un ordin de mărime k. T egal la temperatura camerei cu 0,026 e. B. Conform legilor mecanicii cuantice, energia electronilor într-un astfel de puț este cuantificată, adică poate lua doar câteva valori discrete En, unde n poate lua valori întregi 1, 2, 3, … . Aceste valori discrete de energie se numesc niveluri de cuantificare a mărimii.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale Pentru o particulă liberă cu o masă efectivă m*, a cărei mișcare într-un cristal în direcția axei z este limitată de bariere impenetrabile (adică bariere cu potențial infinit). energie), energia stării fundamentale crește în comparație cu starea fără limitare de cantitate. Această creștere a energiei se numește energia de cuantificare a dimensiunii particulei. Energia de cuantizare este o consecință a principiului incertitudinii din mecanica cuantică. Dacă o particulă este limitată în spațiu de-a lungul axei z pe o distanță a, incertitudinea componentei z a impulsului său crește cu o cantitate de ordinul ħ/a. În consecință, energia cinetică a particulei crește cu cantitatea E 1. Prin urmare, efectul luat în considerare este adesea numit efect de mărime cuantică.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale Concluzia despre cuantificarea energiei mișcării electronice se aplică numai mișcării prin puțul de potențial (de-a lungul axei z). Potențialul puțului nu afectează mișcarea în planul xy (paralel cu limitele filmului). În acest plan, purtătorii se mișcă ca purtători liberi și sunt caracterizați, ca într-o probă masivă, printr-un spectru de energie continuu pătratic în impuls cu o masă efectivă. Energia totală a purtătorilor dintr-un film de dimensiune cuantică are un spectru mixt și continuu

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării mărimii Pe lângă creșterea energiei minime a unei particule, efectul mărimii cuantice duce și la cuantizarea energiilor stărilor sale excitate. Spectrul energetic al unui film de dimensiune cuantică - impulsul purtătorilor de sarcină în planul filmului

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării mărimii Fie ca electronii din sistem să aibă energii mai mici decât E 2 și, prin urmare, aparțin nivelului inferior al cuantizării mărimii. Apoi, niciun proces elastic (de exemplu, împrăștierea pe impurități sau pe fononi acustici), precum și împrăștierea electronilor unul pe celălalt, nu poate schimba numărul cuantic n, transferând electronul la un nivel superior, deoarece acest lucru ar necesita energie suplimentară. Aceasta înseamnă că electronii în timpul împrăștierii elastice își pot schimba impulsul doar în planul filmului, adică se comportă ca niște particule pur bidimensionale. Prin urmare, structurile de dimensiune cuantică în care este umplut un singur nivel cuantic sunt adesea numite structuri electronice bidimensionale.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale Există și alte structuri cuantice posibile în care mișcarea purtătorilor este limitată nu într-una, ci în două direcții, ca într-un fir sau fir microscopic (fire sau fire cuantice). În acest caz, purtătorii se pot deplasa liber doar într-o singură direcție, de-a lungul filetului (să-i spunem axa x). În secțiunea transversală (planul yz), energia este cuantificată și ia valori discrete Emn (ca orice mișcare bidimensională, este descrisă de două numere cuantice, m și n). Spectrul complet este, de asemenea, discret continuu, dar cu un singur grad continuu de libertate:

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Principiul cuantizării dimensionale De asemenea, este posibil să se creeze structuri cuantice asemănătoare atomilor artificiali, unde mișcarea purtătorilor este limitată în toate cele trei direcții (puncte cuantice). În punctele cuantice, spectrul de energie nu mai conține o componentă continuă, adică nu este format din sub-benzi, ci este pur discret. Ca și în atom, este descris prin trei numere cuantice discrete (fără numărarea spinului) și poate fi scris ca E = Elmn, iar, ca și în atom, nivelurile de energie pot fi degenerate și pot depinde doar de unul sau două numere. O caracteristică comună a structurilor de dimensiuni joase este faptul că, dacă, cel puțin de-a lungul unei direcții, mișcarea purtătorilor este limitată la o regiune foarte mică, comparabilă ca dimensiune cu lungimea de undă de Broglie a purtătorilor, spectrul lor de energie se schimbă considerabil și devine parțial sau complet discret.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Definiții Punctele cuantice sunt structuri ale căror dimensiuni în toate cele trei direcții sunt mai multe distanțe interatomice (structuri zero-dimensionale). Fire cuantice (fire) - fire cuantice - structuri ale căror dimensiuni în două direcții sunt egale cu mai multe distanțe interatomice, iar în a treia - o valoare macroscopică (structuri unidimensionale). Sondele cuantice sunt structuri a căror dimensiune într-o singură direcție este de mai multe distanțe interatomice (structuri bidimensionale).

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Dimensiuni minime și maxime Limita inferioară a cuantizării mărimii este determinată de dimensiunea critică Dmin, la care există cel puțin un nivel electronic în structura cuantică-dimensională. Dmin depinde de intervalul benzii de conducție DEc în heterojoncția corespunzătoare utilizată pentru a obține structuri cuantice. Într-o sondă cuantică, există cel puțin un nivel de electroni dacă DEc depășește h – constanta lui Planck, me* este masa efectivă a electronului, DE 1 QW este primul nivel dintr-o sondă cuantică dreptunghiulară cu pereți infiniti.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Dimensiuni minime și maxime Dacă distanța dintre nivelurile de energie devine comparabilă cu energia termică k. BT, atunci populația de niveluri înalte crește. Pentru un punct cuantic, condiția în care populația de niveluri mai înalte poate fi neglijată este scrisă ca E 1 QD, E 2 QD - energiile nivelurilor de cuantizare de prima și a doua dimensiune, respectiv. Aceasta înseamnă că beneficiile cuantizării mărimii pot fi pe deplin realizate dacă Această condiție stabilește limite superioare pentru cuantizarea dimensiunii. Pentru Ga. As-Alx. Ga 1 -x. Deoarece această valoare este de 12 nm.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni joase O caracteristică importantă a oricărui sistem electronic, împreună cu spectrul său de energie, este densitatea stărilor g(E) (numărul de stări pe unitatea de interval de energie E ). Pentru cristalele tridimensionale, densitatea stărilor se determină folosind condiții ciclice la limită Born-Karman, din care rezultă că componentele vectorului unde electronilor nu se modifică continuu, ci iau un număr de valori discrete, aici ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, și sunt dimensiunile cristal (în formă de cub cu latura L). Volumul k-spațiului per stare cuantică este egal cu (2)3/V, unde V = L 3 este volumul cristalului.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni joase Astfel, numărul de stări electronice pe element de volum dk = dkxdkydkz, calculat pe unitate de volum, va fi egal cu aici, factorul 2 ia în considerare două posibile orientări de spin. Numărul de stări per unitate de volum în spațiu reciproc, adică densitatea stărilor) nu depinde de vectorul de undă. Cu alte cuvinte, în spațiul reciproc, stările permise sunt distribuite cu o densitate constantă.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni reduse În cazul general, este practic imposibil să se calculeze funcția densității stărilor în raport cu energie, deoarece suprafețele izoenergetice pot avea o formă destul de complexă. În cel mai simplu caz al unei legi de dispersie parabolică izotropă, valabilă pentru marginile benzilor de energie, se poate găsi numărul de stări cuantice pe volum al unui strat sferic închis între două suprafețe izoenergetice apropiate corespunzătoare energiilor E și E+d. E.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse Volumul unui strat sferic în spațiul k. dk – grosimea stratului. Acest volum va explica d. N stări Ținând cont de legătura dintre E și k conform legii parabolice, obținem deci densitatea stărilor în energie va fi egală cu m* - masa efectivă a electronului

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensionalitate redusă Astfel, în cristalele tridimensionale cu spectru de energie parabolic, odată cu creșterea energiei, densitatea nivelurilor de energie admise (densitatea stărilor) va crește proporțional cu densitatea nivelurilor în banda de conducere și în banda de valență. Aria zonelor umbrite este proporțională cu numărul de niveluri din intervalul energetic d. E

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse Să calculăm densitatea stărilor pentru un sistem bidimensional. Energia purtătoarei totale pentru o lege de dispersie parabolică izotropă într-un film de dimensiune cuantică, așa cum se arată mai sus, are un spectru mixt discret continuu Într-un sistem bidimensional, stările unui electron de conducție sunt determinate de trei numere (n, kx). , ky). Spectrul de energie este împărțit în subzone En bidimensionale separate, corespunzătoare valorilor fixe ale lui n.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Curbele de energie constantă sunt cercuri în spațiu reciproc. Fiecare număr cuantic discret n corespunde valorii absolute a componentei z a vectorului de undă.De aceea, volumul în spațiu reciproc limitat de o suprafață închisă a unei anumite energii E în cazul unui sistem bidimensional este împărțit într-un număr de secțiuni.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Să determinăm dependența densității stărilor de energie pentru un sistem bidimensional. Pentru a face acest lucru, pentru un n dat, găsim aria S a inelului mărginită de două suprafețe izoenergetice corespunzătoare energiilor E și E+d. E: Iată mărimea vectorului de undă bidimensional corespunzător n și E dat; dkr – lățimea inelului. Deoarece o stare din plan (kxky) corespunde zonei în care L 2 este aria unui film bidimensional de grosimea a, numărul de stări electronice din inel, calculat pe unitatea de volum a cristalului, va fi egal cu, luând în considerare spinul electronilor

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni joase Deoarece aici este energia corespunzătoare fundului sub-benzii a n-a. Astfel, densitatea stărilor într-un film bidimensional unde Q(Y) este funcția unității Heaviside, Q(Y) =1 pentru Y≥ 0 și Q(Y) =0 pentru Y

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor dintr-un film bidimensional poate fi reprezentată și ca o parte întreagă egală cu numărul de subbenzi al căror fund este sub energia E. Astfel , pentru filmele bidimensionale cu o lege de dispersie parabolică, densitatea stărilor din orice subzonă este constantă și nu depinde de energie. Fiecare subbandă are o contribuție egală la densitatea generală a stărilor. La o grosime fixă ​​a filmului, densitatea stărilor se modifică brusc atunci când nu se modifică prin unitate.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse Dependența densității stărilor unui film bidimensional de energia (a) și grosimea a (b).

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse În cazul unei legi de dispersie arbitrară sau al unui alt tip de puț de potențial, dependența densității stării de energie și grosimea peliculei poate diferi de cele date mai sus, dar principala caracteristică – comportamentul nemonoton – va rămâne.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse Să calculăm densitatea stărilor pentru o structură unidimensională - un fir cuantic. Legea dispersiei parabolice izotrope în acest caz poate fi scrisă sub forma x este îndreptată de-a lungul firului cuantic, d este grosimea firului cuantic de-a lungul axelor y și z, kx este vectorul de undă unidimensional. m, n sunt numere întregi pozitive care caracterizează axa unde a sub-benzilor cuantice. Spectrul de energie al unui fir cuantic este astfel împărțit în sub-benzi unidimensionale suprapuse separate (parabole). Mișcarea electronilor de-a lungul axei x se dovedește a fi liberă (dar cu o masă efectivă), iar mișcarea de-a lungul celorlalte două axe este limitată.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structuri cu dimensiuni joase Spectrul energiei electronice pentru un fir cuantic

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un fir cuantic în funcție de energie Numărul de stări cuantice pe interval dkx, calculat pe unitatea de volum unde este energia corespunzătoare fundului sub-benzii cu dat n și m.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un fir cuantic în funcție de energie Deci Prin urmare Atunci când se derivă această formulă, degenerarea spin a stărilor și faptul că un interval d este luat in considerare. E corespunde la două intervale ±dkx ale fiecărei sub-benzi pentru care (E-En, m) > 0. Energia E este măsurată din partea de jos a benzii de conducere a probei masive.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un fir cuantic de energie Dependența densității stărilor unui fir cuantic de energie. Numerele de lângă curbe arată numerele cuantice n și m. Factorii de degenerare ai nivelurilor de sub-bandă sunt indicați în paranteze.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE DE DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un fir cuantic în funcție de energie În cadrul unei anumite subbande, densitatea stărilor scade odată cu creșterea energiei. Densitatea totală a stărilor este o suprapunere de funcții descrescătoare identice (corespunzătoare sub-benzilor individuale) deplasate de-a lungul axei energetice. La E = E m, n, densitatea stărilor este egală cu infinitul. Subbenzile cu numere cuantice n m se dovedesc a fi dublu degenerate (numai pentru Ly = Lz d).

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un punct cuantic în funcție de energie Cu restricția tridimensională a mișcării particulelor, ajungem la problema găsirii stărilor permise într-un cuantic. sistem punct sau zero-dimensional. Folosind aproximarea masei efective și legea dispersiei parabolice, pentru marginea benzii de energie izotropă, spectrul stărilor permise ale unui punct cuantic cu aceleași dimensiuni d de-a lungul tuturor celor trei axe de coordonate va avea forma n, m, l = 1 , 2, 3 ... - numere pozitive care numerotează subbenzile. Spectrul de energie al unui punct cuantic este un set de stări permise discrete corespunzătoare unui fix n, m, l.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIUNE JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile de dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un punct cuantic în funcție de energie Numărul de stări în sub-benzi corespunzătoare unei mulțimi n, m, l, calculat pe unitate de volum, Total număr de stări având aceeași energie, calculat pe unitatea de volum Degenerarea nivelurilor este determinată în primul rând de simetria problemei. g – factor de degenerare nivel

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR ELECTRONICE CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni joase Densitatea stărilor într-un punct cuantic în funcție de energie Degenerarea nivelurilor este determinată în primul rând de simetria problemei. De exemplu, pentru cazul considerat al unui punct cuantic cu aceleași dimensiuni în toate cele trei dimensiuni, nivelurile vor fi de trei ori degenerate dacă două numere cuantice sunt egale între ele și nu sunt egale cu al treilea și de șase ori degenerate dacă toate numerele cuantice. numerele nu sunt egale între ele. Un anumit tip de potențial poate duce, de asemenea, la așa-numita degenerare aleatorie suplimentară. De exemplu, pentru punctul cuantic luat în considerare, la degenerarea de trei ori a nivelurilor E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), asociat cu simetria problemei, se adaugă degenerarea aleatorie E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 atât în ​​primul cât și în al doilea caz), asociat cu potențial limitator de formă (putențial dreptunghiular infinit).

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Distribuția stărilor cuantice în structurile cu dimensiuni reduse Densitatea stărilor într-un punct cuantic în funcție de energie Distribuția numărului de stări permise N în banda de conducție pentru un punct cuantic cu aceleași dimensiuni în toate trei dimensiuni. Numerele reprezintă numere cuantice; Factorii de degenerare de nivel sunt indicați între paranteze.

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Statistica purtătorilor în structurile cu dimensiuni joase Sisteme electronice tridimensionale Proprietățile electronilor de echilibru din semiconductori depind de funcția de distribuție Fermi, care determină probabilitatea ca un electron să fie în stare cuantică cu energie E EF - Nivelul Fermi sau potențialul electrochimic, T - temperatura absolută, k – constanta Boltzmann. Calculul diferitelor mărimi statistice este mult simplificat dacă nivelul Fermi se află în decalajul de energie și este îndepărtat semnificativ din partea de jos a benzii de conducție Ec (Ec – EF) > k. T. Atunci în distribuția Fermi-Dirac unitatea din numitor poate fi neglijată și trece la distribuția Maxwell-Boltzmann a statisticii clasice. Acesta este cazul unui semiconductor nedegenerat

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR DE JUS DIMENSIONAL Statistica purtătorilor în structurile joase Sisteme electronice tridimensionale Funcția de distribuție a densității stărilor în banda de conducție g(E), funcția Fermi-Dirac pentru trei temperaturi și funcția Maxwell-Boltzmann pentru tridimensional gaz de electroni. La T = 0 funcţia Fermi-Dirac are forma unei funcţii discontinue. Pentru E EF funcția este zero și stările cuantice corespunzătoare sunt complet libere. La T > 0 funcţia Fermi. Dirac se frotiază în vecinătatea energiei Fermi, unde se schimbă rapid de la 1 la 0 și acest frotiu este proporțional cu k. T, adică cu cât temperatura este mai mare, cu atât mai mare. (Fig. 1. 4. Gurtov)

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR DE DIMENSIONALĂ JOSĂ Statistica purtătorilor în structurile de dimensiuni joase Sisteme electronice tridimensionale Concentrația de electroni în banda de conducție se găsește prin însumarea tuturor stărilor.Rețineți că ca limită superioară în această integrală ar trebui să luăm energia marginii superioare a benzii de conducere. Dar deoarece funcția Fermi-Dirac pentru energiile E >EF scade exponențial rapid odată cu creșterea energiei, înlocuirea limitei superioare cu infinit nu modifică valoarea integralei. Înlocuind valorile funcțiilor în integrală, obținem -densitatea efectivă a stărilor în banda de conducție

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR CU DIMENSIUNE JOSĂ Statistica purtătorilor în structurile cu dimensiuni joase Sisteme electronice bidimensionale Să determinăm concentrația purtătorului de sarcină într-un gaz electronic bidimensional. Deoarece densitatea stărilor unui gaz de electroni bidimensionale Obținem Aici limita superioară de integrare este luată și ea egală cu infinitul, ținând cont de dependența accentuată a funcției de distribuție Fermi-Dirac de energie. Integrarea unde

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR CU DIMENSIUNE JOSĂ Statistica purtătorilor în structurile joase Sisteme electronice bidimensionale Pentru un gaz de electroni nedegenerat, când În cazul filmelor ultrasubțiri, când se poate lua în considerare umplerea doar a subbenzii inferioare Pentru degenerarea puternică a gazului de electroni, când n 0 este o parte întreagă

PROPRIETĂȚI ELECTRONICE ALE SISTEMELOR CU DIMENSIONALĂ JOSĂ Statistica purtătorilor în structurile cu dimensiuni reduse Trebuie remarcat faptul că, în sistemele de dimensiuni cuantice, datorită densității mai scăzute a stărilor, starea degenerarii complete nu necesită concentrații extrem de mari sau temperaturi scăzute și este destul de des realizat în experimente. De exemplu, în n-Ga. Ca la N 2 D = 1012 cm-2, degenerarea va avea loc deja la temperatura camerei. În firele cuantice, integrala pentru calcul, spre deosebire de cazurile bidimensionale și tridimensionale, nu este calculată analitic la degenerare arbitrară, iar formulele simple pot fi scrise doar în cazuri limită. Într-un gaz de electroni unidimensional nedegenerat, în cazul filamentelor ultrasubțiri, atunci când este posibil să se ia în considerare umplerea doar a celui mai scăzut nivel cu energie E 11 concentrația de electroni unde este densitatea efectivă unidimensională a stărilor

Sisteme cuantice de particule identice

Caracteristicile cuantice ale comportamentului microparticulelor, care le deosebesc de proprietățile obiectelor macroscopice, apar nu numai atunci când se ia în considerare mișcarea unei particule, ci și atunci când se analizează comportamentul. sisteme microparticule . Acest lucru se vede cel mai clar în exemplul sistemelor fizice constând din particule identice - sisteme de electroni, protoni, neutroni etc.

Pentru un sistem de la N particule cu mase T 01 , T 02 , … T 0 i , … m 0 N, având coordonate ( X i , y i , z i) , funcția de undă poate fi reprezentată ca

Ψ (X 1 , y 1 , z 1 , … X i , y i , z i , … X N , y N , z N , t) .

Pentru volum elementar

dV i = dx i . dy i . dz i

magnitudinea

w =

determină probabilitatea ca o particulă să fie în volum dV 1, celălalt în volum dV 2, etc.

Astfel, cunoscând funcția de undă a unui sistem de particule, se poate găsi probabilitatea oricărei configurații spațiale a unui sistem de microparticule, precum și probabilitatea oricărei mărimi mecanice, atât pentru sistemul în ansamblu, cât și pentru o particulă individuală, și calculați, de asemenea, valoarea medie a mărimii mecanice.

Funcția de undă a unui sistem de particule este găsită din ecuația Schrödinger

, Unde

Operator al funcției Hamilton pentru un sistem de particule

+ .

functie de putere pt i- oh particule într-un câmp extern și

Energia interacțiunii i- Oh si j- o, particule.

Indistinguirea particulelor identice în cuantică

mecanica

Particule care au aceeași masă, sarcină electrică, spin etc. se va comporta exact în același mod în aceleași condiții.

Hamiltonianul unui astfel de sistem de particule cu mase identice m oi şi funcţii de putere identice U pot fi scris în forma prezentată mai sus.

Dacă schimbi sistemul i- da si j- y particule, atunci, datorită identității particulelor identice, starea sistemului nu ar trebui să se schimbe. Energia totală a sistemului, precum și toate mărimile fizice care îi caracterizează starea, vor rămâne neschimbate.

Principiul identității particulelor identice: Într-un sistem de particule identice, sunt realizate numai astfel de stări care nu se schimbă atunci când particulele sunt schimbate.

Stări simetrice și antisimetrice

Să introducem operatorul de permutare a particulelor în sistemul luat în considerare - . Efectul acestui operator este că schimbă i- Wow Șij- y particulele sistemului.

Principiul identității particulelor identice în mecanica cuantică duce la faptul că toate stările posibile ale unui sistem format din particule identice sunt împărțite în două tipuri:

simetric, pentru care

antisimetric, pentru care

(X 1 , y 1 ,z 1 … X N , y N , z N , t) = - Ψ A ( X 1 , y 1 ,z 1 … X N , y N , z N , t).

Dacă funcția de undă care descrie starea sistemului este simetrică (antisimetrică) în orice moment în timp, atunci acest tip de simetrie rămâne la fel în orice alt moment.

Bozoni și fermioni

Se numesc particule ale căror stări sunt descrise prin funcții de undă simetrice bozoni Statistica Bose-Einstein . Bosonii includ fotoni, π- Și La- mezoni, fononi în solide, excitoni în semiconductori și dielectrici. Toți bosonii auzero sau spin întreg .

Se numesc particule ale căror stări sunt descrise prin funcții de undă antisimetrice fermioni . Sistemele formate din astfel de particule se supun Statistica Fermi-Dirac . Fermionii includ electroni, protoni, neutroni, neutrini și toate particulele elementare și antiparticulele curotire pe jumătate întreg.

Legătura dintre spinul unei particule și tipul de statistică rămâne valabilă în cazul particulelor complexe formate din cele elementare. Dacă spinul total al unei particule complexe este egal cu un număr întreg sau zero, atunci această particulă este un boson, iar dacă este egal cu un număr întreg, atunci particula este un fermion.

Exemplu: particulă α() este format din doi protoni și doi neutroni, adică patru fermioni cu spini +. Prin urmare, spin-ul nucleului este 2 și acest nucleu este un boson.

Nucleul unui izotop de lumină este format din doi protoni și un neutron (trei fermioni). Rotirea acestui nucleu. Prin urmare, miezul este un fermion.

Principiul lui Pauli (excluderea lui Pauli)

În sistemul identicfermioni Nu pot exista două particule în aceeași stare cuantică.

În ceea ce privește un sistem format din bozoni, principiul simetriei funcțiilor de undă nu impune nicio restricție asupra stărilor sistemului. Poate fi în aceeași stare orice număr de bosoni identici.

Tabelul periodic al elementelor

La prima vedere, se pare că într-un atom toți electronii ar trebui să umple nivelul cu cea mai mică energie posibilă. Experiența arată că nu este așa.

Într-adevăr, în conformitate cu principiul Pauli, într-un atom Nu pot exista electroni cu aceleași valori ale tuturor celor patru numere cuantice.

Fiecare valoare a numărului cuantic principal P corespunde 2 P 2 stări care diferă unele de altele prin valorile numerelor cuantice l , m Și m S .

Un set de electroni dintr-un atom cu valori identice ale numărului cuantic P formează așa-numita coajă. După număr P

Scoici sunt împărțite în subcochilii, care diferă în număr cuantic l . Numărul de stări dintr-un subshell este 2(2 l + 1).

Diferite stări din subshell diferă în valorile numărului cuantic T Și m S .

Coajă

Subshell

T S

sistemul consta din un numar mare identic subsisteme, sincronizarea radiatoarelor este posibilă. cuantic trecerile la diferite...clase nu vor emite. cuantic tranzițiile alcătuiesc pasaje de tunel particule. Tunel cuantic tranzițiile vă permit să descrieți... Calcul cuantic- parametrii chimici ai PAS și determinarea relației structură-activitate folosind exemplul sulfonamidelor Teză >> Chimie Xn) - functie de unda pt sisteme din n particule, care depinde de... spațiul lor. De fapt, electronii cu identic spatele lor încearcă să evite inexactitatea rezultatelor. sulfonamidă cuantic molecule organice chimice Mai mult... Chimie generală și anorganică Ghid de studiu >> Chimie Sunt doi electroni în același timp aceeași set de patru cuantic cuantic numere (umplerea orbitalilor cu electroni... în apropierea valorii energetice E sisteme din N particule. Pentru prima dată, legătura dintre E. și probabilitatea unei stări sisteme a fost stabilit de L. Boltzmann...

Sistem cuantic

Pentru a explica multe proprietăți ale microparticulelor (fotoni, electroni etc.), sunt necesare legi și abordări speciale ale mecanicii cuantice. Proprietățile cuantice ale microlumii se manifestă prin proprietățile macrosistemelor. Microobiectele alcătuiesc un anumit sistem fizic, care se numește cuantic. Exemple de sisteme cuantice includ: gaz fotonic, electroni în metale. Conform termenilor sistem cuantic, particulă cuantică ar trebui să înțelegem un obiect material care este descris folosind aparatul special al mecanicii cuantice.

Mecanica cuantică explorează proprietățile și fenomenele lumii microparticulelor pe care mecanica clasică nu le poate interpreta. Astfel de caracteristici, de exemplu, au fost: dualitatea undă-particulă, discretitatea și existența spinurilor. Metodele mecanicii clasice nu pot descrie comportamentul particulelor din microlume. Proprietățile ondulatorii și corpusculare simultane ale unei microparticule nu fac posibilă determinarea stării particulei din punct de vedere clasic.

Acest fapt se reflectă în relația de incertitudine Heisenberg (1925 USD):

unde $\triunghi x$ este eroarea în determinarea coordonatei, $\triunghiul p$ este eroarea în determinarea impulsului microparticulei. Această relație poate fi scrisă astfel:

unde $\triunghiul E$ este incertitudinea în valoarea energiei, $\triunghiul t$ este incertitudinea în timp. Relațiile (1) și (2) indică faptul că, dacă una dintre mărimile din aceste relații este determinată cu mare precizie, atunci celălalt parametru are o eroare mare de determinare. În aceste relaţii $\hbar =1.05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. Astfel, starea unei microparticule în mecanica cuantică nu poate fi descrisă folosind simultan coordonate și impuls, ceea ce este posibil în mecanica clasică. O situație similară se aplică energiei la un moment dat în timp. Statele cu o anumită valoare energetică pot fi obținute numai în cazuri staționare (adică în cazurile care nu au o definiție precisă în timp).

Având proprietăți corpusculare și, în același timp, de undă, o microparticulă nu are o coordonată exactă, ci este „untată” într-o anumită regiune a spațiului. Dacă există două sau mai multe particule într-o anumită regiune a spațiului, nu este posibil să le distingem unele de altele, deoarece este imposibil să urmăriți mișcarea fiecăreia. Din cele de mai sus rezultă că particulele sunt identice în mecanica cuantică.

Unii parametri legați de microparticule iau valori discrete, pe care mecanica clasică nu le poate explica. În conformitate cu prevederile și legile mecanicii cuantice, pe lângă energia sistemului, momentul unghiular al sistemului poate fi discret:

unde $l=0,1,2,\dots $

spin poate lua următoarele valori:

unde $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\dots $

Proiecția momentului magnetic pe direcția câmpului exterior ia următoarele valori:

unde $m_z$ este un număr cuantic magnetic care ia valorile: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ -- Magneton Bohr.

Pentru a descrie matematic caracteristicile cuantice ale mărimilor fizice, fiecărei mărimi i se atribuie un operator. Astfel, în mecanica cuantică, mărimile fizice sunt reprezentate de operatori, iar valorile lor sunt determinate de media valorilor proprii ale operatorilor.

Starea sistemului cuantic

Orice stare dintr-un sistem cuantic este descrisă folosind o funcție de undă. Cu toate acestea, această funcție prezice parametrii stării viitoare a sistemului cu un anumit grad de probabilitate și nu în mod fiabil, ceea ce este o diferență fundamentală față de mecanica clasică. Astfel, pentru parametrii sistemului, funcția de undă determină valorile probabilistice. O astfel de incertitudine și inexactitate a predicțiilor au provocat, mai ales, controverse în rândul oamenilor de știință.

Parametrii măsurați ai unui sistem cuantic

Cele mai globale diferențe dintre mecanica clasică și cea cuantică constă în rolul de a măsura parametrii sistemului cuantic studiat. Problema măsurătorilor în mecanica cuantică este că atunci când încearcă să măsoare parametrii unui microsistem, cercetătorul acționează asupra sistemului cu un macrodispozitiv, schimbând astfel starea sistemului cuantic în sine. Astfel, atunci când încercăm să măsurăm cu precizie un parametru al unui microobiect (coordonată, impuls, energie), ne confruntăm cu faptul că procesul de măsurare în sine schimbă parametrii pe care încercăm să-i măsurăm și în mod semnificativ. Este imposibil să se facă măsurători precise în microcosmos. Vor exista întotdeauna erori conform principiului incertitudinii.

În mecanica cuantică, variabilele dinamice sunt reprezentate de operatori, deci nu are sens să vorbim despre valori numerice, deoarece operatorul determină acțiunea asupra vectorului de stare. Rezultatul este reprezentat și ca un vector spațiu Hilbert, nu un număr.

Nota 1

Numai dacă vectorul de stare este un vector propriu al operatorului unei variabile dinamice, atunci acțiunea acestuia asupra vectorului poate fi redusă la înmulțire cu un număr fără a schimba starea. În acest caz, operatorul unei variabile dinamice poate fi asociat cu un singur număr care este egal cu valoarea proprie a operatorului. În acest caz, putem presupune că variabila dinamică are o anumită valoare numerică. Atunci variabila dinamică are o valoare cantitativă independentă de măsurare.

În cazul în care vectorul de stare nu este un vector propriu al operatorului unei variabile dinamice, atunci rezultatul măsurării nu devine lipsit de ambiguitate și vorbesc doar despre probabilitatea unei anumite valori obținute în măsurare.

Rezultatele teoriei, care sunt verificabile empiric, sunt probabilitatea de a obține o variabilă dinamică într-o măsurătoare cu un număr mare de măsurători pentru același vector de stare.

Caracteristica principală a unui sistem cuantic este funcția de undă, care a fost introdusă de M. Born. Semnificația fizică este determinată de cele mai multe ori nu pentru funcția de undă în sine, ci pentru pătratul modulului său, care determină probabilitatea ca un sistem cuantic să se afle într-un anumit punct al spațiului la un moment dat în timp. Baza microlumii este probabilitatea. Pe lângă cunoașterea funcției de undă, pentru a descrie un sistem cuantic, sunt necesare informații despre alți parametri, de exemplu, despre parametrii câmpului cu care interacționează sistemul.

Procesele care au loc în microcosmos se află dincolo de limitele percepției senzoriale umane. În consecință, conceptele și fenomenele pe care le folosește mecanica cuantică sunt lipsite de claritate.

Exemplul 1

Exercițiu: Care este eroarea minimă cu care poate fi determinată viteza unui electron și a unui proton dacă coordonatele particulelor sunt cunoscute cu o incertitudine de $1$ µm.

Soluţie:

Ca bază pentru rezolvarea problemei, folosim relația de incertitudine Heisenberg sub forma:

\[\triunghi p_x\triunghi x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

unde $\triunghi x$ este incertitudinea coordonatei, $\triunghi p_x$ este incertitudinea proiecției impulsului particulei pe axa X. Mărimea incertitudinii impulsului poate fi exprimată astfel:

\[\triunghi p_x=m\triunghi v_x\left(1.2\right).\]

Înlocuind partea dreaptă a expresiei (1.2) în loc de incertitudinea proiecției impulsului din expresia (1.1), avem:

Din formula (1.3) exprimăm incertitudinea de viteză dorită:

\[\triunghi v_x\ge \frac(\hbar )(m\triunghi x)\left(1,4\right).\]

Din inegalitatea (1.4) rezultă că eroarea minimă în determinarea vitezei particulelor este egală cu:

\[\triunghi v_x=\frac(\hbar )(m\triunghi x).\]

Cunoscând masa electronului $m_e=9.1\cdot (10)^(-31)kg,$ să facem calculele:

\[\triunghi v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\ cdot (10)^2(\frac(m)(s)).\]

masa protonului este egală cu $m_p=1.67\cdot (10)^(-27)kg$, să calculăm eroarea în măsurarea vitezei protonului în condiții date:

\[\triunghi v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

Răspuns:$\triunghi v_(ex)=1,1\cdot (10)^2\frac(m)(s),$ $\triunghi v_(px)=0,628\cdot (10)^(-1)\frac(m) (s).$

Exemplul 2

Exercițiu: Care este eroarea minimă în măsurarea energiei cinetice a unui electron dacă acesta este situat într-o regiune a cărei dimensiune este l.

Soluţie:

Ca bază pentru rezolvarea problemei, folosim relația de incertitudine Heisenberg sub forma:

\[\triunghi p_xl\ge \hbar \to \triunghi p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

Din inegalitatea (2.1) rezultă că eroarea minimă a pulsului este egală cu:

\[\triunghi p_x=\frac(\hbar )(l)\left(2.2\right).\]

Eroarea energiei cinetice poate fi exprimată astfel:

\[\triunghi E_k=\frac((\left(\triunghi p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\ dreapta))^22\cdot m_e).\]

Răspuns:$\triunghi E_k=\frac((\left(\hbar\right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

În prima și a doua parte a manualului, sa presupus că particulele care alcătuiesc sistemele macroscopice respectă legile mecanicii clasice. Cu toate acestea, s-a dovedit că pentru a explica multe proprietăți ale micro-obiectelor, în loc de mecanica clasică, trebuie să folosim mecanica cuantică. Proprietățile particulelor (electroni, fotoni etc.) în mecanica cuantică sunt calitativ diferite de proprietățile clasice obișnuite ale particulelor. Proprietățile cuantice ale microobiectelor care alcătuiesc un anumit sistem fizic se manifestă și în proprietățile sistemului macroscopic.

Ca astfel de sisteme cuantice, vom considera electronii dintr-un metal, gazul fotonic etc. În cele ce urmează, prin cuvântul sistem cuantic sau particulă vom înțelege un anumit obiect material descris de aparatul mecanicii cuantice.

Mecanica cuantică descrie proprietățile și caracteristicile inerente particulelor microlumii, pe care adesea nu le putem explica pe baza conceptelor clasice. Astfel de caracteristici includ, de exemplu, dualismul particule-undă al micro-obiectelor din mecanica cuantică, descoperit și confirmat de numeroase fapte experimentale, discretitatea diferiților parametri fizici, proprietățile „spin” etc.

Proprietățile speciale ale microobiectelor nu permit descrierea comportamentului lor prin metode convenționale ale mecanicii clasice. De exemplu, prezența unei microparticule care prezintă atât proprietăți ondulatorii, cât și proprietăți corpusculare în același timp

nu permite măsurarea simultană cu precizie a tuturor parametrilor care determină starea unei particule din punct de vedere clasic.

Acest fapt se reflectă în așa-numita relație de incertitudine, descoperită în 1925 de Heisenberg, care constă în faptul că inexactitățile în determinarea coordonatei și impulsului unei microparticule sunt legate de relația:

Consecința acestei relații este o serie de alte relații între diferiți parametri și, în special:

unde este incertitudinea în valoarea energiei sistemului și incertitudinea în timp.

Ambele relații de mai sus arată că, dacă una dintre cantități este determinată cu mare precizie, atunci a doua cantitate se dovedește a fi determinată cu o precizie scăzută. Inexactitățile aici sunt determinate prin constanta lui Planck, care practic nu limitează acuratețea măsurătorilor diferitelor cantități pentru obiectele macroscopice. Dar pentru microparticulele cu energii mici, dimensiuni și momente mici, acuratețea măsurării simultane a parametrilor notați nu mai este suficientă.

Astfel, starea unei microparticule în mecanica cuantică nu poate fi descrisă simultan folosind coordonate și momente, așa cum se face în mecanica clasică (ecuațiile canonice ale lui Hamilton). În același mod, nu putem vorbi despre valoarea energiei particulei la un moment dat. Stările cu o anumită energie pot fi obținute numai în cazuri staționare, adică nu sunt definite precis în timp.

Având proprietăți de unde corpusculare, orice microparticulă nu are o coordonată absolut precis definită, dar pare să fie „undă” în spațiu. Dacă există o anumită regiune a spațiului a două sau mai multe particule, nu le putem distinge unele de altele, deoarece nu putem urmări mișcarea fiecăreia dintre ele. Aceasta implică indistinguirea sau identitatea fundamentală a particulelor în mecanica cuantică.

Mai mult, se dovedește că cantitățile care caracterizează unii parametri ai microparticulelor se pot modifica doar în anumite porțiuni, cuante, de unde provine denumirea de mecanică cuantică. Această discreție a multor parametri care determină stările microparticulelor, de asemenea, nu poate fi descrisă în fizica clasică.

Potrivit mecanicii cuantice, pe lângă energia sistemului, valorile discrete pot prelua momentul unghiular al sistemului sau spin, momentul magnetic și proiecțiile lor în orice direcție selectată. Astfel, pătratul momentului unghiular poate lua doar următoarele valori:

Spinul poate lua doar valori

unde ar putea fi

Proiecția momentului magnetic pe direcția câmpului exterior poate lua valori

unde este magnetonul Bohr și numărul cuantic magnetic, luând valoarea:

Pentru a descrie matematic aceste caracteristici ale mărimilor fizice, fiecare mărime fizică trebuia asociată cu un anumit operator. În mecanica cuantică, așadar, mărimile fizice sunt reprezentate de operatori, iar valorile lor sunt determinate ca medii peste valorile proprii ale operatorilor.

La descrierea proprietăților micro-obiectelor, a fost necesar, pe lângă proprietățile și parametrii întâlniți în descrierea clasică a microparticulelor, să se introducă parametri și proprietăți noi, pur cuantice. Acestea includ „spinul” particulei, care își caracterizează propriul moment unghiular, „interacțiunea de schimb”, principiul Pauli etc.

Aceste caracteristici ale microparticulelor nu permit ca acestea să fie descrise folosind mecanica clasică. Ca rezultat, microobiectele sunt descrise de mecanica cuantică, care ia în considerare caracteristicile și proprietățile observate ale microparticulelor.